非均匀质量高层结构风振基底剪力计算研究

Study on Calculation of Wind-induced Base Shear Force of Non-uniform Mass Tall Buildings

摘要

针对荷载规范中顺风向等效静力风荷载计算公式难以准确评估非均匀质量的高层结构基底剪力，提出竖向空间相关性折算系数η_z和质量转换系数m_cn，分别考虑了多自由度体系与无限自由度体系两者竖向空间相关性的差异和质量非均匀分布对基底剪力的影响，对规范方法进行改进，结合两个算例进行验证；同时分析振型系数、建筑高度和地貌类型对η_z的影响. 研究表明：竖向空间相关性折算系数η_z能反映多自由度体系与无限自由度体系两者竖向空间相关性的差异对基底剪力的影响，算例考虑该影响与否的误差分别为1.2%和2.8%；质量转换系数m_cn能反映质量非均匀分布对基底剪力的影响，算例考虑该影响与否的误差为小于5%和等于28.5%；两系数结合规范方法可准确计算非均匀质量高层结构风振基底剪力. η_z随着地面粗糙度增加和建筑高度增加而增大，随着指数型振型系数的指数增大而减小；η_z参数分析的最小值为0.922，误差可达5%以上；当设计不考虑多自由度体系和无限自由度体系两者竖向空间相关性的差异对基底剪力的影响时，按多自由度体系计算是偏于安全的. 针对不同工程，质量转换系数m_cn取值需根据具体楼层质量与振型系数计算确定.

Abstract

As it is difficult to accurately evaluate the base shear force of a tall building with non-uniform mass under the equivalent static wind pressure calculated according to the load code， the vertical spatial correlation conversion coefficient η_z and mass conversion coefficient m_cn are proposed to consider the effects of the difference in vertical spatial correlation between multi-degree-of-freedom and infinite-degree-of-freedom systems and non-uniform mass distribution on the base shear forces， respectively， modifying the Chinese load code method in the calculation of the wind-induced base shear forces of non-uniform mass high-rise structures. Moreover， it is validated through two example analysis， respectively. The effects of the vibration mode coefficient， building height， and geomorphology on the vertical spatial correlation conversion coefficient η_z are analyzed in terms of parameters. The results show that the vertical spatial correlation conversion coefficient η_z can reflect the effect of the difference in vertical spatial correlation between multi-degree-of-freedom and infinite-degree-of-freedom systems， and the errors in the case study considering this effect or not are 1.2% or 2.8%， respectively； the errors in the case study considering non-uniform mass or not are less than 5% or 28.5% respectively， which indicates that the mass conversion coefficient m_cn can reflect the effects of the mass non-uniform distribution on the base shear forces； and the combination of two coefficients with the load code method can accurately calculate the wind-induced base shear forces of high-rise structures with non-uniform mass. The vertical spatial correlation conversion coefficient increases with the increase of ground roughness and building height， and decreases with the exponential increase of the exponential vibration mode coefficients； the minimum value of η_z in parameter analysis is 0.922， and the error can be more than 5%； without consideration of the effect of the difference in vertical spatial correlation between multi-degree-of-freedom and infinite-degree-of-freedom systems on the base shear forces， the calculation is more conservative based on multi-degree-of-freedom system. For different projects， the value of the mass conversion coefficient m_cn should be calculated based on each mass and vibration mode coefficient specifically.

Graphical abstract

关键词

高层建筑 / 荷载规范 / 基底剪力 / 竖向空间相关性折算系数 / 质量转换系数

等效静力风荷载是联系抗风研究与抗风设计的桥梁，最早由Davenport^［1］在1967年提出的阵风荷载因子法（GLF法）计算得到，该方法被许多国家（如美国、加拿大及澳大利亚等）采用. 我国《建筑结构荷载规范》（GB 50009—2012）^［2］ （简称荷载规范）采用惯性风荷载法（IWL法）计算顺风向等效静力风荷载，脉动风的等效静力风荷载为背景响应分量和共振响应分量两部分对应的惯性力之和. 总等效静力风荷载等于平均风荷载加上脉动风引起的惯性力，最终可表示为风振系数乘以平均风荷载.

