大型铸锻件打磨机器人设计与分析

Design and Analysis of a Large Casting and Forging Grinding Robot

摘要

大型铸锻件表面打磨存在结构尺寸大、表面复杂、人工作业强度高等问题，现有的打磨机器人系统虽然可以实现大型铸锻件的打磨作业，但存在占地面积大、灵活性差以及设备成本高的问题；本文针对以上问题，提出了一种融合移动平台、桁架式折展结构、串联机械臂、并联自适应打磨头的大型铸锻件表面打磨机器人系统平台，具有打磨范围大、占用空间小，布置灵活等特点，可以有效兼顾各种不同尺寸的大型铸锻件表面打磨需求。基于D‒H（Denavit‒Hartenberg）法对等效后所得到的8关节串联机构进行正逆运动学分析，采用数值法分析了混联机构整体工作空间，得到单机械臂工作状态下的打磨范围；基于矢量法对末端被动式并联打磨头建立运动学模型，并进一步分析了在串联机械臂保持一定姿态时并联打磨头的工作空间；研究被动式并联打磨头末端负载与驱动关节自适应调节之间的理论联系，优化气压阻尼系统的整体负荷状态；基于机械臂运动学模型获得关节速度及加速度，以机械臂整体功耗为优化目标建立能耗函数，分析得到平面打磨时打磨机器人在不同轨迹下的整体功耗，并通过数字算例与仿真计算验证了优化方程的合理性。基于ADAMS仿真模型对上述分析进行仿真验证，证明了桁架式混联打磨机器人设计与理论分析的合理性，为大型铸锻件打磨机器人设计开发提供了参考。

Abstract

Objective The demand for automated surface grinding of large castings and forgings continues to increase with production scale and quality requirements. Conventional grinding robot systems, while functional, present significant limitations: large spatial footprint, poor adaptability to diverse workpiece sizes and shapes, and high investment and maintenance costs. These constraints hinder their application in space- and cost-sensitive manufacturing. Therefore, this research introduces a truss-based hybrid grinding robot system that combines a wide operational reach with a compact layout, ensures high stiffness at the grinding head for precision, and adapts to varied workpiece sizes and complex geometries. The study presents an innovative structural configuration, a complete theoretical framework, and simulation-based validation, making contributions to industrial robotic grinding. Methods The design process started with functional decomposition, including omnidirectional mobility, an extendable and retractable structure for large workpieces, a high-reach manipulator for complex positioning, and a grinding end-effector that maintained constant contact force over varying surfaces. The system integrated: 1) an omnidirectional mobile platform that allowed free movement without reorientation constraints; 2) a truss-type folding structure that provided a deployable framework expanding the workspace while minimizing the idle footprint; 3) a serial robotic arm that offered large reach and positioning flexibility; and 4) a parallel adaptive grinding head, a passive parallel mechanism with pneumatic damping that ensured constant-force compliance and high stiffness. The serial arm and parallel head were modeled as an equivalent eight-DOF hybrid mechanism, combining the stiffness and load capacity of parallel kinematics with the reach of serial designs. Forward and inverse kinematics were developed using the Denavit‒Hartenberg (D‒H) method to map joint space to Cartesian space. The workspace of the system and the single-arm grinding range were analyzed to define operational limits and optimal deployment. The passive parallel head was modeled separately using the vector method to assess the workspace under fixed arm postures, which enabled optimization of adaptability without affecting positioning. For constant-force grinding, mechanical and pneumatic conditions for adaptive drive joint adjustment under varying end-loads were examined. Pneumatic damping was optimized so that variations on the constant-pressure side yielded stable trends on the floating side, ensuring surface-contact stability. For energy efficiency, the hybrid arm's kinematic model derived joint velocities and accelerations during grinding tasks. An energy consumption function was formulated with total arm power as the optimization objective. Case studies of linear grinding evaluated power patterns. Finally, the design and models were validated through an ADAMS virtual prototype that simulated realistic motions to verify kinematics, workspace, constant-force behavior, and energy use. Results and Discussions Workspace analysis confirmed that the truss-folding structure greatly extended the operational range without a proportional increase in footprint, enabling grinding of large and irregular workpieces. For single-arm operation, the reachable range was quantified, supporting task allocation in dual-arm setups. The passive parallel head maintained stable floating-end pressure under constant-force control, validating pneumatic optimization and ensuring consistent surface contact for uniform removal and finish. Simulations confirmed the kinematic accuracy of the serial and parallel subsystems, with minimal deviation between theoretical and simulated outcomes. The hybrid model achieved the intended stiffness and reach. Energy analysis demonstrated that spiral grinding trajectories consumed more power than serpentine paths in straight-line grinding, which highlighted the impact of trajectory on energy usage and provided guidance for task planning. The omnidirectional base enabled rapid repositioning between zones, reducing idle time and improving coverage. The truss-folding design enhanced adaptability when shifting between large flats and contoured areas without requiring full disassembly or repositioning. Conclusions The truss-based hybrid grinding robot integrates the advantages of parallel and serial configurations, delivering high stiffness and wide coverage. The folding truss design accommodates large workpieces while maintaining a compact footprint when not in operation. Complete kinematic, workspace, energy, and pneumatic control models were validated through simulation. The system adapts to varying sizes and shapes while ensuring precision and surface quality. In addition, the modeling framework is transferable to other hybrid robotic designs. In practice, this approach enhances productivity, reduces labor demands, and improves quality consistency in large-scale surface finishing. Key innovations include the following: eight-DOF hybrid mechanism modeling of a passive parallel head and serial arm as a unified analytical framework; pneumatic damping optimization for stable floating-end pressure under varying inputs, advancing constant-force compliance in grinding; integration of truss-folding structures into mobile robots to achieve large workspaces with minimal idle footprint; and trajectory-dependent energy consumption analysis that informs energy-efficient path planning. The research contributes both a practical robotic design and analytical tools applicable to various automated manufacturing processes involving large and complex workpieces.

