高速铁路高架桥区段轨道电路钢轨自阻抗分析计算

Self-impedance analysis and calculation of track circuit rails in viaduct section of high-speed railway

摘要

钢轨自阻抗是内阻抗和外阻抗的总和. 为了求解高架桥区段轨道电路钢轨自阻抗值， 提出基于部分元等效电路（partial element equivalent circuit， PEEC）的钢轨内阻抗求解方法， 考虑趋肤效应建立钢轨的部分元等效电路模型并基于渐近近似技术（asymptotic extraction technique， AET）的无穷积分项求解方法求解外阻抗， 二者结合完成高架桥区段钢轨自阻抗计算. 通过与有限元仿真数据对比， 该方法与有限元仿真结果误差小于3.9%， 说明该方法能够准确计算高架桥区段轨道电路钢轨自阻抗值. 可以利用该方法分析频率、高架桥架设高度和大地电导率等参数对高架桥区段钢轨自电阻和自电感的影响规律. 结果表明：随着轨中电流频率的增加， 钢轨自电阻值增大， 自电感值减小.当频率增加至10 000 Hz时， 自电阻值可达到15.08 mΩ/m， 自电感值可达到1.41 μH/m；随着高架桥架设高度从0~30 m增加， 钢轨自电阻逐渐增加且达到峰值， 钢轨自电感始终呈现下降的趋势；自电阻和自电感均随大地电导率的增大而减小且大地电导率对钢轨自电阻的影响比自电感的影响大. 研究结果为高速铁路高架桥区段钢轨自阻抗的精确计算以及轨道电路的优化设计提供了可靠的理论依据.

Abstract

Rail self-impedance comprises both internal and external impedance. To determine the rail self-impedance value in viaduct sections of track circuits， a method combining the partial element equivalent circuit （PEEC） approach for internal impedance and the asymptotic extraction technique （AET） for external impedance was proposed. The skin effect was taken into account in establishing a PEEC model for the rail， while the external impedance was derived using the AET method for solving infinite integral terms. By integrating these two approaches， the rail self-impedance in viaduct sections was successfully calculated. Compared with the finite element simulation data， the error between this method and the finite element simulation results is less than 3.9%， which shows that this method can accurately calculate the rail self-impedance value of the track circuit in viaduct sections. Using this method， the influence of frequency， viaduct erection height and earth conductivity on rail self-resistance and self-inductance in the viaduct section is analyzed. The results show that with the increase of the current frequency in the rail， the self-resistance value of the rail increases and the self-inductance value decreases. When the frequency increases to 10 000 Hz， the self-resistance value can reach 15.08 mΩ/m and the self-inductance value can reach 1.41 μH/m； With the increase of viaduct erection height from 0 to 30 m， the rail self-resistance gradually increases and reaches the peak， and the rail self-inductance always shows a downward trend； Both self-resistance and self-inductance decrease with the increase of earth conductivity， and the influence of earth conductivity on rail self-resistance is greater than that of self-inductance. The research results provide a reliable theoretical basis for accurate calculation of rail self-impedance and optimal design of the track circuit in the viaduct section of high-speed railway.

Graphical abstract

关键词

高架桥 / 轨道电路 / 钢轨自阻抗 / 部分元等效电路 / 有限元

Key words

viaduct / track circuits / rail self-impedance / partial element equivalent circuit / finite element method

随着高速铁路的快速发展，高架桥已成为我国铁路建设的重要形式之一.例如京沪高铁正线全长约1 318 km， 其中桥梁长度约1 140 km，占到正线长度的86.5% ^［1］. 作为列车运行控制系统的重要组成部分，轨道电路主要承担着向列车传递控制信息、实现区段占用检查以及断轨检测的重要任务，其工作性能直接影响行车安全^［2-4］.钢轨阻抗不但影响轨道电路的稳定，还是重要的牵引电流汇流通道，其大小直接影响牵引功率的稳定性^［5］.钢轨自阻抗为内阻抗与外阻抗的叠加，是钢轨阻抗的一部分，因此，对其进行准确计算不仅是分析轨道电路传输特性的基础，更是优化轨道电路设计的前提^［6］.考虑到我国大多数铁路架设在高架桥上，由于不同的地形地貌，桥梁架设高度不尽相同，会影响钢轨自阻抗值的大小，因此开展高架桥区段轨道电路的钢轨自阻抗分析计算十分必要.

