地震作用下斜坡地层浅埋条形锚板抗拔承载力拟静力分析

Pseudo-static Analysis on the Pullout Capacity of an Inclined Shallow Strip Anchor Plate Embedded in Slope Strata Under Seismic Action

摘要

地形起伏、布设方式与服役阶段地震荷载等因素，会对锚板抗拔承载与安全稳定产生重要影响。针对高烈度地震区斜坡地层浅埋倾斜锚板的抗拔承载力问题，本文构造了锚板上方土体破坏的机动许可速度场，基于塑性上限定理与拟静力法，结合非线性Mohr‒Coulomb强度准则，推导出了地震作用下锚板抗拔承载力、土体破裂曲线的解析表达式，揭示了锚板设计参数、土体参数及地震力等因素对锚板抗拔承载力与土体破坏范围的影响规律。结果表明：锚板抗拔承载力与埋深比、土体初始黏聚力、土体重度及地表荷载成正比，与锚板倾角、地表倾角、非线性系数及地震力成反比；土体破坏范围与地震力、初始黏聚力成正相关，与非线性系数、土体重度、地表荷载、锚板倾角、地表倾角成负相关。通过参数退化分析验证了本文方法的计算结果与Murray等理论解在变化趋势与数值量级上均高度一致；进一步地，通过开展3种不同工况下的12组数值模拟，发现理论解析解与数值模拟结果具有高度一致性，充分验证了本文理论方法的正确性和可靠性。本文研究工作可为高烈度地震区条形锚板基础的设计及施工提供一定的理论参考，能够帮助优化锚板设计，提高其在地震荷载作用下的安全性和稳定性。

Abstract

Objective The uplift capacity and safety stability of anchor plates are significantly influenced by factors such as terrain relief, installation methods, and seismic loads during the service phase. This study seeks to derive analytical expressions for the uplift capacity of anchor plates under seismic action, along with the corresponding soil failure curve, to address the problem of the uplift capacity of shallow-buried inclined anchor plates in sloping strata located in high-intensity seismic zones. It further aims to clarify the influence patterns of anchor plate design parameters, soil properties, and seismic forces on the uplift capacity and the extent of soil failure. The research provides theoretical references for the design and construction of strip anchor plate foundations in high-intensity seismic regions, helping to optimize anchor plate design and enhance their safety and stability under seismic loading. Methods This study constructed a kinematically admissible velocity field that represented the failure mechanism of the soil mass above the anchor plate. Based on the plastic upper-bound theorem and the pseudo-static method, and incorporating the nonlinear Mohr-Coulomb strength criterion, analytical expressions for the seismic uplift capacity of the anchor plate and the geometry of the soil failure curve were theoretically derived. This methodology integrated the effects of seismic forces simulated via the pseudo-static approach and the nonlinear shear strength characteristics of the soil. A two-stage validation process was employed to verify the correctness and reliability of the proposed theoretical method. First, a parameter degradation analysis was conducted. The computational results of this method were compared to the existing theoretical solutions proposed by Murray et al. through simplifying specific parameters in the derived formulas. The results showed a high degree of consistency in both variation trends and numerical magnitude. Second, further validation was performed through numerical modeling. Twelve sets of numerical simulations under three different working conditions were conducted. The results obtained from these simulations demonstrated a high level of agreement with the theoretical analytical solutions derived in this study, fully confirming the correctness and reliability of the proposed theoretical method. Conclusions Based on the results, the pullout capacity of the anchor plate is directly proportional to the embedment depth-to-width ratio, initial cohesion, soil unit weight, and ground surface load, whereas it is inversely proportional to the inclination of the anchor plate, surface inclination, nonlinear coefficient, and seismic load. The soil failure range is positively correlated with the seismic load and initial cohesion, whereas it is negatively correlated with the nonlinear coefficient, soil unit weight, ground surface load, surface indination, and the inclination of the anchor plate. This study successfully derives theoretical solutions for the seismic uplift capacity and failure mechanism of shallow-buried inclined anchor plates in sloping ground. The validity of these solutions is rigorously confirmed through comparison to existing theories and extensive numerical simulations. The research outcomes provide a valuable theoretical basis for the design and construction of strip anchor plate foundations in high-intensity seismic areas, contributing to the optimization of anchor plate design and the enhancement of seismic safety and stability.

Graphical abstract

关键词

地震作用 / 倾斜条形锚板 / 抗拔承载力 / 拟静力法 / 上限定理 / 斜坡地层 / 浅埋锚板

Key words

seismic action / inclined strip anchor plate / pullout capacity / pseudo-static method / upper bound theorem / slope strata / shallow anchor plate

