硬岩与软岩峰后力学特性对比及细观颗粒流分析

Comparison of Post-peak Mechanical Characteristics and Microscopic Particle Flow Analysis of Hard and Soft Rock

摘要

在岩石三轴试验加载过程中，硬岩与软岩的峰后力学行为差异明显，应变软化与剪胀效应是峰后的重要特征。现有研究并未从宏细观角度全面考察，也未对比硬岩与软岩峰后应变软化与剪胀效应的演化规律。针对此，将花岗岩与砂岩视为典型的硬岩与软岩，基于花岗岩和砂岩室内三轴压缩试验，提出峰后衰减模量、临界塑性剪切应变随着围压变化的拟合公式，揭示强度参数（如摩擦角与黏聚力）随塑性剪切应变的衰减规律；提出不同围压下剪胀角随塑性剪切应变的拟合公式，构建硬岩与软岩峰后应变软化‒剪胀力学模型。采用细观颗粒流方法探讨花岗岩与砂岩在达到残余强度时细观裂纹扩展情况，研究在完整破坏阶段不同特征点时细观位移矢量演变规律。研究结果表明：硬岩与软岩破坏全过程的强度参数演化规律完全不同，例如：随着塑性剪切应变的增加，花岗岩内摩擦角先增加至峰值后减小，但砂岩的内摩擦角不断增大；硬岩的剪胀角变化规律受围压影响较小，而软岩则受到围压影响显著。

Abstract

Objective The differences between hard rock and soft rock are noticeable in rock triaxial compression testing after the peak strength is reached. The post-peak mechanical behavior of these rocks is distinct. Strain softening and dilatancy effects characterize the post-peak phase. Hard rock usually displays higher residual strength after the peak and exhibits less dilatancy. In contrast, soft rock demonstrates a rapid decrease in strength and more significant dilatancy. The variation in post-peak behavior greatly affects the engineering stability of rocks. However, existing research does not fully examine these differences. The evolution of strain softening and dilatancy in hard and soft rock needs to be studied from both macroscopic and microscopic perspectives. Currently, a comprehensive comparison of these effects between hard rock and soft rock is lacking. This comparison is essential for understanding their behavior under different conditions. Methods Granite and sandstone, two common hard and soft rocks, were investigated through laboratory triaxial compression tests. From these tests, the peak strength, residual strength, and elastic modulus of these rocks were derived. The critical plastic shear strain and post-peak reduced modulus of granite and sandstone were discussed in relation to confining pressure. The test results allowed the examination of how these parameters changed under different pressure levels. In addition, the test data revealed the decreasing law of strength parameters, such as the friction angle and cohesion, with respect to plastic shear strain. This provided insights into how these parameters were affected by the degree of strain. A fitting formula for the dilatancy angle as a function of plastic shear strain under various confining pressures was proposed. This formula helped predict the behavior of rocks under different conditions. The post-peak strain softening-dilatancy mechanical model for hard rock and soft rock was constructed based on these findings. This model was designed to predict the mechanical response of rocks after they reached their peak strength. In addition, microscopic crack propagation in granite and sandstone when they reached residual strength was discussed. The study aimed to understand how cracks grew and affected rock integrity at this stage. The evolution of crack propagation and the particle displacement field during complete failure were solved. This analysis provided a detailed view of how rocks fractured and were displaced during failure. The evolution of crack propagation to the residual stage under different confining pressure conditions was also discussed. This part of the study examined how pressure affected the rock failure process. In addition, the evolution of the displacement vector at different characteristic points in the complete failure stage was analyzed. This analysis provided a closer examination of specific areas of rock failure. Finally, the strain softening behavior of hard rock and soft rock was analyzed using a combination of macroscopic experimental methods and microscopic numerical methods. This comprehensive approach provided a thorough understanding of rock behavior under different conditions. Results and Discussions In triaxial compression tests, the strength of both hard rock and soft rock decreased from peak strength to residual strength. However, the strength decrease of hard rock was significantly greater than that of soft rock, and its degree of failure was more severe. As plastic shear strain continued to increase, the cohesion of hard rock gradually decreased. The internal friction angle increased to a peak and then decreased with a further increase in strain. This indicated that hard rock transitioned from hardening to softening during the deformation process. The post-peak dilatancy behavior of hard rock and soft rock also showed significant differences. The dilatancy angle of hard rock exhibited a similar pattern under various confining pressures. It rapidly increased to a peak in the initial stage and then gradually decreased with increasing plastic shear strain. This indicated that hard rock quickly underwent dilatancy in the early stages of deformation, with the effect weakening as deformation progressed. In contrast to hard rock, the evolution law of the dilatancy angle of soft rock was greatly affected by confining pressure. Under lower confining pressures, the dilatancy angle of soft rock initially increased rapidly and then decreased, similar to that of hard rock. However, under higher confining pressures, the dilatancy angle of soft rock reached its peak later and decreased more slowly afterward. This could have been related to the increased difficulty of particle rearrangement and crack propagation in soft rock under higher confining pressures, which led to a slower dilatancy effect. In addition, the failure modes of hard rock and soft rock were different. Hard rock tends to fail suddenly after reaching peak strength due to its high brittleness. Soft rock, with lower brittleness and higher plasticity, experienced a slower failure process accompanied by a more pronounced dilatancy phenomenon. These differences were important for understanding the stability and failure mechanisms of hard rock and soft rock in engineering applications. Conclusions This passage examines the behavior of hard rock and soft rock after their peak strength in triaxial compression tests. The main reason for the decrease in strength was the loss of cohesion between particles due to crushing. The internal friction of the rocks did not change substantially. The cohesion of soft rock was similar to that of hard rock. However, the internal friction angle of soft rock increased as the plastic shear strain increased, although the rate of increase gradually decreased. This finding indicates that, when constructing a post-peak strain-softening and dilatancy mechanical model, the dilatancy behavior of both hard and soft rocks should be properly evaluated. The post-peak crack propagation behavior of hard and soft rocks differed significantly. Hard rock produced slip surfaces and rapidly split after a small strain beyond the peak. In contrast, soft rock underwent greater plastic strain before slip surfaces formed. During the post-peak stage, hard rock formed through-going cracks from top to bottom. Soft rock, by contrast, experienced inter-sliding failure among multiple blocks. These observations are important for understanding how rocks fail under stress.

