基于机器学习的大跨桥梁涡振响应幅值预测研究

Machine learning-based prediction of vortex-induced vibrations for long-span bridges

摘要

桥梁涡振影响行车舒适性，存在安全隐患，不利于桥梁的正常运维. 振幅是评价涡振影响的重要指标，为实现涡振幅值的快速预测和评估，本文利用某大跨桥梁钢箱梁节段模型风洞试验数据集，构建基于高斯过程回归（GPR）、神经网络（NN）、随机森林回归（RFR）和梯度提升回归树（GBRT）4种机器学习算法的预测模型. 模型输入包括风攻角、气动措施和结构阻尼比，输出为涡振幅值. 为提升预测精度，采用网格搜索进行超参数优化，并结合十折交叉验证确定最优配置. 最后，通过决定系数（R²）、平均绝对误差（MAE）、均方根误差（RMSE）3项常用指标对模型预测效果进行评估. 结果表明，4种模型在测试集上的R²分别为0.81、0.88、0.84和0.90，均具备较好的预测能力，其中GBRT模型表现最佳. 在此基础上，采用加法特征解释（SHAP）方法对最优模型的决策过程进行分析，通过比较输入特征对模型的贡献程度进行重要性排序，发现结构阻尼比和栏杆抑流板是影响该桥主梁预测幅值的主要因素.

Abstract

Vortex-induced vibrations （VIV） of bridges can affect driving comfort， pose safety risks， and hinder regular operation and maintenance. Vibration amplitude is a key indicator for evaluating the influence of VIV. To enable rapid prediction and assessment of VIV amplitude， this study employs wind tunnel test data from a steel box girder segment model of a long-span bridge to develop prediction models based on four machine learning algorithms： Gaussian process regression （GPR）， neural network （NN）， random forest regression （RFR）， and gradient boosting regression tree （GBRT）. The model inputs include wind attack angle， aerodynamic measures and structural damping ratio， while the output is the amplitude of vortex vibration. To enhance prediction accuracy， hyperparameters are optimized using grid search， and 10-fold cross-validation is used to determine the optimal configuration. Model performance is evaluated using three common metrics： coefficient of determination （R²）， mean absolute error （MAE）， and root mean square error （RMSE）. The results show that the R² values on the test set for the four models are 0.81， 0.88， 0.84， and 0.90， respectively， indicating good predictive capabilities. Among them， the performance of the GBRT model is the best. Furthermore， the Shapley additive explanations （SHAP） method is applied to interpret the decision process of the optimal model. By ranking the importance of input features based on their contributions， it is found that structural damping ratio and railing-suppressor plates are the primary factors influencing the predicted vibration amplitude in this study.

大跨度桥梁由于跨径不断增加，对风的敏感性增强，易产生风致振动，如低风速下的涡激共振^［1］. 涡振是在气流与结构相互作用下产生的自激限幅振动，虽然不会直接导致桥梁瞬时失效，但其大幅振动会严重影响行车安全，长期涡振会加剧结构疲劳、缩短桥梁的使用寿命，影响桥梁的正常运维^［2］. 因此，对涡振幅值进行预测并选取有效的控制措施将其限制在容许范围内是涡振研究的重点内容.

通常，涡振控制措施包括结构措施、机械措施和气动措施三类^［3-5］. 其中，气动措施通过改变桥梁气动外形或安装气动装置，改善结构周围的气流分布，达到降低桥梁涡振幅度的目的. 现今，已有多种气动措施有效提升了桥梁的涡振性能^［6-8］. 现有的涡振研究大多基于现场实测数据、风洞试验结果和数值模拟，研究方法所需成本往往较高、试验周期相对较长，前期在气动措施的选取上也大多依赖工程经验^［9-10］. 因此，有必要研发一些高效且相对便捷的涡振预测方法.

