基于非连续地基梁的新建盾构隧道下穿既有盾构隧道变形全过程分析

Full-range analysis on deformation of existing shield tunnel induced by new under-crossing tunneling based on discontinuous foundation beam model

摘要

为了探究既有盾构隧道因新建盾构隧道下穿所引起的变形响应，首先采用修正Loganathan位移解答计算新建盾构隧道全过程下穿既有盾构隧道轴线任意位置处的附加应力；其次，引入非线性Pasternak地基及非连续Euler-Bernoulli梁模型，推导既有盾构隧道在新建盾构隧道掘进中的变形响应控制方程，并利用有限差分和牛顿迭代法建立相应的计算方法；分析既有盾构隧道在新建盾构隧道掘进全过程的变形响应特性，并探究地基土层极限抗力、地基反力系数、环间接头转动刚度和剪切刚度的影响.结果表明：新建盾构隧道掘进面距离既有盾构隧道轴线较远时，所诱发的竖向变形较小，使用非线性Pasternak地基模型所计算的既有盾构隧道竖向变形与线性Pasternak地基模型的计算结果一致；随着新建盾构隧道继续掘进，既有盾构隧道竖向变形逐渐增大，非线性Pasternak地基模型计算的结果与实测数据更为吻合，而线性Pasternak地基模型高估土体抗力以致低估既有盾构隧道的竖向变形；增大土层极限抗力会减小既有盾构隧道竖向变形；既有盾构隧道的竖向变形会随着地基反力系数增大而增大，增大接头转动刚度和剪切刚度有利于减小既有盾构隧道的变形响应，并且接头剪切刚度增大可以有效减小环间错台量而转动刚度增大环间错台量则会增加.研究成果可以为合理预测新建盾构隧道下穿全过程引起既有盾构隧道的变形提供一定的理论支持.

Abstract

In order to investigate the deformation response of existing shield tunnels caused by the undercrossing of new shield tunnels， this paper focuses on the deformation analysis on existing shield tunnels caused by the undercrossing of a new shield tunnel. First， a modified Loganathan displacement solution is employed to compute the additional stress at any position along the axis of the existing shield tunnel during the entire undercrossing process of a new shield tunnel. Secondly， the nonlinear Pasternak foundation model and discontinuous Euler-Bernoulli beam model are introduced to derive the control equations for the deformation response of existing shield tunnels. A corresponding numerical calculation method is established using finite difference and Newton’s iterative schemes. Then， the deformation response characteristics of existing shield tunnels throughout the tunneling process are analyzed. Additionally， the influences of soil layer bearing capacity， foundation reaction coefficient， rotational stiffness of segment joints， and shear stiffness are explored. The results indicate that when the excavation face of the new shield tunnel is located far from the axis of the existing shield tunnel， the induced vertical deformation is relatively small， and the vertical deformation of the existing shield tunnel calculated using the nonlinear Pasternak foundation model aligns with the results from the linear Pasternak foundation model. As tunneling progresses， the vertical deformation of the existing shield tunnel gradually increases， and the results from the nonlinear Pasternak model show a closer fit to the measured data. In contrast， the linear Pasternak model tends to overestimate the soil resistance， leading to an underestimation of the vertical deformation of the existing shield tunnel. Increasing the soil layer’s ultimate bearing capacity can reduce the vertical deformation of the existing shield tunnel. Additionally， the vertical deformation increases as the foundation reaction coefficient rises. Enhancing the rotational stiffness and shear stiffness of the segment joints helps to mitigate the deformation response of the existing shield tunnel. Furthermore， increasing the shear stiffness of the joints effectively reduces the amount of differential settlement between segments， but increasing the rotational stiffness results in more differential settlement. The findings provide a theoretical approach for preliminarily predicting the deformation and internal forces of existing shield tunnels during the entire undercrossing process of new shield tunnels.

Graphical abstract

关键词

既有盾构隧道 / 非线性Pasternak模型 / 全过程变形分析 / 非连续地基梁

Key words

existing shield tunnels / nonlinear Pasternak foundation model / full-range deformation analysis / discontinuous foundation beam

目前，随着轨道交通的高速发展以及城市地下空间的限制，新建盾构隧道下穿既有盾构隧道的工程逐渐增多.新建盾构隧道下穿全过程中，施工产生的附加应力，往往会引起上部既有盾构隧道产生变形，从而导致不均匀沉降、衬砌开裂、管片错台等不利影响^［1-3］.因此，如何预测新建盾构隧道下穿全过程引起既有盾构隧道的变形，从而保护既有盾构隧道的运营安全，具有重要的工程应用和科研价值.

国内外学者针对新建盾构隧道下穿对既有盾构隧道的影响进行了一系列研究，主要方法包括理论分析法、有限元模拟^［4-5］和模型试验法^［6］.相对于复杂的有限元模拟和模型试验方法，理论分析方法能更快速便捷地预测新建盾构隧道下穿引起既有盾构隧道的变形.在理论分析方面，绝大多数学者使用Peck经验公式预测既有盾构隧道位移^［7-8］，Fang等^［9］利用高斯分布曲线拟合大直径盾构隧道下穿情况下既有地铁隧道沉降曲线，Jin等^［10］考虑隧道刚度等参数的影响，提出用来预测盾构下穿引起的既有盾构隧道沉降的经验公式.但是传统经验公式没有充分考虑盾构穿越的过程特性，只能反映隧道开挖完成后盾尾土体基本稳定的既有盾构隧道沉降，因此，部分学者开始探索如何预测盾构隧道掘进全过程所引起既有盾构隧道变形.于霖等^［11］构建考虑隧道非均匀收敛和椭圆化两种变形模式来计算三维自由地层变形，利用线性Pasternak地基模型求解盾构隧道下穿全过程中既有盾构隧道的变形响应；张琼方等^［12］综合利用Mindlin解和镜像法计算盾构掘进引起的在既有盾构隧道轴线处的附加应力，结合线性Winkler地基模型分析盾构隧道未穿越、穿越中和穿越后3种工况下既有盾构隧道竖向变形的变化趋势；魏纲等^［13］基于Mindlin解和三维统一土体移动模型解计算盾构掘进引起的既有盾构隧道轴线处的附加应力，利用最小势能原理计算盾构穿越全过程既有盾构隧道变形和附加应力；Zhou等^［14］基于Mindlin解和Loganathan及Poulos解答，提出了既有盾构隧道竖向变形曲线在整个穿越过程从“M”形到“U”形的变化；Ding等^［15］在线性Winkler地基模型理论上进一步研究大直径泥水盾构下穿饱和土时对既有盾构隧道竖向变形的影响.然而目前绝大部分的隧道与土体相互作用模型采用的是线性Winkler地基和Pasternak地基模型，这类线性地基模型的假定是地基反力随土体变形呈线性增长关系，然而实际工程中地基变形呈现明显非线性特征，即当变形量超过一定阈值后，地基反力不再遵循线性规律无限增大，而是逐步趋近于某一临界稳定值.针对线性模型的缺点，Liang等^［16-17］引入非线性Pasternak地基模型，利用Mindlin解对盾构隧道上穿、地表堆载条件下既有盾构隧道的非线性响应进行了求解，并与典型线性地基模型的计算结果进行对比，验证了非线性Pasternak地基模型的合理性；康成等^［18］在研究基坑开挖作用下的既有盾构隧道变形时指出，基坑开挖引起的地层变形较小时，线性地基模型能很好预测下方既有盾构隧道的变形，但基坑开挖引起的地层变形较大时，线性地基模型会因高估地基土体在变形较大时的抗力，以致低估既有盾构隧道的隆起变形量，而非线性Pasternak地基模型则与实测数据吻合得较好，可以合理地预测既有盾构隧道的变形.虽然有学者充分考虑了地基的非线性变形及盾构穿越全过程的特征，但是依然将既有盾构隧道视为等效连续梁，本质上忽略了既有盾构隧道环间接头对变形响应的影响，张志伟等^［19］ 在非线性Pasternak地基模型的基础上引入接头非连续盾构隧道模型，考虑环间接头弱化和土体非线性变形；梁荣柱等^［20］构建纵向梁-弹簧盾构隧道分析模型，隧道环段采用Timoshenko梁模拟，环间接头则通过转动弹簧与剪切弹簧单元模拟其力学特性，研究隧道上穿、下穿情况下既有盾构隧道的力学响应；张治国等^［21］ 将既有盾构隧道视作搁置在Kerr地基上的带有环间接头的非连续梁，采用两阶段法计算既有盾构隧道竖向变形.目前，鲜有研究综合考虑盾构隧道的非连续特征及其周围地层变形的非线性特性.

