考虑序列分布特征的时间序列模糊聚类

Time series fuzzy clustering considering sequence distribution characteristics

摘要

针对模糊聚类算法在处理时间序列时未全面关注序列分布特征等问题，提出一种考虑序列分布特征的时间序列模糊聚类（considering sequence distribution characteristics time series fuzzy clustering， CDF）.CDF通过三方面强化聚类过程：提出关联序列分布特征的初始簇中心确定方法，优化簇中心的选择；构建感知序列分布特征的距离度量，提升算法对噪声的鲁棒性；提出基于序列结构的自适应模糊因子策略，更新隶属度矩阵，持续优化簇中心直至收敛到最优解.CDF充分考虑序列的高维复杂分布结构，能有效处理序列的模糊性，提升聚类结果的可解释性.为验证CDF的性能，将其与8种先进的聚类算法在UCR数据库的7个时间序列数据集上进行了对比.实验结果表明，CDF在2个量化指标上优于所有对比方法，并在部分数据集上展现出高抗噪性、强收敛性及具有竞争力的计算效率.

Abstract

To address the problem that fuzzy clustering algorithms do not fully account for sequence distribution characteristics when processing time series， we propose a time series fuzzy clustering （CDF） method considering sequence distribution characteristic. CDF strengthens the clustering process through three aspects： proposing an initial cluster center determination method for the sequence distribution characteristics， optimizing the selection of cluster centers； constructing a distance metric for the distribution characteristics of perceptual sequences to enhance the robustness of algorithm to noise； proposing an adaptive fuzzy factor strategy based on sequence structures， updating the membership matrix， and continuously optimizing the cluster center until it converges to the optimal solution. CDF fully accounts for the high-dimensional complex distribution structure of sequences， enabling more effective handling of ambiguity in sequences and improving the interpretability of clustering results. To validate the performance of CDF， it was compared with 8 advanced clustering algorithms on 7 time-series datasets from the UCR database. Experimental results demonstrate that CDF outperforms all baselines across two metrics， exhibiting high noise robustness， strong convergence， and competitive computational efficiency on some datasets.

Graphical abstract

关键词

时间序列 / 模糊C均值聚类 / 序列分布 / 簇中心优化 / 相似性度量

Key words

time series / fuzzy C means clustering / sequence distribution / cluster center optimization / similarity measurement

时间序列聚类旨在将具有相似形态或统计特性的序列归为同一簇，以揭示数据的潜在模式^［1］.然而，真实的时间序列常表现出非平稳趋势、周期相位差异以及幅度波动等多样化的特性，这些特性构成了复杂的分布特征^［2］.由于这些特性，传统的相似度（如欧氏距离、相关系数）难以准确反映序列间的差异，导致聚类结果对初始化参数、噪声干扰以及不同量纲的影响尤为敏感^［3］.

近年来，模糊C均值（fuzzy C means， FCM）由于具有软聚类优势，已成为时间序列聚类中的重要方法^［4］.与传统的硬聚类相比，FCM允许每个序列同时属于多个簇，通过隶属度反映其模糊性与不确定性.因此，FCM更适合描述具有模糊边界的复杂序列数据.但现有FCM改进算法在三个关键环节——初始化、距离度量和隶属度更新——都未充分考虑序列的分布特征.例如，缺乏对序列动态变化的敏感性，导致在面临复杂、异构的序列时，算法容易陷入局部最优或局部偏差.这表明有必要设计一种融入序列分布特征的聚类思想，以增强其鲁棒性和准确性.

在时间序列模糊聚类的研究中，现有方法主要遵循两条技术路径：距离重构与目标函数增强.在距离重构方面，学者们提出引入复数模糊集^［5］、正则化约束^［6］、Hausdorff加权^［7］，或融入重构误差^［8］等策略，以改进相似性度量.然而，这类方法大多仍沿用随机初始中心，且其距离度量未能显式融合序列的斜率、周期等分布特征，因而对数据分布漂移的鲁棒性有限.在目标函数增强方面，研究者则通过引入条件概率分布^［9］、特征加权^［10］、最大熵正则化^［11］、图嵌入^［12］、非对称偏差^［13］等方式，优化隶属度估计过程以提升聚类精度.尽管这些方法在一定程度上改善了隶属度更新机制，但它们同样未充分考虑序列的分布特征在初始中心选择与距离度量中的关键作用，导致算法对初始值敏感，且在应对量纲差异与噪声干扰时表现受限.