本刊网刊

锚板是一种重要的抗拔基础，具有结构形式简单、造价低廉、便于施工等优势，目前已广泛用于输电塔、边坡挡墙及地下结构抗浮工程中^[1‒2]。在锚板基础设计时，合理估算锚板抗拔承载力是保障基础安全与稳定的一项重要内容。影响锚板抗拔承载力的常见因素包括锚板的埋深、尺寸、形状，以及锚板上方回填材料性质、上部结构荷载、服役环境等因素^[3]。近十几年，国内外众多学者采用理论分析、室内试验与数值模拟等方法对锚板抗拔承载力进行了多方面的研究。理论分析方面，杨明辉^[4]、Hu^[5]、Ganesh^[6]、Zhao^[7]等基于塑性分析上限法，提出锚板上拔破坏的机动许可速度场，计算了锚板上拔破坏过程中的内部能量耗散率与外力功率，得到了锚板抗拔承载力的理论计算公式，分析了锚板设计参数和埋深等影响因素对承载力的影响规律。室内试验方面，张昕^[8]、李青^[9]、芮瑞^[10]、史旦达^[11]、Xia^[12]等开展了圆形、条形及矩形锚板上拔破坏的室内模型试验，并借助PIV、DIC等数字图像技术获取到了锚板上拔过程中的土体应变场，分析了锚板的上拔承载演化特征。数值模拟方面，邹维列^[13]、胡伟^[14]、Choudhary^[15]、Bhattacharya^[16]、Khuntia^[17]、Hassan^[18]等使用FLAC-3D、ABAQUS、PLAXIS等数值模拟软件，分析了锚板的上拔破坏过程，揭示了不同工况下锚板周围土体的应力、位移及塑性区等演化过程。

在一些高烈度地震区，锚板在服役阶段受到的地震作用也是影响其抗拔承载力的一项关键因素，在工程设计中应予以足够重视。学者们针对地震力扰动条件下锚板抗拔承载力开展了一定的研究，例如：Ganesh^[19]、Sahoo^[20]等研究了方形和圆形锚板在地震力作用下的抗拔承载力；Choudhury^[21]、Shiau^[22]等考虑了地面倾斜角度、地震动荷载系数、内摩擦角及埋深比等因素的影响，提出锚板抗拔承载力理论公式。上述研究工作可为地震影响下锚板抗拔承载力的估算提供良好的理论基础。然而，影响锚板抗拔承载力的因素复杂多变，关于土体的非线性破坏特征、锚板布设方式等因素对锚板抗拔承载力及锚板上方土体破坏机制的研究还很欠缺，尚需进一步研究与讨论。

本文基于现有工作，进一步聚焦斜坡地层任意布设角度的条形锚板，并考虑地震作用的影响，提出一种极限状态下锚板的非对称上拔破坏机制。在该破坏机制中，假设土体破坏满足非线性Mohr-Coulomb强度准则，并基于塑性上限定理和拟静力法，推导出地震作用下斜坡地层倾斜锚板抗拔承载力和土体破裂曲线的理论公式，系统探究了不同工况参数的影响规律。最后，通过将本文理论解与经典理论解及数值模拟结果进行对比，验证了本文方法的有效性。本文研究工作可为高烈度地震区浅埋锚板基础设计提供理论参考。

1 斜坡地层倾斜锚板拟静力破坏机制

对浅埋条形锚板而言，其主要承受来自上部结构的上拔荷载。当上拔荷载足够大，超过回填土体抗剪强度时，锚板上方土体极易产生贯通至地表的整体破坏。如：蒋志琳^[23]、Zhao^[24]等均将锚板上部土体视为整体破坏来进行承载力计算分析。基于此，本文利用传统塑性上限定理，针对斜坡地层任意安设角度的锚板，构造了如图1所示的上拔破坏机动许可速度场，并考虑了地震荷载影响。

图1中，α为锚板安设角度，D为锚板宽度，β为地表倾斜角度，H为埋置深度，q为地表荷载，d为锚板半宽，Q_x 为水平地震惯性力，Q_y 为竖向地震惯性力，G为土体自重，P_u为锚板抗拔承载力，σ_n1、σ_n2分别为右侧和左侧破裂面处的正应力，τ_n1、τ_n2分别为右侧和左侧破裂面处的剪应力，φ₁、φ₂分别为右侧和左侧土体的内摩擦角。由于地层与锚板均存在一定倾斜角度，本文假设锚板上方土体产生非对称破坏。相应地，f₁(x)、f₂(x)分别为右侧和左侧土体破裂曲线函数，b₁、b₂分别为地表处右侧和左侧破裂面宽度，θ₁、θ₂为相应地表处的破裂角度。同时，在利用上限定理进行计算求解时，本文将锚板上方土体视为理想刚塑性材料。假设在拉拔荷载作用下，仅仅在土体破裂面处产生塑性破坏，锚板上方土体则以速度\dot{u}沿y轴整体正向运动。

在分析锚板上拔破坏所受到的地震荷载影响时，本文采用土工结构地震稳定性分析中常用的拟静力法^[25‒26]。该方法通过引入水平与竖向地震力系数k_h、k_v，可将地震动态力等效成为静态力。

为聚焦地震作用下锚板‒土体核心相互作用机制，本文在计算地震惯性力时作如下简化：仅考虑由土体自重引起的地震惯性力。对于地表荷载q，其产生的地震惯性效应不予重复考虑，而是将其作为静力参与整体的平衡分析。

