考虑消费信贷的多产品最优免息期决策

Optimal grace period decisions for multiple products under consumer credit

摘要

考虑一个销售多种可替代产品并提供相应免息消费信贷服务的公司，应用随机效用理论建立多项逻辑选择模型，并将消费者对免息信贷服务的反应纳入模型，分别在线性和非线性信贷服务成本结构下得到企业的最优免息期决策。研究发现，本质上可以将多产品最优问题转化成单一变量寻根问题，降低求解难度。有趣的是，消费信贷的最优免息期并不一定随着信贷服务成本的提升而缩减，也并不一定随着顾客对信贷服务偏好度的提升而增加。数值仿真表明，利润边际越大的产品，其对应的最优免息期也越长。为每个产品都提供专属的最优免息期方案整体利润均高于统一免息期方案，尤其是当企业的销售收入利用能力不强时，前一方案下的利润提升更加显著。

Abstract

Consumer credit products have prevailed for a long time， allowing customers to spend first and pay later， stimulating customers to purchase products. Banks， financial service companies， and e-commerce platforms have all strategically laid out in this industry and provided corresponding online consumer credit services. To further stimulate consumption， companies will offer interest-free consumer credit services. We consider a firm that sells multiple substitutable products and provides interest-free consumer credit services and bears the service costs. We develop an MNL model and incorporate consumer responses to consumer credit services into the model， the firm’s objective is to make the optimal decisions of grace period for each product to maximize the total profit under linear and nonlinear credit service cost structures， respectively. The findings indicate that we can essentially transform the multiple products optimization problem into a single-variable root searching problem， which reduces the calculation complexity. The optimal grace period does not necessarily shrink with the increase of credit service cost and vice versa. Numerical analysis reveals that products with larger profit margins have longer optimal grace periods. We also compare the advantages and disadvantages of the two different credit options， namely， the uniform optimal grace periods for all products （Option 1） and the exclusive optimal grace period for each product （Option 2）. We find that the firm’s total profit from implementing Option 2 is always larger than that from implementing Option 1， especially when the firm’s ability to utilize the sales revenue is not strong， the profit improvement under Option 2 scheme is more significant.

Graphical abstract

关键词

消费信贷 / 免息期 / 多项逻辑选择模型 / 多产品优化 / 信贷服务成本 / 信贷服务偏好度

Key words

consumer credit / grace period / MNL / multiple product optimization / credit service cost / preference for credit service

消费信贷由来已久，信用卡是其中较典型的传统消费信贷产品。伴随着互联网金融与移动支付的发展，互联网消费信贷发展迅猛。互联网消费信贷具体是指金融机构等借助互联网技术向消费者提供的无担保、无抵押的短期、小额信用类消费贷款服务，其申请、审核、放款和还款等流程均可在互联网上完成。这样高便捷性、低门槛的消费信贷产品更能刺激顾客消费，为公司带来潜在利润，为经济增长提供动力，因此银行、消费金融公司、平台型公司等都战略性布局消费信贷业务。较典型的消费信贷服务公司有支付宝花呗，例如，其提供的“这月花、下月还”免息信贷服务，以及免息期更长的“花呗分期”服务——顾客可选择3、6、12期免息还款方案。消费信贷服务可以让顾客先消费、后付款，而且为了刺激顾客的消费欲望，公司往往会提供免息消费信贷服务。举一个简单的例子，一个售价4 800元的手机，如果公司提供12期免息分期的消费信贷服务，顾客只需每月付款400元即可。

可以发现，消费信贷服务的免息还款期会是顾客是否选择进行消费的一大重要因素，因为本质上这是一种有利于顾客且可以满足其当下消费愿望的免息贷款。此外，免息还款期往往也是消费信贷服务吸引新顾客的重要因素，只有吸引新顾客使用消费信贷产品，公司才能进一步借助信贷领域的业务来谋利（例如计息贷款、逾期利息等）。我们发现很多公司的消费信贷服务中，无论什么类型的产品，为其提供的免息期通常是相同的。为高端产品或者高利润产品提供较长的免息期更能达到刺激消费的目的，但是为低利润产品也提供同样长的免息期是否会对公司造成损失呢？公司提供消费信贷服务本身是需要承担成本的，本应立刻入账的销售收入因为提供消费信贷而只能延期收取。从机会成本的角度而言，公司丧失了利用这些销售额进一步盈利的时机。综合来看，免息信贷虽然能刺激消费以增加利润，但同时也会增加成本。因此，如何为不同产品找到最优的免息期，成为了本文拟研究的问题。

