MA辅助RIS-MIMO系统的信道模型分析及优化

Channel model analysis and optimization for RIS-MIMO system with MA assistance

摘要

在缺少视距链路且散射环境丰富的通信场景中，固定天线在可重构智能表面（RIS）辅助多输入多输出（MIMO）系统存在因严重多径衰落而引起的信道增益下降等一系列通信问题，为抵抗多径衰落，本文尝试将基站（BS）天线和用户（UE）天线重构为可移动天线（MA）以改善信道矩阵的秩结构，构建面向富散射环境的MA-RIS-MIMO系统.首先，本文对该系统进行建模，分析并建立该系统在确知点对点信道下单径、双径、三径和多径的BS-RIS和RIS-UE级联信道模型及信道增益表达式.然后，基于以上信道模型，建立该系统关于系统和速率的目标函数，优化基站和用户端天线位置、RIS的相移矩阵、基站发射功率，应用分式规划联合梯度上升法进行求解.最后，通过仿真验证了基站和用户端均为可移动天线时，系统的和速率相较于固定天线位置的RIS-MIMO系统提升了6.4 bps/Hz，继而证明了MA-RIS-MIMO系统下所建立信道模型的有效性.

Abstract

In communication scenarios where line-of-sight links are absent， and the featuring rich scattering environment is rich， fixed antenna systems in reconfigurable intelligent surface （RIS）-aided multiple input multiple output （MIMO） communications face various challenges， such as channel gain degradation caused by severe multipath fading. To mitigate these multipath effects， this study converts both the base station （BS） antenna and the user equipment （UE） antenna into a movable antenna （MA） to improve the rank structure of the channel matrix and construct an MA-RIS-MIMO system tailored for rich scattering environments. First， the system is modeled， and the cascaded BS-RIS and RIS-UE channel models， as well as channel gain expressions， are derived for single-path， dual-path， triple-path， and multipath scenarios under known point-to-point channels. Then， based on these channel models， objective functions for system performance and rate are formulated， which optimize the BS and UE antenna positions， the RIS phase shift matrix， and BS transmit power. A fractional programming-based joint gradient ascent method is then applied to solve the optimization problem. Finally， simulation results demonstrate that the system utilizing MA at both BS and UE has a sum-rate gain of at least 6.4 bps/Hz compared with a fixed-position RIS-MIMO system， thereby validating the effectiveness of the established channel model for the proposed MA-RIS-MIMO framework.

Graphical abstract

关键词

可移动天线 / 可重构智能表面 / 多输入多输出 / 分式规划 / 梯度上升

Key words

movable antenna / reconfigure intelligent surface / multiple input multiple output / fractional programming / gradient ascent

随着B5G（beyond 5th generation）和6G（6th generation）技术的兴起，可移动天线（movable antenna， MA）技术因其通过改变天线分布位置进而改善无线通信信道增益的能力，被认为是6G技术关键点之一^［1-2］ .MA技术通常运用在射频多径环境下的通信系统中，因多径效应带来了相位的相长相消，自适应分布的天线位置或方向调整有助于改善信道增益继而提升接收信噪比.而可重构智能表面（reconfigure intelligent surface， RIS）技术作为6G技术关键点之一^［3-4］，凭借其对无线信道的智能调控能力，通过重构虚拟视距链路和配置反射单元拓扑结构，亦可提高通信系统的空间分集增益.因此，将MA技术应用于RIS辅助的无线通信系统中，有望显著提高缺乏视距链路且富散射环境的通信场景下的系统容量.

近几年，业界开始将MA技术运用到各种通信系统中，取得了一定的研究成果.文献［5］将MA技术运用到多输入多输出（multiple input multiple output， MIMO）的系统中，通过对给定区域中的天线位置进行优化来创造更为有利的信道条件，使无线通信性能得到提升.文献［6］提出基于MA阵列的新型传感系统，通过优化天线位置和交替迭代算法，显著降低到达角估计误差，使得其性能优于传统固定阵列，并通过理论分析与仿真验证表明，MA阵列的灵活构型设计能有效提升角度估计精度并减少多径模糊.文献［7］研究了通过MA阵列的位置优化实现增强型多波束成形，相比传统固定天线方案显著提升了波束增益和干扰抑制性能，该文献提出的交替优化算法有效解决了天线位置和权重向量的联合优化问题.文献［8］通过超精密可控的MA通信原型实验，验证了MA技术在混合链路场景下可实现超40 dB的功率波动增益，其性能提升直接关联于多径状态信息的精确估计，该研究为MA技术的实际应用提供了关键实验支撑.除对MA技术研究之外，有的学者还对该技术能否结合其他无线通信技术来共同提升用户通信质量的问题进行了研究，文献［9］将MA技术与通感一体化（integrated sensing and communications， ISAC） 技术相结合，通过联合优化天线位置与波束成形，实现通信-感知性能协同提升，较传统固定天线方案增益达59.8%.文献［10］通过MA的位置优化重构MIMO信道，将MA技术与MIMO系统相结合，显著提升系统容量，其交替优化算法为MA-MIMO的实际应用提供了高效解决方案，并且该实验证明MA系统在各类场景下均优于传统固定天线架构，为未来智能天线设计开辟了新方向.

此外，在对MA技术与RIS技术结合的方面也取得了显著突破.文献［11］提出利用主动RIS辅助可移动天线系统，通过联合优化用户天线位置、波束成形和相位偏移来提升多用户通信性能.相比传统固定天线系统，仿真验证该方案能显著改善“多散射体”环境下的系统容量.文献［12］联合优化RIS反射系数、基站可移动天线位置及基站波束成形，提出一种分式规划算法，证明MAs赋能的RIS系统较传统固定天线系统能显著提升性能.将MA与RIS结合，通过空间自由度协同优化和信道条件动态调整，实现了系统性能的显著提升.RIS智能调控电磁波传播环境，而MAs通过局部移动捕捉最佳信号路径，二者协同有效克服多径衰落问题.

然而，现有关于MA技术的研究大多只对用户端天线位置进行优化，主要是因为在用户端可以更好地利用天线空间分集技术来提高系统的信道增益.但是在RIS辅助的MIMO系统中，存在基站到RIS和RIS到用户的级联链路，通过分别引入基站端和用户端的的可移动天线，实现基站到RIS链路和RIS到用户链路的信道增益调整，继而抵抗级联链路带来的乘性衰落.因此，本文针对缺少视距链路且散射环境丰富通信场景，同时对基站端和用户端进行天线位置和角度的优化.首先，通过对本文所提出的系统建立信道模型，对基站到RIS链路中的单径、双径、三径以及多径情况的信道增益进行推理建模，继而获得富散射环境下的全信道模型.其次，将以上信道模型应用于系统用户和速率优化问题中，通过联合优化基站天线位置和用户端天线位置、RIS的相移矩阵、基站发射功率，提升系统吞吐量.最后通过仿真验证了所提信道模型的有效性，以及在多径情况下可移动天线与RIS的结合对系统的和速率的提升效果.

1 MA辅助下MIMO-RIS系统模型

1.1 系统模型

在MA辅助的RIS-MIMO系统下，本文考虑基站配备有M个天线，N个单天线的用户群，以及包含K个反射单元的RIS.基站和用户之间的直视区域被障碍物遮挡，不考虑两者之间的直链链路，因此在构建信道模型时，本文只考虑基站到RIS和RIS到用户的信道.系统模型如图1所示.