Graphical abstract

关键词

大型铸锻件 / 打磨机器人 / 运动学分析 / 自适应控制 / 轨迹优化

Key words

large castings and forgings / polishing robot / kinematic analysis / adaptive control / trajectory optimization

本刊网刊

大型复杂结构件被广泛应用于航空航天、能源、船舶等领域，且此类构件具有尺寸大、形状复杂、刚性弱等特点，现有机器人装备难以同时兼顾针对大型铸锻件的大范围、高质量打磨需求。因此，针对大型复杂结构件的打磨需求，提升打磨机器人工作空间及打磨效率是实现大型复杂结构件智能化加工的关键^[1‒2]

针对大型复杂结构件打磨，为了有效提高打磨机器人的工作行程，现有的方式有以下3种：

1）直线式导轨与打磨机器人相结合。丰飞等^[3]采用直线轨道与打磨机械臂相结合的方式实现了移动式柔性加工，该方法结构简单，控制难度小，但占地面积大，灵活性差；2）全向移动平台与打磨机器人相结合。德国Fraunhofer IFAM研究所开发了一种移动式数控加工机器人系统^[4]；丹麦Eltronic公司开发了AGV移动单元与可伸缩机械臂相结合的系统^[5‒6]；丰飞等^[7]进一步提出多移动机器人协同式超柔性加工系统，有效提升了打磨工作空间及打磨效率，但随着机器人的增加，控制难度及设备成本增大；3）基于龙门架式的可移动打磨机器人。乐韵斐等^[8]采用滑轨与龙门架相结合的方式，设计了一种双龙门架与多打磨机械臂相结合的打磨系统；卜迟武等^[9]采用移动平台与打磨机械臂相结合的方式，提高了灵活性及打磨作业效率,但控制难度也随之提高。张一军等^[10]设计了一种龙门式直角坐标系机械臂自动化打磨机器人，采用移动单元与大型复杂打磨件相结合的方式进行移动及定位，以直线往复式打磨执行装置进行铸件的自动化打磨，但其所占空间大、可移动性弱，忽略了大型铸件搬移与调平的复杂性；庞英杰等^[11]采用打磨件相对固定，龙门架沿着对地导轨移动及打磨机械臂沿龙门架上下移动的方式，设计了一种基于龙门架及导轨的双移动式打磨平台，可移动性增强。针对打磨机械臂本体结构设计，国内外学者大多单独采用串联^[12‒14]或并联^[15‒18]的形式，前者存在末端接触刚度低，打磨精度差等局限性，后者则存在打磨空间范围小，且存在奇异位形的问题；因此结构设计也越来越偏向串联机械臂加末端并联执行器的混联构型^[19‒22]。

现有自动化打磨装置中，虽然工作范围及打磨效率获得了显著提升，但还是存在占地面积大、控制难度高、灵活性差等问题，本文面向大型复杂曲面铸件，充分考虑以上结构的优缺点，基于桁架结构，提出了一种折展式混联打磨机器人，对其进行了运动学、动力学分析以及自适应打磨和轨迹规划的研究，并通过模拟仿真，验证了所设计机构能够满足大范围打磨要求，且对不同曲率表面的铸件有自适应能力。

1 折展桁架式打磨机器人结构设计

大型复杂曲面铸造件所需打磨范围大，打磨面情况复杂，传统串联或并联打磨机器人无法满足工况要求。针对其复杂工况，对打磨机器人整体功能进行设计，如图1所示。

面向大型铸造件打磨的机器人包括全向移动平台、可折展桁架结构、串联机械臂、并联打磨头。单台打磨机器人通过折展桁架结构实现不同跨度铸锻件打磨，如图2（a）所示；2台打磨机器人组成龙门结构，如图2（b）所示，实现超大跨度铸锻件打磨，其可移动特性适合厂区内灵活布置。打磨机械臂包括平动架、升降臂、旋转臂、翻转臂、伸展臂。机械臂在桁架上进行移动，从而增大机械臂打磨范围。

结合龙门结构与折展机构优点，提出可实现不同程度伸展的桁架结构，如图3所示，以扩大打磨范围实现不同宽度范围铸锻件打磨。

针对铸件表面曲率变化及磨削振动，提出2-RPU/2-UPS/PU 3自由度被动式柔性并联打磨头，具备两轴转动及垂直移动能力，实现2转1移自适应打磨，末端平台受到5个气压阻尼联合作用，在无负载状态下，打磨头处于运动极限位置，当动平台受载时，阻尼系统发生自适应调整，使得动平台完成贴合打磨。

2 运动学分析

2.1 等效混联机构正反解分析

并联式打磨头等效为1个移动关节加2个转动关节的串联机构^[23]进行串并混联机构整体运动学分析，如图4所示。混联机构整体等效为一个具有8关节的串联机构，基于D‒H法^[24]，建立D‒H坐标系，D‒H参数如表1所示。表1中，{\alpha }_{i-\mathrm{1}}，a_{i-\mathrm{1}}，{\theta }_i，d_i为连杆参数，i=1~8。

1） 正运动学分析

将相邻两个坐标系间的齐次变换矩阵（{\mathit{T}}_{\mathrm{1}}～{\mathit{T}}_{\mathrm{8}}）依次相乘可得混联机构末端（{\mathit{T}}_{\mathrm{0}}）在基坐标系中的表达式如下：

{\mathit{T}}_{\mathrm{0}}={\mathit{T}}_{\mathrm{1}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{2}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{3}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{4}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{5}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{6}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{7}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{8}}（1）

{\mathit{T}}_{\mathrm{0}}=\left[\begin{array}{cccc}{T}_{\mathrm{11}}& T_{\mathrm{12}}& T_{\mathrm{13}}& T_{\mathrm{14}}\\ T_{\mathrm{21}}& T_{\mathrm{22}}& T_{\mathrm{23}}& T_{\mathrm{24}}\\ T_{\mathrm{31}}& T_{\mathrm{32}}& T_{\mathrm{33}}& T_{\mathrm{34}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]（2）

2） 逆运动学分析

从{\mathit{T}}_{\mathrm{1}}开始依次对{\mathit{T}}_i取逆，采用反变换法求出各个关节所对应变量表达式如下：

\left[\begin{array}{cccc}{T}_{\mathrm{11}}& T_{\mathrm{12}}& T_{\mathrm{13}}& T_{\mathrm{14}}\\ T_{\mathrm{21}}& T_{\mathrm{22}}& T_{\mathrm{23}}& T_{\mathrm{24}}\\ T_{\mathrm{31}}& T_{\mathrm{32}}& T_{\mathrm{33}}& T_{\mathrm{34}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{n}_x& o_x& a_x& p_x\\ n_y& o_y& a_y& p_y\\ n_z& o_z& a_z& p_z\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]（3）