机器学习方法基于数据驱动，而非基于物理假设，这使其在分析涡振问题时具有一定的优势. Lin等^［11］采用5种机器学习模型，包括决策树回归、K最近邻回归、随机森林回归（random forest regression， RFR）、梯度提升回归树（gradient boosting regression tree， GBRT）和直方图梯度提升回归树，评估了矩形圆柱体的风致振动，并指出GBRT的表现优于其他4种模型. Ma等^［12］利用3种不同的神经网络模型建立了流场参数（风攻角、风速和湍流）与涡振起振风速、涡振锁定区间之间的映射关系. Yan等^［13］采用支持向量机、随机森林、梯度提升决策树等模型，预测了流线型钢箱梁的涡振幅值. 除了上述基于风洞试验和CFD模拟数据的桥梁涡振预测以外，Li等^［14］利用实桥监测数据，结合决策树与支持向量机模型，预测了涡振振幅. 上述研究表明，机器学习方法通过数据训练生成的预测模型，能够有效预测桥梁的涡振幅值，并识别出影响涡振的关键因素. 然而，现有研究大多聚焦于桥梁自身的特性（如几何形状、振动频率等）及风特性（如湍流度、风攻角等），将气动措施作为输入特征的研究相对较少. 因此，有必要开展考虑气动措施影响的涡振振幅预测研究.

本文以某大跨桥梁节段模型为研究对象，利用风洞试验数据，构建了基于高斯过程回归（Gaussian process regression， GPR）、神经网络（neural network， NN）、RFR和GBRT4种机器学习算法的预测模型，选取风攻角、气动措施和结构阻尼比作为模型的输入特征，预测了涡振的幅值. 为提高预测性能，利用网格搜索与十折交叉验证，优化了各模型的超参数，并选用决定系数（R²）、平均绝对误差（mean absolute error， MAE）、均方根误差（root mean square error， RMSE）3个评估指标，分析了各模型优化后的预测效果. 另外，为增强机器学习模型预测结果的可解释性，本文采用加法特征解释（Shapley additive explanations，SHAP）方法分析了模型的决策过程，并对各个输入特征的重要性进行排序.

1 涡振数据库的建立

1.1 节段模型风洞试验

1.1.1 节段模型简介

本文以某主跨长度为739 m的钢箱梁悬索桥为研究对象，该桥主梁截面如图1所示. 采用有限元分析软件ANSYS R18.0建立该桥三维有限元模型，其一阶正对称竖弯和扭转频率分别为0.196、0.488 Hz. 基于风洞尺寸以及风速范围，在满足阻塞率的前提下，确定节段模型的缩尺比1∶60，风速比为1∶2.80，如图2所示，其中模型结构阻尼比为3.1‰. 在湖南大学风工程试验研究中心HD-2边界层风洞开展相关风洞试验.

1.1.2 风洞试验结果

根据《公路桥梁抗风设计规范》（JTG/T 3360- 01—2018）^［15］，该桥竖向涡振的最大容许位移为144 mm. 未考虑气动措施时，该桥发生了较明显的涡振现象，在0°和±3°风攻角下，该桥的涡振幅值均超过了规范允许值. 因此，参考已有的研究成果^［16-18］，选用了6种气动措施，其示意图及控制效果分别如图3和 表1所示.

由表1可见，不考虑气动措施组合时，栏杆抑流板对该桥的涡振控制最有效，但仍未满足规范要求. 当采用气动措施组合A+B+C+D+E时，即“风嘴分流板+人行道导流板+栏杆抑流板+中央稳定板+检修轨道导流板”，涡振控制效果最好，幅值可降至28.8 mm.

除了考虑气动措施以外，该桥风洞试验中也考虑了系统阻尼比对涡振控制的影响. 在仅保留抑流板的基础上，进一步测试了阻尼比为4.3‰、5.1‰、6.0‰和7.2‰时的控制效果. 结果发现，当阻尼比增至7.2‰时，在0°、+3°和-3°风攻角下，模型的涡振幅值分别降至67.3、35.7、22.9 mm.