基站天线和用户天线的可移动区域分别是二维区域{\mathrm{𝒞}}_M和{\mathrm{𝒞}}_N，其中{\mathrm{𝒞}}_M是基站自身直角坐标系中由\left[x_M^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},x_M^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\right]和\left[y_M^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},y_M^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\right]构成的矩阵区域， {\mathrm{𝒞}}_N是用户自身的坐标系中由\left[x_N^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},x_N^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\right]和\left[y_N^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},y_N^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\right]构成的矩阵区域，基站天线和用户天线可以部署在{\mathrm{𝒞}}_M和{\mathrm{𝒞}}_N的任意位置，基站第m个天线位置为{\mathit{p}}_m={\left[x_m,y_m\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathrm{𝒞}}_M,\mathrm{1}\le m\le M，用户第n个天线位置为{\mathit{p}}_n={\left[x_n,y_n\right]}^{\mathrm{T}}\in {\mathrm{𝒞}}_N,\mathrm{1}\le n\le N.

在系统中，信道响应取决于基站和用户天线的具体位置.用含有基站天线位置\mathit{t}和用户u天线位置的函数\mathit{r}=[x_r,y_r]来表示信道系数，即h\left(\mathit{t},\mathit{r}\right).用户u接收到的信号可以表示为

y\left(\mathit{t},\mathit{r}\right)=h\left(\mathit{t},\mathit{r}\right)\sqrt[]{P_{\mathrm{B}\mathrm{S}}}\mathit{s}+z,\mathit{t}\in {\mathrm{𝒞}}_M,\mathit{r}\in {\mathrm{𝒞}}_N（1）

式中：P_{\mathrm{B}\mathrm{S}}表示基站发送功率； \mathit{s}是具有零均值和归一化功率为1的发射信号，\mathit{s}\in {\mathbb{C}}^{M\times \mathrm{1}}；z\sim \mathrm{𝒞}\mathrm{𝒩}(\mathrm{0},{\delta }^{\mathrm{2}})是均值为0，功率为{\delta }^{\mathrm{2}}的加性高斯白噪声.

1.2 信道模型

在MA辅助下的RIS-MIMO系统中，本文假设基站和用户的天线可移动区域大小远小于基站、用户到RIS之间的距离，因此该系统处在远场条件下.

如图2所示，在富散射环境下，对基站端、RIS端和用户端分别进行坐标系的建立，基站每根天线的发射路径数量均为O，传输路径中第j条路径的仰角和方位角分别为{\theta }_j\in [-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\pi },\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }]和{\phi }_j\in [-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\pi },\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }]，其中\mathrm{1}\le j\le O.处于散射环境下，RIS端每个反射单元的接收路径和反射路径数量均为P，接收路径中第i条接收路径的俯角和方位角分别为{\theta }_i\in [-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\pi },\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }]和{\phi }_i\in [-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\pi },\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }]，其中\mathrm{1}\le i\le P.该接收路径经过RIS反射得到的反射路径的俯角大小也为{\theta }_i，方位角与{\phi }_i相差\mathrm{\pi }.处于散射环境下的用户端，每根天线的接收路径数量均为Q，接收路径中第m条接收路径的仰角和方位角分别为{\theta }_m\in [-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\pi },\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }]和{\phi }_m\in [-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\pi },\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }]，其中\mathrm{1}\le m\le Q.

对于基站端坐标系、用户端坐标系原点的天线和处于RIS端坐标系原点的反射单元，基站和RIS之间路径响应矩阵为{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}\in {\mathbb{C}}^{P\times O}，RIS和用户之间路径响应矩阵为{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}\in {\mathbb{C}}^{Q\times P}.{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}中第i行j列数据记为{\sigma }_{i,j}，表示基站天线第j条发射路径与RIS反射单元第i条接收路径之间的响应系数.{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}第n行m列数据记为{\delta }_{n,m}，表示RIS反射单元第n条反射路径与用户天线第m条接收路径之间的响应系数.则位于基站和RIS、RIS和用户之间的基准信道分别为

\left\{\begin{array}{l}h({\mathit{t}}_{\mathrm{0}},{\mathit{R}}_{\mathrm{0}})={\mathrm{1}}_{\mathit{P}}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}_{\mathit{O}}\\ h({\mathit{R}}_{\mathrm{0}},{\mathit{r}}_{\mathrm{0}})={\mathrm{1}}_{\mathit{Q}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}{\mathrm{1}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{H}}\end{array}\right.（2）

用户天线位于\mathit{r}=[x_r,y_r]与用户端原点位置的天线相比，该天线第m条接收路径信号的传播距离差值为{\rho }_{r,m}(x_r,y_r)=x_r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{r,m}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{r,m}+y_r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{r,m}，\mathrm{1}\le m\le Q，表明天线移动后与天线位于参考位置时相比，第m条接收路径的信道响应有\mathrm{2}\mathrm{\pi }{\rho }_{r,m}(x_r,y_r)/\lambda的相位差，其中\lambda为信号的波长.移动位置后该天线所有接收路径均有由传播距离差导致的相位差，所以移动位置后该天线的场响应矢量为

\mathit{f}(\mathit{r})={\left[{\mathrm{e}}^{j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{r,\mathrm{1}}(x_r,y_r)},{\mathrm{e}}^{j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{r,\mathrm{2}}(x_r,y_r)},\cdots ,{\mathrm{e}}^{j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{r,Q}(x_r,y_r)}\right]}^{\mathrm{T}}（3）

发射端位于[x_t,y_t]的天线的场响应矢量为

\mathit{f}(\mathit{t})={\left[{\mathrm{e}}^{j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{t,\mathrm{1}}(x_t,y_t)},{\mathrm{e}}^{j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{t,\mathrm{2}}(x_t,y_t)},\cdots ,{\mathrm{e}}^{j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{t,O}(x_t,y_t)}\right]}^{\mathrm{T}}（4）

发射端共有M个天线，因此发射端的场响应矩阵为

\mathit{f}(\mathit{t})={\left[\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{\mathrm{1,1}}(x_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{1}})},{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{\mathrm{1,2}}(x_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{1}})},\cdots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{\mathrm{1},O}(x_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{1}})}\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{\mathrm{2,1}}(x_{\mathrm{2}},y_{\mathrm{2}})},{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{\mathrm{2,2}}(x_{\mathrm{2}},y_{\mathrm{2}})},\cdots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{\mathrm{2},O}(x_{\mathrm{2}},y_{\mathrm{2}})}\\ ⋮⋮⋮\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{M,\mathrm{1}}(x_M,y_M)},{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{M,\mathrm{2}}(x_M,y_M)},\cdots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{M,O}(x_M,y_M)}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}（5）

RIS上第k个反射单元的场响应矢量为\mathit{f}(\mathit{k})={\left[{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{k,\mathrm{1}}(x_k,y_k)},{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{k,\mathrm{2}}(x_k,y_k)},\cdots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{k,P}(x_k,y_k)}\right]}^{\mathrm{T}}，RIS共有K个反射单元，因此RIS的场响应矩阵为

\mathit{f}(\mathit{R})={\left[\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{\mathrm{1,1}}(x_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{1}})},{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{\mathrm{1,2}}(x_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{1}})},\cdots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{\mathrm{1},P}(x_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{1}})}\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{\mathrm{2,1}}(x_{\mathrm{2}},y_{\mathrm{2}})},{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{\mathrm{2,2}}(x_{\mathrm{2}},y_{\mathrm{2}})},\cdots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{\mathrm{2},P}(x_{\mathrm{2}},y_{\mathrm{2}})}\\ ⋮⋮⋮\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{K,\mathrm{1}}(x_K,y_K)},{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{K,\mathrm{2}}(x_K,y_K)},\cdots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{K,P}(x_K,y_K)}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}（6）

基站天线与RIS之间的信道和RIS与用户u之间的信道分别为

h(\mathit{t},\mathit{R})=\mathit{f}{(\mathit{R})}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}\mathit{f}(\mathit{t})（7）

h(\mathit{R},\mathit{r})=\mathit{f}{(\mathit{r})}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}\mathit{f}(\mathit{R})（8）

1.3 信道模型转化

本小节讨论了当基站天线和RIS反射单元数量均为1时，式（7）和式（8）中的信道模型简化为视距信道、几何信道、瑞利衰落信道和莱斯衰落信道模型的条件，以及其路径响应矩阵和场响应矢量.