在前人研究的基础上，为了更加合理地预测新建盾构隧道下穿全过程所诱发既有盾构隧道的变形变化，本文引入非线性Pasternak地基模型和带有环间接头的非连续地基梁模型，采用两阶段方法来分析新建盾构隧道下穿既有盾构隧道的全过程变形响应.首先，基于修正Loganathan位移解答计算新建盾构隧道全过程下穿引起既有盾构隧道轴线处所产生的附加应力；其次，基于非线性Pasternak地基模型和带有环间接头的Euler-Bernoulli梁模型，建立盾构下穿引起既有盾构隧道纵向非线性变形控制微分方程；之后，基于有限差分原理和牛顿迭代方法，建立新建盾构隧道下穿全过程中既有盾构隧道竖向变形响应的理论计算方法和流程，并通过具体工程案例验证所建立计算方法的有效性.在此基础上，分析土层抗力、地基反力系数以及隧道环间转动刚度、剪切刚度等关键参数对既有盾构隧道竖向变形变化规律及分布特征的影响.

1 新建盾构隧道下穿诱发既有盾构隧道变形的分析模型

1.1 新建盾构隧道下穿全过程所引起的附加应力

如图1所示的新建盾构隧道下穿既有盾构隧道全过程的力学分析模型，将新建盾构隧道下穿分为三个阶段：1）未穿越既有盾构隧道阶段，此时隧道盾构刀盘尚没有到达既有盾构隧道的正下方，即b<0；2）正在穿越既有盾构隧道阶段，此时隧道盾构刀盘刚好到达既有盾构隧道的正下方，即b=0；3）已穿越既有盾构隧道阶段，此时隧道盾构刀盘已经超过到达既有盾构隧道的正下方，即b>0.在这三个阶段的施工过程中，隧道盾构不断推进会产生地层损失，由此而引发的附加应力会导致土体发生沉降，从而传递给既有盾构隧道并引起既有盾构隧道的变形响应.

为便于分析，本文推导进行如下假定：1）土体为均质各向同性的弹性半空间体，隧道与土体之间的相互作用可采用Pasternak地基模型模拟；2）只考虑新建盾构隧道下穿施工所造成的土体损失对既有盾构隧道的影响，在计算其引起的附加荷载时，可忽略土体中既有盾构隧道的影响；3）既有盾构隧道视为带有环间接头的Euler-Bernoulli梁，环间接头作用采用剪切弹簧和转动弹簧进行模拟；4）不考虑地下静水压力及排水固结效应的影响.

新建盾构隧道掘进下穿过程中，地层扰动及盾壳与周围土层之间的空隙等会引起地层损失及自由土体位移，从而诱发上覆既有盾构隧道产生附加变形.盾构隧道下穿所引起既有盾构隧道轴线处的附加荷载，可以采用修正Loganathan位移解^［22］进行计算：

q\left(x\right)=\frac{\mathrm{1.3}{E}_{\mathrm{s}}}{\omega D\left(\mathrm{1}+v\right)}\sqrt[\mathrm{12}]{\frac{E_{\mathrm{s}}{D}^{\mathrm{4}}}{EI}}\eta \left(y\right)R_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\times

\left\{-\frac{\mathrm{2}{z}_{\mathrm{1}}\left[{\left(x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \right)}^{\mathrm{2}}-{\left(z_{\mathrm{1}}+z_{\mathrm{0}}\right)}^{\mathrm{2}}\right]}{{\left[{\left(x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \right)}^{\mathrm{2}}+{\left(z_{\mathrm{1}}+z_{\mathrm{0}}\right)}^{\mathrm{2}}\right]}^{\mathrm{2}}}\right.+\frac{z_{\mathrm{1}}-z_{\mathrm{0}}}{{\left(x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \right)}^{\mathrm{2}}+{\left(z_{\mathrm{1}}-z_{\mathrm{0}}\right)}^{\mathrm{2}}}+

\left.\frac{\left(\mathrm{3}-\mathrm{4}v\right)\left(z_{\mathrm{1}}+z_{\mathrm{0}}\right)}{{\left(x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \right)}^{\mathrm{2}}+{\left(z_{\mathrm{1}}+z_{\mathrm{0}}\right)}^{\mathrm{2}}}\right\}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-\left[\frac{\mathrm{1.38}{\left(x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \right)}^{\mathrm{2}}}{{\left(z_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{s}}\right)}^{\mathrm{2}}}\right]-\mathrm{0.69}\frac{z_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{z_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}\right\}（1）

式中：R_{\mathrm{s}}为隧道开挖半径，m；D为既有隧道的外径处，m；z_{\mathrm{0}}为既有盾构隧道轴线处的埋深，m；z_{\mathrm{1}}为新建盾构隧道轴线处的埋深，m；\alpha为隧道和既有盾构隧道轴线的夹角；\omega为隧道埋深影响系数，\omega =\mathrm{1}+\mathrm{1}/\left(\mathrm{1.7}{z}_{\mathrm{0}}/D\right)；E_{\mathrm{s}}为土层弹性模量，Pa，EI为既有隧道等效抗弯刚度，N∙m²；v为土层泊松比；\eta \left(y\right)为地层损失率，采用陈春来等^［7］提出的修正值：

\eta \left(y\right)=\frac{{\eta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{1}-\frac{y}{\sqrt[]{y^{\mathrm{2}}+{z_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}}}\right]（2）

1.2 既有盾构隧道的非连续Euler-Bernoulli梁模型

张志伟等^［19］、梁荣柱等^［20］为同时考虑既有盾构隧道环段接头处刚度的弱化和环段间张开及错台变形，引入非连续地基梁模型，如图2所示，假设既有盾构隧道包含N个环管片，每个管片长度为l，将既有盾构隧道简化为搁置在非线性Pasternak地基上的Euler-Bernoulli梁.

既有盾构隧道由环段和接头组成，环段变形采用Euler-Bernoulli梁模拟，接头处的变形采用转动和剪切弹簧模拟，如图3所示.

