多因素影响下非饱和有限土体非极限土压力解

Non-limit state earth pressure solution for unsaturated limited soils under effect of multiple factors

摘要

为探明刚性挡墙平行移动（T模式）下非饱和有限土体非极限状态土压力的变化规律，解决既有土压力计算方法中对墙体位移、水平剪应力及土体强度参数等多因素耦合作用考虑不全的难题，基于土拱效应原理与微分单元法框架，综合考虑非饱和土体强度参数、墙体位移、层间水平剪应力及墙-土界面摩擦特性，建立了非饱和有限土体非极限土压力解析解.通过与已有模型试验结果对比验证了所提方法的合理性与准确性；通过设计正交试验对关键参数进行显著性分析.研究结果表明，非饱和有限土体非极限土压力沿深度方向呈非线性分布，非极限土压力随土体有效内摩擦角、有效黏聚力、位移比及折减系数的增大而减小，且随有限土体宽高比及地面超载的增大而增大；层间水平剪应力并不影响非极限土压力合力大小，但会降低土压力合力作用点位置，忽略层间水平剪应力的影响会低估挡墙抗倾覆稳定性.本文方法可为实际工程中挡土结构经济性设计提供理论指导.

Abstract

To investigate the variation pattern of non-limit state earth pressure in unsaturated limited soils under the parallel translation mode （T-mode） of rigid retaining walls， and to address the inadequacies in existing calculation methods regarding the coupled effects of wall displacement， horizontal shear stress， and soil strength parameters， an analytical solution for non-limit state earth pressure is developed based on the principle of soil arching effect and the framework of the differential element method. The proposed method comprehensively considers the effects of unsaturated soil strength parameters， wall displacement， interlayer horizontal shear stress， and wall-soil interface friction characteristics. Its rationality and accuracy are validated through comparison with existing experimental results. Additionally， an orthogonal experimental design is employed to analyze the significance of key influencing parameters. The results reveal that the non-limit earth pressure in unsaturated limited soils exhibits a nonlinear distribution with depth. It decreases with increasing effective internal friction angle， effective cohesion， displacement ratio， and reduction factor， while it increases with greater soil width-to-height ratio and surface surcharge. Although the interlayer horizontal shear stress does not affect the magnitude of the resultant earth pressure， it lowers the point of application of this force； neglecting its influence would lead to an underestimation of the wall’s overturning stability. The proposed method provides theoretical guidance for the economical design of retaining structures in practical engineering applications.

Graphical abstract

关键词

有限土体 / 非极限状态 / 主动土压力 / 土拱效应 / 非饱和土

Key words

limited soils / non-limit state / active earth pressure / soil arching effect / unsaturated soils

挡土墙侧压力计算是岩土工程领域的基础课题，其理论发展始终围绕工程实践需求展开.以Rankine和Coulomb理论为代表的经典土压力计算方法基于极限平衡原理建立^［1-2］，其半无限空间分布、土体完全饱和或干燥的简化假设虽便于应用，却难以匹配实际工程中复杂的水文地质条件与结构力学响应.随着城市地下空间的日益开发，实际工程邻近建筑物或已有基岩施工时，时常遭遇挡土结构物间存在有限土体的工况^［3-4］（如相邻基坑开挖或基坑邻近地下室开挖、山区道路临近基岩修建等工况）.有限土体滑裂面发展机制与土拱效应显著区别于半无限空间内的土体；同时，土压力在由静止状态至极限状态的过程中是逐渐发展的，挡墙非极限位移将导致土体强度参数渐进发挥，土压力分布将呈现出典型非线性特征^［5-6］.因此，探明挡土墙位移达到极限前任意状态的主动土压力大小，完善非饱和有限土体非极限状态土压力计算理论，对实际工程中挡土结构物的合理设计具有参考意义.

针对这些问题，国内外许多学者进行了广泛研究.在挡土墙位移模式与土体渐进破坏机制方面，Bang和Fang等先后研究了土体从静止状态到极限状态的渐进破坏特性，并指出墙体位移直接影响土压力分布规律^［7-8］；杨明辉等^［3］、Khosravi等^［4］先后针对墙后有限宽度无黏性砂土主动土压力分布进行了室内模型试验数值模拟计算，指出有限填土条件下主动土压力系数随宽高比减小呈非线性下降，其破坏面倾角受土体约束边界的显著影响；邓波等^［9］针对墙后非饱和砂土进行了主动平移模式下的室内模型箱试验，研究了有限非饱和土的破坏模式和侧向土压力分布规律；方焘等^［10］进一步发现浸水后的有限砂土在不同位移模式下会产生不同的破裂面形态，指出水土耦合作用对土压力计算具有不可忽略的影响.在土拱效应演化方面，Fu等^［11］通过引入层间剪应力修正系数，推导了考虑土拱效应影响的主动土压力解析解，但其模型未涵盖位移非极限状态下的土体强度参数渐进发挥规律；Lai等^［12］利用活动门试验研究了土拱效应和土体强度参数对黏土破坏机制的影响.在非极限状态土压力计算方面，赖丰文等^［13］采用数值模拟探明了滑裂面分布情况，并建立了有限宽度填土挡墙主动土压力的普适解法；徐日庆等^［14-15］考虑了墙体位移发展导致的土拱效应，分别建立了有限宽度黏性土非极限状态下主动和被动土压力的解析解；杨明辉等^［16］通过室内模型试验研究了刚性挡墙在主动平动模式下的土压力分布特性，以不同含水率砂土为研究对象，分析了墙体位移与非饱和土基质吸力对主动土压力分布演化规律的影响；杨宇哲等^［17］针对绕墙底转动模式下的挡土墙受到地震荷载作用下的非极限被动土压力展开研究，分析了摩擦角、位移大小和地震加速度对非极限状态土压力分布的影响.

既有研究针对有限土体土压力的计算多是针对完全饱和或完全干燥土体，考虑基质吸力与净法向应力影响的非饱和土土压力计算理论有待完善；与此同时，既有研究大都建立在极限状态，若要探明挡土结构物位移发展达到极限前任意状态的主动土压力大小，则必须建立位移发展导致土体渐进破坏过程的关系^［18］；此外，现有模型多独立分析土体强度、位移模式或土拱效应等单因素影响，非饱和填土强度参数变化、层间剪应力及渐进破坏特征等因素综合影响下的土压力变化规律仍需进一步探讨.因此，探明挡土墙位移达到极限前任意状态的土压力大小，完善非饱和有限土体非极限状态土压力计算理论，对实际工程中挡土结构物的合理设计具有参考意义.