1.2 数据预处理

为提高模型的训练效率，需对风洞试验所获得的数据进行预处理. 将风攻角、气动措施和结构阻尼比作为模型的输入特征，涡振幅值作为输出特征. 试验中采用的气动措施属于类别变量，利用独热编码方式转换为模型能够处理的数值型特征. 6种气动措施A~F分别被编码为0或1的二元变量，若某一气动措施被采纳，则其对应的编码为1；若该措施未被采纳，则对应编码为0. 另外，输入特征的大小和维度不同会导致模型的训练效率低下，为避免此类问题，对风攻角和结构阻尼比的试验数据进一步进行归一化处理，如式（1）所示.

x^{\text{'}}=\frac{x-x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{x_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}（1）

式中：x为原始特征值；x_min为样本中的最小值；x_max为样本中的最大值；x'为归一化后的特征值.

由于本文数据源于某桥的节段模型风洞试验，试验过程中，该模型的外形与尺寸未发生变化，受试验数据影响，未将几何参数作为变量输入模型. 最终，模型包含8个输入特征（风攻角、结构阻尼比、6种气动措施类别）和1个输出特征（涡振幅值），风洞试验共收集到60个样本构建数据库.

2 机器学习模型的构建

本文选取4类代表性机器学习模型，即GBRT、RFR、NN与GPR. 其中，GPR为贝叶斯回归方法，通常在小样本条件下表现良好，且具备可量化不确定性等优势；NN适用于学习风攻角、气动措施与振幅之间的复杂耦合；RFR与GBRT属于集成学习，可在有限样本与噪声背景下有效描述非线性关系，并保留典型特征的可解释性. 本文利用上述4种模型，从精度、稳定性与泛化性等多个角度对涡振预测结果进行对比分析，力求为涡振预测的模型选择与工程应用提供依据.

2.1 高斯过程回归（GPR）

GPR是一种基于贝叶斯推理的回归模型，通过引入高斯过程先验对数据进行建模，结合训练数据获得后验，从而进行预测和不确定性估计^［19］. 模型中的核函数用于刻画变量间的相关性，观测噪声项σ作为模型的正则化参数，有助于防止过拟合.

GPR模型定义了3种不同的核函数，分别为径向基函数（RBF）［式（2）］、马特恩核函数（Matern）［式（3）］和有理二次核函数（rational quadratic，RQ）［式（4）］，并为每个核函数设定信号方差（C=1.0）以控制核函数输出的尺度，各核函数内部的超参数均设定为初始值.

k_{\mathrm{R}\mathrm{B}\mathrm{F}}\left(x,x^{\text{'}}\right)=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{{‖x-x^{\text{'}}‖}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\mathrm{𝓁}}^{\mathrm{2}}}\right)（2）

k_{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}}\left(x,x^{\text{'}}\right)={\left(\mathrm{1}+\frac{‖x-x^{\text{'}}‖}{\mathrm{𝓁}}\right)}^{\nu }\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{‖x-x^{\text{'}}‖}{\mathrm{𝓁}}\right)（3）

k_{\mathrm{R}\mathrm{Q}}\left(x,x^{\text{'}}\right)={\left(\mathrm{1}+\frac{{‖x-x^{\text{'}}‖}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\alpha {\mathrm{𝓁}}^{\mathrm{2}}}\right)}^{-\alpha }（4）

式中：x和x'为输入特征值；ℓ为长度尺度参数；ν为平滑度参数；α为形状参数.

2.2 神经网络（NN）

NN是通过多层网络和非线性激活函数来学习输入与输出之间非线性关系的一种深度学习算法. 为提高训练效率，在NN模型中导入PyTorch库，并将试验数据转换为PyTorch Tensor，移到GPU中进行深度学习和张量计算. 如图4所示，在NN模型中建立多层感知机网络，包括1个输入层、2个隐藏层和1个输出层. 输入层包含涡振数据库中的12个输入特征；隐藏层的神经元通过ReLU激活函数［式（5）］激活，并连接对应的非线性特征；输出层生成模型的结果，即涡振幅值. 此外，由于风洞试验中所提供的样本数量有限，模型引入Dropout正则化技术，在每个隐藏层后面随机丢弃部分神经元以防止模型过拟合，提高其泛化能力^［20］.