值得注意的是，我们的研究对于涵盖消费信贷领域业务的平台公司更有帮助（比如嵌入在淘宝平台上的蚂蚁花呗、嵌入在京东平台的京东白条等其他涵盖消费信贷业务的实体销售公司或平台）。因为，一方面，本研究的模型里既考虑到了销售产品的所得收入，也考虑了提供消费信贷业务的成本；另一方面，本研究的重点一直围绕消费信贷的免息还款期，良好的免息期制定决策可以更好地引流顾客，吸引新顾客使用公司提供的消费信贷服务，从而使得公司在消费信贷业务上可以谋取其他层面的利润，比如顾客分期付款的利息、顾客逾期支付的利息等。

消费信贷是专门为个人消费者所开设的服务。起初，消费信贷主要覆盖日常消费领域，但随着后续的发展，消费信贷也能覆盖房屋装修、旅行等方面。换言之，消费信贷的涵盖面和提供额度都更大了。除最常见的信用卡之外，现在还兴起了很多其他消费信贷产品，例如电商平台消费信贷、网贷平台消费信贷、消费金融公司的消费信贷、大型3C公司的消费信贷等。以往研究证明消费信贷能达到刺激消费者购买行为的目的，例如存在信用卡刺激时，消费者更容易发生消费行为。并且在“可使用信用卡支付”提示的情况下，消费的概率、速度或幅度都会提高^［1］。与现金支付相比，信用卡支付能使消费者产生更多消费^［2］。相关研究显示，过去使用信用卡（与支票）付款的消费者更有可能购买额外的自由支配产品^［3］。在有支持信用卡支付标志的情况下，消费者愿意花更多的钱^［4］。本研究也是在认可消费信贷能刺激消费这个前提下进一步去探索我们所关注的最优免息期等问题。

认识到消费信贷可以刺激消费，我们自然也希望弄清楚为何消费信贷能刺激消费。从相关文献来看，主要原因在于消费信贷能影响消费者的心理账户，从而影响到他们的消费行为，例如Prelec和Loewenstein^［5］发现人们在购物时，往往会立即体验到支付的痛苦，这会削弱消费带来的愉悦感。此研究引入了另一个重要的概念coupling，指的是消费时在多大程度上会让人想到付款。文中指出因为顾客在现金支付时需要把钱掏出来再递给商家，这个行为会产生紧密的coupling。反之，信用卡、支票等支付手段往往会削弱coupling。Thaler^［6］指出信用卡或许是最好的decoupling方式，具体原因可解释为两个方面：信用卡实际支付要比购买行为发生得晚，往往下个月再去支付上个月的信用卡贷款；信用卡实际支付行为与购买行为分隔开了。

也有相关研究从不同角度解释了消费信贷的刺激原因。Soman^［7］引入支付透明度的概念，指出支付手段的透明度越低，消费者的消费就越大。毫无疑问，信用卡的支付透明度相比于现金、支票等更低。Raghubir和Srivastava^［8］提出消费信贷具有“payment separation”效应，指出当等额的钱由1张大面额的钞票（如1张20美元的钞票）来支付时，个人消费的可能性比由许多小面额的钞票（如20张1美元的钞票）来支付时要低。Chatterjee和Rose^［9］研究发现用信用卡支付的消费者，会更容易关注到产品的利益，而用现金支付的消费者会更容易关注到产品的成本，从而影响消费者对于产品的评估与购买。此外，长期使用信贷产品还会进一步刺激消费，顾客经常使用消费信贷服务并且信用良好的话，其信贷额度往往会提高。Soman和Cheema^［10］研究发现信贷额度越高，消费者对未来预期收入也越高，消费者当下的消费能力也会提升。除信用卡的研究外，也有对于其他消费信贷产品的研究，例如对于礼品券^［4］，商店联名信用卡^［11］、网络消费信贷^［12］的研究。还有学者对消费信贷的其他话题进行了研究，例如消费信贷风险^［13］、消费信贷评分^［14］等。值得一提的是，虽然新兴的消费信贷产品和信用卡的特征相似，但是专门研究新兴消费信贷产品的文献还不够充分。