1）视距信道：基站天线发送路径、RIS反射单元接收、传输路径和用户天线接收路径数量均为1时，即O=P=Q=\mathrm{1}，式（7）和式（8）中的信道模型为视距信道，路径响应矩阵和场响应矢量化为

\left\{\begin{array}{l}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}={\sigma }_{\mathrm{1,1}}\\ {\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}={\delta }_{\mathrm{1,1}}\\ \mathit{f}(\mathit{r})={\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{r,\mathrm{1}}(x_r,y_r)}={\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{r,\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{r,\mathrm{1}}+y_r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{r,\mathrm{1}})}\\ \mathit{f}(\mathit{t})={\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{t,\mathrm{1}}(x_t,y_t)}={\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_t\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{t,\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{t,\mathrm{1}}+y_t\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{t,\mathrm{1}})}\end{array}\right.（9）

式中：{\sigma }_{\mathrm{1,1}}表示基站位于{\mathit{t}}_{\mathrm{0}}的天线和RIS阵列上位于{\mathit{R}}_{\mathrm{0}}的反射单元之间的路径响应系数；{\delta }_{\mathrm{1,1}}表示RIS阵列上位于{\mathit{R}}_{\mathrm{0}}的反射单元和位于{\mathit{r}}_{\mathrm{0}}的用户天线之间的路径响应系数；{\theta }_{r,\mathrm{1}}表示基站位于{\mathit{t}}_{\mathrm{0}}的天线发射路径的仰角；{\phi }_{r,\mathrm{1}}表示基站位于{\mathit{t}}_{\mathrm{0}}的天线发射路径的方位角；{\theta }_{t,\mathrm{1}}表示位于{\mathit{r}}_{\mathrm{0}}的用户天线接收路径的仰角；{\phi }_{t,\mathrm{1}}表示位于{\mathit{r}}_{\mathrm{0}}的用户天线接收路径的方位角.

此时，RIS反射单元的场响应矩阵化为

\mathit{f}(\mathit{R})={\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\rho }_{\mathrm{1,1}}(x_R,y_R)}={\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_R\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{R,\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{R,\mathrm{1}}+y_R\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{R,\mathrm{1}})}（10）

式中：{\theta }_{R,\mathrm{1}}\mathrm{、}{\phi }_{R,\mathrm{1}}分别表示RIS反射单元接收路径的俯角、方位角.

2）几何信道： h(\mathit{t},\mathit{R})\mathrm{、}h(\mathit{R},\mathit{r})信道模型满足发射路径与接收路径一对一，且不止一条时，即O=P=Q=L，式（7）和式（8）中的信道模型为几何信道，路径响应矩阵为对角矩阵，即

\left\{\begin{array}{l}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{{\sigma }_{\mathrm{1,1}},{\sigma }_{\mathrm{2,2}},\cdots {\sigma }_{i,i}\cdots ,{\sigma }_{L,L}\}\\ {\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{{\delta }_{\mathrm{1,1}},{\delta }_{\mathrm{2,2}},\cdots {\delta }_{j,j}\cdots ,{\delta }_{L,L}\}\end{array}\right.（11）

式中：{\sigma }_{i,i},\mathrm{1}\le i\le L表示基站位于{\mathit{t}}_{\mathrm{0}}的天线第i条发射路径和RIS阵列上位于{\mathit{R}}_{\mathrm{0}}的反射单元第i个接收路径之间的路径响应系数；{\delta }_{j,j},\mathrm{1}\le j\le L表示RIS阵列上位于{\mathit{R}}_{\mathrm{0}}的反射单元第j个传输路径和用户位于{\mathit{r}}_{\mathrm{0}}的天线第j条接收路径之间的路径响应系数.

3）瑞利衰落信道： h(\mathit{t},\mathit{R})\mathrm{、}h(\mathit{R},\mathit{r})信道模型的发射路径和接收路径均独立，数量趋于无穷大时，即O\to \mathrm{\infty },P\to \mathrm{\infty },Q\to \mathrm{\infty }，式（7）和式（8）中的信道模型为瑞利衰落信道.

假设信道处于各向同性散射环境下，则多径分量均匀分布在天线面板前的半空间上，生成俯仰角和方位角的联合概率密度函数为

\left\{\begin{array}{l}{f}_{\mathrm{A}\mathrm{o}\mathrm{D}}({\theta }_t,{\phi }_t)=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_t}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }},{\theta }_t\in \left[-\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right],\\ {\phi }_t\in \left[-\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right];\\ f_{\mathrm{A}\mathrm{o}\mathrm{A}}({\theta }_R,{\phi }_R)=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_R}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }},{\theta }_R\in \left[-\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right],\\ {\phi }_R\in \left[-\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right];\\ f_{\mathrm{A}\mathrm{o}\mathrm{D}}({\theta }_R,{\phi }_R+\mathrm{\pi })=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_R}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }},{\theta }_R\in \left[-\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right],\\ {\phi }_R\in \left[-\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right];\\ f_{\mathrm{A}\mathrm{o}\mathrm{A}}({\theta }_r,{\phi }_r)=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_r}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }},{\theta }_r\in \left[-\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right],\\ {\phi }_r\in \left[-\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right]\end{array}\right.（12）

在上述条件下，若路径响应矩阵内的元素为独立同分布的圆对称复随机变量，根据中心极限定理，则在发射端天线、RIS和用户端天线处叠加的路径响应，即\mathit{f}{(\mathit{r})}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}、{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}\mathit{f}(\mathit{R})、\mathit{f}{(\mathit{R})}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}和{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}\mathit{f}(\mathit{t})的元素是独立同分布的圆对称复高斯分布随机变量.因此，h(\mathit{t},\mathit{R})和h(\mathit{R},\mathit{r})均是圆对称复高斯随机变量，其幅度服从瑞利分布，会导致瑞利衰落.

4）莱斯衰落信道： h(\mathit{t},\mathit{R})\mathrm{、}h(\mathit{R},\mathit{r})信道模型的发射路径和接收路径均独立，数量趋于无穷大，且路径响应矩阵内的元素为独立同分布的圆对称复随机变量，但相较于瑞利衰落信道，莱斯衰落信道中多存在一条视距链路.路径响应矩阵{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}和{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}中均存在一个有着恒定振幅元素，该元素是视距链路的路径响应系数.假设该路径响应系数为{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}中第i\mathrm{*}行j\mathrm{*}列的元素，{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}中第i\mathrm{*}行m\mathrm{*}列的元素.基站端到RIS上的莱斯因子K_{\mathrm{1}}为

K_{\mathrm{1}}=\frac{{\left|{\sigma }_{i\mathrm{*},j\mathrm{*}}\right|}^{\mathrm{2}}}{E\left\{{\left|\sum _{(i,j)\ne (i\mathrm{*},j\mathrm{*})}{\sigma }_{i,j}\right|}^{\mathrm{2}}\right\}}（13）

RIS到用户端的莱斯因子K_{\mathrm{2}}为

K_{\mathrm{2}}=\frac{{\left|{\delta }_{i\mathrm{*},m\mathrm{*}}\right|}^{\mathrm{2}}}{E\left\{{\left|\sum _{(i,m)\ne (i\mathrm{*},m\mathrm{*})}{\delta }_{i,m}\right|}^{\mathrm{2}}\right\}}（14）

2 基于可移动天线的信道增益分析

根据式（7）和式（8）的信道模型公式，式（1）中的用户u接收到的信号可以改写为

y(\mathit{t},\mathit{r})=h\left(\mathit{t},\mathit{R}\right)\mathit{\vartheta }h(\mathit{R},\mathit{r})\sqrt[]{P_{\mathrm{B}\mathrm{S}}}\mathit{s}+z