基底剪力可反映等效静力风荷载的最大误差^［3］. 顺风向基底剪力采用荷载规范等效静力风荷载公式计算，其为假定结构质量沿高度均匀分布的IWL法简化的计算公式（简称规范方法），可准确评估均匀质量的高层结构基底剪力，但未给出质量沿高度非均匀分布的高层结构风振基底剪力计算公式和相关建议，难以准确评估非均匀质量的高层结构基底剪力^［4-6］，而实际工程中存在很多质量沿高度非均匀分布^{［4，7-8］}的高层结构. 其中非均匀质量指的是结构平面内质量分布均匀，而各楼层之间的质量沿竖向分布不均匀，忽略平面内质量非均匀分布导致的偏心影响. 一些学者采用时域法^{［4，7-8］}或未简化的IWL法^［9-10］等方法计算非均匀质量高层结构风振基底剪力，此类方法在设计中使用不便，且鲜有学者研究利用规范方法计算非均匀质量高层结构风振基底剪力. 计算非均匀质量且质量非线性变化的高层结构顺风向等效静力风荷载时，一般采用多自由度体系模型^{［7，11-15］}，而荷载规范采用无限自由度体系模型计算第1阶广义位移均方根. 两种体系对竖向空间相关性的考虑不同，因此一些学者^{［4， 6， 13-15］}将按多自由度体系计算的高层结构风振基底剪力与规范方法结果直接进行对比是不准确的. 鉴于此，本文提出竖向空间相关性折算系数η_z和质量转换系数m_cn，分别考虑多自由度体系与无限自由度体系两者竖向空间相关性和质量非均匀分布对基底剪力的影响，以此改进规范方法针对非均匀质量高层结构风振基底剪力的计算，结合两个算例进行验证，并分析了相关参数对竖向空间相关性折算系数η_z的影响.

1 基本理论

1.1 无限自由度体系高层结构

本文仅考虑顺风向风荷载作用. 荷载规范采用IWL法按无限自由度体系计算高层结构等效静力风荷载，仅考虑第1阶振型响应，等效静力风荷载等于平均风荷载与脉动风引起的惯性力之和：

F_{\mathrm{D}\mathrm{1}}(z)={\overline{F}}_{\mathrm{D}\mathrm{1}}(z)+{\widehat{F}}_{\mathrm{D}\mathrm{1}}(z)=\beta (z)·{\overline{F}}_{\mathrm{D}\mathrm{1}}(z)（1）

其中风振系数β（z）为：

\beta (z)=\mathrm{1}+\frac{{\widehat{F}}_{\mathrm{D}\mathrm{1}}(z)}{{\overline{F}}_{\mathrm{D}\mathrm{1}}(z)}（2）

{\overline{F}}_{\mathrm{D}\mathrm{1}}(z)={\mu }_{\mathrm{z}}(z)·{\mu }_{\mathrm{s}}·w_{\mathrm{0}}·B（3）

式中： μ_s、μ_z（z）、B分别为z处质点的阻力系数、风压高度变化系数、迎风面风宽度；w₀为基本风压，即标准地貌（B类）地面10 m高处的风压.

假定结构为质量沿高度均匀分布的等截面结构，则任意高度z处脉动风荷载为：

{\widehat{F}}_{\mathrm{D}\mathrm{1}}(z)=g{\omega }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}m\varphi (z){\sigma }_{\mathrm{q}\mathrm{1}}（4）

其中顺风向第1阶广义位移均方根σ_q1如式（5）所示.

