体内外混合配束预应力UHPC梁的抗弯性能

Flexural performance of prestressed UHPC beams with hybrid internal and external tendons

摘要

为研究体内外混合配束预应力超高性能混凝土（ultra high performance concrete， UHPC）梁的抗弯性能，首先建立了体内外混合配束预应力UHPC梁的有限元模型，并通过试验结果充分验证了模型的适用性.在此基础上，对体内外混合配束预应力UHPC梁的抗弯性能进行了参数分析，研究了体内外预应力混合配束比例、预应力筋配筋率、UHPC中钢纤维体积含量等参数对其抗弯性能的影响.结果表明：当体外预应力筋占总预应力筋的比例λ从0变化到1.00时，梁的峰值荷载降低了9.1%，对应的峰值位移提高了37%；当λ从0.25增加至1.00时，体外预应力筋极限应力增量增加了32.8%.基于参数分析结果的回归分析，提出了梁体外预应力筋极限应力增量及极限状态时截面受拉区UHPC等效抗拉强度折减系数的计算公式.在此基础上，建立了体内外混合配束预应力UHPC梁抗弯承载力的简化计算方法，并以有限元分析结果和国内外相关文献试验结果验证了所提方法的适用性.

Abstract

To investigate the flexural performance of prestressed ultra-high performance concrete （UHPC） beams with hybrid internal and external tendons， this study first established a finite element model for such hybrid prestressed UHPC beams and rigorously validated its applicability through experimental verification. Subsequently， parametric analyses were systematically conducted to evaluate the effects of critical parameters on their flexural performance， including the hybrid ratio of internal-to-external prestressing tendons， prestressing reinforcement ratio， and steel fiber volume fraction in UHPC. The results revealed that increasing the proportion of external prestressing tendons （λ） from 0 to 1.00 reduced the peak load capacity by 9.1%， while enhancing the corresponding peak displacement by 37%. Furthermore， as λ was increased from 0.25 to 1.00， the ultimate stress increment in external tendons exhibited a 32.8% amplification. According to regression analysis of parametric outcomes， predictive formulas were derived for the ultimate stress increment in external tendons and the reduction coefficient of equivalent tensile strength in the tension zone of UHPC cross-sections at the ultimate limit state. On this basis， a simplified computational methodology was developed to determine the flexural capacity of hybrid prestressed UHPC beams. The robustness of the present proposed methodology was verified through comparative assessments with finite element simulation results and experimental data from both domestic and international research literature， demonstrating strong alignment with empirical observations.

Graphical abstract

关键词

预应力UHPC梁 / 体内外混合配束 / 抗弯性能 / 抗弯承载力

Key words

prestressed UHPC beams / hybrid internal and external tendons / flexural performance / flexural capacity

超高性能混凝土（UHPC）是基于最大密实度理论配制而成的一种新型纤维增强水泥基复合材料，具有优异的力学性能和耐久性能，将其应用于预应力混凝土结构中，可有效克服普通混凝土结构自重大、易开裂和耐久性不足等问题，在土木工程中具有广阔的应用前景^［1-3］.

体内外混合配束预应力混凝土梁结合了体内和体外预应力混凝土结构的优点，通过体内外预应力束的合理配置，可实现结构承载能力和延性的良好匹配.此外，通过减少体内预应力束数量，可降低构件尺寸的构造要求并改善混凝土的灌注条件；通过布置部分可更换的体外预应力束，可较易实现后期结构使用荷载因故增加的情形.

对于较大跨径的预应力UHPC梁，基于UHPC的高强特性可形成较轻薄构件而有效降低结构自重，增加结构的跨越能力.但若全部采用体内预应力束，较小的结构尺寸使后张体内预应力管道布置困难，导致结构的截面尺寸往往由构造而非受力控制.因此，体内外预应力混合配束方案在大跨径UHPC梁中具有更好的适用性.部分布置在梁内的先张或后张体内预应力束可有效降低结构尺寸的构造要求并让其主要承担恒载和施工期结构所受荷载，而布置在梁外的体外预应力束则主要用于承担运营期荷载.因此，体内外预应力混合配束方案可使结构的配筋设计更具灵活性，在较大跨径预应力UHPC整体梁中也具有适宜的应用场景.

在体内外混合配束预应力普通混凝土（normal concrete， NC）梁的抗弯性能研究方面，Rabbat等^［4］通过对节段预制预应力梁抗弯性能的试验研究，发现体内有黏结和体外无黏结预应力混凝土梁的抗弯承载能力高于纯体外无黏结预应力试验梁；李国平等^［5］通过对体内外混合配束预应力混凝土梁抗弯性能试验研究，提出了体外预应力筋极限应力增量计算公式；Yuan等^［6］对体内外混合配束节段预制预应力混凝土梁的试验结果表明：体内预应力占总预应力的比例越高，梁的抗弯承载力越高.

在全体内预应力UHPC梁的受弯性能研究方面，杨剑等^［7］通过弯曲试验发现，部分黏结预应力梁较完全黏结梁具有更好的变形能力，普通钢筋的配置可以改善预应力UHPC梁的抗弯性能；徐海宾等^［8］基于弯曲试验结果提出了预应力UHPC梁的抗弯承载力计算公式；Li等^［9］的弯曲试验研究显示：预应力UHPC梁具有良好的弯曲变形能力和延性；Fang等^［10］通过弯曲试验和理论分析发现：预应力UHPC梁截面抗弯承载力存在明显的尺寸效应，提高普通钢筋配筋率可有效降低尺寸效应的影响.

在全体外预应力UHPC梁的受弯性能研究方面，方志等^［11-12］通过弯曲试验发现，普通钢筋的配置对体外预应力UHPC梁受弯性能的改善作用显著，同时梁的抗弯承载力随体外预应力筋转向角度的增加而提高.

