具有分数阶非线性项的表面生长模型在Besov空间中解的局部存在性和唯一性

Local existence and uniqueness in Besov spaces for the solution of a surface growth model with fractional power nonlinear term

摘要

研究初值为h_{\mathrm{0}}的如下一维四阶非线性方程的柯西问题：{\partial }_{t}h+{\partial }_x^{\mathrm{4}}h+{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_{x}h\right|}^{\alpha }\right)=\mathrm{0}，其中\alpha是大于等于5的实数。通过对相应线性方程和非线性项的精细估计，结合Littlewood-Paley理论、双模方法以及压缩映射原理，在非齐次Besov空间中得到了方程的局部适定性结果。

Abstract

In this paper， we study the Cauchy problem for the 4-th order nonlinear equation {\partial }_{t}h+{\partial }_x^{\mathrm{4}}h+{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_{x}h\right|}^{\alpha }\right)=\mathrm{0} in one dimension for the initial data h_{\mathrm{0}} where \alpha \ge \mathrm{5} and \alpha \in \mathbb{R}. Making use of some subtle estimates of the corresponding linear equation and the nonlinear term， Littlewood-Paley theory， two-norm method， and contraction mapping principle， we obtain the local well-posedness result in nonhomogeneous Besov spaces.

关键词

表面生长模型 / 柯西问题 / 适定性 / Besov空间 / Littlewood-Paley理论

Key words

surface growth model / Cauchy problem / well-posedness / Besov spaces / Littlewood-Paley theory

本文考虑由以下偏微分方程描述的非晶表面生长中产生的模型

\left\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}h+{\partial }_x^{\mathrm{4}}h+{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_{x}h\right|}^{\alpha }\right)=\mathrm{0},& \\ h\left(\mathrm{0},x\right)=h_{\mathrm{0}}\left(x\right),& \end{array}\right.（1）

其中，\left(t,x\right)\in {\mathbb{R}}^{+}\times \mathbb{R},x\in \mathbb{R},h_{\mathrm{0}}为初值，\alpha是大于1的实数。

研究表面生长模型具有重要的理论意义和实际应用价值，对于推动物理学、材料科学和纳米科学的发展，以及促进微纳米技术的创新和应用都具有重要意义。Blömker等^［1］运用基于离散的Galerkin方法对更一般的模型解决了\alpha=2时一维情形下有界区域上整体弱解的存在性，并给出了L^{\mathrm{2}}-模一致有界的能量型不等式估计。Stein和Winkler^［2］对包含{\partial }_x^{\mathrm{2}}h项的模型给出了\alpha≤\mathrm{5}/\mathrm{3}时全局温和解的存在性和唯一性以及时整体弱解的存在性。Blömker等^［3］对包含二阶项和随机项的模型证明了\alpha=2时满足能量不等式的具有马尔可夫性质的弱马丁格尔解的存在性。Blömker和Romito^［4-5］证明了\alpha=2时，在一维情形下，初值在临界空间{\dot{H}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}时方程（1）有唯一的局部解，并且将结论推广至最大的临界空间和高维情形。

Ożański和Robinson^［6］研究了\alpha=2时方程（1）的部分正则性问题；Ożański^［7］研究了正则性的局部型Serrin条件。Burczak等^［8］证明了\alpha=2时，在\epsilon-正则性准则下的更高正则性。Wang等^［9］研究了时适当弱解的部分正则性。

1 主要结果

容易验证，如果h是方程（1）的一个解，则h_{\lambda }\left(t,x\right)={\lambda }^{-\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}h\left({\lambda }^{\mathrm{4}}t,\lambda x\right)也是方程（1）的一个解。因此可以对初值h_{\mathrm{0}}\in B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}来研究方程（1），非齐次Besov空间的定义见第2节。

本文的主要结果为如下定理：

定理1.1 设\alpha \ge \mathrm{5}并且h_{\mathrm{0}}\in B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}，那么存在使得方程（1）有唯一解h\in L_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{4}}\right)\bigcap {\tilde{L}}_T^{\mathrm{\infty }}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)并且存在常数C>\mathrm{0}使得如下估计成立

{‖h‖}_{L_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{4}}\right)\bigcap {\tilde{L}}_T^{\mathrm{\infty }}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)}\le C{‖h_{\mathrm{0}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}}.（2）

2 非齐次Besov空间和重要引理

设\left(\chi ,\phi \right)是取值在\left[\mathrm{0,1}\right]上的一对光滑函数，其中\chi的支集包含在\{\mathit{\xi }\in {\mathbb{R}}^d|\left|\mathit{\xi }\right|\le \mathrm{4}/\mathrm{3}\}中，\phi的支集包含在\{\mathit{\xi }\in {\mathbb{R}}^d|\mathrm{3}/\mathrm{4}\le \left|\mathit{\xi }\right|\le \mathrm{8}/\mathrm{3}\}中，并且满足

\forall \mathit{\xi }\in {\mathbb{R}}^d,\chi \left(\mathit{\xi }\right)+\sum _{q\in \mathbb{N}}\phi \left({\mathrm{2}}^{-q}\mathit{\xi }\right)=\mathrm{1}.

以下用\mathit{𝒞}\left(\mathrm{0},R_{\mathrm{1}},R_{\mathrm{2}}\right)代表\{\mathit{\xi }\in {\mathbb{R}}^d|R_{\mathrm{1}}\le \left|\mathit{\xi }\right|\le R_{\mathrm{2}}\}，\mathrm{ℬ}\left(\mathrm{0},R\right)表示\{\mathit{\xi }\in {\mathbb{R}}^d|\left|\mathit{\xi }\right|\le R\}，\mathit{𝒮}代表Schwartz函数空间，\mathrm{𝒮}{\text{'}}代表广义缓增分布空间，\mathrm{ℱ}代表傅里叶变换，{\mathrm{ℱ}}^{-\mathrm{1}}代表傅里叶逆变换，\widehat{u}表示函数u的傅里叶变换。

对于u\in \mathrm{𝒮}{\text{'}}，定义以下二进块

\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_{q}u:=\mathrm{0} \mathrm{若} q\le -\mathrm{2},\\ {\mathrm{\Delta }}_{-\mathrm{1}}u:=\chi \left(D\right)u=\tilde{h}*u,\\ {\mathrm{\Delta }}_{q}u:=\phi \left({\mathrm{2}}^{-q}D\right)u={\mathrm{2}}^{qd}\int h\left({\mathrm{2}}^{q}y\right)u\left(x-y\right)\mathrm{d}y \mathrm{若} q\ge \mathrm{0},\end{array}

其中\tilde{h}:={\mathrm{ℱ}}^{-\mathrm{1}}\chi，h={\mathrm{ℱ}}^{-\mathrm{1}}\phi。

本文还会用到如下的低频截断

S_{q}u:=\sum _{p\le q-\mathrm{1}}{\mathrm{\Delta }}_{p}u.

