非等温Taylor-Couette系统内冷水的对流传热特性

Convection heat transfer of cold water in a non-isothermal Taylor-Couette system

摘要

对内圆筒高温且旋转的Taylor-Couette系统内冷水的对流传热进行直接数值模拟，旨在探究密度倒置特性的影响。选用多个密度倒置参数，研究从自然对流到湍流的流态演化。结果表明，随着雷诺数的增大，流动经历了2次流态转变：第1次是从浮升力主导的大尺度环流转变为螺旋涡流，密度倒置效应越显著，轴向流动对径向热传输的抑制作用越强，在{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.5}附近存在传热极小值；第2次流态转变发生在离心力主导的区域，流动由波状涡流发展为湍流波状涡，产生Görtler涡，有效增强了传热。从密度倒置效应、离心效应和浮力效应联合作用的角度探讨流态转变的物理机理。结果表明，密度倒置效应越强，浮力效应越弱，流动越易在较低雷诺数下提前进入离心力主导的流态。

Abstract

This paper conducts a direct numerical simulation of the convective heat transfer of cold water in a Taylor-Couette system with a high-temperature and rotating inner cylinder， aiming to elucidate the flow features and heat transfer characteristics under different density inversion parameters. For this purpose， multiple density inversion parameters were selected to study the evolution of flow states from natural convection to turbulence. By examining the hydrodynamic and thermal behaviors of cold water across various parameter variations， this paper reveals the diversity of flow regimes and the tight association between heat transfer characteristics and flow features. With the increase in Reynolds number， the flow undergoes two transitions. The initial transition is from a buoyancy-dominated regime to a spiral vortex flow. Pronounced density inversion effects intensify the axial flow’s suppression of radial heat transfer， manifesting a minimal value of heat transfer near {\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.5}. The subsequent transition occurs within the rotation-dominated regime， where the flow progresses from wavy vortex flow to wavy turbulent vortex， accompanied by the emergence of Görtler vortices and an increase in smaller-scale structures at elevated Reynolds numbers， thus enhancing heat transfer capability. The mechanisms behind flow regime transitions are explored from the perspective of the combined effects of density inversion， centrifugal force， and buoyancy. The results suggest that a marked density inversion effect weakens the buoyancy effect and strengthens the sensitivity to the centrifugal force， leading to an earlier onset of centrifugal-dominated flow at a lower Reynolds number.

Graphical abstract

关键词

密度倒置 / Taylor-Couette流动 / 数值模拟 / 对流传热

Key words

density inversion / Taylor-Couette flow / numerical simulation / heat transfer

施加旋转能够增强各种热交换装置^［1］和热管理系统^［2］中的热传输。Taylor-Couette流^［3］是一种发生在独立旋转同心圆筒环形腔中的流动，被广泛用于研究旋转流动。作为旋转系统的经典模型，Taylor-Couette流不仅在工程应用中十分常见，如化学、汽车和核工业中的旋转热交换^［4］、旋转电机或发电机的冷却^［5］和纯金属的凝固^［6］，而且常被用于地球物理和天体物理的对流研究，如大气和海洋环流^［7］、吸积盘^［8］等。

目前，关于Taylor-Couette流已有大量实验研究，与实验工作相比，Taylor-Couette流的数值模拟研究较为滞后，大部分数值模拟都是在层流状态下进行的^［9-11］。随着计算能力的提高，近20年研究人员开始重点关注高雷诺数（Re）Taylor-Couette湍流的流场结构、湍流状态的转变等。Bilson和Bremhorst ^［12］对湍流Taylor-Couette流进行了数值模拟，在内筒附近观察到人字纹结构，但在外筒附近并未识别到该结构。Dong^［13］的数值模拟结果表明在内筒泰勒涡的流出边界附近首先产生较小尺度涡结构，即Görtler涡，随着Re的增大，Görtler涡出现的范围逐渐扩大到整个内筒。此外，Dong指出Görtler涡促使内筒附近出现人字纹。Ostilla等^［14］发现Taylor-Couette流发展到最终湍流状态需要依次经过大尺度相干结构主导的流态和过渡状态。在过渡状态下，泰勒涡流出边界附近的无量纲速度剖面与无量纲壁面距离满足对数关系，与Prandtl-von K􀅡rman的壁面律吻合。

