一类有限维空间中的微分均衡问题

A class of differential equilibrium problem in finite dimensional space

摘要

微分均衡问题是优化、控制领域的重要分支，其被广泛的应用于电力系统、动态交通均衡等实际问题.研究了一类有限维空间中的微分均衡问题，通过KKM定理证明了动态均衡问题解的存在性和解集的闭凸性； 并在一定条件下，用微分包含证明了有限维空间中的微分均衡问题的混合解的存在性及解集的紧性.

Abstract

The differential equilibrium problem is an important part of optimization and control. It is widely applied to practical problems such as power systems and dynamic traffic equilibrium. This paper studies a class of differential equilibrium problems in finite dimensional space. By KKM theorem， the existence of solutions to dynamic equilibrium problems and the closed convexity of the solution set were proved. Under certain conditions， the existence of mixed solutions to differential equilibrium problems in finite-dimensional spaces and the compactness of the solution set were proved by differential inclusions.

关键词

微分均衡问题 / 微分变分不等式 / 混合解 / 微分包含 / KKM 定理

Key words

differential equilibrium problem / differential variational inequality / mixed solution / differential inclusion / KKM theorem

1 引 言

假定H为一Hilbert空间， 其内积和范数分别为和||\cdot ||. 假定X为H中的非空闭凸子集. 经典的均衡问题可以表述为： 找x\in X， 满足

\phi (x,y)\ge \mathrm{0},\forall y\in X，（1）

其中\phi :X\times X\to R\bigcup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\} 为一泛函.

均衡问题诸如优化问题， 不动点理论，变分不等式，Nash均衡和相补问题等提供了统一的数学理论.

在2008年，Pang和Stewart{}^{[\mathrm{1}]}介绍了微分变分不等式（简记为DVI），其可表述为：对几乎所有的t\in [\mathrm{0},T]，找x(t),\mu (t)满足

\left\{\begin{array}{l}\stackrel{·}{x}(t)=A(t,x(t))+B(t,x(t))\mu (t)\\ x(\mathrm{0})=x_{\mathrm{0}}\\ \mu (t)\in SOL(K,g(t,x(t))+f(\cdot ))\end{array}\right.，（2）

其中K为R^m中的非空闭凸子集， A:R^{\mathrm{1}+n}\to R^n，B:R^{\mathrm{1}+n}\to R^m，g:R^{\mathrm{1}+n}\to R^m和f:R^m\to R^m为给定的函数，SOL(K,g(t,x(t))+f(\cdot ))为变分不等式的解： 找\mu (t)满足

\mu (t)\in K，〈g(t,x(t))+f(\mu (t)),\nu -\mu (t)〉\ge \mathrm{0}，

\forall \nu \in K.（3）

Pang和Stewart{}^{[\mathrm{1}]}指出微分变分不等式为许多包含动态、不等式、不连续的实际问题提出了统一的数学模型，例如微分Nash均衡问题、具有单边约束的时间依赖的物理系统、具有可变结构的混合工程系统等问题都可以表示为微分变分不等式问题. 受其工作影响， 许多学者研究了相关问题.Stewart{}^{[\mathrm{2}]}研究一个指标的微分变分不等式，并证明了其解的唯一性；Pang和Stewart{}^{[\mathrm{3}]}研究了微分变分不等式解对初始条件的依赖关系；Li和Huang{}^{[\mathrm{4}]}介绍并研究了有限维空间中的一类微分混合变分不等式；Han和Pang{}^{[\mathrm{5}]}研究了一类非芝诺现象的非强正则微分拟变分不等式；Wang和Huang{}^{[\mathrm{6}]}介绍并研究了有限维空间中的微分向量变分不等式； Chen和Wang{}^{[\mathrm{7}]}用微分变分不等式的方法研究了具有共享约束的动态博弈问题；Wang{}^{[\mathrm{8}]}研究了一类微分混合变分不等式的解的稳定性；Liu和Zeng{}^{[\mathrm{9}]}研究了变分不等式驱动的发展方程. 其它工作可参考文献［10-14］.