基于上述考虑，针对图1所示的破坏机制，作用于土体上的等效地震惯性力可表示为^[27‒28]：

Q_y=k_{\mathrm{v}}G（1）

Q_x=k_{\mathrm{h}}G（2）

在参数取值上，k_h与k_v应满足如下比例关系^[29]：

k_{\mathrm{v}}=\eta k_{\mathrm{h}}（3）

式中，η为地震效应的比例系数（一般取0.5）。为系统探究地震力影响，本文就k_h分别取0、0.1、0.2、0.3这4种工况进行讨论，涵盖了从无震到强震的典型设计场景。

根据Hoek^[30]、Agar^[31]、Santarelli^[32]等的研究，岩土类材料在破坏时，其强度参数随应力水平变化表现出明显的非线性特性。然而，传统的线性Mohr-Coulomb强度准则难以准确描述这一行为。因此，采用非线性强度准则表征岩土体的破坏特性更为合理。在本文研究中，借鉴Zhao^[33]、李亮^[34]等广泛采用的方法，选用非线性Mohr-Coulomb强度准则描述岩土体的破坏行为，具体表达式如下：

{\tau }_{\mathrm{n}}=c_{\mathrm{0}}{\left(\mathrm{1}+\frac{{\sigma }_{\mathrm{n}}}{{\sigma }_{\mathrm{t}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{m}}（4）

式中：τ_n为剪应力；σ_n为正应力；σ_t为抗拉强度；c₀为初始黏聚力；m为非线性系数（m\ge1），当m=1时，该准则可转化为传统的线性Mohr-Coulomb强度准则。

2 锚板抗拔承载力上限分析

2.1 内部能量耗散率

图1中，土体破坏假设符合非线性Mohr-Coulomb强度准则，相应的土体屈服函数F_n为：

F_{\mathrm{n}}={\tau }_{\mathrm{n}}-c_{\mathrm{0}}{\left(\mathrm{1}+\frac{{\sigma }_{\mathrm{n}}}{{\sigma }_{\mathrm{t}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{m}}（5）

根据图1破坏机制及相关假设可知，破裂面处应力达到土体抗剪强度时会产生塑性变形与能量耗散。根据传统塑性力学中的位势理论，土体破裂面处的塑性应变率ε_ij 为：

{\epsilon }_{ij}=\dot{\lambda }\frac{\partial \delta }{\partial {\sigma }_{ij}}（6）

式中，σ_ij 为应力张量，\dot{\lambda }为塑性因子，δ为塑性势函数。

由于图1所示的破坏机制是非对称的，以右侧破裂面为例，令塑性势函数与土体屈服函数一致，即可求出右侧土体破裂面处的塑性应变率为：

\left\{\begin{array}{l}{\epsilon }_{\mathrm{n}\mathrm{1}}=-c_{\mathrm{0}}{\dot{\lambda }}_{\mathrm{1}}(m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{-\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\frac{{\sigma }_{\mathrm{n}\mathrm{1}}}{{\sigma }_{\mathrm{t}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}-m}{m}},\\ {\gamma }_{\mathrm{n}\mathrm{1}}={\dot{\lambda }}_{\mathrm{1}}\end{array}\right.（7）

式中，ε_n1、γ_n1分别为右侧破裂面处的塑性正应变率与塑性剪应变率，\dot{\lambda }₁为右侧破裂面处的塑性因子。

同时，根据图1的几何关系，右侧破裂面处塑性应变率还可表示为：

\left\{\begin{array}{l}{\epsilon }_{\mathrm{n}\mathrm{1}}=\left(\frac{\dot{u}}{w_{\mathrm{1}}}\right)[\mathrm{1}+f_{\mathrm{1}}{{}^{\mathrm{\text{'}}}}^{\mathrm{2}}{(x)]}^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}},\\ {\gamma }_{\mathrm{n}\mathrm{1}}=-\left(\frac{\dot{u}}{w_{\mathrm{1}}}\right)f_{\mathrm{1}}{}^{\mathrm{\text{'}}}(x)[\mathrm{1}+f_{\mathrm{1}}{{}^{\mathrm{\text{'}}}}^{\mathrm{2}}{(x)]}^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\end{array}\right.（8）

式中，f_{\mathrm{1}}{}^{\mathrm{\text{'}}}(x)=\partial f_{\mathrm{1}}(x)/\partial x，w₁为右侧土体破裂面厚度。

令式（7）与式（8）中的塑性应变率相等，即可求得右侧破裂面处的塑性因子\dot{\lambda }₁：

{\dot{\lambda }}_{\mathrm{1}}=-\left(\frac{\dot{u}}{w_{\mathrm{1}}}\right)f_{\mathrm{1}}{}^{\mathrm{\text{'}}}(x)[\mathrm{1}+f_{\mathrm{1}}{{}^{\mathrm{\text{'}}}}^{\mathrm{2}}{(x)]}^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}（9）