自1964年Snyder和Karlsson ^［15］首次对Taylor-Couette流施加径向温度梯度并观察到螺旋涡流以来，许多学者开始关注非等温Taylor-Couette流。Ball和Farouk^［16-19］对具有径向温度梯度的Taylor-Couette流进行了大量的实验和数值研究，揭示了在浮力和离心力共同作用下螺旋涡流的演化过程。与层流状态下的相关研究相比，关于高参数下具有径向温度梯度的Taylor-Couette湍流的流动结构与统计特性的研究仍然较少，还有许多问题亟待探索。Teng等^［20］的数值模拟研究表明增强浮力流动将由混乱的波状涡流动发展到高湍流度流动，由浮力导致的轴向剪切作用的增强促进了湍流脉动的产生。Khawar等^［21］在Dong^［13］研究的基础上对Taylor-Couette系统施加了径向温度梯度，表明浮力促进了内外筒附近小尺度结构的生成。Leng和Zhong^［22］基于离心力和浮力的相互作用，分析了热量和角动量的径向传输的数值结果，揭示了湍流相干结构，并指出热量和角动量均通过该结构有效地传输。

上述研究均采用了满足Oberbeck-Boussinesq近似的牛顿流体假设，即认为流体的密度和温度满足线性关系，但在自然环境和工程实践中流体工质往往不满足这一假设，冷水是其中的典型代表。在一定温度范围内，水的密度存在极大值，随温度升高先增大后减小，这种密度随温度非单调变化的特征被称作密度倒置特性，通常采用密度倒置参数{\Theta }_{\mathrm{m}}来量化，{\Theta }_{\mathrm{m}}=({\widehat{T}}_{\mathrm{m}}-{\widehat{T}}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}})/({\widehat{T}}_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t}}-{\widehat{T}}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}})，其中{\widehat{T}}_{\mathrm{m}}是密度极值温度。在具有径向温度梯度和有或无旋转的垂直环形腔中，考虑冷水密度倒置效应的对流换热的研究工作相对较少。Ho和Tu^［23］在非等温Taylor-Couette系统中讨论了不同{\Theta }_{\mathrm{m}}下冷水的流动形态和系统的传热性能，结果表明施加旋转能够显著改善{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.5}附近的固有传热低值。然而，该研究基于轴对称假设，没有讨论流动过程中可能存在的三维效应。Cao和Tong^［24］对工质为冷水的非等温Taylor-Couette流进行了三维数值模拟研究，发现当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.5}时较强的密度倒置效应使得冷水在不同瑞利数（Ra）和Re条件下呈现复杂多变的径向分层流动形态，定义了7种基本流态，识别出多种组合流态，揭示了流态转变的机理，强调并量化了三维效应的重要影响以及施加旋转对于强化传热的有效性。进一步的研究^［25］表明当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.2}~\mathrm{0.6}时流动均被密度极值面沿径向分为内外2层，这种分层特征在不同程度上抑制了径向热传输，内筒旋转能够有效削弱密度倒置效应对传热的负面影响，尤其是当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.5}时，内筒旋转能够消除{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.5}时的传热低值。这些研究结果增进了对非等温Taylor-Couette系统中密度倒置流体流动特征及传热特性的理解，然而上述研究工作局限于Ra和Re均较低的层流状态。为进一步深化对该问题的认识，本文将相关研究扩展到Ra和Re相对较高的湍流状态，旨在揭示密度倒置流体在强浮力和较高转速下对流传热行为的复杂性，探明浮力效应、离心效应以及密度倒置效应联合作用下的流动特征和传热特性随Re和{\Theta }_{\mathrm{m}}的变化情况。

1 模型和数值方法

本文研究2个同心圆筒之间的冷水在浮力和离心力联合作用下的对流传热。内筒在恒定温度下被加热，温度记作{\widehat{T}}_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t}}，外筒保持恒定低温，温度记作{\widehat{T}}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}，上下端板均为绝热壁面。内筒以角速度\widehat{\Omega }绕\widehat{z}轴旋转，外筒及上下端板均保持静止。该系统的2个无量纲几何参数为环形腔的高宽比\Gamma =\widehat{h}/\widehat{d}和半径比\eta ={\widehat{r}}_{\mathrm{i}}/{\widehat{r}}_{\mathrm{o}}。在本文中，\Gamma =\mathrm{8}，\eta =\mathrm{0.5}。