Graphical abstract

关键词

硬岩 / 软岩 / 应变软化 / 剪胀 / 颗粒流 / 宏细观

Key words

hard rock / soft rock / strain-softening / dilatancy / particle flow / macroscopic and microscopic perspectives

本刊网刊

隧道开挖以后，由于应力重新分布，围岩将产生塑性变形，软岩的变形量可达数百甚至数千毫米，硬岩可能产生岩爆或剪胀，使得岩块塌方、支护结构遭到严重的破坏，给隧道支护设计、施工工艺带来一系列棘手难题^[1‒2]。因此，进一步深化对硬岩与软岩力学特性的认识，掌握其受力变形与破坏机制，对隧道开挖过程中确保围岩的安全和稳定具有重要意义^[3]。

硬岩具有较高的单轴抗压强度、较低的孔隙率和较好的完整性，因此在峰后阶段表现出明显的脆性破坏特征。而软岩则由于较低的强度、较高的孔隙率和更多的微裂隙而表现出更显著的塑性变形和应变软化行为^[4]。

大量室内单轴或三轴试验、大尺寸现场试验结果表明，岩体在达到峰值应力强度后，随着变形的进一步增加，岩体自身强度快速下降至较低水平，这种变形导致的岩石材料强度劣化的现象被称作应变软化^[5]。为了描述该特征，Martin等^[6]基于Mohr‒Coulomb（M‒C）建立了岩石的强度参数与损伤变量之间的联系，Peng^[7‒8]和He^[9]等基于Hoek‒Brown（H‒B）强度准则提出了岩石损伤力学模型，并重点关注了岩石峰后的残余强度。然而，以上的强度准则并不能准确预测岩石脆性破坏的程度和深度，为此Hajiabdolmajid等^[10]提出了黏结弱化‒摩擦强化模型，该模型弥补了传统准则的不足。而后，一些研究人员考虑了围压对岩石应变软化效应的影响，例如：Jiang^[11]与Min^[12]等提出了改进的应变软化非线性演化模型，探究了围压与塑性应变的变化规律；Cui^[13]、崔岚^[14]等考虑围压的影响，基于H‒B强度准则提出了一种新的围岩应变软化计算方法，研究了围岩在塑性软化区的应变软化变形规律。

岩石在峰后破坏阶段，除了发生应变软化效应，剪胀效应也十分明显。为此，研究人员在应变软化模型中考虑了剪胀角对岩石变形破坏的影响，如：Walton等^[15]通过大量试验探究了石灰岩峰后围压与塑性剪切应变的相关性。Zhao等^[16]采用标定的黏聚力减弱和摩擦强化模型研究了岩体剪胀对破坏及变形程度的影响。梁明纯等^[17]考虑受载岩石损伤破坏过程中的剪胀扩容特性，基于统计损伤理论建立一种新型三维损伤本构模型，并推导了三轴与常规三轴压缩下模型的解析解。赵星光等^[18]通过对花岗岩剪胀效应的研究，提出了简化的剪胀角模型，该模型较好地表达了花岗岩峰后体积的非线性变化。