右侧土体破裂面处正应力与剪应力可以分别表示为：

{\sigma }_{\mathrm{n}\mathrm{1}}={\sigma }_{\mathrm{t}}\left\{{\left[\frac{c_{\mathrm{0}}{f}_{\mathrm{1}}{}^{\mathrm{\text{'}}}(x)}{m{\sigma }_{\mathrm{t}}}\right]}^{\frac{m}{m-\mathrm{1}}}-\mathrm{1}\right\}（10）

{\tau }_{\mathrm{n}\mathrm{1}}=c_{\mathrm{0}}^{{}^{\frac{m}{m-\mathrm{1}}}}[(m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{-\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{1}}{}^{\mathrm{\text{'}}}{(x)]}^{\frac{\mathrm{1}}{m-\mathrm{1}}}（11）

可求得右侧土体破裂面处产生的单位体积内部耗散率D₁大小为：

\begin{array}{l}{D}_{\mathrm{1}}={\sigma }_{\mathrm{n}\mathrm{1}}{\epsilon }_{\mathrm{n}\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{n}\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{n}\mathrm{1}}=\frac{\dot{u}}{w_{\mathrm{1}}\sqrt[]{\mathrm{1}+f_{\mathrm{1}}{{}^{\mathrm{\text{'}}}}^{\mathrm{2}}(x)}}·\\ \left\{\frac{m-\mathrm{1}}{m}\cdot (m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-m}}[c_{\mathrm{0}}{f}_{\mathrm{1}}{}^{\mathrm{\text{'}}}(x)]+{\sigma }_{\mathrm{t}}\right\}\end{array}（12）

根据图1所示的几何关系，将D₁沿f₁(x)在区间[d, b₁cos(α-β)]进行积分，可得到右侧土体破裂面处内部能量耗散率W_i1为：

W_{\mathrm{i}\mathrm{1}}={\int }_d^{b_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha -\beta )}\left\{{c_{\mathrm{0}}}^{\frac{m}{m-\mathrm{1}}}\right.(m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-m}}\cdot \frac{m-\mathrm{1}}{m}\left.f_{\mathrm{1}}{}^{\mathrm{\text{'}}}{(x)}^{\frac{m}{m-\mathrm{1}}}+{\sigma }_{\mathrm{t}}\right\}\dot{u}\mathrm{d}x（13）

同理可得左侧土体破裂面处内部能量耗散率W_i2为：

\begin{array}{l}{W}_{\mathrm{i}\mathrm{2}}={\int }_{-b_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha -\beta )}^{-d}\left\{{c_{\mathrm{0}}}^{\frac{m}{m-\mathrm{1}}}\right.(m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-m}}\cdot \\ \frac{m-\mathrm{1}}{m}[-f_{\mathrm{2}}{}^{\mathrm{\text{'}}}(x)]\left.{}^{\frac{m}{m-\mathrm{1}}}+{\sigma }_{\mathrm{t}}\right\}\dot{u}\mathrm{d}x\end{array}（14）

进而可求得锚板上方土体破裂面处总的内部能量耗散率W_i为：

W_{\mathrm{i}}=W_{\mathrm{i}\mathrm{1}}+W_{\mathrm{i}\mathrm{2}}（15）

2.2 外部能量耗散率

在图1破坏机制中，锚板在上拔破坏过程中所受到的外力主要包括土体自重、抗拔承载力、地表荷载与地震惯性力。为计算外力在统一速度方向上的功率，对所有外力均沿锚板拉拔方向进行受力分解，并基于虚功原理进行考量。

锚板上方土体自重做功功率W_γ 由两侧土体自重做功功率W_γ1、W_γ2相加可得，即：

W_{\gamma }=W_{\gamma \mathrm{1}}+W_{\gamma \mathrm{2}}（16）

其中，W_γ1、W_γ2可根据图1所示几何关系求得：

\begin{array}{l}{W}_{\gamma \mathrm{1}}=-{\int }_d^{b_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha -\beta )}{f}_{\mathrm{1}}(x)\mathrm{d}x-b_{\mathrm{1}}\gamma \dot{u}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\beta -\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \cdot \\ \left[\frac{H}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha (\mathrm{1}+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta )}\right.+\left.\frac{b_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\beta -\alpha )}{\mathrm{2}}\right]\end{array}（17）

\begin{array}{l}{W}_{\gamma \mathrm{2}}=-{\int }_{b_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\beta -\alpha \right)}^{-d}{f}_{\mathrm{2}}(x)\mathrm{d}x-b_{\mathrm{2}}\gamma \dot{u}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\beta -\alpha )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \cdot \\ \left[\frac{H}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha (\mathrm{1}+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta )}\right.+\left.\frac{b_{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\beta -\alpha )}{\mathrm{2}}\right]\end{array}（18）

式（17）、（18）中，γ为土体重度。

锚板抗拔承载力做功功率W_pu为：

W_{\mathrm{p}\mathrm{u}}=P_{\mathrm{u}}\dot{u}（19）

地表荷载做功功率W_q 为：

W_q=-q\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha -\beta )\dot{u}(b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}})（20）

