多补偿融合的气动末端柔顺机构非线性自抗扰控制

Pneumatic Compliant End-effector Using Multi-compensation Integrated Nonlinear Active Disturbance Rejection Control

摘要

在基于气动末端柔顺机构的机器人打磨作业中，机构恒力控制性能直接影响打磨质量和效率。为了提高机构恒力控制性能，针对末端柔顺机构气动系统气体压缩、比例阀死区、气缸活塞摩擦力等非线性因素以及机构姿态变化对打磨端输出力的影响，提出一种融合重力补偿、死区补偿及LuGre摩擦模型补偿的非线性自抗扰控制算法。该算法采用跟踪微分器对输入信号进行过渡，利用扩张状态观测器对系统的总扰动进行观测，通过非线性状态误差反馈控制规律进行反馈和总扰动补偿；分析打磨装置所受重力在不同打磨角度下对输出力的影响，通过试验获得比例阀进气和排气的最小工作电压，基于LuGre摩擦模型通过试验拟合出气缸的非线性摩擦力，在此基础上设计重力、比例阀死区和气缸摩擦力补偿，而后在所搭建的实验台上开展多工况模拟实验。实验结果表明：所设计控制器在50 N加载下的平均误差为0.21 N，小于比例积分微分（PID）控制的0.27 N；在打磨角度从0°至75°变化的50 N加载中，打磨端输出力的误差最大为1.44 N；在存在干扰的50 N加载下的最大误差为7.24 N，小于常规自抗扰控制的11.79 N和PID控制器的14.77 N。该控制算法相对于传统PID控制具有更好的鲁棒性、跟踪性和抗干扰能力，而且针对打磨姿态变化的末端输出力有较好的补偿效果，提高了系统的恒力控制性能。

Abstract

Objective In robotic polishing operations, an end-effector polishing mechanism is typically used to achieve constant force control. Therefore, the performance of this control directly affects the quality and efficiency of the polishing process. Among various end-effector mechanisms, the pneumatic type is widely adopted due to its lightweight structure, low cost, robustness, and ease of maintenance. This paper focuses on achieving constant force control in a pneumatic end-effector compliant mechanism. Methods Achieving constant force control in this mechanism is challenging due to nonlinear factors within the pneumatic system (such as gas compression, proportional valve dead zones, and cylinder friction) and the effects of posture changes on output force. A novel control algorithm is proposed, integrating five components: nonlinear active disturbance rejection control, gravity compensation, dead zone compensation, LuGre friction model compensation, and data filtering.Nonlinear active disturbance rejection control: A tracking differentiator preprocesses the input signal to reduce overshoot, yielding a tracking signal and its derivative. An extended state observer estimates total system disturbance in real time. A nonlinear state error feedback law performs error correction and compensates for the observed disturbance. Gravity compensation: A gravity compensation strategy is developed based on the relationship between gravitational force on the mechanism and its output force at different polishing angles. Dead zone compensation: Minimum and maximum working voltages of the proportional valve are experimentally determined. These voltages are used to design mid-position compensation, reducing the dead zone’s impact on control performance. LuGre friction model compensation: Friction data is collected under varying cylinder speeds. LuGre model parameters are fitted, and a compensation strategy is developed to offset frictional disturbances during piston movement.Data filtering: A first-order low-pass filter is integrated into the controller to reduce high-frequency noise in the force sensor readings and enhance control accuracy.The control algorithm is implemented on an STM32F103 microcontroller operating at 50 Hz. Supporting circuits for the pneumatic actuator are designed, and a test bench is constructed to simulate robot polishing conditions. To mimic posture changes during polishing, the platform angle is manually adjusted using a screw. In addition, to simulate the position errors that may occur during the robot’s motion trajectory planning, a stepper motor with a ball screw is used to control the movement of the connection end of the pneumatic end-effector compliant polishing mechanism closer to or further away from the polishing surface. A variety of working condition simulation experiments were conducted, including:1) constant force loading experiments and sinusoidal force loading experiments with the pneumatic end-effector compliant mechanism in a vertically downward position; 2) variable-angle constant force loading experiments involving changes in the polishing posture of the pneumatic end-effector compliant mechanism; 3) external disturbance loading experiments involving vertical movement of the connecting section of the pneumatic end-effector compliant mechanism. Results and Discussions Under a set force of 50 N, the designed controller exhibited an average error of 0.21 N and a standard deviation of 0.18 N. This performance is better than that of PID control, which had an average error of 0.27 N and a standard deviation of 0.21 N. In two sinusoidal force tracking experiments with periods of 8 s and 4 s, the results showed that for the 8 s period, the designed controller’s tracking performance was comparable to PID control, but with smaller tracking error at extreme points. For the 4 s period, the PID-controlled tracking curve exhibited distortion, whereas the designed controller showed some lag but remained closer to the desired values. Under a 50 N loading with polishing angles varying from 0° to 75°, the controller with gravity compensation had a maximum error of 1.44 N. In contrast, the controller without gravity compensation showed a significant decline in end-effector output force as the polishing angle increased, with a maximum error of 8.82 N. Under the same loading with disturbances present, the designed controller achieved a maximum error of 7.24 N, compared to 11.79 N with conventional disturbance rejection control and 14.77 N with PID control. These results indicate that the designed controller performs better in the presence of disturbances. Conclusions The experimental results demonstrate that the proposed control algorithm offers superior robustness, tracking performance, and disturbance rejection compared to traditional PID control. In addition, it effectively compensates for changes in polishing angle, thereby improving the constant force control performance of the pneumatic end-effector actuator.

