Stewart平台斜棱柱虎克铰工作空间分析

Workspace Analysis of Oblique Prism Hooke Joint for Stewart Platform

摘要

为了解决大范围运动条件下Stewart平台发生虎克铰干涉问题，提出斜棱柱虎克铰干涉模型. 首先，考虑斜棱柱的倾角参数，建立描述斜棱柱虎克铰的参数化模型，分析典型干涉状态下虎克铰工作空间的数学描述，建立虎克铰工作空间定量评价指标；其次，对铰座结构参数进行归一化处理，分析斜棱柱虎克铰角度参数、尺寸参数与工作空间之间的关系，建立斜棱柱虎克铰的设计准则；最后，设计包含12个斜棱柱虎克铰的Stewart平台，将虎克铰干涉模型与Stewart平台运动学反解相结合，将动平台位姿映射入虎克铰工作空间，进行大范围运动实验. 实验结果表明，极限工况中虎克铰最大转角不超过理论转角极限0.3°，验证了斜棱柱虎克铰干涉模型在Stewart平台避障应用中的有效性.

Abstract

To address the interference problem of Hooke joint under the condition of large-scale motion of a Stewart platform， an oblique prism Hooke joint interference model is proposed. Firstly， considering the inclination angle parameter of the oblique prism， a parameterized model is established to describe the Hooke joint of the oblique prism. The mathematical description of the Hooke joint workspace under typical interference states is analyzed， and a quantitative evaluation index for the Hooke joint workspace is established. Secondly， the parameters of the joint base structure are normalized， and the relationship between the angle and size parameters of the oblique prism Hooke joint and the workspace is analyzed. Meanwhile， the design criteria for the oblique prism Hooke joint are established. Finally， a Stewart platform with 12 oblique prism Hooke joints is designed. The Hooke joint interference model is combined with the kinematic inverse solution of the Stewart platform， and the pose of the moving platform is mapped into the Hooke joint workspace for large-scale motion experiments. The experimental results show that the maximum rotation angle of the Hooke joint does not exceed the theoretical rotation limit of 0.3 degrees in the limit working conditions， which verifies the effectiveness of the oblique prism Hooke joint interference model in the application of obstacle avoidance of a Stewart platform.

Graphical abstract

关键词

Stewart平台 / 工作空间分析 / 虎克铰 / 逆运动学 / 铰座干涉

Stewart平台是由2个平台、6条运动支链和12个虎克铰组成的闭链机构^［1］. 虎克铰^［2］是Stewart平台的关键联接件，对Stewart平台的工作空间^［3］和运动性能^［4］具有重要影响. 根据虎克铰棱柱外形特征可分为直棱柱虎克铰^［5］和斜棱柱虎克铰^［6］，其中，斜棱柱虎克铰在承载能力和受力条件上具有明显优势，但对其干涉模型和工作空间分析还未见报道.

虎克铰由运动支座、固定支座和十字轴组成，其工作空间^［7］是运动支座绕十字轴的两个正交轴的转动范围. 虎克铰的工作空间求解主要有模型拟合法^［8］和解析法^［9］两种方法. 由于模型拟合法通过模型碰撞仿真所得工作空间难以直观反映结构参数与工作空间的关系，通常采用解析法建立虎克铰几何关系模型^［4］求解干涉条件. 目前，解析法的主要研究对象为直棱柱虎克铰^［5］，而斜棱柱虎克铰结构参数复杂，干涉建模存在较大困难.

虎克铰的结构参数众多，对工作空间变化影响复杂. 目前针对虎克铰工作空间研究集中在直棱柱虎克铰圆锥摆的数学描述^［8］及工作空间边界与对应干涉类型分析^［5］，未探讨虎克铰结构参数与工作空间之间的变化规律，未建立描述虎克铰工作空间的评价指标. 根据虎克铰的参数模型，研究描述斜棱柱虎克铰结构参数与工作空间之间的关系对于指导虎克铰设计具有重要意义.