目前，国内外研究人员对架空导体自阻抗的计算做了大量研究.CARSON^［7］和DOMMEL^［8］基于半无限平面大地模型，推导出了架空线路和大地回路系统的阻抗积分计算公式，该公式至今仍被广泛采用， 成为经典阻抗求解理论的重要基础.HILL等^［9-10］利用电磁场有限元法仿真计算了钢轨阻抗，通过与Carson公式的计算结果进行对比验证，证实了有限元仿真方法在钢轨阻抗求解中的正确性和可靠性，但仿真计算复杂性较大.朱军等^［11］基于复数镜像法将大地视为水平分层结构，提出了一种导线-地回路阻抗的高效计算方法，避免对Carson公式中复杂的误差函数计算，在保证计算精度的同时提高了效率. 张友鹏等^［12］提出核函数分段线性逼近法和截断法处理被积函数， 解决了传统Carson公式在考虑大地影响时存在的积分计算难题，该方法能够对钢轨自阻抗进行精确计算.张汉花等^［13］采用阻抗分解法将钢轨自阻抗分为内、外阻抗两部分分别计算， 减少了剖分规模， 避免直接求解三维有限元模型时存在的收敛困难问题，并与实测数据对比验证了该方法的正确性. 于光昊^［14］提出采用部分元等效电路的方法求解钢轨自阻抗，但在对钢轨进行等效剖分时未考虑趋肤效应的影响，剖分单元数量较多，计算过程较为复杂.以上研究均为针对路基段轨道电路钢轨阻抗的计算.对于高架桥区段的钢轨阻抗计算，XIANG等^［15］基于解耦法建立了高架桥的等值电路模型，将高架桥分为箱梁单元和桥墩单元进行简化建模，然后开展了单个桥墩的墩顶冲击响应试验，验证了电路模型的有效性. 张桂南等^［16］基于Carson理论对高速铁路高架桥路段的牵引网进行了数学模型和电气参数研究， 但未具体计算高架桥区段的钢轨阻抗值. 郭晓旭^［17］虽然计算了高架桥上导线的电气参数以及高架桥桥墩和牵引网供电回路之间的耦合系数， 但同样未深入研究架设高度变化对钢轨阻抗的具体影响. 目前针对不同电流频率和大地电导率下桥梁架设高度对钢轨自阻抗值造成的影响的研究较少.

基于以上分析，本文首先介绍了PEEC法计算钢轨内阻抗的原理.其次，对于高架桥上钢轨外阻抗的理论求解，将高架桥视为一层土壤电导率固定的均匀介质，提出采用AET方法求解Carson公式中的无穷积分项.再次，利用有限元仿真验证了该计算方法的正确性. 最后， 以高架桥区段轨道为例， 结合本文计算方法， 分析频率、高架桥架设高度、大地电导率对高架桥区段钢轨自阻抗的影响规律， 从而为高架桥区段轨道电路钢轨自阻抗的计算提供理论支撑， 同时也为桥梁区段轨道电路传输性能的优化提供可靠的理论参考.

1 计算方法简介

1.1 PEEC法求解内阻抗

PEEC方法用于三维导体结构的电磁暂态计算， 与矩量法类似， 它是从混合位积分方程推导而来^［18］. 该方法结合了电路理论与电磁场理论， 其核心优势在于以电磁场混合势为基础， 结合物理模型， 将等效电路元件与实际几何结构相统一， 通过离散化的部分电阻、电感和电容， 将电磁场问题转化为电路问题求解. 这种方法能够利用现有的电路分析技术， 有效解决复杂的场路耦合问题.