Graphical abstract

关键词

力控制 / 气动系统 / LuGre摩擦模型补偿 / 重力补偿 / 自抗扰控制

Key words

force control / pneumatic system / LuGre friction model compensation / gravity compensation / active disturbance rejection control

本刊网刊

18 网络出版日期:2024 ‒ 06 ‒ 04

在打磨工作中，打磨工具和工件之间的恒接触力性能将影响工件的打磨质量和打磨效率^[1‒2]。在众多打磨系统中，气动系统^[3‒4]因其质量小、成本低和维护简单等优势成为机器人末端打磨柔顺控制研究的热点之一。然而，气动系统面临的非线性问题，如气缸摩擦力^[5]、气体流动状态的复杂性和比例阀的中位死区^[6]等，导致其数学建模复杂，难以通过精确建模实现力的高精度控制^[4]。

针对上述问题，学者们提出了多种控制策略，并取得了显著成果。黄婷^[7]和Nuchkrua^[8]等将基于模糊控制的自适应性和PID控制结合运用在气动系统中，提高了系统的控制精度；刘福才^[9]等将模糊控制和自适应逆控制算法结合，提出一种气动加载系统的模糊自适应逆控制方法，实现了对比例阀的精确控制；Xu^[6]和Meng^[10]等针对比例流量阀的中位死区设计了控制器进行死区补偿，提高了系统的响应速度；Meng^[11]和魏琼^[12]等选择LuGre模型表征气动系统摩擦，设计了相应的控制器，提高了系统响应速度和轨迹跟踪精度；Taheri^[13]和Jouppila^[14]等对气动系统进行精确建模，设计了与之对应的滑模控制器，提高了系统控制精度；Chen等^[15]针对气动系统的固有非线性提出了一种Bezier的状态拟合方法代替传统的多项式状态拟合方法，用较低阶模型以连续形式而不是分段形式更平滑地校准系统的固有非线性；Fan^[16]和Pei^[17]等利用反向传播（BP）神经网络实现对PID参数进行自调节，取得了良好的控制效果。此外，不少学者对气动末端柔顺机构采用了一种不依赖于精确数学模型的控制算法，自抗扰控制（ADRC）^[18‒20]，但多数研究未考虑打磨角度变化后打磨装置所受重力对打磨力的影响，以及气缸伸缩产生的摩擦力对打磨力的影响。