受上述工作启发，本文将考虑如下的有限维空间中的微分均衡问题（简记为DEP）：对几乎所有的t\in [\mathrm{0},T]，找(x(t),\mu (t))满足

\left\{\begin{array}{l}\stackrel{·}{x}(t)=f(t,x(t),\mu (t))\\ x(\mathrm{0})=x_{\mathrm{0}}\\ \mu (t)\in SOL(K,\phi (t,x(t),\mu (t),\cdot ))\end{array}\right.，（4）

其中K为R^m中的非空闭凸子集，f:[\mathrm{0},T]\times R^m\times R^m\to R^n,\phi :[\mathrm{0},T]\times R^m\times R^n\times R^n\to R^n为给定的函数，SOL(K,\phi (t,x(t),\mu (t),\cdot ))动态均衡的解， 即找\mu (t)满足

\mu (t)\in K,\phi (t,x(t),\mu (t),\nu )\ge \mathrm{0},\forall \nu \in K.（5）

对于上述问题，定义其混合解如下.

定义1.1　称(x(t),\mu (t))为DEP的混合解，如果x(t)\in C([\mathrm{0},T],R^m)，\mu (t)可测，(x(t),\mu (t))满足：对几乎所有的t\in [\mathrm{0},T]，下式成立

\left\{\begin{array}{l}x(t)=x_{\mathrm{0}}+{\int }_{\mathrm{0}}^{T}f(t,x(t),\mu (t))dt\\ \mu (t)\in SOL(K,\phi (t,x(t),\mu (t),\cdot ))\end{array}\right..（6）

微分均衡问题包含许多特殊情形，例如：

①若f(t,x(t),\mu (t))=A(t,x(t))+B(t,x(t))\mu (t)和，则微分均衡问题可以退化为微分变分不等式，即(x(t),\mu (t)) 满足：对几乎所有的t\in [\mathrm{0},T]下式成立

\left\{\begin{array}{l}\stackrel{·}{x}(t)=A(t,x(t))+B(t,x(t))\mu (t)\\ x(\mathrm{0})=x_{\mathrm{0}}\\ \mu (t)\in SOL(K,g(t,x(t))+f(\cdot ))\end{array}\right.；（7）

②若f(t,x(t),\mu (t))=A(t,x(t))+B(t,x(t))\mu (t)和\phi (t,x(t),\mu (t),\nu )，则微分均衡问题可以退化为微分混合变分不等式，即找(x(t),\mu (t))满足：对几乎所有的t\in [\mathrm{0},T]下式成立

\left\{\begin{array}{l}\stackrel{·}{x}(t)=A(t,x(t))+B(t,x(t))\mu (t)\\ x(\mathrm{0})=x_{\mathrm{0}}\\ \mu (t)\in SOL(K,g(t,x(t))+f(\cdot ),C)\end{array}\right..（8）

2 预备知识

假定Y为非空集，记P(Y)=\{A|A\subset Y\}为Y中的子集族，K(Y)=\{A\in P(Y)|A为紧子集\}，KC(Y)=\{A\in P(Y)|A为紧凸子集\}.

定义2.1{}^{[\mathrm{15}]}　假定X和Y是Banach空间，区间I\subset R. 称集值映射F:I\to P(Y)在点x\in X处上半连续，如果对于任意的开集W\in Y满足F(x)\subset W，都存在x的邻域V(x)满足F(V(x))\subset W，如果F在每一点x\in X处都上半连续，则称F为X上的上半连续映射.

定义2.2{}^{[\mathrm{15}]}　假定X是Banach空间，区间I\subset R. 称集值映射F:I\to P(Y)为强可测的，如果存在集值映射序列\{F_n{\}}_{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}满足\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}h(F_n,F)=\mathrm{0},u-a.e.t\in I， 其中u是I上的勒贝格测度， h(A,B)=inf\{\epsilon :A\subset W_{\epsilon }(A),B\subset W_{\epsilon }(A)\}是K(E)上的Hausdorff度量，W_{\epsilon }(A)是集合A的\epsilon -邻域.

定义2.3{}^{[\mathrm{15}]}　假定X和Y是Banach空间，区间I\subset R.F:I\times X\to P(Y)为一集值映射.如果对于所有的集值映射Q:I\to K(X)，映射\mathrm{\Phi }(t)=F(t,Q(t))都是可测的， 则称映射F是叠加可测的.