由此可见，尽管已有研究在距离重构与目标函数增强方面取得了进展，但其共性局限在于未能将序列的分布特征贯穿于聚类的核心流程，导致初始化、距离度量和隶属度更新三个环节相互脱节，具体表现为：（1） 初始化阶段，随机选取中心忽略序列的分布统计特性，易导致初始中心偏离真实簇结构；（2） 距离度量阶段，传统相似性计算未融合序列的分布形态，难以适应不同尺度与异常波动，影响相似性评估的可靠性；（3） 隶属度更新阶段，固定模糊因子或静态调整机制无法响应序列分布的动态变化，降低了算法对噪声的鲁棒性，并可能引起簇中心漂移.

为解决上述问题，提出一种考虑序列分布特征的时间序列模糊聚类（considering sequence distribution characteristics time series fuzzy clustering， CDF），CDF通过分布感知策略，实现全流程的闭环：（1） 初始化：提出基于序列分布特征的簇中心确定方法，分析序列的分布特征，以选择更符合数据分布的初始簇中心，提升聚类的稳定性与准确性；（2） 距离度量：定义一种感知序列分布特征的欧氏距离（sensing the euclidean distance characterizing the distribution of sequences， SED），使距离不依赖于数据的量纲，增强算法在不同数据尺度及波动情况下的一致性和鲁棒性；（3） 隶属度更新：提出基于序列结构的自适应模糊因子策略，通过调整模糊因子，使其考虑序列的分布特性，从而增强对复杂关系的捕捉能力.此外，为降低高维序列的计算复杂度，CDF在预处理阶段执行归一化操作，统一尺度、压缩数值范围，为后续阶段提供更高效、一致的输入空间.多步协同能够减小序列波动和异常值对聚类效果的影响，提升整体的稳定性和鲁棒性.

本文组织如下：第1节介绍相关理论；第2节详细说明本文所提算法；第3节为实验结果分析；第4节对全文进行总结.

1 相关理论

1.1 时间序列

时间序列是一组在相等间隔内依照给定的采样率对某种潜在过程进行观测的随机变量^［1］.设时间序列数据集D中包含n条维度为q的序列，如式（1）~ 式（2）所示.

（1）

X_i=\left\{x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_q\right\}（2）

式中：X_i为D中的一条序列；x_q是X_i中的一个样本.

1.2 模糊C均值聚类

模糊C均值（FCM）^［3］是模糊聚类中最常用的算法之一，它旨在优化簇中心的隶属度，使数据到其对应簇中心的距离之和最小化.FCM构建的目标函数，通常表示为J\left(\mathit{U},\mathit{C}\right)，定义如式（3）所示.

J\left(\mathit{U},\mathit{C}\right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^k}{u}_{ij}^m{‖x_i-c_j‖}^{\mathrm{2}},\mathrm{s}.\mathrm{t}.{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^k}{u}_{ij}=\mathrm{1}（3）

式中：k、\mathit{U}、\mathit{C}、n和m分别表示簇数、隶属度矩阵、簇中心矩阵、序列的数量和控制簇模糊程度的模糊因子；x_i对于c_j的隶属度表示为u_{ij}，u_{ij}值在0~1之间，且x_i对所有簇中心的隶属度之和均为1.

2 考虑序列分布特征的时间序列模糊聚类（CDF）

2.1 CDF整体框架

图1为CDF算法的详细框架.CDF基于FCM思想，通过关联序列分布特征的初始簇中心确定方法来适应数据分布特性，提高聚类结果的稳定性；通过定义感知序列分布的欧氏距离，以消除不同维度间的尺度差异，提高聚类结果的准确性；通过提出基于序列结构的自适应模糊因子策略来增强隶属度更新机制，修正簇中心，最终收敛到最优解.

2.2 数据预处理

时间序列受多种因素影响而表现出随机性和不规则性.由于数量庞大、分布不均，以及存在噪声等特点，进行预处理显得尤为重要.为消除序列各特征间的尺度差异，使用MinMaxScaler^［14］归一化，将序列特征缩放到［0，1］内，确保数据在统一尺度下分析的同时保留序列的相对位置和整体趋势.具体如式（4）所示：

N\left(X\right)=X_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{d}}=\frac{X-X_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{X_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-X_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}（4）

式中：N\left(X\right)表示MinMaxScaler归一化操作；X表示原始序列；X_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{d}}表示归一化后的序列；X_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}和X_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}分别表示原始数据中的最小值和最大值.N\left(X\right)通过比例缩放和平移调整序列，且不引入外部信息.在变换过程中，它确保序列内在相对关系和分布形态不变，同时保留序列间的相对位置和整体趋势.