=\mathit{f}{(\mathit{r})}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}\mathit{f}(\mathit{R})\mathit{\vartheta }\mathit{f}{(\mathit{R})}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}\mathit{f}(\mathit{t})\sqrt[]{P_{\mathrm{B}\mathrm{S}}}\mathit{s}+

z,\mathit{t}\in {\mathrm{𝒞}}_{\mathrm{M}},\mathit{r}\in {\mathrm{𝒞}}_{\mathrm{N}}（15）

式中：\mathit{f}{(\mathit{R})}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}\mathit{f}(\mathit{t})表示基站到RIS的信道增益； \mathit{f}{(\mathit{r})}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}\mathit{f}(\mathit{R})表示RIS到用户的信道增益；\mathit{\vartheta }表示RIS的相移矩阵，\mathit{\vartheta }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\left|{\beta }_{\mathrm{1}}\right|{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\theta }_{\mathrm{1}}},\left|{\beta }_{\mathrm{2}}\right|{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\theta }_{\mathrm{2}}},\cdots ,\left|{\beta }_K\right|{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\theta }_K}). 本文中的RIS为无源RIS，\left|\mathit{\vartheta }\right|\equiv \mathrm{1}.

BS-RIS链路和RIS-UE链路相似且互不干扰，因此本文只对改变用户天线位置进行分析.当改变用户天线位置时，为简化推导，假设\mathit{a}={\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}\mathit{f}(\mathit{R})\mathit{\vartheta }\mathit{f}{(\mathit{R})}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}\mathit{f}(\mathit{t})=[{\mathit{a}}_{\mathrm{1}},{\mathit{a}}_{\mathrm{2}},\cdots ,{\mathit{a}}_{{\mathit{L}}_{\mathit{r}}}{]}^{\mathrm{T}}，其中，L_r表示从RIS反射单元到用户之间信道中的路径数量.用户u接收信号表示为

y(u)=\mathit{f}{(\mathit{r})}^{\mathrm{H}}\mathit{a}\sqrt[]{P_{\mathrm{B}\mathrm{S}}}\mathit{s}+z,\mathit{r}\in C_r（16）

第u个用户的接收天线与RIS反射单元之间的通信信道处于富散射环境下，分别对反射路径和接收路径均存在单径、双径、三径及多径情况下的信道增益进行分析.为简化后续推导过程，用{{\rm A}}_{r,i}来代替路径方向向量在x轴的分量系数\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{r,i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{r,i}，用{{\rm B}}_{r,i}来代替路径方向向量在y轴的分量系数\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{r,i}，其中，i表示第i条路径.

1）单径情况： RIS反射单元与用户之间信道只有一条路径，基站到用户之间的信道增益表示为

{\left|h_{\mathrm{1}}(\mathit{r})\right|}^{\mathrm{2}}={\left|\mathit{f}{(\mathit{r})}^H{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}={\left|{\mathrm{e}}^{-j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_r{{\rm A}}_{r,\mathrm{1}}+y_r{{\rm B}}_{r,\mathrm{1}})}{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}={\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}（17）

由式（17）可知，单径情况下，相较于固定天线位置，改变天线位置只会影响信道增益中的相位表达，不会影响信道增益的大小.

2）双径情况：单个RIS单元反射信号经散射有两条路径到达接收天线，则从基站到用户的信道增益表示为

\begin{array}{l}{\left|h_{\mathrm{2}}(\mathit{r})\right|}^{\mathrm{2}}={\left|\mathit{f}{(\mathit{r},\mathrm{1})}^H{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}+\mathit{f}{(\mathit{r},\mathrm{2})}^H{\mathit{a}}_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}\\ ={\left|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_r{{\rm A}}_{r,\mathrm{1}}+y_r{{\rm B}}_{r,\mathrm{1}})}{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_r{{\rm A}}_{r,\mathrm{2}}+y_r{{\rm B}}_{r,\mathrm{2}})}{\mathit{a}}_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}\\ ={\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}\right|\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{2}}\right|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\omega }_{\mathrm{1,2}}(x_r,y_r)\right]\end{array}（18）

式中：变量{\omega }_{\mathrm{1,2}}(x_t,y_t)为\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }[x_r({{\rm A}}_{r,\mathrm{1}}-{{\rm A}}_{r,\mathrm{2}})+y_r({{\rm B}}_{r,\mathrm{1}}-{{\rm B}}_{r,\mathrm{2}})]+({\mu }_{\mathrm{2}}-{\mu }_{\mathrm{1}})且{\mu }_L=\mathrm{\angle }{\mathit{a}}_L，L=\mathrm{1,2}，{\mu }_{\mathrm{2}}-{\mu }_{\mathrm{1}}是{\mathit{a}}_{\mathrm{2}}和{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}的相位差.

由式（18）可知，双径情况下，信道增益的公式中存在单个余弦函数，使得信道增益呈周期性变化，且当{\omega }_{\mathrm{1,2}}(x_r,y_r)取值为0或者\mathrm{2}\mathrm{\pi }的整数倍时，信道增益{\left|h_{\mathrm{2}}(\mathit{r})\right|}^{\mathrm{2}}取得最大值，即{\left(\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}\right|+\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{2}}\right|\right)}^{\mathrm{2}}.

当用户天线移动时，两条获得最大信道增益的路径投影到用户端平面时，由于相位差导致的特征距离为

d_{\mathrm{1}}=\frac{\lambda }{\sqrt[]{({{\rm A}}_{r,\mathrm{2}}-{{\rm A}}_{r,\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}}+({{\rm B}}_{r,\mathrm{2}}-{{\rm B}}_{r,\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}}}}（19）

双径情况下，特征距离即为欧氏距离.因此，要能够获得双径情况下的最大信道增益，用户天线移动范围是直径大于d_{\mathrm{1}}的圆形区域.

3）三径情况：单个RIS单元反射信号经散射有三条路径到达接收天线，则RIS到用户的信道增益表示为

\begin{array}{l}{\left|h_{\mathrm{3}}(\mathit{r})\right|}^{\mathrm{2}}={\left|{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\mathit{f}{(\mathit{r},n)}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_n\right|}^{\mathrm{2}}\\ ={\left|{\mathrm{e}}^{-j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_r{{\rm A}}_{r,\mathrm{1}}+y_r{{\rm B}}_{r,\mathrm{1}})}{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}+{\mathrm{e}}^{-j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_r{{\rm A}}_{r,\mathrm{2}}+y_r{{\rm B}}_{r,\mathrm{2}})}{\mathit{a}}_{\mathrm{2}}+{\mathrm{e}}^{-j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_r{{\rm A}}_{r,\mathrm{3}}+y_r{{\rm B}}_{r,\mathrm{3}})}{\mathit{a}}_{\mathrm{3}}\right|}^{\mathrm{2}}\\ ={\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{3}}\right|}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}\right|\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{2}}\right|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\omega }_{\mathrm{1,2}}(x_r,y_r)\right]+\\ \mathrm{2}\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}\right|\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{3}}\right|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\omega }_{\mathrm{1,3}}(x_r,y_r)\right]+\mathrm{2}\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{2}}\right|\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{3}}\right|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\omega }_{\mathrm{2,3}}(x_r,y_r)\right]\end{array}（20）

式中：{\omega }_{m,n}(x_r,y_r)=\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }[x_r({{\rm A}}_{r,m}-{{\rm A}}_{r,n})+y_r({{\rm B}}_{r,m}-{{\rm B}}_{r,n})]+，参数{\mu }_L=\mathrm{\angle }{\mathit{a}}_L,L=\mathrm{1,2},\mathrm{3}.