引理2.1{}^{[\mathrm{16}]}　假定X和Y是Banach空间，区间I\subset R. 如果集值映射F:I\times X\to P(Y)上半连续或者F满足Carath{e}^{\mathrm{\text{'}}}odory条件：即对于任意的x\in X， F(\cdot ,x):I\to K(Y)是可测的，且对于所有的t\in I， F(t,\cdot ):X\to K(Y)连续. 那么，映射F是叠加可测的.

引理2.2{}^{[\mathrm{15}]}　假定X和Y是Banach空间，是给定的实数. 如果集值映射F:[\mathrm{0},T]\times X\to K(Y)满足下面的条件：

① 对于任意的x\in X，F(\cdot ,x):I\to K(Y)有一个强可测选择；

② 对于几乎所有的t\in I，F(t,\cdot ):X\to K(Y)是上半连续的.

那么，对于每一个强可测函数q:[\mathrm{0},T]\to X，映射\mathrm{\Phi }:[\mathrm{0},T]\to K(Y)，\mathrm{\Phi }(t)=F(t,q(t))

u-a.e.t\in [\mathrm{0},T]存在强可测选择f:[\mathrm{0},T]\to Y.

定义2.4{}^{[\mathrm{15}]}　假定X是Banach空间，(A,\le )为一偏序集. 称映射\beta :P(X)\to A为在X上的非紧性测度（简记为MNC），如果对于所有的\mathrm{\Omega }\in P(X)，满足\beta (\overline{\mathrm{c}\mathrm{o}}\mathrm{\Omega })=\beta \left(\mathrm{\Omega }\right).

例2.1{}^{[\mathrm{15}]}　 MNC的一个重要例子为HausdorffMN{C}_{\chi }，其定义如下

\chi \left(\mathrm{\Omega }\right)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{\epsilon >\mathrm{0}:\mathrm{\Omega }有一个\epsilon -网\}.（9）

对于连续空间C([\mathrm{0},T],R)的子集\mathrm{\Omega }的HausdorffMN{C}_{\chi }可以等价的表述为

\chi (\mathrm{\Omega })=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\delta \to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\underset{|t_{\mathrm{1}}-t_{\mathrm{2}}|\le \delta }{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|x(t_{\mathrm{1}})-x(t_{\mathrm{2}})|.（10）

例2.2{}^{[\mathrm{15}]}　连续空间C([\mathrm{0},T],R)的另一个重要的MN{C}_v，其常用于微分包含的柯西问题，可表示为

\nu \left(\mathrm{\Omega }\right)=\underset{D\in \mathrm{\Delta }\left(\mathrm{\Omega }\right)}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\underset{t\in [a,b]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{e}^{-Lt}\chi (D(t)),\chi (D))，（11）

其中\mathrm{\Omega }\subset C([a,b],R)是有界集， \mathrm{\Delta }(\mathrm{\Omega })为\mathrm{\Omega }的可数子集族，L是一常数.

定义2.5{}^{[\mathrm{15}]}　假定X和Y是Banach空间，X_{\mathrm{1}}\subset X是一闭子集，{\beta }_{\mathrm{1}}:P(X)\in ([\mathrm{0},+\mathrm{\infty }),\le ),{\beta }_{\mathrm{2}}:P(Y)\in ([\mathrm{0},+\mathrm{\infty }),\le )分别为X和Y中的MNC，F:X_{\mathrm{1}}\to K(X),G:X_{\mathrm{1}}\to K(Y)为两集值映射.

① 如果对于任意的\mathrm{\Omega }\in X_{\mathrm{1}}，存在一些实数，满足{\beta }_{\mathrm{1}}(F\left(\mathrm{\Omega }\right))\le k{\beta }_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Omega }\right)，那么称映射F为(k,{\beta }_{\mathrm{1}})-压缩.

② 如果对于任意的\mathrm{\Omega }\in X_{\mathrm{1}}，存在一些实数， 满足{\beta }_{\mathrm{2}}(G\left(\mathrm{\Omega }\right))\le k{\beta }_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{\Omega }\right)，那么称映射F为(k,{\beta }_{\mathrm{1}},{\beta }_{\mathrm{2}})-有界.

引理2.3{}^{[\mathrm{15}]}　假定M为Banach空间X的非空闭凸子集，F:M\to KC(M)是具有闭值的(k,\beta )-压缩的集值映射， 其中\beta为在X上的非奇异非紧性测度，那么F的不动点集FixF非空.