2.3 关联序列分布特征的初始簇中心确定方法

传统FCM算法随机选取初始簇中心，致使算法对初始簇中心敏感，易陷入局部最优而非全局最优，聚类结果的稳定性降低，结果的一致性也受到影响^［4］.鉴于此，提出一种关联序列分布特征的初始簇中心确定方法，以优化初始簇中心的选择，进而提升聚类效果.

首先，从数据集D中随机选取序列X作为初始簇中心.接着，对于数据集中每一条序列，计算其到已有的簇中心的最短距离d\left(x\right).这个距离能反映各序列在数据空间中的相对位置关系.新序列被选为下一个簇中心的概率与该d{\left(x\right)}^{\mathrm{2}}成正比，即距离现有簇中心越远的序列，越有可能成为下一个簇中心.基于距离的概率选择，能够确保每次新选定的簇中心都能在一定程度上填补之前簇中心所未覆盖的数据区域，从而使整个簇中心序列能够更广泛、更均匀地分布在整个数据空间中.重复上述步骤，直至选定k个簇中心，具体步骤见算法1.

该操作使初始簇中心的选取更贴合序列的分布特征，减少算法对初始条件的依赖.在模糊聚类过程中，初始簇中心的合理性直接影响到迭代收敛的速度以及最终聚类结果的优劣.通过这种关联序列分布特征的自适应方式确定初始簇中心，能够使模糊聚类算法在后续的迭代过程中更快地收敛到更优的解，增强聚类的稳定性，提升结果的质量，使得聚类结果更具代表性和可靠性，更好地反映出数据的真实结构.

2.4 感知序列分布特征的欧氏距离(SED)

传统FCM算法采用的欧氏距离虽然计算简单，但它存在局限性^［3］：（1） 欧氏距离对序列的尺度敏感.如果不同序列的幅值范围不同，直接计算距离会导致较大的偏差.（2） 序列通常具有动态变化的特性，欧氏距离仅基于静态的数值差异，无法有效地捕捉这些动态特征，从而可能导致聚类结果不准确.（3） 序列的分布特征（如均值、标准差、偏度）对于聚类非常重要.欧氏距离无法感知这些分布特征，因此在处理具有不同分布特征的序列时，会忽略重要的信息.

为了解决上述问题，提出SED.SED的核心思想是在MinMaxScaler实现幅值对齐的基础上，进一步通过l_{\mathrm{2}}范数归一化将序列映射至单位超球面，使得距离计算从传统的幅度差异转向分布形态差异.该方法隐式地保留了序列在标准化后的高阶统计特征（如偏度、峰度的相对结构），从而对分布漂移更具鲁棒性. SED的推导过程如下.

1） 分布归一化：对每条序列X和每个中心c进行l_{\mathrm{2}}范数归一化，得X_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}}=\frac{X}{{‖X‖}_{\mathrm{2}}}，和c_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}}=\frac{c}{{‖c‖}_{\mathrm{2}}}.该步骤消除幅度差异，将比较焦点转向分布形状.

2） 形态差异度量：计算归一化后序列与簇中心之间的平方欧氏距离，如式（5）所示.

d^{\mathrm{2}}\left(X_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}},c_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}}\right)={{\displaystyle \sum _{d=\mathrm{1}}^q}\left(X_{d,\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}}-c_{d,\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}}\right)}^{\mathrm{2}}（5）

其中，计算得到的该距离d^{\mathrm{2}}\left(X_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}},c_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}}\right)能反映分布投影在单位球面上的形态偏差.

3） 总形态差异计算：对所有序列与簇中心计算总平方距离，如式（6）所示.

D_{\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^C}{d}^{\mathrm{2}}\left(X_{{}_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}}}^{\left(i\right)},c_{{}_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}}}^{\left(j\right)}\right)（6）

式中：i和j分别表示序列的索引和簇中心的索引.通过广播机制，X_{{}_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}}}^{\left(i\right)}被复制了C次，而每个c_{{}_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}}}^{\left(j\right)}被复制了n次.

4） 距离计算：取平方根得到SED，如式（7）所示.

\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{D}=\sqrt[]{D_{\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}}（7）

通过上述过程，SED将序列视为单位球面上的分布点，其位置由原始序列的分布结构决定.因此，SED能够更好地区分具有不同偏度、峰度或分布形状的序列，而对单纯的幅度变化保持稳定.

2.5 基于序列结构的自适应模糊因子策略

经典FCM中的模糊因子m是一个固定参数，用于控制聚类结果的模糊程度^［4］.然而，不同时间序列数据集往往具有迥异的分布结构（如噪声水平、簇间重叠度、序列形态复杂度），固定的m值很难在所有场景下均取得最优性能.过小的m会使算法退化为硬聚类，丧失对边界序列的捕捉能力；而过大的m则会过度模糊隶属度，导致簇中心估计不准、算法收敛缓慢.