冷水通常被认为是一种不可压缩的牛顿流体，忽略黏性耗散及离心力导致的浮力，本文仅在重力项中考虑密度对温度的依赖性，其余物性参数均设为常数。Gebhart 和Mollendorf^［26］提出的冷水的非线性密度公式如下

\widehat{\rho }(\widehat{T})={\widehat{\rho }}_{\mathrm{m}}\left[\mathrm{1}-\widehat{\gamma }{\left|\widehat{T}-{\widehat{T}}_{\mathrm{m}}\right|}^q\right].（1）

其中，\widehat{\gamma }是温度项系数，对于1个大气压下的纯水， \widehat{\gamma }=\mathrm{9.297}\mathrm{173}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}}{\left(°\mathrm{C}\right)}^{-q}，指数q =1.894 816。下标“m”用于识别密度最大时的值，如温度{\widehat{T}}_{\mathrm{m}}=4.029 3 °\mathrm{C}，密度 {\widehat{\rho }}_{\mathrm{m}}=\mathrm{999.972}\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}，运动黏度{\widehat{\nu }}_{\mathrm{m}}=\mathrm{1.573}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}/\mathrm{s}，热扩散率{\widehat{\alpha }}_{\mathrm{m}}=\mathrm{1.351}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{7}}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}/\mathrm{s}等。等式（1）表示的函数关系适用于0~20 °\mathrm{C}的冷水^［26］。

根据物理模型和相关假设可以得到不可压缩控制方程，包括连续性方程、动量方程和温度方程

\nabla ·\widehat{\mathit{u}}=\mathrm{0},（2）

\frac{\partial \widehat{\mathit{u}}}{\partial t}+\widehat{\mathit{u}}·\nabla \widehat{\mathit{u}}=-\frac{\nabla \widehat{p}}{{\widehat{\rho }}_{\mathrm{m}}}+{\widehat{\nu }}_{\mathrm{m}}{\nabla }^{\mathrm{2}}\widehat{\mathit{u}}-\frac{\widehat{\rho }-{\widehat{\rho }}_{\mathrm{m}}}{{\widehat{\rho }}_{\mathrm{m}}}\widehat{g}{\mathit{n}}_z,（3）

\frac{\partial \widehat{T}}{\partial \widehat{t}}+\widehat{\mathit{u}}·\nabla \widehat{T}={\widehat{\alpha }}_{\mathrm{m}}{\nabla }^{\mathrm{2}}\widehat{T}.（4）

其中，\widehat{\mathit{u}}（\mathrm{m}·{\mathrm{s}}^{-\mathrm{1}}）为速度，\widehat{t}（\mathrm{s}）为时间，\widehat{p}（\mathrm{P}\mathrm{a}）为压力，\widehat{g}（\mathrm{m}·{\mathrm{s}}^{-\mathrm{2}}）为重力加速度，{\widehat{\nu }}_{\mathrm{m}}（{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}·{\mathrm{s}}^{-\mathrm{1}}）和{\widehat{\alpha }}_{\mathrm{m}}（{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}·{\mathrm{s}}^{-\mathrm{1}}）分别为密度极值温度{\widehat{T}}_{\mathrm{m}}时水的运动黏性系数和热扩散系数，{\mathit{n}}_z为竖直方向单位向量。分别使用\widehat{d}、{\widehat{d}}^{\mathrm{2}}{\widehat{\nu }}_{\mathrm{m}}^{-\mathrm{1}}、{\widehat{\nu }}_{\mathrm{m}}{\widehat{d}}^{-\mathrm{1}}、\mathrm{\Delta }\widehat{T}\left(\mathrm{\Delta }\widehat{T}={\widehat{T}}_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t}}-{\widehat{T}}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}\right)和{\widehat{\rho }}_{\mathrm{m}}{\widehat{\nu }}_{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}{\widehat{d}}^{-\mathrm{2}}作为空间、时间、速度、温度和压力的特征尺度，得到惯性参考系中的无量纲控制方程如下