根据麦克斯韦方程组， t时刻在导体任意一点 r （ r 为位置矢量）处施加外部电场{\mathit{E}}_{\mathrm{0}}(\mathit{r},t)， 其时域的电场积分方程（electric field integral equation，EFIE）可以写成式（1）的形式：

\mathit{E}(\mathit{r},t)={\mathit{E}}_{\mathrm{0}}(\mathit{r},t)+\left[-\frac{\partial \mathit{A}(\mathit{r},t)}{\partial t}-\nabla \varphi (\mathit{r},t)\right]（1）

在包含K个导体的系统中，当激励源变化与场点响应之间不考虑时延，即采用准静态电磁（electro-magnetic quasi-static， EMQS）场假设时，式（1）中的矢量磁位\mathit{A}(\mathit{r},t)和标量电位\varphi (\mathit{r},t)可分别由式（2）、式（3）表示：

\mathit{A}(\mathit{r},t)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\frac{\mu }{\mathrm{4}\mathrm{\pi }}{\int }_{{\nu }^{\text{'}}}\frac{\mathrm{1}}{\left|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\text{'}}\right|}\mathit{J}({\mathit{r}}^{\text{'}},t)\mathrm{d}{\nu }^{\text{'}}（2）

\varphi (\mathit{r},t)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\mathrm{\pi }{\epsilon }_{\mathrm{0}}}{\int }_{{\nu }^{\text{'}}}\frac{\mathrm{1}}{\left|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\text{'}}\right|}q({\mathit{r}}^{\text{'}},t)\mathrm{d}{\nu }^{\text{'}}（3）

式中：\mathit{J}({\mathit{r}}^{\text{'}},t)为电流密度；q({\mathit{r}}^{\text{'}},t)为电荷密度；\mathit{r}\mathrm{、}{\mathit{r}}^{\text{'}}分别为场点和场源的位置矢量；\mu为介质的磁导率； {\epsilon }_{\mathrm{0}}为真空介电常数. 根据\mathit{E}=\mathit{J}/\sigma（\sigma为电导率），将式（2）和式（3）代入式（1）， 得到电场混合势积分方程如式（4）所示：

{\mathit{E}}_{\mathrm{0}}(\mathit{r},t)=\frac{\mathit{J}({\mathit{r}}^{\text{'}},t)}{\sigma }+\frac{\partial }{\partial t}\left[{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\frac{\mu }{\mathrm{4}\mathrm{\pi }}{\int }_{{\nu }^{\text{'}}}\frac{\mathit{J}({\mathit{r}}^{\text{'}},t)}{\left|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\text{'}}\right|}\mathrm{d}{\nu }^{\text{'}}\right]+

{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\mathrm{\pi }{\epsilon }_{\mathrm{0}}}\nabla {\int }_{{}_{{\nu }^{\text{'}}}}^{}\frac{q({\mathit{r}}^{\text{'}},t)}{\left|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\text{'}}\right|}\mathrm{d}{\nu }^{\text{'}}（4）

基于式（4）可以建立PEEC的RLC等效电路模型. 图1为一具有电流密度J_C分布的三维导体结构， 对其采用PEEC方法进行离散化建模.图1（a）为导体的PEEC剖分，图1（b）为导体等效电路. 图中深蓝色长方体表示PEEC离散化处理中的一个体积单元， 其电阻值可通过欧姆定律计算得到.

针对该单元串联自感的求解，文献［18］提出了考虑截面几何参数的理论计算公式，部分互感和部分电位系数如：

L_{\mathrm{p}m,n}=\frac{\mu }{\mathrm{4}\mathrm{\pi }{a}_m{a}_n}{\int }_{{\nu }_m}{\int }_{{\nu }_n}\frac{\mathrm{1}}{\left|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\text{'}}\right|}\mathrm{d}{\nu }_n\mathrm{d}{\nu }_m（5）

p_{ij}=\frac{\mathrm{1}}{S_i{S}_j}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\mathrm{\pi }{\epsilon }_{\mathrm{0}}}{\int }_{s_i}{\int }_{{}_{s_j}}\frac{\mathrm{1}}{\left|\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\text{'}}\right|}\mathrm{d}{s}_j\mathrm{d}{s}_i（6）

式中：{\nu }_m\mathrm{、}{\nu }_n分别为待求互感的2个体元胞m\mathrm{、}n， 其棱长分别为a_m\mathrm{、}{a}_n；s_i\mathrm{、}{s}_j分别为待求互感电位系数的2个面元胞i\mathrm{、}j， 其面积分别为S_i\mathrm{、}{S}_j.