为克服这一局限，本节提出一种基于序列结构的自适应模糊因子调整策略.其核心在于建立模糊因子m与数据内在的分布结构之间的关联，并通过一种高效的搜索机制，使其能够适应不同数据集的结构特点.具体而言，采用轮廓系数^［15］作为聚类内部有效性的评价指标，并在一个预定义的合理范围内\left(m\in \left[\mathrm{1.1},\mathrm{3.0}\right]\right)进行搜索，以寻找使聚类结构最清晰的m值.具体搜索过程如下：

首先，将m范围设定为\left[\mathrm{1.1},\mathrm{3.0}\right]，初始化最佳 模糊因子\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_m，最佳得分\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}和隶属度矩阵\mathit{U}，采用上文提出的初始簇中心确定方法来获得簇中心，迭代得到新的簇中心［式（8）］和更新后的隶属度［式（9）］.

c_j=\frac{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{u}_{ij}^m{x}_i}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{u}_{ij}^m}（8）

u_{ij}=\frac{\mathrm{1}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\left(\frac{{‖x_i-c_j‖}_{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{D}}}{{‖x_i-c_l‖}_{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{D}}}\right)}^{\frac{\mathrm{2}}{m-\mathrm{1}}}}（9）

式中：u_{ij}是第i条序列x_i对第j个簇中心c_j的隶属度；{‖x_i-c_j‖}_{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{D}}表示序列x_i到簇中心c_j之间的SED；l是索引变量，用于遍历所有簇中心，确保对于每个序列中心c_j都考虑到所有序列与其相对距离.m控制隶属度u_{ij}的“软化”程度.对于分布结构清晰、簇间分离度高的数据，较小的m值能产生更确定的隶属度（接近硬划分），从而获得紧密的簇.反之，对于分布重叠严重、噪声较多或簇边界模糊的数据，较大的m值能通过提高隶属度的模糊性，使算法对不确定的序列点进行更平滑的分配，避免因硬划分导致的簇中心估计偏差.因此，最优的m值并不固定，而是数据分布结构（如簇内紧密度、簇间分离度、噪声水平）的函数.

接着，将每个m对应的轮廓系数作为评价指标.轮廓系数s\left(x_i\right)对于序列x_i的定义综合了其簇内平均距离a\left(x_i\right)与最近邻簇平均距离b\left(x_i\right)，如式（10）所示.

s\left(x_i\right)=\frac{b\left(x_i\right)-a\left(x_i\right)}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{a\left(x_i\right),b\left(x_i\right)\right\}}（10）

其中，全局轮廓系数是所有序列s\left(x_i\right)的均值.最大化轮廓系数的过程，是寻找一个m值，使得在该模糊程度下，聚类结果能同时实现最小的簇内距离和最大的簇间距离.因此，该策略可表述为式（11）所示的优化问题：

\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_m=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\underset{m\in \left[\mathrm{1.1},\mathrm{3.0}\right]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\left(\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{F}\left(X,k,m\right)\right)（11）

其中，若m对应的轮廓系数高于\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}，则更新，返回最佳值.具体过程如算法2所示.

综上，该策略并非暴力搜索，而是在轮廓系数评价下，对参数空间进行目标明确的、旨在匹配数据分布特性的筛选.最终选择的\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}{\mathrm{t}}_m是使轮廓系数最大化的值，从而实现了模糊因子与数据集分布结构的自适应匹配.

2.6 CDF算法过程

2.6.1 聚类过程分析

CDF首先进行数据归一化.接着，使用提出的关联序列分布特征的初始簇中心确定方法来获得簇中心序列.然后，通过计算序列到已选择簇中心的SED距离，并基于SED选择新簇中心.在后续迭代过程中，先更新簇中心，然后根据新的簇中心和SED更新隶属度矩阵.接着，依据序列结构来自适应模糊因子m，最后根据得到的最佳m和最终隶属度矩阵，确定每条序列的最终归属，输出聚类结果，具体过程如算法3所示.

2.6.2 收敛性过程分析

本文提出的CDF算法，其收敛性保障源于三个层面.

1） 迭代过程的单调收敛性.当CDF固定模糊因子m时，其迭代过程旨在优化式（12）.该优化过程通过交替优化与\mathit{U}簇中心\mathit{C}来实现.