\nabla ·\mathit{u}=\mathrm{0},（5）

\frac{\partial \mathit{u}}{\partial t}+\mathit{u}·\nabla \mathit{u}=-\nabla p+{\nabla }^{\mathrm{2}}\mathit{u}+RaP{r}^{-\mathrm{1}}{\left|\Theta -{\Theta }_{\mathrm{m}}\right|}^q{\mathit{n}}_z,（6）

\frac{\partial \Theta }{\partial t}+\mathit{u}·\nabla \Theta =P{r}^{-\mathrm{1}}{\nabla }^{\mathrm{2}}\Theta .（7）

其中，\mathit{u}为速度，t为时间，p为压力，\Theta为无量纲温度，其定义为\Theta =\left(\widehat{T}-{\widehat{T}}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}\right)/\mathrm{\Delta }\widehat{T}。方程中的无量纲控制参数包括：瑞利数Ra，普朗特数Pr，雷诺数Re和密度倒置参数{\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{m}}，定义如下

Ra=\widehat{g}\widehat{\gamma }{\left(\mathrm{\Delta }\widehat{T}\right)}^q{\widehat{d}}^{\mathrm{3}}{{\widehat{\nu }}_{\mathrm{m}}}^{-\mathrm{1}}{{\widehat{\alpha }}_{\mathrm{m}}}^{-\mathrm{1}},（8）

Pr={\widehat{\nu }}_{\mathrm{m}}{{\widehat{\alpha }}_{\mathrm{m}}}^{-\mathrm{1}},（9）

Re={\widehat{r}}_i\widehat{\Omega }\widehat{d}{{\widehat{\nu }}_{\mathrm{m}}}^{-\mathrm{1}},（10）

{\Theta }_{\mathrm{m}}=\left({\widehat{T}}_{\mathrm{m}}-{\widehat{T}}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}\right)/\left({\widehat{T}}_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{t}}-{\widehat{T}}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}\right).（11）

在本研究中，Pr=\mathrm{11.57},Ra={\mathrm{10}}^{\mathrm{6}},\mathrm{0}\le Re\le \mathrm{2}\mathrm{500}。{\Theta }_{\mathrm{m}}是决定冷水流态和传热速率的重要参数^［27-29］。Cao和Tong^［24］的研究表明，当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.5}时流动被密度极值面沿径向分为流动强度相当的2层，这种分层流态抑制了径向热传输。为进一步探究密度倒置效应对流态和热传输的影响，本文所研究的{\Theta }_{\mathrm{m}}取值范围为\mathrm{0}~\mathrm{0.6}。采用的边界条件如下

\begin{array}{l}\mathit{u}=\mathrm{0} \mathrm{a}\mathrm{t} r=\mathrm{1}/\left(\mathrm{1}-\eta \right), z=\mathrm{0}, z=\Gamma ,\\ u_r=u_z =\mathrm{0} , u_{\theta } =Re \mathrm{a}\mathrm{t} r=\eta /\left(\mathrm{1}-\eta \right),\\ \Theta =\mathrm{0} \mathrm{a}\mathrm{t} r=\mathrm{1}/\left(\mathrm{1}-\eta \right),\\ \Theta =\mathrm{1} \mathrm{a}\mathrm{t} r=\eta /\left(\mathrm{1}-\eta \right),\\ \partial \Theta /\partial z=\mathrm{0} \mathrm{a}\mathrm{t} z=\mathrm{0} , z=\Gamma .\end{array}（12）

本文利用开源CFD软件OpenFOAM求解控制方程。采用压力隐式算子分裂算法处理压力和速度的耦合。对流项和扩散项分别采用二阶迎风格式和中心格式。时间项的离散采用二阶隐式Crank-Nicholson格式。对于每组工况，均以较低Re的模拟结果作为较高Re的初始条件。本课题组的前期研究工作^［24-25］已经证实上述数值方法可准确再现非等温Taylor-Couette系统中的速度场和温度场，能够准确捕捉密度倒置效应对流动和传热的影响。