以上对于岩石峰后应变软化‒剪胀效应的研究大多集中于硬岩，但软岩也具有一定的剪胀性，针对此的研究仍较少，比较有代表性的有：金俊超等^[19]为了描述不同围压下硬岩和软岩的峰后应变软化及剪胀效应，基于H‒B准则建立了一种普适的非线性演化模型；班力壬等^[20]分析了恒法向荷载作用下实际接触微凸体三维粗糙度在剪切过程中的退化规律，提出了一个适用于软岩节理的剪胀曲线预测模型。然而，以上研究并未深入分析硬岩与软岩峰后应变软化与剪胀效应的差异性。另外，细观模拟对于阐明硬岩与软岩变形破坏全过程具有重要意义，如：Saadat等^[21]从细观角度采用颗粒流模拟了花岗岩中晶粒间接触的渐进软化响应，清晰展现了花岗岩试样峰后软化的宏观行为；张文力等^[22]基于室内试验，采用颗粒流探究了围压对砂岩的剪胀性及细观损伤演化的影响。但目前关于硬岩与软岩峰后应变软化‒剪胀效应的研究并未充分考虑该方法。

针对以上问题，本文从宏细观角度全面考察并对比了硬岩与软岩的应变软化与剪胀效应。基于硬岩和软岩室内三轴压缩试验，给出了峰后衰减模量、临界塑性剪切应变随着围压变化的拟合公式，揭示了强度参数如摩擦角与黏聚力随塑性剪切应变的衰减规律。提出了不同围压下剪胀角随塑性剪切应变的拟合公式，从而构建了硬岩与软岩峰后应变软化‒剪胀力学模型。另外，从细观角度采用颗粒流方法探讨了硬岩与软岩在达到残余强度时细观裂纹扩展情况，分析了完整破坏阶段不同特征点时细观位移矢量演变规律。

1 花岗岩与砂岩力学试验

花岗岩与砂岩在物理力学性质上的显著差异：花岗岩以其高抗压强度、低孔隙率和良好的完整性，被视为典型的硬岩；砂岩则具有较低的抗压强度、较高的孔隙率和塑性变形能力，被视为典型的软岩。采用花岗岩与砂岩制作圆柱形标准试样，直径为50 mm，高度为100 mm，如图1所示。采用中国科学院武汉岩土力学研究所自行研制的岩石试验系统进行试验。主要由自平衡三轴压力室、高压伺服泵、变形测量系统、电机和加载控制系统组成，如图2所示。此处三轴压缩试验选用花岗岩与砂岩各1组，每组分别进行不同围压的三轴压缩试验，设置加载速率为1×10^-5 m/s。将花岗与岩砂岩的围压均设置为0、5、10、15、20 MPa。

图3与4分别为花岗岩与砂岩在三轴压缩情况下的应力‒应变曲线。从图3和4可看出：在低围压的情况下，花岗岩峰后发生了较明显的脆性跌落，随着围压的升高，花岗岩的峰后延性特征逐渐增强；砂岩相比于花岗岩，在同一围压下峰后延性特征更为显著，且峰值与残余强度相差较小。

图5和6分别为花岗岩和砂岩在三轴压缩试验后的岩样破坏。从图5和6可以发现：在单轴压缩条件下，花岗岩试样中出现多条平行于轴向的张拉裂纹，并有多条剪切裂纹连接这些张拉裂纹，随着围压的升高，试样中裂纹以剪切裂纹为主；而砂岩试样的破坏形态与花岗岩较为不同，在不同围压下试样主要产生剪切裂纹，砂岩试样的破坏面仅为一条剪切滑移面，并没有出现多条张拉裂纹，随着围压的增加，砂岩试样会出现与主剪切滑移面呈一定夹角的纵向伴生裂纹。

定义岩样剪切裂纹与横向的夹角为剪切破坏角，从图5与6还可看出，随着围压增大，花岗岩与砂岩的剪切破坏角逐渐变小，花岗岩的剪切破坏角分布在68°～83°之间，砂岩的剪切破坏角分布在46°～72°之间，说明不同围压下花岗岩的剪切破坏角均大于砂岩。

2 花岗岩和砂岩的应变软化特性

2.1 强度特性与强度参数演化规律

2.1.1 强度特性

选取M‒C强度准则（式（1））与H‒B强度准则（式（2））对花岗岩与砂岩的强度特性进行分析：

\tau =c+{\sigma }_{\mathrm{n}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi（1）