为此，本文提出了一种多补偿融合自抗扰控制的气动柔顺末端打磨机构恒力控制算法。该方法在非线性自抗扰控制的基础上加入了重力补偿、死区补偿和LuGre摩擦模型补偿，以提高系统的恒力控制性能。

1 系统结构与建模

1.1 气动系统及多工况模拟实验台

基于气动柔顺末端机构的机器人在打磨过程常出现如图1所示的3种工况：1）工况1，打磨过程中打磨装置保持垂直向下的平面打磨；2）工况2，打磨过程中打磨装置的打磨角度变化的曲面打磨；3）工况3，机器人规划的运动轨迹和理想轨迹存在误差的打磨工况，即存在外部干扰。

为了对以上3种常见的打磨工况进行模拟实验，设计气动系统及多工况模拟实验台整体结构如图2所示。实验台主要包括3部分。1）气动部分：气源、气动三联件以及比例流量阀；2）工况模拟部分：末端打磨装置（气缸、角度传感器、位移传感器）、力传感器1、力传感器2、滚珠丝杠、步进电机以及手摇丝杠平台（平台变化角度θ：0°~75°）；3）控制部分：功率放大器、STM32单片机、数据采集卡、上位机。图2中，u为控制电压，F_m为力传感器1的测量力信号，F_n为力传感器2的测量力信号，θ为打磨平台变化的角度，v为活塞杆伸出的位移信号，x为活塞位移。

利用手摇丝杆平台改变倾斜角度，模拟工况2中打磨装置打磨角度的变化。利用步进电机驱动滚珠丝杠模拟工况3中机器人规划的轨迹和理想规划轨迹之间的误差。利用力传感器2模拟被打磨件实时测量打磨端输出力。

系统控制过程如下：通过数据采集卡采集力传感器1的力信号反馈给单片机，在单片机中进行反馈控制后输出控制量信号，该信号经过功率放大器处理传输给比例流量阀调节阀的开口大小，从而实现对气缸A腔气压的调节。

1.2 气动恒力打磨系统建模

上述气动系统主要由比例流量阀、气缸和压力反馈3部分组成。

1）比例流量阀模型

依据Sanvile流量公式可得，由比例流量阀控制进入气缸腔内的气体质量流量^[21]为：

q=\frac{C_{\mathrm{f}}{A}_{\mathrm{v}}{p}_{\mathrm{u}}}{\sqrt[]{T}}\phi \left(\frac{p_{\mathrm{d}}}{p_{\mathrm{u}}}\right)=\frac{C_{\mathrm{f}}W{x}_{\mathrm{v}}{p}_{\mathrm{u}}}{\sqrt[]{T}}\phi \left(\frac{p_{\mathrm{d}}}{p_{\mathrm{u}}}\right)（1）

其中，

（2）

b_{\mathrm{c}\mathrm{r}}={\left(\frac{\mathrm{2}}{k+\mathrm{1}}\right)}^{\frac{k}{k-\mathrm{1}}}（3）

式（1）~（3）中：q为比例流量阀进入气缸腔内的气体流量；C_f为流量系数；A_v为比例流量阀的有效开口面积；p_u为比例流量阀的进口压力；p_d为出口压力；R为理想气体常数；T为腔内气体的热力学温度；W为比例流量阀开口面积梯度；x_v为比例流量阀的阀芯位移；\phi为中间变量；b_cr为临界压力比；k为绝热系数，取k=1.4^[22]。