使用努塞尔数Nu衡量全局热传输，定义如下

\begin{array}{l}Nu=a^{-\mathrm{1}}\left(Pr{〈U_{r}T〉}_{V,t}-{〈\partial T/\partial r〉}_{V,t}\right),\\ a=\mathrm{2}{d}^{\mathrm{2}}/\left(\mathrm{l}\mathrm{n}\left(r_o/r_i\right)\left(r_o^{\mathrm{2}}-r_i^{\mathrm{2}}\right)\right).\end{array}（13）

其中，{〈〉}_{V,t}表示体积和时间平均值，几何因子a取决于半径比\eta。

2 结果分析与讨论

2.1 网格独立性检验

本文采用结构化网格进行数值求解，径向和轴向均采用非均匀网格，周向采用均匀网格。径向、周向和轴向的单元数分别用N_r、N_{\theta }和N_z表示。为了更好地权衡计算精度和计算成本，依据Shishkina等^［30］基于边界层理论的推导结果设置网格分布。参考已有的研究^{［17，31-32］}，采用内圆筒时间平均的等效导热系数进行网格检验，公式如下

{〈\overline{{\kappa }_{\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{i}}}〉}_t=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\Gamma t_p}{\int }_{t_{\mathrm{0}}}^{t_{\mathrm{0}}+t_p}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^{\Gamma }{\kappa }_{\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{i}}\mathrm{d}z\mathrm{d}\theta \mathrm{d}t.（14）

本文以{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.5},Ra={\mathrm{10}}^{\mathrm{6}},Re=\mathrm{1}\mathrm{500}作为典型工况进行了3组网格比较，结果如表1所示。M2网格与M3网格之间的误差小于0.4%。对于本文研究的参数范围，采用N_r\times N_{\theta }\times N_z=\mathrm{96}\times \mathrm{192}\times \mathrm{320}能够满足边界层对最小单元数的要求，获得可靠的数值解。

2.2 低Re时的流态演化

{\Theta }_{\mathrm{m}}是影响流态和传热速率的重要参数。密度极值面将环形腔中的冷水对流沿径向分为2层，称为内层和外层，内层和外层分别由正、负径向密度梯度主导。如下所述，这种特殊的径向密度分层使得本已复杂的非等温Taylor-Couette流进一步复杂化。

图1给出了不同{\Theta }_{\mathrm{m}}下r-z截面上的温度分布和速度矢量随Re的变化。当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0}时，外筒附近流体密度最大，流场中的径向密度梯度为正。当{\Theta }_{\mathrm{m}}>\mathrm{0}时，密度极值面将流场分为内外2层。在自然对流条件下（Re=0），三维效应较弱，流态近似满足轴对称性，内层的高温流体呈现顺时针大尺度环流（large scale circulation， LSC），外层的低温流体呈现逆时针LSC。密度极值面附近存在较强的轴向向下流动，这一流动特征将严重阻碍径向热传输，尤其在{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.4}时，可以预见传热速率将在{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.4}附近达到低值。如图1（b）所示，当Re=\mathrm{100}时，由于离心效应较弱，{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0}、0.2、0.6的流态与相同{\Theta }_{\mathrm{m}}下Re=\mathrm{0}的流态极为相似，而{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.4}~\mathrm{0.5}的密度极值面发生明显扭曲，表明{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.4}~\mathrm{0.5}的径向分层流动对离心效应更为敏感。随着Re进一步增大，径向运动增强，周向涡越来越丰富，密度极值面的扭曲程度加剧。

图2给出了Re=200、500时不同{\Theta }_{\mathrm{m}}下的瞬时周向速度等值面，以温度着色。当Re=\mathrm{200}时，出现丰富的非轴对称流态。如图2（a）所示，当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0}、0.2、0.4时流态均为上倾螺旋涡（spiral vortex flow with a positive inclination angle， SPI-p），倾角随{\Theta }_{\mathrm{m}}的增大而减小，表明离心（浮力）效应逐渐增强（减弱）。当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.5}、0.6时，内层的高温流体形成SPI-p，外层的低温流体形成下倾螺旋涡（spiral vortex flow with a negative inclination angle， SPI-n），从而出现特殊的分层螺旋涡流动（spiral vortex flow with two reversed angles， SPI-r）。此时，上下端板附近的浮力效应对Ekman涡的形成起到了促进作用。当Re=\mathrm{500}时，离心效应进一步增强，如图2（b）所示，除{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0}仍为螺旋涡流外，其余{\Theta }_{\mathrm{m}}下的流动均转变为波状涡。当{\Theta }_{\mathrm{m}}=0、0.2时腔体顶部聚集了大量的高温流体，较强的浮力效应依然在阻碍Ekman涡的形成。当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.4}时，腔体顶部开始出现稳定的Ekman涡。此外，图2表明{\Theta }_{\mathrm{m}}对波状涡的数量和强度也有一定影响。