本文基于微分单元法框架，建立了一种能综合考虑非饱和填土强度参数、墙体位移、层间水平剪应力以及土拱效应影响的非饱和有限土体主动土压力计算方法，并建立了对应解析解.结合非饱和土应力Mohr圆获取非极限状态下土体强度参数与墙体位移的关系，依据土拱效应原理对非饱和有限土体进行应力分析，依据水平与竖直方向的静力平衡方程构建沿深度方向的主动土压力解析解.通过与已有模型试验结果对比验证，进一步证明所提方法的合理性与准确性，基于回归分析对关键参数影响进行显著性分析与讨论，以期为具体工程设计提供思路与建议.

1 基本假定

实际工程中的非饱和土土压力分布情况受到各方面因素的影响，加之考虑了土拱效应与墙体位移发展导致土体内摩擦角渐进发挥，情况比较复杂.为了简化计算，作出如下几点基本假定：

1）研究对象为两刚性挡墙间的非饱和有限黏性土体，左右刚性挡墙墙背竖直，填土面水平，上方作用均布荷载q₀，其受力视为平面应变问题.墙间有限非饱和土为均质且各向同性土层，非饱和土抗剪强度满足Fredlund等^［19］提出的非饱和土抗剪强度公式.

2）两墙间非饱和有限土体宽度为B，挡墙总高度为H.考虑墙体位移影响，刚性挡墙平行移动（T模式），在有限土体内部形成倾斜角为β的平面滑裂面；有限土体以滑裂面与竖直面交点为界分为上下两部分，上方为矩形区（Ⅰ区），下方为三角区（Ⅱ区），高度分别为h和H-h.其中矩形区高度h可按 式（1）求得：

h=H-B\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta（1）

3）左右刚性挡墙墙背粗糙，界面摩擦角不同，左侧墙-土界面摩擦角为δ，墙土之间黏聚力为c_w；右侧墙-土界面摩擦角为α，墙土之间黏聚力为c_d.墙-土界面遵循Mohr-Coulomb强度准则.

4）非饱和有限土体采用水平微分单元法建模，同一水平微分土条上的土体单元处于同一应力Mohr圆；考虑土拱效应存在，小主应力σ₃偏转导致土拱效应产生，并将小主应力迹线假定为圆弧拱迹线.

5）考虑张拉裂缝存在，非饱和土有效黏聚力使得墙后土体存在张拉裂缝与零侧压力区，开裂土体自重作为附加超载用于计算裂缝高度以下竖向应力，张拉裂缝高度h_f 满足：

h_{\mathrm{f}}=\frac{c_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}{\phi }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}}{\gamma \left(\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta +K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\gamma \right)}-\frac{c_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}{\phi }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}}{\gamma }-\frac{q_{\mathrm{0}}}{\gamma }（2）

式中：c_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}为土体黏聚力发挥值；{\phi }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}为非极限状态下土体有效内摩擦角；\gamma为非饱和土重度；\theta为应力偏转角，满足\theta =\mathrm{\pi }/\mathrm{4}-{\phi }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}/\mathrm{2}；K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}为朗肯主动土压力系数；q_{\mathrm{0}}为地表均布荷载.

基于上述假设建立的理论模型如图1所示.

2 非饱和土抗剪强度渐进发挥过程

2.1 非饱和土抗剪强度计算

非饱和土强度受基质吸力的影响，通常选用VG模型^［16］来计算基质吸力与体积含水率的关系，该模型能够表示全负压范围内的水土特征曲线，对不同类型土体有较高的拟合精度，适用性广泛：

S_{\mathrm{e}}=\frac{\omega -{\omega }_{\mathrm{r}}}{{\omega }_{\mathrm{s}}-{\omega }_{\mathrm{r}}}={\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{\left[\alpha \left(u_{\mathrm{a}}-u_{\mathrm{w}}\right)\right]}^n}\right\}}^{\mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{n}}（3）

式中：S_e为有效饱和度；ω_s和ω_r分别为土体的饱和含水率和残余含水率；ω为土体的体积含水率；u_a和u_w分别为孔隙气压力与孔隙水压力；α和n为VG模型的拟合参数，可根据SWCC曲线确定.

Fredlund等^［19］基于Mohr-Coulomb强度准则提出非饱和土的抗剪强度 τ_f的计算公式，用净法向应力（σ-u_a）和基质吸力（u_a-u_w）两个应力变量来表征孔隙水压力与孔隙气压力的影响，如图2所示.

{\tau }_{\mathrm{f}}=c^{\mathrm{\text{'}}}+\left(\sigma -u_{\mathrm{a}}\right)\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\phi }^{\mathrm{\text{'}}}+\left(u_{\mathrm{a}}-u_{\mathrm{w}}\right)\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\phi }^b（4）

Vanapalli等^［20］指出，基质吸力对应的内摩擦角φ^b 通常随基质吸力变化，建议采用经验公式：

\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\phi }^b=\frac{\omega -{\omega }_{\mathrm{r}}}{{\omega }_{\mathrm{s}}-{\omega }_{\mathrm{r}}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi \mathrm{\text{'}}（5）

2.2 土体强度参数与墙体位移的关系

对于地下空间施工而言，挡土结构物与周围土体的相对位移方向在施工期或服役期均可能会发生改变，导致周边土体处于不同的主动或被动状态，土压力值将随着土层主动损失或被动挤压而逐渐动态发展.若要探明有限土体变形达到破坏前任意状态的土压力大小，则必须建立土压力变化和位移发展导致土体渐进破坏过程的关系.其中，结合三轴卸荷试验与应力Mohr圆获取非极限状态下土体内摩擦角与墙体位移的关系更能符合土体的变形机制^［14］，本节以此为基础进行研究.