地震力做功功率W_Q 为：

\begin{array}{l}{W}_Q=\dot{u}\gamma (k_{\mathrm{v}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha +k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha )\cdot \left\{-{\int }_d^{b_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha -\beta )}{f}_{\mathrm{1}}(x)\mathrm{d}x\right.-\\ {\int }_{-b_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\beta -\alpha )}^{-d}{f}_{\mathrm{2}}(x)\mathrm{d}x+\frac{(b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}})}{\mathrm{4}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{2}(\beta -\alpha )+\\ \left.\frac{(b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}})H\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\beta -\alpha )}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha (\mathrm{1}+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta )}\right\}\end{array}（21）

2.3 抗拔承载力

由虚功率原理可知，内部能量耗散率与总的外力做功功率相等，由此可得：

W_{\mathrm{i}}=W_{\gamma }+W_{\mathrm{p}\mathrm{u}}+W_q+W_Q（22）

将式（15）、（16）、（19）～（21）代入式（22）中，整理后可求得锚板抗拔承载力P_u：

\begin{array}{l}{P}_{\mathrm{u}}=\left\{\frac{H(b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\beta -\alpha )}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha (\mathrm{1}+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta )}\right.+\left.\frac{(b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{2}(\beta -\alpha )}{\mathrm{4}}\right\}\cdot \\ [(\mathrm{1}-k_{\mathrm{v}})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha -k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha ]\gamma +{\int }_d^{b_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha -\beta )}\left\{\begin{array}{c}\\ \end{array}[k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +\right.\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha (k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})]\gamma f_{\mathrm{1}}(x)+{\sigma }_{\mathrm{t}}+(m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-m}}[c_{\mathrm{0}}{f}_{\mathrm{1}}{}^{\mathrm{\text{'}}}{(x)]}^{\frac{m}{m-\mathrm{1}}}\cdot \\ \left.\frac{m-\mathrm{1}}{m}\right\}\mathrm{d}x+{\int }_{-b_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\alpha -\beta )}^{-d}\left\{\begin{array}{c}\\ \end{array}\gamma \right.f_{\mathrm{2}}(x)[k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +(k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})\cdot \\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ]+(m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-m}}\frac{m-\mathrm{1}}{m}\cdot [-c_{\mathrm{0}}{f}_{\mathrm{2}}{}^{\mathrm{\text{'}}}{(x)]}^{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}-\mathrm{1}}}\left.+{\sigma }_{\mathrm{t}}\begin{array}{c}\\ \end{array}\right\}\mathrm{d}x+\\ (b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}})q\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\beta -\alpha )\end{array}（23）

然而，由此求得的抗拔承载力P_u为锚板在极限状态下对应的破坏荷载。根据上限定理可知，该破坏荷载大于或等于真实的破坏荷载。为获得最优解，首先，令

\begin{array}{l}{\Lambda }_{\mathrm{1}}={\sigma }_{\mathrm{t}}+\gamma f_{\mathrm{1}}(x)[k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha (k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})]+(m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-m}}\cdot \\ \frac{m-\mathrm{1}}{m}[c_{\mathrm{0}}{f}_{\mathrm{1}}{}^{\mathrm{\text{'}}}{(x)]}^{\frac{m}{m-\mathrm{1}}}\end{array}（24）

{\Lambda }_{\mathrm{2}}={\sigma }_{\mathrm{t}}+\gamma f_{\mathrm{2}}(x)[k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha (k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})]+(m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-m}}\cdot \frac{m-\mathrm{1}}{m}[-c_{\mathrm{0}}{f}_{\mathrm{2}}{}^{\mathrm{\text{'}}}{(x)]}^{\frac{m}{m-\mathrm{1}}}（25）

然后，基于变分极值原理，可将式（24）、（25）分别代入如下欧拉方程进行求解：

\frac{\partial {\Lambda }_{\mathrm{1}}}{\partial f_{\mathrm{1}}(x)}-\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{\partial {\Lambda }_{\mathrm{1}}}{\partial f_{\mathrm{1}}{}^{\mathrm{\text{'}}}(x)}\right]=\mathrm{0}（26）

\frac{\partial {\Lambda }_{\mathrm{2}}}{\partial f_{\mathrm{2}}(x)}-\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{\partial {\Lambda }_{\mathrm{2}}}{\partial f_{\mathrm{2}}{}^{\mathrm{\text{'}}}(x)}\right]=\mathrm{0}（27）

其中，

\frac{\partial {\Lambda }_{\mathrm{1}}}{\partial f_{\mathrm{1}}(x)}=\frac{\partial {\Lambda }_{\mathrm{2}}}{\partial f_{\mathrm{2}}(x)}=[k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +(k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ]\gamma（28）

\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{\partial {\Lambda }_{\mathrm{1}}}{\partial f_{\mathrm{1}}{}^{\mathrm{\text{'}}}(x)}\right]=\frac{{c_{\mathrm{0}}}^{\frac{m}{m-\mathrm{1}}}}{m-\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{1}}{}^{″}(x)\cdot f_{\mathrm{1}}{}^{\mathrm{\text{'}}}{(x)}^{\frac{\mathrm{2}-m}{m-\mathrm{1}}}\cdot (m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-m}}（29）