对周向速度信号的频谱分析结果表明，当Re=100，{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.2}、0.6以及Re=\mathrm{500}，{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.2}时流动均呈现准周期振荡行为。图3展示了振荡行为的特征。当Re=\mathrm{100}、{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.2}时，内筒附近的高温流体在强浮力作用下向上流动，导致速度在腔体上部的内筒附近达到最大值。在顶部端板附近，密度极值面贴近外筒，顺时针LSC主导流动，对顶部Ekman涡起到抑制作用，导致顶部附近发生较为强烈的振荡。此外，如图3（a）涡量场所示，在2个相反方向LSC交界面附近出现了小幅度的振荡，故u_{\theta }的时间序列中存在一大一小2个周期。当Re=\mathrm{100}、{\Theta }_{\mathrm{m}}=0.6时，在上下端板附近并未观察到振荡行为，这是因为密度极值面在腔体上部靠近内筒、在下部靠近外筒，使得上下端板附近的浮力效应强化了Ekman涡，导致准周期振荡仅发生在2个相反方向LSC交界面附近。这也解释了为什么图3（b）中的振荡周期和幅值均远小于图3（a）的值。当Re=\mathrm{500}、{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.2}时，离心效应的增强导致流态与图3（a）中流态大不相同，密度极值面更贴近外筒，振荡遍及整个环形腔，振荡周期明显减小，形成3对周向涡，在时间演化过程中正、负涡呈现此消彼长的变化趋势。

2.3 高Re下的流态演化

本节详细分析湍流Taylor-Couette流的涡结构。重点讨论内外筒附近的小尺度涡及其影响。我们在模拟过程中监测内外筒上的等效热导率，以确保流动达到统计定常状态。下面的结果与分析均针对统计定常状态的数据场。

图4展示了Re=1 000、1 500、2 500时不同{\Theta }_{\mathrm{m}}下腔体中部截面（r=\mathrm{1.5}）上周向速度u_{\theta }的空间分布。对于Re=\mathrm{1}\mathrm{000}，当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0}时形成波状涡，腔体顶部高温流体受浮力影响较大，形成不规则的上倾螺旋条带；当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.2}时，密度倒置效应削弱了浮力效应，导致顶部涡结构减小；当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.4}~\mathrm{0.6}时，腔体上部形成大尺度波状涡，而在下部的大尺度涡结构上叠加了上倾螺旋条带和下倾螺旋条带，反映了密度倒置效应的影响。当Re=\mathrm{1}\mathrm{500}时，离心效应的增强导致各个{\Theta }_{\mathrm{m}}下的小尺度结构均有不同程度的增加，但仍然能够清楚地识别出大尺度的波状涡结构，如图4（b）所示。当Re=\mathrm{2}\mathrm{500}时，流动转变为湍流波状涡，如图4（c）所示，大量的小尺度结构几乎淹没了时间平均场中存在的大尺度涡，尤其在{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0}、0.2、0.5时，小尺度结构更丰富，湍流度更高。

图5给出了高Re下的瞬时周向速度在r-z截面上的分布。当Re=\mathrm{1}\mathrm{500}、{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0}\mathrm{、}\mathrm{0.2}时，在内筒波状泰勒涡的流出边界出现了较小尺度的涡结构，即Görtler涡，与Dong^［13］观察到Görtler涡出现的位置一致。当Re=\mathrm{1}\mathrm{500}、{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.4}~\mathrm{0.6}时，仅在靠近腔体底部的波状泰勒涡的流出边界处形成了Görtler涡，原因是密度极值面在上部2/3区域贴近内筒，致使径向流动受到抑制。当Re=\mathrm{2}\mathrm{500}时，在内筒附近和腔体中心均出现了较丰富的小尺度结构，Görtler涡出现的位置不再局限于波状泰勒涡的流出边界，但是流出边界处的Görtler涡由于受到径向射流的影响不断向腔体核心区延伸，使得内筒附近的热流体能够更有效地被泵送至腔体中部甚至外筒附近，从而有效强化热传输。