Stewart平台作为中心对称机构，影响其自由工作空间的因素众多^［10］，如铰点布置^［11］、铰点结构形式^［12］、支链行程^［13-14］等. 现有研究表明，Stewart平台的奇异位姿与其铰点布置存在明确的数学关系^［15-16］，主要采用计算机辅助设计技术 ^［17-18］建立虎克铰转角与并联机构工作空间之间的关系. 根据动平台位姿与12个虎克铰的转角的对应关系^［6］，将虎克铰干涉模型与6自由度运动学反解结合，是探讨Stewart平台运动可达性的新途径.

本文以斜棱柱虎克铰为研究对象，建立斜棱柱虎克铰参数化模型，研究虎克铰结构参数与工作空间之间的关系，建立描述工作空间大小的评价指标，将虎克铰工作空间数学模型与Stewart平台运动控制相结合，通过Stewart平台典型工况运动实验，探讨斜棱柱虎克铰干涉模型对Stewart平台运动性能的影响.

1 基于参数模型的虎克铰干涉分析

1.1 斜棱柱虎克铰参数模型

为了分析虎克铰特征参数与工作空间之间的关系，以内壁倾斜的斜棱柱虎克铰为对象，对虎克铰的结构参数进行分析，如图1所示. 根据图1，虎克铰结构参数如表1所示.

虎克铰坐标系如图2所示. 在虎克铰的中心点O处建立与固定支座固连的定坐标系O-XYZ，十字轴绕固定支座的旋转轴为X轴，Z轴垂直固定支座底面向上，Y轴由Z×X确定. 在虎克铰的中心点O处建立与运动支座固连的动坐标系O-xyz，运动支座绕十字轴的旋转轴为y轴，y轴与X轴正交，z轴垂直运动支座的底面向上，x轴由y×z确定.

图2中虎克铰的运动为：十字轴绕固定支座 坐标系O-XYZ的X轴旋转α角，运动支座绕坐标系O-xyz的y轴旋转β角.根据铰座之间的相对运动，建立两个铰座坐标系之间的旋转变换关系，如式（1）所示.

T=R(X,\alpha )R(y,\beta )=

\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta & \mathrm{0}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta \\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta & \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha & -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta \\ -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta & \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha & \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta \end{array}\right]（1）

式中：α为绕定坐标系旋转轴X旋转角度；β为绕动坐标系旋转轴y旋转角度.

α、β均小于虎克铰转角极限值θ₁、θ₂，虎克铰转角极限值由虎克铰结构参数决定.

将虎克铰特征参数和运动模型结合，可分析上、下铰座之间典型点、线、面的位置关系，判断两铰座是否发生干涉碰撞. 为了简化问题，取上、下铰座结构参数一致，利用虎克铰工作空间的对称性，研究虎克铰在第一象限的工作空间. 由于虎克铰发生干涉的部位包括底板、侧壁、顶圆，将斜棱柱虎克铰用点、线、面表示，如图3所示.

根据图1、图3和表1，建立虎克铰零位时，运动支座和固定支座的几何特征点坐标如表2所示.

斜棱柱的结构参数θ直接影响图3中C和c点坐标，从而影响内棱线AC和ac的姿态. 运动支座内棱线与固定支座特征点线面之间的相对位姿是虎克铰运动干涉分析的重要内容.

1.2 虎克铰干涉状态分析

对于图3所示斜棱柱虎克铰，铰链可能会发生的干涉状态有4种，即，底板-棱柱顶圆干涉，底板-棱柱侧壁干涉，棱柱内-外棱线干涉，棱柱内-内棱线干涉.

1）底板-棱柱顶圆干涉. 如图4所示，固定支座的棱柱顶圆BG与运动支座的底板接触.