假设三径情况下的信道增益存在周期性变化，则必然存在变量{\mathit{r}}_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}=[x_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}},y_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}{]}^{\mathrm{T}}使{\left|h_{\mathrm{3}}(\mathit{r})\right|}^{\mathrm{2}}\equiv {\left|h_{\mathrm{3}}(\mathit{r}+{\mathit{r}}_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}})\right|}^{\mathrm{2}}，即

\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\omega }_{m,n}(x_r,y_r)\right]\equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\omega }_{m,n}(x_r+x_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}},y_r+y_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}})\right]（21）

上式可等价为

\frac{x_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}}{\lambda }(A_{r,m}-A_{r,n})+\frac{y_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}}{\lambda }(B_{r,m}-B_{r,n})\equiv k_{m,n},k_{m,n}\in Z（22）

m、n分别取1、2和1、3时，信道增益呈现周期性特征需要满足以下条件

\left\{\begin{array}{l}{x}_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}=\frac{\lambda [k_{\mathrm{1,2}}(B_{r,\mathrm{1}}-B_{r,\mathrm{3}})-k_{\mathrm{1,3}}(B_{r,\mathrm{1}}-B_{r,\mathrm{2}})]}{{\zeta }_{\mathrm{1}}}\\ y_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}=\frac{\lambda [k_{\mathrm{1,2}}(A_{r,\mathrm{1}}-A_{r,\mathrm{3}})-k_{\mathrm{1,3}}(A_{r,\mathrm{1}}-A_{r,\mathrm{2}})]}{{\zeta }_{\mathrm{2}}}\\ {\zeta }_{\mathrm{1}}=(B_{r,\mathrm{1}}-B_{r,\mathrm{3}})(A_{r,\mathrm{1}}-A_{r,\mathrm{2}})-(B_{r,\mathrm{1}}-B_{r,\mathrm{2}})(A_{r,\mathrm{1}}-A_{r,\mathrm{3}})\\ {\zeta }_{\mathrm{2}}=(B_{r,\mathrm{1}}-B_{r,\mathrm{2}})(A_{r,\mathrm{1}}-A_{r,\mathrm{3}})-(B_{r,\mathrm{1}}-B_{r,\mathrm{3}})(A_{r,\mathrm{1}}-A_{r,\mathrm{2}})\end{array}\right.（23）

此时，若信道增益取得最大值，即{\left|h_{\mathrm{3}}(\mathit{r})\right|}^{\mathrm{2}}={(\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{1}}\right|+\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{2}}\right|+\left|{\mathit{a}}_{\mathrm{3}}\right|)}^{\mathrm{2}}，需要满足

\left\{\begin{array}{l}{\omega }_{\mathrm{1,2}}(x_r,y_r)=\mathrm{2}{k}_{\mathrm{1}}\mathrm{\pi },k_{\mathrm{1}}\in Z\\ {\omega }_{\mathrm{1,3}}(x_r,y_r)=\mathrm{2}{k}_{\mathrm{2}}\mathrm{\pi },k_{\mathrm{2}}\in Z\\ {\omega }_{\mathrm{2,3}}(x_r,y_r)=\mathrm{2}{k}_{\mathrm{3}}\mathrm{\pi },k_{\mathrm{3}}\in Z\end{array}\right.（24）

易知，上式符合{{\omega }_{\mathrm{2},}}_{\mathrm{3}}={\omega }_{\mathrm{1,3}}-{\omega }_{\mathrm{1,2}}的关系.

当用户天线移动且m、n分别取1、2和1、3时，三条获得最大信道增益的路径投影到用户端平面时，由于两两之间相位差导致的特征距离为

\left\{\begin{array}{l}{d}_{\mathrm{2}}(\mathrm{1,2})=\lambda \sqrt[]{{\left(\frac{B_{r,\mathrm{1}}-B_{r,\mathrm{2}}}{{\zeta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\frac{A_{r,\mathrm{1}}-A_{r,\mathrm{2}}}{{\zeta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{\mathrm{2}}}\\ d_{\mathrm{3}}(\mathrm{1,3})=\lambda \sqrt[]{{\left(\frac{B_{r,\mathrm{1}}-B_{r,\mathrm{3}}}{{\zeta }_{\mathrm{1}}}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\frac{A_{r,\mathrm{1}}-A_{r,\mathrm{3}}}{{\zeta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{\mathrm{2}}}\end{array}\right.（25）

由式（25）中特征距离d_{\mathrm{2}}(\mathrm{1,2})和d_{\mathrm{3}}(\mathrm{1,3})得到最大信道增益位置之间的欧氏距离为d_{\mathrm{4}}=\sqrt[]{d_{\mathrm{2}}{(\mathrm{1,2})}^{\mathrm{2}}+d_{\mathrm{3}}{(\mathrm{1,3})}^{\mathrm{2}}}，为确保能获得最大信道增益，用户天线移动区域应是直径大于最大欧氏距离的圆形区域.

4）多径情况：单个RIS单元反射信号经散射有多条路径到达接收天线，从RIS到用户的信道增益表示为

{\left|h_Q(\mathit{r})\right|}^{\mathrm{2}}={\left|{\displaystyle \sum _{L=\mathrm{1}}^Q}\mathit{f}{(\mathit{r})}^{\mathrm{H}}{\mathit{a}}_L\right|}^{\mathrm{2}}={\left|{\displaystyle \sum _{L=\mathrm{1}}^Q}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_r{{\rm A}}_{r,L}+y_r{{\rm B}}_{r,L})}{\mathit{a}}_L\right|}^{\mathrm{2}}（26）

将式（26）展开，则其展开式中至少存在六项不同的\mathrm{2}|{\mathit{a}}_m||{\mathit{a}}_n|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[{\omega }_{m,n}(x_r,y_r)].此时，多条路径叠加的复杂性增加，发射角和到达角的随机性增强，路径之间相位呈现非线性关系，且难以用数学公式表达信道增益的周期变化.为简化推导，假设用户天线的y_{r\mathrm{0}}固定，只在x_r轴发生移动，推导出多径环境下信道增益沿x_r轴方向的近似周期变化为

{\left|h_Q(\mathit{r})\right|}_{y_r=y_{r\mathrm{0}}}^{{}^{\mathrm{2}}}={\left|{\displaystyle \sum _{L=\mathrm{1}}^Q}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_r{{\rm A}}_{r,L}+y_{r\mathrm{0}}{{\rm B}}_{r,L})}{\mathit{a}}_L\right|}^{\mathrm{2}}（27）

令{\mathit{b}}_L={\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{y}_{r\mathrm{0}}{{\rm B}}_{r,L}}{\mathit{a}}_L，则公式可以简化为

{\left|h_Q(\mathit{r})\right|}_{y_r=y_{r\mathrm{0}}}^{{}^{\mathrm{2}}}={\left|{\displaystyle \sum _{L=\mathrm{1}}^Q}{\mathit{b}}_L{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{x}_r{{\rm A}}_{r,L}}\right|}^{\mathrm{2}}（28）