新建盾构隧道下穿掘进过程中，既有盾构隧道任意管段接头两端会受到弯矩和剪力作用，且接头两端的弯矩和剪力值连续，即：

M_{}^{\left(j\right)}\left|{}_{x=jl}\right.=M_{}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}\left|{}_{x=jl}\right.=k_{\mathrm{\theta }}\mathrm{\Delta }{\theta }^{\left(j\right)}=

k_{\mathrm{\theta }}({\theta }^{\left(j\right)}\left|{}_{x=jl}\right.-{\theta }^{\left(j+\mathrm{1}\right)}\left|{}_{x=jl}\right.)（3a）

Q_{}^{\left(j\right)}\left|{}_{x=jl}\right.=Q_{}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}\left|{}_{x=jl}\right.=k_{\mathrm{s}}\mathrm{\Delta }{w}^{\left(j\right)}=

k_{\mathrm{s}}(w^{\left(j\right)}\left|{}_{x=jl}\right.-w^{\left(j+\mathrm{1}\right)}\left|{}_{x=jl}\right.)（3b）

式中：\mathrm{\Delta }\theta \mathrm{、}\mathrm{\Delta }w分别为既有盾构隧道接头两端截面的相对转角和剪切错台，m；k_{\mathrm{\theta }}\mathrm{、}{k}_{\mathrm{s}}分别为隧道环间接头转动刚度和剪切刚度，N/m，可表示为^［22-23］：

k_{\mathrm{\theta }}={\psi }_{\mathrm{\theta }}\frac{E_{\mathrm{c}}{I}_{\mathrm{c}}}{l_{\mathrm{s}}}\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}\beta }{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta +\left(\beta +\mathrm{\pi }/\mathrm{2}\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta }

k_{\mathrm{s}}={\psi }_{\mathrm{s}}\frac{n_{\mathrm{b}}{\kappa }_{\mathrm{b}}{G}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}{\kappa }_{\mathrm{c}}{G}_{\mathrm{c}}{A}_{\mathrm{c}}}{\left({\kappa }_{\mathrm{c}}{G}_{\mathrm{c}}{A}_{\mathrm{c}}-n_{\mathrm{b}}{\kappa }_{\mathrm{b}}{G}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}\right)l_{\mathrm{b}}}（4）

式中：{\psi }_{\mathrm{\theta }}为接头转动刚度影响系数，因本文不考虑加固作用，故取为1；E_{\mathrm{c}}为管片的弹性模量，Pa；I_{\mathrm{c}}为管片的截面惯性矩，m⁴；l_{\mathrm{s}}为环宽，m；\beta为中性角；{\psi }_{\mathrm{s}}为剪切刚度影响系数，取为1；l_b为纵向螺栓连接长度；n_{\mathrm{b}}为纵向螺栓数量；{\kappa }_{\mathrm{b}}和{\kappa }_{\mathrm{c}}分别为螺栓和管片的剪切系数；A_b和A_c分别为纵向螺栓和管片的横截面积，m²；G_{\mathrm{b}}和G_{\mathrm{c}}分别为螺栓和管片的剪切模量，N/m².

1.3 非线性Pasternak地基模型

Liang等^［16］、康成等^［18］和柯宅邦等^［24］探究隧道上穿、基坑开挖和地面堆载对既有盾构隧道变形响应的影响时指出，盾构隧道与周围岩土体的相互作用应该充分考虑地基土层的非线性特性，并引入非线性Pasternak地基模型来预测既有盾构隧道的变形响应，如图4所示，该模型由考虑弹簧间相互作用的剪切层和双曲线函数非线性弹簧组成，对应的地基反力与竖向变形满足如下关系：

p\left(x\right)=\frac{w\left(x\right)}{k_{\mathrm{u}}^{-\mathrm{1}}+\left|w\left(x\right)\right|p_{\mathrm{u}}^{-\mathrm{1}}}-G_{\mathrm{t}}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}w\left(x\right)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}（5）

式中：w\left(x\right)和p\left(x\right)分别为既有盾构隧道所产生的竖向变形（m）及其所受到的地基反力（Pa）；G_{\mathrm{t}}为地基剪切层刚度（N/m），G_{\mathrm{t}}=E_{\mathrm{s}}{H}_{\mathrm{t}}/\left[\mathrm{6}\left(\mathrm{1}+v\right)\right]，H_{\mathrm{t}}为地基剪切层厚度（m），一般取为2.5倍既有隧道直径，v为土层的泊松比；k_{\mathrm{u}}为地基反力系数（N/m³），k_{\mathrm{u}}=p_{\mathrm{u}}/{\delta }_{\mathrm{u}}，{\delta }_{\mathrm{u}}为达到地基极限反力时对应的土体位移（m），p_{\mathrm{u}}为地层极限抗力，计算采用Wang等^［25］建议的地层极限抗力公式：

p_{\mathrm{u}}=\gamma z_{\mathrm{0}}{N}_{\mathrm{q}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\gamma D{N}_{\mathrm{\gamma }}（6）

式中：\gamma为土体重度，N/m³；z_{\mathrm{0}}为既有盾构隧道的埋深，m；N_{\mathrm{q}}、N_{\gamma }为地基承载力因子，其表达式为：

N_{\mathrm{q}}=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\mathrm{\pi }\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi \right)\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{45}°+\frac{\phi }{\mathrm{2}}\right)（7）

N_{\mathrm{\gamma }}=\mathrm{2}\left(N_{\mathrm{q}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi（8）

式中：\phi为地基土体的内摩擦角.

1.4 既有盾构隧道变形控制方程

根据第j环管片（其中，j=\mathrm{1,2},\cdots ,N）的受力平衡，可得到其在非线性Pasternak地基上的竖向变形微分方程^［16］：

EI\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{4}}{w}^{\left(j\right)}\left(x\right)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{4}}}+\frac{D{w}^{\left(j\right)}\left(x\right)}{k_{\mathrm{u}}^{-\mathrm{1}}+\left|w^{\left(j\right)}\left(x\right)\right|p_{\mathrm{u}}^{-\mathrm{1}}}-

G_{\mathrm{t}}D\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{w}^{\left(j\right)}\left(x\right)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}=D{q}^{\left(j\right)}\left(x\right)（9）

式中：q^{\left(j\right)}\left(x\right)为新建盾构隧道下穿对既有盾构隧道第j环管片产生的附加荷载，N.

假设新建盾构隧道下穿位置距离既有盾构隧道车站较远，在分析其掘进所引起的既有盾构隧道竖向变形时，既有盾构隧道两端可视为自由边界条件，即既有盾构隧道两端边界处的弯矩和剪力为0：

\left\{\begin{array}{l}{M}^{\left(\mathrm{1}\right)}\left|{}_{x=\mathrm{0}}\right.=M^{\left(N\right)}\left|{}_{x=Nl}\right.=\mathrm{0}\\ Q^{\left(\mathrm{1}\right)}\left|{}_{x=\mathrm{0}}\right.=Q^{\left(N\right)}\left|{}_{x=Nl}\right.=\mathrm{0}\end{array}\right.（10）

2 既有盾构隧道全过程变形响应计算

既有盾构隧道的竖向变形控制微分方程（9）为四阶非齐次方程且存在非线性项，难以获得其解析解.同时，非连续盾构隧道模型在接头处会发生转动和剪切，故式（9）在接头处不可导，因此需要分别构建既有盾构隧道环段处和接头处的差分方程以考虑非连续性的影响.这里，综合利用有限差分法和牛顿迭代法进行求解，既有盾构隧道第j环管片及其前后第j－1和j+1两环管片的离散模型如图5所示，每环管片离散成n个长度为l的单元，并且在每环管片两端增加4个虚拟节点（如-2、-1、n+1、n+2），保证既有盾构隧道在每环管片的竖向变形和弯矩连续且可导.

