基于端口宏模型的轨道电路升弓过电压分析

Rising pantograph overvoltage analysis of track circuits based on port macro-model

摘要

升弓瞬间产生的钢轨过电压会严重影响轨旁信号设备的安全运行.为了分析AT牵引供电方式下机车升弓电弧对轨道电路过电压的影响，基于Agrawal场线耦合模型建立轨道电路升弓过电压分析模型.首先推导了牵引供电与轨道电路组成的多导体传输线系统的Agrawal场线耦合模型的解，并建立了一个易于实现的宏模型.然后将提出的宏模型与电磁暂态仿真软件PSCAD中“频率相关（相位）模型”组件结合，建立用于分析轨道电路暂态响应的模型.在PSCAD软件中通过动态距离控制、击穿电压判定及电弧能量方程耦合建立升弓电弧模型，并且通过和实测数据对比验证该方法的准确性.最后，分析了道床电阻以及升弓时的接触网电压相位对钢轨升弓过电压的影响.研究结果表明：道床电阻越大，钢轨的升弓过电压峰值越大，其过电压危害越严重；升弓时电压相位角为90º时，钢轨升弓过电压峰值最大.研究结果为轨道电路抗干扰分析及过电压防护提供理论依据.

Abstract

The overvoltage generated on rails during pantograph rising can severely affect the safe operation of trackside signaling equipment. To investigate the influence of pantograph arcing on the overvoltage of track circuits in AT traction power supply systems， an overvoltage analysis model for track circuits is established based on the Agrawal’s field-to-line coupling model. Firstly， the solution of Agrawal’s field-to-line coupling model for the multi-conductor transmission line system composed of traction power supply and track circuits is derived， and an easily implementable macro-model is developed. Secondly the proposed macro-model is integrated with the “Frequency Dependent （Phase）” component in the electromagnetic transient simulation software PSCAD to establish a model for analyzing the transient response of track circuits. A pantograph arcing model is constructed in PSCAD by incorporating dynamic distance control， breakdown voltage determination， and coupling of the arc energy equation. The accuracy of the method is verified through comparison with measured data. Finally， the influence of ballast resistance and the contact wire voltage phase angle during pantograph rising on rail overvoltage is analyzed. The results show that a higher ballast resistance leads to a greater peak rail overvoltage， increasing the risk of overvoltage damage. Additionally， the peak rail overvoltage reaches its maximum when the pantograph rises at a voltage phase angle of 90°. These findings provide a theoretical basis for interference immunity analysis and overvoltage protection in track circuits.

Graphical abstract

关键词

轨道电路 / Agrawal场线耦合模型 / 升弓过电压 / PSCAD / 网压相位

Key words

track circuit / Agrawal’s field-to-line coupling model / rising pantograph overvoltage / PSCAD / voltage phase of contact line

轨道电路作为高速铁路信号控制系统的关键基础设施，其安全性与可靠性已成为影响列车运行效率与行车安全的核心要素.然而，电力机车升弓时在受电弓滑板和接触线触碰过程中可能产生电弧或电火花，并伴随着在接触网上产生暂态过电压^［1-2］.此类过电压通过机车传导至钢轨，可能导致轨道电路绝缘材料介质击穿和信号设备电子元件损伤等严重故障，严重威胁铁路信号系统的运行稳定性.因此开展轨道电路的升弓过电压分析研究十分必要.