当图4所示干涉发生时，固定转角β，增大转角α，运动支座的底板cdef到固定支座旋转轴的距离不变，该类干涉决定的工作空间边界为直线. 由几何关系可得工作空间边界表达式为：

\beta =\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{M_{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{R^{\mathrm{2}}+M_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}}\right)-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{H_{\mathrm{1}}}{\sqrt[]{R^{\mathrm{2}}+M_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}}\right),\alpha \in [\mathrm{0},{\theta }_{\mathrm{1}}]（2）

2）底板-棱柱侧壁干涉. 如图5所示，铰座的侧壁BDG与运动支座的底面棱线ef接触.

当图5所示干涉发生时，固定转角β，增大转角α时，棱线ef始终处于侧壁BDG平面内. 由几何关系，可得临界干涉表达式：

\beta =\mathrm{\pi }-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{N/\mathrm{2}}{\sqrt[]{H_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+N^{\mathrm{2}}/\mathrm{4}}}\right)-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{M_{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{H_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+N^{\mathrm{2}}/\mathrm{4}}}\right),\alpha \in [\mathrm{0},{\theta }_{\mathrm{1}}]（3）

式（3）表明，在给定虎克铰结构参数条件下，发生该干涉时，虎克铰的转角β为与侧底宽度N、回转中心至内底面高度H₁以及棱柱外壁间距M₂有关的定值.

由图4和图5可知，底板-棱柱侧壁干涉和底板-棱柱顶圆干涉不会同时发生在同一铰链上. 判断是否发生底板-棱柱侧壁干涉的结构参数条件在于，运动支座的底板到回转中心的距离是否大于或等于固定支座的棱柱顶圆到回转中心的距离，即：

H_{\mathrm{1}}\ge \sqrt[]{R^{\mathrm{2}}+M_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}（4）

当式（4）成立时，发生底板-棱柱侧壁干涉，转角β大于90°；否则，发生底板-棱柱顶圆干涉，转角β小于90°.

3）棱柱内-外棱线干涉. 如图6所示，运动支座绕固定支座转动转角α、β后，运动支座棱线ac与固定支座棱线BD发生干涉，即ac与BD两根空间线段相交.

当图6所示干涉发生时，为了描述空间线段相交问题，将运动支座的a、c点的坐标固定在坐标系表达，采用坐标变换法描述空间线段ac的运动，如 式（5）所示.

\left\{\begin{array}{c}a\mathrm{\text{'}}=Ta=R(x,\alpha )R(y,\beta )a\\ c\mathrm{\text{'}}=Tc=R(x,\alpha )R(y,\beta )c\end{array}\right.（5）

当空间线段ac与BD两直线共面时，有：

(\overrightarrow{ac}\times \overrightarrow{BD})·\overrightarrow{Bc}=\mathrm{0}（6）

根据ac、BD坐标有：

f(\alpha ,\beta )=\left|\begin{array}{ccc}{x}_B-x_{c\mathrm{\text{'}}}& y_B-y_{c\mathrm{\text{'}}}& z_B-z_{c\mathrm{\text{'}}}\\ x_B-x_D& y_B-y_D& z_B-z_D\\ x_{a\mathrm{\text{'}}}-x_{c\mathrm{\text{'}}}& y_{a\mathrm{\text{'}}}-y_{c\mathrm{\text{'}}}& z_{a\mathrm{\text{'}}}-z_{c\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right|=\mathrm{0}（7）

将运动支座点a、c转动后的坐标a'、c'代入式（7）可建立描述该干涉状态的表达式，如式（8）所示.

f(\alpha ,\beta )=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta \frac{M_{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +R\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }{M_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta +R\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha }+

\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta \frac{M_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha -R}{M_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta +R\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha }=\mathrm{1}（8）

式（8）表明，当发生该干涉时，运动支座内棱线与固定支座的外棱线处于发生接触的临界点，此时，α和β之间的数学关系与斜棱柱虎克铰棱柱内壁倾角θ、棱柱顶圆半径R、棱柱内壁间距M₁、棱柱外壁间距M₂等4个参数有关，而与回转中心至内底面高度H₁、回转中心至外底面高度H₂以及侧底宽度N无关.