为了分析密度倒置效应和离心效应对湍流统计特性的影响，本文计算了不同{\Theta }_{\mathrm{m}}和Re下的湍动能k，周向速度脉动u_{\theta }^{\text{'}}以及温度脉动T\text{'}。如图6所示，随着Re的增大，不同{\Theta }_{\mathrm{m}}下的k均显著增大，表明离心效应的增强有效促进了湍流的产生。当Re=\mathrm{1}\mathrm{000}时，{\Theta }_{\mathrm{m}}对k有显著影响，{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.5}的湍动能最大，{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.6}的湍动能次之，{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0}~\mathrm{0.4}的湍动能相对较小。在Re从1 000增至1 500的过程中，{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0}~\mathrm{0.4}的湍动能显著增大，表明在{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0}~\mathrm{0.4}的流场中出现了丰富的小尺度结构，图4（a）和4（b）的差异在一定程度上能够解释这一现象。当Re=\mathrm{2}\mathrm{500}时，{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0}、0.2、0.5的湍动能分布几乎重合，表明{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.2}、0.5的密度倒置效应对湍流脉动的整体影响极其微弱，可以忽略，而{\Theta }_{\mathrm{m}}=0.4、0.6的湍动能明显较低，表明密度倒置效应对湍流脉动的抑制作用依然显著，与图4（c）所示{\Theta }_{\mathrm{m}}对小尺度结构的影响定性一致。图6所示周向速度脉动u_{\theta }^{\text{'}}的结果表明：当Re=\mathrm{1}\mathrm{000}时，由于内筒旋转，内筒附近的u_{\theta }^{\text{'}}最大；当Re增大到1 500时，Görtler涡开始出现在内筒附近，如图4（b）和图5（a）所示，{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0}、0.2、0.5时小尺度结构相对较多，内筒附近和腔体中心具有较强的小尺度脉动，故u_{\theta }^{\text{'}}具有2个峰值；当Re增大至2 500时，如图5（b）所示，在所有{\Theta }_{\mathrm{m}}下的内筒附近和腔体中心均出现了较丰富的小尺度结构，因此u_{\theta }^{\text{'}}均呈现双峰分布。

温度的空间分布能够较直观地反映流体的热传输行为。我们发现随着Re的增大，核心区的平均温度升高，表明离开内筒的流体将更多的热量带入核心区，从而强化热传输，密度倒置效应放大了Re的影响。如图6所示，温度脉动T\text{'}在内外筒附近具有较高的峰值。当Re=\mathrm{1}\mathrm{000}时，{\Theta }_{\mathrm{m}}对T\text{'}有显著影响，变化趋势与速度脉动u_{\theta }^{\text{'}}随{\Theta }_{\mathrm{m}}的变化吻合，表明温度脉动与速度脉动紧密相关。与Re=1 000、1 500相比，Re=\mathrm{2}\mathrm{500}时内外筒附近的温度脉动普遍更强，而核心区温度脉动普遍更弱。这源于Re=\mathrm{2}\mathrm{500}时内外筒附近Görtler涡的出现（图7）有效强化了径向热传输，使得热流体和冷流体在环形腔中得到了更好的混合。

2.4 系统整体传热

强化传热一直是工程科学技术基础研究的热点。本节旨在探讨密度倒置流体的流态转变对传热的影响，并定量分析不同{\Theta }_{\mathrm{m}}情况下旋转流的传热增强效应。

图8给出了传热性能随参数的变化。在自然对流条件下（Re=\mathrm{0}），流动和传热由LSC主导，Nu在{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.4}~\mathrm{0.5}时明显低于其他工况，这是由于此时的密度倒置效应最为显著，内外层的对流强度相当，极值面附近强烈的轴向流动阻碍了径向热传输。当Re增至100时，由于离心效应较弱，只有{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.4}、0.5的流态与Re=\mathrm{0}时有差别，见图1（a）和1（b），因此，Nu略有增大。