比例阀驱动的响应速度远大于气缸活塞的响应速度^[23]，故比例流量阀的运动输入输出特性如式（4）所示：

x_{\mathrm{v}}=K_{\mathrm{v}}u（4）

式中，K_v为电压和位置之间的增益系数。

2）气缸模型

假设气缸内为理想气体，满足理想气体状态方程p=ρRT，且活塞处于气缸中部，气缸内没有气体泄漏，结合式（1）~（4），得气缸内A腔的进气、出气压力模型如下：

{\dot{p}}_{\mathrm{a}}=\left\{\begin{array}{l}\frac{R\sqrt[]{T}{C}_{\mathrm{f}}W{K}_{\mathrm{v}}u{p}_{\mathrm{u}}}{V_{\mathrm{10}}+A_{\mathrm{a}}\left(l/\mathrm{2}+x\right)}\phi \left(\frac{p_{\mathrm{a}}}{p_{\mathrm{u}}}\right)-\frac{p_{\mathrm{a}}\dot{x}}{l/\mathrm{2}+x},\mathrm{进气};\\ -\frac{R\sqrt[]{T}{C}_{\mathrm{f}}W{K}_{\mathrm{v}}u{p}_{\mathrm{a}}}{V_{\mathrm{10}}+A_{\mathrm{a}}\left(l/\mathrm{2}+x\right)}\phi \left(\frac{p_{\mathrm{c}}}{p_{\mathrm{a}}}\right)-\frac{p_{\mathrm{a}}\dot{x}}{l/\mathrm{2}+x},\mathrm{出气}\end{array}\right.（5）

式中，p_a为气缸A腔的气体压强，ρ为气体密度，p_c为大气压力，V₁₀为A腔的死区容积，A_a为A腔的有效截面积，l为气缸活塞行程。

3）压力反馈模型

忽略气缸摩擦力，对气缸进行受力分析，得气缸活塞的力平衡方程为：

p_{\mathrm{a}}{A}_{\mathrm{a}}-p_{\mathrm{c}}{A}_{\mathrm{b}}=m\ddot{x}+B\dot{x}+K_{\mathrm{f}}x-mg\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta（6）

式中，m为活塞杆重量，B为等效弹簧阻尼，K_f为等效刚度，A_b为B腔的有效截面积。

根据胡克定律定义打磨装置末端输出力F_n=K_f x，结合比例流量阀、气缸和压力反馈3部分的数学模型，并定义状态变量[x₁,x₂,x₃]=[F_n,F{}_{\mathrm{n}}^{\text{'}},p_a]，F{}_{\mathrm{n}}^{\text{'}}为F_n对应的反作用力，得气动系统的状态空间方程如下：

\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_{\mathrm{1}}=x_{\mathrm{2}};\\ {\dot{x}}_{\mathrm{2}}=\frac{K_{\mathrm{f}}}{m}(x_{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{a}}-p_{\mathrm{c}}{A}_{\mathrm{b}}-\frac{B}{K_{\mathrm{f}}}{x}_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})+g{K}_{\mathrm{f}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta ;\\ {\dot{x}}_{\mathrm{3}}=\left\{\begin{array}{l}g(x_{\mathrm{1}})p_{\mathrm{u}}\phi \left(\frac{x_{\mathrm{3}}}{p_{\mathrm{u}}}\right)u-\frac{x_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{2}}}{K_{\mathrm{f}}l/\mathrm{2}+x_{\mathrm{1}}},\mathrm{进气};\\ -g(x_{\mathrm{1}})x_{\mathrm{3}}\phi \left(\frac{p_{\mathrm{c}}}{x_{\mathrm{3}}}\right)u-\frac{x_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{2}}}{K_{\mathrm{f}}l/\mathrm{2}+x_{\mathrm{1}}},\mathrm{出气};\end{array}\right.\\ y=x_{\mathrm{1}};\\ g(x)=\frac{R\sqrt[]{T}{C}_{\mathrm{f}}W{K}_{\mathrm{v}}}{V_{\mathrm{10}}+A_{\mathrm{a}}\left(l/\mathrm{2}+x/K_{\mathrm{f}}\right)}\end{array}\right.（7）

2 控制器设计

针对机构气动系统中比例阀中位死区、气缸摩擦力等非线性因素以及机构姿态变化对打磨端输出力的影响，本文提出一种融合重力补偿、死区补偿及摩擦力补偿的非线性自抗扰控制算法。该控制算法的结构如图3所示，主要包括：1）跟踪微分器（TD）；2）扩张状态观测器（ESO）；3）非线性状态误差反馈控制率（NLSEF）；4）重力补偿、比例流量阀中位死区补偿以及摩擦力补偿。