此时，则存在周期变量x\mathrm{\text{'}}使得

\begin{array}{l}{\left|h_Q(\mathit{r})\right|}_{y_r=y_{r\mathrm{0}}}^{{}^{\mathrm{2}}}\equiv {\left|{\displaystyle \sum _{L=\mathrm{1}}^Q}{\mathit{b}}_L{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_r+x\mathrm{\text{'}}){{\rm A}}_{r,L}}\right|}^{\mathrm{2}}\iff \\ {\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^Q}{\mathit{b}}_m{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{x}_r{{\rm A}}_{r,m}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^Q}{{\mathit{b}}_n}^{\mathit{*}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{x}_r{{\rm A}}_{r,n}}\equiv \\ {\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^Q}{\mathit{b}}_m{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_r+x\mathrm{\text{'}}){{\rm A}}_{r,m}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^Q}{{\mathit{b}}_n}^{\mathit{*}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_r+x\mathrm{\text{'}}){{\rm A}}_{r,n}}\iff \\ {\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^Q}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^Q}{\mathit{b}}_m{{\mathit{b}}_n}^{\mathit{*}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{x}_r({{\rm A}}_{r,m}-{{\rm A}}_{r,n})}\equiv \\ {\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^Q}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^Q}{\mathit{b}}_m{{\mathit{b}}_n}^{\mathit{*}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_r+x\mathrm{\text{'}})({{\rm A}}_{r,m}-{{\rm A}}_{r,n})}\iff \\ {\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^Q}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1},n\ne m}^Q}{\mathit{b}}_m{{\mathit{b}}_n}^{\mathit{*}}\left(\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{j\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }x\mathrm{\text{'}}({{\rm A}}_{r,m}-{{\rm A}}_{r,n})}\right)\times \\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{x}_r({{\rm A}}_{r,m}-{{\rm A}}_{r,n})}\equiv \mathrm{0}\iff \\ \frac{x\mathrm{\text{'}}({{\rm A}}_{r,m}-{{\rm A}}_{r,n})}{\lambda }\in Z,\mathrm{1}\le m,n\le Q\end{array}（29）

式（29）表明，当固定用户天线的y_r位置后，可以近似得到信道增益周期性变化所需要的最小长度为x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{\text{'}}.如果天线移动区域沿x_r轴移动距离不小于x_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{\text{'}}，则可以近似实现信道增益沿x_r轴方向的周期变化.

根据上述分析发现，单径情况下的用户天线移动仅影响信道增益中的相位表达.双径和三径情况下，信道增益随着天线移动呈现周期性变化，可以通过改变用户天线的位置来得到最大信道增益.多径情况下，无法得到明确的信道增益变化周期，但是改变用户天线的位置依然可以影响信道增益的大小，甚至可以对信道增益进行改善.

3 问题模型

本文的系统中，基站到RIS的信道和RIS到用户的信道彼此独立，且总体构成乘性信道，当RIS两端信道的信道增益均到达最大时，整个信道的信道增益到达最大.第u个用户接收到的信号可以表示为

y(u)=\mathit{f}{(\mathit{r})}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}\mathit{f}(\mathit{R})\mathit{\vartheta }\mathit{f}{(\mathit{R})}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}\mathit{f}(\mathit{t}){\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^N}\mathit{w}{\mathit{s}}_{\mathit{r}}+z_r（30）

式中：{\mathit{s}}_r为基站对用户u发送的信号，{\mathit{s}}_r\in {\mathbb{C}}^{M\times \mathrm{1}}； \mathit{w}表示基站端的波束赋形向量；z_r\sim \mathrm{𝒞}\mathrm{𝒩}(\mathrm{0},{\delta }^{\mathrm{2}})是功率为{\delta }^{\mathrm{2}}的高斯白噪声.

此时，全信道的信道增益表示为

h(\mathit{r})=\mathit{f}{(\mathit{r})}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}\mathit{f}(\mathit{R})\mathit{\vartheta }\mathit{f}{(\mathit{R})}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}\mathit{f}(\mathit{t})（31）

第u个接收用户端信干噪比表示为

\gamma (u)=\frac{{\left|h(\mathit{r}){\mathit{w}}_r\right|}^{\mathrm{2}}}{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1},j\ne r}^N}{\left|h(\mathit{r}){\mathit{w}}_j\right|}^{\mathrm{2}}+{\delta }^{\mathrm{2}}},\mathit{r}\in C_r（32）

双径情况下，系统天线通过遍历半径为1 m的圆形区域，得到的系统信干噪比（SINR）变化如图3所示.由于双径下的系统信道增益随着天线的移动呈现周期性特征，系统的信干噪比也近似呈现周期性.图中天线从圆心向外围移动34 cm后，信干噪比为最低值，此时的天线分布位置为系统性能最差的天线位置；天线从圆心向外围移动79 cm后，信干噪比为最高值，此时的天线分布位置为系统性能最好的天线位置.

本文构建了以最大化系统和速率为目标函数的问题模型：

\begin{array}{l}\mathrm{P}\mathrm{1}:\underset{\mathit{\vartheta },\mathit{r},\mathit{t},w_r}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{R}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}(\mathit{\vartheta },\mathit{r},\mathit{t},{\mathit{w}}_r)=\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}\left[\mathrm{1}+\gamma (i)\right]\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{C}\mathrm{1}:\left|\mathit{\vartheta }\right|=\mathrm{1},\forall i\in K\\ \mathrm{C}\mathrm{2}:\mathit{r}=[x_r,y_r]\in C_N,\forall \mathit{r}\in N\\ \mathrm{C}\mathrm{3}:\mathit{t}=[x_t,y_t]\in C_M,\forall \mathit{t}\in M\\ \mathrm{C}\mathrm{4}:{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{‖{\mathit{w}}_r‖}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{P}_{\mathrm{B}\mathrm{S}}\end{array}（33）

式中：P_{\mathrm{B}\mathrm{S}}为基站发射功率；\mathrm{C}\mathrm{1}为RIS相移约束；\mathrm{C}\mathrm{2}和\mathrm{C}\mathrm{3}为天线位置约束；\mathrm{C}\mathrm{4}为基站发射功率约束.

3.1 相移与发射功率优化

问题P1中，R_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}(\mathit{\vartheta },\mathit{r},\mathit{t},{\mathit{w}}_r)是一个对数的和函数，利用拉格朗日对偶重组法，引入辅助变量{\mu }_r对 式（33）进行拉格朗日对偶变换^［13］，得到

R_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}^{\text{'}}(\mathit{\vartheta },\mathit{r},\mathit{t},{\mathit{w}}_r)={\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^N}log(\mathrm{1}+{\mu }_r)-{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^N}{\mu }_r+{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^N}\frac{(\mathrm{1}+{\mu }_r)\gamma (r)}{\mathrm{1}+\gamma (r)}（34）

式（34）中依然存在分式，引入变量a_r对其进行二次变换，得到

\begin{array}{l}\frac{(\mathrm{1}+{\mu }_r)\gamma (r)}{\mathrm{1}+\gamma (r)}=\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{1}+{\mu }_r}\mathrm{R}\mathrm{e}\left[a_r^{\mathrm{*}}h(\mathit{r}){\mathit{w}}_r\right]-\\ {\left|a_r\right|}^{\mathrm{2}}\left[{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}{\left|h(\mathit{r}){\mathit{w}}_j\right|}^{\mathrm{2}}+{\delta }^{\mathrm{2}}\right]\end{array}（35）

经过上述过程，问题\mathrm{P}\mathrm{1}转换为

\begin{array}{l}\mathrm{P}\mathrm{2}:\underset{\mathit{\vartheta },\mathit{r},\mathit{t},w_r}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}R\mathrm{\text{'}}{\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}(\mathit{\vartheta },\mathit{r},\mathit{t},{\mathit{w}}_r)={\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^N}log(\mathrm{1}+{\mu }_r)-{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^N}{\mu }_r+\\ {\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^N}\left\{\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{1}+{\mu }_r}\mathrm{R}\mathrm{e}\left[a_r\mathrm{*}h(\mathit{r}){\mathit{w}}_r\right]-{\left|a_r\right|}^{\mathrm{2}}\left[{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}{\left|h(\mathit{r}){\mathit{w}}_j\right|}^{\mathrm{2}}+{\delta }^{\mathrm{2}}\right]\right\}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{C}\mathrm{1}:\left|\mathit{\vartheta }\right|=\mathrm{1},\forall i\in K\\ \mathrm{C}\mathrm{2}:\mathit{r}=[x_r,y_r]\in C_N,\forall r\in N\\ \mathrm{C}\mathrm{3}:\mathit{t}=[x_t,y_t]\in C_M,\forall t\in M\\ \mathrm{C}\mathrm{4}:{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{‖{\mathit{w}}_r‖}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{P}_{\mathrm{B}\mathrm{S}}\end{array}（36）

对式（36）进行关于{\mu }_r的偏导，得到{\mu }_r的最优解：

{\mu }_r^{\mathrm{*}}=\frac{m_r^{\mathrm{2}}+m_r\sqrt[]{m_r^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}}}{\mathrm{2}}（37）

式中：m_r=\mathrm{R}\mathrm{e}\left[a_r\mathrm{*}h(\mathit{r}){\mathit{w}}_r\right].