式中，τ为岩体剪应力，σ_n为法向应力，φ和c分别为岩体的内摩擦角和黏聚力。

{\sigma }_{\mathrm{1}}={\sigma }_{\mathrm{3}}+{\sigma }_{\mathrm{c}\mathrm{i}}{\left(m_{\mathrm{b}}\frac{{\sigma }_{\mathrm{3}}}{{\sigma }_{\mathrm{c}\mathrm{i}}}+s\right)}^a（2）

式中，σ₁和σ₃为岩石破坏时的最大和最小主应力，σ_ci为完整岩石的单轴抗压强度，m_b、s、a为拟合系数。m_{\mathrm{b}}、s、a分别表示为：

m_{\mathrm{b}}=m_{\mathrm{i}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{G-\mathrm{100}}{\mathrm{28}-\mathrm{14}D}\right)（3）

s=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{G-\mathrm{100}}{\mathrm{9}-\mathrm{3}D}\right)（4）

a=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left[\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{-G}{\mathrm{15}}\right)-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{-\mathrm{20}}{\mathrm{3}}\right)\right]（5）

式（3）～（5）中：G为地质强度指标；D为岩体损伤因子；m_i为岩石材质指标，反映岩石的软硬程度。当进行室内力学试验时，一般选取的岩石试样均为完整岩块，认为G=100，D=0，m_b=m_i，s=1，a=0.5，对应的广义H‒B强度准则可以简化为：

{\sigma }_{\mathrm{1}}={\sigma }_{\mathrm{3}}+{\sigma }_{\mathrm{c}\mathrm{i}}\sqrt[]{m_{\mathrm{i}}{\sigma }_{\mathrm{3}}/{\sigma }_{\mathrm{c}\mathrm{i}}+\mathrm{1}}（6）

将岩样在不同围压下的峰值强度代入式（6）中，可解出完整岩块的强度参数m_i和σ_ci。当岩块超过峰值点并到达残余阶段时，G由100减少到较小值G^r，G^r为残余阶段对应的地质强度指标。由于参数m_i和σ_ci是已知的，式（2）可以改写为：

{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}={\sigma }_{\mathrm{3}}+{\sigma }_{\mathrm{c}\mathrm{i}}{\left(\frac{m_{\mathrm{b}}^{\mathrm{r}}{\sigma }_{\mathrm{3}}}{{\sigma }_{\mathrm{c}\mathrm{i}}}+s^{\mathrm{r}}\right)}^{a^{\mathrm{r}}}（7）

式中，{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}为岩样在残余阶段的最大主应力，m_{\mathrm{b}}^{\mathrm{r}}、s^r和a^r分别为残余阶段对应的H‒B强度参数。m_{\mathrm{b}}^{\mathrm{r}}、s^r、a^r可分别表示为：

m_{\mathrm{b}}^{\mathrm{r}}=m_{\mathrm{i}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{G^{\mathrm{r}}-\mathrm{100}}{\mathrm{28}}\right)（8）

s^{\mathrm{r}}=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{G^{\mathrm{r}}-\mathrm{100}}{\mathrm{9}}\right)（9）

a^{\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left[\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{G^{\mathrm{r}}}{\mathrm{15}}\right)-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{3}}\right)\right]（10）

将岩样在不同围压下的残余强度代入式（8）～（10）中，可解出岩样到达残余阶段时的G^r。

根据图3和4中花岗岩和砂岩的应力‒应变曲线统计在不同围压下花岗岩和砂岩的峰值强度σ{}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}和残余强度σ{}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}，并分别进行M‒C和H‒B强度准则的线性拟合，拟合曲线如图7所示。

通过M‒C与H‒B强度准则，可计算得到花岗岩和砂岩试样的力学参数。

花岗岩试样在M‒C强度准则下：峰值强度，σ{}_{\mathrm{c}}^{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=147.70 MPa，c_peak=21.39 MPa，φ_peak=57.70°，拟合系数R²=0.97；残余强度，σ{}_{\mathrm{c}}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=27.78 MPa，c_res=4.70 MPa，φ_res=52.60°，拟合系数R²=0.96。花岗岩试样在H‒B强度准则下：峰值强度，G=100，σ_ci=133.98 MPa，m{}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}=40.47，s_peak=1.00，a_peak=0.50，拟合系数R²=0.99；残余强度，G=61.65，σ_ci=133.98 MPa，m{}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=10.29，s_res=0.014，a_res=0.503，拟合系数R²=0.95。

砂岩试样在M‒C强度准则下：峰值强度，σ{}_{\mathrm{c}}^{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=27.07 MPa，c_peak=9.18 MPa，φ_peak=22.92°，拟合系数R²=0.93；残余强度，σ{}_{\mathrm{c}}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=9.25 MPa，c_res=2.84 MPa，φ_res=26.94°，拟合系数R²=0.97。砂岩试样在H‒B强度准则下：峰值强度，G=100，σ_ci=25.17 MPa，m{}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}=4.34，s_peak=1.00，a_peak=0.50，拟合系数R²=0.95；残余强度，G=82.20，σ_ci=25.17 MPa，m{}_{\mathrm{b}}^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}=2.3，s_res=0.14，a_res=0.501，拟合系数R²=0.97。