图3中，F_d为设定目标力，F{}_{\mathrm{d}}^{\text{'}}为对F_d重力补偿后的目标力，v₁为对F{}_{\mathrm{d}}^{\text{'}}的跟踪信号，v₂为对F{}_{\mathrm{d}}^{\text{'}}的微分信号，F_m为力传感器的测量力信号，F_out为经过低通滤波后的F_m信号，z₂为输出力的微分信号的估计值，z₃为总扰动的估计值，u_c1死区补偿后的控制量，u_c2为摩擦力补偿后的控制量，b₀为控制增益的估计值，e₁、e₂为误差，u₀为非线性状态误差反馈控制率生成的控制量。

2.1 跟踪微分器

跟踪微分器能够迅速跟踪输入信号并生成对应微分信号，在输入信号发生突变时，给输入信号安排过渡，有助于减小系统超调，同时还可降低信号源的噪声^[24‒25]。跟踪微分器的离散形式如下：

\left\{\begin{array}{l}{f}_{\mathrm{h}}=\mathrm{f}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(v_{\mathrm{1}}\left(k\right)-F_{\mathrm{d}}^{\text{'}}(k),v_{\mathrm{2}}\left(k\right),r_{\mathrm{0}},h_{\mathrm{0}}\right),\\ v_{\mathrm{1}}\left(k+\mathrm{1}\right)=v_{\mathrm{1}}\left(k\right)+h{v}_{\mathrm{2}}\left(k\right),\\ v_{\mathrm{2}}\left(k+\mathrm{1}\right)=v_{\mathrm{2}}\left(k\right)+h{f}_{\mathrm{h}}\end{array}\right.（8）

式中，f_h为中间变量，fhan为最速综合函数，h为采样步长，h₀为滤波因子，r₀为速度因子。

fhan(s₁,s₂,r₀,h₀)函数的表达式如下：

\left\{\begin{array}{l}d=r_{\mathrm{0}}{h}_{\mathrm{0}};\\ d_{\mathrm{0}}=h_{\mathrm{0}}d;\\ y=s_{\mathrm{1}}+h_{\mathrm{0}}{s}_{\mathrm{2}};\\ a_{\mathrm{0}}=\sqrt[]{d^{\mathrm{2}}+\mathrm{8}{r}_{\mathrm{0}}\left|y\right|};\\ a=\left\{\begin{array}{l}{s}_{\mathrm{2}}+\left(a_{\mathrm{0}}-d\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\left(y\right)/\mathrm{2},\left|y\right|>d_{\mathrm{0}};\\ s_{\mathrm{2}}+y/h_{\mathrm{0}},\left|y\right|\le d_{\mathrm{0}};\end{array}\right.\\ \mathrm{f}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}(s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}},r_{\mathrm{0}},h_{\mathrm{0}})=-\left\{\begin{array}{l}{r}_{\mathrm{0}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\left(a\right),\left|a\right|>d;\\ r_{\mathrm{0}}a/d,\left|a\right|\le d\end{array}\right.\end{array}\right.（9）

式中，s₁=v₁-F{}_{\mathrm{d}}^{\text{'}}，s₂=v₂，r₀和h₀为函数的速度和滤波控制变量，a、a₀、d、d₀、y为fhan(s₁,s₂,r₀,h₀)函数的中间变量。

2.2 扩张状态观测器

扩张状态观测器用于实时估计系统的总扰动，为之后在系统中对扰动进行补偿打下基础，其工作特性直接影响自抗扰控制器的控制效果^[26‒27]。

扩张观测器建立过程如下：把式（7）所示系统中的非线性耦合部分等干扰视为总扰动，则系统可简化为式（10）。

\left\{\begin{array}{l}{\ddot{F}}_{\mathrm{n}}=f(F_{\mathrm{m}},F_{\mathrm{m}}^{\text{'}},p_{\mathrm{a}},\theta ,t)+bu,\\ y=F_{\mathrm{m}}+mg\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \end{array}\right.（10）