在体内外混合配束预应力UHPC梁的性能和工程应用研究方面，主要集中在受压区配有体内束的体外预应力UHPC节段预制拼装梁或整体梁.对于体外预应力UHPC节段预制拼装梁，若仅采用体外预应力束，节段拼装时张拉体外预应力造成的反拱易导致节段上崩破坏，因此一般在梁的受压区同时配置适量的体内预应力束以确保梁节段的顺利拼接.李立峰等^［13］试验研究了这种混合配束预应力UHPC节段拼装梁的抗弯性能，提出了相应的抗弯承载力计算方法.这种梁在一些工程中也得到了成功应用^［14-16］.此外，Ye等^［17］试验研究了受压区配有体内束的体外预应力UHPC整体梁的抗剪性能，试验梁在受拉区配置了4根Φ^S15.2的体外预应力束，为防止体外预应力筋张拉时梁因反拱过大导致上缘开裂，在受压区同时布置了2根Φ^S15.2的体内预应力束.但迄今对体内外混合配束预应力UHPC整体梁的抗弯性能研究还鲜见文献报道.

本文主要研究体内外混合配置受拉预应力筋UHPC整体梁的抗弯性能.与上述体内外混合配束预应力普通混凝土梁以及混合配束UHPC节段预制拼装梁相比，这类UHPC整体梁的抗弯性能无疑会有所不同，如极限变形能力的差别会影响体外预应力筋的极限应力增量；受拉区UHPC的抗弯贡献较为显著，宜加以考虑.而确定这类UHPC整体梁极限状态时体外预应力筋的应力增量和截面受拉区UHPC的抗弯贡献是计算梁抗弯承载力所必需的.

在体外预应力筋极限应力增量研究方面，Baker^［18］和Naaman等^［19］引入黏结折减系数提出了体外预应力筋极限应力增量的计算公式；Tao等^［20］ 研究了普通钢筋对无黏结预应力筋极限应力增量的影响，提出了无黏结预应力筋极限应力增量的计算公式；李国平等^［5］ 以截面特性和配筋指标为基础，提出了体外预应力筋极限应力增量计算方法；邓继华等^［21］基于体外预应力UHPC梁抗弯性能的非线性分析，修正了基于变形的预应力混凝土梁体外预应力筋极限应力增量计算公式并将其应用于预应力UHPC梁.研究表明：体外预应力筋的极限应力增量与梁的极限挠度间近似呈线性关系^［12］，而体内外混合配束预应力UHPC梁的变形能力与混合配束预应力普通混凝土梁或全体外预应力UHPC梁的变形能力会有所不同，因此，体内外混合配束预应力UHPC梁体外预应力筋的极限应力增量值得进一步明确.

为简化配筋UHPC梁的抗弯承载力分析，一般将极限状态时截面受拉区较复杂的拉应力分布等效为矩形分布来考虑UHPC的抗拉贡献并取应力为kf_t，这里f_t为UHPC的抗拉强度，k为受拉区UHPC等效抗拉强度折减系数.对于全体内预应力UHPC梁，杨剑等^［7］建议受拉区UHPC抗拉强度折减系数k取0.5（梁高h=300 mm），而Li等^［9］建议取值为0.238（梁高h=600 mm）；对于全体外预应力UHPC梁，Jia等^［12］建议取值为0.25（梁高h=200 mm）.可见，k的取值与预应力布置方式和梁高有关.彭飞等^［22］基于钢筋UHPC梁和全体内预应力UHPC梁的研究表明：受拉区UHPC抗拉强度对梁截面抗弯承载能力的贡献存在明显的尺寸效应，与梁高密切相关，并提出了考虑梁高和纤维长度影响的k值计算公式.既然k的取值与预应力筋的配置方式有关，则可推断k的取值与体内外混合配束比λ有关.因此，体内外混合配束预应力UHPC梁k的取值也需要进一步明确.

基于此，本文建立了体内外混合配束预应力UHPC梁的有限元模型，并以试验结果充分验证了其适用性.在此基础上，重点分析了体内外预应力混合配束比例和UHPC中钢纤维体积含量对其抗弯性能的影响.基于参数分析结果，提出了体内外混合配束预应力UHPC梁体外预应力筋极限应力增量和截面受拉区UHPC等效抗拉强度折减系数k的计算公式，进而提出了体内外混合配束预应力UHPC梁抗弯承载力简化计算方法，并以试验和有限元数值分析结果验证了其适用性.

1 有限元模型建立

1.1 分析用的基准试验梁

采用ABAQUS有限元程序对体内外混合配束预应力UHPC梁的抗弯性能进行分析，分析所用的基准梁如图1所示.基准梁在文献［12］全体外预应力UHPC试验梁基础上，在梁受拉区增加了直线布置的体内受拉预应力筋，体内预应力束重心距梁底40 mm，亦即在转向块位置处，体、内外预应力筋布置在同一水平处，其余参数均和文献［12］的试验梁相同.

基准梁的长度为2.44 m，计算跨径为2.26 m，梁高为0.2 m，其基本构造尺寸如图1所示.采用简支边界和跨中单点集中加载，UHPC的力学性能如表1所示.普通钢筋选用HRB400级热轧钢筋，预应力筋分别采用1860级Φ^S15.2低松弛钢绞线和文献［12］的碳纤维增强复合材料（carbon fiber reinforced polymer， CFRP）绞线筋，其力学性能如表2所示.

1.2 材料本构关系

有限元数值分析中采用的UHPC本构关系如 式（1）~式（12）和图2、图3所示，筋材的本构关系如 图4~图6所示.

1.2.1 UHPC本构曲线

UHPC单轴受压的应力-应变关系采用杨剑等^［7］提出的本构方程，其应力-应变关系分别如图2和 式（1）所示.