引理2.4{}^{[\mathrm{15}]}　假定M为Banach空间X的非空闭凸子集， 对于任意的M，映射F:M\toK(M)是具有闭值的(k,\beta )-压缩的集值映射，其中\beta为在X上的单调的非紧性测度， 如果F的不动点集FixF有界，那么FixF是紧集.

引理2.5{}^{[\mathrm{17}]}　假定E是Hausdorff线性拓扑空间， X是E中的非空闭凸子集， 且映射G:X\to {\mathrm{2}}^E为一非空闭值的KKM映射.如果存在非空紧凸子集X_{\mathrm{0}}\subset X， 满足\underset{x\in X_{\mathrm{0}}}{\cap }G(x)是X中的紧子集，那么\underset{x\in X}{\cap }G(x)非空.

3 微分均衡问题的混合解

首先考虑下述均衡问题：对于任意的(t,x)\in [\mathrm{0},T]\times R^m，找\mu \in K满足

\varphi (t,x,\mu ,\nu )\ge \mathrm{0};\forall \nu \in K，（12）

其中K\subset R^m为非空闭凸子集， 记上述均衡问题的解集为EP(K,\varphi ).

定理3.1　对于任意的(t,x)\in [\mathrm{0},T]\times R^m， 如果\varphi满足下列条件：

① \forall \mu \in K， \varphi (t,x,\mu ,\mu )=\mathrm{0}；

② \forall \nu \in K， \varphi (t,x,\cdot ,\nu )是凹值的上半连续映射；

③ \forall \mu \in K，\varphi (t,x,\mu ,\cdot )是凸值的连续映射；

④ 存在紧凸集K_{\mathrm{0}}\subset K满足\{\mu \in K_{\mathrm{0}},\varphi (t,x,\mu ,\nu )\ge\mathrm{0},\forall \nu \in K\}是K中的非空紧子集.

那么，EP(K,\varphi )是非空闭凸子集.

证明：定义映射G:K\to K如下

\begin{array}{l}G(\nu )=\{\mu \in K,\varphi (t,x,\mu ,\nu )\ge \mathrm{0},\\ \forall (t,x)\in [\mathrm{0},T]\times R^m\}.\end{array}（13）

由上述假设易证， 对于任意的\nu \in K，G(\nu )是非空闭集.

接下来将用反证法证明映射G是KKM映射.假设映射G不是KKM映射，那么存在一个有限子集\{{\nu }_{\mathrm{1}},{\nu }_{\mathrm{2}},\cdot \cdot \cdot ,{\nu }_n\},i=\mathrm{1,2},\cdot \cdot \cdot ,n和{\nu }^{\mathrm{*}}=\stackrel{n}{\underset{i=\mathrm{1}}{\mathrm{\Sigma }}}{\lambda }_i{\nu }_i\in co\{{\nu }_{\mathrm{1}},{\nu }_{\mathrm{2}},\cdot \cdot \cdot ,{\nu }_n\}满足{\nu }^{\mathrm{*}}\notin {\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{n}{\cup }}}G({\nu }_i)，其中{\lambda }_i\ge \mathrm{0},i=\mathrm{1,2},\cdot \cdot \cdot ,n和{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\lambda }_i=\mathrm{1}，即对于所有的i=\mathrm{1,2},\cdot \cdot \cdot ,n 和(t,x)\in [\mathrm{0},T]\times R^n有，从而有. 因为\varphi (t,x,{\nu }^{\mathrm{*}},\cdot )是凸集. 那么

，（14）

与假设①矛盾. 所以G是KKM映射. 因为假设④满足， 那么， 存在非空紧凸子集K_{\mathrm{0}}\subseteq K满足\underset{\nu \in K}{\cap }G(\nu )是非空子集. 由引理2.5可知EP(K,\varphi )\ne \mathrm{\Phi }.