为了方便后续分析与计算，记σ_m=σ-u_a，c_m=c_{\mathrm{m}}^{\text{'}}+（u_a-u_w）tan{\phi }_{\mathrm{m}}^{\text{'}}，此时非饱和土的抗剪强度表示为 τ_f=σ_mtanφ'+c_m；接着将坐标向左平移Δσ=c_mcot{\phi }_{\mathrm{m}}^{\text{'}}，其中新坐标系下法向应力σ^* 可表示为：

{\sigma }^{\mathrm{*}}={\sigma }_{\mathrm{m}}+\mathrm{\Delta }\sigma（6）

当墙体位移发展导致墙间土体处于中间非极限状态时，土体有效内摩擦角φ'与有效黏聚力c'并不能完全发挥，而是处于初始值和极限值之间的某个值.墙后非饱和土体非极限状态下有效内摩擦角{\phi }_{\mathrm{m}}^{\text{'}}随位移比η变化的关系^［14-15］为：

\begin{array}{l}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{m}}^{\text{'}}=\left\{(\mathrm{1}-K_{\mathrm{0}})(\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi \mathrm{\text{'}})[\mathrm{1}-(\mathrm{1}-\eta )R_f]+\right.\\ \left.\eta [K_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi \mathrm{\text{'}}(K_{\mathrm{0}}+\mathrm{1})]\right\}/\end{array}

\begin{array}{l}\left\{(\mathrm{1}+K_{\mathrm{0}})(\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi \mathrm{\text{'}})[\mathrm{1}-(\mathrm{1}-\eta )R_{\mathrm{f}}]-\right.\\ \left.\eta [K_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi \mathrm{\text{'}}(K_{\mathrm{0}}+\mathrm{1})]\right\}\end{array}（7）

式中：K₀为静止侧土压力系数；η为非极限主动状态下墙底位移与极限主动状态下墙底位移的比值；R_f为破坏比，取值一般为0.75~1，若无试验资料可取中间值0.85进行估算；{\phi }_{\mathrm{m}}^{\text{'}}为中间状态的有效内摩擦角；φ'为极限状态的有效内摩擦角.

对于左侧刚性挡墙与有限土体间的界面摩擦角{\delta }_{\mathrm{m}}^{\text{'}}，Fang等^［8］的模型试验以及Matsuzawa等^［21］数值模拟结果表明其随位移呈非线性增加：

\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\delta }_{\mathrm{m}}^{\text{'}}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\delta }_{\mathrm{0}}^{\text{'}}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{\pi }}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\eta (\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\delta \mathrm{\text{'}}-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\delta }_{\mathrm{0}}^{\text{'}})（8）

式中：{\delta }_{\mathrm{0}}^{\text{'}}=φ'/2；δ'为实测墙-土界面摩擦角，缺乏资料时可取δ'=2φ'/3.对于右侧挡墙与有限土体间的界面摩擦角{\alpha }_{\mathrm{m}}^{\text{'}}也有相同的结论，这里不再赘述.

假设土体黏聚力发挥值c_{\mathrm{m}}^{\text{'}}和墙土之间黏聚力发挥值c_{\mathrm{w}\mathrm{m}}^{\text{'}}、c_{\mathrm{d}\mathrm{m}}^{\text{'}}随深度和位移都具有相同变化规律，可得：

c_{\mathrm{m}}^{\text{'}}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{m}}^{\text{'}}/\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi \mathrm{\text{'}}c\mathrm{\text{'}}（9）

c_{\mathrm{w}\mathrm{m}}^{\text{'}}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{m}}^{\text{'}}/\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi \mathrm{\text{'}}{c}_{\mathrm{w}}^{\text{'}}（10）

c_{\mathrm{d}\mathrm{m}}^{\text{'}}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{m}}^{\text{'}}/\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi \mathrm{\text{'}}{c}_{\mathrm{d}}^{\text{'}}（11）

式中：c\mathrm{\text{'}}为有限土体的有效黏聚力；c_{\mathrm{d}}^{\text{'}}为右侧墙-土界面的有效黏聚力；c_{\mathrm{w}}^{\text{'}}为左侧墙-土界面的有效黏聚力，缺乏资料时可取c_{\mathrm{w}}^{\text{'}}=2c'/3.

3 非饱和有限土体应力分析

3.1 Ⅰ区静力平衡方程

将Ⅰ区非饱和有限土体沿深度方向水平划分为若干层，薄层土体所受平均竖向应力为{\sigma }_{\mathrm{v}}，左侧墙面处的法向作用力{\sigma }_{\mathrm{w}\mathrm{m}}=K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{1}}{\sigma }_{\mathrm{v}}，左侧墙面处的切向作用力{\tau }_{\mathrm{w}}={\sigma }_{\mathrm{w}\mathrm{m}}\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\delta }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}+c_{\mathrm{w}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}；右侧墙面处的法向作用力为{\sigma }_{\mathrm{d}\mathrm{m}}，右侧墙面处的切向作用力{\tau }_{\mathrm{d}}={\sigma }_{\mathrm{d}\mathrm{m}}\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}+c_{\mathrm{d}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}.微分土条水平层间剪应力{\tau }_{\mathrm{h}}=K_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{1}}{\sigma }_{\mathrm{v}}，{\sigma }_{\mathrm{v}}为薄层土体所受平均竖向应力，K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{1}}和K_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{1}}分别为原坐标系下Ⅰ区域挡土墙后土体侧主动土压力系数和有限土体层间剪应力系数，薄层土体重度为\gamma.Ⅰ区土体受力如图3所示.

根据图3所示土体受力示意，分别建立水平方向和竖直方向受力平衡方程：

{\sigma }_{\mathrm{w}\mathrm{m}}\mathrm{d}z-{\sigma }_{\mathrm{d}\mathrm{m}}\mathrm{d}z+B\mathrm{d}{\tau }_{\mathrm{h}}=\mathrm{0}（12）

{\tau }_{\mathrm{w}}\mathrm{d}z+{\tau }_{\mathrm{d}}\mathrm{d}z-\gamma B\mathrm{d}z+B\mathrm{d}{\sigma }_{\mathrm{v}}=\mathrm{0}（13）

因此可建立平衡微分方程：

\frac{\mathrm{d}{\sigma }_{\mathrm{v}}}{\mathrm{d}z}+D{\sigma }_{\mathrm{v}}+F=\mathrm{0}（14）

D=\frac{K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{1}}(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\delta }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}})}{B(\mathrm{1}+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}{K}_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{1}})}（15）

F=\frac{c_{\mathrm{w}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}+c_{\mathrm{d}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}-\gamma B}{B(\mathrm{1}+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}{K}_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{1}})}（16）

边界条件为z=h_f时：

{\sigma }_{\mathrm{v}}^{\mathrm{Ⅰ}}\left(z=h_{\mathrm{f}}\right)=q_{\mathrm{0}}+\gamma h_{\mathrm{f}}（17）

因此，Ⅰ区深度z（h_f≤z≤h）处竖向应力为：

{\sigma }_{\mathrm{v}}^{\mathrm{Ⅰ}}\left(z\right)=C_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-Dz}-\frac{F}{D}（18）

C_{\mathrm{1}}={\mathrm{e}}^{D{h}_{\mathrm{f}}}\left(q_{\mathrm{0}}+\gamma h_{\mathrm{f}}+\frac{F}{D}\right)（19）

3.2 Ⅱ区静力平衡方程

将Ⅱ区有限土体沿深度方向水平划分为若干层，薄层土体所受平均竖向应力为{\sigma }_{\mathrm{v}}，左侧墙面处的法向作用力{\sigma }_{\mathrm{w}\mathrm{m}}=K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{v}}，左侧墙面处的切向作用力{\tau }_{\mathrm{w}}={\sigma }_{\mathrm{w}\mathrm{m}}\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\delta }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}+c_{\mathrm{w}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}；作用于滑动面上的法向作用力为{\sigma }_{\mathrm{s}\mathrm{m}}^{}，作用于滑动面上的切向作用力为{\tau }_{\mathrm{s}}，G为薄层土体所受重力，如图4所示.