式中，b为不确定控制增益，F{}_{\mathrm{m}}^{\text{'}}为F_m对应的反作用力。

定义状态变量[x₁,x₂]=[F_m,F{}_{\mathrm{m}}^{\text{'}}]，将f(F_m,F{}_{\mathrm{m}}^{\text{'}},p_a,\theta ,t)作为被扩张的状态变量x₃，z₁、z₂、z₃分别作为观测器对状态量x₁、x₂、x₃的观测值，扩张状态观测器设计如下：

\left\{\begin{array}{l}e=z_{\mathrm{1}}-F_{\mathrm{m}},\\ {\dot{z}}_{\mathrm{1}}=z_{\mathrm{2}}-{\beta }_{\mathrm{01}}e,\\ {\dot{z}}_{\mathrm{2}}=z_{\mathrm{3}}-{\beta }_{\mathrm{02}}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\left(e,\alpha ,{\delta }_{\mathrm{1}}\right)+b_{\mathrm{0}}u,\\ {\dot{z}}_{\mathrm{3}}=-{\beta }_{\mathrm{03}}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\left(e,\alpha ,{\delta }_{\mathrm{1}}\right)\end{array}\right.（11）

式中：e为误差；β₀₁、β₀₂、β₀₃以及α和δ₁为观测器的参数；fal函数为引入的非线性函数，表达式^[28]如下：

\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\left(e,\alpha ,\delta \right)=\left\{\begin{array}{l}e/{\delta }^{\left(\mathrm{1}-\alpha \right)},\left|e\right|\le \delta ;\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\left(e\right){\left|e\right|}^{\alpha },\left|e\right|>\delta \end{array}\right.（12）

式中，\delta为影响滤波效果的常数。

2.3 非线性状态误差反馈控制率

如图3所示，基于跟踪微分器（TD）产生的跟踪信号v₁、微分信号v₂、传感器测得被滤波处理后的信号F_out、观测器估计出的信号z₂，可得到两个误差信号：e₁=v₁-F_out，e₂= v₂-z₂。利用两个误差信号组成非线性状态误差反馈控制率如下：

u_{\mathrm{0}}={\beta }_{\mathrm{1}}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\left(e_{\mathrm{1}},{\alpha }_{\mathrm{1}},{\delta }_{\mathrm{2}}\right)+{\beta }_{\mathrm{2}}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\left(e_{\mathrm{2}},{\alpha }_{\mathrm{2}},{\delta }_{\mathrm{2}}\right)（13）

式中，0<α₁<1<α₂^[29]，δ₂为控制率变量。

在生成控制量u₀后对扩张状态观测器估计的总扰动补偿方式如下：

u=\left(u_{\mathrm{0}}-z_{\mathrm{3}}\right)/b_{\mathrm{0}}（14）

2.4 重力补偿、死区补偿和摩擦力补偿

2.4.1 重力补偿

因气缸受自身重力的影响，力传感器采集到的力信号与末端输出力大小并不相等。为了获得稳定的输出力，需要进行重力补偿。图4为打磨装置倾斜时的受力分析。

由图4可得：

F_{\mathrm{n}}^{\text{'}}=m_{\mathrm{1}}g\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +F_{\mathrm{m}}^{\text{'}}（15）

式中，m₁为打磨装置的总质量。

由式（15）可知，如果传感器测量值F_m为恒定值，当打磨角度变化，F_n也会改变，为保证在打磨角度变化时打磨装置末端输出力F_n恒定，本文对控制目标F_d进行补偿，补偿方式如下：

F_{\mathrm{d}}^{\text{'}}=F_{\mathrm{d}}-m_{\mathrm{1}}g\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta（16）