对式（3）两边分别乘({\mathit{T}}_{\mathrm{1}}{)}^{-\mathrm{1}}、({\mathit{T}}_{\mathrm{1}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{2}}{)}^{-\mathrm{1}}、({\mathit{T}}_{\mathrm{1}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{2}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{3}}{)}^{-\mathrm{1}}、({\mathit{T}}_{\mathrm{1}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{2}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{3}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{4}}{)}^{-\mathrm{1}}、({\mathit{T}}_{\mathrm{1}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{2}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{3}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{4}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{5}}{)}^{-\mathrm{1}}、({\mathit{T}}_{\mathrm{1}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{2}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{3}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{4}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{5}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{6}}{)}^{-\mathrm{1}}、({\mathit{T}}_{\mathrm{1}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{2}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{3}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{4}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{5}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{6}}\cdot {\mathit{T}}_{\mathrm{7}}{)}^{-\mathrm{1}}，可解得各个关节变量[d_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{2}},{\theta }_{\mathrm{3}},{\theta }_{\mathrm{4}},{\theta }_{\mathrm{5}},d_{\mathrm{6}},{\theta }_{\mathrm{7}},{\theta }_{\mathrm{8}}]的值。

2.2 混联机构工作空间分析

表2为等效串联机械臂各个关节的实际运动范围。在表2所示关节运动范围内，基于正运动学方程，选取各关节变量进行自由组合，对混联机构末端进行工作空间分析^[25]，结果如图5所示。

2.3 2-RPU/2-UPS/PU并联打磨头运动学分析

1） 位置反解分析

如图4所示，定平台、动平台分为外接圆半径a、b的正方形，O{A}_{\mathrm{1}}=a，P{B}_{\mathrm{1}}=b，OP=d_{\mathrm{5}}（d_{\mathrm{5}}为变量）。点A_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4})在定系\left\{O\right\}中描述为：

\left[\begin{array}{ccccc}{}_{}{}^O{A}_{\mathrm{1}}& {}_{}{}^O{A}_{\mathrm{2}}& {}_{}{}^O{A}_{\mathrm{3}}& {}_{}{}^O{A}_{\mathrm{4}}& {}_{}{}^O{A}_{\mathrm{5}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}a& \mathrm{0}& -a& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -a& \mathrm{0}& a& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]（4）

点B_i\left(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4}\right)在动坐标系\left\{P\right\}中的描述为：

\left[\begin{array}{ccccc}{}_{}{}^P{B}_{\mathrm{1}}& {}_{}{}^P{B}_{\mathrm{2}}& {}_{}{}^P{B}_{\mathrm{3}}& {}_{}{}^P{B}_{\mathrm{4}}& {}_{}{}^P{B}_{\mathrm{5}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}b& \mathrm{0}& -b& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -b& \mathrm{0}& b& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]（5）

通过旋转变换矩阵，可将动坐标系\left\{P\right\}的位置变换到定坐标系\left\{O\right\}中：

{{}_{}{}^O}_i=\left[\mathit{R}\right]{{}_{}{}^P\mathit{B}}_i+{{}_{}{}^O\mathit{P}}_P（6）

式中，{{}_{}{}^O}_i表示B_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4})点在定坐标系\left\{O\right\}的坐标矢量，\left[\mathit{R}\right]表示动坐标系\left\{P\right\}相对于定坐标系\left\{O\right\}的旋转变换矩阵，{{}_{}{}^O}_P表示动坐标系\left\{P\right\}的坐标原点在定坐标系\left\{O\right\}的位置矢量。

如图4所示，中间PU支链，沿P副移动方向与定坐标系中的Z轴方向重合，U副的两个旋转轴的方向与定坐标系中的X、Y轴的方向重合，所以规定绕X轴旋转的角度为{\theta }_{\mathrm{7}}，绕Y轴旋转的角度为{\theta }_{\mathrm{8}}。令\mathit{P}={\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}表示动平台坐标系原点P在定坐标系\left\{O\right\}中的位置矢量。因此，沿Z轴移动，绕X、Y轴旋转的齐次坐标变换矩阵为：

\mathit{T}=\left[\begin{array}{cc}\mathit{R}& \mathit{P}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]=\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}(z,d_{\mathrm{6}})\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{t}(x,{\theta }_{\mathrm{7}})\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{t}(y,{\theta }_{\mathrm{8}})=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{0}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}& -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}& \mathrm{0}\\ -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}& d_{\mathrm{6}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]（7）

因此，由式（6）可得：

\begin{array}{c}{}^O{\mathit{B}}_{\mathrm{1}}={\mathit{R}}^P{\mathit{B}}_{\mathrm{1}}{+}^O{\mathit{P}}_P=\\ \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{0}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}& -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\\ -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ d_{\mathrm{6}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}\\ b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}\\ d_{\mathrm{6}}-b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}\end{array}\right]\end{array}（8）

\begin{array}{c}{}^O{\mathit{B}}_{\mathrm{2}}={\mathit{R}}^P{\mathit{B}}_{\mathrm{2}}{+}^O{\mathit{P}}_P=\\ \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{0}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}& -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\\ -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ -b\\ \mathrm{0}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ d_{\mathrm{5}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ -b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\\ d_{\mathrm{6}}-b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\end{array}\right]\end{array}（9）

\begin{array}{c}{}^O{\mathit{B}}_{\mathrm{3}}={\mathit{R}}^P{\mathit{B}}_{\mathrm{3}}{+}^O{\mathit{P}}_P=\\ \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{0}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}& -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\\ -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-b\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ d_{\mathrm{6}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}\\ -b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}\\ d_{\mathrm{6}}+b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}\end{array}\right]\end{array}（10）

\begin{array}{c}{}^O{\mathit{B}}_{\mathrm{4}}={\mathit{R}}^P{\mathit{B}}_{\mathrm{4}}{+}^O{\mathit{P}}_P=\\ \left[\begin{array}{ccc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{0}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}& -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\\ -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ b\\ \mathrm{0}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ d_{\mathrm{6}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\\ d_{\mathrm{6}}+b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\end{array}\right]\end{array}（11）

令l_{\mathrm{5}}={[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& d_{\mathrm{6}}\end{array}]}^{\mathrm{T}}，由式（8）～（11）可得l_i（i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5}）的杆长为：