本研究的一大重点便是将消费信贷这一因素纳入模型，因此我们也检索了一些将消费信贷的影响进行建模分析的文献。Xie等^［15］构建了一个由卖方—EC平台—战略消费者三方组成的平台供应链 （PSC） 的博弈模型，以分析定价策略，并研究谁能最终从信贷中获益。Li等^［16］提出一个模型，用于探讨平台提供消费信贷的策略和零售商的回应，同时考虑到消费者的溢出效应，即消费信贷的好处在多大程度上超过其缺点。我们发现已有对消费信贷进行研究的模型并没有尝试多项逻辑选择模型（multinomial logit model，MNL），而且相关文献主要在研究是否提供消费信贷，或消费信贷影响下的定价等方面。本研究除关注消费信贷下的定价决策外，重点更在于消费信贷免息期的最优决策。

消费者选择行为的建模常用到离散选择模型，其中MNL模型是运营管理、经济、市场、交通等领域文献中得到最广泛应用的模型之一。MNL模型的本质遵循效用最大化的决策准则，已有较多文献对MNL模型进行了完整推演和深入讨论^［17-19］。应用MNL模型，学者可以做出很多运营管理方面的决策，比如多产品定价、产品组合优化等。应用MNL模型研究定价的文献中，Hanson和Martin^［20］发现销售多种可替代产品的公司利润函数关于价格向量并不是呈现联合凹的。相关研究找到对应的解决方法，即最优条件下所有产品的边际利润是相同的（所谓边际利润就是产品的价格减去成本）。多篇文献也都证明MNL模型下所有产品的边际利润在最优情况下是相同的^［21-23］。Li等^［24］以及Huh和Li^［25］进一步将上面的结论从MNL模型拓展到嵌套式逻辑模型上，指出“边际利润最优相同”的结论此时也适用。Song等^［26］和Dong等^［27］的研究发现利润函数在价格上不具凹性，但在产品的选择概率上具凹性。

学者们也应用MNL模型对不同种类的变量同时进行联合优化决策，例如对定价、质量、服务期时长、库存等因素的不同组合进行联合决策等。Li等^［28］对多产品的价格和质量进行联合决策并给出了有效的求解算法。 Wang等^［29］对多产品的价格、质量和附带服务期进行了联合决策，并得出产品的最优服务期（保修期、维修期）要么定为最短、要么定为最长这一有趣结论。还有相关研究探讨了MNL模型框架下定价与库存的联合决策^［30-31］。与已有的MNL模型研究中关注定价、质量等因素不同，本研究重点关注消费信贷，并且进一步探索消费信贷的最优免息期应该如何设定。同时本研究也进一步为价格和免息期的联合优化决策铺路。

本文首先考虑在MNL模型下，一个公司销售多种可替代产品时如何对各种产品的消费信贷的免息还款期做出决策。其次，考虑到公司提供消费信贷服务的成本结构可能随着时间非线性增长，即提供的免息期越长公司承担的成本和风险往往会越高。我们应用两种更具普遍性的成本结构来进行研究，分别为二次型成本结构和指数型成本结构（随时间呈凸性增长），并仍然应用MNL模型得到最优的免息期决策。最后，利用数值仿真分析不同重要参数变化对企业利润和免息期决策的影响，具体从公司销售收入利用能力、消费者对信贷服务的偏好度等来展开，并进一步分析比较本文提出的最优免息期方案与统一免息期方案的优劣。

1 问题描述与模型假设

考虑一个销售N=\{\mathrm{1,2},\dots ,n\}种同类可替代产品的垄断企业，假设消费者是同质的，消费者购买企业的产品i所获得的效用可以表示为

U_i={\alpha }_i-p_i+s_i{t}_i+{\xi }_i.（1）

式中，{\alpha }_i代表产品i的质量水平，p_i代表产品i的价格，s_i是消费者对产品i所提供的免息消费信贷服务的偏好程度，t_i代表产品i对应信贷服务的免息期，{\xi }_i代表企业不可观察到的随机变量。消费者选择不购买时获得的效用为{\xi }_{\mathrm{0}}。

很明显，消费者购买产品i所获得的效用随着该产品质量水平和免息期的增大而增大，但随着产品价格的增大而减小。需要注意的是，本文讨论的免息信贷服务要求消费者在免息期内完成产品本金支付，在此期间无需承担任何利息费用。因此可以合理假设消费者均在免息期末端完成支付，也就是模型里提到的t_i。

免息期由于代表着时间特性，通常情况下需要对其做出下限的限制。例如，企业所提供的服务时长不可能是负的。再者，如果信贷服务的提供成本较高，企业未必会选择这条赛道。因此综合考量下，本文将这一下限设置为0，表示不提供免息消费信贷服务。