4）棱柱内-内棱线干涉. 如图7所示，运动支座相对于固定支座转动转角α、β后，运动支座内棱线ac与固定支座内棱线AC发生干涉.

当发生图7所示干涉时，空间直线ac与空间直线AC相交，可建立第4种干涉对应关于α、β的表达式，如式（9）所示.

f(\alpha ,\beta )=\left|\begin{array}{ccc}{x}_A-x_{c\mathrm{\text{'}}}& y_A-y_{c\mathrm{\text{'}}}& z_A-z_{c\mathrm{\text{'}}}\\ x_A-x_C& y_A-y_C& z_A-z_C\\ x_{a\mathrm{\text{'}}}-x_{c\mathrm{\text{'}}}& y_{a\mathrm{\text{'}}}-y_{c\mathrm{\text{'}}}& z_{a\mathrm{\text{'}}}-z_{c\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right|=\mathrm{0}（9）

与棱柱内-外棱线干涉相同，发生棱柱内-内棱线干涉时，虎克铰转角α和β之间的数学关系与斜棱柱虎克铰棱柱内壁倾角θ、棱柱顶圆半径R、棱柱内壁间距M₁、回转中心至内底面高度H₁等4个参数有关，而与棱柱外壁间距M₂、回转中心至外底面高度H₂以及侧底宽度N无关.

以上4种干涉为斜棱柱虎克铰可能发生的干涉，其中，结构参数H₂与4种干涉均无关，侧底宽度N仅与第2种干涉有关. 随着结构尺寸参数H₁变化，底板-棱柱侧壁干涉与底板-棱柱顶圆干涉在同一个铰链只会发生一种，且发生干涉的位置局限在棱柱顶圆和侧壁底部，对虎克铰工作空间影响小；虎克铰棱线长度大，发生运动干涉可能性大，棱柱内-外棱线干涉和棱柱内-内棱线干涉对虎克铰工作空间影响显著.

1.3 虎克铰工作空间评价指标

通过分析结构参数，在α和β组成平面的第一象限内判断所发生的干涉类型，即第1、3、4种干涉或第2、3、4种干涉，通过式（2）、式（8）、式（9）或式（3）、式（8）、式（9）求出它们的干涉点坐标，如图8（a）所示，其中，阴影部分为虎克铰朝两个方向正向转动的工作空间. 由于固定支座与运动支座形状结构一致，工作空间关于β=0和α=0对称，可推导出虎克铰四个象限的工作空间，如图8（b）所示.

在图8所示工作空间内，沿工作空间边界虎克铰干涉发生的顺序为底板干涉（底板-棱柱顶圆干涉或底板-棱柱侧壁干涉）—棱线干涉（棱柱内-外棱线干涉或棱柱内-内棱线干涉）—底板干涉（底板-棱柱侧壁干涉或底板-棱柱顶圆干涉）. 相对于底板干涉，棱线干涉在工作空间边界上的区域大，对工作空间的大小和形状影响显著.

为描述斜棱柱虎克铰的工作空间，以结构参数对应的铰链工作空间面积为评价指标，建立工作空间评价指标S，如式（10）所示.

S=\mathrm{4}{\int }_{\mathrm{0}}^{\alpha }\beta (\alpha )\mathrm{d}\alpha（10）

当发生第1、3、4种干涉时，式（10）中的β（α）由 式（2）、式（8）、式（9）决定；当发生第2、3、4种干涉时，式（10）中的β（α）由式（3）、式（8）、式（9）决定.

2 虎克铰结构参数与工作空间关系

虎克铰的结构参数影响虎克铰干涉状态，虎克铰干涉状态决定了工作空间范围. 参考型号为35×98的典型十字轴承，以十字轴孔半径r为设计基准，采用工作空间评价指标S，探讨上顶圆半径R、棱柱内壁间距M₁、棱柱外壁间距M₂、回转中心至内底面高度H₁、内壁倾角θ、棱柱侧底宽度N与r的比值与工作空间及铰座承载力之间的关系.