{\sigma }_{\mathrm{q}\mathrm{1}(\mathrm{I}\mathrm{D})}=\frac{\mathrm{2}{w}_{\mathrm{0}}{I}_{\mathrm{10}}{\mu }_{\mathrm{s}}}{{\omega }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{\sqrt[]{{\int }_{\mathrm{0}}^B{\int }_{\mathrm{0}}^{B}co{h}_x(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}})\mathrm{d}{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{d}{x}_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^H{\int }_{\mathrm{0}}^H[{\mu }_{\mathrm{z}}(z_{\mathrm{1}}){\varphi }_{\mathrm{1}}(z_{\mathrm{1}}){\overline{I}}_{\mathrm{z}}(z_{\mathrm{1}})][{\mu }_{\mathrm{z}}(z_{\mathrm{2}}){\varphi }_{\mathrm{1}}(z_{\mathrm{2}}){\overline{I}}_{\mathrm{z}}(z_{\mathrm{2}})]co{h}_z(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}})\mathrm{d}{z}_{\mathrm{1}}\mathrm{d}{z}_{\mathrm{2}}}}{m{\int }_{\mathrm{0}}^H{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(z)\mathrm{d}z}\sqrt[]{\mathrm{1}+R^{\mathrm{2}}}（5）

式中：co{h}_x、co{h}_z分别为水平方向和竖直方向的相关函数，共振分量因子R为：

R=\sqrt[]{\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{6}{\xi }_{\mathrm{1}}}\frac{x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{(\mathrm{1}+x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{4}/\mathrm{3}}}},x_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{30}{f}_{\mathrm{1}}}{\sqrt[]{k_{\mathrm{w}}{w}_{\mathrm{0}}}}（6）

式中：f₁、ξ₁、k_w分别为第1阶频率、第1阶阻尼比和地面粗糙度修正系数.

1.2 多自由度体系高层结构

对于多自由度体系模型的非均匀质量高层结构：

高度z_i 处第i质点的平均风荷载为：

\stackrel{-}{F}(z_i)={\mu }_{\mathrm{z}}(z_i)·{\mu }_{\mathrm{s}}·w_{\mathrm{0}}·A_{\mathrm{r}}(z_i)（7）

高度z_i 处第i质点的脉动风荷载为：

{\widehat{F}}_{\mathrm{D}\mathrm{1}}(z_i)=g{\omega }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}m(z_i)\varphi (z_i){\sigma }_{\mathrm{q}\mathrm{1}}（8）

假定层高\mathrm{\Delta }h相等，第1阶广义位移均方根σ_q1^［16］如式（9）所示.

{\sigma }_{\mathrm{q}\mathrm{1}(\mathrm{M}\mathrm{D})}=\frac{\mathrm{2}{w}_{\mathrm{0}}{I}_{\mathrm{10}}{\mu }_{\mathrm{s}}}{{\omega }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\frac{\sqrt[]{{\int }_{\mathrm{0}}^B{\int }_{\mathrm{0}}^{B}co{h}_x(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}})\mathrm{d}{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{d}{x}_{\mathrm{2}}}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}m(z_i){\varphi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(z_i)}\mathrm{\Delta }h\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}[{\mu }_{\mathrm{z}}(z_i){\varphi }_{\mathrm{1}}(z_i){\overline{I}}_{\mathrm{z}}(z_i)][{\mu }_{\mathrm{z}}(z_j){\varphi }_{\mathrm{1}}(z_j){\overline{I}}_{\mathrm{z}}(z_j)]co{h}_z(z_i,z_j)}\sqrt[]{\mathrm{1}+R^{\mathrm{2}}}（9）

1.3 竖向空间相关性折算系数

设计过程中使用PKPM、YJK或ETABS软件按规范方法采用多自由度体系计算高层结构等效静力风荷载时，假定每一层不同高度处风荷载标准值等于该层顶部处的风荷载标准值^［12］，振型采用动力计算的实振型，即先按规范方法计算无限自由度体系的第1阶广义位移均方根，后采用多自由度体系计算惯性风荷载. 而多自由度体系和无限自由度体系对竖向空间相关性的考虑是不同的，本文基于基底剪力相等提出竖向空间相关性折算系数，以考虑两者竖向空间相关性的差异对基底剪力的影响.