（1）

E_{\mathrm{0}}=\mathrm{3.77}(f_{\mathrm{c}}{)}^{\mathrm{0.5}}（2）

{\epsilon }_{\mathrm{c}\mathrm{0}}=\mathrm{0.5}\times \left(\mathrm{1}\mathrm{950}+\mathrm{14.6}\times f_{\mathrm{c}}+\mathrm{763}\times \sqrt[\mathrm{4}]{f_{\mathrm{c}}}\right)\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}}（3）

式中：n=E₀/E_c，E₀为UHPC的初始弹性模量，按式（2）计算^［23］，E_c为应力-应变曲线峰值点处的割线模量； ξ=ε/ε_c0^［7］，ε为UHPC的受压应变，ε_c0为峰值点处应变，按式（3）计算^［24］；f_c为UHPC的棱柱体抗压强度；ε_cu为UHPC的极限压应变，取抗压强度降至85%f_c时的应变，即ε_cu=1.34ε₀，对于钢纤维体积含量为0时的UHPC基体，则取ε_cu=ε₀.

UHPC单轴受拉的应力-应变关系采用Tian等^［25］提出的本构方程，其中弹脆性（仅用于钢纤维体积含量为0时的UHPC基体）、应变软化和应变硬化UHPC受拉本构关系分别如图3（a）~图3（c）所示，其表达式分别如式（4）~式（6）所示.

（4）

（5）

（6）

{\epsilon }_{\mathrm{c}\mathrm{r}}=\frac{f_{\mathrm{c}\mathrm{r}}}{E_{\mathrm{0}}}（7）

（8）

{\epsilon }_{\mathrm{t}\mathrm{u}}=\mathrm{1}\mathrm{531}\times (\mathrm{2.72}{\lambda }_{\mathrm{f}}+\mathrm{1})\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}}（9）

f_{\mathrm{c}\mathrm{r}}=\mathrm{4.50}\times \left(\mathrm{0.65}{\lambda }_{\mathrm{f}}+\mathrm{1}\right)（10）

（11）

（12）

式中：ε_cr和f_cr分别为UHPC的开裂应变和应力；ε_tp和f_t分别为UHPC的峰值应变和应力；ε_tu和f_tu分别为UHPC的极限应变和应力；钢纤维特征参数λ_f=ρ_fl_f/d_f，ρ_f、l_f和d_f分别为钢纤维体积含量、长度和直径.

UHPC损伤因子d采用式（13）计算^［26］：

d=\mathrm{1}-\sqrt[]{\frac{\sigma }{E_{\mathrm{0}}\epsilon }}（13）

式中：d为损伤因子；σ为应力；E₀为UHPC的初始弹性模量；ε为应变.

UHPC材料的塑性损伤模型相关参数取值如 表3所示^［27］.

1.2.2 筋材本构曲线

预应力钢绞线采用双折线应力-应变本构^［28］，如图4所示.E_p为预应力钢绞线初始弹性模量；E_{\mathrm{p}}^{\text{'}}为预应力钢绞线硬化段弹性模量；ε_py和f_py分别为屈服应变和屈服应力；预应力筋极限应变ε_pu取0.035^［28］； f_pu为预应力钢绞线的极限抗拉强度.

CFRP筋为完全线弹性材料，其应力-应变关系如图5所示^［29］.E_p为预应力CFRP筋的弹性模量；ε_pu和 f_pu分别为预应力CFRP筋的极限应变和极限应力.

普通钢筋的应力-应变关系采用理想弹塑性本构关系^［30］，如图6所示.E_s为钢筋的弹性模量；ε_sy和 f_sy分别为钢筋的屈服应变和屈服应力；极限拉应变ε_su取0.01^［30］.

1.3 模型建立

体内外混合配束预应力UHPC梁ABAQUS有限元模型如图7所示，其中UHPC主梁和加载垫块均采用三维8节点线性插值减缩积分实体单元C3D8R，体外预应力钢筋采用三维2节点线性梁单元B31，体内预应力筋、普通钢筋和箍筋均采用三维2节点线性桁架单元T3D2.经过网格收敛性试算，采用的全局网格尺寸为20 mm.

模型底部支座的约束条件根据试验梁的实际情况进行选择.在相互作用关系模拟时，转向块与主梁之间通过绑定约束即“Tie”的方式连接；体内预应力筋、普通钢筋和箍筋通过“Embedded”接触内嵌入UHPC主梁内；体外预应力筋与转向块之间通过结点耦合（Coupling）的方式进行模拟，允许切向自由滑动；体外预应力筋两端的锚固端采用MPC约束来模拟预应力筋与锚固块之间的变形协调；加载块和UHPC梁通过面对面接触（Surface to surface），其接触作用属性为法向“Hard”接触和切向的“Penalty”摩擦接触，摩擦系数为0.3^［31］；通过“Predefined Field”模块中的“Temperature”功能，采用降温法来施加体内和体外预应力筋的张拉控制应力.

1.4 模型验证

采用所建立的模型，分析了体外预应力UHPC梁^［12］、体内预应力UHPC梁^{［9-10，32］}和体内外混合配束预应力NC梁^［6］3类试验梁的受弯性能，试验梁的基本信息如表4所示.图8和表4展示了有限元数值分析结果与实测结果的对比，3类梁抗弯承载力有限元计算值与试验值之比的均值分别为1.0、0.98和0.99，变异系数分别为0.03、0.04和0.04；峰值点处梁挠度的计算值与试验值之比的均值分别为1.03、1.02和1.02，变异系数分别为0.01、0.02和0.图8中试验梁的裂缝分布形态与有限元分析的受拉损伤分布规律相近，可见，有限元数值分析结果与试验结果吻合良好，充分验证了本文所建立有限元模型的适用性.

2 梁受弯性能的参数分析

参数分析时采用如图1所示基准梁，其中UHPC棱柱体抗压强度取为140 MPa，体内、外预应力筋均采用1860级Φ^S15.2低松弛钢绞线.梁的基本尺寸和加载方式均同基准梁，其余参数变化见表5.