根据计算结果，花岗岩和砂岩从峰值强度到残余强度，其强度值都有不同程度的跌落，花岗岩的强度跌落程度明显大于砂岩，从G的跌落程度可以看出，花岗岩到达残余强度时的G为61.65，而砂岩到达残余强度时的G为82.2，这意味着花岗岩从峰值强度到残余强度时的破碎程度要大于砂岩，在花岗岩和砂岩试样的破坏图中也有相应的体现（图5、6）。

花岗岩和砂岩在到达峰值破坏之后，其黏聚力迅速降低，但内摩擦角变化程度不大，这意味着岩石在峰值破坏后，强度下降的主要原因在于颗粒之间破碎后黏聚力的丧失，而岩石内部的摩擦力变化并不大。

2.1.2 强度参数演化规律

基于M‒C强度准则分析岩石强度参数演化规律，为得到内摩擦角与黏聚力随着塑性剪切应变的变化规律，采用方法如下：1）建立不同围压条件下岩石最大主应力σ₁与塑性剪切应变η之间的关系，如图8（a）所示；2）建立不同塑性剪切应变η下岩石的峰值强度与围压σ₃之间的关系，如图8（b）所示；3）基于不同塑性剪切应变η下岩石的最大主应力σ₁与围压σ₃之间的关系，采用M‒C强度准则得出不同塑性剪切应变η下岩石黏聚力与内摩擦角的关系，如图9所示。

根据图9（a）可发现，随着塑性剪切应变的增加，黏聚力逐渐减小，内摩擦角先增加至峰值然后减小，黏聚力和内摩擦角的变化规律与Martin等^[6]研究结果相类似，不同点在于，在塑性剪切应变为0时，Martin等^[6]认为内摩擦角为0，而此处内摩擦角不为0。

根据图9（b），砂岩的黏聚力和花岗岩类似，同样是随着塑性剪切应变η的增加而减小，但是砂岩的内摩擦角随着塑性剪切应变的增加而不断增大，其增大速率不断减小。这与Hajiabdolmajid等^[10]提出的黏结弱化‒摩擦强化模型（CWFS）类似，都表现出随着塑性剪切应变的增加，黏聚力逐渐减小，而内摩擦角逐渐增大的趋势。综上说明，岩石在破坏过程中强度参数的演变过程与岩石类型密切相关，硬岩与软岩呈现完全不同的规律。

2.2 峰后衰减模量

峰后衰减模量M是研究岩石峰后塑性特征的重要参数，是岩石从峰值强度到残余强度阶段曲线的平均负斜率，其示意图如图10所示。M越大，则岩石在软化阶段跌落的脆性越显著，峰值强度与残余强度的差值越大；M为无穷大时，应变软化行为对应弹‒脆‒塑性；M为0时，对应理想弹塑性。根据三轴压缩试验，花岗岩与砂岩峰后衰减模量的拟合结果如图11所示。

从图11可以看出：花岗岩的峰后衰减模量显著大于砂岩，这说明花岗岩在到达峰值破坏之后，其强度迅速降低，相对于砂岩来说，没有经历明显的软化阶段；而砂岩峰后衰减模量较小，并且围压的敏感程度较高，随着围压的增加，砂岩峰后衰减模量逐渐降低，砂岩的塑性特征逐渐明显。

2.3 临界塑性剪切应变

根据三轴压缩试验得到的花岗岩和砂岩全过程应力‒应变曲线，对花岗岩和砂岩在不同围压下的塑性剪切应变进行分析。本文塑性剪切应变的定义与文献[23‒25]类似，塑性剪切应变为最大塑性主应变与最小塑性主应变之间的差值：

{\eta }_{\mathrm{i}}={\epsilon }_{\mathrm{1},\mathrm{i}}^{\mathrm{p}}-{\epsilon }_{\mathrm{3},\mathrm{i}}^{\mathrm{p}}（11）

式中：η_i为岩石峰后阶段某一点处的塑性剪切应变；ε{}_{\mathrm{1},\mathrm{i}}^{\mathrm{p}}为岩石峰后阶段最大塑性主应变，为该点的最大总应变与最大弹性应变之差，ε{}_{\mathrm{3},\mathrm{i}}^{\mathrm{p}}为岩石峰后阶段最小塑性主应变，为该点的最小总应变与最小弹性应变之差^[23‒25]。