接下来证明EP(K,\varphi )是闭凸集. 假定{\mu }_{\mathrm{1}},{\mu }_{\mathrm{2}}\in EP(K,\varphi ), 有

\varphi (t,x,{\mu }_{\mathrm{1}},\nu )\ge \mathrm{0},\forall \nu \in K,(t,x)\in [\mathrm{0},T]\times R^m，（15）

和

\varphi (t,x,{\mu }_{\mathrm{2}},\nu )\ge \mathrm{0},\forall \nu \in K,(t,x)\in [\mathrm{0},T]\times R^m.（16）

假定\mathrm{0}\le \lambda \le \mathrm{1}是一实数. \lambda \times (\mathrm{15})加上(\mathrm{1}-\lambda )\times (\mathrm{16})可知

\lambda \varphi (t,x,{\mu }_{\mathrm{1}},\nu )+(\mathrm{1}-\lambda )\varphi (t,x,{\mu }_{\mathrm{2}},\nu )\ge \mathrm{0},\forall \nu \in K,(t,x)\in [\mathrm{0},T]\times R^m，（17）

因为\varphi (t,x,\cdot ,\nu )是凹的， 那么

\varphi (t,x,,\lambda {\mu }_{\mathrm{1}}+(\mathrm{1}-\lambda ){\mu }_{\mathrm{2}},\nu )\ge \lambda \varphi (t,x,{\mu }_{\mathrm{1}},\nu )+(\mathrm{1}-\lambda )\varphi ({\mu }_{\mathrm{2}},\nu )\ge \mathrm{0}，（18）

即\lambda {\mu }_{\mathrm{1}}+(\mathrm{1}-\lambda ){\mu }_{\mathrm{2}}\in EP(K,\varphi )， 说明EP(K,\varphi )是凸集.

假设{\mu }_n\in EP(K,\varphi ),i=\mathrm{1,2}\cdot \cdot \cdot ,n且{\mu }_n\to {\mu }^{\mathrm{*}}， 有

\varphi (t,x,{\mu }_n,\nu )\ge \mathrm{0},\forall \nu \in K,(t,x)\in [\mathrm{0},T]\times R^m.（19）

因为\varphi (t,x,\cdot ,\nu )是上半连续映射， 那么\varphi (t,x,{\mu }^{\mathrm{*}},\nu )\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\varphi ({\mu }_n,\nu )\ge \mathrm{0}. 即EP(K,\varphi )是闭集.

注3.1　（R_{\mathrm{1}}）如果K是R^m中的非空有界闭凸子集，满足上述的条件①~③，那么定理3.1的结论将成立.

（R_{\mathrm{2}}）对于给定的实数T>\mathrm{0}， 定义集值映射U:[\mathrm{0},T]\times R^m\to K为 U(t,x)=\{\mu \in K:\varphi (t,x,\mu ,\nu )\ge \mathrm{0},\forall \nu \in K\}，（20）

如果\varphi满足条件①~④， 由定理3.1可知对于任意的(t,x)\in [\mathrm{0},T]\times R^m,U(t,x)是良定义的，并且是闭凸值的集值映射.

定理3.2　如果K是R^m中的非空有界闭凸子集， 映射\varphi :[\mathrm{0},T]\times R^m\times K\times K\to R满足下面的假设：

① 对于任意的(\mu ,\nu )\in K\times K， \varphi (\cdot ,\cdot ,\mu ,\nu ):[\mathrm{0},T]\times R^m\to R是连续映射.

②对于任意的(t,x)\in [\mathrm{0},T]\times R^m， \varphi (t,x,\cdot ,\cdot )满足定理3.1的条件 ①~③.

那么式（20）所定义的集值映射U(t,x)是上半连续且是叠加可测的.

证明：由注3.1的R_{\mathrm{2}}可知，对于任意的(t,x)\in [\mathrm{0},T]\times R^m,U(t,x)是非空且良定义的. 要证明U是上半连续映射， 只需验证对于任意的闭子集E\subset K， 定义的集合

U^{-}(E)=\{(t,x)\in [\mathrm{0},T]\times R^m:U(t,x)\bigcap E\ne \mathrm{\Phi }\}，（21）

是闭的. 令序列\{(t_n,x_n)\subset U^{-}(E)\}满足(t^n,x^n)\to (t,x) 其中(t,x)\in [\mathrm{0},T]\times R^m，由注3.1中的R_{\mathrm{1}}可知，可选择{\mu }_n\in U(t_n,x_n)\bigcap E满足\varphi (t_n,x_n,{\mu }_n,\nu )\ge \mathrm{0},\forall \nu \in K. 因为K是R^n中的有界闭凸子集，可以找到与\{{\mu }_n\}相关的序列（不妨同样的假设为\{{\mu }_n\}）满足{\mu }_n\to \mu \in E. 由ϕ的连续性可知， 当n\to \mathrm{\infty }, 有

\varphi (t,x,\mu ,\nu )\ge \mathrm{0},\forall \nu \in K.（22）

即U^{-}(E)\subset R\times R^m是闭集， 进一步可知U是上半连续映射. 由U的上半连续性和引理2.1可知， U是叠加可测的.