根据图4所示土体受力示意，分别建立水平方向和竖直方向受力平衡方程：

{\sigma }_{\mathrm{w}\mathrm{m}}\mathrm{d}z-{\sigma }_{\mathrm{s}\mathrm{m}}\mathrm{d}z+({\sigma }_{\mathrm{s}\mathrm{m}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}+c_{\mathrm{m}})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\beta \mathrm{d}z+

\left(B_{\mathrm{z}}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\beta \mathrm{d}z\right)\left({\tau }_{\mathrm{h}}+\mathrm{d}{\tau }_{\mathrm{h}}\right)-B_{\mathrm{z}}{\tau }_{\mathrm{h}}=\mathrm{0}（20）

{\tau }_{\mathrm{w}}\mathrm{d}z+{\tau }_{\mathrm{s}}\mathrm{d}z-B_{\mathrm{z}}{\sigma }_{\mathrm{v}}+{\sigma }_{\mathrm{s}\mathrm{m}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\beta \mathrm{d}z+

\left(B_{\mathrm{z}}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\beta \mathrm{d}z\right)\left({\sigma }_{\mathrm{v}}+\mathrm{d}{\sigma }_{\mathrm{v}}\right)-

\gamma \left[B_{\mathrm{z}}-\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\beta \mathrm{d}z\right)/\mathrm{2}\right]\mathrm{d}z=\mathrm{0}（21）

B_{\mathrm{z}}为三角区薄层土体宽度，因此可建立平衡微分方程：

\frac{\mathrm{d}{\sigma }_{\mathrm{v}}}{\mathrm{d}z}+\frac{N}{H-z}{\sigma }_{\mathrm{v}}+\frac{I}{H-z}+P=\mathrm{0}（22）

N=\frac{K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{2}}(\mathrm{1}-T\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\delta }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}})}{(K_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{2}}-T)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\beta }-\mathrm{1}（23）

I=\frac{c_{\mathrm{m}}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\beta -T)-c_{\mathrm{w}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}T}{(K_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{2}}-T)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\beta }（24）

P=\frac{\gamma T}{K_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{2}}-T}（25）

T=\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\beta -\mathrm{1}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\beta +\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}}（26）

式中：K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{2}}和K_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{2}}分别为原坐标系下Ⅱ区域挡土墙后土体侧主动土压力系数和有限土体层间剪应力系数.

一阶非齐次线性微分方程（22）的通解为：

{\sigma }_{\mathrm{v}}^{\mathrm{Ⅱ}}\left(z\right)=Q{\left(H-z\right)}^N+\frac{P}{\mathrm{1}-N}\left(H-z\right)-\frac{I}{N}（27）

代入边界条件{\sigma }_{\mathrm{w}}^{\mathrm{Ⅰ}}\left(z=h\right)={\sigma }_{\mathrm{w}}^{\mathrm{Ⅱ}}\left(z=h\right)即可求出常数项Q，{\sigma }_{\mathrm{v}}^{\mathrm{Ⅰ}}和{\sigma }_{\mathrm{v}}^{\mathrm{Ⅱ}}分别为Ⅰ区域和Ⅱ区域墙体受到的水平侧土压力.

\begin{array}{l}Q={\left(H-h\right)}^{-N}\cdot \\ \left[\frac{K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{1}}}{K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{2}}}{C}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-Dh}-\frac{K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{1}}}{K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{2}}}\frac{F}{D}+\frac{I}{N}-\frac{P}{\mathrm{1}-N}\left(H-h\right)\right]\end{array}（28）

3.3 Ⅰ区土拱效应分析及侧压力系数

挡土结构物发生位移挤压土体形成非极限土压力时，若墙背并非处于光滑状态，墙土间摩擦以及变形土体与稳定土体之间的剪切摩擦将导致土体应力偏转，进而出现土拱效应^［5，12］.对于有限土体而言，其受到的侧向挤压作用增强，更易形成土拱进而影响土压力分布.因此，在有限宽度非饱和土体中应用土拱理论进行土压力计算更为科学.既有研究表明，不同主应力迹线形态对土压力计算影响较小^{［6，12-15］}，为简化计算，本研究假设小主应力偏转导致土拱效应产生，小主应力拱轴线为圆弧迹线.此时，Ⅰ区域应力偏转见图5.

假设微分单元的滑裂面为Coulomb滑裂面，由图5中的几何关系可知微滑裂体宽度与半径的关系为：

R=\frac{B}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}（29）

式中：{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}与{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}分别为A、B点滑裂面处的小主应力偏角，其满足：

{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\delta }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}})-{\delta }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}\right]（30）

{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}})-{\alpha }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}\right]（31）

因此，新坐标系下微分单元体竖向应力、水平向应力和剪应力分别为：

{\sigma }_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}=(\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\theta +K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta ){\sigma }_{\mathrm{1}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}（32）

{\sigma }_{\mathrm{h}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}=(\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta +K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\theta ){\sigma }_{\mathrm{1}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}（33）

{\tau }_{\mathrm{h}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{2}\theta (\mathrm{1}-K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}){\sigma }_{\mathrm{1}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{2}}（34）

式中：{\sigma }_{\mathrm{1}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}=\gamma z+q_{\mathrm{0}}+c_{\mathrm{m}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}{\phi }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}为土单元体在新坐标下的大主应力，后续推导中可约去.