\left\{\begin{array}{l}{l}_{\mathrm{1}}=\left|{}_{}{}^O{B}_{\mathrm{1}}-{}_{}{}^{O}A{A}_{\mathrm{1}}\right|=\left|{\left[\begin{array}{ccc}b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}-a& b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}& d_{\mathrm{6}}-b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\right|,\\ l_{\mathrm{2}}=\left|{}_{}{}^O{B}_{\mathrm{2}}-{}_{}{}^{O}A{A}_{\mathrm{2}}\right|=\left|{\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& a-b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}& d_{\mathrm{6}}-b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\right|,\\ l_{\mathrm{3}}=\left|{}_{}{}^O{B}_{\mathrm{3}}-{}_{}{}^{O}A{A}_{\mathrm{3}}\right|=\left|{\left[\begin{array}{ccc}a-b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}& -b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}& d_{\mathrm{6}}+b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\right|,\\ l_{\mathrm{4}}=\left|{}_{}{}^O{B}_{\mathrm{4}}-{}_{}{}^{O}A{A}_{\mathrm{4}}\right|=\left|{\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}-a& d_{\mathrm{6}}+b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\right|,\\ l_{\mathrm{5}}=d_{\mathrm{6}}\end{array}\right.（12）

由机构结构可知，分支1、3只会在A₁OP的平面内运动，因此有：{}^O{B}_{\mathrm{1}y}{=}^O{B}_{\mathrm{3}y}=\mathrm{0}。

所以，各个杆长为：

\left\{\begin{array}{l}{l}_{\mathrm{1}}=\sqrt[]{(a-b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}{)}^{\mathrm{2}}+(d_{\mathrm{6}}-b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}{)}^{\mathrm{2}}},\\ l_{\mathrm{2}}=\sqrt[]{(a-b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}{)}^{\mathrm{2}}+(d_{\mathrm{6}}+b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}{)}^{\mathrm{2}}},\\ l_{\mathrm{3}}=\sqrt[]{(a-b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{8}}{)}^{\mathrm{2}}+(d_{\mathrm{6}}+b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{8}}{)}^{\mathrm{2}}},\\ l_{\mathrm{4}}=\sqrt[]{(a-b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}{)}^{\mathrm{2}}+(d_{\mathrm{6}}-b\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}{)}^{\mathrm{2}}},\\ l_{\mathrm{5}}=d_{\mathrm{6}}\end{array}\right.（13）

得到各驱动分支杆长为：

\left\{\begin{array}{l}{l}_i=\left|{}^O{B}_i{-}^O{A}_i\right|,i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4};\\ l_{\mathrm{5}}={[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& d_{\mathrm{6}}\end{array}]}^{\mathrm{T}}\end{array}\right.(14)

此过程为运动学逆解。

2） 位置正解

根据式（13）中的l_{\mathrm{2}}方程可知，RPU支链驱动杆l_{\mathrm{2}}只与{\theta }_{\mathrm{7}}、d_{\mathrm{6}}有关，求l_{\mathrm{2}}方程的反函数便能求出姿态角{\theta }_{\mathrm{7}}与l_{\mathrm{2}}杆长的正解关系式。则：

d_{\mathrm{6}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{7}}-a\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{7}}=\left(l_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}-b^{\mathrm{2}}-d_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}\right)/(\mathrm{2}b)（15）

根据辅助角公式，可得出：

{\theta }_{\mathrm{7}}=\pm \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{{l_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}-b^{\mathrm{2}}-{d_{\mathrm{6}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}b\sqrt[]{a^{\mathrm{2}}+{d_{\mathrm{6}}}^{\mathrm{2}}}}\right)+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{-d_{\mathrm{6}}}{a}\right)（16）

由式（10）可知正解存在多解，如图6所示，机构动平台在B_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{4}}和B_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}{B}_{\mathrm{4}}^{\mathrm{\text{'}}}的位置时，分支l_{\mathrm{2}}的长度相同，即A_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{2}}=A_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{2}}^{\text{'}}。

将式（16）求得的{\theta }_{\mathrm{7}}代入式（14）杆l_{\mathrm{1}}的方程中，则可得到{\theta }_{\mathrm{8}}的解析式。

3） 工作空间分析

\alpha、\beta为机构绕动坐标系中的X、Y轴转动的两个欧拉角，动坐标系原点与定坐标系原点的距离为d_{\mathrm{5}}，每个分支的最大移动l_i。转动副、U副的转动范围为±60°，球副的转动范围为±30°；分支5的移动范围为0～100 mm，其他4个分支移动范围为0～150 mm。基于蒙特卡洛法得到并联式打磨头工作空间，如图7所示。Z轴移动范围为90～210 mm,当沿Z方向的位置在90、120 mm时，\alpha转动范围分别为-13.03°～13.03°，-7.576°～7.576°；\beta转动范围分别为-12.42°～12.42°，-6.97°～6.97°。当沿Z方向位置在107.1～183.1 mm时，\beta转动范围为-30°～30°。

3 基于被动式打磨头的自适应打磨与轨迹功耗

3.1 并联式打磨头自适应作业

如图8所示，并联打磨头4支链为压力式阻尼器，简化气压阻尼系统结构，设为压力作用区为圆柱体区域设分支i上的压力值为{\eta }_i，则得到每个阻尼产生的压力作用如下：

F_{\eta ,i}=\left\{\begin{array}{l}{\eta }_i{S}_{\mathrm{e}},i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4};\\ {\eta }_i{S}_{\mathrm{c}},i=\mathrm{5}\end{array}\right.（17）

式中，S_{\mathrm{e}}为等效压力面积，S_{\mathrm{c}}为中心阻尼等效压力面积，考虑动平台的负载情况，设其承受与自由度相应的3维载荷，作用点为坐标系中心，即：

\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}(t)=\left\{F_z(t),M_x(t),M_y(t)\right\}（18）

式中，载荷\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}为关于时间变化的函数。

考虑打磨头处于恒静止的情况，建立静态平衡方程：

\left\{\begin{array}{l}{F}_z(t)+{\eta }_{\mathrm{5}}(t)S_{\mathrm{c}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}{\eta }_i(t)S_{\mathrm{e}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_i=\mathrm{0},\\ M_x(t)+{\eta }_{\mathrm{2}}(t)S_{\mathrm{e}}{h}_{\mathrm{2}}+{\eta }_{\mathrm{4}}(t)S_{\mathrm{e}}{h}_{\mathrm{4}}=\mathrm{0},\\ M_y(t)+{\eta }_{\mathrm{1}}(t)S_{\mathrm{e}}{h}_{\mathrm{1}}+{\eta }_{\mathrm{3}}(t)S_{\mathrm{e}}{h}_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}\end{array}\right.（19）