本文应用MNL模型刻画消费者的选择行为和市场需求情况，\left\{{\xi }_i\right\},i=\mathrm{0,1},\dots ,n，是独立同分布的Gumbel随机变量，即\mathrm{P}\mathrm{r}\left({\xi }_i\le x\right)=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\left(x/\beta +\eta \right)\right)\right)\mathrm{。}其中，\eta \approx \mathrm{0.577}\mathrm{2}为欧拉常数，{\xi }_i的均值E\left[{\xi }_i\right]=\mathrm{0}，标准差为\beta \pi /\sqrt[]{\mathrm{6}}。令\beta =\mathrm{1}，不失一般性。消费者只有在购买产品i获得的效用高于购买其他产品获得的效用时才会选择购买。因此，消费者选择产品i的概率可以表示为

\begin{array}{l}{d}_i\left(\mathit{t};N\right)=\mathrm{P}\mathrm{r}\left(U_i\ge U_j,\forall j\in N^{+},j\ne i\right)\\ =\frac{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left({\alpha }_i-p_i+t_i{s}_i\right)}{\mathrm{1}+\sum _j\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left({\alpha }_j-p_j+t_j{s}_j\right)}.\end{array}（2）

式中，N^{+}≔N\bigcup \{\mathrm{0}\}，并且消费者不购买任何产品的概率为d_{\mathrm{0}}\left(\mathit{t};N\right)=\mathrm{1}-\sum _{i\in N}{d}_i\left(\mathit{t};N\right)。可以直观看到消费者选择产品i的概率随着该产品免息期的增大而增大，但随着其他产品j(j\in N,j\ne i)免息期的增大而减小，这也充分表明免息期能影响消费者选择行为。

值得注意的是，虽然消费者同质，但基于{\xi }_i的效用不确定性，不同消费者可能会选择购买不同的产品。且因为我们考虑的是垄断市场，产品i的市场需求可以表示为d_i(\mathit{t};N)。

接下来讨论成本构成。首先，假设产品i的采购成本为c_i。此外，为产品提供免息消费信贷服务也会带来成本，将此项成本表示为a{p}_i{t}_i。其中a可以理解为公司销售收入的利用能力（亦可理解为公司的现金管理能力），代表公司利用已有现金进一步创造利润的整体水平。亦可用一些常见的财务指标简单解释此项参数：例如当公司将销售所得放入银行存款时，可将其理解为存款利率；当公司将销售所得用来投资外部项目时，可将其理解为公司的投资回报率等。由此可见，当公司不提供免息消费信贷服务时，a{p}_i{t}_i则是公司在免息期内通过销售收入再投资所获得的潜在回报。而当公司选择提供该服务时，因销售收入无法立刻入账，对应的潜在回报也就变成了机会成本，因此我们将此机会成本设置为消费信贷的服务成本。另外本文只考虑a为正的情况，因为若该参数非正，代表公司本身的经营情况糟糕，更不可能选择加重成本去提供免息信贷服务。并且a{p}_i{t}_i随产品的价格、对应免息期的增加而增加，这也意味着为高价产品提供免息信贷服务，或者提供较长的免息期均会为公司带来较大的成本负担。再者，可以注意到a{p}_i{t}_i这样的服务成本结构关于免息期t_i是线性的，例如简单的银行利息计算是利率乘本金乘存款期，与成本结构a{p}_i{t}_i很相似。在后续章节会进一步讨论更一般化的非线性成本结构，且本文应用的线性与非线性成本结构已有相关文献［29］支撑。

不失一般性，将市场规模归为1，此时公司的期望利润函数可以表示为

\begin{array}{c}\Pi \left(\mathit{t};N\right)=\sum _{i\in N}(p_i-c_i-a{p}_i{t}_i)·d_i\left(\mathit{t};N\right).\end{array}（3）

2 线性信贷服务成本结构下的优化决策

在现实生活中很多公司都会为消费者提供消费信贷服务，特别是线上销售平台公司，例如淘宝、京东等。其中无需支付利息的信贷服务尤其吸引消费者兴趣，而且免息期的长短毫无疑问是消费者最关切的问题。例如淘宝绑定的消费信贷服务提供方——花呗，在年轻人群体中一直保持着很高的热度。公司为进一步刺激消费，甚至会选择为顾客提供更长的免息期。在这样的背景下，我们所关注的公司的最优免息期决策问题可以表示为

\underset{\mathit{t}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\Pi \left(\mathit{t};N\right).（4）