对式（36）进行关于a_r的偏导，得到a_r的最优解：

a_r\mathrm{*}=\frac{\sqrt[]{\mathrm{1}+{\mu }_r}\left|h(\mathit{r}){\mathbf{w}}_r\right|}{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^N}{\left|h(\mathit{r}){\mathit{w}}_j\right|}^{\mathrm{2}}+{\delta }^{\mathrm{2}}}（38）

在给定RIS相移矩阵\mathit{\vartheta }、基站天线位置、用户天线位置及辅助变量{\mu }_r和a_r后，可以将问题\mathrm{P}\mathrm{2}重述为

\mathrm{P}\mathrm{3}:\underset{\mathit{\vartheta },\mathit{r},\mathit{t},R}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}R\mathrm{\text{'}}{\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}(w,{\mu }_r,a_r)=\mathrm{R}\mathrm{e}(\mathrm{2}{\mathit{Q}}^{\mathrm{H}}\mathit{W})-{\mathit{W}}^{\mathrm{H}}\mathit{U}\mathit{W}

\mathrm{s}.\mathrm{t}.{\mathrm{C}}_{\mathrm{1}}:{\mathit{W}}^{\mathrm{H}}\mathit{W}\le \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{P}_{\mathrm{B}\mathrm{S}}（39）

其中，

\left\{\begin{array}{l}\mathit{Q}=[{\mathit{q}}_{{}_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{T}},{\mathit{q}}_{{}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{T}},\cdots ,{\mathit{q}}_{{}_{\mathit{N}}}^{\mathrm{T}}{]}^{\mathrm{T}}\\ {\mathit{q}}_{\mathit{r}}=\sqrt[]{\mathrm{1}+{\mu }_r}{a}_{{}_r}^{\mathrm{*}}h{(\mathit{r})}^{\mathrm{H}},\mathrm{1}\le r\le N\\ \mathit{U}={\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^N}{\left|a_r\right|}^{\mathrm{2}}h(\mathit{r})h{(\mathit{r})}^{\mathrm{H}}\end{array}\right.

引入新的变量{\epsilon }_{\mathrm{1}}，对式（39）进行改写，得到

\begin{array}{l}\mathrm{P}\mathrm{4}:\underset{\mathit{\vartheta },\mathit{r},\mathit{t},R}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{R^{\text{'}}}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}(w,{\mu }_r,a_r)=\mathrm{R}\mathrm{e}(\mathrm{2}{\mathit{Q}}^{\mathrm{H}}\mathit{W})-\\ {\mathit{W}}^{\mathrm{H}}\mathit{U}\mathit{W}+{\epsilon }_{\mathrm{1}}({\mathit{W}}^{\mathrm{H}}\mathit{W}-\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{P}_{\mathrm{B}\mathrm{S}})\end{array}（40）

利用拉格朗日乘子法求解问题\mathrm{P}\mathrm{4}，得到基站最优的波束赋形向量\mathit{w}.

在给定波束赋形向量\mathit{w}，基站可移动天线的位置\mathit{t}，用户可移动天线的位置\mathit{r}，辅助变量{\mu }_r和a_r后，问题\mathrm{P}\mathrm{2}可以重述为

\begin{array}{l}\mathrm{P}\mathrm{5}:\underset{\mathit{\vartheta },\mathit{r},\mathit{t},R}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}R\mathrm{\text{'}}{\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}(\mathit{\vartheta },{\mu }_r,a_r)=\mathrm{R}\mathrm{e}(\mathrm{2}{\mathit{\vartheta }}^{\mathrm{H}}\mathit{A})-{\mathit{\vartheta }}^{\mathrm{H}}\mathit{B}\mathit{\vartheta }\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.C_{\mathrm{1}}:\left|\mathit{\vartheta }\right|=\mathrm{1},\forall i\in K\end{array}（41）

其中，

\left\{\begin{array}{l}\mathit{A}={\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^N}\sqrt[]{\mathrm{1}+{\mu }_r}{a}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{*}}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{K}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{H}})\mathit{G}{\mathit{w}}_r\\ \mathit{B}={\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^N}{\left|a_r\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{K}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{H}})\mathit{G}({\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^N}{\mathit{w}}_r{\mathit{w}}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{H}}){\mathit{G}}^{\mathrm{H}}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{K}}_r)\\ {\mathit{K}}_r=\mathit{f}{(\mathit{r})}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{2}}\mathit{f}(\mathit{R})\\ \mathit{G}=\mathit{f}{(\mathit{R})}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Sigma }}_{\mathrm{1}}\mathit{f}(\mathit{t})\end{array}\right.

易知\mathrm{P}\mathrm{5}为凸问题，对其求解后得到更新后的RIS相移矩阵\mathit{\vartheta }.

3.2 天线位置优化

相较于遍历法，梯度上升法虽然只能得到局部最优解，但基于其运行时间较短的优势，本文选择梯度上升法进行天线最佳位置{\mathit{r}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}和{\mathit{t}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}的求解.梯度上升法主要经过初始化参数、迭代更新参数和输出结果这三个步骤.

算法中梯度的更新依靠式（42）：

{\theta }_{t+\mathrm{1}}={\theta }_t+\eta \cdot {\nabla }_{\theta }J({\theta }_t)（42）

式中：{\theta }_t为第t步的参数值；J({\theta }_t)为目标函数； \eta为学习率；{\nabla }_{\theta }J({\theta }_t)为目标函数在{\theta }_t的梯度.

令基站所有的天线位置为{\mathit{D}}_{\mathrm{1}}=[t_{\mathrm{1}},t_{\mathrm{2}},\cdots ,t_M]，用户所有的天线位置为{\mathit{D}}_{\mathrm{2}}=[r_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}},\cdots ,r_N]，则所有天线的位置为\mathit{\theta }=[{\mathit{D}}_{\mathrm{1}},{\mathit{D}}_{\mathrm{2}}]，目标函数J(\mathit{\theta })为含有天 线位置的R_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}，因此{\nabla }_{\theta }J({\mathit{\theta }}_t)为{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\frac{\partial \mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}\left[\mathrm{1}+\gamma (i)\right]}{\partial \mathit{\theta }}. 式（42）可以写为

{\mathit{\theta }}_{t+\mathrm{1}}={\mathit{\theta }}_t+\eta \cdot {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\frac{\partial \mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}\left[\mathrm{1}+\gamma (i)\right]}{\partial \mathit{\theta }}（43）

第一步：定义发射区域和接收区域的范围大小，初始化基站和用户天线位置，确保天线位置均在约束区域内.定义基站天线位置和用户天线位置的学习率.

第二步：计算当前基站和用户天线位置的梯度并且计算当前天线位置的和速率，然后利用定义的学习率和计算得到的梯度更新天线的位置.重复该步骤直到迭代到指定的迭代次数，或者超过3次和速率提升不明显则终止迭代.

第三步：输出迭代的结果.