式中，{\theta }_i为分支i与Z轴的锐夹角，h_i为分支i的轴线到点P的距离。

当打磨对象为平面型结构，打磨动作仅需由串联结构部分完成，打磨头呈现出恒静态。

设分支杆3与分支杆4的压力为常数，则其余支链的气压值将发生伴随响应，得到：

\left[\begin{array}{c}{\eta }_{\mathrm{1}}(t)\\ {\eta }_{\mathrm{2}}(t)\\ {\eta }_{\mathrm{5}}(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{M_y(t)}{S_{\mathrm{e}}{h}_{\mathrm{1}}}-\frac{{\eta }_{\mathrm{3}}{h}_{\mathrm{3}}}{h_{\mathrm{1}}}\\ -\frac{M_x(t)}{S_{\mathrm{e}}{h}_{\mathrm{2}}}-\frac{{\eta }_{\mathrm{4}}{h}_{\mathrm{4}}}{h_{\mathrm{2}}}\\ -\frac{F_z(t)}{S_{\mathrm{c}}}+\frac{{\sigma }_{\mathrm{4}}+{\sigma }_{\mathrm{5}}(t)+{\sigma }_{\mathrm{6}}(t)}{h_{\mathrm{1}}{h}_{\mathrm{2}}{S}_{\mathrm{c}}}\end{array}\right]（20）

式中，{\sigma }_{\mathrm{4}}=-h_{\mathrm{1}}{h}_{\mathrm{2}}{S}_{\mathrm{e}}({\eta }_{\mathrm{3}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{3}}+{\eta }_{\mathrm{4}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{4}})，{\sigma }_{\mathrm{5}}(t)=h_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{1}}·(M_y(t)+{\eta }_{\mathrm{3}}{S}_{\mathrm{e}}{h}_{\mathrm{3}})，{\sigma }_{\mathrm{6}}(t)=h_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{2}}(M_x(t)+{\eta }_{\mathrm{4}}{S}_{\mathrm{e}}{h}_{\mathrm{4}})。

当打磨头需要根据工件表面做自适应调整时，根据打磨头的自由度性质，设动坐标系需要完成的运动轨迹为：

{\mathit{L}}_P(t)=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi (t))& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi (t))\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\phi (t))& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi (t))\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\phi (t))& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\phi (t))& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi (t))& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi (t))\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\phi (t))& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi (t))\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\phi (t))& z_P(t)\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]（21）

式中，\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& z_P(t)& \mathrm{1}\end{array}\right]表示点P的齐次坐标。因此，齐次矩阵{\mathit{L}}_P(t)即表示动坐标系的时域运动轨迹。通过对{\mathit{L}}_P(t)分别进行一次、二次求导，得到式（22）和（23）。

{\mathit{V}}_P\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi (t))& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi (t))\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\phi (t)))& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi (t))\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\phi (t)))& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\phi (t))& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi (t))& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi (t))\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\phi (t)))& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi (t))\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\phi (t)))& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{z}_P(t)\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]（22）

{\mathit{A}}_P\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi (t))& \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi (t))\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\phi (t)))& \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi (t))\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\phi (t)))& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\phi (t))& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\psi (t))& \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi (t))\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\phi (t)))& \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\psi (t))\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\phi (t)))& \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}{z}_P(t)\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]（23）

对于动平台上任意一点的坐标(x_r,y_r,z_r)，其在时刻t=t_{\mathrm{s}}的坐标位置为{\mathit{L}}_P(t)\cdot {\left[x_r,y_r,z_r,\mathrm{1}\right]}^{\mathrm{T}}，速度为{\mathit{V}}_P(t)\cdot {\left[x_r,y_r,z_r,\mathrm{1}\right]}^{\mathrm{T}}，加速度为{\mathit{A}}_P(t)\cdot {\left[x_r,y_r,z_r,\mathrm{1}\right]}^{\mathrm{T}}。

设分支i气缸所推动的杆件部分的质量为m_i，得到t=t_{\mathrm{s}}时，分支i向动平台提供的实际推力：

{\xi }_i=\left\{\begin{array}{l}{\eta }_i(t_{\mathrm{s}})S_{\mathrm{e}}-m_i\left(\left({\mathit{A}}_P(t_{\mathrm{s}})\cdot \mathit{P}{\mathit{B}}_i(\mathrm{0})\right)·\frac{{\mathit{A}}_i{\mathit{B}}_i(t_{\mathrm{s}})}{\left|{\mathit{A}}_i{\mathit{B}}_i(t_{\mathrm{s}})\right|}\right),i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4};\\ {\eta }_i(t_{\mathrm{s}})S_{\mathrm{c}}-m_i\left({\mathit{A}}_P(t_{\mathrm{s}})\cdot {\left[\mathrm{0,0},\mathrm{0,1}\right]}^{\mathrm{T}}\right),i=\mathrm{5}\end{array}\right.（24）

对于动平台，在受到式（18）作用同时受到来自点集\left\{B_{\mathrm{1}},B_{\mathrm{2}},\dots ,B_{\mathrm{5}}\right\}的压力集\left\{{\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}},\dots ,{\xi }_{\mathrm{5}}\right\}，其中：

{\xi }_i=\left\{\begin{array}{l}{\xi }_i\frac{{\mathit{A}}_i{\mathit{B}}_i(t)}{\left|{\mathit{A}}_i{\mathit{B}}_i(t)\right|},i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4};\\ -{\xi }_i{\left[\mathrm{0,0},\mathrm{1}\right]}^{\mathrm{T}},i=\mathrm{5}\end{array}\right.（25）

设动平台关于动坐标系的惯量矩阵如下：

{\mathit{J}}_P=\left[\begin{array}{ccc}{J}_x& -J_{xy}& -J_{zx}\\ -J_{xy}& J_y& -J_{yz}\\ -J_{zx}& -J_{yz}& J_z\end{array}\right]（26）

此时动平台的负载如下：

\left\{\begin{array}{l}{F}_z(t)+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}}\left({\xi }_i(t)\cdot w(t)\right)=m_P{a}_P(t),\\ M_x(t)+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}\left(\mathit{P}(t){\mathit{B}}_i(t)\times {\xi }_i(t)\right)\cdot u(t)={\sigma }_x(t),\\ M_y(t)+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}\left(\mathit{P}(t){\mathit{B}}_i(t)\times {\xi }_i(t)\right)\cdot v(t)={\sigma }_y(t),\\ {\sigma }_x(t)+{\sigma }_y(t)=\frac{\alpha {(t)}^{\mathrm{T}}{\mathit{J}}_P\alpha (t)}{{\left|\alpha (t)\right|}^{\mathrm{2}}}{\alpha }_P(t)\end{array}\right.（27）