由有限差分方法，第j环管片第i(\mathrm{0}\le i\le n)个节点处竖向变形的各阶导数可表示为：

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{w}^{\left(j\right)}\left(x\right)}{\mathrm{d}x}=\frac{w_{i+\mathrm{1}}^{\left(j\right)}-w_{i-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}}{\mathrm{2}l}\\ \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{w}^{\left(j\right)}\left(x\right)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}=\frac{w_{i+\mathrm{1}}^{\left(j\right)}-\mathrm{2}{w}_i^{\left(j\right)}+w_{i-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}}{l^{\mathrm{2}}}\\ \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}{w}^{\left(j\right)}\left(x\right)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{3}}}=\frac{w_{i+\mathrm{2}}^{\left(j\right)}-\mathrm{2}{w}_{i+\mathrm{1}}^{\left(j\right)}+\mathrm{2}{w}_{i-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}-w_{i-\mathrm{2}}^{\left(j\right)}}{\mathrm{2}{l}^{\mathrm{3}}}\\ \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{4}}{w}^{\left(j\right)}\left(x\right)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{4}}}=\frac{w_{i+\mathrm{2}}^{\left(j\right)}-\mathrm{4}{w}_{i+\mathrm{1}}^{\left(j\right)}+\mathrm{6}{w}_i^{\left(j\right)}-\mathrm{4}{w}_{i-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}+w_{i-\mathrm{2}}^{\left(j\right)}}{l^{\mathrm{4}}}\end{array}\right.（11）

进一步，根据式（11）可得第j环管片的第i个节点的转角、弯矩和剪力表达式为：

\left\{\begin{array}{l}{\theta }_i^{\left(j\right)}=\frac{\mathrm{d}{w}^{\left(j\right)}\left(x\right)}{\mathrm{d}x}=\frac{w_{i+\mathrm{1}}^{\left(j\right)}-w_{i-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}}{\mathrm{2}l}\\ M_i^{\left(j\right)}=-EI\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{w}^{\left(j\right)}\left(x\right)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}=-EI\frac{w_{i+\mathrm{1}}^{\left(j\right)}-\mathrm{2}{w}_i^{\left(j\right)}+w_{i-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}}{l^{\mathrm{2}}}\\ Q_i^{\left(j\right)}=-EI\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}{w}^{\left(j\right)}\left(x\right)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{3}}}=\\ -EI\frac{w_{i+\mathrm{2}}^{\left(j\right)}-\mathrm{2}{w}_{i+\mathrm{1}}^{\left(j\right)}+\mathrm{2}{w}_{i-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}-w_{i-\mathrm{2}}^{\left(j\right)}}{\mathrm{2}{l}^{\mathrm{3}}}\end{array}\right.（12）

利用式（11），可将既有盾构隧道j环管片的竖向变形微分控制方程改写为有限差分表达式：

\begin{array}{l}EI\frac{w_{i+\mathrm{2}}^{\left(j\right)}-\mathrm{4}{w}_{i+\mathrm{1}}^{\left(j\right)}+\mathrm{6}{w}_i^{\left(j\right)}-\mathrm{4}{w}_{i-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}+w_{i-\mathrm{2}}^{\left(j\right)}}{l^{\mathrm{4}}}+\\ \frac{D{w}_i^{\left(j\right)}}{k_{\mathrm{u}}^{-\mathrm{1}}+\left|w_i^{\left(j\right)}\right|p_{\mathrm{u}}^{-\mathrm{1}}}-G_{\mathrm{t}}D\frac{w_{i+\mathrm{1}}^{\left(j\right)}-\mathrm{2}{w}_i^{\left(j\right)}+w_{i-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}}{l^{\mathrm{2}}}=D{q}_i^{\left(j\right)}\end{array}（13）

相应地，第j个接头处的弯矩差分表达式为：

M^{\left(j\right)}=k_{\mathrm{\theta }}\left({\theta }_{\mathrm{0}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}-{\theta }_n^{\left(j\right)}\right)=

\frac{k_{\mathrm{\theta }}}{\mathrm{2}l}\left(w_{\mathrm{1}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}-w_{-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}+w_{n-\mathrm{1}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}-w_{n+\mathrm{1}}^{\left(j\right)}\right)（14）

而第j个接头左右相邻环段的弯矩可以分别表示为：

\left\{\begin{array}{l}{M}_n^{\left(j\right)}=-EI\frac{w_{n+\mathrm{1}}^{\left(j\right)}-\mathrm{2}{w}_n^{\left(j\right)}+w_{n-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}}{l^{\mathrm{2}}}\\ M_{\mathrm{0}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}=-EI\frac{w_{\mathrm{1}}^{\left(j\right)}-\mathrm{2}{w}_{\mathrm{0}}^{\left(j\right)}+w_{-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}}{l^{\mathrm{2}}}\end{array}\right.（15）

在接头处M^{\left(j\right)}=M_n^{\left(j\right)}=M_{\mathrm{0}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}，联立式（14）和式（15）可得第j个接头处两侧虚拟节点位移w_{-\mathrm{1}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}和w_{n+\mathrm{1}}^{\left(j\right)}：

\left\{\begin{array}{l}{w}_{-\mathrm{1}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}=\frac{k_{\mathrm{\theta }}l{w}_{n-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}-k_{\mathrm{\theta }}l{w}_n^{\left(j\right)}+(k_{\mathrm{\theta }}l+\mathrm{2}EI)w_{\mathrm{1}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}-EI{w}_{\mathrm{2}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}}{EI+k_{\mathrm{\theta }}l}\\ w_{n+\mathrm{1}}^{\left(j\right)}=\frac{-EI{w}_{n-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}+(k_{\mathrm{\theta }}l+\mathrm{2}EI)w_n^{\left(j\right)}-k_{\mathrm{\theta }}l{w}_{\mathrm{1}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}+k_{\mathrm{\theta }}l{w}_{\mathrm{2}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}}{EI+k_{\mathrm{\theta }}l}\end{array}\right.（16）

同理，相应地，第j个接头处剪力的差分表达式为：

Q^{\left(j\right)}=k_{\mathrm{s}}\left(w_n^{\left(j\right)}-w_{\mathrm{0}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}\right)（17）

第j个接头左右相邻环段的剪力可以分别表示为：

\left\{\begin{array}{l}{Q}_n^{\left(j\right)}=-EI\frac{w_{n+\mathrm{2}}^{\left(j\right)}-\mathrm{2}{w}_{n+\mathrm{1}}^{\left(j\right)}+\mathrm{2}{w}_{n-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}-w_{n-\mathrm{2}}^{\left(j\right)}}{\mathrm{2}{l}^{\mathrm{3}}}\\ Q_{\mathrm{0}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}=-EI\frac{w_{\mathrm{2}}^{\left(j\right)}-\mathrm{2}{w}_{\mathrm{1}}^{\left(j\right)}+\mathrm{2}{w}_{-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}-w_{-\mathrm{2}}^{\left(j\right)}}{\mathrm{2}{l}^{\mathrm{3}}}\end{array}\right.（18）

在接头处Q^{\left(j\right)}=Q_n^{\left(j\right)}=Q_{\mathrm{0}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}，联立式（17）和式（18）可得第j个接头处两侧虚拟节点位移w_{-\mathrm{2}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}和w_{n+\mathrm{2}}^{\left(j\right)}：