结构的延性系数μ通过式（14）计算.因体内外混合配束预应力UHPC梁的荷载-位移曲线中一般缺乏明显的屈服平台，故这里采用Park^［35］提出的等能量法来确定结构的等效屈服位移.如图9所示，通过构造一条理想弹塑性双折线代替实际的荷载-位移曲线，并使二者与横轴所围包络面积相等而确定等效屈服点.

\mu =\frac{{\delta }_{\mathrm{u}}}{{\delta }_{\mathrm{y}}}（14）

式中：δ_y为图9所示的等效屈服位移；δ_u指受压区UHPC达到其极限压应变时梁的位移.

采用经过验证的有限元模型，结合前述的基准梁，对体内外混合配束预应力UHPC梁的受弯性能进行参数分析.分析参数包括体内外预应力混合配束比例λ（λ=0和1分别对应全体内和全体外预应力束布置情形）、总预应力筋配筋率ρ_p，t、体内外预应力筋张拉控制应力f_pe、UHPC中钢纤维体积含量ρ_f和普通钢筋配筋率ρ_s.表5列出了这些参数的不同取值.

2.1 体内外预应力混合配束比例的影响

保持模型其他参数不变，分析体内外预应力混合配束比例λ对UHPC梁抗弯性能的影响，结果如 图10所示.可知，当体内外预应力混合配束比例λ从0增至1.00时，梁的峰值荷载降低了9.1%，而峰值位移提高了37%，延性提升了41%.此外，当λ从0.25增加至1.00时，体外预应力筋应力增量增加了32.8%.这主要是因为受力过程中体外预应力筋的应力增长较慢，极限状态时一般不会达到屈服应力，而梁的刚度衰减较快，导致梁的抗弯承载力随λ增加而降低；另外，体内预应力筋与UHPC黏结，更有效地限制了裂缝发展，随着λ的增大，UHPC梁裂缝宽度增大，截面刚度降低，变形增大，使梁的极限位移随λ增加而增大，延性和体外预应力筋极限应力增量也随之增大.

2.2 预应力配筋率的影响

保持模型其他参数不变，分析总预应力筋配筋率对UHPC梁抗弯性能的影响，结果如图11所示.可知，三种不同λ值下UHPC梁的受力变形特征表现出相同的规律，即随着总预应力筋配筋率ρ_p，t的增加，梁的抗弯承载力随之提高，而梁的极限位移和延性降低，同时体外预应力筋的应力增量也随之减小.以λ=0.50时的UHPC梁为例，当ρ_p，t从1%增至4%时，梁的抗弯承载力增加104%，受压区UHPC压碎时极限位移降低了32%，体外预应力筋的应力增量降低了29.7%.这是因为随着ρ_p，t的增加，梁的抗弯承载力提高，但截面中性轴下移，受压区高度增加，导致截面的极限曲率降低，从而降低了梁的极限位移和延性，也减小了体外预应力筋极限应力增量.

2.3 体内外预应力筋张拉控制应力的影响

保持模型其他参数不变，分析同时改变体内和体外预应力筋张拉控制应力对UHPC梁抗弯性能的影响，结果如图12所示.可知，体内和体外预应力筋张拉控制应力同时从0.5f_pu增至0.7f_pu时，全体内预应力梁（λ=0）更快进入筋屈服阶段，极限抗弯承载力基本不变，UHPC压碎破坏时梁的极限位移略微降低，而体内外混合配束预应力梁（λ=0.50）和体外预应力梁（λ=1.00）的极限抗弯承载力却随张拉控制应力的增加而有所提高，UHPC压碎破坏时极限位移降低，体外预应力筋极限应力增量也随之减小.这是因为极限状态时，不同张拉控制应力下的体内预应力筋均可进入屈服后阶段，使得其极限承载能力基本不变；而增加体外预应力筋张拉控制应力，会提高体外预应力筋的极限应力，进而提高梁的抗弯承载力，但极限变形有所减小，体外预应力筋的极限应力增量随之降低.

2.4 钢纤维体积含量的影响

保持模型其他参数不变，分析钢纤维体积含量ρ_f对UHPC梁抗弯性能的影响，结果如图13所示.可知，三种不同λ值下UHPC梁的受力变形特征表现出相同的规律，即随着ρ_f增加，梁的抗弯承载力提高，UHPC压碎破坏时极限位移降低^［36］，体外预应力筋极限应力增量也随之减小.以λ=0.50时的UHPC梁为例，当ρ_f从0%增至5%时，梁的抗弯承载力增加了39.1%，极限位移降低了38.6%，体外预应力筋极限应力增量降低了36.0%.这是因为随着ρ_f增加，提高了UHPC的抗拉强度，进而提高了梁的极限抗弯承载力.而ρ_f的增加，钢纤维的桥接作用加强，能更有效控制裂缝的扩展，限制梁的变形能力，从而降低梁的极限变形和延性，体外预应力筋的极限应力增量也相应降低.

2.5 普通钢筋配筋率的影响

保持模型其他参数不变，分析受拉区普通钢筋配筋率ρ_s对UHPC梁抗弯性能的影响，结果如图14所示.可知，三种不同λ值下UHPC梁的受力变形特征表现出相同的规律，均随ρ_s的增加，梁的抗弯承载力提高，极限位移和延性降低，体外预应力筋极限应力增量减小.以λ=0.50时的UHPC梁为例，ρ_s从1%增至4%时，梁的抗弯承载力提高26.0%，极限位移降低23.5%，体外预应力筋极限应力增量降低22.7%.这是因为随着ρ_s的增加，提高了梁的抗弯承载力，但极限状态下截面中性轴下移，受压区高度增加，截面的极限曲率减小，梁的极限位移降低，延性和体外预应力筋极限应力增量也随之减小.

3 抗弯承载力计算

3.1 基本假定

体内外混合配束预应力UHPC梁正截面抗弯承载力计算时，采用如下基本假定：

1） 结构在变形后，截面上体内配筋和UHPC的应变增量符合平截面假定；

2） 体外预应力筋在转向块处可以自由滑动，忽略摩擦产生的影响.