其中，\Pi \left(\mathit{t};N\right)为等式（3）定义的利润函数。我们需要求解其最优变量，即每个产品的最优免息期。为方便定理表达，将p_i-c_i-a{p}_i/s_i定义为信贷调整后的边际利润。具体解释如下：p_i-c_i为简单的边际利润，a{p}_i是信贷服务成本a{p}_i{t}_i中关于时间的成本系数，s_i是顾客对信贷服务的偏好，因此a{p}_i/s_i可以理解为信贷服务对于边际利润的一种调整。

定理2.1 将所有产品按照信贷调整后的边际利润从大到小进行排序，那么存在l^{*}，使得产品i的最优免息期可以表示为

t_i^{*}=\left\{\begin{array}{ll}(p_i-c_i-r^{*}-a{p}_i/s_i)/(a{p}_i),& \mathrm{若}i\in S_l,\\ \mathrm{0},& \mathrm{若}i\in S_l^c.\end{array}\right.

式中，S_l=\left\{\mathrm{1,2},\dots ,l^{*}\right\},S_l^c=\{l^{*}+\mathrm{1},l^{*}+\mathrm{2},\dots ,n\}， r^{\mathrm{*}}是公司的最优利润，且r^{\mathrm{*}}是满足以下等式的唯一解

\begin{array}{l}r=\sum _{i\in S_l}\frac{a{p}_i}{s_i}exp\left({\alpha }_i-p_i-\mathrm{1}+\frac{\left(p_i-c_i-r\right)s_i}{a{p}_i}\right)+\\ \sum _{j\in S_l^c}(p_i-c_i-r)exp({\alpha }_i-p_i).\end{array}

首先，定理2.1指出公司至多只需为一个产品提供2种不同的免息期选项，即0或者(p_i-c_i-r^{*}-a{p}_i/s_i)/(a{p}_i)。这也和我们在现实生活中所见相同，例如在京东售卖的戴森HD15系列吹风机提供0期（全款购买）或者3期免息消费信贷服务。然而，现实生活中大部分公司几乎为全系列产品都提供相同的免息期（例如苹果公司为iPhone、iPad、Mac系列产品提供的免息期方案相同），这与定理2.1“每个产品赋予对应的最优免息期”不同。我们对此作出的解释主要有两方面：其一，信贷服务决策往往被平台公司决定，而非入驻在平台上的商家。平台公司依靠收取服务费盈利，并不会去进一步思考信贷策略如何调整更有利于入驻商家。其二，对于一些引入免息消费信贷的公司而言（特别是大型3C产品公司），他们的主要目的是刺激产品销量（销量提升带来的利润更为可观），而不是去进一步扩展信贷业务，因此他们往往对所有产品均采用统一的较长免息期。由于本研究的重点是同时布局产品销售业务和消费信贷业务的企业，因此，精确到单个产品的最优运营决策更有意义。

其次，定理2.1表明l^{*}对于求解是很关键的，在实际操作中一般利用算法来确定l^{*}：令l从0开始，根据当前的l确定2个集合S_l与S_l^c，进一步根据定理2.1里最优利润满足的等式求解出最优利润。然后令l的值加1，继续重复求解过程得到新的最优利润，直到得到的新的最优利润小于前一步求解出的利润，则前一步对应的l即为最优值l^{*}，算法停止。

最后，我们直观地认为，当公司销售收入利用能力足够低且顾客对信贷服务偏好足够大时，为顾客提供更长的免息期是最优的。有趣的是，事实并非如此。销售收入利用能力增大的同时带来了成本效应，使得提供信贷服务的成本愈发高昂，因此成本效应倾向于缩短免息期。但提高免息期会让顾客觉得信贷服务更有吸引力，尤其是在信贷成本增大的同时公司还坚持提高免息期，这代表着公司更高的信贷服务诚意（试想一下在高利率环境里一个公司愿意提供更长的免息借贷给顾客），顾客也因此更容易被刺激消费行为。此时提高免息期所带来的消费刺激能弥补成本效应的损失甚至带来更多利润，我们称之为信贷刺激效应。此效应则倾向于将免息期拉长，两种效应互相拉扯、影响。

同样地，顾客对消费信贷服务的偏好度对最优免息期的影响也是非单调的。偏好度越高代表顾客对公司提供的消费信贷服务越满意，也越能从中得到更多效用。此时信贷刺激效应能发挥较大作用，公司理应提高免息期以进一步刺激消费，进而获得更大的市场。但提高免息期的同时也增强了成本效应，因为提供更长的免息借贷毫无疑问会增加公司的成本压力，因此也回到了两种效应孰强孰弱的问题。