当F{}_{\mathrm{d}}^{\text{'}}→F_m，系统趋于稳定，结合式（15）、（16）得：

F_{\mathrm{n}}^{\text{'}}=F_{\mathrm{d}} 即 F_{\mathrm{n}}=F_{\mathrm{d}}（17）

打磨装置的总质量m₁=0.95 kg。重力补偿效果如图5所示，末端输出力F_n随打磨角度θ改变的理论值和实验结果变化趋势吻合，表明重力补偿有可行性。

2.4.2 死区补偿

比例流量阀存在中位死区，且比例流量阀阀芯位移为0时阀口处于出气阶段，为了使阀口快速处于进气阶段，提高系统的响应速度，对控制量u进行死区补偿，补偿方式如下：

（18）

式中，u_b1为通过实验获得的阀口进气最小工作电压，u_b2为通过实验获得的阀口出气最大工作电压。

2.4.3 摩擦力补偿

活塞杆从静止到运动会产生摩擦力，为了减弱该摩擦力对系统控制性能的影响，对其建立LuGre摩擦模型，并在控制量u_c1中进行补偿。

1）摩擦力建模

LuGre摩擦模型的数学表达式为^[30]：

f={\sigma }_{\mathrm{0}}z+{\sigma }_{\mathrm{1}}\mathrm{d}z/\mathrm{d}t+{\sigma }_{\mathrm{2}}v（19）

式中，σ₀、σ₁、σ₂为3个摩擦系数，分别为气缸内壁鬓毛刚度、鬓毛阻尼、鬓毛黏性系数。

鬓毛平均变形程度z的微分形式为：

\mathrm{d}z/\mathrm{d}t=v-{\sigma }_{\mathrm{0}}z\left|v\right|/g(v)（20）

g(v)=F_{\mathrm{c}}+(F_{\mathrm{s}}-F_{\mathrm{c}}){\mathrm{e}}^{-(v/v_{\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{2}}}（21）

式中：F_c为库仑摩擦力；F_s为最大静摩擦力；v_s为摩擦力最小时的速度；g(v)为非线性静态函数，用于描述不同的摩擦效应。

当气缸处于匀速运动或静止，即dz/dt=0时，联合式（19）~（21）得到LuGre摩擦力模型如下：

f=(F_{\mathrm{c}}+(F_{\mathrm{s}}-F_{\mathrm{c}}){\mathrm{e}}^{-(v/v_{\mathrm{s}}{)}^{\mathrm{2}}})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}v+{\sigma }_{\mathrm{2}}v（22）

由于符号函数sign不可导，用2arctan(15v)/π代替sign v，使拟合出的模型更接近测量值。为得到以上参数的具体值，通过实验拟合出摩擦曲线并对其进行参数辨识。测试方法如下：固定活塞杆，控制步进电机匀速转动带动滚珠丝杠螺母匀速移动，确保活塞杆伸出和收缩匀速，利用力传感器1完成一组运动状态下的气缸摩擦力测量，之后改变螺母移动速度重复上述步骤。根据测试结果拟合出摩擦力和活塞杆伸出速度的关系曲线并结合式（22）对其进行参数辨识。图6和表1为摩擦力的拟合曲线和参数辨识结果。

LuGre摩擦力模型简化后最终表达式如下：

f=\frac{(\mathrm{14}+\mathrm{13}{e}^{-{(v/\mathrm{5})}^{\mathrm{2}}})\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{15}v)}{\mathrm{\pi }}+\mathrm{0.25}v+\mathrm{1}（23）

2）摩擦力补偿

因系统中力信号F和控制量u之间存在非常复杂的非线性关系，本文用摩擦增益k₁代替该关系。补偿方式如下：

u_{\mathrm{c}\mathrm{2}}=u_{\mathrm{c}\mathrm{1}}+k_{\mathrm{1}}f（24）

3 实验验证

为了验证改进后的非线性自抗扰控制在气动打磨系统中的有效性，根据图2所示的结构图完成了气动系统及多工况模拟实验台，实物如图7所示，系统的主要元件和参数见表2。共进行了4组实验：1）恒力加载实验（工况1）；2）正弦力加载实验；3）重力补偿实验（工况2）；4）存在干扰的恒力加载实验（工况3）。其中：工况2利用手摇丝杠平台改变末端打磨装置打磨角度（0°~75°）；工况3利用步进电机控制滚珠丝杠，驱动末端打磨装置做直线运行来模拟。