式中，动平台的加速度a_P(t)与角加速度{\alpha }_P(t)相对于动坐标系。

给定式（28）的算例方程如下：

\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}(t)=\left\{\begin{array}{l}{F}_z(t)=\mathrm{250}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }t)+\mathrm{250},\\ M_x(t)=\mathrm{10}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }t),\\ M_y(t)=\mathrm{10}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }(t-\mathrm{1}))\end{array}\right.（28）

通过对模型的测量，确定如下参数：S_{\mathrm{e}}=\mathrm{113.097}\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}，S_{\mathrm{c}}=\mathrm{153.928}\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}，h_{\mathrm{1}}=h_{\mathrm{3}}=\mathrm{25.793}\mathrm{m}\mathrm{m}，h_{\mathrm{2}}=h_{\mathrm{4}}=\mathrm{30.466}\mathrm{m}\mathrm{m}，{\theta }_{\mathrm{1}}={\theta }_{\mathrm{3}}=\mathrm{30.708}°，{\theta }_{\mathrm{2}}={\theta }_{\mathrm{4}}=\mathrm{30.751}°\mathrm{。}

将式（28）代入式（20），经MATLAB计算得到结果如图9所示。

如图9所示，当常数化的压力端锁定压力值时，浮动端的压力变化趋势更多地会受到负载浮动的影响，当常数压力端的气压值发生变化时，浮动端数值变化趋势保持稳定，保证了阻尼系统的稳定作业。

3.2 基于平面打磨的轨迹优化

3.2.1 优化目标函数建立

面对复杂曲面，打磨机器人的打磨路径方式如图10所示。

在打磨机器人进行平面打磨时，其末端由空间坐标点P(x_p,y_p,z_p)向点Q(x_q,y_q,z_q)平动，主要参与的是关节1、2、3，关节4与关节5则保持一定的姿态。基于运动学模型可得到上述关节的运动方程如下：

\left\{\begin{array}{l}\frac{s(t)(x_q-x_p)}{\sqrt[]{(x_q-x_p{)}^{\mathrm{2}}+(y_q-y_p{)}^{\mathrm{2}}+(z_q-z_p{)}^{\mathrm{2}}}}+x_p=L\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{s}_{\mathrm{3}}(t),\\ \frac{s(t)\left(y_q-y_p\right)}{\sqrt[]{(x_q-x_p{)}^{\mathrm{2}}+(y_q-y_p{)}^{\mathrm{2}}+(z_q-z_p{)}^{\mathrm{2}}}}+y_p=s_{\mathrm{1}}(t)+L\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{s}_{\mathrm{3}}(t),\\ \frac{s(t)(z_q-z_p)}{\sqrt[]{(x_q-x_p{)}^{\mathrm{2}}+(y_q-y_p{)}^{\mathrm{2}}+(z_q-z_p{)}^{\mathrm{2}}}}+z_p=s_{\mathrm{2}}(t)\end{array}\right.（29）

式中，s(t)为磨具末端在线段PQ上的位置函数，(s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}},s_{\mathrm{3}})为驱动关节从零位开始的变化量，L=\mathrm{377.5}\mathrm{m}\mathrm{m}。

以打磨机器人的整体功耗为优化目标，以关节1和关节2作为质量、关节3的转动惯量作为权重，建立优化函数W：

\begin{array}{c}W=M_{\mathrm{1}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t_e}\left|{\ddot{s}}_{\mathrm{1}}(t)\right|d{s}_{\mathrm{1}}(t)+M_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^{t_e}\left|{\ddot{s}}_{\mathrm{2}}(t)-g\right|d{s}_{\mathrm{2}}(t)+\\ M_{\mathrm{3}}\left|{\ddot{s}}_{\mathrm{3}}(t)\right|\mathrm{d}s{(t)}_{\mathrm{3}}\end{array}（30）

式中，t_{\mathrm{e}}为打磨作业结束时间，g为重力加速度，{\dot{S}}_i、{\ddot{S}}_i分别为关节速度、加速度。在本文所使用模型中，M_{\mathrm{1}}=\mathrm{79.282}\mathrm{k}\mathrm{g}，M_{\mathrm{2}}=\mathrm{43.238}\mathrm{k}\mathrm{g}，M_{\mathrm{3}}=\mathrm{1.12}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{5}}\mathrm{k}\mathrm{g}·\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}。

为了保证打磨质量的均匀性，通常采用匀速打磨策略，综合各阶参数，可获得解耦形式下的加速度矩阵如下：

\left[\begin{array}{c}{\ddot{s}}_{\mathrm{1}}(t)\\ {\ddot{s}}_{\mathrm{2}}(t)\\ {\ddot{s}}_{\mathrm{3}}(t)\end{array}\right]=\frac{L^{\mathrm{2}}{C}^{\mathrm{2}}(v_{\mathrm{D}})(x_q-x_p{)}^{\mathrm{2}}}{{\left[L^{\mathrm{2}}-{\left[C(v_{\mathrm{D}})(x_q-x_p)t+x_p\right]}^{\mathrm{2}}\right]}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}}\left[\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ \mathrm{0}\\ \frac{C(v_{\mathrm{D}})(x_q-x_p)t+x_p}{L^{\mathrm{2}}}\end{array}\right]（31）

式中，v_{\mathrm{D}}为打磨速度。

3.2.2 直线式打磨数值算例

当打磨机器人从点P(-\mathrm{200,200,100})向点Q(\mathrm{200,400},\mathrm{300})沿直线打磨，得到驱动关节的加速度为：

\left[\begin{array}{c}{\ddot{s}}_{\mathrm{1}}(t)\\ {\ddot{s}}_{\mathrm{2}}(t)\\ {\ddot{s}}_{\mathrm{3}}(t)\end{array}\right]=\frac{{\mathrm{151}}^{\mathrm{2}}{C}^{\mathrm{2}}(v)\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}}{{\left[\mathrm{377}.{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}-(\mathrm{400}C{(v)t-\mathrm{200})}^{\mathrm{2}}\right]}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}}\left[\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ \mathrm{0}\\ \frac{\mathrm{400}C(v)t-\mathrm{200}}{\mathrm{377}.{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}}\end{array}\right]（32）