2.1 虎克铰角度参数与工作空间关系

取虎克铰结构参数为R=1.7r， M₁=2r，M₂=2.8r， H₁=3.1r，N=2R，倾角\theta \in [\mathrm{0}°,\mathrm{8}°]，铰座横向承载力P_τ，铰座许用应力为\left[\sigma \right]，分析倾角\theta与铰链工作空间评价指标S之间的关系分别如图9（a）和（b）所示. 由铰座根部弯矩决定横向承载力P_τ ：

P_{\mathrm{\tau }}\le \frac{R(M_{\mathrm{2}}-M_{\mathrm{1}}+H_{\mathrm{1}}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta )}^{\mathrm{2}}\left[\sigma \right]}{\mathrm{3}{H}_{\mathrm{1}}}（11）

倾角\theta与归一化支链局部横向承载力\left|P_{\tau }\right|=P_{\mathrm{\tau }}/\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(P_{\mathrm{\tau }})之间关系如图9（c）所示.

由图9（a）可知，倾角θ对工作空间的影响主要体现在α较小时，β的取值范围. 由图9（b）可知，倾角θ与工作空间评价指标S之间呈非线性下降关系. 由图9（c）可知，倾角θ与归一化的横向承载力\left|P_{\mathrm{\tau }}\right|呈非线性关系，其中，θ=6°比θ=0时，铰座横向承载力提升了约2倍，但θ=8°比θ=6°时铰座仅有25%的横向承载力提升. 因此，为保证虎克铰工作空间和良好的受力条件，倾角θ应不超过6°.

2.2 虎克铰尺寸参数与工作空间关系

为了分析结构尺寸参数对工作空间的影响，取虎克铰结构参数为R=1.7r，M₂=2.8r，H₁=3.1r，θ=6°， N=2R，M₁=ar，a为系数. 由于滚动轴承的宽径比通常大于0.3，即（M₂-M₁）>0.3r，则a∈［1.9，2.4］. 根据 式（2）、式（3）、式（8）、式（9）、式（10）对M₁与铰链工作空间评价指标S之间关系进行讨论，如图10所示.

由图10（a）可知，斜棱柱虎克铰的工作空间边界呈非线性变化，不同M₁/r条件下β相对于α的变化关系类似，动平台极限位姿所对应的铰座转角超限判断由铰座当前干涉状态决定.

由图10（b）可知，工作空间评价指标S随M₁/r增加而增大，但随着M₁/r增加，M₂-M₁减小，铰座承载能力降低. 若以电动缸为支链驱动器，电动缸的额定驱动力为P，其安全系数为1.5，其活塞杆面积为S_{\mathrm{d}}=\mathrm{\pi }{r}^{\mathrm{2}}/\mathrm{1.5}. 为保证铰座结构安全，电动缸驱动力应满足：

P\le \mathrm{4}(R-r)(M_{\mathrm{2}}-M_{\mathrm{1}})\left[\sigma \right]（12）

为简化问题，取电动缸的活塞杆与铰座的材质一致，有

\frac{M_{\mathrm{1}}}{r}\le \frac{M_{\mathrm{2}}}{r}-\frac{S_{\mathrm{d}}}{\mathrm{4}r(R-r)}（13）

将均一化的铰座结构参数和电动缸安全系数代入式（13），可知，M₁/r取值应不超过2.0.

2.3 斜棱柱虎克铰参数设计准则

根据虎克铰结构参数与工作空间之间的关系，建立其参数设计方法如下：

1）根据载荷要求确定虎克铰十字轴轴径，即铰座轴孔半径r，通过机械设计手册中轴承相关规定，确定轴承盖半径，即棱柱顶圆半径R，根据十字轴与虎克铰安装关系，确定棱柱外壁间距M₂.

2）根据M₁/r与S之间关系和θ与S之间关系，确定棱柱内壁间距M₁和棱柱内壁倾角θ.