因为对于所有的\xi \in {\mathbb{R}}^d有\phi \left(\xi \right)=\chi \left(\xi /\mathrm{2}\right)-\chi \left(\xi \right)，有

S_{q}u=\chi \left({\mathrm{2}}^{-q}D\right)u={\mathrm{2}}^{qd}\int \tilde{h}\left({\mathrm{2}}^{q}y\right)u\left(x-y\right)\mathrm{d}y,\forall q\in \mathit{\mathbb{N}}.

定义2.1 设s\in \mathbb{R}，\mathrm{1}\le p,r\le +\mathrm{\infty }。对于u\in \mathrm{𝒮}{\text{'}}\left({\mathbb{R}}^d\right)，定义

{‖u‖}_{B_{p,r}^s}:={\left(\sum _q{\left({\mathrm{2}}^{qs}{‖{\mathrm{\Delta }}_{q}u‖}_{L^p}\right)}^r\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{r}}.

非齐次Besov空间B_{p,r}^s是那些满足的缓增分布u的集合。

定义2.2 设\mathrm{1}\le p,r,\rho \le +\mathrm{\infty }，s\in \mathbb{R}，T>\mathrm{0}，定义

{‖u‖}_{{\tilde{L}}_T^{\rho }\left(B_{p,r}^s\right)}:={\left(\sum _q{\left({\mathrm{2}}^{qs}{‖{\mathrm{\Delta }}_{q}u‖}_{L_T^{\rho }\left(L^p\right)}\right)}^r\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{r}},

{‖u‖}_{L_T^{\rho }\left(B_{p,r}^s\right)}:={‖{‖u‖}_{B_{p,r}^s}‖}_{L_T^{\rho }}.

根据Minkowski不等式，有

{‖u‖}_{{\tilde{L}}_T^{\rho }\left(B_{p,r}^s\right)}\le {‖u‖}_{L_T^{\rho }\left(B_{p,r}^s\right)}\hspace{0.25em}\mathrm{若}\hspace{0.25em}r\ge \rho ,

{‖u‖}_{{\tilde{L}}_T^{\rho }\left(B_{p,r}^s\right)}\ge {‖u‖}_{L_T^{\rho }\left(B_{p,r}^s\right)}\hspace{0.25em}\mathrm{若}\hspace{0.25em}r\le \rho .

下面列举3个引理，其证明可见文献［10］。

引理2.1 （Bernstein不等式）设k\in \mathbb{N}，，存在只依赖于R_{\mathrm{1}}和R_{\mathrm{2}}的常数C使得对于任意的\mathrm{1}\le a\le b\le +\mathrm{\infty }和u\in L^a，有

（i）若\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\widehat{u}\subset \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{0},R_{\mathrm{1}}\lambda \right)，则

\mathrm{s}\mathrm{u}{\mathrm{p}}_{\left|\alpha \right|=k}{‖{\partial }^{\alpha }u‖}_{L^b}\le C^{k+\mathrm{1}}{\lambda }^{k+d\left(\frac{\mathrm{1}}{a}-\frac{\mathrm{1}}{b}\right)}{‖u‖}_{L^a},

（ii）若\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\widehat{u}\subset \mathit{𝒞}\left(\mathrm{0},R_{\mathrm{1}}\lambda ,R_{\mathrm{2}}\lambda \right)，则

C^{-k-\mathrm{1}}{\lambda }^k{‖u‖}_{L^a}\le \mathrm{s}\mathrm{u}{\mathrm{p}}_{\left|\alpha \right|=k}{‖{\partial }^{\alpha }u‖}_{L^a}\le C^{k+\mathrm{1}}{\lambda }^k{‖u‖}_{L^a}.

引理2.2 设s\in \mathbb{R}，\mathrm{1}\le p,r\le +\mathrm{\infty }。若{\left(u_q\right)}_{q\ge -\mathrm{1}}是一列函数满足，则有下列结论：

（i）若存在使得\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}{\widehat{u}}_{-\mathrm{1}}\subset \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{0},R_{\mathrm{2}}\right)和\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}{\widehat{u}}_q\subset \mathit{𝒞}\left(\mathrm{0},{\mathrm{2}}^q{R}_{\mathrm{1}},{\mathrm{2}}^q{R}_{\mathrm{2}}\right)成立，则u:={\sum }_{q\ge -\mathrm{1}}{u}_q属于B_{p,r}^s并且有一个一致的常数C使得

{‖u‖}_{B_{p,r}^s}\le C^{\mathrm{1}+\left|s\right|}{\left(\sum _{q\ge -\mathrm{1}}{\left({\mathrm{2}}^{qs}{‖u_q‖}_{L^p}\right)}^r\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{r}}.

（ii）若s>\mathrm{0}且存在R>\mathrm{0}使得\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}{\widehat{u}}_q\subset \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{0},R\right)成立，则u:={\sum }_{q\ge -\mathrm{1}}{u}_q属于B_{p,r}^s并且有一个一致的常数C使得

{‖u‖}_{B_{p,r}^s}\le \frac{C^{\mathrm{1}+s}}{s}{\left(\sum _{q\ge \mathrm{1}}{\left({\mathrm{2}}^{qs}{‖u_q‖}_{L^p}\right)}^r\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{r}}.

引理2.3 设\mathrm{1}\le p,r\le +\mathrm{\infty }.

（i）如果s\ge d/p，则B_{p,\mathrm{1}}^s可以嵌入到L^{\mathrm{\infty }}中。

（ii）如果s>\mathrm{0}，则对u,v\mathrm{ϵ}{B}_{p,r}^s\bigcap L^{\mathrm{\infty }}，存在常数C使得

{‖uv‖}_{B_{p,r}^s}\le \frac{C^{\mathrm{1}+s}}{s}\left({‖u‖}_{B_{p,r}^s}{‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}+{‖u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}{‖v‖}_{B_{p,r}^s}\right).