将关节速度及关节加速度代入式（30），建立总功耗W为目标函数，求解其能耗最小值时的速度。

当打磨机器人的末端移动速度v变化时，中间变量C(v_{\mathrm{D}})发生变化，即总功耗W为中间变量C(v_{\mathrm{D}})的函数。利用MATLAB对其进行求解运算得到结果图11所示。计算结果显示，在该算例的条件下，当v=27.534 mm/s时，打磨时间约16.792 s，打磨机器人的总功耗最低，约为383.573 J。

3.2.3 打磨方案对比分析

当打磨机器人的工作对象为一个\mathrm{400}\mathrm{m}\mathrm{m}\times \mathrm{400}\mathrm{m}\mathrm{m}的矩形平面时，为了便于数值算例计算，设刀具的打磨半径为\mathrm{50}\sqrt[]{\mathrm{2}}\mathrm{m}\mathrm{m},基于图11所示的螺旋形路线与蛇形路线，研究高效率的打磨策略。考虑刀具对打磨表面的覆盖率，设计2种打磨路径，如图12所示。

对于螺旋形打磨路径，以矩形打磨区域中心为原点，刀具路径依次经过节点：(-\mathrm{150,150})\to(\mathrm{150,150})\to

(\mathrm{150},-\mathrm{150})\to(-\mathrm{150},-\mathrm{150})\to(-\mathrm{150,50})\to(\mathrm{50,50})\to(\mathrm{50},-\mathrm{50})\to(-\mathrm{50},-\mathrm{50})。对于蛇形的打磨路径，以矩形打磨区域的中心为原点，刀具的路径依次经过节点：(-\mathrm{150,150})\to(\mathrm{150,150})\to(\mathrm{150,50})\to(-\mathrm{150,50})\to(-\mathrm{150},-\mathrm{50})\to(\mathrm{150},-\mathrm{50})\to(\mathrm{150},-\mathrm{150})\to(-\mathrm{150},-\mathrm{150})。打磨路径能耗函数分别为W₁、W₂。

通过MATLAB计算，得到两种打磨方案的总功耗对比，如图13所示。

由图13可知，螺旋形打磨路线在功率消耗上整体高于蛇形打磨路线，功耗比率约为2∶3。

4 仿真分析

4.1 并联式打磨头运动学仿真

在ADAMS中配置仿真环境，添加约束、驱动、及末端轨迹。对动平台末端轨迹设定为如下：

\left\{\begin{array}{l}{T}_z=\mathrm{25}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}t\right),\\ R_x=\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{6}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }t),\\ R_y=\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{6}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{\pi }t+\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right)\end{array}\right.（33）

ADAMS仿真位移变化和理论位移变化曲线如图14、15所示。图14、15中，PU等表示运动分支。由图14、15看出，基于ADAMS仿真验证及MATLAB数值计算，验证了2-RPU/2-UPS/PU并联机构运动学模型。

4.2 不同轨迹功耗仿真分析

基于打磨机器人针对平面打磨时的轨迹计算，在ADAMS中进行仿真实验的验证。

在直线形轨迹仿真时，理论计算的打磨机器人末端走刀速度为v=\mathrm{27.534}\mathrm{m}\mathrm{m}/\mathrm{s}时功耗最小，因此为末端运动再加上该限定条件。螺旋形轨迹和蛇形轨迹的仿真条件与直线形轨迹的不同，在ADAMS软件中进行这两种轨迹仿真时，设定打磨加工的面积为0.16 m²，打磨机器人末端走刀速度定为v=\mathrm{0.1}\mathrm{m}/\mathrm{s}。串联机械臂在ADAMS中的3种轨迹如图16所示。

将不同轨迹下打磨机器人各驱动关节的功率数据导出，进行数据处理即将功率图转化为功耗图，得到如图17、18和19所示的3种打磨轨迹下各驱动关节的功耗图随时间的变化曲线。

经过以上的仿真实验分析以及综合理论的推导计算，打磨机器人在进行直线打磨过程中，其末端的打磨速度为27.534 mm/s时，打磨时间约17.792 s，打磨机器人的总功耗约为392.259 J；在进行相同区域打磨时，打磨头以螺旋形的轨迹进行工作打磨机器人的总功耗高于以蛇形轨迹工作打磨机器人的总功耗。所以在进行同区域的平面打磨时，令机械臂末端轨迹为蛇形运动功耗最小，与上述MATLAB数值分析结果一致。

5 结 论

面向大型复杂铸锻件，提出基于桁架结构的混联打磨机器人系统，由移动平台、可折展桁架结构、2移动3转式5自由度串联机械臂、2转1移被动式并联打磨头组成。打磨机器人可以在单机模式下实现不同跨度尺寸的大型铸锻件打磨，也可以双机组合为龙门式打磨机器人，实现超大尺寸铸锻件表面打磨，其移动特性有效扩大了设备布置灵活性。分析打磨机器人的运动学、工作空间，以总功耗最小为优化目标，获得平面直线式打磨的最佳速度为v=27.534 mm/s，在相同区域打磨过程中，打磨头采用螺旋形轨迹时打磨机器人的总功耗高于采用蛇形轨迹时的总功耗。基于ADAMS和MATLAB仿真验证了理论分析的正确性、打磨机器人设计的合理性。

参考文献

[1] Wang Qilong, Wang Wei, Zheng Lianyu, et al.Force control-based vibration suppression in robotic grinding of large thin-wall shells[J].Robotics and Computer-Integrated Manufacturing,2021,67:102031. doi:10.1016/j.rcim.2020.102031

[2] Xie Fugui, Mei Bin, Liu Xinjun,et al.A new mode and equipment for processing large and complex components [J] Journal of Mechanical Engineering,2020,56(19):70‒78. doi:10.3901/JME.2020.19.070

[3] 谢福贵,梅斌,刘辛军,等.一种大型复杂构件加工新模式及新装备探讨[J].机械工程学报,2020,56(19):70‒78. doi:10.3901/JME.2020.19.070

[4] Feng Fei, Yan Sijie, Ding Han.Design and research of multi-robot collaborative grinding and polishing system for large wind turbine blades[J].Robot Technique and Application,2018(5):16‒24.

[5] 丰飞,严思杰,丁汉.大型风电叶片多机器人协同磨抛系统的设计与研究[J].机器人技术与应用,2018(5):16‒24.

[6] Fraunhofer Institue for Manufacturing Technology and Advanced Materials.CNC Machining Robot[EB/OL].[2023-10-30].