NN模型的训练目标是调整网络中连接的权重. 将训练数据分成小批量，以减少计算机的内存消 耗并加速训练，遍历所有批量数据，计算损失函数 L［式（6）］；再利用反向传播算法更新模型的参数；当损失函数达到最小值时，使用Adam优化算法来动态调整每个参数的学习率，从而加速收敛并防止振荡，根据特定的学习率更新每个连接的权重^［21］.

\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{L}\mathrm{U}(z)=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathrm{0},z)（5）

式中：z表示神经元的加权输入.

L=\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\left(y_i-{\widehat{y}}_i\right)}^{\mathrm{2}}（6）

式中：y_i 为第i个样本的真实输出值，即实际涡振振幅；{\widehat{y}}_i为对应的模型预测值，即涡振振幅预测值；n为样本数量.

2.3 随机森林回归（RFR）

RFR是一种Bagging集成学习算法，通过构建多个决策树，再将所有树的预测结果集合成最终模型来进行回归任务，如图5所示. 本文使用Python中的scikit-learn库实现RFR模型，利用Bootstrap采样方法从训练数据中选择多个子数据集用以训练多棵决策树；在训练过程中，使用随机特征子集来进行特征选择；最终模型的预测是所有树预测结果的平均值［式（7）］.

\widehat{y}=\frac{\mathrm{1}}{T}{\displaystyle \sum _{t=\mathrm{1}}^T}{f}_t(x)（7）

式中：T表示决策树的总数量；f_t （x）为第t棵树对输入样本x的预测值；ŷ为模型输出结果，即涡振振幅预测值.

2.4 梯度提升回归树（GBRT）

GBRT是一种Boosting集成学习算法，通过不断将新树加入现有模型来提升模型的预测性能. GBRT的构建过程从一个常数模型开始，以目标变量的均值作为初始预测值；每一棵新树的训练目标是拟合前一棵树的预测误差（即残差）；新的决策树通过最小化损失函数L来拟合当前残差，并通过梯度下降算法更新当前的预测值；对每棵树的预测结果都施加一个权重（学习率）以避免过度拟合；最终的预测结果为所有树的加权和，如式（8）~式（11）所示.

f_{\mathrm{0}}(x)=\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{y}_i（8）

式中：f₀（x）为初始预测值；n为样本数量；y_i 为第i个样本的真实输出值，即涡振振幅实际值.

{r_i}^{(m)}=y_i-f_{m-\mathrm{1}}(x_i)（9）

式中：f_m-1（x_i ）为前（m-1）次迭代得到的预测值；r_i^（m）为第i个样本在第m轮迭代中的残差.

f_m(x)=f_{m-\mathrm{1}}(x)+\omega \cdot h_m(x)（10）

式中：f_m （x）为前m次迭代得到的预测值；ω为学习率；h_m （x）为第m棵树的预测值.

f_M(x)=f_{\mathrm{0}}(x)+{\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^M}\omega \cdot h_m(x)（11）

式中：M为树的数量；f_M （x）为最终预测值，即涡振振幅预测值.

3 模型的优化与评估

3.1 模型训练与优化

3.1.1 十折交叉验证

为最大限度地利用涡振数据并满足数据分布平衡的要求，本文使用十折交叉验证提高模型的泛化能力，如图6所示. 从总计60个样本中，随机抽取12个（20%）样本作为测试集，其余48个（80%）样本用来进行模型训练和验证. 随后，将这48个样本近似均分为10个子集，每个子集包含4或5个样本. 在每次交叉验证中选择9份数据用于训练，剩余1份数据作为验证集. 每一次训练和验证都计算模型误差，最终通过计算平均误差来评估该超参数组合的整体性能. 通过这种方式，模型得以被多次训练与评估，从而避免单次数据划分带来的偏差^［22］.