当Re增大到200时，混合对流从LSC发展到以SPI为特征的新流态，出现了丰富的非轴对称结构（图2），Nu在所有{\Theta }_{\mathrm{m}}下均有所增大。当Re增加到300时，离心效应开始主导流动。当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.4}时，泰勒涡的出现显著增强了换热，有效消除了传热低值。此时，不同{\Theta }_{\mathrm{m}}下的传热速率相当。当Re增加到500时，{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.5}的工况中出现了5对较为稳定的泰勒涡，极大地增强了传热，使其传热能力在所有受密度倒置效应影响的4组工况中最强，仅略低于{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0}。当Re增加到1 500时，Görtler涡开始出现，传热得到大幅提升，由于{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.4}和0.6时泰勒涡对数较多，在一定程度上弥补了Görtler涡较少对传热的影响。当Re增至2 500时，不同{\Theta }_{\mathrm{m}}下Nu的差异小于5%，表明{\Theta }_{\mathrm{m}}对整体传热的影响在较强的离心效应下可以忽略。

图8（b）给出了传热强化幅度\epsilon =Nu/Nu\left|{}_{Re=\mathrm{0}}\right.的变化。显然，在所有{\Theta }_{\mathrm{m}}情况下，提高Re能够有效强化系统的传热性能。当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.4}、0.5时，密度倒置效应最为显著，流动对离心效应更为敏感，因此传热强化幅度比其他工况大得多。在本文研究的Ra={\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}的强浮力情况下，若要达到与Ra={\mathrm{10}}^{\mathrm{4}}、Re=\mathrm{150}时相同的传热强化幅度^［25］，Re需达到1 500以上。

3 结论

本文采用三维模型对强浮力（Ra={\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}）状态下，\mathrm{0}\le Re\le \mathrm{2}\mathrm{500}范围内不同{\Theta }_{\mathrm{m}}的冷水在竖直环形腔内的对流传热开展直接数值模拟研究。重点关注不同Re条件下{\Theta }_{\mathrm{m}}对流态、湍流统计特性和传热性能的影响。主要结论如下：

1）密度倒置效应是影响流动特征的重要因素。{\Theta }_{\mathrm{m}}直接影响密度极值面的位置，进而在低Re下影响螺旋涡的方向和倾角，产生SPI-n、SPI-p和 SPI-r等流态，并且在浮力效应较强的低{\Theta }_{\mathrm{m}}工况中具有更大的倾斜角度。当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.4}、0.5时，密度倒置效应最为显著，浮力效应较弱，流动对离心力较敏感，因此在较低的Re下进入离心力主导的流态。在高Re下，{\Theta }_{\mathrm{m}}影响Görtler涡的数量和出现位置。当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0}、0.2时，Görtler涡在内筒泰勒涡的各流出边界处同时出现，而当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.4}~\mathrm{0.6}时，Görtler涡首先出现在腔体下部泰勒涡的流出边界处。

2）{\Theta }_{\mathrm{m}}对上下端板附近的Ekman涡有显著影响。当{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0}~\mathrm{0.4}时，在上端板附近聚集了大量高温流体，而且密度极值面贴近外筒，浮力效应与离心效应竞争从而抑制Ekman涡的形成，而在下端板附近浮力效应与离心效应协同合作，促进了Ekman涡的形成。对于{\Theta }_{\mathrm{m}}=\mathrm{0.5}~\mathrm{0.6}的工况，高温流体被密度极值面限制在腔体下部，而且密度极值面在上、下端板附近分别贴近内筒和外筒，浮力效应对于顶部和底部的Ekman涡均起到了强化作用。

3）内筒旋转引起的离心作用破坏了冷水的径向分层流态，削弱了密度倒置效应的影响，有效提高了系统的整体传热性能。密度倒置效应越强，内筒旋转的强化传热效果越显著。在给定{\Theta }_{\mathrm{m}}的条件下，传热强化幅度随转速的提高而增大，同时受到浮力效应的牵制，在Ra={\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}的情况下，需要更高的转速才能达到与较低Ra情况下相同的传热强化幅度。

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基金资助

国家自然科学基金(52176025)