下面给出一个算子半群的局部化估计，其证明可见文献［11］。

引理2.4 设\varphi是一个支集包含在\mathit{𝒞}\left(\mathrm{0},R_{\mathrm{1}},R_{\mathrm{2}}\right)中的光滑函数，则存在2个只依赖于\varphi的正常数\kappa和C_{\mathrm{0}}使得对任意\mathrm{1}\le p\le +\mathrm{\infty }，\tau \ge \mathrm{0}和\lambda >\mathrm{0}，有

{‖\varphi \left({\lambda }^{-\mathrm{1}}D\right){\mathrm{e}}^{-\tau {\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}}u‖}_{L^p}\le C_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{-\kappa \tau {\lambda }^{\mathrm{4}}}{‖\varphi \left({\lambda }^{-\mathrm{1}}D\right)u‖}_{L^p}.

受Bahouri等^［10］的启发，我们给出如下2个引理。

引理2.5 设I是\mathbb{R}中的一个开区间，s>\mathrm{0}且\sigma是满足\sigma >s的最小整数。令F\left(x\right)=x^{\alpha }，且\alpha -\mathrm{1}\ge \sigma。假设v\in B_{p,r}^s\bigcap L^{\mathrm{\infty }}取值在J\subset \subset I上，那么F\left(v\right)\in B_{p,r}^s，并且存在一个仅依赖于\alpha和s的常数C_{\mathrm{1}}，使得

{‖F\left(v\right)‖}_{B_{p,r}^s}\le C_{\mathrm{1}}{‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}}{‖v‖}_{B_{p,r}^s}.

证明 考虑下面的形式分解式

F\left(v\right)={\sum }_{q\text{'}\ge -\mathrm{1}}F\left(S_{q\text{'}+\mathrm{1}}v\right)-F\left(S_{q\text{'}}v\right).（3）

根据一阶泰勒公式，对于所有q\text{'}\ge -\mathrm{1}有F\left(S_{q\text{'}+\mathrm{1}}v\right)-F\left(S_{q\text{'}}v\right)=m_{q\text{'}}{\mathrm{\Delta }}_{q\text{'}}v，其中m_{q\text{'}}:={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}F\text{'}\left(S_{q\text{'}}v+\tau {\mathrm{\Delta }}_{q\text{'}}v\right)\mathrm{d}\tau。

令g=S_{q\text{'}}v+\tau {\mathrm{\Delta }}_{q\text{'}}v，由定义直接可得{‖D^{k}g‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\lesssim {\mathrm{2}}^{q\text{'}k}{‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}，其中k\ge \mathrm{0}。如果k=\mathrm{0}，直接计算有

\begin{array}{l}{‖m_{q\text{'}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}={‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}F\text{'}\left(g\right)\hspace{0.25em}\mathrm{d}\tau ‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}={‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\alpha g^{\alpha -\mathrm{1}}\hspace{0.25em}\mathrm{d}\tau ‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\\ \lesssim {‖g‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}}\lesssim {‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}};\end{array}

如果k\ge \mathrm{1}，根据Faà di Bruno公式

\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}f\left(g\left(x\right)\right)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{f}^{\left(n\right)}\left(g\left(x\right)\right)\sum _{\begin{array}{c}{k}_{\mathrm{1}}+\cdots +n{k}_n=n\\ k_{\mathrm{1}}+\cdots +k_n=k\\ k_{\mathrm{1}},\cdots ,k_n\in \mathbb{N}\end{array}}\frac{n!}{k_{\mathrm{1}}!k_{\mathrm{2}}!\cdots k_n!}·

{\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^n}{\left(\frac{g^{\left(j\right)}\left(x\right)}{j!}\right)}^{k_j},

有{‖D^k{m}_{q\text{'}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\le C_k{\mathrm{2}}^{q\text{'}k}{‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}}。于是有

\forall k\in \{\mathrm{0},\cdots ,\sigma \},{‖D^k{m}_{q\text{'}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\le C_k{\mathrm{2}}^{q\text{'}k}{‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}}.（4）

特别地，当k=\mathrm{0}时有

{‖F\left(S_{q\text{'}+\mathrm{1}}v\right)-F\left(S_{q\text{'}}v\right)‖}_{L^p}

\le C{\mathrm{2}}^{q\text{'}k}{‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}}{\mathrm{2}}^{-q\text{'}s}\mathrm{s}\mathrm{u}{\mathrm{p}}_q{\mathrm{2}}^{qs}{‖{\mathrm{\Delta }}_{q}v‖}_{L^p}.

因为s是正的，所以式（3）在L^p中成立。

下面证明F\left(v\right)\in B_{p,r}^s。对于所有q\ge -\mathrm{1}，有

{\mathrm{\Delta }}_{q}F\left(v\right)=\sum _{-\mathrm{1}\le q\text{'}\le q-\mathrm{1}}{\mathrm{\Delta }}_q\left(m_{q\text{'}}{\mathrm{\Delta }}_{q\text{'}}v\right)+\sum _{q\text{'}\ge q}{\mathrm{\Delta }}_q\left(m_{q\text{'}}{\mathrm{\Delta }}_{q\text{'}}v\right),

记{\mathrm{\Delta }}_q^{\mathrm{1}}={\sum }_{-\mathrm{1}\le q\text{'}\le q-\mathrm{1}}{\mathrm{\Delta }}_q\left(m_{q\text{'}}{\mathrm{\Delta }}_{q\text{'}}v\right)，{\mathrm{\Delta }}_q^{\mathrm{2}}={\sum }_{q\text{'}\ge q}{\mathrm{\Delta }}_q\left(m_{q\text{'}}{\mathrm{\Delta }}_{q\text{'}}v\right)。

根据引理2.1，对于所有满足-\mathrm{1}\le q\text{'}\le q-\mathrm{1}的q和q\text{'}有

{‖{\mathrm{\Delta }}_q\left(m_{q\text{'}}\hspace{0.25em}{\mathrm{\Delta }}_{q\text{'}}v\right)‖}_{L^p}\lesssim {\mathrm{2}}^{-q\sigma }{‖D^{\sigma }{\mathrm{\Delta }}_q\left(m_{q\text{'}}\hspace{0.25em}{\mathrm{\Delta }}_{q\text{'}}v\right)‖}_{L^p},

再结合Leibniz公式和式（4），有

{\mathrm{2}}^{qs}{‖{\mathrm{\Delta }}_q\left(m_{q\text{'}}\hspace{0.25em}{\mathrm{\Delta }}_{q\text{'}}v\right)‖}_{L^p}\lesssim {‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}}\hspace{0.25em}{\mathrm{2}}^{\left(q\text{'}-q\right)\left(\sigma -s\right)}\left({\mathrm{2}}^{q\text{'}s}{‖{\mathrm{\Delta }}_{q\text{'}}v‖}_{L^p}\right).