\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{\partial {\Lambda }_{\mathrm{2}}}{\partial f_{\mathrm{2}}{}^{\mathrm{\text{'}}}(x)}\right]=\frac{{c_{\mathrm{0}}}^{\frac{m}{m-\mathrm{1}}}}{m-\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{2}}{}^{″}(x)\cdot [-f_{\mathrm{2}}{}^{\mathrm{\text{'}}}{(x)]}^{\frac{\mathrm{2}-m}{m-\mathrm{1}}}\cdot (m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-m}}（30）

将式（28）、（29）、（30）代入式（26）、（27）中可得：

\begin{array}{l}\mathrm{0}=\gamma [k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +(k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ]-{(m-\mathrm{1})}^{-\mathrm{1}}(m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-m}}{c_{\mathrm{0}}}^{\frac{m}{m-\mathrm{1}}}\cdot \\ f_{\mathrm{1}}{}^{\mathrm{\text{'}}}{(x)}^{\frac{\mathrm{2}-m}{m-\mathrm{1}}}{f}_{\mathrm{1}}{}^{″}(x)\end{array}（31）

\begin{array}{l}\mathrm{0}=\gamma [k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +(k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ]-{(m-\mathrm{1})}^{-\mathrm{1}}(m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-m}}\cdot \\ {c_{\mathrm{0}}}^{\frac{m}{m-\mathrm{1}}}[-f_{\mathrm{2}}{}^{\mathrm{\text{'}}}{(x)]}^{\frac{\mathrm{2}-m}{m-\mathrm{1}}}{f}_{\mathrm{2}}{}^{″}(x)\end{array}（32）

可求得如下函数表达式：

f_{\mathrm{1}}{}^{\mathrm{\text{'}}}(x)=c_{\mathrm{0}}^{-m}m{\sigma }_{\mathrm{t}}\{[k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha (k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})]\gamma x-K_{\mathrm{1}}{\}}^{m-\mathrm{1}}（33）

f_{\mathrm{2}}{}^{\mathrm{\text{'}}}(x)=-c_{\mathrm{0}}^{-m}m{\sigma }_{\mathrm{t}}\left\{-[k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +(k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ]\right.\gamma x+K_{\mathrm{2}}{\}}^{m-\mathrm{1}}（34）

式（33）、（34）中，K₁、K₂为积分待定常数。

进而可求得f₁(x)、f₂(x)的表达式如下：

\begin{array}{l}{f}_{\mathrm{1}}(x)=c_{\mathrm{0}}{}^{-m}{\sigma }_{\mathrm{t}}\{\gamma x[k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +(k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha -K_{\mathrm{1}}{]\}}^m\{[k_{\mathrm{h}}·\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +(k_{\mathrm{v}}{-\mathrm{1})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ]\gamma \}}^{-\mathrm{1}}+L_{\mathrm{1}}\end{array}（35）

\begin{array}{l}{f}_{\mathrm{2}}(x)=-c_{\mathrm{0}}{}^{-m}{\sigma }_{\mathrm{t}}\{-\gamma x[k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +(k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ]+K_{\mathrm{2}}{\}}^m\{[k_{\mathrm{h}}·\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +(k_{\mathrm{v}}{-\mathrm{1})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ]\gamma \}}^{-\mathrm{1}}+L_{\mathrm{2}}\end{array}（36）

式（35）、（36）中，L₁、L₂为积分待定常数。

为求解式（35）、（36）中的等积分待定常数，根据图1中几何关系可知，右侧土体破裂曲线f₁(x)应满足如下边界条件：

f_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(x){|}_{x=b_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\beta -\alpha )}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{1}}（37）

f_{\mathrm{1}}(x){|}_{x=d}=\mathrm{0}（38）

可求得：

\begin{array}{l}{K}_{\mathrm{1}}=\gamma b_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\beta -\alpha )[k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +(k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ]-\\ [c_{\mathrm{0}}{}^m(m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{-\mathrm{1}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{1}}{]}^{\frac{\mathrm{1}}{m-\mathrm{1}}}\end{array}（39）

\begin{array}{l}{L}_{\mathrm{1}}=-c_{\mathrm{0}}{}^{-m}{\sigma }_{\mathrm{t}}\left\{\begin{array}{c}\\ \end{array}\gamma [k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +\right.(k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ][d-b_{\mathrm{1}}\cdot \\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\beta -\alpha )]+[(m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{-\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{0}}{}^m\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{1}}]{\left.{}^{\frac{\mathrm{1}}{m-\mathrm{1}}}\right\}}^m\{\gamma [k_{\mathrm{h}}\cdot \\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +(k_{\mathrm{v}}{-\mathrm{1})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ]\}}^{-\mathrm{1}}\end{array}（40）