为推导竖向空间相关性折算系数，假定高层结构质量均匀分布，即m（z_i ）=m·\mathrm{\Delta }h. 将m（z_i ）=m·\mathrm{\Delta }h代入式（8）计算多自由度体系的均匀质量高层结构脉动风荷载，脉动基底剪力为：

\begin{array}{l}{\widehat{F}}_{\mathrm{B}\mathrm{1}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}g{\omega }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}m·\mathrm{\Delta }h\varphi (z_i){\sigma }_{\mathrm{q}\mathrm{1}}=\\ g{\omega }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}m·\mathrm{\Delta }h{\sigma }_{\mathrm{q}\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\varphi (z_i)\end{array}（10）

按无限自由度体系计算第1阶广义位移均方根σ_q1的多自由度体系均匀质量高层结构的脉动基底剪力如式（11）所示. 按多自由度体系计算第1阶广义位移均方根σ_q1的多自由度体系均匀质量高层结构的脉动基底剪力如式（12）所示.

{\widehat{F}}_{\mathrm{B}\mathrm{1},\mathrm{I}\mathrm{D}(\mathrm{u}\mathrm{n})}=\mathrm{2}g{w}_{\mathrm{0}}{I}_{\mathrm{10}}{\mu }_{\mathrm{s}}\mathrm{\Delta }h\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\varphi (z_i)}{{\int }_{\mathrm{0}}^H{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(z)\mathrm{d}z}\sqrt[]{{\int }_{\mathrm{0}}^B{\int }_{\mathrm{0}}^{B}co{h}_x(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}})\mathrm{d}{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{d}{x}_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^H{\int }_{\mathrm{0}}^H[{\mu }_{\mathrm{z}}(z_{\mathrm{1}}){\varphi }_{\mathrm{1}}(z_{\mathrm{1}}){\overline{I}}_{\mathrm{z}}(z_{\mathrm{1}})][{\mu }_{\mathrm{z}}(z_{\mathrm{2}}){\varphi }_{\mathrm{1}}(z_{\mathrm{2}}){\overline{I}}_{\mathrm{z}}(z_{\mathrm{2}})]co{h}_z(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}})\mathrm{d}{z}_{\mathrm{1}}\mathrm{d}{z}_{\mathrm{2}}}\sqrt[]{\mathrm{1}+R^{\mathrm{2}}}（11）

{\widehat{F}}_{\mathrm{B}\mathrm{1},\mathrm{M}\mathrm{D}(\mathrm{u}\mathrm{n})}=\mathrm{2}g{w}_{\mathrm{0}}{I}_{\mathrm{10}}{\mu }_{\mathrm{s}}\mathrm{\Delta }h\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\varphi (z_i)}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\varphi }^{\mathrm{2}}(z_i)}\sqrt[]{{\int }_{\mathrm{0}}^B{\int }_{\mathrm{0}}^{B}co{h}_x(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}})\mathrm{d}{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{d}{x}_{\mathrm{2}}}\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}[{\mu }_{\mathrm{z}}(z_i){\varphi }_{\mathrm{1}}(z_i){\overline{I}}_{\mathrm{z}}(z_i)][{\mu }_{\mathrm{z}}(z_j){\varphi }_{\mathrm{1}}(z_j){\overline{I}}_{\mathrm{z}}(z_j)]co{h}_z(z_i,z_j)}\sqrt[]{\mathrm{1}+R^{\mathrm{2}}}（12）

文献［17］采用不计空间相关性的位移根方差结果乘以折算系数来考虑空间相关性的结果，推导出空间相关性折算系数用于考虑不计空间相关性引起的误差. 对于多自由度体系均匀质量高层结构的脉动基底剪力，按无限自由度体系计算第1阶广义位移均方根的脉动基底剪力乘以竖向空间相关性折算系数，即为按多自由度体系计算第1阶广义位移均方根的脉动基底剪力. 实际上，按无限自由度体系计算第1阶广义位移均方根σ_q1（ID）乘以竖向空间相关性折算系数即为按多自由度体系计算第1阶广义位移均方根σ_q1（MD）. 由此可得：

{\widehat{F}}_{\mathrm{B}\mathrm{1},\mathrm{M}\mathrm{D}(\mathrm{u}\mathrm{n})}={\eta }_{\mathrm{z}}{\widehat{F}}_{\mathrm{B}\mathrm{1},\mathrm{I}\mathrm{D}(\mathrm{u}\mathrm{n})}（13）

其中竖向空间相关性折算系数η_z如式（14）所示.