若在节点1处输入幅值大小为I_{\mathrm{S}}的电流源， 根据基尔霍夫电流定律，该节点的电流方程可表示为：

\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}j\omega C_{\mathrm{1}i}{\phi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{j}\omega C_{\mathrm{12}}{\phi }_{\mathrm{2}}-\mathrm{j}\omega C_{\mathrm{13}}{\phi }_{\mathrm{3}}-\mathrm{j}\omega C_{\mathrm{14}}{\phi }_{\mathrm{4}}+\\ I_{\mathrm{11}}+I_{\mathrm{12}}+\cdots +I_{\mathrm{1}n}=I_{\mathrm{S}}\end{array}（7）

式中：j为虚数单位；ω为角频率.

节点1、2之间的电势差可以表示为：

\begin{array}{l}{\phi }_{\mathrm{1}}-{\phi }_{\mathrm{2}}-(R_{\mathrm{11}}+\mathrm{j}\omega L_{\mathrm{11}})I_{\mathrm{11}}-\mathrm{j}\omega M_{\mathrm{12}}{I}_{\mathrm{12}}-\\ \mathrm{j}\omega M_{\mathrm{13}}{I}_{\mathrm{13}}-\cdots -\mathrm{j}\omega M_{\mathrm{113}n}{I}_{\mathrm{3}n}=\mathrm{0}\end{array}（8）

在各电位节点施加相应的电流源激励， 并假设导体支路电流I和节点电位\phi为未知变量. 通过矩阵分块的原理， 将方程转化为矩阵形式， 从而得到PEEC方程的一般表达式如式（9）所示：

\left[\begin{array}{cc}\mathrm{j}\omega {\mathit{C}}_{\mathrm{S}}& {\mathit{A}}_{\mathrm{L}}\\ {\mathit{A}}_{\mathrm{L}}^{\mathrm{T}}& -(\mathit{R}+\mathrm{j}\omega \mathit{L})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathit{\phi }\\ \mathit{I}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathit{I}}_{\mathrm{S}}\\ \mathrm{0}\end{array}\right]（9）

式中：\mathit{R}表示部分电阻矩阵；\mathit{L}为部分电感矩阵；{\mathit{C}}_{\mathrm{S}}为部分电容矩阵；{\mathit{A}}_{\mathrm{L}}为电感支路邻接矩阵， 内部元素取值取决于相邻节点之间的电流流向；\mathit{I}为支路电流向量矩阵；\mathit{\phi }是节点电压向量矩阵.

基于式（5）、式（6）计算各离散导体的部分元参数， 将其代入修正后的节点电压方程求解， 可以得到各离散单元的电压电流分布， 进而分析系统的阻抗特性^［19］. 本文采用PEEC法对P60钢轨的内阻抗进行求解. 由于钢轨横截面并不规则， 而PEEC法通常采用六面体剖分原则， 所以在对钢轨进行剖分时需对钢轨做等效处理^［20］. 确保在不改变钢轨横截面面积和周长的条件下， 将其按照轨头、轨腰和轨底三部分等效， 钢轨等效尺寸由表1给出， 横截面和等效横截面示意图如图2所示.

随着频率的变化，趋肤效应会影响钢轨横截面上电流密度的分布，导致电流在钢轨横截面上分布不均匀^［21］.因此，在对钢轨进行PEEC剖分时，需结合研究频率范围内的趋肤深度，确保最外层区域采用细密剖分以准确反映电流密度的分布差异，同时，鉴于钢轨截面中心区域的电流密度变化较小，可采用较为粗糙的剖分方式以提高计算效率.

图3为一段电流方向长度为l，轨头横截面宽度为w_{\mathrm{1}}(l>>w_{\mathrm{1}})，高度为h_{\mathrm{1}}(l>>h_{\mathrm{1}})的钢轨体剖分.

为了在确保计算精度的同时尽量减少剖分单元数量， 从而节省计算资源，剖分单元的宽度由外到内呈现以趋肤因子\beta (\mathrm{1.1}\le \beta \le \mathrm{3})为公比的等比数列递增，且在整个宽度方向采用左右对称的剖分规则^［22］.通常，最外层的剖分厚度d_{h\mathrm{1}}\mathrm{、}{d}_{w\mathrm{1}}等均要小于最高频率下的趋肤深度，钢轨高度方向可按照同样的剖分策略进行^［23］.