3 凸增信贷服务成本结构下的优化决策

在现实生活中，当提供较长的免息期时，企业可能会面临更高的风险。因为企业收款的时间越长，企业的财务流动性风险就越大。因此我们接下来研究更一般化的信贷服务成本结构（关于时间呈凸性递增）下的最优免息期决策问题。此时企业的利润函数可表示为

\begin{array}{c}{\Pi }_V\left(\mathit{t};N\right)=\sum _{i\in N}(p_i-c_i-a{p}_i{v}_i(t_i))·d_i\left(\mathit{t};N\right).\end{array}（5）

式中，v_i\left(t_i\right)关于t_i是凸增的，即对于任意产品i\in N都有v_i^{\text{'}}\left(t_i\right)\ge \mathrm{0}和v_i^{″}\left(t_i\right)\ge \mathrm{0}。本节将用到两种这样的成本结构：1）指数型信贷服务成本结构v_i\left(t_i\right)=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(k{t}_i\right)，和2）二次型信贷服务成本结构v_i\left(t_i\right)=k{t}_i^{\mathrm{2}}，这样的成本结构在文献［29］中也得到了运用。2种结构中的k都代表着成本增长率，即k越大代表着成本随时间的增幅越大，且k\ge \mathrm{0}。下面将给出2种成本结构下每种产品的最优免息期决策（对应本节的2条定理），并总结出决策共性。

为方便表达，将p_i-c_i-\left(k+s_i\right)a{p}_i/s_i定义为增强信贷调整后的边际利润，具体解释与上一节类似，不同的是引入更一般化的信贷成本结构后，信贷成本对于利润的调整增强了，具体体现为ka{p}_i/s_i中的系数k。指数型信贷服务成本结构下公司的最优免息期决策问题可以表示为

\underset{\mathit{t}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\sum _{i\in N}(p_i-c_i-a{p}_{i}exp\left(k{t}_i\right))·d_i\left(\mathit{t};N\right).（6）

定理3.1 将所有产品按照增强信贷调整后的边际利润从大到小进行排序，那么存在m^{*}，使得产品i的最优免息期可以表示为

{\overline{t}}_i^{*}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{1}}{k}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\frac{\left(p_i-c_i-{\overline{r}}^{*}\right)s_i}{\left(k+s_i\right)a{p}_i}\right),& \mathrm{若}i\in S_m,\\ \mathrm{0},& \mathrm{若}i\in S_m^c.\end{array}\right.

式中，S_m=\left\{\mathrm{1,2},\dots ,m^{*}\right\},S_m^c=\{m^{*}+\mathrm{1},m^{*}+\mathrm{2},\dots ,n\}，{\overline{r}}^{*}是公司的最优利润，且{\overline{r}}^{*}是满足以下等式的唯一解

r=\sum _{i\in S_m}\left(\frac{p_{i}k-c_{i}k-kr}{k+s_i}\right)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[{\alpha }_i-p_i+\frac{s_i}{k}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\frac{\left(p_i-c_i-r\right)s_i}{\left(k+s_i\right)a{p}_i}\right)\right]+\sum _{j\in S_m^c}(p_j-c_j-a{p}_j-r)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({\alpha }_j-p_j).

二次型信贷服务成本结构下公司的最优免息期决策问题可以表示为

\underset{\mathit{t}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\sum _{i\in N}(p_i-c_i-a{p}_{i}k{t}_i^{\mathrm{2}})·d_i\left(\mathit{t};N\right).（7）

定理3.2 产品i\in N的最优免息期为{\tilde{t}}_i^{*}=\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{s_i^{\mathrm{2}}}+\frac{p_i-c_i-{\tilde{r}}^{*}}{a{p}_{i}k}}-\frac{\mathrm{1}}{s_i}， 其中{\tilde{r}}^{\mathrm{*}}是公司的最优利润，且{\tilde{r}}^{\mathrm{*}}是满足以下等式的唯一解

r=\sum _{i\in N}(p_i-c_i-a{p}_{i}k{{\tilde{t}}_i^{*}}^{\mathrm{2}}-r)exp({\alpha }_i-p_i+{\tilde{t}}_i^{*}{s}_i).