定理3.3　如果K是R^n中的非空有界闭凸子集，定义映射F:[\mathrm{0},T]\times R^m\to P(R^m)为F(t,x)=f(t,x,U(t,x))，其中U为（20）式所定义的映射. 如果定理3.1的条件和下列假设成立.

①对于任意的(t,x)\in [\mathrm{0},T]\times R^m，任意的D\in K,f(t,x,D)是R^m中的凸集；

②存在\psi \in L^{\mathrm{1}}([\mathrm{0},T])满足||f(t,x,u)||\le \psi (t)(\mathrm{1}+||x||)， \forall (t,x,u)\in [\mathrm{0},T]\times R^m\times K；

③ 对于任意的(x,u)\in R^m\times R^n，f(t,x,u) 可测；

④ 对于a.e.t\in [\mathrm{0},T],f(t,\cdot ,\cdot )连续；

⑤ 存在k\in L^{\mathrm{1}}([\mathrm{0},T])满足

||f(t,x_{\mathrm{1}},u)-f(t,x_{\mathrm{2}},u)||\le k(t)||x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}}||， a.e.t\in [\mathrm{0},T]， \forall x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\in R^m,u\in K.（23）

那么下列结论成立，

① \forall (t,x)\in [\mathrm{0},T]\times R^m，F(t,x)\in K(R^m)；

②\forall x\in R^m， F(\cdot ,x)有强可测选择；

③ 对于a.e.t\in [\mathrm{0},T],F(t,x)是上半连续的；

④ 对于所有的有界子集D\subset R^n，存在l(t)\in L([\mathrm{0},T])满足\chi (F(t,D))\le l(t)\chi (D)， a.e.t\in[\mathrm{0},T]， 其中\chi是R^m上的MNC.

证明：因为U上半连续且叠加可测， 可以用文献［9］中引理4.2相同的方式证明， 所以在这里省略证明过程.

定理3.4　如果定理3.3的假设成立，那么 DEP的混合解集非空， 并且混合解集里面的x(t)所构成集合是C([\mathrm{0},T];R^m)中的紧集.

证明：定义集值映射\mathrm{\Gamma }:C([\mathrm{0},T];R^m)\toP(C([\mathrm{0},T];R^m)) 和微分包含（简记为DI）如下

\mathrm{\Gamma }(x)=\{y\in C([\mathrm{0},T];R^m),y(t)=x_{\mathrm{0}}+{\int }_{\mathrm{0}}^{t}h(s)ds,h(s)\in P_F(x)\}，（24）

和

\left\{\begin{array}{l}\stackrel{·}{x}(t)\in F(t,x(t)),t\in [\mathrm{0},T]\\ x\left(\mathrm{0}\right)=x_{\mathrm{0}}\end{array}\right.，（25）

其中F(t,x(t))=f(t,x,U(t,x)),U(t,x)为（20）式所定义的集值映射，

P_F(x)=\{g:g是强可测映射且g(t)\in F(t,x(t)),对于a.e.t\in [\mathrm{0},T]\}.（26）

证明过程将分为四步.

①证明集值映射\mathrm{\Gamma }:C([\mathrm{0},T];R^m)\toKC(C([\mathrm{0},T];R^m)).

由引理2.1和引理2.2可知，对于所有的q\in C([\mathrm{0},T];R^m),F(\cdot ,x(\cdot ))有强可测选择，且集值映射P_F:C([\mathrm{0},T];R^m)\to P(L^{\mathrm{1}}([\mathrm{0},T];R^m))是非空的.由定理3.1的①可知，\forall x\in C([\mathrm{0},T];R^m),\mathrm{\Gamma }(x)\subset KC(C([\mathrm{0},T];R^m)).

②（DI）的解集非空.