3）根据式（2）和式（4），确定回转中心至内底面高度H₁和侧底宽度N.

4）回转中心至外底面高度H₂与铰座干涉分析无关，由虎克铰结构强度要求决定.

3 实例验证

3.1 Stewart平台斜棱柱虎克铰设计

一小型无人机全长1.9 m，翼展3.7 m，自质量 23 kg，速度80 km/h，因操控精度和阵风影响，降落时与目标姿态（横滚角和俯仰角）的偏差不超过8°，与目标航线的横向偏距不超过200 mm. 设计辅助无人机降落的Stewart平台，包括动平台、定平台、12个斜棱柱虎克铰和6个电动缸. 动平台的上铰点A_i （i=1，2，…，6）的铰点圆直径为600 mm，定平台的下铰点 B_i （i=1，2，…，6）的铰点圆直径为840 mm，中位状态两个铰点圆之间初始距离为900 mm，相邻铰点圆心角分别为90°和30°. Stewart平台中位状态铰点分布如图11所示.

根据Stewart平台铰点分布及斜棱柱虎克铰参数设计准则，设计包含斜棱柱虎克铰的Stewart平台，如图12所示.

图12中，虎克铰结构参数为r=17.5 mm，θ=6°， R=24 mm，M₁=35 mm，M₂=49 mm，H₁=55 mm， H₂= 72 mm，N=65 mm，根据式（10）计算S=7 810，工作空间边界由第2、第3和第4种干涉决定. 电动缸额定出力500 N，额定速度500 mm/s，满足Stewart平台辅助无人机降落的速度和承载要求.

3.2 Stewart平台运动控制算法

无人机降落过程中受操作和环境影响，其位姿在一定范围内随机变化. 为了主动适应无人机的位姿，辅助其降落，根据无人机与Stewart平台的动平台之间的位姿偏差，结合虎克铰干涉模型，建立Stewart平台运动控制算法，如图13所示.

图13中，运动控制算法包括无人机跟踪偏差计算、基于虎克铰干涉模型的运动学分解以及6自由度平台运动控制3个部分，其中，无人机跟踪偏差计算^［19］和6自由度平台运动控制^［20］为成熟技术，基于虎克铰干涉模型的运动学分解是将虎克铰干涉模型作为虎克铰转角超限判定条件，通过动平台位姿计算12个虎克铰的转角，根据虎克铰转角与工作空间边界之间关系，确定运动的可行性.

建立动平台运动与虎克铰转角之间关系是Stewart平台铰座干涉判定的关键. 本研究采用矢量变换方法，建立Stewart平台运动与虎克铰转角之间的关系. 取动平台运动量为\Delta，对支链A₁B₁进行分析. 设下铰座B₁的固定支座竖直向上方向为Z_{B\mathrm{1}}，十字轴与固定支座的转轴为X_{B\mathrm{1}}，Y_{B\mathrm{1}}轴为Z_{B\mathrm{1}}与X_{B\mathrm{1}}的叉乘，十字轴与运动支座的转轴为y_{B\mathrm{1}}，电动缸轴线方向为z_{B\mathrm{1}}， y_{B\mathrm{1}}与X_{B\mathrm{1}}正交，z_{B\mathrm{1}}垂直于X_{B\mathrm{1}}与y_{B\mathrm{1}}所决定的平面，下铰座B₁中心到铰点中心S连线的单位向量为{\mathit{V}}_{BS}. 动平台相对于定平台中心S的位姿为{}_{\mathrm{0}}{}^S\mathit{T}，A₁固定支座相对于动平台坐标系\left\{O\right\}的位姿为{}_{A\mathrm{1}}{}^{\mathrm{0}}\mathit{T}，B₁固定支座相对于定平台坐标系\left\{S\right\}的位姿为{}_{B\mathrm{1}}{}^S\mathit{T}，A₁的固定支座相对于B₁的固定支座的位姿矩阵{}_{A\mathrm{1}}{}^{B\mathrm{1}}T为：