因为\sigma >s并且，所以根据离散型Young不等式有

{\left(\sum _q{\left({\mathrm{2}}^{qs}{‖{\mathrm{\Delta }}_q^{\mathrm{1}}‖}_{L^p}\right)}^r\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{r}}\lesssim {‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}}{‖v‖}_{B_{p,r}^s},

再结合引理2.2可得\sum {\mathrm{\Delta }}_q^{\mathrm{1}}属于B_{p,r}^s并且{‖\sum {\mathrm{\Delta }}_q^{\mathrm{1}}‖}_{B_{p,r}^s}\lesssim {‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}}{‖v‖}_{B_{p,r}^s}。

对于{\mathrm{\Delta }}_q^{\mathrm{2}}，由于q\text{'}\ge q，所以由式（4）有

{\mathrm{2}}^{qs}{‖{\mathrm{\Delta }}_q\left(m_{q\text{'}}\hspace{0.25em}{\mathrm{\Delta }}_{q\text{'}}v\right)‖}_{L^p}\lesssim {‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}}{\mathrm{2}}^{\left(q-q\text{'}\right)s}\left({\mathrm{2}}^{q\text{'}s}{‖{\mathrm{\Delta }}_{q\text{'}}v‖}_{L^p}\right),

进而由s>\mathrm{0}可知

{\left(\sum _q{\left({\mathrm{2}}^{qs}{‖{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{2}}‖}_{L^p}\right)}^r\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{r}}\lesssim {‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}}{‖v‖}_{B_{p,r}^s},

同理可得\sum {\mathrm{\Delta }}_q^{\mathrm{2}}属于B_{p,r}^s并且{‖\sum {\mathrm{\Delta }}_q^{\mathrm{2}}‖}_{B_{p,r}^s}\lesssim {‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}}{‖v‖}_{B_{p,r}^s}。

由于F\left(v\right)=\sum {\mathrm{\Delta }}_{q}F\left(v\right)=\sum {\mathrm{\Delta }}_q^{\mathrm{1}}+\sum {\mathrm{\Delta }}_q^{\mathrm{2}}，所以{‖F\left(v\right)‖}_{B_{p,r}^s}\lesssim {‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}}{‖v‖}_{B_{p,r}^s}。

引理2.6 设I是\mathbb{R}中的一个开区间，s>\mathrm{0}且\sigma是满足\sigma >s的最小整数。令F\left(x\right)=x^{\alpha }，且\alpha -\mathrm{2}\ge \sigma。假设u,v\in B_{p,r}^s\bigcap L^{\mathrm{\infty }}取值在J\subset \subset I上，那么F(u),F\left(v\right)\in B_{p,r}^s，并且存在一个仅依赖于\alpha和s的常数C_{\mathrm{2}}，使得

{‖F\left(v\right)-F\left(u\right)‖}_{B_{p,r}^s}

\le C_{\mathrm{2}}\times ({‖v-u‖}_{B_{p,r}^s}{\left({‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}+{‖u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\right)}^{\alpha -\mathrm{1}}+

{‖v-u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\left({‖v‖}_{B_{p,r}^s}+{‖u‖}_{B_{p,r}^s}\right){\left({‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}+{‖u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\right)}^{\alpha -\mathrm{2}}).

证明 由Newton-Leibniz公式，引理2.3（ii）和引理2.5，有

{‖F\left(v\right)-F\left(u\right)‖}_{B_{p,r}^s}

\lesssim {‖\left(v-u\right){\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}F\text{'}\left(u+\tau \left(v-u\right)\right)\mathrm{d}\tau ‖}_{B_{p,r}^s}

\lesssim {‖v-u‖}_{B_{p,r}^s}{‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}F\text{'}\left(u+\tau \left(v-u\right)\right)\mathrm{d}\tau ‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}+

{‖v-u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}{‖{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}F\text{'}\left(u+\tau \left(v-u\right)\right)\mathrm{d}\tau ‖}_{B_{p,r}^s}

\lesssim ({‖v-u‖}_{B_{p,r}^s}\mathrm{s}\mathrm{u}{\mathrm{p}}_{\tau \in \left[\mathrm{0,1}\right]}\alpha {‖u+\tau \left(v-u\right)‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}}+

\left.{‖v-u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\mathrm{s}\mathrm{u}{\mathrm{p}}_{\tau \in \left[\mathrm{0,1}\right]}\alpha {‖{\left(u+\tau \left(v-u\right)\right)}^{\alpha -\mathrm{1}}‖}_{B_{p,r}^s}\right)

\lesssim ({‖v-u‖}_{B_{p,r}^s}{\left({‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}+{‖u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\right)}^{\alpha -\mathrm{1}}+

{‖v-u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\left({‖v‖}_{B_{p,r}^s}+{‖u‖}_{B_{p,r}^s}\right){\left({‖v‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}+{‖u‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\right)}^{\alpha -\mathrm{2}}).

记X\left(T\right)={\tilde{L}}_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{4}}\right)\bigcap {\tilde{L}}_T^{\mathrm{\infty }}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)和X_{\mathrm{0}}\left(T\right)={\tilde{L}}_T^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}\right)\bigcap {\tilde{L}}_T^{\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)，并且有

{‖h‖}_{X\left(T\right)}={‖h‖}_{{\tilde{L}}_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{4}}\right)}+{‖h‖}_{{\tilde{L}}_T^{\mathrm{\infty }}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)},

{‖h‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}={‖h‖}_{{\tilde{L}}_T^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}\right)}+{‖h‖}_{{\tilde{L}}_T^{\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)}.