3.1.2 超参数优化

超参数是指在模型训练开始之前由用户预先设定的参数，包括学习率、正则化系数、树的数量与深度等. 它们主要用于控制学习过程中的关键特性，如模型结构、学习速度以及正则化策略等，影响机器学习模型的学习能力与泛化性能，其优选配置可保证预测结果的可靠性. 通常，这些超参数并非结构动力学参数，也无明确的物理意义.

为获得各模型的最优预测能力，本文分别利用网格搜索和十折交叉验证方法对4种模型进行超参数优化. 通过对手动定义子集进行详尽搜索，利用交叉验证程序中的评估指标来确定最终的参数配置，搜索空间和最优配置如表2所示.

3.2 模型性能评估

3.2.1 评估指标

为综合评估上述4种机器学习模型在预测涡振幅值中的表现，本文选用了3个不同的回归评价指标，包括决定系数（R²）、平均绝对误差（MAE）、均方根误差（RMSE）. 其中，R²用于衡量回归模型的拟合优度，反映特征与目标变量之间的关系强度，其值在0到1之间；MAE表示预测值与实际值之间的平均绝对差异，是所有预测误差的平均值；RMSE表示预测值与真实值之间差异的标准差. 具体公式如下：

R^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}-\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\left(y_i-{\widehat{y}}_i\right)}^{\mathrm{2}}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\left(y_i-\overline{y}\right)}^{\mathrm{2}}}（12）

\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{E}=\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\left|y_i-{\widehat{y}}_i\right|（13）

\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}=\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\left(y_i-{\widehat{y}}_i\right)}^{\mathrm{2}}}（14）

本文采用R²作为主判据，当测试集R²≥0.80且MAE、RMSE与同类文献处于相同数量级时，可认定为具有工程应用价值的“可接受”预测精度^［11-14］.

3.2.2 评估结果

基于Python语言，在Jupyter Notebook平台实现以上4种机器学习算法，训练结果如图7和表3所示. 图7的横坐标表示预测值，纵坐标表示实际值，蓝色点与黄色点分别代表模型在训练集和测试集上的表现.

GPR、NN、RFR和GBRT模型在训练集上均表现出优异的预测性能，R²分别为0.96、0.99、0.98和0.99，表明模型能够较好地拟合训练数据. 而在处理测试数据时，模型的能力存在差异性，在测试集上的R²分别降至0.81、0.88、0.84和0.90，均未能达到训练集中的表现. GBRT在研究的数据集上获得最高R²，NN次之，GPR的R²最低.

对模型的MAE和RMSE进行进一步分析，如 图8所示. 在训练集中，NN模型的MAE（0.58）和RMSE（0.85）最低，有较强的预测能力，但其测试集中的相应误差较大. GBRT模型的MAE和RMSE在训练集和测试集中较低且均衡，与其他3种模型相比，具有更好的泛化能力. 此外，GPR和RFR模型也表现出较强的预测涡振幅值的能力，但仍不如GBRT和NN模型的性能.

综上所述，本研究中构建的4种机器学习模型在预测涡振幅值方面展现出了良好的适用性. 通过应用最佳的超参数配置，所有模型均取得令人满意的预测性能. 其中，具有最佳超参数配置的GBRT模型的预测表现最为优越，测试集中的R²为0.90、MAE为28.81、RMSE为36.61.

4 模型的SHAP分析

机器学习模型通常被视为“黑盒”，其输入与输出之间的关系复杂且难以直观理解^［23］. SHAP方法作为一种基于博弈论和局部解释的方法，能够解释机器学习模型的输出^［24］. 本节基于最优配置的GBRT模型，应用SHAP方法对其预测行为进行解释，结合全局特征重要性排序与个体样本的局部解释，深入揭示输入变量对输出结果的贡献机制.