1.2 AET法求解钢轨外阻抗

高架桥区段的钢轨自阻抗由内阻抗和外阻抗两部分叠加而成，对于钢轨内阻抗，可以通过PEEC法计算得到.对于外阻抗，在计算时可以将高架桥桥体视为一均匀电导率的土壤结构，采用Carson提出的架空线阻抗计算公式来计算^［24］，模型如图4所示.

大地上方架空线a的外阻抗计算公式为：

Z_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=\mathrm{j}\omega \frac{{\mu }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{\mathrm{2}h}{r}+Z_{\mathrm{g}}（10）

Z_{\mathrm{g}}=\mathrm{j}\omega \frac{{\mu }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}F\left(\lambda \right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}h\lambda }\mathrm{d}\lambda（11）

式中：磁导率均为{\mu }_{\mathrm{0}}；r为架空线半径；h为架空线高度；Z_{\mathrm{g}}是接地回路阻抗.F(\lambda )的表达式为：

F\left(\lambda \right)=

\mathrm{2}\frac{u_{\mathrm{1}}+u_{\mathrm{2}}+\left(u_{\mathrm{1}}-u_{\mathrm{2}}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}{u}_{\mathrm{1}}d}}{\left(u_{\mathrm{1}}+u_{\mathrm{2}}\right)\left(u_{\mathrm{1}}+\lambda \right)+\left(u_{\mathrm{1}}-u_{\mathrm{2}}\right)\left(\lambda -u_{\mathrm{1}}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}{u}_{\mathrm{1}}d}}（12）

u_m=\sqrt[]{{\lambda }^{\mathrm{2}}+{\gamma }_m^{\mathrm{2}}},m=\mathrm{1,2}（13）

{\gamma }_m^{\mathrm{2}}=\mathrm{j}\omega {\mu }_{\mathrm{0}}{\sigma }_m,m=\mathrm{1,2}（14）

式中：{\sigma }_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\sigma }_{\mathrm{2}}分别为第一层土壤电导率和第二层土壤电导率；d为第一层土壤深度. 根据AET方法， 将 式（11）无穷积分进行截断为两部分：

Z_{\mathrm{g}}=Z_T+Z_{\mathrm{\infty }}（15）

Z_T=\mathrm{j}\omega \frac{{\mu }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^{T}F(\lambda ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}h\lambda }\mathrm{d}\lambda（16）

Z_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{j}\omega \frac{{\mu }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_T^{\mathrm{\infty }}F(\lambda ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}h\lambda }\mathrm{d}\lambda（17）

T=\mathrm{10}\times \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(|{\gamma }_{\mathrm{1}}|,|{\gamma }_{\mathrm{2}}|)（18）

式中：Z_T是一个定积分，可采用常规积分法进行求解；Z_{\mathrm{\infty }}涉及无限上限，计算时需特殊处理. 当\lambda >T时，利用泰勒公式对u_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{u}_{\mathrm{2}}计算，可将F(\lambda )化简为：

F(\lambda )\approx \frac{\mathrm{1}}{\lambda }\left[\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{2}}}({\gamma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}d\lambda }\right]（19）

此时， Z_{\mathrm{\infty }}可以重新表述为：

Z_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{j}\omega \frac{{\mu }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\left\{{\int }_T^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{1}}{\lambda }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}h\lambda }\mathrm{d}\lambda +\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\int }_T^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{1}}{{\lambda }^{\mathrm{3}}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}(d+h)\lambda }\mathrm{d}\lambda \right\}（20）