\left\{\begin{array}{l}{w}_{-\mathrm{2}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{2}{k}_{\mathrm{\theta }}l}{EI+k_{\mathrm{\theta }}l}{w}_{n-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}+\left(\frac{-\mathrm{2}{k}_{\mathrm{\theta }}l}{EI+k_{\mathrm{\theta }}l}+\frac{\mathrm{2}{k}_{\mathrm{s}}{l}^{\mathrm{3}}}{EI}\right)w_n^{\left(j\right)}+\\ \left(\frac{\mathrm{4}EI+\mathrm{2}{k}_{\mathrm{\theta }}l}{EI+k_{\mathrm{\theta }}l}-\frac{\mathrm{2}{k}_{\mathrm{s}}{l}^{\mathrm{3}}}{EI}\right)w_{\mathrm{1}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}-\frac{\mathrm{4}EI+\mathrm{2}{k}_{\mathrm{\theta }}l}{EI+k_{\mathrm{\theta }}l}{w}_{\mathrm{2}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}+w_{\mathrm{3}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}\\ w_{n+\mathrm{2}}^{\left(j\right)}=w_{n-\mathrm{2}}^{\left(j\right)}-\frac{\mathrm{4}EI+\mathrm{2}{k}_{\mathrm{\theta }}l}{EI+k_{\mathrm{\theta }}l}{w}_{n-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}+\\ \left(\frac{\mathrm{4}EI+\mathrm{2}{k}_{\mathrm{\theta }}l}{EI+k_{\mathrm{\theta }}l}-\frac{\mathrm{2}{k}_{\mathrm{s}}{l}^{\mathrm{3}}}{EI}\right)w_n^{\left(j\right)}+\left(\frac{-\mathrm{2}{k}_{\mathrm{\theta }}l}{EI+k_{\mathrm{\theta }}l}+\frac{\mathrm{2}{k}_{\mathrm{s}}{l}^{\mathrm{3}}}{EI}\right)\times \\ w_{\mathrm{1}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{2}{k}_{\mathrm{\theta }}l}{EI+k_{\mathrm{\theta }}l}{w}_{\mathrm{2}}^{\left(j+\mathrm{1}\right)}\end{array}\right.（19）

结合式（11），边界条件式（10）改写为：

\left\{\begin{array}{l}{M}_{\mathrm{0}}^{\left(\mathrm{1}\right)}=-EI\frac{w_{\mathrm{1}}^{\left(j\right)}-\mathrm{2}{w}_{\mathrm{0}}^{\left(j\right)}+w_{-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}}{l^{\mathrm{2}}}=\mathrm{0}\\ M_n^{\left(N\right)}=-EI\frac{w_{n+\mathrm{1}}^{\left(N\right)}-\mathrm{2}{w}_n^{\left(N\right)}+w_{n-\mathrm{1}}^{\left(N\right)}}{l^{\mathrm{2}}}=\mathrm{0}\\ Q_{\mathrm{0}}^{\left(\mathrm{1}\right)}=-EI\frac{w_{\mathrm{2}}^{\left(j\right)}-\mathrm{2}{w}_{\mathrm{1}}^{\left(j\right)}+\mathrm{2}{w}_{-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}-w_{-\mathrm{2}}^{\left(j\right)}}{\mathrm{2}{l}^{\mathrm{3}}}=\mathrm{0}\\ Q_n^{\left(N\right)}=-EI\frac{w_{n+\mathrm{2}}^{\left(N\right)}-\mathrm{2}{w}_{n+\mathrm{1}}^{\left(N\right)}+\mathrm{2}{w}_{n-\mathrm{1}}^{\left(N\right)}-w_{n-\mathrm{2}}^{\left(N\right)}}{\mathrm{2}{l}^{\mathrm{3}}}=\mathrm{0}\end{array}\right.（20）

由式（20）可导得既有盾构隧道两端四个虚拟节点位移表达式为：

\left\{\begin{array}{l}{w}_{{}_{-\mathrm{2}}}^{\left(\mathrm{1}\right)}=\mathrm{4}{w}_{{}_{\mathrm{1}}}^{\left(\mathrm{1}\right)}-\mathrm{4}{w}_{{}_{\mathrm{2}}}^{\left(\mathrm{1}\right)}+w_{{}_{\mathrm{3}}}^{\left(\mathrm{1}\right)}\\ w_{{}_{-\mathrm{1}}}^{\left(\mathrm{1}\right)}=\mathrm{2}{w}_{{}_{\mathrm{1}}}^{\left(\mathrm{1}\right)}-w_{{}_{\mathrm{2}}}^{\left(\mathrm{1}\right)}\\ w_{{}_{n+\mathrm{1}}}^{\left(N\right)}=\mathrm{2}{w}_{{}_n}^{\left(N\right)}-w_{{}_{n-\mathrm{1}}}^{\left(N\right)}\\ w_{{}_{n-\mathrm{2}}}^{\left(N\right)}=\mathrm{4}{w}_{{}_n}^{\left(N\right)}-\mathrm{4}{w}_{{}_{n-\mathrm{1}}}^{\left(N\right)}+w_{{}_{n-\mathrm{2}}}^{\left(N\right)}\end{array}\right.（21）

综合利用式（13）、式（16）、式（19）和式（21），可进一步将既有盾构隧道竖向变形的控制方程改写为：

{\mathit{K}}_{\mathrm{t}}\mathit{w}+\frac{\mathit{w}D}{k_{\mathrm{u}}^{-\mathrm{1}}+p_{\mathrm{u}}^{-\mathrm{1}}\left|\mathit{w}\right|}-\mathit{G}\mathit{w}=\mathit{q}（22）

式中：\mathit{w}为隧道竖向变形列向量；{\mathit{K}}_{\mathrm{t}}为既有盾构隧道的刚度矩阵；\mathit{G}为土体剪切刚度矩阵；\mathit{q}为新建盾构隧道施工在既有盾构隧道轴线处所引起的附加荷载.向量\mathit{w}和\mathit{q}及矩阵{\mathit{K}}_{\mathrm{t}}和\mathit{G}的表达式为：

\mathit{w}={\left\{{\mathit{w}}^{\left(\mathrm{1}\right)},{\mathit{w}}^{\left(\mathrm{2}\right)},\cdots ,{\mathit{w}}^{\left(N\right)}\right\}}^{\mathrm{T}}（23a）

\mathit{q}={\left\{{\mathit{q}}^{\left(\mathrm{1}\right)},{\mathit{q}}^{\left(\mathrm{2}\right)},\cdots ,{\mathit{q}}^{\left(N\right)}\right\}}^{\mathrm{T}}（23b）

{\mathit{K}}_{\mathrm{t}}=\frac{EI}{l^{\mathrm{4}}}\left[\begin{array}{ccccccc}{\mathit{A}}_{\mathrm{1}}& \mathit{B}& & & & & \mathrm{0}\\ {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{A}}_{\mathrm{2}}& \mathit{B}& & & & \\ & {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{A}}_{\mathrm{3}}& \mathit{B}& & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{A}}_{N-\mathrm{2}}& \mathit{B}& \\ & & & & {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{A}}_{N-\mathrm{1}}& \mathit{B}\\ \mathrm{0}& & & & & {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{A}}_N\end{array}\right]（23c）

\mathit{G}=G_{\mathrm{t}}D\left[\begin{array}{ccccccc}{\mathit{C}}_{\mathrm{1}}& \mathit{E}& & & & & \mathrm{0}\\ {\mathit{E}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{C}}_{\mathrm{2}}& \mathit{E}& & & & \\ & {\mathit{E}}^T& {\mathit{C}}_{\mathrm{3}}& \mathit{E}& & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & {\mathit{E}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{C}}_{N-\mathrm{2}}& \mathit{E}& \\ & & & & {\mathit{E}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{C}}_{N-\mathrm{1}}& \mathit{E}\\ \mathrm{0}& & & & & {\mathit{E}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{C}}_N\end{array}\right]（23d）