由引理2.1，引理2.2和定理3.3可知\mathrm{\Gamma }是上半连续的， 且在C([\mathrm{0},T];R^m)中任意的有界集上是v-压缩的， 对于定理3.3假设②中的\psi \in L^{\mathrm{1}}[\mathrm{0},t]，可以选择足够大的正实数L满足

.（27）

进一步， 可以找到r>\mathrm{0} 满足

\begin{array}{l}||x_{\mathrm{0}}|{|}_{R^m}+||\psi |{|}_{L^{\mathrm{1}}[\mathrm{0},t]}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{e}^{-L(t-s)}\psi (s)ds\le r,\\ \forall t\in [\mathrm{0},T]\end{array}.（28）

定义闭球{\overline{B}}_r\left(\mathrm{0}\right)=\{x\in C([\mathrm{0},T];R^m):||x|{|}_{{}^{\mathrm{*}}}\le r\}， 其中||x|{|}_{\mathrm{*}}=\underset{t\in [\mathrm{0},T]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{e}^{-Lt}||x(t)|{|}_{R^m} 是空间C([\mathrm{0},T];R^m) 的等价范数.

一般而言， 对于x\in {\overline{B}}_r\left(\mathrm{0}\right),令y\in \mathrm{\Gamma }(x)可以找到h\in P_F(x) 满足y(t)=x_{\mathrm{0}}+{\int }_{\mathrm{0}}^{t}h(s)ds,\forall t\in [\mathrm{0},T]（29）

由定理3.3的假设③和（28）可知

\begin{array}{l}{e}^{-Lt}||y(t)|{|}_{R^m}=e^{-Lt}||{x_{\mathrm{0}}}_{R^m}+{\int }_{\mathrm{0}}^{t}h(s)ds|{|}_{R^m}\le \\ e^{-Lt}||x_{\mathrm{0}}|{|}_{R^m}+e^{-Lt}{\int }_{\mathrm{0}}^t||h(s)|{|}_{R^m}ds\le \\ ||x_{\mathrm{0}}|{|}_{R^m}+||\psi |{|}_{L^{\mathrm{1}}[\mathrm{0},t]}+||x|{|}_{\mathrm{*}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{e}^{-L(t-s)}\psi (s)ds.\end{array}（30）

即||y|{|}_{\mathrm{*}}\le r. 进一步可知\mathrm{\Gamma }:{\overline{B}}_r\left(\mathrm{0}\right)\to {\overline{B}}_r\left(\mathrm{0}\right). 由引理2.3可知FixF\ne \mathrm{\Phi }， 即 （DI）的解集非空.

③（DI）的解集为 C([\mathrm{0},T];R^m)中的紧集.

假设x是（DI）的一个解， 可以找到h(s)\in P_F(x)满足

||x(t)|{|}_{R^m}\le ||x_{\mathrm{0}}|{|}_{R^m}+{\int }_{\mathrm{0}}^t||h(s)|{|}_{R^m}ds,\forall t\in [\mathrm{0},T]，（31）

由式（30）可知

||x(t)|{|}_{R^m}\le ||x_{\mathrm{0}}|{|}_{R^m}+||\psi |{|}_{L^{\mathrm{1}}[\mathrm{0},t]}+{\int }_{\mathrm{0}}^t\psi (s)x(s)ds.（32）

由Gronwall不等式可知

||x(t)|{|}_{R^m}\le (||x_{\mathrm{0}}|{|}_{R^m}+||\psi |{|}_{L^{\mathrm{1}}[\mathrm{0},t]})E^{||\psi |{|}_{L^{\mathrm{1}}[\mathrm{0},t]}}，

即FixF为C([\mathrm{0},T];R^m)中的有界集. 由引理2.4可知（DI）的解集为C([\mathrm{0},T];R^m)中的紧集.

④DEP解集非空.

由定理3.2的结论（B）可知U:[\mathrm{0},T]\times R^m\to KC(K)是叠加可测的，进而可知映射U(t,x(t)):[\mathrm{0},T]\to KC(K)可测，由Filippov隐函数引理可知，存在可选择u(t)\in U(t,x(t))和\stackrel{·}{x}(t)=f(t,x(t),u(t)),t\in [\mathrm{0},T]对于任意的x(t)\in C([\mathrm{0},T];R^m)都成立.

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基金资助

中央高校基本科研业务费专项基金项目(ZYN2023076)