利用变量代换\lambda =T\zeta上式可转化为：

\begin{array}{l}{Z}_{\mathrm{\infty }}\approx \mathrm{j}\omega \frac{{\mu }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\left\{{\int }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{1}}{T\zeta }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}hT\zeta }\mathrm{d}T\zeta \right.+\\ \left.\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}{\int }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{1}}{T^{\mathrm{3}}{\zeta }^{\mathrm{3}}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\left(d+h\right)T\zeta }\mathrm{d}T\zeta \right\}=\\ \mathrm{j}\omega \frac{{\mu }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\left\{\mathrm{E}\mathrm{i}\left(\mathrm{1,2}hT\right)+\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{T}^{\mathrm{2}}}\mathrm{E}\mathrm{i}\left(\mathrm{3,2}(\mathrm{d}+h)T\right)\right\}\end{array}（21）

式中：\mathrm{E}\mathrm{i}\left(n,\alpha \right)代表阶数为n、变量为\alpha的指数积分函数. 经化简第二项Z_{\mathrm{\infty }}的解可以直接根据指数积分公式调用计算.

2 计算方法验证

为了验证本文方法的正确性， 本节将分别采用本文方法和有限元仿真验证的方法对位于高架桥上的P60钢轨自阻抗进行计算. 钢轨的电磁参数如表2所示^［25］.

为了避免有限元计算时出现模型较大，求解收敛困难等问题. 设置材料参数h=0.4 m，d=2 m， {\sigma }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.01}\mathrm{S}\cdot {\mathrm{m}}^{-\mathrm{1}}，{\sigma }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.001}\mathrm{S}\cdot {\mathrm{m}}^{-\mathrm{1}}. 由于轨道电路中的信号电流频率为1 700~2 600 Hz， 故设置频率分析范围为1 500~3 000 Hz， 有限元仿真模型示意图如图5所示， 将理论计算结果和仿真结果的自阻抗值进行对比， 结果如图6所示.

在图6中， 由于Comsol仿真软件采用有限元方法处理无限域问题， 而本文方法无需进行域截断， 所以， 有限元仿真计算结果会偏小， 这是合理的. 根据式（22）计算相对误差.

\delta =\frac{\left|y-y_{\mathrm{0}}\right|}{y}\times \mathrm{100}\mathrm{\%}（22）

式中：\delta为相对误差；y\mathrm{、}{y}_{\mathrm{0}}分别为理论计算值和有限元仿真计算值.

基于理论计算方法和有限元仿真计算得到的钢轨自阻抗随频率变化曲线相对误差不大于3.9%， 说明了理论计算方法的正确性. 这为后续分析电流频率、高架桥架设高度及大地电导率等参数对钢轨自阻抗的影响提供了可靠理论依据， 避免了有限元仿真的复杂性和网格剖分导致的计算量大的问题.

3 高架桥钢轨自阻抗影响因素分析

3.1 电流频率的影响

轨道电路在工作时， 钢轨中流过的牵引回流频率为工频50 Hz， 信号电流频率为1 700~2 600 Hz， 为研究宽频范围内电流频率对钢轨自阻抗的影响， 设置频率分析范围为10~10 000 Hz，高架桥高度为10 m， 桥体电导率{\sigma }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.01}\mathrm{S}\cdot {\mathrm{m}}^{-\mathrm{1}}，大地电导率{\sigma }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.001}\mathrm{S}\cdot {\mathrm{m}}^{-\mathrm{1}}， 图7和图8分别为钢轨自电阻和自电感随电流频率的变化曲线.

根据图7可知， 钢轨自电阻随着电流频率的增大而增加， 且在低频时增加速率较慢， 高频时增加速率变快， 这是由于在较高的频率下，趋肤效应导致交变电流在钢轨中的分布逐渐向表面集中， 从而造成钢轨的内电阻随频率增大. 另外， 高架桥桥体为有损媒介， 这使得钢轨自电阻随着频率的增大呈现增加的趋势.

由图8可以看出，钢轨自电感随着电流频率的增大呈现减小的趋势，且在低频时迅速减小，高频时变化趋势变缓.分析可知，趋肤效应使电流集中在钢轨表面，导致钢轨内部磁通量减小，内电感降低；另外，高频电流的涡流效应产生的反向磁场会抵消部分原磁场，进一步导致钢轨自电感减小.

随着钢轨中电流频率的增加，钢轨自电阻值增大，自电感值减小，当频率增加至10 000 Hz时，自电阻值可达到15.08 mΩ/m，自电感值可达到1.41 μH/m.