引理2.7 设h_{\mathrm{1}},h_{\mathrm{2}}\in X_{\mathrm{0}}(T)，\alpha \ge \mathrm{5}，则存在和h_{\mathrm{1}},h_{\mathrm{2}}无关的常数C_{\mathrm{3}},C_{\mathrm{4}}使得下列不等式成立

（i）{‖{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}\right|}^{\alpha }\right)‖}_{{\tilde{L}}_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\mathrm{\alpha }-\mathrm{2}}{\mathrm{\alpha }-\mathrm{1}}}\right)}\le C_{\mathrm{3}}{‖h_{\mathrm{1}}‖}_{X_{\mathrm{0}}(T)}^{\alpha }；

（ii）{‖{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}\right|}^{\alpha }\right)-{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_x{h}_{\mathrm{2}}\right|}^{\alpha }\right)‖}_{{\tilde{L}}_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\mathrm{\alpha }-\mathrm{2}}{\mathrm{\alpha }-\mathrm{1}}}\right)}

\le C_{\mathrm{4}}{‖h_{\mathrm{1}}-h_{\mathrm{2}}‖}_{X_{\mathrm{0}}(T)}\bullet \left(\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}^{\alpha -\mathrm{1}}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}^{\alpha -\mathrm{1}}\right)+\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}^{\alpha -\mathrm{2}}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}^{\alpha -\mathrm{2}}\right)\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}\right)\right).

证明 （i）首先，注意到此时B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}可以嵌入到L^{\mathrm{\infty }}并且{\tilde{L}}_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)=L_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)，再结合引理2.5得到

{‖{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}\right|}^{\alpha }\right)‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}}\le C{‖{\left|{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}\right|}^{\alpha }‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{2}}}\le C{C}_{\mathrm{1}}{‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}}\bullet {‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{2}}}\le C{C}_{\mathrm{1}}{‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}^{\alpha -\mathrm{1}}\bullet {‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}\le C{C}_{\mathrm{1}}{‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}}^{\alpha -\mathrm{1}}\bullet {‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}\le C{C}_{\mathrm{1}}{‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\alpha -\mathrm{1}}}}^{\alpha -\mathrm{1}}\bullet {‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}.

最后，根据Hölder不等式有

\begin{array}{l}{‖{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}\right|}^{\alpha }\right)‖}_{{\tilde{L}}_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)}={‖{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}\right|}^{\alpha }\right)‖}_{L_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)}\le C{C}_{\mathrm{1}}{‖{‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\alpha -\mathrm{1}}}}^{\alpha -\mathrm{1}}‖}_{L_T^{\mathrm{4}}}{‖{‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}‖}_{L_T^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}}\\ \le C{C}_{\mathrm{1}}{‖h_{\mathrm{1}}‖}_{L_T^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}\right)}{‖h_{\mathrm{1}}‖}_{L_T^{\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)}^{\alpha -\mathrm{1}}\\ \le C{C}_{\mathrm{1}}{‖h_{\mathrm{1}}‖}_{{\tilde{L}}_T^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}\right)}{‖h_{\mathrm{1}}‖}_{{\tilde{L}}_T^{\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)}^{\alpha -\mathrm{1}}\\ \le C{C}_{\mathrm{1}}{‖h_{\mathrm{1}}‖}_{X_{\mathrm{0}}(T)}^{\alpha }.\end{array}

这就证明了第1个结论。

（ii）与（i）类似，记f={\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}\right|}^{\alpha }\right)-{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_x{h}_{\mathrm{2}}\right|}^{\alpha }\right)。注意到B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}可以嵌入到L^{\mathrm{\infty }}并且{\tilde{L}}_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)=L_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)，再结合引理2.6得到

{‖f‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}}\le C{‖{\left|{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}\right|}^{\alpha }-{\left|{\partial }_x{h}_{\mathrm{2}}\right|}^{\alpha }‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{2}}}

\le C{C}_{\mathrm{2}}\left({‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}-{\partial }_x{h}_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{2}}}{\left({‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}+{‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{2}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\right)}^{\alpha -\mathrm{1}}\right.+

{\left({‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}+{‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{2}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\right)}^{\alpha -\mathrm{2}}{‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}-{\partial }_x{h}_{\mathrm{2}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\times

\left.\left({‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{2}}}+{‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{2}}}\right)\right)

\le C{C}_{\mathrm{2}}\left({‖h_{\mathrm{1}}-h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}{\left({‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}+{‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{2}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\right)}^{\alpha -\mathrm{1}}+\right.

{\left({‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}+{‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{2}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\right)}^{\alpha -\mathrm{2}}{‖{\partial }_x{h}_{\mathrm{1}}-{\partial }_x{h}_{\mathrm{2}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\times

\left.\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}\right)\right)

\le C{C}_{\mathrm{2}}\left({‖h_{\mathrm{1}}-h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}{\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}}\right)}^{\alpha -\mathrm{1}}+\right.

{\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}}\right)}^{\alpha -\mathrm{2}}{‖h_{\mathrm{1}}-h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}}\times

\left.\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}\right)\right).

记g_{\mathrm{1}}={‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}，g_{\mathrm{2}}={‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}}，\beta \ge \mathrm{1}。于是根据Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式有

{‖g_{\mathrm{1}}‖}_{L_T^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}}={‖{‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}‖}_{L_T^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}}\le {‖{‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}‖}_{L_T^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}}+{‖{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}‖}_{L_T^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}}\le {‖h_{\mathrm{1}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)},

{‖{\left(g_{\mathrm{2}}\right)}^{\beta }‖}_{L_T^{\frac{\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)}{\beta }}}={‖{\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}}\right)}^{\beta }‖}_{L_T^{\frac{\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)}{\beta }}}

\le C{‖{‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}}^{\beta }+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}}^{\beta }‖}_{L_T^{\frac{\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)}{\beta }}}

\le C\left({‖{‖h_{\mathrm{1}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}}^{\beta }‖}_{L_T^{\frac{\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)}{\beta }}}+{‖{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}}^{\beta }‖}_{L_T^{\frac{\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)}{\beta }}}\right)

\le C\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{L_T^{\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\right)}^{\beta }+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{L_T^{\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\right)}^{\beta }\right)

\le C\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{X_{\mathrm{0}}(T)}^{\beta }+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{X_{\mathrm{0}}(T)}^{\beta }\right).