接下来对定理2.1、3.1和3.2做出更整体性的总结。首先，与定理2.1保持一致，定理3.1和3.2得出的最优免息期关于参数a和s_i均并不具有单调性。其次，无论在线性成本结构或非线性的成本结构下，都可以根据这3条定理得出一个垄断企业所提供产品的最优免息期决策。而且这3条定理本质上都将对应的多产品优化问题转化成了单变量寻根问题（所寻的根就是对应情况下公司的最优整体利润），而且可以直接利用二分法完成寻根，以降低计算难度，增加现实生活中企业应用的可能性。

最后，回顾3条定理所给出的最优免息期公式，可以发现3个公式均包含类似的参数项：\left(p_i-c_i-r\right)/(a{p}_i)，这也验证了本研究的稳健性。此项的分子p_i-c_i-r可以定义为产品i的一种调整利润，可将其视为信贷刺激效应的强度，因为信贷刺激的实际效果本就应该反映在利润这一结果中。此项的分母a{p}_i则可定义为成本效应的强度，因为a{p}_i{t}_i是公司提供信贷服务的成本。基于这样的理解，不妨将\left(p_i-c_i-r\right)/(a{p}_i)定义为信贷刺激效应与成本效应相互作用的因子。分子越大，分母越小代表此时信贷刺激效应压过成本效应，公司理应提供更长的免息期来抓住此时信贷刺激效果较好的机遇。

4 数值分析

前文在不同的消费信贷服务成本结构下为企业应该如何做好消费信贷免息期决策进行了指导。为了更加具体地分析不同重要参数变化对企业利润和免息期决策的影响，为了回答统一免息期决策与本文讨论的产品个体化免息期决策孰优孰劣等实际问题，本节对模型进行数值仿真分析，从公司销售收入利用能力、消费者信贷服务偏好度、统一免息期优劣性这3个因素的影响展开，并从中凝练出管理启示。

与前述章节的假设一致，应用MNL模型来刻画消费者的需求，市场中存在一个销售3款可替代产品的垄断企业；数值基础设置为：p_{\mathrm{1}}=\mathrm{5.5}， c_{\mathrm{1}}=\mathrm{2}， {\alpha }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.5}， s_{\mathrm{1}}=\mathrm{1.2}； p_{\mathrm{2}}=\mathrm{7}， c_{\mathrm{2}}=\mathrm{3}， {\alpha }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}， s_{\mathrm{2}}=\mathrm{1.2}； p_{\mathrm{3}}=\mathrm{6.5}， c_{\mathrm{3}}=\mathrm{2.5}， {\alpha }_{\mathrm{3}}=\mathrm{1}， s_{\mathrm{3}}=\mathrm{1.2}。

4.1 公司销售收入利用能力的影响

正如前文所说，公司销售收入利用能力很大程度上影响消费信贷的成本，从而进一步影响免息期决策。此项参数是消费信贷免息期决策中很重要的一个因素，但由于很难直接判断最优免息期关于这项参数的单调性，因此我们从数值算例的角度进行分析，以探讨此项参数如何影响免息期决策。

公司销售收入利用能力的范围设置为0.01～0.1，步长为0.01。观察公司的最优免息期决策如何随着此参数的变化而变化。由图1可知，随该参数的增大，产品2和3的最优免息期持续减小，而产品1的最优免息期先增后减。结合3.2节的讨论可以做出解释：对于产品2和3而言，公司销售收入利用能力增大的同时带来了成本效应，使得提供信贷服务的成本愈发高昂，因而缩短免息期是更有益的决策。而产品1的最优免息期后续为何会出现先增后减的情况？我们认为在成本增大的同时如果公司还坚持提高免息期，这代表着公司更高的信贷服务诚意（试想一下在高利率环境里一个公司愿意提供更长的免息借贷给顾客，顾客也因此更容易被刺激消费行为）。此时提高免息期所带来的消费刺激能弥补成本效应的损失甚至带来更多利润，我们称之为消费刺激效应。当信贷刺激效应短暂地压过成本效应时，则会出现最优免息期先增后减的情况。此外，从数值的角度来看，利润边际明显低于其他同类的产品往往会出现最优免息期先增后减的情况（产品1的利润边际则低于产品2、3）。如果随机变化3个产品的利润边际再次分析，也会得到相同的结果。此外，公司利润均随其销售收入利用能力的增加而减小，如图2所示。