J_m\left(\mathit{U},\mathit{C}\right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^k}{u}_{ij}^m{‖x_i-c_j‖}_{\mathrm{S}\mathrm{E}\mathrm{D}}^{\mathrm{2}}（12）

先前研究^［16］证明，在距离满足非负性，且簇中心更新也固定的情况下，式（12）代表的目标函数是单调递减的，并最终收敛于一个局部极小点.如上文所说，SED满足非负性，同时簇中心在更新隶属度时被视为固定，因此，CDF的迭代过程能确保目标函数J_m的值随迭代次数增加而非递增，并收敛.这为算法提供了基本的迭代稳定性.

2） 自适应搜索的稳定性.基于序列结构的自适应m过程如算法2所示.其策略意义在于缓解局部最优并提升算法鲁棒性.对噪声数据或簇间重叠度高的数据，较大的m可通过提高模糊性来平滑噪声影响；而对结构清晰的数据，较小的m能产生更确定的划分.自适应搜索使算法能自动调节其模糊力度以适应数据特性.

3） 计算可终止性. CDF在调整m时的可终止性是明显的，在一个有限的集合中遍历，每个m值都是独立于CDF的收敛过程.若集合内有l个元素，则此循环必在l次评估后中止，并返回具有最佳得分的m.

综上，CDF算法不仅在理论上通过匹配模糊程度与数据分布结构来提升聚类质量，还在计算上通过有界搜索保证可行性.

2.7 CDF时间复杂度

CDF时间复杂度为数据预处理、自适应初始簇中心、计算SED、更新簇中心、更新隶属度矩阵、聚类和交叉验证代价的总和.设数据集D中有n条序列，序列维度为q，k为簇中心的数量.

1） 数据预处理.对序列进行归一化，需要遍历所有序列，时间复杂度为O\left(n\cdot q\right).

2） 确定初始簇中心.对于每个簇中心，计算所有序列到当前中心的距离，然后更新概率并选择下一个新的簇中心序列，时间复杂度为O\left(n\cdot k\right).

3） 计算SED.对每条序列和每个更新后的簇中心序列计算距离，时间复杂度为O\left(n\cdot k\cdot q\right).

4） 更新簇中心序列.对于k个簇更新中心序列的时间复杂度为O\left(n\cdot k\cdot q\right).

5） 更新隶属度矩阵.对于k个簇计算其隶属度的时间复杂度为O\left(n\cdot k\cdot q\right).

6） 聚类.当迭代t次后的时间复杂度为O\left(t\cdot n\cdot k\cdot q\right).

7） 交叉验证.对每个最佳模糊因子m交叉验证的时间复杂度为O\left(m\cdot n\cdot k\cdot q\right)，其中，m只影响每次迭代过程中隶属度的计算，调整隶属度的模糊程度，但并不改变算法的基本复杂度，故化简得O\left(n\cdot k\cdot q\right).

综上，CDF算法的时间复杂度为O\left(t\cdot n\cdot k\cdot q\right).

3 实验结果分析

为评价CDF算法性能，本节在7个时间序列数据集上进行实验，包括聚类精度实验、t-SNE可视化、 参数敏感性分析、时间性能分析、异常值实验和收敛性实验.

3.1 实验设置

3.1.1 实验环境

本文使用PyCharm编程环境，操作系统为Windows10，内存为128 GB，处理器为Intel（R）Xeon（R）Gold5222 CPU@3.80 GHz 3.79 GHz.

3.1.2 实验数据集介绍

本节从UCR库中选取了7个广泛使用的含有异常值的时间序列数据集作为实验对象，以同时展示CDF的有效性以及对自然异常值的鲁棒性.数据集的选择是公平的，不偏向任何方法，它们来自不同的领域，如传感器、交通流、情感分析和图像.为了识别数据集中的异常值，本节采用了z-score方法.z-score通过计算每个数据与数据集均值的标准化偏差来衡量其偏离程度.具体来说，首先对所有数据进行标准化，然后设定阈值，识别标准化后绝对值超过阈值的数据作为异常值，相关统计信息见表1.

3.1.3 对比算法介绍

为全面评估CDF算法的性能，本节基于方法类别、核心思想与应用场景三个维度，选取了8种具有代表性的聚类算法作为对比.这些算法覆盖了时间序列聚类的主要路线，保证了实验比较的系统性与充分性.所有算法实现均基于作者提供的代码，参数设置统一遵循表2，各选择理由阐述如下：

1） 经典算法FCM^［16］和k-Means.FCM是模糊聚类的基础，而k-Means是应用最广泛的硬聚类算法.与它们比较旨在验证CDF在继承经典框架优势的同时，通过引入序列分布特征所带来的性能提升.

2） 新的时间序列模糊聚类算法FJ^［17］.该算法在FCM中引入了新度量以提升聚类效果.将其作为对比，旨在检验CDF中包括的SED是否具备竞争优势.