与文献［17］不同，本文提出的竖向空间相关性折算系数η_z为按多自由度体系计算第1阶广义位移均方根σ_q1（MD）与按无限自由度体系计算第1阶广义位移均方根σ_q1（ID）的比值，用于反映多自由度体系与无限自由度体系竖向空间相关性的差异对第1阶广义位移均方根和脉动基底剪力的影响.

1.4 质量转换系数

多自由度体系的非均匀质量高层结构脉动基底剪力如式（15）所示. 令{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}m(z_i)\varphi (z_i)=m_{\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\varphi (z_i)，{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}m(z_i){\varphi }^{\mathrm{2}}(z_i)=m_{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\varphi }^{\mathrm{2}}(z_i)，m_cn=m₁/m₂，m_cn为将非均匀质量转化为均匀质量的质量转换系数，反映质量非均匀分布对基底剪力的影响，如式（16）所示.

{\eta }_{\mathrm{z}}=\frac{\mathrm{1}/{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\varphi }^{\mathrm{2}}(z_i)\times \sqrt[]{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}[{\mu }_{\mathrm{z}}(z_i){\varphi }_{\mathrm{1}}(z_i){\overline{I}}_{\mathrm{z}}(z_i)][{\mu }_{\mathrm{z}}(z_j){\varphi }_{\mathrm{1}}(z_j){\overline{I}}_{\mathrm{z}}(z_j)]co{h}_z(z_i,z_j)}}{\mathrm{1}/{\int }_{\mathrm{0}}^H{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}(z)\mathrm{d}z\times \sqrt[]{{\int }_{\mathrm{0}}^H{\int }_{\mathrm{0}}^H[{\mu }_{\mathrm{z}}(z_{\mathrm{1}}){\varphi }_{\mathrm{1}}(z_{\mathrm{1}}){\overline{I}}_{\mathrm{z}}(z_{\mathrm{1}})][{\mu }_{\mathrm{z}}(z_{\mathrm{2}}){\varphi }_{\mathrm{1}}(z_{\mathrm{2}}){\overline{I}}_{\mathrm{z}}(z_{\mathrm{2}})]co{h}_z(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}})\mathrm{d}{z}_{\mathrm{1}}\mathrm{d}{z}_{\mathrm{2}}}}（14）

{\widehat{F}}_{\mathrm{B}\mathrm{1},\mathrm{M}\mathrm{D}(\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{n})}=\mathrm{2}g{w}_{\mathrm{0}}{I}_{\mathrm{10}}{\mu }_{\mathrm{s}}\mathrm{\Delta }h\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}m(z_i)\varphi (z_i)}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}m(z_i){\varphi }^{\mathrm{2}}(z_i)}\sqrt[]{{\int }_{\mathrm{0}}^B{\int }_{\mathrm{0}}^{B}co{h}_x(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}})\mathrm{d}{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{d}{x}_{\mathrm{2}}}\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}[{\mu }_{\mathrm{z}}(z_i){\varphi }_{\mathrm{1}}(z_i){\overline{I}}_{\mathrm{z}}(z_i)][{\mu }_{\mathrm{z}}(z_j){\varphi }_{\mathrm{1}}(z_j){\overline{I}}_{\mathrm{z}}(z_j)]co{h}_z(z_i,z_j)}\sqrt[]{\mathrm{1}+R^{\mathrm{2}}}（15）

m_{\mathrm{c}\mathrm{n}}=\frac{m_{\mathrm{1}}}{m_{\mathrm{2}}}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}m(z_i)\varphi (z_i)/{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\varphi (z_i)}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}m(z_i){\varphi }^{\mathrm{2}}(z_i)/{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\varphi }^{\mathrm{2}}(z_i)}（16）