3.1 恒力加载实验

F_d=50 N的恒力加载实验结果如图8所示。两种控制器下系统稳定后的误差对比见表3。

由图8可知，PID控制算法下系统的响应速度更快，但两者趋于稳定的速度相差不大。由表3可知：PID控制的平均误差为0.27 N，改进后自抗扰控制下的为0.21 N，减小了22.22%；标准均方差由0.21 N降到0.18 N，减小了14.29%，具有更强的鲁棒性。

3.2 正弦力加载实验

图9为正弦力加载实验结果，主要对比两种控制器下系统的跟踪性能。由图9（a）（频率为0.125 Hz）可知，两种控制器的跟踪速度基本相等，但PID控制下的曲线在极值点误差更大。由图9（b）（频率为0.250 Hz）可知，PID控制下的跟踪曲线已经失真，改进后的自抗扰控制下的跟踪曲线存在一定的系统延迟，但和期望值更接近。因此，相较于PID控制，改进后的自抗扰控制算法控制下系统的跟踪性能更好。

3.3 重力补偿实验

F_d=50 N的有无重力补偿实验结果如图10 所示。

重力补偿实验主要为了验证打磨装置倾斜时，打磨装置所受重力对输出力的影响和补偿。实验中，设定目标力为50 N，打磨装置倾斜角度为0°~75°。由图10可知：控制算法无重力补偿时，随着角度的变大，其输出力逐渐变小，输出力误差变大；当角度为75°时，其输出力稳定在42.45 N左右，角度变化过程中最大误差为8.82 N。而增加所设计重力补偿模块时，其输出力基本稳定；当角度为75°时，其输出力平均值稳定在50.26 N左右，打磨角度在0°至75°变化过程中最大误差为1.44 N。

3.4 存在干扰的恒力加载实验

存在干扰的恒力加载实验主要是对工况3进行模拟：在系统稳定后，驱动步进电机带动末端打磨装置在10 s内向上移动16 mm并趋于稳定，之后带动末端打磨装置向下移动16 mm。实验结果如图11所示。

由图11可知：PID控制下自抗扰控制下的最大误差分别为14.77 N和11.79 N；改进后的ADRC控制下的最大误差为7.24 N，比PID小50.98%，比ADRC小38.59%。由此可知，加入摩擦力补偿的自抗扰控制抗干扰能力更强，证明了加入摩擦力补偿的有效性。

4 结 论

针对机器人打磨作业过程中对工件打磨力的要求，提出了一种多补偿融合非线性自抗扰控制的气动柔顺末端打磨机构恒力控制算法。该方法在常规非线性自抗扰控制的基础上加入了重力补偿、死区补偿和摩擦力补偿。

实验结果表明：该控制算法在50 N加载下的平均误差为0.21 N，小于比例积分微分控制的0.27 N；在打磨角度从0°至75°变化的50 N加载中，打磨端输出力的误差最大为1.44 N；在存在干扰的50 N加载下最大误差为7.24 N，小于常规自抗扰控制的11.79 N和PID控制器的14.77 N。在气动打磨的3种模拟工况下，所提出控制方法的恒力控制性能相对于传统PID控制的具有更强鲁棒性、跟踪性和抗干扰能力，而且针对打磨姿态变化的末端输出力有较好的补偿效果。

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基金资助

国家自然科学基金项目(62073092)

福建省自然科学基金项目(2021J011051)

福建省高校产业合作项目(2020H6025)

福建省2022年中央引导地方科技发展资金项目(2022L3014)

2022年省级科技创新重点项目(2022G02007)

福建省智能加工技术及装备重点实验室开放基金项目（KF‒01‒22005）

福建理工大学海洋研究专项基金项目（GY‒Z23087）