轨道电路的升弓过电压分析，实际就是对轨道电路的暂态响应进行研究.Moraes等^［3］将场耦合模型与传输线模型相结合，基于一阶时域差分法实现单导体架空线路的过电压计算，为传输线的暂态分析提供理论基础与模型参考.Štumpf等^［4］利用Cooray-Rubinstein公式和Cagniard-de Hoop方法，提出了一种用于单导体传输线的时域场线耦合模型，但无法处理端接复杂网络和多导体传输线的情况，因此不适用于轨道电路的暂态分析.Zhao等^［5］提出数值拉氏变换法，求解了不同条件下轨道电路的时域解.赵斌等^［6］基于节点导纳法以及Q-D算法在复频域内考虑高频损耗对轨面电压的影响.目前对升降弓瞬间动车组车体过电压^［7-8］及轨道电路雷击过电压^［9-10］的研究较多，对于轨道电路的升弓过电压研究较少，因此本文提出了一种基于端口宏模型的轨道电路升弓过电压分析方法，在PSCAD中建立牵引网与轨道电路混合的多导体传输线模型以及升弓电弧模型，分析轨道电路的升弓过电压及其影响因素，为轨道电路的绝缘配合优化及过电压防护设计提供理论支持.

1 轨道电路升弓过电压仿真模型

1.1 多导体传输线端口宏模型

Agrawal的场线耦合模型可用于对轨道电路的暂态响应进行分析，相应的复频域电报方程为^［11-12］

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}{\mathit{U}}^{\mathrm{s}}(x,s)}{\mathrm{d}x}+\left[s{\mathit{L}}_{\mathrm{0}}+{\mathit{R}}_{\mathrm{0}}+{\mathit{Z}}_{\mathbf{g}}(s)\right]\cdot \mathit{I}(x,s)={\mathit{E}}_x(x,s)\\ \frac{\mathrm{d}\mathit{I}(x,s)}{\mathrm{d}x}+\left(s{\mathit{C}}_{\mathrm{0}}+{\mathit{G}}_{\mathrm{0}}\right)\cdot {\mathit{U}}^{\mathrm{s}}(x,s)=\mathrm{0}\end{array}\right.（1）

式中：{\mathit{R}}_{\mathrm{0}}为线路单位长度电阻；{\mathit{G}}_{\mathrm{0}}为电导；{\mathit{L}}_{\mathrm{0}}为电感；{\mathit{C}}_{\mathrm{0}}为电容矩阵；{\mathit{Z}}_{\mathbf{g}}是与线路集肤效应和有损大地相关的频变阻抗；{\mathit{U}}^{\mathrm{s}}(x,s)为散射电压；\mathit{I}(x,s)为全电流；{\mathit{E}}_x(x,s)为入射场的水平分量.在下文中，为了方便表示，省略了拉普拉斯变量“s”.

边界条件为

\left\{\begin{array}{l}{\mathit{U}}^{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{0}}\right)=-{\mathit{Z}}_{\mathrm{A}}\mathit{I}\left(x_{\mathrm{0}}\right)+{\int }_{\mathrm{0}}^h{\mathit{E}}_z^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}\left(x_{\mathrm{0}},z\right)\mathrm{d}z\\ {\mathit{U}}^{\mathrm{s}}\left(x_l\right)=-{\mathit{Z}}_{\mathrm{B}}\mathit{I}\left(x_l\right)+{\int }_{\mathrm{0}}^h{\mathit{E}}_z^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}\left(x_l,z\right)\mathrm{d}z\end{array}\right.（2）

式中：x_{\mathrm{0}}和x_l分别为线路的首端和末端；h为线路高度；{\mathit{E}}_z^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}(x)为垂直分量，体现在线路两端的集中电源.

为了求解式（1），将散射电压和全电流通过式（3）进行相模变换，得到其模量表达式^［13］：

\left\{\begin{array}{l}{\mathit{U}}^{\mathrm{s}}(x)={\mathit{T}}_v{\mathit{U}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{s}}(x)\\ \mathit{I}(x)={\mathit{T}}_i{\mathit{I}}_{\mathrm{m}}(x)\end{array}\right.（3）

式中：{\mathit{T}}_v为电压模变换矩阵；{\mathit{T}}_i为电流模变换矩阵；{\mathit{U}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{s}}(x)和{\mathit{I}}_{\mathrm{m}}(x)分别为散射电压和全电流对应的模量形式，将式（3）代入式（1），可得