4.2 消费者信贷服务偏好度的影响

消费信贷是企业提供给消费者的支付选项之一，顾客主观层面对此项服务的偏好是影响信贷服务免息期决策的重要因素，因此我们希望从数值分析的角度探索偏好度变化对免息期决策的影响。值得注意的是，消费者偏好度不是单一不变的，例如顾客整体经济能力向上时，信贷偏好度很可能会下降；偏好度本身也会随着产品的生命周期发生变化，顾客对新系列产品的偏好度相较于旧系列会更高。因此需要灵活掌握顾客偏好度的变化，从而做出更有利的相关信贷决策。

如图3所示，当产品1对应的服务偏好度从1增至3，步长为0.2时，3个产品的最优免息期都在减小。对于产品1来说，即使顾客对信贷服务的偏好度在提升，此时公司也无法在价格维度进行决策，即定出较高的价格来弥补成本效应。而对于另外2个产品而言，竞品的吸引力增加当然会使自己暗淡。当分别同样变化产品2或者产品3的服务偏好度时，3个产品的最优免息期也相应减小。此外，公司利润均随顾客对信贷服务偏好度的增加而增加，如图4所示。

4.3 统一最优免息期的优劣

所谓统一免息期，是指公司为所有产品都提供一致的消费信贷免息期选项，而非像本研究所探讨的为每一款产品都提供专属的最优免息期选项。为了方便后续的表达，我们将统一免息期支付选项称为方案1，另一种支付选项称为方案2。整体来看，方案1可能会为公司节省信贷服务上的运营费用，公司实施统一的方案更加容易，而且在现实生活中也存在部分公司采用统一免息期的决策。但方案2往往会带来公司整体利润上的提升，其定制化般的性质更能抓住消费者的兴趣。因此我们希望从数值算例的角度去探讨哪些公司在何种情况下更适合方案1或者2，并从中总结出一些共性结论。

将公司销售收入利用能力的范围设置为0.01～0.06，步长为0.005，观察该参数变化时2种免息期方案的利润表现差异。如图5所示，当企业销售收入利用能力不高时，方案2展现出极大的优越性，其利润相比于方案1提高11.6% （a=0.015）、11.2%（a=0.02）和10.8%（a=0.025）。然而当企业销售收入利用能力提高时，方案2虽仍有轻微利润优势，但未拉开较大差距。现实例子也可以印证我们的结果：苹果公司的销售收入利用能力非常高，其iPhone、iPad、Mac系列产品所提供的免息信贷服务均采用统一免息期，而非精确到产品个体的免息期。

最后，不妨从数值的角度，来回答前面提出的一些更为实际的问题。第1个问题：什么样的产品往往值得附加较长的免息期？数值结果显示，利润边际越大的产品，利用消费信贷的刺激效果得到的回报也相应越大，因此其对应的最优免息期也越长。换句话说，边际利润相同的产品可以考虑提供一致的免息期，这对于公司的整体利润影响可能并不大。第2个问题，哪些公司在何种情况下更适合方案1或者方案2。数值结果显示，当公司的现金管理能力并不突出（销售收入利用能力并不强）的时候，利用方案2免息信贷刺激消费带来的利润有显著提升。而当公司从现金到现金的营运能力很强时，其主营业务或者投资业务的利润能力极强，免息信贷带来的利润也就相形见绌了，此时方案2虽仍有轻微利润优势，但未拉开较大差距。

5 结语

本文以免息消费信贷为背景，将消费者对免息信贷服务的反应考虑到企业的信贷服务决策中，建立MNL模型，分别在线性和非线性信贷服务成本结构下得到企业的最优免息期决策，本质上都是将多产品最优问题转化成单一变量寻根问题。

此外，在分析2个重要参数（公司销售收入利用能力和消费者信贷服务偏好度）对最优免息期的影响时，我们发现两点有趣的反直觉结论：最优免息期并不一定随着信贷服务成本的提升而缩减；最优免息期也并不一定随着顾客对信贷服务偏好度的提升而增加。我们对此作出的解释也是贯穿本文的重要概念，即信贷刺激效应与成本效应的相互作用。

最后，利用数值仿真分析不同重要参数变化对企业利润和免息期决策的影响。算例结果再次论证了上述反直觉结论，并且表明利润边际越大的产品，其对应的最优免息期也越长。为每个产品提供专属的最优免息期方案整体利润均高于统一免息期方案，尤其是当企业的销售收入利用能力不强时，前一方案的利润提升更加显著。最后，对于竞争市场，考虑消费者对免息信贷服务的偏好反应下，如何决策免息期、价格抑或是多种维度的联合决策等，仍有待进一步研究。

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基金资助

国家自然科学基金(71971200)