朗肯主动土压力系数K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}值为：

K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{\mathrm{1}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}}{\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}}=\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{4}}-\frac{{\phi }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}}{\mathrm{2}}\right)（35）

新坐标系下平均竖向应力{\overline{\sigma }}_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}为：

\begin{array}{l}{\overline{\sigma }}_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}=\frac{\mathrm{1}}{B}{\int }_{{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}}^{\mathrm{\pi }-{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}{\sigma }_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}R\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{d}\theta =\\ \frac{(K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}-\mathrm{1}){\sigma }_{\mathrm{1}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}(\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}})}{\mathrm{3}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}})}+{\sigma }_{\mathrm{1}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}\end{array}（36）

因此，新坐标系下Ⅰ区域挡土墙后土体侧主动土压力系数K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}为：

K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}=\frac{{\sigma }_{\mathrm{h}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}}{{\overline{\sigma }}_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}}=\frac{\mathrm{3}(\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}+K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}})}{(K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}-\mathrm{1})\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}+\mathrm{3}}（37）

通过坐标转化，即可得到原坐标系下Ⅰ区域挡土墙后土体侧主动土压力系数K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{1}}为：

K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{1}}^{}=K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}+\left(K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}-\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{{\overline{\sigma }}_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}-\mathrm{\Delta }\sigma }（38）

新坐标系下层间平均剪应力{\overline{\tau }}_{\mathrm{h}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}为：

\begin{array}{l}{\overline{\tau }}_{\mathrm{h}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}=\frac{\mathrm{1}}{B}{\int }_{{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}}^{\mathrm{\pi }-{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}{\tau }_{\mathrm{h}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}R\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{d}\theta =\\ \frac{(\mathrm{1}-K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}})(\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}-\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}})}{\mathrm{3}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}})}{\sigma }_{\mathrm{1}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}\end{array}（39）

因此，Ⅰ区域新坐标系下有限土体层间剪应力系数K_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}为：

K_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}=\frac{{\overline{\tau }}_{\mathrm{h}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}}{{\overline{\sigma }}_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}}=\frac{(\mathrm{1}-K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}})\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}-\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}}{\mathrm{3}-(\mathrm{1}-K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}})\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}}（40）

通过坐标转化，即可得到原坐标系下Ⅰ区域有限土体层间剪应力系数K_hm1为：

K_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{1}}=K_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\frac{{\overline{\sigma }}_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}}{{\overline{\sigma }}_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}-\mathrm{\Delta }\sigma }（41）

3.4 Ⅱ区土拱效应分析及侧压力系数

Ⅱ区域土拱效应如图6所示.

由图6中Ⅱ区域的几何关系可知微滑裂体宽度与半径的关系为：

R=\frac{B}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}（42）

Ⅱ区域有限土体两侧的主应力偏转角{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}和{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}分别为：

{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\delta }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}})-{\delta }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}\right]（43）

{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{4}}-\frac{{\phi }_{\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}}{\mathrm{2}}+\beta（44）

新坐标系下平均竖向应力{\overline{\sigma }}_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}为：

\begin{array}{l}{\overline{\sigma }}_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}=\frac{\mathrm{1}}{B_{\mathrm{z}}}{\int }_{{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}}^{{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}{\sigma }_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}R\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{d}\theta =\\ \frac{(K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}-\mathrm{1}){\sigma }_{\mathrm{1}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}(\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}})}{\mathrm{3}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}})}+{\sigma }_{\mathrm{1}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}\end{array}（45）

因此，Ⅱ区域新坐标系下挡土墙后土体侧主动土压力系数K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}为：

K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{\mathrm{3}(\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}+K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}})}{(K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}}-\mathrm{1})\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}+\mathrm{3}}（46）

通过坐标转化，即可得到三角形区域原坐标系下挡土墙后土体侧主动土压力系数K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{2}}为：

K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{2}}=K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}+\left(K_{\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}-\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{{\overline{\sigma }}_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}-\mathrm{\Delta }\sigma }（47）

新坐标系下层间平均剪应力{\overline{\tau }}_{\mathrm{h}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}为：

\begin{array}{l}{\overline{\tau }}_{\mathrm{h}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}=\frac{\mathrm{1}}{B}{\int }_{{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}}^{\mathrm{\pi }-{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}{\tau }_{\mathrm{h}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}R\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{d}\theta =\\ \frac{(\mathrm{1}-K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}})(\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}-\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}})}{\mathrm{3}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}})}{\sigma }_{\mathrm{1}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}\end{array}（48）

因此，新坐标系下Ⅱ区域有限土体层间剪应力系数K_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}为：

K_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{{\overline{\tau }}_{\mathrm{h}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}}{{\overline{\sigma }}_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}}=\frac{(\mathrm{1}-K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}})\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}-\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}}{\mathrm{3}-(\mathrm{1}-K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\mathrm{\text{'}}})\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{A}\mathrm{m}}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{B}\mathrm{m}}}}（49）

通过坐标转化，即可得到原坐标系下Ⅱ区域有限土体层间剪应力系数K_hm2为：

K_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{2}}=K_{\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}\frac{{\overline{\sigma }}_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}}{{\overline{\sigma }}_{\mathrm{v}\mathrm{m}}^{\mathrm{*}}-\mathrm{\Delta }\sigma }（50）

3.5 非极限主动土压力计算公式

通过上述理论推导，得出挡土墙向有限填土方向平动模式下非极限主动土压力分布为：

（51）

根据式（51）即可计算挡墙位移由静止状态（η=0）发展到主动极限状态（η=1）过程中任意非极限状态下侧土压力随深度z的分布情况.与此同时，本文模型尚存在一定不足之处：模型假设有限土体为均质且各向同性，在非均质或各向异性条件下模型潜在误差仍需探讨；现阶段尚未考虑其他滑裂面线形（如对数螺旋线等）对侧土压力分布的影响；本文模型适用于挡墙高度较矮的工况，若埋深过大时将出现等沉面^［22］，模型结果可能难以适用.

4 模型验证

4.1 案例1

邓波等^［9］针对主动平移位移模式下的挡土墙，利用室内模型箱试验，研究了模型箱内非饱和砂土的主动土压力问题.试验时挡墙可以在墙体移动系统控制下向远离砂土方向移动，主动极限状态对应的最大位移S约为12 mm.将本文方法计算的非极限状态主动土压力分布与邓波试验实测值^［9］及经典Coulomb理论计算结果进行对比，如图7所示.对比模型的计算参数采用邓波等工况LEP4的试验数据，模型箱尺寸为1 500 mm（长）×700 mm（宽）×900 mm（高），土体体积含水率ω为3%，黏聚力为0 kPa，砂土-粗糙墙面有效内摩擦角δ'为14°，非饱和砂土有效内摩擦角φ'为33.6°，墙体位移S=0 mm时代表静止土压力，对应本文模型位移比η等于0时的工况；墙体位移S=4 mm、8 mm和12 mm时分别代表η=1/3、η=2/3和η=1的工况.