\left\{\begin{array}{l}{\mathit{T}}_v\frac{\mathrm{d}{\mathit{U}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{s}}(x)}{\mathrm{d}x}+{\mathit{Z}}_{\mathrm{0}}\cdot \left[{\mathit{T}}_i\cdot {\mathit{I}}_{\mathrm{m}}(x)\right]={\mathit{E}}_x(x)\\ {\mathit{T}}_i\frac{\mathrm{d}{\mathit{I}}_{\mathrm{m}}(x)}{\mathrm{d}x}+{\mathit{Y}}_{\mathrm{0}}\cdot \left[{\mathit{T}}_v\cdot {\mathit{U}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{s}}(x)\right]=\mathrm{0}\end{array}\right.（4）

式中：{\mathit{Z}}_{\mathrm{0}}=s{\mathit{L}}_{\mathrm{0}}+{\mathit{R}}_{\mathrm{0}}+{\mathit{Z}}_{\mathbf{g}}(x)；{\mathit{Y}}_{\mathrm{0}}=s{\mathit{C}}_{\mathrm{0}}+{\mathit{G}}_{\mathrm{0}}.

以某一模量为例，可得散射电压和全电流如下：

\left[\begin{array}{c}{\mathit{U}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{s}}(x)\\ {\mathit{I}}_{\mathrm{m}}(x)\end{array}\right]={\int }_{x_{\mathrm{1}}}^x{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{m}}\left(x-x^{\text{'}}\right)}\left[\begin{array}{l}{\mathit{T}}_v^{-\mathrm{1}}(m,:)\cdot {\mathit{E}}_x\left(x^{\text{'}}\right)\\ \mathrm{0}\end{array}\right]\mathrm{d}{x}^{\text{'}}+

{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{m}}\left(x-x_{\mathrm{1}}\right)}\left[\begin{array}{l}{\mathit{U}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)\\ {\mathit{I}}_{\mathrm{m}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)\end{array}\right]（5）

式中：

{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{m}}\left(x-x_{\mathrm{1}}\right)}=\left[\begin{array}{cc}{\varphi }_{\mathrm{11},\mathrm{m}}\left(x-x_{\mathrm{1}}\right)& {\varphi }_{\mathrm{12},\mathrm{m}}\left(x-x_{\mathrm{1}}\right)\\ {\varphi }_{\mathrm{21},\mathrm{m}}\left(x-x_{\mathrm{1}}\right)& {\varphi }_{\mathrm{22},\mathrm{m}}\left(x-x_{\mathrm{1}}\right)\end{array}\right]=

\left[\begin{array}{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{\mathrm{\gamma }}_{\mathrm{m}}\left(x-x_{\mathrm{1}}\right)-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}{\mathrm{\gamma }}_{\mathrm{m}}\left(x-x_{\mathrm{1}}\right)\cdot Z_{\mathrm{C},\mathrm{m}}\\ -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}{\mathrm{\gamma }}_{\mathrm{m}}\left(x-x_{\mathrm{1}}\right)\cdot Z_{\mathrm{C},\mathrm{m}}^{-\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{\mathrm{\gamma }}_{\mathrm{m}}\left(x-x_{\mathrm{1}}\right)\end{array}\right]（6）