同理可求得：

\begin{array}{l}{K}_{\mathrm{2}}=-\gamma b_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\beta -\alpha )[k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +(k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ]-\\ [c_{\mathrm{0}}{}^m(m{\sigma }_{\mathrm{t}}{)}^{-\mathrm{1}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{2}}{]}^{\frac{\mathrm{1}}{m-\mathrm{1}}}{(-\mathrm{1})}^{\frac{m+\mathrm{1}}{m-\mathrm{1}}}\end{array}（41）

\begin{array}{l}{L}_{\mathrm{2}}=-c_{\mathrm{0}}{}^{-m}{\sigma }_{\mathrm{t}}\left\{\begin{array}{c}\\ \end{array}\right.\gamma [k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +(k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha ][d-b_{\mathrm{2}}\cdot \\ {\left.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\beta -\alpha )]+[(m{\sigma }_t{)}^{-\mathrm{1}}(-c_{\mathrm{0}}{)}^m\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{2}}{]}^{\frac{\mathrm{1}}{m-\mathrm{1}}}\right\}}^m\cdot \\ \left\{\gamma \right.\left[k_{\mathrm{h}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +(k_{\mathrm{v}}-\mathrm{1})\right.{\left.\left.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right]\right\}}^{-\mathrm{1}}\end{array}（42）

3 结果分析与讨论

影响锚板抗拔承载力的因素众多，为更好地指导锚板基础的设计及施工，系统分析了地震力作用下不同因素对锚板抗拔承载力及土体破裂范围的影响规律。为了便于分析，令锚板宽度为2 m，并定义锚板埋深比ζ=H/2d。

3.1 锚板倾角、地表倾角影响规律

当地表倾角与土体力学参数一定（m=2、β=30°、c₀=18 kPa、q=20 kPa、γ=20 kN/m³）时，图2为不同埋深比和地震力系数影响下，锚板抗拔承载力随锚板布设倾角的变化曲线。由图2可知，锚板倾角α与地震力系数的大小对锚板抗拔承载力影响显著。当埋深比不变时，随着锚板倾角α和地震力系数的增大，锚板抗拔承载力呈现不断降低的趋势；当锚板倾角α与地震力系数不变时，随着埋深比的增大，锚板的抗拔承载力不断增加且增幅较为显著。因此，在实际倾斜地层工况中，为获得较优的抗拔承载性能，锚板安装角度不宜过大；适当增大锚板埋置深度可显著提升锚板抗拔承载能力。

图3为当埋深比ζ=2时，在地震力作用下，锚板倾角α对土体破裂范围的影响规律，其中，β=30°，k_h=0.2，k_v=0.10，m=2，c₀=18 kPa，q=20 kPa，γ=20 kN/m³。由图3可知，受地表倾角β与锚板倾角α影响，锚板上方土体破坏范围呈现出明显的非对称特性且总体上呈现出随锚板倾角α改变而相应旋转的趋势。

值得注意的是，当地表倾角β与锚板倾角α相等时，对称轴两侧的能量耗散率完全相同，致使锚板上方两侧土体的破裂面宽度相等，因此，土体破坏范围呈现一定对称性。

图4为当锚板倾角α和力学参数保持恒定、埋深比ζ=2时，在地震力作用下，锚板抗拔承载力随地表倾角β的演变规律，其中，m=2，α=30°，c₀=18 kPa，q=20 kPa，γ=20 kN/m³。由图4可知，地表倾角β的增大会显著弱化锚板的抗拔承载力，两者呈现显著的负相关关系。进一步分析表明：地震力系数对锚板的抗拔性能同样具有削弱作用，在任意地表倾角β下，地震力系数愈大，锚板抗拔承载力愈小；地震力系数与地表倾角β的耦合劣化效应十分显著。

相应地，图5为在地震力作用下土体破裂范围随地表倾角β的变化规律。由图5可知，锚板上方土体破坏范围呈现典型倒梯形分布特征，这与已有的相关研究结论相吻合。具体地，当其他参数恒定时，随着地表倾角β的逐渐增大，土体破坏范围呈递减趋势。

3.2 不同力学参数影响规律

图6分别为在地震力作用下，锚板抗拔承载力随着初始黏聚力c₀、土体重度γ、非线性系数m、地表荷载q等力学参数的变化曲线，其中，α=20°，β=30°，ζ=2。由图6可知，在地震力作用下，当埋深比、锚板倾角、地表倾角恒定时，随着初始黏聚力c₀、地表荷载q和土体重度γ的不断增大，锚板抗拔承载力随之增大且增幅较为明显；相反地，随着非线性系数m的增大，锚板抗拔承载力呈明显的降低趋势；同时，随着地震力增大，锚板抗拔承载力随之减小。

综上，土体强度参数是影响锚板承载力的关键因素，在实际锚板基础安装时，可通过强夯或采用高强度回填材料等方式提升锚板上方土体的密实度与力学性能，从而获得较优的抗拔承载性能。同时，优化地表堆载配置可有效抵消地震力影响，并大幅提升锚板抗拔承载力，有效保障高烈度地震区锚板基础的安全性与稳定性。

图7分别为在地震力作用下土体破裂范围随初始黏聚力c₀、土体重度γ、非线性系数m、地表荷载q等因素的变化规律，其中，α=20°，β=30°，k_h=0.2，k_v=0.1。由图7可知：初始黏聚力c₀与土体破裂范围呈现显著的正相关关系；相反地，非线性系数m、土体重度γ和地表荷载q与土体破裂范围呈负相关关系，有效抑制了破裂面的横向发展。