{}_{A\mathrm{1}}{}^{B\mathrm{1}}\mathit{T}=({}_{B\mathrm{1}}{}^S\mathit{T}{)}^{-\mathrm{1}}{}_{\mathrm{0}}{}^{S}T\Delta {}_{A\mathrm{1}}{}^{\mathrm{0}}\mathit{T}（14）

{}_{A\mathrm{1}}{}^{B\mathrm{1}}\mathit{T}决定B₁的运动支座的z_{B\mathrm{1}}，即铰座姿态由Stewart平台的铰点分布及动平台运动\Delta决定. B₁的固定支座相对于\left\{S\right\}的位姿为{}_{B\mathrm{11}}{}^S\mathit{T}，B₁的运动支座相对于\left\{S\right\}的位姿为{}_{B\mathrm{12}}{}^S\mathit{T}，有

{}_{B\mathrm{11}}{}^S\mathit{T}={\left[\begin{array}{cccc}{X}_{B\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}& (Z_{B\mathrm{1}}\times X_{B\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}& Z_{B\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{V}}_{BS}^{\mathrm{T}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]}_{\mathrm{4}\times \mathrm{4}}（15）

{}_{B\mathrm{12}}{}^S\mathit{T}={\left[\begin{array}{cccc}(z_{B\mathrm{1}}\times X_{B\mathrm{1}}\times z_{B\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}& (z_{B\mathrm{1}}\times X_{B\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}& z_{B\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{V}}_{BS}^{\mathrm{T}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]}_{\mathrm{4}\times \mathrm{4}}（16）

建立B₁运动支座与固定支座之间的位姿关系为：

{}_{B\mathrm{12}}{}^{B\mathrm{11}}\mathit{T}=({}_{B\mathrm{11}}{}^S\mathit{T}{)}^{-\mathrm{1}}{}_{B\mathrm{12}}{}^S\mathit{T}（17）

根据欧拉角与位姿变换矩阵关系，可得到下铰座B₁虎克铰两个正交转角分别为：

\left\{\begin{array}{c}{\alpha }_{B\mathrm{1}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left[\frac{{}_{B\mathrm{12}}{}^{B\mathrm{11}}\mathit{T}(\mathrm{3,2})}{{}_{B\mathrm{12}}{}^{B\mathrm{11}}\mathit{T}(\mathrm{2,2})}\right]\\ {\beta }_{B\mathrm{1}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left[{}_{B\mathrm{12}}{}^{B\mathrm{11}}\mathit{T}(\mathrm{1,3})\right]\end{array}\right.（18）

式（18）描述了Stewart平台的动平台运动与虎克铰转角之间的关系，结合式（2）、式（3）、式（7）、式（9），可建立支链A₁B₁虎克铰转角超限的理论判据. 参照式（18）可建立动平台运动与其他虎克铰转角之间的关系，并建立其他支链虎克铰转角超限的理论判据.

3.3 Stewart平台运动实验

建立辅助无人机降落的Stewart平台样机，将干涉模型与Stewart平台运动控制相结合，进行典型工况干涉运动实验，验证斜棱柱虎克铰干涉模型对Stewart平台极限位姿运动的影响. Stewart平台的8个典型实验工况如下.

工况1~工况4分别为动平台在（0，0，900 mm）处绕X轴转动20°和-20°，绕Y轴转动20°和-20°；工况5~工况8为动平台在（0，200 mm，900 mm）处绕X轴和 Y轴分别转动8°，绕X轴和Y轴分别转动8°和-8°，绕X轴和Y轴分别转动-8°和8°，绕X轴和Y轴分别转 动-8°.

Stewart平台实施8个大范围运动实验工况如 图14所示，8个工况的虎克铰转角分布情况如图15所示.