式（5）可以改写为^［14］

\left\{\begin{array}{l}{\mathit{I}}_{\mathrm{m}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)={\mathit{Y}}_{\mathrm{C},\mathrm{m}}{\mathit{U}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)-{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{\gamma }}_{\mathrm{m}}\left(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\right)}\left[{\mathit{I}}_{\mathrm{m}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)+{\mathit{Y}}_{\mathrm{C},\mathrm{m}}{\mathit{U}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)\right]\\ +{\mathit{Y}}_{\mathrm{C},\mathrm{m}}{\int }_{x_{\mathrm{1}}}^{x_{\mathrm{2}}}{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{\gamma }}_{\mathrm{m}}\left(x^{\text{'}}-x_{\mathrm{1}}\right)}\cdot \left[{\mathit{T}}_v^{-\mathrm{1}}\cdot {\mathit{E}}_x\left(x^{\text{'}}\right)\right]\mathrm{d}{x}^{\text{'}}\\ {\mathit{I}}_{\mathrm{m}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)={\mathit{Y}}_{\mathrm{C},\mathrm{m}}{\mathit{U}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)-{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{\gamma }}_{\mathrm{m}}\left(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\right)}\left[{\mathit{I}}_{\mathrm{m}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)+{\mathit{Y}}_{\mathrm{C},\mathrm{m}}{\mathit{U}}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)\right]\\ -{\mathit{Y}}_{\mathrm{C},\mathrm{m}}{\int }_{x_{\mathrm{1}}}^{x_{\mathrm{2}}}{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{\gamma }}_{\mathrm{m}}\left(x_{\mathrm{2}}-x^{\text{'}}\right)}\cdot \left[{\mathit{T}}_v^{-\mathrm{1}}\cdot {\mathit{E}}_x\left(x^{\text{'}}\right)\right]\mathrm{d}{x}^{\text{'}}\end{array}\right.（7）

式中：{\mathit{Y}}_{\mathrm{C},\mathrm{m}}和{\mathrm{\gamma }}_{\mathrm{m}}分别为特征导纳和传播常数的模量.为了求解接有非线性元件或时变元件的线路，将 式（7）转化为相域形式：

\left\{\begin{array}{l}\mathit{I}\left(x_{\mathrm{1}}\right)={\mathit{Y}}_{\mathrm{C}}\cdot {\mathit{U}}^{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)+{\mathit{I}}_{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)+{\mathit{I}}_{\mathrm{E}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)\\ \mathit{I}\left(x_{\mathrm{2}}\right)={\mathit{Y}}_{\mathrm{C}}\cdot {\mathit{U}}^{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)+{\mathit{I}}_{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)+{\mathit{I}}_{\mathrm{E}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)\end{array}\right.（8）

其中，{\mathit{Y}}_{\mathrm{C}}={\mathit{T}}_i{\mathit{Y}}_{\mathrm{C},\mathrm{m}}{\mathit{T}}_v^{-\mathrm{1}}为多导体传输线系统的特征导纳矩阵，受控电流源是

\left\{\begin{array}{l}{\mathit{I}}_{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)=-\mathit{H}\left(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\right)\cdot \left[\mathit{I}\left(x_{\mathrm{2}}\right)+{\mathit{Y}}_{\mathrm{C}}\cdot {\mathit{U}}^{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)\right]\\ {\mathit{I}}_{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)=-\mathit{H}\left(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\right)\cdot \left[\mathit{I}\left(x_{\mathrm{1}}\right)+{\mathit{Y}}_{\mathrm{C}}\cdot {\mathit{U}}^{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)\right]\end{array}\right.（9）

其中\mathit{H}(x)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{\gamma }x}，\gamma =\sqrt[]{\mathit{Y}\mathit{Z}}为传播常数.外界电磁场作用而产生的独立电流源为

\left\{\begin{array}{l}{\mathit{I}}_{\mathrm{E}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)={\mathit{Y}}_{\mathrm{C}}\cdot {\int }_{x_{\mathrm{1}}}^{x_{\mathrm{2}}}{\mathit{H}}^{\mathrm{T}}\left(x^{\text{'}}-x_{\mathrm{1}}\right)\cdot {\mathit{E}}_x\left(x^{\text{'}}\right)\mathrm{d}{x}^{\text{'}}\\ {\mathit{I}}_{\mathrm{E}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)=-{\mathit{Y}}_{\mathrm{C}}\cdot {\int }_{x_{\mathrm{1}}}^{x_{\mathrm{2}}}{\mathit{H}}^{\mathrm{T}}\left(x_{\mathrm{2}}-x^{\text{'}}\right)\cdot {\mathit{E}}_x\left(x^{\text{'}}\right)\mathrm{d}{x}^{\text{'}}\end{array}\right.（10）