则式（15）可用下式表示：

{\widehat{F}}_{\mathrm{B}\mathrm{1},\mathrm{M}\mathrm{D}(\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{n})}=m_{\mathrm{c}\mathrm{n}}\times {\widehat{F}}_{\mathrm{B}\mathrm{1},\mathrm{M}\mathrm{D}(\mathrm{u}\mathrm{n})}（17）

由式（17）可知，多自由度体系的非均匀质量高层结构脉动基底剪力可转化为均匀质量高层结构（除质量分布不同外，第1阶振型、阻尼比等其他动力参数均一致）脉动基底剪力与质量转换系数的乘积. 而多自由度体系的均匀质量高层结构脉动基底剪力可利用无限自由度体系计算第1阶广义位移均方根σ_q1的多自由度体系均匀质量高层结构的脉动基底剪力乘以竖向空间相关性折算系数计算，其中后者脉动基底剪力可按规范方法计算.文献［2，18-19］指出，考虑迎风面和背风面的风压相关性，背景分量因子乘以折减系数0.7；而此时，按规范方法计算无限自由度体系均匀质量高层结构的脉动基底剪力为{\widehat{F}}_{\mathrm{B}\mathrm{1},\mathrm{I}\mathrm{D}\left(\mathrm{u}\mathrm{n}\right)\_\mathrm{0}}. 综上，不考虑迎风面和背风面的风压相关性时，采用竖向空间相关性折算系数η_z和质量转换系数m_cn结合规范方法计算多自由度体系非均匀质量高层结构风振基底剪力的步骤如图1所示.

2 算例验证

为验证竖向空间相关性折算系数η_z和质量转换系数m_cn改进规范方法计算多自由度体系非均匀质量高层结构风振基底剪力的准确性. 首先，以一多自由度体系均匀质量的高层结构为例，验证竖向空间相关性折算系数η_z的准确性；接着利用一多自由度体系非均匀质量高层结构算例，验证竖向空间相关性折算系数η_z和质量转换系数m_cn结合规范方法，计算多自由度体系非均匀质量高层结构风振基底剪力的准确性. 同时，用IWL法验证结果准确性. 本文所有计算均在MATLAB平台上编程实现.

2.1 算例1—多自由度体系均匀质量的高层结构

以一典型11层的均匀质量高层结构层剪切模型为算例1，验证竖向空间相关性折算系数η_z的准确性. 每层结构平面为B×D=30 m×30 m，H=39.6 m，结构层高\mathrm{\Delta }h为3.6 m，密度为192 kg/m³，每一层的质量［m（z_i ）=m·\mathrm{\Delta }h］为622 080 kg，50年重现期风压为 w₀=0.35 kN/m²，地貌类别为B类，风荷载体型系数为1.3. x、y向第1阶频率均为f₁=1.247 Hz，并假设x、y方向第1振型均为线性，即{\widehat{\varphi }}_{\mathrm{1},j}=z_i /H，则结构各层刚度计算如下^［20］：

k_i=\frac{{\omega }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{j=i}^N}{m}_j{\varphi }_{\mathrm{1},j}}{{\varphi }_{\mathrm{1},i}-{\varphi }_{\mathrm{1},i-\mathrm{1}}}（18）