3） 基于深度学习的时间序列聚类算法R-C^［18］.该算法利用深度学习思想获取来序列的特征进行聚类.将其纳入比较，旨在从特征学习的角度评估CDF所依赖的分布特征与深度学习自动提取的隐式特征之间的性能差异，检验CDF在可解释性与效率上的潜在优势.

4） 面向高维数据的聚类算法IDC^［19］.该算法专为处理高维、结构复杂的数据设计.选择此算法是为了测试CDF在应对时间序列这一特定复杂数据结构时，相对于通用高维聚类方法的专门化改进是否有效.

5） 基于形状的时间序列聚类算法SE-Shapelets^［20］和k-Shape^［21］.SE-Shapelets融合了子序列形状特征和半监督学习，而k-Shape是考虑序列的整体形状特征.它们代表时间序列聚类中形状这一重要类别.与它们对比旨在验证CDF所关注的全局分布特征相较于单一形状特征在聚类中的效能.

6） 基于密度峰值的聚类算法DPC^［22］（使用DTW距离）.DPC是基于密度的经典算法，其对簇中心的识别方法与CDF基于分布特征的初始中心选择形成对照.选择DTW代替传统DPC使用的ED是为了更加适应时间序列.与DPC比较旨在评估基于分布统计的初始化策略相对于基于局部密度识别的策略在时间序列聚类中的效果.

3.2 聚类精度实验

本节将CDF与8种对比算法在7个数据集上进行比较，实验结果通过RI（rand index）和FMI（F measure index）量化^［4］，RI和FMI计算如式（13）和式（14）所示：

\mathrm{R}\mathrm{I}=\frac{\mathrm{T}\mathrm{P}+\mathrm{T}\mathrm{N}}{\mathrm{T}\mathrm{P}+\mathrm{T}\mathrm{N}+\mathrm{F}\mathrm{P}+\mathrm{F}\mathrm{N}}（13）

\mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{I}=\frac{\mathrm{2}\mathrm{T}\mathrm{P}\cdot \mathrm{F}\mathrm{N}}{\mathrm{T}\mathrm{P}\cdot \mathrm{F}\mathrm{N}+\mathrm{T}\mathrm{P}\cdot \mathrm{F}\mathrm{P}+\mathrm{F}\mathrm{P}\cdot \mathrm{F}\mathrm{N}}（14）

式中：TP （true positives） 表示预测结果中正确判定为同一类别的元素对数量，且这些元素对在实际结果中也确实属于同一类别：TN （true negatives） 表示预测结果中正确判定为不同类别的元素对数量；FP （false positives）指的是预测结果中错误地将属于不同实际类别的元素对归为同一类别的数量；FN （false negatives） 是指预测结果中错误地将实际属于同一类别的元素对划分为不同类别的数量；\mathrm{R}\mathrm{I},\mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{I}\in \left[\mathrm{0,1}\right]，指标越大，表示聚类效果越好^［23］.为避免实验结果偶然性，对每个数据集，所有算法均记录30次实验后的指标平均值.表3和表4列出了CDF和8个对比算法在7个数据集上的聚类量化结果，表中粗体表示算法在该数据集上取得的最优结果，斜体下画线表示次优结果.具体分析如下：

1） 由表3可知，CDF在7个数据集中的6个上取得了最高的RI结果.与IDC相比，CDF的RI值在数据集上平均提升了103.94%.在BFL上，CDF也展现了接近最佳结果的次优性能，仅以0.147 7的微小差距位列第二.这证实了CDF能够精确地区分序列是否应归属于同一簇或不同的簇，进而获得与实际数据分布一致的聚类结果.

2） 由表4可知，CDF在7个数据集中的5个上实现了最高的FMI值.与SE-Shapelets相比，CDF的FMI值在实验数据集上平均提升了126.54%.在BFL数据集上，CDF的FMI值次于R-C、DPC和IDC算法，差距仅为0.154 8、0.079 6和0.077 4，这些差距相对较小.该现象表明CDF在聚类中能够有效地识别真实的簇边界，有助于形成更加紧凑且分离度良好的簇.

接着，本节针对表3和表4采用Friedman检验^［24］.该检验用于判断所有算法之间是否存在整 体显著差异，统一显著性水平\alpha=0.05.由表5可知， 两个指标上的Friedman检验均强烈拒绝原假设 （p\le \mathrm{0.001}），一致证实所有算法间存在统计显著的性能差异.

为明确差异来源，本节执行Nemenyi事后检验，计算出临界差异（CD=3.979）.并绘制聚类性能层次分布图（图2）.