式（8）可以改写为^［15］

\left\{\begin{array}{l}\mathit{I}\left(x_{\mathrm{1}}\right)={\mathit{Y}}_{\mathrm{C}}\cdot {\mathit{U}}^{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)+{\widehat{\mathit{I}}}_{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)+{\widehat{\mathit{I}}}_{\mathrm{E}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)\\ \mathit{I}\left(x_{\mathrm{2}}\right)={\mathit{Y}}_{\mathrm{C}}\cdot {\mathit{U}}^{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)+{\widehat{\mathit{I}}}_{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)+{\widehat{\mathit{I}}}_{\mathrm{E}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)\end{array}\right.（11）

其中：

\left\{\begin{array}{l}{\widehat{\mathit{I}}}_{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)=-\mathit{H}\left[{\mathit{I}}^{\mathrm{*}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)+{\mathit{Y}}_{\mathrm{C}}{\mathit{U}}^{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)\right]\\ {\widehat{\mathit{I}}}_{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)=-\mathit{H}\left[{\mathit{I}}^{\mathrm{*}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)+{\mathit{Y}}_{\mathrm{C}}{\mathit{U}}^{\mathrm{s}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)\right]\end{array}\right.（12）

\left\{\begin{array}{l}{\widehat{\mathit{I}}}_{\mathrm{E}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)={\left(\mathrm{1}-{\mathit{H}}^{\mathrm{2}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left[{\widehat{\mathit{I}}}_{\mathrm{s}\mathrm{E}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)-\mathit{H}{\widehat{\mathit{I}}}_{\mathrm{s}\mathrm{E}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)\right]\\ {\widehat{\mathit{I}}}_{\mathrm{E}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)={\left(\mathrm{1}-{\mathit{H}}^{\mathrm{2}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left[{\widehat{\mathit{I}}}_{\mathrm{s}\mathrm{E}}\left(x_{\mathrm{2}}\right)-\mathit{H}{\widehat{\mathit{I}}}_{\mathrm{s}\mathrm{E}}\left(x_{\mathrm{1}}\right)\right]\end{array}\right.（13）

根据式（11）~式（13），可以实现场线耦合模型的端口宏模型，如图1所示.该模型的最大优势在于可以直接使用PSCAD仿真元件库中的传输线内置元件（ULM），精确地处理频率相关的参数^［16］.

1.2 牵引网与轨道电路多导体传输线建模

高速铁路牵引供电系统广泛采用AT牵引供电方式，在我国高速铁路AT牵引供电系统中，牵引网结构复杂，所含的导线数目多，在典型的全并联高速铁路牵引网中，一般包含承力索、接触线、正馈线、钢轨、保护线等共计14条导线^［17］.为降低模型的复杂度，提高计算效率，根据牵引网空间导线分布情况，结合等值合并原则对导线实现等值合并^［18］.本文将接触线与承力索等值为一根导线，则单线AT牵引供电线可等值为5根导线.建立牵引网与轨道电路混合模型，如图2所示.其中，C₁为补偿电容；g₁₁、g₂₂为漏泄电导；g₂₁为道床电阻； r_ii 、 l_ij 、 c_ij （i，j=1，2，…，5）分别为电阻、电感和电容矩阵.

由于PSCAD可以精确分析处理传输线暂态响应，因此本文研究选用PSCAD作为仿真软件.实际工程中，典型的AT牵引供电网有关导线的悬挂结构如图3所示，其导线的传输类型与参数如表1所示^［19］.

根据图3，在PSCAD软件中使用其“频率相关（相位）模型”建立牵引网输电线路模型如图4所示，其中C1为正馈线，C2为保护线，C3、C4为两条钢轨，C5为接触线.各个导线的参数分别按照表1所示数据进行设置.