3.3 算法收敛性

算法利用拉格朗日对偶变换和二次变换，将原来的非凸问题解耦为三个问题：基站波束赋形、RIS相移矩阵优化和可移动天线位置的优化，并且在可移动天线位置优化上选择了梯度上升法.经过多次迭代得到局部最优解.在每次迭代中，变量的更新都与相应子问题的最优解相关联.利用上标n来表示迭代索引，则算法收敛为

\begin{array}{l}\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}{\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}({\mathit{\vartheta }}^{(n+\mathrm{1})},{\mathit{r}}^{(n+\mathrm{1})},{\mathit{t}}^{(n+\mathrm{1})},W^{(n+\mathrm{1})},{{\mu }_r}^{(n+\mathrm{1})},{a_r}^{(n+\mathrm{1})}){\ge }^{(\mathrm{梯度}\mathrm{上升}\mathrm{法})}\\ \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}{\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}({\mathit{\vartheta }}^{(n+\mathrm{1})},{\mathit{r}}^{(n)},{\mathit{t}}^{(n)},W^{(n+\mathrm{1})},{{\mu }_r}^{(n+\mathrm{1})},{a_r}^{(n+\mathrm{1})})\ge \\ \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}{\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}({\mathit{\vartheta }}^{(n)},{\mathit{r}}^{(n)},{\mathit{t}}^{(n)},W^{(n+\mathrm{1})},{{\mu }_r}^{(n+\mathrm{1})},{a_r}^{(n+\mathrm{1})})\ge \\ \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}{\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}({\mathit{\vartheta }}^{(n)},{\mathit{r}}^{(n)},{\mathit{t}}^{(n)},W^{(n)},{{\mu }_r}^{(n+\mathrm{1})},{a_r}^{(n+\mathrm{1})})\ge \\ \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}{\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}({\mathit{\vartheta }}^{(n)},{\mathit{r}}^{(n)},{\mathit{t}}^{(n)},W^{(n)},{{\mu }_r}^{(n+\mathrm{1})},{a_r}^{(n)})\ge \\ \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}{\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}}({\mathit{\vartheta }}^{(n)},{\mathit{r}}^{(n)},{\mathit{t}}^{(n)},W^{(n)},{{\mu }_r}^{(n)},{a_r}^{(n)})\end{array}（44）

4 仿真结果及分析

4.1 参数设置

本小节通过仿真模拟来测试所提出模型的有效性和算法的性能，设置基站天线移动区域是z=\mathrm{0}水平面内\left(\mathrm{0,0}\right)为圆心，半径为1 m的圆，用户天线移动区域是z=\mathrm{0}水平面内（100，0）为圆心，半径为1 m的圆，RIS的中心坐标为（50，50，80），如图4所示.仿真实验的参数设置如表1所示.

4.2 仿真结果及分析

本文提出的模型是基站和用户皆为可移动天线下的RIS-MIMO系统，信道模型采用上文提出的不同多径情况下的信道增益分析.通过单跳信道收发信号的数值仿真，对系统处于散射路径数量不同情况下的单跳信道增益进行验证，结果如图5所示.

由图5可知，单径情况下系统的信道增益大小随着天线移动几乎保持不变；双径和三径情况下系统的信道增益随着天线移动呈现正余弦函数的形式，具备明显的周期性特征，符合双径与三径情况下信道增益表达式；多径情况下系统的信道增益由于多条路径叠加的复杂性和发射角到达角的随机性，不能得到明显的周期性特征，验证了本文对于不同路径数量情况下信道增益的推导.

本文通过对固定天线位置、只改变基站天线位置、只改变用户天线位置、同时改变基站和用户天线位置四种情况进行对比，数值仿真结果如图6所示.在富散射环境下，由于天线位置固定，无法通过调整天线位置改善天线之间的干扰，且可能无法获取最优的多径组合.改变天线位置在减小天线之间干扰的同时还可以动态重构信道矩阵，获取最优的多径组合，提高系统空间自由度，提升信道增益，继而提升系统和速率.同时对基站端和用户端分别进行天线位置优化，BS-RIS和RIS-UE链路均获得最大信道增益，此时对系统和速率的提升最大.基站端天线存在发射间的干扰，而用户端天线能够更好利用到空间分集技术，因此只改变用户天线位置对系统和速率的提升优于只改变基站天线位置.由图6可知，算法迭代90次左右，收敛到稳定的数值，迭代100次后，同时改变基站和用户天线位置的信道增益均优于固定天线位置、只改变基站天线位置、只改变用户天线位置的系统和速率，且与固定天线位置相比，同时改变基站和用户天线位置的系统和速率会有 6.4 bps/Hz左右的提升，证明了本文提出的系统相较于固定天线位置、只改变基站天线位置、只改变用户天线位置的系统，系统和速率能有进一步的提高，进而体现了本文系统的优越性.

图7显示了RIS反射单元数量增加对固定天线位置、只改变基站天线位置、只改变用户天线位置、同时改变基站和用户天线位置四种情况系统和速率的影响.在RIS-MIMO系统中，增加 RIS反射单元数量意味着提供了更多的虚拟直视链路，能够有效提升系统的空间自由度.因此在上述更改天线位置提升系统和速率的同时，提高RIS反射单元数量使得系统和速率进一步提升.由图7可知，同时改变基站和用户天线位置所得到的系统和速率提升最大，上升趋势也最大，RIS反射单元数量为1 600时，相较于固定天线位置，系统和速率会有5.4 bps/Hz左右的提升.

图8显示了富散射环境下，散射路径数量增加对固定天线位置、只改变基站天线位置、只改变用户天线位置、同时改变基站和用户天线位置四种情况系统和速率的影响.随着散射体产生的路径数量的增加，系统基站端和用户端的空间分集得到改善，有效降低信道矢量相关性，提升系统的空间自由度，MA技术可以改善通信信道，使系统的空间自由度进一步提升，使得系统和速率不断上升.如图8所示，同时优化基站和用户天线位置所得到的系统和速率提升最快，相较于固定天线位置的和速率会有9.6 bps/Hz左右的提升.

如图9所示，针对不同基站总功率进行了固定天线位置、只改变基站天线位置、只改变用户天线位置、同时改变基站和用户天线位置所得到的系统和速率的对比.在提升基站总功率以提高链路的容量的同时，MA技术能够有效减少天线间的干扰并且对富散射环境下的信道条件进行改善，提升系统的空间自由度，继而提升系统和速率.同时优化基站和用户天线位置得到的和速率提升最大，在基站总功率为70 dBm时，相较于固定天线位置的和速率有 24.9 bps/Hz的提升.

5 结 论

为提升RIS-MIMO系统的性能，本文提出利用MA技术对RIS-MIMO系统进行优化的系统模型.通过对MA辅助下RIS-MIMO系统的系统模型和信道模型进行建模和分析，得到信道模型转化为视距信道、几何信道、瑞利衰落信道和莱斯衰落信道所需要的条件，并对不同路径数量情况下BS-RIS单跳信道的信道增益进行分析，得到不同路径数量情况下信道增益的特征.以最大化系统和速率为目标，通过利用分式规划的方法分级优化基站总发射功率和RIS相移矩阵，再利用梯度上升法对天线位置进行优化.本文提出的MA辅助下的RIS-MIMO系统相较于固定天线位置的RIS-MIMO系统，能够获得更大的系统和速率.由于本文主要讨论处于富散射环境下且直视链路被阻挡时，同时优化基站和用户天线位置对RIS-MIMO系统的信道增益的影响，未考虑MIMO系统直视链路存在时系统的信道模型和信道增益.因此，在后续的研究中将对直连链路存在时，改变基站和用户天线位置会对系统产生的影响进行更深入的研究.

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(62461030)

National Natural ScienceFoundation of China(62461030)

云南省基础研究重点项目(202401AS070105)

Yunnan Province Basic Research Program Key Project(202401AS070105)