图12为岩石塑性剪切应变示意图。图12中：ε{}_{\mathrm{1},\mathrm{i}}^{\mathrm{e}}和ε{}_{\mathrm{3},\mathrm{i}}^{\mathrm{e}}分别为该点处最大主方向和最小主方向的弹性应变，可根据卸载弹性模量E₁和E₃确定； ε{}_{\mathrm{1},\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}^{\mathrm{p}}为岩石到达残余阶段时最大塑性主应变；ε{}_{\mathrm{3},\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}^{\mathrm{p}}为岩石到达残余阶段时最小塑性主应变；σ{}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}和 σ{}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}}分别为峰值阶段对应的最大主应力和最小主应力；η^*为临界塑性剪切应变；σ_3,i和σ_1,i为岩石峰后某一阶段处的最小主应力和最大主应力。

临界塑性剪切应变η^*的定义为岩石到达残余阶段时的塑性剪切应变，表示如下：

{\eta }^{\mathrm{*}}={\epsilon }_{\mathrm{1},\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}^{\mathrm{p}}-{\epsilon }_{\mathrm{3},\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}^{\mathrm{p}}（12）

临界塑性剪切应变η^*表征了岩石峰后到达残余阶段的时机，该应变越小，则越快到达残余阶段；该应变越大，则越迟到达残余阶段。图13给出了花岗岩与砂岩临界塑性剪切应变的拟合结果。从图13中可以看出，随着围压的升高，花岗岩和砂岩的临界塑性剪切应变逐渐降低，应力‒应变曲线会更早进入残余阶段，与大多数研究结论^[26‒27]相同。

通常情况下，与砂岩相比，花岗岩更加容易发生脆性破坏，即在同一围压下花岗岩的临界塑性剪切应变小于砂岩。然而，图13显示，花岗岩的临界塑性剪切应变略大于砂岩，原因可能是，试验过程中花岗岩在达到峰值破坏时释放的能量较大，会对试样的环向应变测量造成一定误差，导致花岗岩环向应变测量结果偏大，最终导致花岗岩临界塑性剪切应变偏大。

3 花岗岩和砂岩的剪胀性

岩石在荷载作用下会产生显著的体积膨胀，即岩石的剪胀效应，不同围压下花岗岩与砂岩体积应变‒轴向应变曲线如图14所示。图14的曲线大致可分为3个阶段：体积压缩阶段、体积快速膨胀阶段和体积缓慢膨胀阶段。

花岗岩与砂岩在峰后的剪胀效应具有明显差异：不同围压下花岗岩的剪胀角随着轴向应变的变化规律基本一致，在峰值应力前的体积变形很小，并在峰值后发生较大的体积膨胀，在达到残余应力之后体积膨胀逐渐变缓；但砂岩的峰后剪胀角受到围压变化的影响显著，砂岩在低围压状态的剪胀效应与花岗岩类似，随着围压的增加，砂岩扩容点逐渐被延迟，同时体积膨胀速率也逐渐降低。

岩石峰后的剪胀效应可以通过构建剪胀角模型进行研究，Vermeer等^[28]提出了剪胀角\psi的计算方法：

\psi =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{v}}^{\mathrm{p}}}{-\mathrm{2}{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{p}}+{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{v}}^{\mathrm{p}}}（13）

式中，{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{v}}^{\mathrm{p}}为岩石塑性体积应变增量，{\dot{\epsilon }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{p}}为岩石塑性轴向应变增量。根据图14，采用式（13）即可获得不同围压与塑性剪切应变下的剪胀角。

赵星光等^[29]根据统计大量试验结果，给出了受围压和塑性剪切应变共同影响的剪胀角拟合方程：

\psi =\frac{ab({\mathrm{e}}_{}^{-b\eta }-{\mathrm{e}}_{}^{-c\eta })}{c-b}（14）

\left\{\begin{array}{l}a=a_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{2}}\cdot {\mathrm{e}}^{\frac{-{\sigma }_{\mathrm{3}}}{a_{\mathrm{3}}}},\\ b=b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}}\cdot {\mathrm{e}}^{\frac{-{\sigma }_{\mathrm{3}}}{b_{\mathrm{3}}}},\\ c=c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}}\cdot {\sigma }_{\mathrm{3}}^{c_{\mathrm{3}}}\end{array}\right.（15）

式（14）、（15）中，b、c、a₁、a₂、a₃、b₁、b₂、b₃、c₁、c₂、c₃均为拟合参数。

基于花岗岩与砂岩不同围压与塑性剪切应变下的剪胀角结果，对式（14）与（15）进行拟合，拟合结果如图15所示。

图15（a）显示，不同围压条件下花岗岩剪胀角随塑性剪切应变的变化规律基本一致，即在很小的应变范围内，剪胀角先迅速增至峰值，达到峰值后逐渐降低。同时，花岗岩剪胀角大小也受到围压的影响，在单轴压缩的情况下，其峰值剪胀角达到了74°，当围压为20 MPa时，其峰值剪胀角降至66°。