图2中算法被分为三组：领先组（CDF、R-C）、竞争组（k-Shape、FJ、FCM、k-Means）、落后组（DPC、IDC、SE-Shapelets）.若两算法平均排名之差小于CD值，则视为无显著差异.结果显示，CDF虽与竞争组中部分算法无统计差异，但其在多个数据集上始终排名第一，性能稳定；而竞争组排名随数据集变化剧烈，进一步验证了CDF的稳定优势.

3.3 t-SNE可视化

为深入探究不同算法对时间序列结构的捕捉能力，本节采用t-SNE技术^［25］ （t-distributed stochastic neighbor embedding） 对高维序列进行可视化.t-SNE能够较好地保留高维空间中的局部邻近关系，直观反映聚类结果中簇的分离度与紧致度.本实验的核心目的并非呈现结果，而是通过对比不同模糊聚类算法在相同降维视图下的表现，定性分析其处理特定数据分布模式的能力.

考虑到不同数据集呈现的挑战各异，本节选取CHN数据集作为典型进行详细分析.该数据集具有簇间分离度相对较高、序列分布形态差异显著的特点，这使得可视化结果清晰且具有代表性.图3展示了真实标签与CDF、FJ、FCM三种模糊聚类算法在CHN数据集上的t-SNE投影结果.

图3（a）显示出两个在二维投影中分离良好的簇，表明数据本身具有可分的结构基础.图3（b）展示CDF聚类结果与真实标签高度吻合，簇边界清晰，错误点极少.直观地证明，CDF通过其SED与自适应模糊因子，能够识别并利用该数据集的分布形态差异，实现精准划分.图3（c）~（d）FJ与FCM结果出现明显的簇间重叠与错误分配，与真实结构偏差较大.这表明，传统的模糊聚类方法在面对依赖分布形态差异进行区分的序列时，其距离度量与固定参数机制存在局限.

3.4 参数敏感性分析

CDF通过交叉验证来选择最优m值，用轮廓系数（silhouette coefficient， SC）^［2］进行评价.本节主要探讨SC与CDF在不同数据集上的不同模糊因子m的关系，包括BEF、HAM、BFL、MPA、SWE和GUN，其中，m范围为［1.0， 3.0］，间隔为0.1.

由图4可知，不同数据集上SC随m值变化的趋势各异，但总体呈现出一定的规律性.大多数据集的SC在m处于［1.1，1.2］时内达到峰值［图4（a）、（b）、（c）和（e）］，表明存在较优的m值使得CDF在数据集上取得最佳聚类效果.在图4（d）上，m取1.1，性能最佳.在图4（f）上，SC在m值较小的区间 （约1.1~1.5） 呈现较高的值，随后逐渐下降甚至出现负值.这说明在SWE数据集上，较小的m值更有利于CDF发挥其聚类性能.这是因为SWE数据集的样本间差异在较小的模糊因子下能够被更清晰地体现，而随着m值增大，样本间的区分度反而降低.

综上，本文建议m取值范围在［1.1， 1.2］，能使聚类结果更加准确和稳定.

3.5 时间性能分析

3.5.1 算法运行时间比较

为评估CDF算法的时间效率，本节在7个不同特征和规模的数据集上与R-C、SE-Shapelets、IDC、FJ、DPC和k-Shape等6种具有代表性的聚类算法进行对比.为排除CPU资源占用等外部因素影响，每种算法均重复实验30次，取平均运行时间作为最终结果.表6列出了各算法在不同数据集上的时间消耗.由表6可知：

1） CDF在多数情况下展现出了良好的时间性能，这得益于其模糊聚类的思想和对序列分布特征的敏感处理.CDF算法的高效性使其在时间效率方面具有优势.

2） 与同为模糊聚类算法的FJ相比：CDF仍能在部分数据集上达到与FJ相当的时间性能.与基于形状的k-Shape相比，尤其在处理大规模的数据集时（SWE），CDF有着绝对的时间优势，这得益于CDF采用的SED，避免了k-Shape中基于形状的距离多次匹配的复杂计算，从而在时间性能上实现了提升.

3） 密度峰值算法DPC时间效率一般，原因在于DPC在处理序列时需要进行密度估计和寻找密度峰值点等操作，这些操作增加了运行时间.然而，CDF通过关联序列分布特征的初始簇中心确定策略，不仅降低了算法的运行时间，还保持了良好的聚类结果.

3.5.2 CDF时间复杂度验证

为验证CDF时间复杂度的合理性，本节挑选了4个不同类型的数据集设计了复杂度验证实验.通过选择具有不同数据规模（n）、簇数（k）和序列维度（q）的数据集子集，分析了各参数对算法运行时间的影响趋势.