1.3 升弓电弧模型

在受电弓运动过程中，升降弓动作会引发弓网间隙的动态变化，当受电弓与接触线的间隙减小时，空气介质击穿将导致放电现象产生.本文基于PSCAD仿真软件搭建弓网距离模块，如图5所示.该模型包含两个关键输出量：l表示实时弓网间距，S1为接触状态的逻辑判断信号，当弓网间矩小于1 μm时，可以判定弓网可靠接触，此时S1输出为低电平，反之，若弓网间矩大于或等于该阈值，则判定弓网未可靠接触，S1输出高电平.

在受电弓运动过程中，当接触间矩缩短至临界值时，周围气体介质将发生电离放电现象并形成电弧.在标准大气压下，空气介质击穿电压与距离的经验公式如下所示^［20］.

U=\mathrm{24.55}l+\mathrm{6.66}\sqrt[]{l}（14）

式中：U为空气介质击穿电压，kV； l为弓网间距，cm.

根据式（14）搭建击穿电压模块，如图6所示，E₁为受电弓与接触线之间的电压值.该模块在空气介质未发生击穿时，S2端维持高电位状态，当空气介质击穿现象发生后，S2端电位转为低电平.

在受电弓和接触网之间的空气介质被击穿之后，会产生弓网电弧.实际工程中，接触线的上下振动可能导致弓网间出现多次接触与分离，从而导致弓网电弧多次产生.本文只分析第一次升弓电弧.根据经验，假设该交流电弧半径为恒定值、温度沿径向均匀分布，弧驻不存在空间电荷，且辐射热源和电导率为温度的函数^［21］，那么电弧电导g为

g=F(Q)=F\left[\int \left(P-P_{\mathrm{0}}\right)\mathrm{d}t\right]（15）

\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}Q}=\left(P-P_{\mathrm{0}}\right)\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}Q}（16）

式中：P为电弧输入功率，P=i^{\mathrm{2}}/g，i为电弧电流；P_{\mathrm{0}}为电弧输出功率，P_{\mathrm{0}}=k_{\mathrm{1}}{g}^{-\beta }L，L为电弧弧长，k_{\mathrm{1}}、\beta为常数.

由电弧理论可得，电弧电导g、电弧总能量Q可以表示为

g=\frac{\mathrm{\pi }{r}^{\mathrm{2}}\sigma }{L}（17）

Q=q\mathrm{\pi }{r}^{\mathrm{2}}L（18）

根据气体分子运动理论，单位体积电弧积累的能量q为

q=\mathrm{0.354}p\left(\mathrm{1}-\frac{T_{\mathrm{1}}}{T_{\mathrm{0}}}\right)（19）

式中：p为大气压强；T₁为外界环境温度；T₀为所产生电弧的温度.

基于沙哈公式的电弧理论模型，在假设大气压强p恒定且比热容不变的条件下，可推导得到电弧的电导率\sigma的表达式为

\sigma ={\sigma }_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{-\frac{m}{T_{\mathrm{0}}}}（20）

式中：{\sigma }_{\mathrm{0}}为电弧单位长度电导；m为系数.

将式（17）~式（20）代入式（16）可得

\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}t}=\frac{k_{\mathrm{2}}}{L}{i}^{\mathrm{2}}-k_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{2}}{g}^{\mathrm{1}-\beta }（21）

式（21）就是最终的电弧模型，k₁、k₂及β为电弧参数，与电弧电压幅值及持续时间有关.根据式（21）在PSCAD中搭建电弧模型如图7所示.

根据上述建立的弓网距离、击穿电压以及电弧三个模块，将其按照图8所示进行连接即可得到升弓电弧模型.并将其与前文所建牵引网与轨道电路多导体传输线模型结合，即可得到轨道电路升弓过电压仿真模型.