[7] Zhang Haohan, Tatiana Luna, Yang Lillian,et al.A robotic arm training system designed for rats[J],Journal of Mechanisms and Robotics,2021,13(3):1‒10. doi:10.1115/1.4049804

[8] Gromniak M, Neidhardt M, Heinemann A,et al.Needle placement accuracy in CT-guided robotic post mortem biopsy[J].Current Directions in Biomedical Engineering,2020,6:20200031. doi:10.1515/cdbme-2020-0031

[9] Feng Fei, Yang Haitao, Tang Lina,et al.Key technologies of design and performance improvement of heavy-duty and high precision machining robot bodies for large-scale components[J].China Mechanical Engineering,2021,32(19):2269‒2287. doi:10.3969/j.issn.1004-132X.2021.19.001

[10] 丰飞,杨海涛,唐丽娜,等.大尺度构件重载高精加工机器人本体设计与性能提升关键技术[J].中国机械工程,2021,32(19):2269‒2287. doi:10.3969/j.issn.1004-132X.2021.19.001

[11] Le Yunfei, Song Laigen.Structural design and lightweight research of grinding machine for wind turbine rotor blade surface[J].Equipment Manufacturing Technology,2017(1):29‒32. doi:10.3969/j.issn.1672-545X.2017.01.010

[12] 乐韵斐,宋来根.风电叶片表面打磨机结构设计与轻量化研究[J].装备制造技术,2017(1):29‒32. doi:10.3969/j.issn.1672-545X.2017.01.010

[13] Bu Chiwu.Research on control of fan blade grinding robot [D].Harbin:Harbin Engineering University,2013.

[14] 卜迟武.风机叶片打磨机器人的控制研究[D].哈尔滨:哈尔滨工程大学,2013.

[15] Zhang Yijun.A type of automated grinding device for heavy castings[J].CFHI Technology,2018(1):29‒31.

[16] 张一军.一种大型铸件自动化打磨装置[J].一重技术,2018(1):29‒31.

[17] Pang Yingjie.Design and analysis of wind turbine blade polishing robot[D].Qinhuangdao:Yanshan University,2021.

[18] 庞英杰.风电叶片打磨机器人设计与分析[D].秦皇岛:燕山大学,2021.

[19] Zhao Xingwei, Lu Hao, Yu Wenfu,et al.Vision-based mobile robotic grinding for large-scale workpiece and its accuracy analysis[J].IEEE/ASME Transactions on Mechatronics,2023,28(2):895‒906. doi:10.1109/tmech.2022.3212911

[20] Jing Chenning.Research on layout optimization and multi-objective trajectory planning technology and application of 6R serial robot[D].Hangzhou:Zhejiang University,2020.

[21] 景琛宁.6R串联机器人布局优化和多目标轨迹规划技术及应用研究[D].杭州:浙江大学,2020.

[22] Park S, Koh D, Shim J,et al.Gantry type lapping manipulator toward unmanned lapping process for a large work surface[J].International Journal of Precision Engineering and Manufacturing‒Green Technology,2021,8(6):1723‒1737. doi:10.1007/s40684-020-00274-8

[23] Zhao Xinhua, Feng Jianfeng, Liu Liang,et al.Singularity evaluation and synthesis of isomeric grinding robot[J].Journal of Machine Design,2023,40(5):58‒69.

[24] 赵新华,冯建峰,刘凉,等.同类异构打磨机器人奇异性评价与综合方法研究[J].机械设计,2023,40(5):58‒69.

[25] Jing Hongxiang, Qin Huibin, Hou Zhili,et al.Design and motion analysis of polishing robot with 3-RSS coaxial drive layout parallel mechanism[J].Journal of Mechanical Transmission,2021,45(2):76‒82.

[26] 景鸿翔,秦慧斌,侯志利,等.3-RSS同轴驱动布局并联机构的打磨机器人设计与运动分析[J].机械传动,2021,45(2):76‒82.

[27] Tian Heqiang, Wang Chenchen, Dang Xiaoqing,et al.A 6-DOF parallel bone-grinding robot for cervical disc replacement surgery[J].Medical & Biological Engineering & Computing,2017,55(12):2107‒2121. doi:10.1007/s11517-017-1648-4

[28] Wang Jun, Liang Fei, Zhou Hongjun,et al.Analysis of position,pose and force decoupling characteristics of a 4-UPS/1-RPS parallel grinding robot[J].Symmetry,2022,14(4):825. doi:10.3390/sym14040825

[29] Wang Yu, Zhang Huibo, Dai Shijie,et al.Terminal sliding mode control of flexible end grinding force of wind turbine blade grinding robot[J].Computer Integrated Manufacturing Systems,2019,25(7):1757‒1766.

[30] 王雨,张慧博,戴士杰,等.风电叶片打磨机器人柔性末端终端滑模力控制[J].计算机集成制造系统,2019,25(7):1757‒1766.

[31] Wang Yuan, Zhu Wei, Shen Huiping.Exploring adaptive polishing mechanism of a complex curved surface polishing robot[J].Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering,2015,34(8):1171‒1176.

[32] 汪源,朱伟,沈惠平.一种复杂曲面打磨机器人自适应贴合柔性机构研究[J].机械科学与技术,2015,34(8):1171‒1176.

[33] Zhang Jian, Zhao Liangxiao, Li Lingling,et al.Design of passive constant-force end-effector for robotic polishing of optical reflective mirrors[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2022,35(1):141. doi:10.1186/s10033-022-00811-3

[34] Ding Bingxiao, Zhao Jiyu, Li Yangmin.Design of a spatial constant-force end-effector for polishing/deburring operations[J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2021,116(11):3507‒3515. doi:10.1007/s00170-021-07579-1

[35] Sun Guokang.Research on control technology of series-parallel-series compliant manipulator[D].Beijing:Beijing Jiaotong University,2021.

[36] 孙国康.串并混联柔顺机械臂控制技术研究[D].北京:北京交通大学,2021.

[37] Tan Shuai.Research on multi-objective trajectory optimization and friction compensation control method for six-degree-of-freedom tandem robot[D].Wuhan:Huazhong University of Science and Technology,2022.

[38] 谭帅.六自由度串联机器人多目标轨迹优化与摩擦补偿控制方法研究[D].武汉:华中科技大学,2022.

[39] Zhao Hongyu.Structural design and kinematics research of a series-parallel hybrid manipulator[D].Chengdu:Chengdu University of Technology,2017.

[40] 赵宏宇.一种串并混联机械臂结构设计及运动学研究[D].成都:成都理工大学,2017.

基金资助

国家自然科学基金项目(U2037202)

国家自然科学基金项目(52075466)