图5给出了CDF在CHN、GUN、HAM和MPA等数据集上的运行时间随参数变化曲线.图5（a）~（c）显示，运行时间与数据量n、簇数k以及序列维度q均呈线性正比，实测结果与理论复杂度O\left(t\cdot n\cdot k\cdot q\right)相符.图5（d）进一步量化各参数对时耗的影响：柱状越高，该参数变动引发的时间增幅越大.可见k居首位，这是因为簇中心更新与序列重分配均随k线性增加；n次之，MPA数据量最大，故其柱高仅次于k.综上，CDF算法的实际运行时间与理论复杂度的分析一致，验证了理论时间复杂度的正确性.

3.6 异常值实验

为了评估CDF算法针对异常值的鲁棒性，本节选择了3种使用不同距离的聚类算法：k-Means （ED）、DPC （DTW）和k-Shape （SBD），通过向CHN数据集中添加服从均值为0、方差为0.1的正态分布的高斯噪声来展开实验，噪声比分别为0.1，0.2，0.3，0.4，0.5.本节实验以RI和FMI作为评价指标，分析CDF与对比算法在鲁棒性方面的表现.

图6展现了4种算法在不同噪声水平下的性能对比.如图6所示，当高斯噪声比例不断增加时，所有算法在CHN数据集上的2个评价指标上均表现缓慢下降的趋势.这是因为高斯噪声会增加簇边界的不确定性，导致算法性能略有下降，然而，这种波动也显示了CDF在维持簇结构方面的灵活性，使其能够适应数据变化.具体来说，即使在高噪声环境下，CDF仍能提取有效的簇结构，聚类性能优于3种对比算法，显示出其对随机扰动的强鲁棒性，并在高噪声条件下（噪声比>0.3）保持较好的聚类效果.此外，无论噪声比如何变化，CDF相较于其他对比算法都能保持良好的稳定性，进一步证明了其在处理含高斯噪声的时间序列时的鲁棒性.

3.7 收敛性实验

FCM涉及序列对各簇隶属的计算，随后依据隶属值来调整簇中心，该过程通过迭代执行，直至满足预设的收敛准则^［16］.因此对CDF的收敛行为进行分析是评价其性能的关键环节.本节对CDF收敛性的判定依据的是隶属度矩阵的稳定性.通过计算迭代中当前隶属度矩阵与前一次隶属度矩阵之间的差异，定义隶属度矩阵差异为两个连续的矩阵间l_{\mathrm{2}}范数的差异.当该差异小于预设阈值\theta （\theta =\mathrm{1}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{5}}）时，认为簇中心和隶属度矩阵已趋于稳定，CDF已达到收敛.

图7展示了CDF在3个数据集上的隶属度矩阵变化与聚类质量（RI）随迭代次数的变化关系.由图7可知：

1） 在所有数据集上，隶属度矩阵差异 （蓝色曲线） 均随迭代次数的增加而严格单调下降，并在有限迭代步数内稳定于阈值以下.这表明CDF的迭代优化过程是稳定且可控的.具体而言，CHN和HAM数据集在40次迭代内迅速收敛，而数据规模更大、维度更高的SWE数据集虽需更多迭代次数，但其曲线同样呈现出先快速下降后平稳的趋势，符合大规模数据的预期收敛行为.

2） 聚类指标RI （绿色曲线） 随迭代进行同步提升，并在算法收敛 （图中红点标示） 时达到或接近其峰值，随后保持稳定.这证明CDF的收敛伴随着聚类质量的实际提升，避免了算法过早陷入非理想的局部最优解.

CDF在兼具提出的初始化方法与SED后，展现出了优良的收敛稳定性和计算效率.它能够在不同的数据特性（规模、维度）下，通过有限次迭代得到一个良好的聚类结果.综上，CDF具有良好的收敛性.

4 结 论

针对模糊聚类在处理时间序列时未全面关注序列分布特征等问题，提出了一种考虑序列分布特征的时间序列模糊聚类算法（CDF）.CDF通过提出关联序列分布特征的初始簇中心确定方法、构建感知序列分布特征的距离度量，以及提出基于序列结构的自适应模糊因子策略，实现了聚类性能的提升.通过在7个时间序列数据集上与8个聚类算法相比，证实CDF在时间序列聚类中具有良好的优势，验证了其处理时间序列的有效性.然而，该算法目前主要适用于单变量时间序列.当将其推广至多元时间序列时，距离计算与簇中心更新的复杂度随维度呈指数级增长，导致计算开销急剧上升.为突破此局限，未来的研究将探索引入深度学习等技术，旨在构建一个高效的聚类框架，以提升CDF对多元时间序列的建模效率.

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基金资助

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