于是再根据Hölder不等式并分别取\beta =\alpha -\mathrm{1}和\beta =\alpha -\mathrm{2}即可得到

{‖f‖}_{{\tilde{L}}_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)}

\le C{C}_{\mathrm{2}}\left({‖{\left(g_{\mathrm{2}}\right)}^{\alpha -\mathrm{1}}‖}_{L_T^{\mathrm{4}}}\bullet {‖{‖h_{\mathrm{1}}-h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\mathrm{3}}}‖}_{L_T^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}}\right.+

\left.{‖{\left(g_{\mathrm{2}}\right)}^{\alpha -\mathrm{2}}‖}_{L_T^{\frac{\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)}{\left(\alpha -\mathrm{2}\right)}}}{‖{‖h_{\mathrm{1}}-h_{\mathrm{2}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\alpha -\mathrm{1}}}}‖}_{L_T^{\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)}}{‖g_{\mathrm{1}}‖}_{L_T^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}}\right)

\le C{C}_{\mathrm{2}}{‖h_{\mathrm{1}}-h_{\mathrm{2}}‖}_{X_{\mathrm{0}}(T)}\bullet \left(\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}^{\alpha -\mathrm{1}}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}^{\alpha -\mathrm{1}}\right)\right.+

\left.\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}^{\alpha -\mathrm{2}}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}^{\alpha -\mathrm{2}}\right)\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}\right)\right).

这就证明了第2个结论。

3 线性方程的估计

本节给出下列线性方程的估计

\left\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}h+{\partial }_x^{\mathrm{4}}h=f,& \left(t,x\right)\in {\mathbb{R}}^{+}\times \mathbb{R},\\ h\left(\mathrm{0},x\right)=h_{\mathrm{0}}\left(x\right),& x\in \mathbb{R}.\end{array}\right.（5）

由Duhamel原理，方程（5）的解可表达为

h\left(t,x\right)={\mathrm{e}}^{-t{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}}{h}_{\mathrm{0}}\left(x\right)+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{-\left(t-s\right){\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}}f\left(s,x\right)\mathrm{d}s.（6）

关于方程（5）有如下结论：

命题3.1 设。若h_{\mathrm{0}}\in B_{p,r}^s，f\in {\tilde{L}}_T^{\rho }\left(B_{p,r}^{s+\frac{\mathrm{4}}{\rho }-\mathrm{4}}\right)，则方程（5）有唯一的解h\in {\tilde{L}}_T^{\rho }\left(B_{p,r}^{s+\frac{\mathrm{4}}{\rho }}\right)\bigcap {\tilde{L}}_T^{\mathrm{\infty }}\left(B_{p,r}^s\right)且满足对\forall {\rho }_{\mathrm{1}}\in \left[\rho ,+\mathrm{\infty }\right]，N\ge -\mathrm{1},N\in \mathbb{Z}，有

{‖h‖}_{{\tilde{L}}_T^{{\rho }_{\mathrm{1}}}\left(B_{p,r}^{s+\frac{\mathrm{4}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}}\right)}\le C_{\mathrm{5}}\left[\left({\sum _{q>N}{\left({\mathrm{2}}^{qs}{‖{\mathrm{\Delta }}_q{h}_{\mathrm{0}}‖}_{L^p}\right)}^r)}^{\frac{\mathrm{1}}{r}}\right.\right.+

{\left(T{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}N}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}}{‖h_{\mathrm{0}}‖}_{B_{p,r}^s}+\left.\left(\mathrm{1}+T^{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}-\frac{\mathrm{1}}{\rho }}\right){‖f‖}_{{\tilde{L}}_T^{\rho }\left(B_{p,r}^{s+\frac{\mathrm{4}}{\rho }-\mathrm{4}}\right)}\right],

其中C_{\mathrm{5}}是一个与h无关的常数。

证明 将{\mathrm{\Delta }}_q作用在式（6）上得到

{\mathrm{\Delta }}_{q}h\left(t\right)={\mathrm{e}}^{-t{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{\Delta }}_q{h}_{\mathrm{0}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{-\left(t-\tau \right){\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{\Delta }}_{q}f\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau .

于是有

{‖{\mathrm{\Delta }}_{q}h\left(t\right)‖}_{L^p}\le {‖{\mathrm{e}}^{-t{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{\Delta }}_q{h}_{\mathrm{0}}‖}_{L^p}+

{\int }_{\mathrm{0}}^t{‖{\mathrm{e}}^{-\left(t-\tau \right){\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{\Delta }}_{q}f\left(\tau \right)‖}_{L^p}\mathrm{d}\tau .

由引理2.4，对任意q\ge \mathrm{0}存在\kappa >\mathrm{0}使得

{‖{\mathrm{\Delta }}_{q}h\left(t\right)‖}_{L^p}\lesssim {\mathrm{e}}^{-\kappa {\mathrm{2}}^{\mathrm{4}q}t}{‖{\mathrm{\Delta }}_q{h}_{\mathrm{0}}‖}_{L^p}+

{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{-\kappa {\mathrm{2}}^{\mathrm{4}q}\left(t-\tau \right)}{‖{\mathrm{\Delta }}_{q}f\left(\tau \right)‖}_{L^p}\mathrm{d}\tau .

根据Young不等式，有

{‖{\mathrm{\Delta }}_{q}h\left(t\right)‖}_{L^{{\rho }_{\mathrm{1}}}\left(I;L^p\right)}\lesssim {\left(\frac{\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\kappa {\mathrm{2}}^{\mathrm{4}q}{\rho }_{\mathrm{1}}T}}{\kappa {\mathrm{2}}^{\mathrm{4}q}{\rho }_{\mathrm{1}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}}{‖{\mathrm{\Delta }}_q{h}_{\mathrm{0}}‖}_{L^p}+

{\left(\frac{\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\kappa {\mathrm{2}}^{\mathrm{4}q}{\rho }_{\mathrm{2}}T}}{\kappa {\mathrm{2}}^{\mathrm{4}q}{\rho }_{\mathrm{2}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{2}}}}{‖{\mathrm{\Delta }}_{q}f\left(\tau \right)‖}_{L^{\rho }\left(I;L^p\right)},（7）

其中\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\rho }。因为\kappa >\mathrm{0}，\mathrm{1}\le \rho \le {\rho }_{\mathrm{1}}，\mathrm{1}\le {\rho }_{\mathrm{2}}，所以有