由此得到结构的前3阶频率分别为1.247、3.055、4.830，假定结构的第1阶阻尼比为5%. 规范方法计算多自由度体系均匀质量高层结构的基底剪力平均分量和最值分别为{\overline{F}}_{\mathrm{M},\mathrm{M}\mathrm{D}\left(\mathrm{u}\mathrm{n}\right)}和F_{\mathrm{B},\mathrm{M}\mathrm{D}\left(\mathrm{u}\mathrm{n}\right)\_\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}. 计算得到竖向空间相关性折算系数η_z为0.961 3. 采用规范方法、IWL法计算得到算例1的风振基底剪力见 表1，均取峰值因子g=2.5. 由表1可知，不考虑多自由度体系与无限自由度体系两者竖向空间相关性差异时，规范方法计算脉动基底剪力{\widehat{F}}_{\mathrm{B}\mathrm{1},\mathrm{I}\mathrm{D}(\mathrm{u}\mathrm{n})}为IWL法的102.8%，误差为2.8%；考虑该差异时，规范方法计算脉动基底剪力{\widehat{F}}_{\mathrm{B}\mathrm{1},\mathrm{M}\mathrm{D}(\mathrm{u}\mathrm{n})}为IWL法的98.8%，误差为1.2%，误差减小了. 因此，采用竖向空间相关性折算系数η_z可反映多自由度体系与无限自由度体系两者竖向空间相关性差异对1阶广义位移均方根和基底剪力的影响.

2.2 算例2—多自由度体系非均匀质量的高层结构

以与算例1结构平面、层高、高度和风荷载等条件相同的非均匀质量高层结构为算例2，验证竖向空间相关性折算系数η_z和质量转换系数m_cn结合规范方法，计算多自由度体系非均匀质量高层结构风振基底剪力的准确性. 结构各层的质量与剪切刚度见表2，第1阶振型如图2所示，由图2可知算例2的 第1阶振型位移可用ϕ=（z/H）^1.1近似表示.

计算得到竖向空间相关性折算系数η_z为0.971 3，质量转换系数m_cn为1.335，规范方法计算多自由度体系非均匀质量高层结构的基底剪力平均分量和最值分别为{\overline{F}}_{\mathrm{M},\mathrm{M}\mathrm{D}\left(\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{n}\right)}和F_{\mathrm{B},\mathrm{M}\mathrm{D}\left(\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{n}\right)\_\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}，规范方法和IWL法计算算例2的基底剪力见表3. 由表3可知，不考虑质量非均匀分布时，规范方法计算脉动基底剪力{\widehat{F}}_{\mathrm{B}\mathrm{1},\mathrm{M}\mathrm{D}(\mathrm{u}\mathrm{n})}为IWL法的72.5%，误差为28.5%，低估了非均匀质量对基底剪力的影响；采用质量转换系数m_cn考虑质量非均匀分布的影响时，规范方法计算脉动基底剪力{\widehat{F}}_{\mathrm{B}\mathrm{1},\mathrm{M}\mathrm{D}(\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{n})}为IWL法的96.7%，误差在5%以内，两者基本一致. 因此，采用质量转换系数m_cn可考虑质量非均匀分布对基底剪力的影响，也即竖向空间相关性折算系数η_z和质量转换系数m_cn结合规范方法可准确计算非均匀质量高层结构风振基底剪力，视其为可采用现有荷载规范计算基底剪力的一种简化实用计算方法. 同理，非均匀质量高层结构第i质点脉动风荷载可用下式表示：

{\widehat{F}}_{i,\mathrm{M}\mathrm{D}(\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{n})}=\frac{m(z_i)}{m_{\mathrm{2}}}{\widehat{F}}_{i,\mathrm{M}\mathrm{D}(\mathrm{u}\mathrm{n})}（19）

式中：{\widehat{F}}_{i,\mathrm{M}\mathrm{D}(\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{n})}\mathrm{、}{\widehat{F}}_{i,\mathrm{M}\mathrm{D}(\mathrm{u}\mathrm{n})}分别为非均匀和均匀质量高层结构第i质点脉动风荷载. 即非均匀质量高层结构脉动风荷载可按照质量均匀分布考虑，再乘以m（z _i ）/m₂，为采用现有荷载规范计算基底弯矩提供了一种简化实用计算方法.

3 竖向空间相关性折算系数η_z参数分析

按式（14）计算竖向空间相关性折算系数η_z受到振型系数ϕ、建筑高度H、地貌类型的影响，且需对振型系数进行拟合和积分计算，不方便设计直接使用. 因此本文对以上影响参数进行分析，给出竖向空间相关性折算系数η_z取值建议，供设计人员参考.