2 仿真验证

为验证本文所建模型的准确性.设置受电弓以2 m/s匀速运动进行动态仿真，模拟其从初始间距0.2 m至与接触线触碰的全过程.图9为弓网间隙电压与弓网间距的时程变化曲线.仿真结果表明：当受电弓运动至99.7 ms时，弓网间隙发生击穿现象；电弧形成后，间隙电压迅速降至电弧电压水平.将接触线过电压仿真计算结果与文献［22］实测数据进行对比，结果如图10所示，发现其电压波形呈现工频基波叠加高频衰减振荡的复合特征.由图10可知，仿真过电压峰值为69.23 kV，与实测数据的67.8 kV接近，并且持续时间符合《轨道交通 绝缘配合 第2部分：过电压及相关防护》（GB/T 32350.2—2015）^［23］中对于操作过电压的规定，验证了本文所建模型的准确性.

3 钢轨升弓过电压影响因素分析

3.1 钢轨漏泄电阻对钢轨升弓过电压的影响

高速铁路沿线的地质条件具有显著的复杂性，钢轨漏泄电阻作为关键电气参数，其数值受环境温度、湿度以及道床结构材料厚度等多重因素的共同影响.因此研究道床电阻对钢轨过电压的影响是必要的.分别仿真钢轨漏泄电阻值为1、5、10 Ω/km三种情况下时，钢轨升弓过电压的波形，仿真结果如图11所示.

由图11可知，在其他参数相同的条件下，钢轨漏泄电阻越大，轨道电路接收端钢轨对地过电压的峰值也随之增大.这是因为随着钢轨漏泄电阻的增大，信号在钢轨上传输时的漏泄电流越小，因此钢轨过电压峰值越大.

3.2 接触网电压相位对钢轨升弓过电压的影响

合闸瞬间，牵引网系统中将出现瞬态高频振荡现象.理论分析表明，在升弓操作暂态过程持续阶段，接触网电源电压可近似视为恒定参数.该参数的值与升弓操作瞬间接触网的电压相位有关.研究表明，当合闸操作发生时接触网电压处于幅值最大点，系统呈现出最为严峻的工作状态.为分析升弓瞬间接触网电源电压相位角对钢轨升弓过电压峰值的影响，本文借鉴相关领域研究方法^［1，22］，将系统的电气特性等效为一个受直流激励的RLC二阶振荡电路.图12为不同相位角下钢轨升弓过电压幅值的仿真结果.

从图12可知，轨道电路接收端钢轨对地过电压在不同相位角条件下峰值差距较大.当电源电压处于零相位点时，钢轨产生的升弓过电压幅值相对较低，而在相位角处于90º和270º时，钢轨产生的升弓过电压幅值较大，其中当相位角为90º时，钢轨将产生最大过电压，其峰值可达23.24 kV.理论分析结果表明，在适当的相位角下升弓可以降低钢轨过电压.

4 结 论

1） 基于Agrawal场线耦合模型提出了计算轨道电路暂态响应的端口宏模型.该模型利用PSCAD中内置的“频率相关（相位）模型”，可以直接在PSCAD中对轨道电路暂态响应进行分析.建立升弓电弧模型，通过动态距离控制、击穿电压判定及电弧能量方程耦合，实现了电弧产生至熄灭的过程.并与实测数据对比验证了模型的准确性，为轨道电路升弓过电压的计算提供了一种简单高效的方法.

2） 利用本文模型对钢轨升弓过电压影响因素进行分析.结果表明，钢轨漏泄电阻越大，钢轨上的漏泄电流越小，钢轨升弓过电压的峰值越大；升弓时接触网电源相位角对钢轨升弓过电压有较大的影响，相位角为90°时，钢轨升弓过电压峰值最大为23.24 kV，严重影响轨旁信号设备的安全运行.

3） 本文计算结果为轨道电路抗干扰分析及过电压防护提供理论依据.

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(5196070019)

National Natural Science