{\left(\frac{\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\kappa {\mathrm{2}}^{\mathrm{4}q}{\rho }_{\mathrm{1}}T}}{\kappa {\mathrm{2}}^{\mathrm{4}q}{\rho }_{\mathrm{1}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}}\le {\left(\frac{\mathrm{1}}{\kappa {\mathrm{2}}^{\mathrm{4}q}{\rho }_{\mathrm{1}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}}\le {\left(\frac{\mathrm{1}}{\kappa {\mathrm{2}}^{\mathrm{4}q}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}},（8）

{\left(\frac{\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\kappa {\mathrm{2}}^{\mathrm{4}q}{\rho }_{\mathrm{2}}T}}{\kappa {\mathrm{2}}^{\mathrm{4}q}{\rho }_{\mathrm{2}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{2}}}}\le {\left(\frac{\mathrm{1}}{\kappa {\mathrm{2}}^{\mathrm{4}q}{\rho }_{\mathrm{2}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{2}}}}\le {\left(\frac{\mathrm{1}}{\kappa {\mathrm{2}}^{\mathrm{4}q}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{2}}}},（9）

对-\mathrm{1}\le q\le N，因为{\mathrm{e}}^{-t{\left|\xi \right|}^{\mathrm{4}}}\in \mathit{𝒮}，所以可得

{‖{\mathrm{\Delta }}_{q}h\left(t\right)‖}_{L^p}\le {‖{\mathrm{\Delta }}_q{h}_{\mathrm{0}}‖}_{L^p}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{‖{\mathrm{\Delta }}_{q}f‖}_{L^p}\mathrm{d}s.

又因为\mathrm{1}\le \rho \le {\rho }_{\mathrm{1}}\le +\mathrm{\infty }，那么有

{‖{\mathrm{\Delta }}_{q}h\left(t\right)‖}_{L_T^{{\rho }_{\mathrm{1}}}\left(L^p\right)}\le T^{\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}}{‖{\mathrm{\Delta }}_q{h}_{\mathrm{0}}‖}_{L^p}+T^{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}-\frac{\mathrm{1}}{\rho }}{‖{\mathrm{\Delta }}_{q}f‖}_{L_T^{\rho }\left(L^p\right)}.（10）

由式（7）至式（10），{\left({\sum }_{-\mathrm{1}\le q\le N}{\left({\mathrm{2}}^{qs}{‖{\mathrm{\Delta }}_q{h}_{\mathrm{0}}‖}_{L^p}\right)}^r\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{r}}\le {‖h_{\mathrm{0}}‖}_{B_{p,r}^s}，取l^r\left(\mathbb{Z}\right)范数，可得

{‖h‖}_{{\tilde{L}}_T^{{\rho }_{\mathrm{1}}}\left(B_{p,r}^{s+\frac{\mathrm{4}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}}\right)}\lesssim \left[{\left(\sum _{q>N}{\left({\mathrm{2}}^{qs}{‖{\mathrm{\Delta }}_q{h}_{\mathrm{0}}‖}_{L^p}\right)}^r\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{r}}\right.+

{\left(T{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}N}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}}{‖h_{\mathrm{0}}‖}_{B_{p,r}^s}+\left.\left(\mathrm{1}+T^{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}-\frac{\mathrm{1}}{\rho }}\right){‖f‖}_{{\tilde{L}}_T^{\rho }\left(B_{p,r}^{s+\frac{\mathrm{4}}{\rho }-\mathrm{4}}\right)}\right].

4 表面生长模型在非齐次Besov空间中的局部适定性

本节将给出定理1.1的证明。定义映射

\mathit{𝒱}\left(h\right)\left(t\right)={\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{-\left(t-s\right){\Delta }^{\mathrm{2}}}\left(-{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_{x}h\right|}^{\alpha }\right)\right)\mathrm{d}s

和

\mathrm{\mathscr{H}}\left(h\right)\left(t\right)={\mathrm{e}}^{-t{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}}{h}_{\mathrm{0}}+\mathit{𝒱}\left(h\right)\left(t\right).

定义函数列\{h^i,i\in \mathbb{N}\}\subset X_{\mathrm{0}}\left(T\right)，其中h^{\mathrm{0}}=\mathrm{0}，h^i=\mathrm{\mathscr{H}}\left(h^{i-\mathrm{1}}\right)如果i\ge \mathrm{1}。

首先证明一个断言：存在一个M>\mathrm{0}使得\forall A\in (\mathrm{0},M]都存在一个使得映射\mathrm{\mathscr{H}}是从\mathrm{ℬ}\left(A\right)到\mathrm{ℬ}\left(A\right)的，其中\mathrm{ℬ}\left(A\right)=\{u\in X_{\mathrm{0}}\left(T\right)|{‖u‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}\le A\}。

根据命题3.1，对\mathrm{1}\le {\rho }_{\mathrm{1}}\le +\mathrm{\infty }，N\ge -\mathrm{1}有下列不等式

{‖\mathrm{\mathscr{H}}\left(h\right)‖}_{{\tilde{L}}_T^{{\rho }_{\mathrm{1}}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{4}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}}\right)}

\le C_{\mathrm{5}}\left[\sum _{q>N}\left({\mathrm{2}}^{q\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}{‖{\mathrm{\Delta }}_q{h}_{\mathrm{0}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\right)\right.+{\left(T{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}N}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}}{‖h_{\mathrm{0}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}}+

\left.\left(\mathrm{1}+T^{\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}}\right){‖-{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_{x}h\right|}^{\alpha }\right)‖}_{{\tilde{L}}_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)}\right].

由引理2.7（i），有{‖-{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_{x}h\right|}^{\alpha }\right)‖}_{{\tilde{L}}_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)}\le C_{\mathrm{3}}{‖h‖}_{X_{\mathrm{0}}(T)}^{\alpha }。于是当时

{‖\mathrm{\mathscr{H}}\left(h\right)‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}

\le C_{\mathrm{5}}\left[\mathrm{2}\sum _{q>N}\left({\mathrm{2}}^{q\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}{‖{\mathrm{\Delta }}_q{h}_{\mathrm{0}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\right)\right.+

\left.\left({\left(T{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}N}\right)}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}+{\left(T{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}N}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)}}\right){‖h_{\mathrm{0}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}}+\mathrm{4}{C}_{\mathrm{3}}{‖h‖}_{X_{\mathrm{0}}(T)}^{\alpha }\right].