图15（b）显示，砂岩剪胀角随塑性剪切应变的演化规律受围压影响显著。砂岩在低围压时（0～5 MPa），规律与花岗岩类似，即在经历较小的塑性剪切应变后（0.04～0.18）达到峰值剪胀角，约为38°～50°，在达到峰值后砂岩剪胀角迅速降低。随着围压增至10～15 MPa，砂岩剪胀角达到峰值需要经历更大的剪切应变，且在达到峰值后其衰减速率逐渐降低；当围压为20 MPa时，砂岩剪胀角在达到峰值之后剪胀角衰减十分缓慢。

图16为花岗岩和砂岩剪胀角随塑性剪切应变变化对比。由图16可知，花岗岩与砂岩在全破坏过程的剪胀角的演变规律具有显著差异，剪胀效应十分依赖岩石的类型，在峰后应变软化‒剪胀力学模型的构建中应合理评估硬岩和软岩的剪胀效应。

4 离散元数值模拟

4.1 模型建立

离散元数值模拟通过建立岩石颗粒的细观模型，模拟岩石在加载过程中的变形、破坏及软化机制，能够从细观角度揭示岩石在峰后阶段的软化机制。通过对比离散元模拟与试验结果在应力‒应变关系、破坏形态与细观裂纹扩展等方面的异同，可以验证数值模拟的合理性和准确性。

使用离散元计算软件PFC^2D对花岗岩和砂岩进行单轴压缩试验、双轴压缩试验和直接拉伸试验。数值模型试样的尺寸为50 mm×100 mm，填充的颗粒半径在0.4～0.6 mm之间，颗粒模型示意图如图17所示，其中，数值模型上、下加载板的加载速率均为1×10^‒3 m/s。

4.2 参数标定

在平直节理模型中，岩石被离散化为一系列颗粒。与其他离散元模型不同的是，平直节理模型中的颗粒或块体之间以平直节理的形式黏结，该黏结可视为线性（弹性）黏结或非线性（如弹塑性）黏结。在外力作用时，黏结会发生相应的变形和应力传递。当颗粒或块体间的黏结超过强度极限时，其力学行为表现为线弹性；当黏结应力超过强度极限后，黏结发生断裂，并从系统中移除。

基于花岗岩和砂岩不同围压的室内常规三轴试验数据，为深入研究硬岩和软岩峰后力学特性存在显著差异，精确反映岩体中节理面的基本特征，采用平直节理模型对花岗岩和砂岩的宏观力学参数进行标定，调整模型参数来模拟花岗岩和砂岩的力学行为，进而分析硬岩和软岩之间的差异。

细观参数标定流程如图18所示。首先，根据岩石的弹性模量和泊松比标定细观参数，如颗粒法向接触刚度k_n、颗粒法向接触刚度与切向接触刚度之比k_n/k_s、接触模型的法向接触刚度{\overline{k}}_{\mathrm{n}}、接触模型的法向接触刚度与切向接触刚度之比{\overline{k}}_{\mathrm{n}}/{\overline{k}}_{\mathrm{s}}。其次，根据岩石抗拉强度和单轴抗压强度，标定接触模型的张拉强度{\overline{\sigma }}_{\mathrm{t}}和黏聚力{\overline{\sigma }}_{\mathrm{c}}。最后，根据岩石在不同围压下的峰值强度，标定颗粒的摩擦系数u和接触模型的内摩擦角\overline{\phi }，此时，完成对模型细观参数的标定，细观参数取值见表1。

4.3 数值模拟结果分析

4.3.1 室内试验与数值模拟结果对比

基于以上标定结果，对花岗岩与砂岩的数值进行模拟，图19为花岗岩和砂岩三轴试验与数值模拟结果对比。

由图19可以看出，室内试验与数值模拟的结果基本一致，故所选定的细观参数可以较为合理地模拟岩石的宏观试验特性。

4.3.2 细观裂纹扩展分析

图20为围压5 MPa时花岗岩和砂岩到达残余阶段时的破坏形态，对于数值模拟结果，蓝色线段为张拉裂纹，红色线段为剪切裂纹

由图20可以看出，三轴试验结果与数值模拟结果相似，花岗岩模型出现了一条自上而下贯穿模型的剪切裂纹，其破坏模式为标准的剪切滑移破坏，砂岩则出现多条稍短的剪切裂纹，其破坏形态为楔形破坏。