4 对比验证

4.1 承载力计算对比

为验证本文所提方法的正确性与可信度，本文开展了与经典理论的计算对比。需要指出的是，本文方法针对的是地震作用下斜坡地层中倾斜锚板的抗拔承载力问题，与现有文献中广泛讨论的水平或斜坡浅埋锚板工况存在本质区别。

尽管工况不同，但所遵循的物理规律应具有统一性。将地层倾角、锚板倾角及地震力系数等关键参数设为0，本文方法即可退化为经典工况，从而在统一框架下进行比较分析。

为便于对比，定义抗拔承载力系数T^[4]为：

T=\frac{P_{\mathrm{u}}}{\gamma bH}（43）

式中，b为土体破裂面宽度。

图8为不同方法求解的锚板抗拔承载力系数随埋深比的变化关系。由图8可知，本文计算结果与Murray等^[35]提出的经典理论解在变化趋势和数值量级上均高度吻合。这表明在特定边界条件下，本文方法能够自然收敛于公认的力学规律，从而验证了本文所建理论框架的正确性。

4.2 数值模拟对比

为了充分验证本文所提出方法的有效性，以某斜坡地层浅埋倾斜锚板为例，系统开展了不同因素影响下锚板上拔破坏数值模拟研究。图9为FLAC-3D软件中的数值计算模型。图9中，锚板宽度D为2 m，埋深H为4 m，土体重度γ为20 kN/m³，初始黏聚力c₀为30 kPa，摩擦角φ为30°。

在数值模拟中，系统考虑了3种地表倾角β与锚板倾角α的安装工况，讨论分析了不同地震力系数对锚板上拔破坏过程的影响规律，共计12种对比方案，见表1。

为确保在相同条件下验证本文理论方法的有效性，对于数值模拟中的地震惯性力作用，通过对模型内部水平与竖向加速度赋值的方式进行考虑。同时应注意，本文所建立的理论方法是基于非线性Mohr-Coulomb强度准则推导得出的，但数值模拟软件FLAC-3D中仅内嵌了传统的线性Mohr-Coulomb本构模型。针对该问题，本文在对比分析时仅考虑非线性Mohr-Coulomb强度准测中m=1的情况。当m=1时，非线性Mohr-Coulomb准则即可退化为传统的线性Mohr-Coulomb强度准则，进而可确保在相同计算参数条件下实现理论分析结果与数值模拟结果的对比验证。

图10为3种工况下数值模拟得到的锚板上拔力与上拔位移的关系曲线。由图10可知：在初始阶段，随着上拔位移的增加，锚板抗拔承载力呈线性增长趋势；当超过土体极限强度时，锚板上拔承载力达到峰值。此后，随着锚板上方土体的破坏，锚板抗拔承载力逐渐降低。当考虑地震作用时，随着地震力系数的增大，锚板抗拔承载力呈现不断减小的趋势，这与理论计算结果保持一致。

以表1中工况2为例，图11、12分别为锚板上拔破坏峰值时刻对应的总位移云图与剪切应变率云图。由图11、12可知：当锚板抗拔承载力达到峰值时，土体内部产生了贯通至地表的破坏形式；随着地震力系数的增加，土体破裂范围呈现出逐渐增大的趋势，但增幅不明显，这与图3理论结果中的规律近似一致。

理论计算得到的土体破裂范围与数值模拟结果大致保持一致。其原因在于，在复杂荷载工况下，因荷载沿锚板拉拔方向分解的简化假设无法真实反映锚板所受非对称荷载，导致预测的土体破坏范围系统性地偏向坡顶。

表2为不同工况下理论计算与数值模拟得到的锚板抗拔承载力对比结果。由表2可以看出，本文理论计算结果与数值模拟结果较为接近，最大误差不超过5.6%，这进一步验证了本文理论方法的正确性和可靠性。

5 结 论

1）地震力对锚板抗拔承载力具有显著的削弱作用。随着锚板倾角、地表倾角、土体非线性系数及地震力系数增大，锚板抗拔承载力不断减小；随着埋深比、土体初始黏聚力、重度及地表荷载增大，锚板抗拔承载力不断增大。

2）土体破坏范围与地震力系数、初始黏聚力的大小成正比，与非线性系数、土体重度、地表荷载、锚板倾角、地表倾角的大小成反比，但土体重度对土体破坏范围的影响较不显著。

3）理论解与经典解在规律和数值上均吻合良好。其在特定条件下能合理退化至公认解。

4）数值模拟与理论计算得出的锚板抗拔承载力高度一致，最大误差不超过5.6%；此外，模拟中土体产生的贯通至地表的破坏范围，其形态与理论中的破坏机制假设相符。

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基金资助

国家自然科学基金项目(52374093)

中国博士后科学基金项目(2022M711314)

山东省自然科学基金面上项目(ZR2022ME088)

济南市科研带头人工作室项目(202333054)

山东建筑大学博士科研基金项目(X25106)