我国荷载规范规定高层建筑以剪力墙为主的基本振型按弯剪型考虑，振型系数的表达式为：

{\varphi }_{\mathrm{1}}(z)=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left[\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{4}}{(\frac{z}{H})}^{\mathrm{0.7}}\right]（20）

高耸结构基本振型按弯曲型考虑，振型系数的表达式为：

{\varphi }_{\mathrm{1}}(z)=\frac{\mathrm{6}{z}^{\mathrm{2}}{H}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}{z}^{\mathrm{3}}H+z^{\mathrm{4}}}{\mathrm{3}{H}^{\mathrm{4}}}（21）

规范^［21-22］使用以下指数型振型系数：

{\varphi }_{\mathrm{1}}(z)={(\mathrm{z}/H)}^{\gamma }（22）

式中：γ为振型指数，取值范围为0.5~1.5.

本文对振型系数ϕ、建筑高度H、地貌类型对竖向空间相关性折算系数η_z的影响进行参数分析时，振型系数ϕ取值按式（20）~式（21），式（22）中γ分别为0.5、0.8、1.0、1.2、1.5，建筑高度H为40~200 m且以20 m为间隔递增，层高5 m，地貌分别为A、B、C、D四类. 竖向空间相关性折算系数η_z参数分析结果见表4，由表4可知，随着地面粗糙度指数α（A→D类地貌）增加，竖向空间相关性折算系数η_z增大；层高为定值，随着建筑高度增加，竖向空间相关性折算系数η_z增大；式（20）振型系数的结果与指数型振型系数γ=1的结果相近，式（21）振型系数的结果介于指数型振型系数γ=1.2与γ=1.5的结果之间，竖向空间相关性折算系数η_z随着指数型振型系数的指数γ增大而减小. 表4中竖向空间相关性折算系数η_z的最小值为0.922，误差可达5%以上. 当不考虑多自由度体系和无限自由度体系两者竖向空间相关性之间的差异对风振基底剪力的影响时，按多自由度体系计算是偏于安全的. 根据表4拟合出不同振型、地貌类型对应的竖向空间相关性折算系数η_z的计算表达式，本文仅给出式（20）振型、B类地貌的竖向空间相关性折算系数η_z的计算表达式，如式（23）所示.

{\eta }_{\mathrm{z}}=\mathrm{0.873}{H}^{\mathrm{0.023}\mathrm{7}}（23）

4 结 论

针对荷载规范中顺风向等效静力风荷载计算公式难以准确评估非均匀质量的高层结构基底剪力，本文提出竖向空间相关性折算系数η_z和质量转换系数m_cn分别考虑多自由度体系与无限自由度体系两者竖向空间相关性的差异和质量非均匀分布对基底剪力的影响，对规范方法计算非均匀质量高层结构风振基底剪力进行改进，通过两个算例进行验证；并对振型系数、建筑高度、地貌类型对竖向空间相关性折算系数的影响进行参数分析，得到以下结论：

1）竖向空间相关性折算系数η_z可反映多自由度体系与无限自由度体系两者竖向空间相关性差异对基底剪力的影响，算例考虑该影响与否的误差分别为1.2%和2.8%；质量转换系数m_cn可反映质量非均匀分布对基底剪力的影响，算例考虑该影响与否的误差为小于5%和28.5%. 证明采用竖向空间相关性折算系数η_z和质量转换系数m_cn结合规范方法可准确计算非均匀质量高层结构风振基底剪力.

2）竖向空间相关性折算系数η_z随着地面粗糙度指数增大和建筑高度增加而增大，随着指数型振型系数的指数γ增大而减小；竖向空间相关性折算系数η_z参数分析的最小值为0.922，误差可达5%以上；当设计不考虑多自由度体系和无限自由度体系两者竖向空间相关性之间的差异对风振基底剪力的影响时，按多自由度体系计算是偏于安全的. 针对不同工程，质量转换系数m_cn取值需根据具体楼层质量和振型系数计算确定.

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基金资助

国家自然科学基金资助项目（52378497）