其中：

{\mathit{w}}^{\left(j\right)}=\left\{w_{\mathrm{0}}^{\left(j\right)},w_{\mathrm{1}}^{\left(j\right)},\cdots ,w_n^{\left(j\right)}\right\}，{\mathit{q}}^{\left(j\right)}=\left\{q_{\mathrm{0}}^{\left(j\right)},q_{\mathrm{1}}^{\left(j\right)},\cdots ,q_n^{\left(j\right)}\right\}，

{\mathit{A}}_{\mathrm{1}}={\left[\begin{array}{ccccccc}\mathrm{2}& -\mathrm{4}& \mathrm{2}& & & & \\ -\mathrm{2}& \mathrm{5}& -\mathrm{4}& \mathrm{1}& & & \\ \mathrm{1}& -\mathrm{4}& \mathrm{6}& -\mathrm{4}& \mathrm{1}& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \mathrm{1}& -\mathrm{4}& \mathrm{6}& -\mathrm{4}& \mathrm{1}\\ & & & \mathrm{1}& -\mathrm{4}& a_{\mathrm{1}}& a_{\mathrm{2}}\\ & & & & \mathrm{2}& b_{\mathrm{1}}& b_{\mathrm{2}}\end{array}\right]}_{\left(n+\mathrm{1}\right)\times \left(n+\mathrm{1}\right)}

{\mathit{A}}_j={\left[\begin{array}{ccccccc}{b}_{\mathrm{2}}& b_{\mathrm{1}}& \mathrm{2}& & & & \\ a_{\mathrm{2}}& a_{\mathrm{1}}& -\mathrm{4}& \mathrm{1}& & & \\ \mathrm{1}& -\mathrm{4}& \mathrm{6}& -\mathrm{4}& \mathrm{1}& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \mathrm{1}& -\mathrm{4}& \mathrm{6}& -\mathrm{4}& \mathrm{1}\\ & & & \mathrm{1}& -\mathrm{4}& a_{\mathrm{1}}& a_{\mathrm{2}}\\ & & & & \mathrm{2}& b_{\mathrm{1}}& b_{\mathrm{2}}\end{array}\right]}_{\left(n+\mathrm{1}\right)\times \left(n+\mathrm{1}\right)}

{\mathit{A}}_N={\left[\begin{array}{ccccccc}{b}_{\mathrm{2}}& b_{\mathrm{1}}& \mathrm{2}& & & & \\ a_{\mathrm{2}}& a_{\mathrm{1}}& -\mathrm{4}& \mathrm{1}& & & \\ \mathrm{1}& -\mathrm{4}& \mathrm{6}& -\mathrm{4}& \mathrm{1}& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \mathrm{1}& -\mathrm{4}& \mathrm{6}& -\mathrm{4}& \mathrm{1}\\ & & & \mathrm{1}& -\mathrm{4}& \mathrm{5}& -\mathrm{2}\\ & & & & \mathrm{2}& -\mathrm{4}& \mathrm{2}\end{array}\right]}_{\left(n+\mathrm{1}\right)\times \left(n+\mathrm{1}\right)}

\mathit{B}={\left[\begin{array}{ccccccc}& & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ a_{\mathrm{3}}& a_{\mathrm{4}}& & & & & \\ b_{\mathrm{3}}& b_{\mathrm{4}}& & & & & \end{array}\right]}_{\left(n+\mathrm{1}\right)\times \left(n+\mathrm{1}\right)}

{\mathit{C}}_{\mathrm{1}}={\left[\begin{array}{ccccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& & & & & \\ \mathrm{1}& -\mathrm{2}& \mathrm{1}& & & & \\ & \mathrm{1}& -\mathrm{2}& \mathrm{1}& & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & \mathrm{1}& -\mathrm{2}& \mathrm{1}& \\ & & & & & a_{\mathrm{4}}& -a_{\mathrm{4}}\\ & & & & & a_{\mathrm{4}}& -a_{\mathrm{4}}\end{array}\right]}_{\left(n+\mathrm{1}\right)\times \left(n+\mathrm{1}\right)}

{\mathit{C}}_j={\left[\begin{array}{ccccccc}-a_{\mathrm{4}}& a_{\mathrm{4}}& & & & & \\ -a_{\mathrm{4}}& a_{\mathrm{4}}& & & & & \\ & \mathrm{1}& -\mathrm{2}& \mathrm{1}& & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & \mathrm{1}& -\mathrm{2}& \mathrm{1}& \\ & & & & & a_{\mathrm{4}}& -a_{\mathrm{4}}\\ & & & & & a_{\mathrm{4}}& a_{\mathrm{4}}\end{array}\right]}_{\left(n+\mathrm{1}\right)\times \left(n+\mathrm{1}\right)}

{\mathit{C}}_N={\left[\begin{array}{ccccccc}-a_{\mathrm{4}}& a_{\mathrm{4}}& & & & & \\ -a_{\mathrm{4}}& a_{\mathrm{4}}& & & & & \\ & \mathrm{1}& -\mathrm{2}& \mathrm{1}& & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & \mathrm{1}& -\mathrm{2}& \mathrm{1}& \\ & & & & \mathrm{1}& -\mathrm{2}& \mathrm{1}\\ & & & & & \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]}_{\left(n+\mathrm{1}\right)\times \left(n+\mathrm{1}\right)}

\mathit{E}={\left[\begin{array}{ccccccc}& & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ & & & & & & \\ -a_{\mathrm{4}}& a_{\mathrm{4}}& & & & & \end{array}\right]}_{\left(n+\mathrm{1}\right)\times \left(n+\mathrm{1}\right)}

a_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{6}{k}_{\mathrm{\theta }}l+\mathrm{5}EI}{k_{\mathrm{\theta }}l+EI},a_{\mathrm{2}}=\frac{-\mathrm{3}{k}_{\mathrm{\theta }}l-\mathrm{2}EI}{k_{\mathrm{\theta }}l+EI},

a_{\mathrm{3}}=-\frac{k_{\mathrm{\theta }}l}{k_{\mathrm{\theta }}l+EI},a_{\mathrm{4}}=\frac{k_{\mathrm{\theta }}l}{k_{\mathrm{\theta }}l+EI}，

b_{\mathrm{1}}=-\frac{\mathrm{6}{k}_{\mathrm{\theta }}l+\mathrm{4}EI}{k_{\mathrm{\theta }}l+EI},b_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{4}{k}_{\mathrm{\theta }}l+\mathrm{2}EI}{k_{\mathrm{\theta }}l+EI}-\frac{\mathrm{2}{k}_{\mathrm{s}}{l}^{\mathrm{3}}}{EI},

b_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{2}{k}_{\mathrm{s}}{l}^{\mathrm{3}}}{EI}+\frac{\mathrm{2}{k}_{\mathrm{\theta }}l}{k_{\mathrm{\theta }}l+EI},b_{\mathrm{4}}=-\frac{\mathrm{2}{k}_{\mathrm{\theta }}l}{k_{\mathrm{\theta }}l+EI}

式（22）存在非线性项，可采用Newton迭代法求解既有盾构隧道的竖向变形向量\mathit{w}.令

\mathit{F}\left(\mathit{w}\right)={\mathit{K}}_{\mathrm{t}}\mathit{w}+\frac{\mathit{w}D}{k_{\mathrm{u}}^{-\mathrm{1}}+p_{\mathrm{u}}^{-\mathrm{1}}\left|\mathit{w}\right|}-\mathit{G}\mathit{w}-\mathit{q}（24）