3） 预应力钢绞线、普通钢筋以及UHPC的本构关系如前文1.2节所示.

3.2 抗弯承载力

受压区UHPC压碎破坏时，体内外混合配束预应力UHPC梁截面的应变、应力以及受拉和受压区UHPC等效矩形应力分布分别如图15（b）~图15（d）所示.根据极限状态下的内力平衡条件，可得受压破坏时控制截面的抗弯承载力如式（15）~式（18）所示.

当极限受压区高度x_cu >翼缘厚度hʹ_f时，则有：

\alpha f_{\mathrm{c}}{b}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{\text{'}}}{h}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{\text{'}}}+\alpha f_{\mathrm{c}}b(x-h_{\mathrm{f}}^{\mathrm{\text{'}}})+{\sigma }_{\mathrm{s}}^{\mathrm{\text{'}}}{A}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{\text{'}}}=f_{\mathrm{y}}{A}_{\mathrm{s}}+

f_{\mathrm{p}\mathrm{s},\mathrm{e}}{A}_{\mathrm{p},\mathrm{e}}+f_{\mathrm{p}\mathrm{s},\mathrm{i}}{A}_{\mathrm{p},\mathrm{i}}+k_{\lambda }{f}_{\mathrm{t}}b(h-x/\beta )（15）

M_{\mathrm{u}}=\mathrm{0.5}{k}_{\lambda }{f}_{\mathrm{t}}b(h^{\mathrm{2}}-x^{\mathrm{2}}/{\beta }^{\mathrm{2}})+f_{\mathrm{p}\mathrm{s},\mathrm{e}}{A}_{\mathrm{p},\mathrm{e}}{h}_{\mathrm{p},\mathrm{e}}+

f_{\mathrm{p}\mathrm{s},\mathrm{i}}{A}_{\mathrm{p},\mathrm{i}}{h}_{\mathrm{p}.\mathrm{i}}+f_{\mathrm{y}}{A}_{\mathrm{s}}{h}_{\mathrm{0}}-\mathrm{0.5}\alpha f_{\mathrm{c}}(b_{\mathrm{f}}^{\mathrm{\text{'}}}-b){h_{\mathrm{f}}^{\mathrm{\text{'}}}}^{\mathrm{2}}-

\mathrm{0.5}\alpha f_{\mathrm{c}}b{x}^{\mathrm{2}}-{\sigma }_{\mathrm{s}}^{\mathrm{\text{'}}}{A}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{\text{'}}}{a}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{\text{'}}}（16）

当x_cu ≤ hʹ_f时，则有：

\alpha f_{\mathrm{c}}{b}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{\text{'}}}x+{\sigma }_{\mathrm{s}}^{\mathrm{\text{'}}}{A}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{\text{'}}}=f_{\mathrm{y}}{A}_{\mathrm{s}}+f_{\mathrm{p}\mathrm{s},\mathrm{e}}{A}_{\mathrm{p},\mathrm{e}}+f_{\mathrm{p}\mathrm{s},\mathrm{i}}{A}_{\mathrm{p},\mathrm{i}}+

k_{\lambda }{f}_{\mathrm{t}}b(h-x/\beta )+k_{\lambda }{f}_{\mathrm{t}}(b_{\mathrm{f}}^{\mathrm{\text{'}}}-b)(h_{\mathrm{f}}^{\mathrm{\text{'}}}-x/\beta )（17）

M_{\mathrm{u}}=\mathrm{0.5}{k}_{\lambda }{f}_{\mathrm{t}}(b_{\mathrm{f}}^{\mathrm{\text{'}}}-b)({h_{\mathrm{f}}^{\mathrm{\text{'}}}}^{\mathrm{2}}-x^{\mathrm{2}}/{\beta }^{\mathrm{2}})+

\mathrm{0.5}{k}_{\lambda }{f}_{\mathrm{t}}b(h^{\mathrm{2}}-x^{\mathrm{2}}/{\beta }^{\mathrm{2}})+f_{\mathrm{p}\mathrm{s},\mathrm{e}}{A}_{\mathrm{p},\mathrm{e}}{h}_{\mathrm{p},\mathrm{e}}+

f_{\mathrm{p}\mathrm{s},\mathrm{i}}{A}_{\mathrm{p},\mathrm{i}}{h}_{\mathrm{p},\mathrm{i}}+f_{\mathrm{y}}{A}_{\mathrm{s}}{h}_{\mathrm{0}}-\mathrm{0.5}\alpha f_{\mathrm{c}}{b}_{\mathrm{f}}^{\mathrm{\text{'}}}{x}^{\mathrm{2}}-{\sigma }_{\mathrm{s}}^{\mathrm{\text{'}}}{A}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{\text{'}}}{a}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{\text{'}}}（18）

式中：A_p，i和A_p，e分别为体内和体外预应力筋面积； k_λ为考虑体内外预应力混合配束比例影响的截面受拉区UHPC抗拉强度折减系数；α、β为受压区等效矩形应力图系数，且α=0.91，β=0.74^［37］；f_ps，e为体外预应力筋极限应力；f_ps，i为体内预应力筋极限应力，取屈服强度f_py；其余符号的意义可参见图15.

3.2.1 体外预应力筋极限应力增量

针对体外预应力NC梁中体外预应力筋极限应力计算，美国AASHTO-2020规范^［38］基于塑性铰理论提出了式（19）所示的计算公式.

f_{\mathrm{p}\mathrm{s},\mathrm{e}}=f_{\mathrm{p}\mathrm{e}}+a_{\mathrm{1}}\frac{h_{\mathrm{p}}-c}{L_{\mathrm{p}}}\le f_{\mathrm{p}\mathrm{y}}（19）

式中：f_ps，e为体外预应力筋极限应力；f_pe为外荷载作用前预应力筋的有效预应力；L_p为体外预应力筋两端锚具间的总长度；h_p为体外预应力筋重心到截面上翼缘的距离；c为计算截面受压区高度；f_py为预应力钢筋的屈服强度；系数a₁的物理意义为体外预应力筋的弹性模量E_p与极限状态时梁跨中相对挠度（梁挠度与梁跨径之比）的乘积，单位为MPa，建议取值6 300^［38］.