4.1 SHAP值

SHAP的核心概念在于计算每个输入特征的Shapley值（简称SHAP值）来构建解释模型，其解释模型是一种加法特征归因方法，可以近似原始模型的行为，其形式化表达如下式所示^［25］：

f(x)={\phi }_{\mathrm{0}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{\phi }_i（15）

式中：f（x）为模型的预测输出；φ₀为模型的基线值（所有特征均缺失时的期望输出）；m为输入特征的数量；φ_i 为输入特征x_i 对模型预测的贡献（SHAP值）.

对于某一输入样本x，SHAP值衡量的是每个特征对模型预测结果的贡献，如式（16）所示.

{\phi }_i=\sum _S\frac{\left|S\right|!\left(\left|N\right|-\left|S\right|-\mathrm{1}\right)!}{\left|N\right|!}\left[f(S\bigcup \left\{i\right\})-f(S)\right]（16）

式中：N是特征集合；S是不包含特征x_i 的子集；f（S）是模型在特征子集S上的预测结果；f（S\bigcup｛i｝）是在特征子集S上加入x_i 特征后的预测结果.

4.2 模型的局部解释

SHAP的局部解释是分析在特定样本的预测中，各个特征所发挥的具体作用. 为了便于直观理解，以在0°和±3°风攻角下，气动措施组合为A+B+C+D+E的3个样本（即样本45~47）为例，解释模型的预测结果，如图9所示.

图9中，横坐标表示模型预测输出f（x）的数值尺度，箭头的长度和方向表示其SHAP值贡献. 红色箭头表示该特征对模型预测输出产生正向贡献，即推动预测振幅增大；蓝色箭头表示该特征对模型预测输出产生负向贡献，即推动预测振幅减小. 纵坐标表示参与预测解释的特征变量，按照SHAP值的绝对值由大到小排列. E［f（x）］为模型预测输出的基线值，即全部样本预测输出的期望值. 当前样本的预测输出f（x）由基线值通过各影响因素的SHAP值推动得出. 样本45~47的局部解释显示，气动措施C（栏杆抑流板）和B（人行道导流板）是影响模型预测输出的主要特征.

4.3 模型的全局解释

对整个数据库进行SHAP值计算分析，如图10所示. 横坐标表示SHAP值，其正负分别表示该特征对模型输出的正向或负向影响程度. 纵坐标表示输入特征类别. 图中散点颜色表示对应特征值大小，红色表示高特征值，蓝色表示低特征值.

从图中可以看出，ξ（结构阻尼比）和气动措施C（栏杆抑流板）是影响模型预测的两个主要特征，它们的SHAP值分布范围较大且变化较为明显，尤其是ξ（结构阻尼比）的高特征值（红色）导致模型输出显著下降.

为便于直观对比，图11进一步给出了各个特征对模型预测的重要性百分比，每个条形图代表各 特征的SHAP值，用以衡量其对模型输出的贡献.由图11可见，ξ（结构阻尼比）和气动措施C（栏杆抑流板）对涡振幅值的预测影响最显著，重要性分别达到了38.5%和38.3%，说明两者在模型输出方面占据主导影响地位，而其他特征对模型预测虽有所贡献，但影响相对较小.

5 结 论

本文利用某大跨桥梁钢箱梁节段模型风洞试验数据集，构建了基于GPR、NN、RFR和GBRT 4种机器学习算法的预测模型，通过网格搜索和交叉验证进行了超参数优化，确定了最优模型. 引入SHAP方法提升了模型的可解释性，从全局和局部层面量化各输入特征对预测结果的贡献，并据此进行特征重要性排序. 主要结论如下：

1）采用了最优超参数配置的机器学习模型可有效预测涡振幅值，其中，GBRT模型在测试集上表现最佳，R²为0.90，MAE为28.81，RMSE为36.61. 尽管GPR模型的整体性能相对较低（R²为0.81，MAE为37.94，RMSE为50.34），但其预测结果仍处于可接受范围.

2）通过SHAP方法分析特征重要性，结果显示结构阻尼比和栏杆抑流板是影响目标桥梁涡振幅值的关键因素，两者的总重要性占比为76.8%，这也与风洞试验结果相吻合.

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