3.2 高架桥架设高度的影响

通常由于地质条件和地理位置的不同， 高架桥的架设高度并不统一， 桥墩高度通常在数米至20米之间^［26］. 本文考虑特殊情况， 对高架桥高度范围为0~30 m内的钢轨自阻抗进行计算. 图9和图10给出了不同频率下钢轨自电阻和自电感随高架桥架设高度d的变化曲线.

可以看出， 随着高架桥高度的增加， 自电阻呈现上升趋势且增加速率逐渐变缓， 当高度大于25 m后， 自电阻不再增大， 保持恒定数值. 自电感部分随着架设高度的增加逐渐减小. 在高架桥架设高度保持不变的情况下， 钢轨自电阻随着频率的增大而增加， 而钢轨自电感随着频率的增大呈现负相关变化.

3.3 大地电导率的影响

钢轨实际铺设在高架桥上， 其架设高度因线路条件不同而有所差异， 而钢轨自阻抗与桥梁架设高度密切相关.此外，高架桥所处区域的大地电导率并不是一成不变的，钢轨的串联电阻、电抗易受大地电导率影响.为研究不同地理位置处的大地电导率对桥梁区段轨道电路钢轨自阻抗的影响规律，设置电流频率为50 Hz，大地电导率范围为0.001~1 S·m^-1［27］， 绘制高度分别为10、20及30 m的高架桥钢轨自电阻和自电感关于大地电导率的变化曲线分别如图11、图12所示.

分析可知，当大地电导率{\sigma }_{\mathrm{2}}小于桥体电导率{\sigma }_{\mathrm{1}}时，钢轨自电阻和自电感均随着大地电导率的增加迅速减小；在同一大地电导率情况下，自电阻随架设高度的增加而增加，而自电感随着架设高度的增大呈现减小的趋势.当大地电导率{\sigma }_{\mathrm{2}}大于桥体电导率{\sigma }_{\mathrm{1}}时，自电阻和自电感均随着大地电导率的增加而减小且减小速率逐渐趋于平缓；在同一大地电导率情况下，自电阻随架设高度的增加而减小，而自电感随着频率的增加而增加.当二者电导率相等时，高架桥桥体与大地等效为均匀介质，高架桥高度的影响被完全抵消，此时，钢轨自阻抗仅由均匀介质特性决定，与桥梁无关，因此不同d值的曲线在{\sigma }_{\mathrm{1}}={\sigma }_{\mathrm{2}}处相交.

4 结 论

1） 考虑趋肤效应的影响建立了P60钢轨的PEEC模型， 推导了该PEEC模型的求解方程，并结合Carson公式对高架桥区段钢轨自阻抗进行计算. 以有限元仿真结果为基准，将本文计算结果与有限元仿真数据进行对比，二者相对误差小于3.9%，验证了该方法的准确性.结果表明该方法能够很好地应用于高架桥区段轨道电路钢轨自阻抗计算中.

2） 利用本文方法研究高架桥区段钢轨自电阻和自电感随频率、高架桥架设高度和大地电导率的变化规律. 可以看出自电阻部分随电流频率的增加而增大， 自电感部分随电流频率的增大而减小；自电阻随桥梁架设高度的增加而增加， 且增加速率逐渐趋于平缓， 达到峰值， 自电感随架设高度的增加而减小；钢轨自电阻和自电感部分均随大地电导率的增大而减小.

3） 本文方法可以准确计算高架桥区段的钢轨自阻抗， 为分析高架桥区段轨道电路的传输性能提供了可靠的理论依据， 同时也为高架桥区段钢轨自阻抗的计算提供了一种新的思路.

4） 尽管本文提出的方法在高架桥区段钢轨自阻抗计算中表现出良好的准确性与适用性， 但本研究仍存在一定的局限性. 首先， 模型将高架桥体等效为电导率均匀的介质层， 这一简化仅适用于宏观层面的阻抗计算与趋势分析. 其次， 本文主要针对单根钢轨的自阻抗进行研究， 未来工作可将此方法扩展至多导体系统， 以求解钢轨间的互阻抗， 从而更完整地描述轨道电路的传输特性.

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(51967010)

National Natural Science