式（19）中系数a₁的取值尚与混凝土类型和预应力筋的布置形式有关.对于预应力普通混凝土梁，规范［38］建议体外预应力筋取6 300 MPa；规范［39］建议体内无黏结预应力筋取8 000 MPa；邓继华等^［21］基于体外预应力UHPC梁的全过程分析结果，建议a₁取9 193.57 MPa.

前述的参数分析结果表明，梁的极限位移和体外预应力筋极限应力增量均与体内外预应力混合配束比例λ相关，且均随λ的增加而近似线性增加.基于此，参照式（19）提出式（20）所示体内外混合配束预应力UHPC梁体外预应力筋极限应力计算公式.

f_{\mathrm{p}\mathrm{s},\mathrm{e}}=f_{\mathrm{p}\mathrm{e}}+\mathrm{\Delta }{f}_{\mathrm{p}\mathrm{s}}\le f_{\mathrm{p}\mathrm{y}}（20a）

（20b）

式中：Δf_ps为体外预应力筋的极限应力增量；a₂和a₃为待定系数；λ为体内外预应力混合配束比例，其余符号的意义同式（19）.

基于有限元数值分析结果，经回归分析并取整得到系数a₂和a₃的数值分别为7 000和2 500.式（20b）体外预应力筋极限应力增量的预测值Δf_ps，pre与有限元数值分析结果Δf_ps，num和试验结果Δf_ps，exp的比较如图16所示，均值为0.99，变异系数为0.09，可见式（20）具有良好的预测精度.

3.2.2 受拉区UHPC抗拉强度折减系数

前文已述及，既有研究关于梁截面受拉区UHPC抗拉强度折减系数或受拉区等效均布应力折减系数k的取值差别较大，k的取值与预应力布置方式和梁高有关.文献［22］的研究表明，该系数k随钢纤维长度增大或梁高减小而增大，并提出按式（21）进行计算.

k=\frac{\mathrm{20}{l}_{\mathrm{f}}}{h}\le \mathrm{0.8}（21）

由于体外预应力筋使用效率、应力传递以及与UHPC的协同作用和体内预应力相比存在明显差异，因此，对于体内外混合配束预应力UHPC梁，该系数较全体内和全体外UHPC梁或有所差别.

将截面受拉区UHPC拉应力分布等效为矩形分布［图15（d）］，相应的UHPC拉力T_ut如式（22）所示.其中各条带应力σ_ti由二分法迭代求解轴力平衡方程得到.

T_{\mathrm{u}\mathrm{t}}=\sum {\sigma }_{\mathrm{t}\mathrm{i}}{b}_{\mathrm{t}\mathrm{i}}dx=k_{\lambda }{f}_{\mathrm{t}}b(h-x_{\mathrm{c}\mathrm{u}})（22）

分析得到系数k_λ随体内外混合配束比例λ的变化规律如图17所示.可见系数k_λ与体内外预应力混合配束比例λ有关，随着λ的增大，系数k_λ呈线性减小趋势.这主要是因为极限状态下体内预应力UHPC梁的裂缝分布细而密，体外预应力UHPC梁的裂缝分布较为集中且宽度较大，故随着体内外预应力混合配束比例λ的增加，极限状态时控制截面的裂缝宽度增大，梁截面受拉区UHPC的抗弯贡献减弱.基于分析结果和式（21），通过回归分析得到体内外混合配束预应力UHPC梁截面受拉区等效矩形应力折减系数k_λ的计算公式如式（23）所示.

k_{\lambda }=(\mathrm{1}-\mathrm{0.1}\lambda )k（23）

3.2.3 计算方法验证

以相关文献中预应力UHPC梁的试验结果^{［9-10，12，32，40-41］}和本文的有限元数值分析结果，验证抗弯承载力计算方法的适用性.体内预应力UHPC梁、体内外混合配束预应力UHPC梁和体外预应力UHPC梁数值分析结果M_num及试验结果M_exp与所提公式预测值M_pre的对比分别如图18~图20所示.可知，公式预测值与试验值和数值分析值吻合良好且具较高精度.

4 结 论

基于体内外混合配束预应力UHPC梁抗弯性能的有限元数值分析和理论分析，可得以下主要结论：

1） 当梁的破坏模式由UHPC受压破坏控制时，随体外预应力占总预应力筋面积比λ的增加，体内外混合配束预应力UHPC梁的抗弯承载力越低，而梁的极限位移、延性以及体外预应力筋的极限应力增量相应增大.

2） 分析结果表明，体内外混合配束预应力UHPC梁体外预应力筋极限应力增量随着体内外预应力混合配束比例λ的增加近似线性增加.提出了考虑λ影响的体外预应力筋极限应力增量计算公式，并以有限元数值分析结果和试验结果验证了其适用性.

3） 分析结果表明，体内外混合配束预应力UHPC梁截面受拉区UHPC抗拉强度折减系数k_λ随着体内外预应力混合配束比例λ的增大呈线性减小趋势，当λ从0增加至1.00时，k_λ降低约10%，提出了考虑λ影响的折减系数k_λ的计算公式.

4） 提出了体内外混合配束预应力UHPC梁抗弯承载力计算公式，并以有限元数值分析结果和试验结果验证了其适用性.

参考文献

[1] 陈宝春，韦建刚，苏家战，等.超高性能混凝土应用进展［J］. 建筑科学与工程学报， 2019， 36（2）： 10-20.