由图7可得，在给定的参数条件下，本文提出的理论解计算结果与邓波等模型箱试验结果吻合较好，土压力分布基本符合了试验所得的土压力变化趋势，且可以考虑静止状态到主动极限状态间不同位移量下的非极限土压力.值得说明的是，由于模型试验受到边界效应和尺寸效应的影响，因此在模型箱底部的计算结果与试验结果有所偏差；传统 Coulomb理论计算主动极限状态时的土压力结果偏于保守，且传统方法也未能考虑挡墙位移量的影响.对比结果进一步说明本文解法的有效性.

4.2 案例2

Ni等^［22］研究了挡墙位移变化过程中侧土压力的分布规律，提出了一种评估挡土墙侧土压力分布随墙体位移发展的计算模型.将本文方法计算结果与Ni等理论计算结果进行对比，如图8所示.对比模型的计算参数采用Ni等的计算参数，即：γ=15.7 kN/m³， φ=30°，c=0 kPa，H=3.0 m.

由图8可得，在设定的参数条件下，本文提出的分析解法与Ni等基于位移的土压力计算方法所得结果吻合较好；本文理论解由于考虑了土拱效应的影响，归一化侧土压力呈现非线性分布特点，在深度较深位置处归一化侧土压力略小于Ni等计算结果.相比于传统计算方法，本文理论解可以考虑墙体位移发展导致的非极限状态土压力，经典土压力理论计算结果则无法考虑挡墙位移量变化和位移模式的影响.对比结果进一步说明本文理论框架可以更加精确地计算墙间有限土体非极限状态土压力分布.

5 参数分析与讨论

5.1 基于土拱效应的应力偏转分析

随着墙体位移的逐渐发展，有限土体将从静止状态逐渐向非极限状态发展，小主应力逐渐偏转，微分土条上的剪应力也将被逐渐调用.引入调用摩擦角δ来反映主应力偏转程度，δ越大说明应力偏转越明显，土拱效应进一步增强，作用在挡墙上的土压力将会越小，Ⅰ区域和Ⅱ区域的调用摩擦角分别记作δ₁和δ₂.由式（52）可知，δ₁与墙土接触面处应力转角θ以及土体有效内摩擦角φ'有关，将Ⅰ区域墙土接触面处应力转角θ及土体内摩擦角φ'对δ₁的影响情况绘制于图9，可以看出，初始时Ⅰ区域摩擦角没有被调用，随着小主应力偏转δ₁被调用至峰值摩擦角δ₁=φ'，此时达到最大土拱效应，对应的侧向土压力最小，主应力偏转最大.

\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}{\delta }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\theta +K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\text{'}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta }{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta (\mathrm{1}-K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\text{'}})}（52）

\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}{\delta }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\theta +\beta \right)+K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\text{'}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(\theta +\beta \right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\theta +\beta \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\theta +\beta \right)(\mathrm{1}-K_{\mathrm{a}\mathrm{m}}^{\text{'}})}（53）

由式（53）可知，δ₂与滑动面处应力转角θ、滑动面倾角β以及土体有效内摩擦角φ'有关，将Ⅱ区域滑动面处应力转角θ、滑动面倾角β及土体有效内摩擦角φ'对δ₂的影响情况绘制于图10，可以看出，初始时Ⅱ区域摩擦角没有被调用，随着小主应力偏转δ₂被调用至峰值摩擦角δ₂=φ'，此时达到最大土拱效应.由于应力偏转是由墙体位移发展导致的，因此非极限状态土压力同时会随墙体位移渐进发展，滑动面剪应力逐渐被调用的过程中土压力在不断减小，最大土拱效应将导致最小土压力结果.

5.2 层间剪应力的讨论

为了进一步讨论层间剪应力存在对非极限状态土压力的影响，将本文解析解与不考虑层间剪应力的退化解进行对比，研究了位移比η分别为0.3、0.6和0.9时的非极限土压力计算结果，计算参数分别为：宽高比B/H=0.5，基质吸力u_a-u_w=60 kPa，非饱和土体有效黏聚力c'=5 kPa，两刚性挡墙与有限土体之间有效黏聚力c_{\mathrm{w}}^{\text{'}}=c_{\mathrm{d}}^{\text{'}}=5 kPa，土体-粗糙墙面有效内摩擦角δ'为20°，非饱和土有效内摩擦角φ'=35°，非饱和土重度γ=23 kN/m³.由图11可知，随着位移比η的增大，同一深度处非极限主动土压力随之减小，土压力计算结果越接近主动极限状态，和5.1节分析结果一致.非极限土压力沿深度方向呈现非线性分布特点；水平土层间剪应力对非极限主动土压力合力的大小没有影响，但对土压力分布曲线有明显影响，考虑水平土层间剪应力将导致土压力合力作用点位置降低，不考虑剪应力作用的退化解计算结果将会低估挡土墙的抗倾覆稳定性.刘忠玉等^［23］指出水平土层间剪应力可理解为求解土压力过程中的内力，其对主动土压力合力的大小没有影响，仅会改变土压力曲线分布形式，与本文结论一致.由于本文模型考虑了两侧刚性挡墙墙背不光滑的实际特点，墙土接触界面存在界面摩擦力，根据剪应力互等定理可知，微分土条层间一定存在剪应力，传统忽略层间剪应力影响的土压力计算理论严格来讲并不精确，合理考虑水平层间剪应力有助于得到更为合理的土压力分布曲线^［24-25］.

5.3 墙体位移和土体强度参数的影响

为了进一步探究墙体位移与有效内摩擦角对有限土体非极限土压力的影响，在图12中绘制了不同内摩擦角条件下归一化土压力合力E_a/E₀与位移比η关系的计算结果，归一化土压力合力E_a/E₀定义为挡墙位移发展至任意位置的非极限土压力合力E_a与位移比η=0时土压力合力E₀的比值.由图12可知，墙体位移和有效内摩擦角会对非极限土压力产生较大影响，非极限土压力随墙体位移发展呈现非线性减小特点，墙体位移比的增大放大了土体抗剪强度对荷载分配的影响，土体有效内摩擦角越大非线性关系越明显；在相同位移比条件下，增大土体有效内摩擦角将显著降低非极限土压力，这是由于有效内摩擦角较大的土体具有更高的抗剪强度，土拱效应得到进一步增强.