由图15可知，上虎克铰转角分布与下虎克铰转角分布有明显不同，其原因是Stewart平台运动过程中，与虎克铰相连的机构运动幅度不同. 虎克铰转角由运动支座和固定支座的相对位姿决定，其中下虎克铰的固定支座与定平台固联，其运动支座与电动缸固联，则其转角变化主要受电动缸姿态影响；上虎克铰的运动支座与动平台固联，其固定支座与电动缸固联，则其转角变化主要受电动缸姿态和动平台姿态两个因素的影响. 由于动平台位姿变化大，上虎克铰受动平台姿态影响显著，因此，上虎克铰转角幅度大于下虎克铰.

8个工况的虎克铰转角如表3所示. 根据式（2）、式（3）、式（8）、式（9）决定的虎克铰工作空间边界

β（α）和不同工况虎克铰的正交转角对（α_x，β_x ），令 e（α_x ）=β（α_x ）-\left|{\beta }_x\right|，可得12个虎克铰的正交转角与工作空间边界的距离e（α_x ），如表4所示.

表3所示8个工况中，上虎克铰的转角最大值为34.8°，远大于动平台转角；而下虎克铰的转角最大值为24.4°，接近动平台转角，说明上虎克铰发生结构干涉的可能性要显著大于下虎克铰. 对比工况1和工况2可知，当动平台在中位处绕X轴转动时，同一工况中第1和第6、第2和第5、第3和第4支链的铰座转角相等；对比工况3和工况4、工况5和工况6、工况7和工况8可知，当动平台绕Y轴正反向转动相同角度时，每一对工况中第1和第6、第2和第5、第3和第4支链的铰座转角相等. 这一现象的原因在于，图11中Stewart平台3组铰点，即铰点1与6、2与5、3与4关于Y轴对称，且距离X轴的距离相同，当动平台在中位处绕X轴转动时，三组铰点同向转动；当动平台绕Y轴正反向转动时，3组铰点反向转动.

根据表4和图15，工况3~工况6的上铰座转角都存在接近转角极限的情况，且上铰座转角接近转角极限处都在工作空间边界曲线的中部，结合虎克铰干涉状态分析可知，这些工况发生的干涉是棱柱内-外棱线干涉或棱柱内-内棱线干涉，说明Stewart平台大范围运动条件下，铰座发生第3种或第4种干涉的可能性更大.

从图15可知，8个工况的虎克铰转角均处于虎克铰的转角范围内，在干涉工况3~工况6中虎克铰转角不超过理论转角极限0.3°，说明铰座干涉模型对于Stewart平台铰座避障具有明显效果；在工况5~工况8中，Stewart平台的动平台均为Y向200 mm处，其中，工况5和工况6存在上铰座虎克铰接近转角极限情况，而工况7和工况8的上铰座虎克铰的转角全部远离转角极限，说明Stewart平台在工作空间不同边界具有不同运动能力，这对于辅助无人机降落具有重要意义.

4 结 论

1）研究了斜棱柱虎克铰绕中心轴转动条件下结构参数关系，建立了几种典型干涉状态下虎克铰工作空间，探讨了虎克铰工作空间的定量评价指标，建立了斜棱柱虎克铰的设计准则，为斜棱柱虎克铰结构设计提供参考依据.

2）将斜棱柱虎克铰干涉模型与Stewart平台运动学正解算法相结合进行Stewart平台大范围运动实验，实验结果表明，虎克铰最大转角不超过理论转角极限0.3°，验证了铰座干涉模型解决Stewart平台发生铰座干涉问题的可行性，提高了Stewart平台大范围运动的安全性.

3）将8个大范围运动工况中包含转动和平移的动平台位姿映射入虎克铰工作空间进行Stewart平台工作空间评价，相对于定姿态或定位置的Stewart平台工作空间评价方法，这一方法具有考虑动平台位姿全面且评价具有直观性等优点，为Stewart平台工作空间评价提供新方法.

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基金资助

起重机械关键技术全国重点实验室开放基金项目（SKLCM2022-02）; 湖南省自然科学基金资助项目（2025JJ50225）; 国家留学基金资助项目（202406720053）