[2] CHEN B C， WEI J G， SU J Z， et al. State of the art progress on application of ultra-high performance concrete［J］.Journal of Architecture and Civil Engineering.2019， 36（2）：10-20. （in Chinese）

[3] 邵旭东， 樊伟， 黄政宇 ．超高性能混凝土在结构中的应用［J］．土木工程学报， 2021， 54（1）： 1-13．

[4] SHAO X D， FAN W， HUANG Z Y ．Application of ultra-high-performance concrete in engineering structures［J］．China Civil Engineering Journal，2021，54（1）：1-13．（in Chinese）

[5] 樊健生，丁然 ．超高性能混凝土在房屋建筑结构中的研究与应用进展［J］．硅酸盐学报，2023，51（5）：1246-1258．

[6] FAN J S， DING R ．Development on ultra-high performance concrete in building structures［J］．Journal of the Chinese Ceramic Society，2023，51（5）：1246-1258．（in Chinese）

[7] RABBAT B G， SOWLAT K. Behavior of 1： 5-scale segmental concrete girders with external and internal tendons［J］. Special Publication， 1990， 120： 305-314.

[8] 李国平，沈殷 ．体外预应力筋极限应力和有效高度计算方法［J］．土木工程学报，2007，40（2）：47-52．

[9] LI G P， SHEN Y ．Calculation methods for the ultimate stress and effective height of external prestressing tendons［J］．China Civil Engineering Journal，2007，40（2）：47-52．（in Chinese）

[10] YUAN A M， DAI H， SUN D S，et al ．Behaviors of segmental concrete box beams with internal tendons and external tendons under bending［J］．Engineering Structures，2013，48：623-634．

[11] 杨剑，方志 ．CFRP预应力筋超高性能混凝土T梁的受弯性能［J］．铁道学报，2009， 31（2）：94-103．

[12] YANG J， FANG Z ．Flexural behaviors of ultra high performance concrete T beams prestressed with CFRP tendons［J］．Journal of the China Railway Society，2009，31（2）：94-103．（in Chinese）

[13] 徐海宾，邓宗才 ．预应力超高性能钢纤维混凝土梁受弯性能试验研究［J］．建筑结构学报，2014，35（12）：58-64．

[14] XU H B， DENG Z C ．Experimental research on flexural behavior of prestressed ultra-high performance steel fiber concrete beams［J］．Journal of Building Structures，2014，35（12）：58-64．（in Chinese）

[15] LI H H， LI L F， FAN X，et al ．Experimental and numerical investigation on the flexural behavior of a large-scale prestressed UHPC T-shaped girder［J］．Engineering Structures，2022，272：115027．

[16] FANG Z， TIAN X， PENG F. Flexural strength of prestressed Ultra-High-Performance concrete beams［J］. Engineering Structures， 2023，279：115612．

[17] 方志， 黄正猛， 贾理 ．体外配置CFRP预应力筋RPC梁抗弯性能试验研究［J］．湖南大学学报（自然科学版），2021，48（5）：103-112．

[18] FANG Z， HUANG Z M， JIA L ．Experimental research on flexural behavior of RPC beams prestressed with external CFRP tendons［J］．Journal of Hunan University （Natural Sciences）， 2021， 48（5）：103-112．（in Chinese）.

[19] JIA L， FANG Z， HUANG Z M，et al ．Flexural behavior of UHPC beams prestressed with external CFRP tendons［J］．Applied Sciences，2021，11（19）： 9189.

[20] 李立峰，毛佳豪，叶萌，等 ．体外预应力UHPC节段梁抗弯性能试验研究［J］．湖南大学学报（自然科学版），2022，49（11）：67-76．

[21] LI L F， MAO J H， YE M，et al ．Experimental study on flexural behavior of precast segmental UHPC beams with external tendons［J］．Journal of Hunan University （Natural Sciences）， 2022， 49（11）：67-76．（in Chinese）

[22] TANAKA Y， OHTAKE A， MUSHA H， et al. Recent innovative application of UFC bridges in Japan［C］//Proceedings of FraMCoS-7， 7th international conference on fracture mechanics of concrete and concrete structures. Jeju， Korea， 2010： 24-27.

[23] LEI V Y， AUGUSTIN P C， THAMBOE T A J. Design and construction of a 50m single span ultra high performance ductile concrete composite road bridge［J］. International Journal of Sustainable Construction Engineering and Technology， 2012， 3（1）： 1-17.

[24] 石方楠 ．马来西亚Batu6桥设计与施工简介［J］．城市周刊，2019（12）：26-27， 33．

[25] SHI F N ．Brief introduction of design and construction of Batu6 bridge in Malaysia［J］．City Weekly，2019（12）：26-27， 33．（in Chinese）

[26] YE M， LI L F， PEI B D，et al ．Shear behavior of externally prestressed ultra-high-performance concrete （UHPC） T-beams without stirrups［J］．Engineering Structures，2023，288：116217．

[27] BAKER A L L ．A plastic theory of design for ordinary reinforced and prestressed concrete including moment redistribution in continuous members［J］．Magazine of Concrete Research， 1949，1（2）：57-66．

[28] NAAMAN A E， ALKHAIRI F M. Stress at ultimate in unbonded post-tensioned tendons： part 2-proposed methodology ［J］. ACI Structural Journal， 1991， 88（6）： 683-692.