5.4 基于回归分析的关键参数影响分析

由于本文理论模型考虑因素较多，为了进一步展示相关影响因素对非极限土压力的影响规律，针对位移比η、土体有效内摩擦角φ'、地面超载q₀、墙-土界面摩擦角折减系数ζ（定义为墙-土界面摩擦角δ'与土体有效内摩擦角φ'的比值）、非饱和土体有效黏聚力c'和有限土体宽高比B/H共计6个相关参数进行6因素5水平L₂₅（5⁶）正交分析试验，如表1所示，并基于线性回归系数来评价不同因素的影响程度.值得说明的是，当回归系数为正值时，回归系数越大说明该因素对非极限土压力的正向影响越显著，该因素的减小将导致非极限土压力的显著增大；当回归系数为负值时，回归系数越小说明该因素对非极限土压力负向影响越显著，该因素的增大将导致非极限土压力的显著增大.考虑非饱和土特性，选取基质吸力u_a-u_w=0 kPa、u_a-u_w=30 kPa以及u_a-u_w=60 kPa三组工况进行分析，各工况下6个参数与各自对应的5个水平得到的对非极限土压力计算结果的回归系数如图13所示.

根据图13可知，土体有效内摩擦角φ'与位移比η对非极限土压力有显著正向影响，土体有效内摩擦角φ'与位移比η的增大将导致非极限土压力的进一步降低，这和5.3节分析结果一致；墙-土界面摩擦角折减系数ζ与非饱和土体有效黏聚力c'对非极限土压力的正向影响不如土体有效内摩擦角φ'与位移比η显著，增大折减系数ζ与有效黏聚力c'同样将导致非极限土压力的降低，这是因为当黏聚力增大时微分土条在滑动面处受到向上的剪应力随之增大，土拱效应进一步发展，土体自稳性更加良好，导致非极限侧土压力减小，符合基本事实.

对于有限土体宽高比B/H和地面超载q₀而言，其对非极限土压力呈现显著负向影响，有限土体宽高比B/H及地面超载q₀的增大均会导致非极限土压力的增加，但其影响机理并不相同.有限土体宽高比B/H的增大会导致相同位移比条件下的有限土体受到的侧向约束作用减弱，土拱效应随之减弱，因此非极限侧土压力会进一步增加；而增大地面超载q₀则相当于增加了同一深度位置的竖向应力大小，因此同样会导致非极限侧土压力的增加.与此同时，通过比较三组工况的回归系数可进一步看出，随着非饱和土体基质吸力u_a-u_w的增加，有效内摩擦角φ'与有效黏聚力c'对非极限侧土压力的正向影响将更加显著，位移比η对非极限侧土压力的正向影响则随之减弱，而折减系数对非极限侧土压力的影响几乎不随基质吸力的变化而变化.

综上所述，非饱和有限土体非极限土压力随土体有效内摩擦角φ'、位移比η、折减系数ζ与有效黏聚力c'的增大而减小；与此同时，有限土体宽高比B/H及地面超载q₀的增大均会导致非极限土压力增大.因此，有限土体条件下围护结构的设计和施工需要综合考虑非饱和土体强度参数、宽高比及其与挡土结构物间的相互作用，通过优化B/H比值并选择对应的回填土来控制土压力分布，选择合适的挡土结构物以确保具体工程的经济性和安全性要求.

6 结 论

本文在已有研究的基础上，综合考虑非饱和土强度参数、土体非极限状态、土层间剪应力、土拱效应、墙-土界面摩擦特性的共同作用，推导了刚性挡墙平行移动模式（T模式）下的墙后非极限土压力分布的解析解.通过与模型箱试验结果及经典土压力理论进行对比，验证了本文解的合理性.该研究可总结为：

1） 探明了非饱和土抗剪强度随墙体位移发展的渐进发挥过程，基于土拱效应原理和微分单元法框架，建立了考虑多因素影响的非饱和有限土体非极限土压力解析解，为挡土结构物邻近建筑物或已有的基岩施工时遭遇墙后有限土体的实际工程提供了计算思路.根据本文所提公式计算所得非极限土压力与模型试验结果吻合良好.

2） 探明了调用摩擦角与小主应力偏转角和滑动面倾角间的相互关系，调用摩擦角随小主应力的偏转逐渐发展，墙体位移达到极限状态时土拱效应最显著，此时有效内摩擦角被全部调用.

3） 非极限土压力沿深度方向呈现非线性分布特点；水平土层间剪应力对非极限主动土压力合力的大小没有影响，但会导致土压力合力作用点位置降低，不考虑剪应力作用的计算结果可能低估挡土墙的抗倾覆稳定性.

4） 非饱和有限土体非极限土压力随土体有效内摩擦角、位移比、折减系数与有效黏聚力的增大而减小，有限土体宽高比及地面超载的增大则会导致非极限土压力增大.

研究结果对于实际工程中挡土结构物的合理设计及其受荷状态评估具有一定参考价值.另外，本文基于整体力场分析思想，仅从定性角度分析了各因素对非极限土压力的影响，且并未考虑空间效应的影响，今后的研究工作可以从宏观分布规律产生的细观机制以及对应分析方法进行探索，以期为实际工程提供更多参考思路.

参考文献

[1] RANKINE W J M ．On the stability of loose earth［J］．Philosophical Transactions of the Royal Society of London， 1857，147： 9-27．

[2] 茅以升. 挡土墙土压力的两个经典理论中的基本问题［J］. 土木工程学报， 1954， 1（3）： 249-282.

[3] MAO Y S. Basic problems in two classical theories of earth pressure on retaining wall［J］. China Civil Engineering Journal， 1954， 1（3）： 249-282. （in Chinese）

[4] 杨明辉， 戴夏斌， 赵明华， 等. 墙后有限宽度无黏性土主动土压力试验研究［J］. 岩土工程学报， 2016， 38（1）： 131-137.

[5] YANG M H， DAI X B， ZHAO M H， et al. Experimental study on active earth pressure of cohesionless soil with limited width behind retaining wall［J］. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2016， 38（1）： 131-137. （in Chinese）

[6] KHOSRAVI M H， PIPATPONGSA T， TAKEMURA J. Theoretical analysis of earth pressure against rigid retaining walls under translation mode［J］. Soils and Foundations， 2016， 56（4）： 664-675.

[7] 陕耀， 董雅丞， 张旭辉， 等. 双层地下连续墙土压力的现场实测研究［J］. 岩土力学， 2024， 45（）： 507-516.