假定其雅可比矩阵存在，则有

{\mathit{F}}^{\mathit{\text{'}}}\left(\mathit{w}\right)={\mathit{K}}_{\mathrm{t}}+{\mathit{K}}_{\mathrm{s}}-\mathit{G}（25）

式中：{\mathit{K}}_{\mathrm{s}}是式（24）中非线性项的雅可比矩阵，可以表示为：

{\mathit{K}}_{\mathrm{s}}=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathit{f}}^{\left(\mathrm{1}\right)}& & & & \\ & {\mathit{f}}^{\left(\mathrm{2}\right)}& & & \\ & & \ddots & & \\ & & & {\mathit{f}}^{\left(N-\mathrm{1}\right)}& \\ & & & & {\mathit{f}}^{\left(N\right)}\end{array}\right]（26）

其中：

{\mathit{f}}^{\left(\mathrm{2}\right)}={\left[\begin{array}{ccccc}{f}_{\mathrm{0}}^{\left(j\right)}& & & & \\ & f_{\mathrm{1}}^{\left(j\right)}& & & \\ & & \ddots & & \\ & & & f_{n-\mathrm{1}}^{\left(j\right)}& \\ & & & & f_n^{\left(j\right)}\end{array}\right]}_{\left(n+\mathrm{1}\right)\times \left(n+\mathrm{1}\right)}^{}

f_i^{\left(j\right)}=\frac{D}{k_{\mathrm{u}}^{-\mathrm{1}}+\left|w_i^{\left(j\right)}\right|p_{\mathrm{u}}^{-\mathrm{1}}}-\frac{D{w}_i^{\left(j\right)}}{p_{\mathrm{u}}{\left(k_{\mathrm{u}}^{-\mathrm{1}}+\left|w_i^{\left(j\right)}\right|p_{\mathrm{u}}^{-\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}}

根据牛顿迭代公式有

{\mathit{w}}^{\left(k+\mathrm{1}\right)}={\mathit{w}}^{\left(k\right)}-{\left[{\mathit{F}}^{\mathit{\text{'}}}\left({\mathit{w}}^{\left(k\right)}\right)\right]}^{-\mathrm{1}}\mathit{F}\left({\mathit{w}}^{\left(k\right)}\right)（27）

式中：{\left[{\mathit{F}}^{\mathit{\text{'}}}\left(\mathit{w}\right)\right]}^{-\mathrm{1}}为\mathit{F}\left(\mathit{w}\right)的雅可比矩阵的逆矩阵；k为迭代次数；{\mathit{w}}^{\left(k\right)}和{\mathit{w}}^{\left(k+\mathrm{1}\right)}分别为第k和第k+\mathrm{1}次迭代所求得的既有盾构隧道竖向变形向量.进一步，令{\mathit{w}}^{\left(k+\mathrm{1}\right)}-{\mathit{w}}^{\left(k\right)}=\mathbf{\Delta }{\mathit{w}}^{\left(k\right)}，则有

\mathbf{\Delta }{\mathit{w}}^{\left(k\right)}=-{\mathit{F}}^{\mathit{\text{'}}}{\left({\mathit{w}}^{\left(k\right)}\right)}^{-\mathrm{1}}\mathit{F}\left({\mathit{w}}^{\left(k\right)}\right)（28）

根据式（27），可求得既有盾构隧道竖向变形，具体实施如下：取任意非零初值{\mathit{w}}^{\left(\mathrm{0}\right)}代入可求得\mathbf{\Delta }{\mathit{w}}^{\left(\mathrm{0}\right)}，代入公式{\mathit{w}}^{\left(\mathrm{1}\right)}=\mathbf{\Delta }{\mathit{w}}^{\left(\mathrm{0}\right)}+{\mathit{w}}^{\left(\mathrm{0}\right)}，可得{\mathit{w}}^{\left(\mathrm{1}\right)}，再次把{\mathit{w}}^{\left(\mathrm{1}\right)}代入式（27）中如此循环迭代，直到m次迭代使得，其中\epsilon为误差容许范围值（可假定为\epsilon ={\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}}），则{\mathit{w}}^{\left(\mathit{m}+\mathrm{1}\right)}值为既有盾构隧道竖向变形的最终计算结果.

3 案例验证与参数分析

3.1 案例验证

Zhang等^［26］对上海市新建地铁11号线上行线盾构下穿地铁4号线工程进行了现场监测，新建11号线与既有4号线轴线水平夹角为75°，盾构机直径为6.34 m，新建盾构隧道与既有盾构隧道的管片外径均为6.2 m，厚度为0.35 m.新建盾构隧道轴线埋深 z₁=25.1m，既有盾构隧道轴线埋深z_{\mathrm{0}}=17.1m.既有盾构隧道主要位于砂质粉土地层中，泊松比为0.26，土体弹性模量为20.5 MPa，土体的重度20 kN/m³，内摩擦角\phi=28°，黏聚力c=25.2 kPa，V_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{s}}取0.25%，地基反力q_{\mathrm{u}}取100 kPa，既有盾构隧道接头的转动刚度和剪切刚度分别为6.5×10⁷ kN·m/rad和2.2×10⁶ kN/m.

图6给出了既有盾构隧道在新建盾构隧道不同掘进施工阶段（即b=-10 m，b=0 m，b=10 m）的竖向变形分布，并用线性Pasternak地基模型进行对比.可以看出，新建盾构隧道下穿掘进过程中所引起的既有盾构隧道竖向变形，主要集中于其与新建盾构隧道的交叉位置附近，约±30 m的范围内，并呈现对称分布特征.同时，随着新建盾构隧道的不断掘进，既有盾构隧道的竖向沉降变形越来越大，在开始阶段（即b=-10 m），新建盾构隧道距离既有盾构隧道较远，产生的附加应力较小，非线性和线性模型计算出的既有盾构隧道位移差异较小，这是由于在既有盾构隧道周围土体发生较小位移时，两种模型计算出的阻力差异较小，既有盾构隧道周围土体表现出线性变形行为，如图6所示；随着新建盾构隧道到达既有盾构隧道轴线正下方（即b=0 m），附加应力逐渐增大，导致既有盾构隧道竖向变形更加明显，同时在这一阶段非线性模型计算出的竖向变形与线性模型的计算结果开始出现差异；新建盾构隧道穿越既有盾构隧道后（即b=10 m），此时两种模型的计算结果差异逐渐增大，出现这种情况的原因是既有盾构隧道周边土出现较大的位移，导致非线性变形行为更加明显，在相同位移情况下，非线性地基模型预测周边土体的阻力比线性模型更小.也就是说，新建盾构隧道施工引起既有盾构隧道竖向变形较大时，非线性地基模型在预测既有盾构隧道竖向变形时更具有准确性，因为它能够在较高的应力条件下解释复杂的隧道周边土变形行为.相反，在位移较小的情况下，两种模型计算的最大位移基本一致.

图7给出了非线性Pasternak地基模型和线性模型计算所给出的既有盾构隧道环间错台量对比，可以看出，随着新建盾构隧道的不断推进，既有盾构隧道的环间错台量不断增大.不同于竖向沉降分布曲线，既有盾构隧道的环间错台量围绕其与新建盾构隧道的交叉点呈现反对称分布，且其在交叉点处为零；随着与交叉点距离的增加，既有盾构隧道的环间错台量呈现先增大至峰值而后逐渐衰减至零的特征，即既有盾构隧道的错台变形主要发生在新建盾构隧道下穿位置的两侧.同时，非线性地基由于考虑土体的非线性变形，计算出的错台量要略大于线性模型.