图21为岩石应力、体积应变和微裂纹数目随轴向应变的变化趋势。为清晰反映破坏全过程的岩石细观现象，对5个特征点进行定义，分别为起裂点、扩容点、峰值应力点、体积应变0点、残余应力点，对应图21中的A～E点。当张拉裂纹由0开始增加时，对应A点；当体积压缩最小时，对应B点；应力峰值对应C点；当体积应变为0时，对应D点；当应力达到残余阶段时，对应E点。

图22给出了围压5 MPa时花岗岩与砂岩模型在5个特征点处的位移矢量。当花岗岩模型到达D体积应变0点时，其左部出现明显的剪切带，颗粒沿剪切带分成3个区域，剪切带两侧的颗粒移动方向都大致平行于剪切带，变形主要是3个刚体沿剪切带的相对滑动。当花岗岩模型到达E残余应力点时，模型完全破坏，此时破坏形态为剪切破坏。当砂岩模型到达D体积应变0点时，砂岩模型出现了4条剪切带，这4条剪切带将砂岩模型内部分割成一个菱形区域，剪切带外侧位移较大，而菱形区域内位移较小，此后砂岩模型的变形主要是由这4个刚体沿剪切带的相对滑动。当到达E残余应力点时，此时砂岩的破坏形态呈现出楔形破坏。

对比花岗岩和砂岩的位移矢量大小可以发现，在同一阶段，花岗岩中颗粒的位移小于砂岩。花岗岩从C峰值应力点到达D体积应变0点时，颗粒最大位移为5.2×10^-5 mm；砂岩从C峰值应力点到达D体积应变0点时，颗粒最大位移为14.5×10^-5 mm；说明花岗岩在进入软化阶段后，只要经历很小的应变就会产生滑移面，并迅速发生劈裂破坏，而砂岩在产生滑移面时会经历更大的塑性应变。

宏细观结果显示（图5和6）：到达残余破坏时，砂岩的剪切带与水平面的夹角都小于花岗岩，且砂岩产生了多个块体之间的相互滑移破坏；而花岗岩产生的是从上而下的贯穿裂纹。原因可能是：当达到破坏时（图21），砂岩的围压与轴向力差异不大，而花岗岩的轴向力是围压的数倍。因此，砂岩的破坏形态受到围压与轴向力的共同影响，而花岗岩主要受到轴向力控制。

5 结　论

根据硬岩与软岩的三轴压缩试验，提出了峰后衰减模量、临界塑性剪切应变随着围压变化的拟合公式，揭示了强度参数（如摩擦角与黏聚力）随塑性剪切应变的衰减规律。提出了不同围压下剪胀角随塑性剪切应变的拟合公式，从而构建了硬岩与软岩峰后应变软化‒剪胀力学模型。另外，从细观角度采用颗粒流方法研究了硬岩与软岩到达残余阶段时的裂纹扩展情况与位移特征。基于本研究采用的花岗岩和砂岩，得出结论如下：

1）硬岩和软岩从峰值强度到残余强度，其强度值都有不同程度的跌落，硬岩的强度跌落程度明显大于软岩，且破碎程度也大于软岩。不同类型岩石在峰值破坏后，强度下降的主要原因在于颗粒之间破碎后黏聚力的丧失，而岩石内部的摩擦力变化并不大。

2）硬岩与软岩破坏全过程的强度参数演化规律完全不同，随着塑性剪切应变的增加，硬岩黏聚力逐渐减小，内摩擦角先增加至峰值后减小。软岩的黏聚力和硬岩类似，但软岩的内摩擦角随着塑性剪切应变的增加而不断增大，其增大速率不断减小。

3）硬岩与软岩的峰后剪胀行为具有显著差异。硬岩在不同围压下剪胀角随塑性剪切应变的规律基本一致，即初始阶段迅速增至峰值，而后逐渐减小。相比之下，软岩的剪胀角演化规律受到围压的影响很大，在低围压时与硬岩的规律类似；然而，围压较大时，剪胀角较迟到达峰值点，且之后减小过程也较为缓慢。这说明在峰后应变软化‒剪胀力学模型的构建中要合理评估硬岩和软岩的剪胀行为。

4）硬岩与软岩的峰后裂纹扩展行为存在显著区别；硬岩在峰后只要经历很小的应变就会产生滑移面，并迅速发生劈裂破坏；软岩产生滑移面时会经历更大的塑性应变。且在峰后阶段，硬岩逐渐形成从上而下的贯穿裂纹，而软岩则产生多个块体之间的相互滑移破坏。

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基金资助

国家自然科学基金项目(52279118)

国家自然科学基金项目(U21A20159)

中国科学院青年创新促进会项目(2023344)