[8] SHAN Y， DONG Y C， ZHANG X H， et al. Field measurement study of earth pressure on a double-layered diaphragm wall［J］. Rock and Soil Mechanics， 2024， 45（Sup.1）： 507-516.（in Chinese）

[9] 杨明辉， 吴志勇， 赵明华. 挡墙后有限宽度土体土拱效应分析及土压力计算方法［J］. 湖南大学学报（自然科学版）， 2020， 47（3）： 19-27．

[10] YANG M H， WU Z Y， ZHAO M H ．Soil arch effect analysis and earth pressure calculating method for finite width soil behind retaining wall［J］. Journal of Hunan University （Natural Sciences）， 2020， 47（3）： 19-27．（in Chinese）

[11] BANG S. Active earth pressure behind retaining walls［J］. Journal of Geotechnical Engineering， 1985， 111（3）： 407-412．

[12] FANG Y S， ISHIBASHI I. Static earth pressures with various wall movements［J］. Journal of Geotechnical Engineering， 1986， 112（3）： 317-333．

[13] 邓波， 杨明辉， 赵明华. 主动平移模式下墙后非饱和砂土破坏模式及侧向土压力分布试验研究［J］. 岩土工程学报， 2023， 45（1）： 94-102.

[14] DENG B， YANG M H， ZHAO M H. Experimental study on failure mode and lateral earth pressure distribution of unsaturated sand behind retaining walls under active translation mode［J］. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2023， 45（1）： 94-102.（in Chinese）

[15] 方焘， 杨思敏， 徐长节， 等 ．浸水条件下有限土体土压力试验研究与数值分析［J］．地下空间与工程学报，2019，15（6）：1699-1708．

[16] FANG T， YANG S M， XU C J，et al ．Experimental research and numerical analysis on active soil pressure of limited soil under water immersion［J］．Chinese Journal of Underground Space and Engineering， 2019， 15（6）： 1699-1708．（in Chinese）

[17] FU D X， YANG M H， DENG B， et al. Estimation of active earth pressure for narrow unsaturated backfills considering soil arching effect and interlayer shear stress［J］. Sustainability， 2022， 14（19）： 12699.

[18] LAI F W， CHEN S X， XUE J F，et al ．New analytical solutions for shallow cohesive soils overlying trench voids under various slip surfaces［J］．Transportation Geotechnics，2020，25：100411．

[19] 赖丰文， 刘松玉， 杨大禹， 等. 有限宽度填土挡墙主动土压力的普适解法［J］. 岩土工程学报， 2022， 44（3）： 483-491.

[20] LAI F W， LIU S Y， YANG D Y， et al. Generalized solution to active earth pressure exerted onto retaining wall with narrow backfills［J］. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2022， 44（3）： 483-491. （in Chinese）

[21] 徐日庆，徐叶斌，程康，等 ．有限土体下考虑土拱效应的非极限主动土压力解［J］．岩土工程学报，2020，42（2）：362-371．

[22] XU R Q， XU Y B， CHENG K，et al ．Method to calculate active earth pressure considering soil arching effect under nonlimit state of clay［J］．Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2020，42（2）： 362-371．（in Chinese）

[23] 徐日庆， 徐叶斌. 考虑剪应力作用的有限土体被动土压力分 析［J］. 湖南大学学报（自然科学版），2020，47（9）：76-84．

[24] XU R Q， XU Y B. Analysis of passive earth pressure for limited soils considering action of shear stress［J］. Journal of Hunan University （Natural Sciences）， 2020，47（9）：76-84．（in Chinese）

[25] 杨明辉， 巩虎涛， 邓波. 非极限状态非饱和土主动土压力试验及理论分析［J］. 工程地质学报， 2023， 31（2）： 650-660.

[26] YANG M H， GONG H T， DENG B. Tests and calculation of active earth pressure for unsaturated soil under non-limit state［J］. Journal of Engineering Geology， 2023， 31（2）： 650-660. （in Chinese）

[27] 杨宇哲，吴文兵，倪芃芃，等 ．RB模式下挡土墙地震非极限被动土压力计算［J］．工程力学，2025，42（7）：129-136．

[28] YANG Y Z， WU W B， NI P P，et al ．Pseudo-dynamic analysis of seismic non-limit passive earth pressure under the RB mode［J］．Engineering Mechanics， 2025， 42（7）： 129-136．（in Chinese）

[29] NI P P， MEI G X， ZHAO Y L. Displacement-dependent earth pressures on rigid retaining walls with compressible geofoam inclusions：physical modeling and analytical solutions［J］. International Journal of Geomechanics， 2017， 17（6）： 04016132．

[30] FREDLUND D G， RAHARDJO H. Soil mechanics for unsaturated soils［M］. New York： Wiley， 1993.

[31] VANAPALLI S K， FREDLUND D G， PUFAHL D E，et al ．Model for the prediction of shear strength with respect to soil suction［J］．Canadian Geotechnical Journal， 1996， 33（3）： 379-392．

[32] MATSUZAWA H， HAZARIKA H. Analyses of active earth pressure against rigid retaining wall subjected to different modes of movement［J］. Soils and Foundations， 1996， 36（3）： 51-65.

[33] NI P P， MANGALATHU S， SONG L H，et al. Displacement-dependent lateral earth pressure models［J］. Journal of Engineering Mechanics， 2018， 144（6）：04018032．

[34] 刘忠玉， 陈捷， 李东阳. 考虑剪应力作用的刚性挡土墙主动土压力分析［J］. 岩土力学， 2016， 37（9）： 2443-2450.

[35] LIU Z Y， CHEN J， LI D Y. Calculation of active earth pressure against rigid retaining wall considering shear stress［J］. Rock and Soil Mechanics， 2016， 37（9）： 2443-2450. （in Chinese）

[36] 陕耀，董雅丞，周彤，等. 刚性挡墙绕底部转动模式下有限土体非极限状态地震土压力［J］. 同济大学学报（自然科学版）， 2026， 54（2）： 202-211.

[37] SHAN Y， DONG Y C， ZHOU T， et al. Non-limit state seismic earth pressure for limited soil under rigid retaining wall rotation around the bottom［J］. Journal of Tongji University（Natural Sciences）， 2026， 54（2）： 202-211.（in Chinese）

[38] 陕耀， 董雅丞， 吴遥杰. RT模式黏性有限土体非极限状态土压力数值解［J］. 地下空间与工程学报， 2025， 21（6）： 1888-1898.

[39] SHAN Y， DONG Y C， WU Y J， et al. Numerical solutions of RT mode［J］. Chinese Journal of Underground Space and Enggineering， 2025， 21（6）： 1888-1898.（in Chinese）

基金资助

国家自然科学基金资助项目(52378458)

国家自然科学基金资助项目(52408378)

National Natural Science