3.2 参数分析

本节采用上海市新建地铁11号线上行线盾构下穿地铁4号线工程为例，分析土层极限抗力p_{\mathrm{u}}、地基反力系数k_{\mathrm{u}}、接头转动刚度影响系数{\psi }_{\mathrm{\theta }}、接头剪切刚度系数{\psi }_{\mathrm{s}}对既有隧道变形的影响.

3.2.1 土层极限抗力p_{\mathrm{u}}

不同的土层极限抗力p_{\mathrm{u}}引起既有盾构隧道的最大竖向变形、竖向变形分布、环间错台量如图8所示.由图8（a）、（b）可以看出，随着土层极限抗力的增大，既有盾构隧道竖向变形逐渐减小，在开始阶段，即（b<0），土层极限抗力的影响较小，而在穿越后期，即（b>0），这种影响变得更为显著.当b=10 m，p_{\mathrm{u}}等于50 kPa时，非线性模型计算出的最大位移约为2.5 mm，而线性模型计算出的结果约为2 mm；而当q_{\mathrm{u}}增大到500 kPa时，线性和非线性地基模型预测的既有盾构隧道沉降曲线较为一致，最大位移差异仅有0.03 mm.图8（c）给出了既有盾构隧道的错台分布曲线，可以看出，错台曲线分布为卧式“S”形 ，其最大绝对值位置靠近隧道中心.与图8（a）（b）相似，随着土层极限抗力的增大，隧道的错台逐渐减小.当p_{\mathrm{u}}增加到500 kPa时，土层极限抗力的变化对变形响应的影响不显著.这些结果表明，扩大周围土层极限抗力有利于降低既有盾构隧道的变形响应，特别是在穿越既有盾构隧道的后期阶段.

3.2.2 地基反力系数k_{\mathrm{u}}

图9描述了地基反力系数对隧道穿越既有盾构隧道变形响应的影响.假定土层极限抗力p_u为1 000 kPa，地基反力系数k_u分别取为1 250 kN/m³、2 500 kN/m³、 3 750 kN/m³和5 000 kN/m³.结果表明，随着地基反力系数的增大，既有盾构隧道的竖向变形、错台量也不断增大，且在1 250 kN/m³增大至2 500 kN/m³时变形响应变化较为明显，最大竖向变形从1.85 mm增大到2 mm.图9（a）表明，周围土的地基反力系数在隧道穿越初始阶段（即b<0）影响较小，而在穿越后期（即b≥0）影响较大.随着地基反力系数的增加，错台量的分布曲线逐渐向既有盾构隧道中心位置收敛，这表明受隧道施工影响的主要区域变窄，究其原因是周围土地基反力系数更大表明土层刚度更大，导致既有盾构隧道周围土变形更加明显.

3.2.3 接头转动刚度影响系数{\psi }_{\mathrm{\theta }}

为研究接头转动刚度影响系数{\psi }_{\mathrm{\theta }}对既有盾构隧道变形的影响，选取变形响应较为明显的土层参数进行分析，选取土层极限抗力q_{\mathrm{u}}=50 kPa、地基反力系数k_{\mathrm{u}}= 3 750 kN/m³.接头转动刚度系数{\psi }_{\mathrm{\theta }}分别取10^-3、10^-2、10^-1、1、10¹、10²、10³，如图10所示.从图中可以看出，接头转动刚度的增大可以显著减小既有盾构隧道的变形响应，以{\psi }_{\mathrm{\theta }}=10^-1为中心，既有盾构隧道变形响应随着{\psi }_{\mathrm{\theta }}=10^-3增大到10^-1呈现先减小后增大的趋势，同理{\psi }_{\mathrm{\theta }}=10³减小到10^-1变形响应变化也是如此.接头转动刚度影响系数的增大在降低既有盾构隧道变形响应的同时，也导致既有盾构隧道的环间错台量增加，这是因为随着接头转动刚度影响系数的增大，接头两侧的隧道环段更难发生转动.此时由于隧道的剪切刚度未发生变化，剪切刚度与转动刚度的相对刚度减小，导致既有盾构隧道发生以剪切变形为主的变形模式.

3.2.4 接头剪切刚度影响系数{\psi }_{\mathrm{s}}

图11为不同接头剪切刚度系数{\psi }_{\mathrm{s}}下既有盾构隧道变形响应分布图，选取变形响应较为明显的土层参数进行分析，选取土层极限抗力q_{\mathrm{u}}=50 kPa、地基反力系数k_{\mathrm{u}}=3 750 kN/m³.接头剪切刚度系数{\psi }_{\mathrm{s}}分别取10^-3、10^-2、10^-1、1、10¹、10²、10³.可以看出，当{\psi }_{\mathrm{s}}从10^-3增大到10³时，既有盾构隧道的竖向变形和环间错台量逐渐减小，既有盾构隧道竖向变形曲线由“阶梯”状逐渐变平滑，且阶梯的高度也在不断减小.这表明增大接头剪切刚度可以有效减小既有盾构隧道的竖向变形和环间错台量，究其原因是接头剪切刚度增大让既有盾构隧道环间的错台更难产生，从而导致环间的剪切位移对既有盾构隧道的竖向变形影响较小.同时，可以发现接头剪切刚度系数{\psi }_{\mathrm{s}}在10^-2到1和10¹到10³变化时，隧道的变形响应变化很小，说明改变接头剪切刚度对既有盾构隧道的变形响应影响存在临界值，在剪切刚度系数变化的区域范围外，隧道的变形响应变化较为明显，反之则变化较小.

4 结 论

1）基于两阶段分析方法，根据修正Loganathan位移解得到新建盾构隧道下穿全过程所引起既有盾构隧道处的附加应力表达式，并通过引入非线性Pasternak地基模型和考虑环间接头的非连续隧道模型，导得新建盾构隧道下穿全过程引起既有盾构隧道变形响应的计算方法.

2）既有盾构隧道竖向变形随着新建盾构隧道掘进而逐渐增加.在盾构下穿的初期，引起的竖向变形较小，周围地基土变形的非线性特性较为轻微，线性和非线性Pasternak地基模型都是可行的；然而，在盾构下穿的后期，引起相对较大的变形时，线性地基模型高估了土体抗力从而低估了既有盾构隧道的变形响应.相比之下，非线性Pasternak地基模型能有效反映周围地基土的变形特性，在新建隧道下穿过程中更可靠地预测既有盾构隧道的变形响应.

3）不同于传统的通过连续梁控制微分方程得到既有盾构隧道连续竖向变形曲线，本文方法得到的竖向变形曲线是非光滑的，在既有盾构隧道环段接头产生突变，突变的位移值即环间错台量，可直观地反映环间接头处的转动和剪切变形特性.

4）增大接头转动刚度和剪切刚度可有效减少既有盾构隧道变形响应；而转动刚度的增大会增大环间错台量，剪切刚度的增大会减小环间错台量；随着周围土层极限抗力的增加，既有盾构隧道的变形响应逐渐减小；地基反力系数的增加同样可以减小既有盾构隧道的变形响应，但是减小幅度会随着地基反力系数的增大而逐渐减小.

参考文献

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(52378339)

National Natural ScienceFoundation of China(52378339)

湖南省自然科学基金资助项目(2023JJ30135)

Natural Science Foundation of Hunan Province(2023JJ30135)

长沙市自然科学基金资助项目(kq2208031)

Changsha Natural Science Foundation(kq2208031)