[29] TAO X K， DU G C ．Ultimate stress of unbonded tendons in partially prestressed concrete beams［J］．PCI Journal，1985，30（6）：72-91．

[30] 邓继华，李冬亮，颜凌志，等 ．体外预应力UHPC梁预应力筋极限应力增量理论研究［J］．桥梁建设，2023，53（4）：55-61．

[31] DENG J H， LI D L， YAN L Z，et al ．Research on ultimate stress increment of prestressing tendons in externally-prestressed UHPC girder［J］．Bridge Construction，2023，53（4）：55-61．（in Chinese）

[32] 彭飞，方志 ．钢筋UHPC梁正截面抗弯承载力计算方法［J］．土木工程学报，2021，54（3）：86-97．

[33] PENG F， FANG Z ．Calculation approach for flexural capacity of reinforced UHPC beams［J］．China Civil Engineering Journal，2021，54（3）：86-97．（in Chinese）

[34] YANG J， CHEN B C， NUTI C ．Influence of steel fiber on compressive properties of ultra-high performance fiber-reinforced concrete［J］．Construction and Building Materials，2021，302：124104．

[35] WANG Z， WANG J Q， LIU T X，et al ．Modeling seismic performance of high-strength steel–ultra-high-performance concrete piers with modified Kent–Park model using fiber elements［J］．Advances in Mechanical Engineering，2016，8（2）：1687814016633411．

[36] TIAN X， FANG Z， ZHOU T，et al ．Behavior and constitutive model of ultra-high-performance concrete under monotonic and cyclic tensile loading［J］．Construction and Building Materials，2023，389：131634．

[37] 梁兴文， 钱磊， 谭丽娜. 基于ABAQUS的混凝土损伤塑性本构关系研究［C］//第八届全国地震工程学术会议论文集（Ⅱ）.西安： 西安建筑科技大学， 2010： 363-365.

[38] LIANG X W， QIAN L， TAN L N. Based on ABAQUS， this study explores the constitutive relationship of concrete damage plasticity［C］//The Proceedings of the Eighth National Conference on Earthguake Engineering （Ⅱ）. Xi’an： Xi’an University of Architecture and Tenology， 2010， 363-365.（in Chinese）

[39] 李立峰，范昕，石雄伟，等 ．预应力UHPC梁弯曲性能分析与合理设计［J］．建筑科学与工程学报，2018，35（2）：38-46．

[40] LI L F， FAN X， SHI X W，et al ．Analysis of flexural performance and rational design of prestressed UHPC beam［J］．Journal of Architecture and Civil Engineering，2018，35（2）：38-46．（in Chinese）

[41] 预应力混凝土用钢绞线：GB/T 5224—2023 ［S］．北京：中国标准出版社，2023.

[42] Steel strand for prestressed concrete：GB/T 5224—2023 ［S］．Beijing：Standards Press of China，2023.（in Chinese）

[43] 纤维增强复合材料工程应用技术标准： GB 50608—2020 ［S］.北京：中国标准出版社，2020.

[44] Technical standard for engineering application of fiber-reinforced polymer： GB 50608—2020 ［S］. Beijing： Standards Press of China，2020.（in Chinese）

[45] 混凝土结构设计标准（2024年版）：GB 50010—2010 ［S］．北京：中华人民共和国住房城乡建设部，2024．

[46] Code for design of concrete structures：GB 50010—2010（2024 edition）［S］. Beijing：Ministry of Housing and Urban-Rural Development of the People’s Republic of China，2024．（in Chinese）

[47] JABBAR A， DANHA L S， HASAN Q A. Numerical simulation of ultra-high-performance concrete’s compressive and tensile behaviour in beams［J］. Journal of Applied Engineering Science，2023，21（2）：532-546．

[48] 方志，刘明，郑辉 ．预应力活性粉末混凝土箱梁抗弯性能试验［J］．建筑科学与工程学报，2015，32（6）：8-16．

[49] FANG Z， LIU M， ZHENG H ．Experiment on flexural behaviors of prestressed reactive powder concrete box girders［J］．Journal of Architecture and Civil Engineering，2015，32（6）：8-16．（in Chinese）

[50] 方志，周腾，刘路明，等 ．超高性能混凝土受拉性能试验研究［J］．铁道学报，2022，44（5）：157-165．

[51] FANG Z， ZHOU T， LIU L M，et al ．Experimental study on tensile properties of ultra-high performance concrete［J］．Journal of the China Railway Society，2022，44（5）：157-165．（in Chinese）

[52] 张田，侯正猛，李晓琴，等 ．混凝土塑性损伤模型参数计算方法研究［J］．计算力学学报，2024，41（6）：1130-1137．

[53] ZHANG T， HOU Z M， LI X Q，et al ．Research on the calculation of model parameters for concrete plastic damage model in ABAQUS［J］．Chinese Journal of Computational Mechanics，2024，41（6）：1130-1137．（in Chinese）

[54] PARK R ．Evaluation of ductility of structures and structural assemblages from laboratory testing［J］．Bulletin of the New Zealand Society for Earthquake Engineering，1989，22（3）：155-166．

[55] PENG F， DENG J D， FANG Z，et al. Ductility evaluation and flexural failure mode recognition of reinforced ultra-high performance concrete flexural members［J］. Structures， 2023，51：1881-1892．

[56] 活性粉末混凝土结构技术规程： DBJ 43/T 325—2017 ［S］. 北京：中国建筑工业出版社， 2017.

[57] Technical specification for reactive powder concrete dstructures：DBJ 43/T 325—2017 ［S］. Beijing：China Architecture & Building Press，2017.（in Chinese）

[58] LRFD bridge design specifications （Fifth Edition） ［S］. Washington， DC： AASHTO， 2020.

[59] Design of concrete structures： CSA A23.3-19 ［S］. Canada： CSA Group， 2019.

[60] 杨剑，方志 ．预应力超高性能混凝土梁的受弯性能研究［J］．中国公路学报，2009，22（1）：39-46．

[61] YANG J， FANG Z ．Research on flexural behaviors of prestressed ultra high performance concrete beams［J］．China Journal of Highway and Transport，2009，22（1）：39-46．（in Chinese）

[62] YANG I H，JOH C， KIM B S ．Flexural strength of large-scale ultra high performance concrete prestressed T-beams［J］. Canadian Journal of Civil Engineering，2011，38（11）：1185-1195．

基金资助

国家自然科学基金资助项目(51938012)

National Natural Science