取M使得

\mathrm{4}{C}_{\mathrm{3}}{C}_{\mathrm{5}}{M}^{\alpha }\le \frac{M}{\mathrm{3}},

再取N使得

\mathrm{2}{C}_{\mathrm{5}}\sum _{q>N}\left({\mathrm{2}}^{q\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}{‖{\mathrm{\Delta }}_q{h}_{\mathrm{0}}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}}\right)\le \frac{M}{\mathrm{3}},

最后取T使得

C_{\mathrm{5}}\left({\left(T{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}N}\right)}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}+{\left(T{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}N}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)}}\right){‖h_{\mathrm{0}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}}\le \frac{M}{\mathrm{3}},

这样断言成立。

下面利用压缩映射原理来证明存在性。记{\delta }_n=h^{n+\mathrm{1}}-h^n，n\ge \mathrm{1}，根据命题3.1，对\mathrm{1}\le {\rho }_{\mathrm{1}}\le +\mathrm{\infty }，有下列不等式

{‖{\delta }_n‖}_{{\tilde{L}}_T^{{\rho }_{\mathrm{1}}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{4}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}}\right)}

\le C_{\mathrm{5}}\left(\mathrm{1}+T^{\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}}\right){‖{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_x{h}^n\right|}^{\alpha }-{\left|{\partial }_x{h}^{n-\mathrm{1}}\right|}^{\alpha }\right)‖}_{{\tilde{L}}_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)}

再根据引理2.7（ii），当时有

{‖{\delta }_n‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}\le \mathrm{24}{C}_{\mathrm{4}}{C}_{\mathrm{5}}{M}^{\alpha -\mathrm{1}}{‖{\delta }_{n-\mathrm{1}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}.

于是当M同时满足\mathrm{4}{C}_{\mathrm{3}}{C}_{\mathrm{5}}{M}^{\alpha }\le M/\mathrm{3}和\mathrm{24}{C}_{\mathrm{4}}{C}_{\mathrm{5}}{M}^{\alpha -\mathrm{1}}\le\mathrm{1}/\mathrm{2}时，由压缩映射原理可以得到\{h^i,i\in \mathbb{N}\}收敛于某个h\in \mathrm{ℬ}\left(M\right)。

下面证明h\in X\left(T\right)。根据命题3.1，对\mathrm{1}\le {\rho }_{\mathrm{1}}\le +\mathrm{\infty }，有下列不等式

{‖h‖}_{{\tilde{L}}_T^{{\rho }_{\mathrm{1}}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{4}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}}\right)}\le \mathrm{2}{C}_{\mathrm{5}}\left({‖h_{\mathrm{0}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}}+\right.

\left.{‖-{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_{x}h\right|}^{\alpha }\right)‖}_{{\tilde{L}}_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}\right)}\right)，

再根据引理2.7（i）和M的取值，有

{‖{\partial }_x^{\mathrm{2}}\left({\left|{\partial }_{x}h\right|}^{\alpha }\right)‖}_{{\tilde{L}}_T^{\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\mathrm{\alpha }-\mathrm{2}}{\mathrm{\alpha }-\mathrm{1}}}\right)}\le C_{\mathrm{3}}{‖h‖}_{X_{\mathrm{0}}(T)}^{\alpha -\mathrm{1}}{‖h‖}_{X_{\mathrm{0}}(T)}\le \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}{C}_{\mathrm{5}}}{‖h‖}_{X_{\mathrm{0}}(T)}.

于是有

{‖h‖}_{{\tilde{L}}_T^{{\rho }_{\mathrm{1}}}\left(B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{4}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}}\right)}\le \mathrm{2}{C}_{\mathrm{5}}{‖h_{\mathrm{0}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{‖h‖}_{X_{\mathrm{0}}(T)}.

\mathrm{取}{\rho }_{\mathrm{1}}\mathrm{为}\mathrm{4}/\mathrm{3}和\mathrm{4}\left(\alpha -\mathrm{1}\right)时有

{‖h‖}_{X_{\mathrm{0}}(T)}\le \mathrm{6}{C}_{\mathrm{5}}{‖h_{\mathrm{0}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}},

再取{\rho }_{\mathrm{1}}为\mathrm{1}和\mathrm{\infty }时有

{‖h‖}_{X(T)}\le \mathrm{6}{C}_{\mathrm{5}}{‖h_{\mathrm{0}}‖}_{B_{\mathrm{\infty },\mathrm{1}}^{\frac{\alpha -\mathrm{2}}{\alpha -\mathrm{1}}}}.

这就同时证明了h的存在性和不等式（2）。

最后证明h的唯一性。设h_{\mathrm{1}}和h_{\mathrm{2}}是方程（1）在X(T)中的2个解，记\delta h=h_{\mathrm{1}}-h_{\mathrm{2}}，根据命题3.1和引理2.7（ii）有

\begin{array}{cc}& {‖\delta h‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}\le \mathrm{4}{C}_{\mathrm{4}}{C}_{\mathrm{5}}Z(T){‖\delta h‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)},\end{array}

Z\left(T\right)=\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}^{\alpha -\mathrm{1}}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}^{\alpha -\mathrm{1}}\right)+

\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}^{\alpha -\mathrm{2}}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}^{\alpha -\mathrm{2}}\right)\left({‖h_{\mathrm{1}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}+{‖h_{\mathrm{2}}‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(T\right)}\right).

由勒贝格控制收敛定理可得，Z是不减的连续函数，并且在T=\mathrm{0}处取值为\mathrm{0}。因此对于充分小的t_{\mathrm{0}}，在X_{\mathrm{0}}(t_{\mathrm{0}})中\delta h\equiv \mathrm{0}。又因为t\mapsto {‖\delta h‖}_{X_{\mathrm{0}}\left(t\right)}是一个连续函数，通过标准的连通性论证，可得在\left[\left.t_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{t}_{\mathrm{0}}\right)\right.，\left[\left.\mathrm{2}{t}_{\mathrm{0}},\mathrm{3}{t}_{\mathrm{0}}\right)\right.，\cdots，上\delta h\equiv \mathrm{0}，于是在X_{\mathrm{0}}(T)中\delta h\equiv \mathrm{0}，即证明了其唯一性。

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基金资助

国家自然科学基金(11771423)