基于神经网络的地震模拟振动台补偿算法研究

Research on shaking table compensation algorithm based on neural network

摘要

地震模拟振动台试验的时滞性会影响系统的试验精度、系统的稳定性和收敛性，甚至造成系统的试验结果发散。以信阳师范大学建筑与土木工程学院地震模拟振动台为例，采用BP神经网络，对地震模拟振动台试验进行时滞性补偿的仿真设计与分析，通过MATLAB软件进行仿真模拟验证其有效性。结果表明，神经网络控制算法对地震模拟振动台时滞性补偿具有显著效果。

Abstract

The time delay of the earthquake simulation shaking table test is known to affect the test accuracy， system stability and convergence， which can even lead to divergence in the test results. Using the earthquake simulation shaking table from College of Architecture and Civil Engineering at Xinyang Normal University as an example， a simulation design and analysis for delay compensation in the earthquake simulation shaking table test were conducted using a BP neural network， with its effectiveness validated through MATLAB software simulation. The results indicated that the significant effect on time delay compensation for the earthquake simulation shaking table was provided by the neural network control algorithm.

Graphical abstract

关键词

神经网络 / 地震模拟振动台试验 / 时滞 / 补偿

Key words

neural network / earthquake simulation shaking table / time delay / compensation

0 引言

目前结构抗震研究方法有拟静力试验、拟动力试验和地震模拟振动台试验^［1］。地震模拟振动台试验是开展抗震研究的重要设备之一，可以在实验室真实再现结构反应和地震动的试验方法，为研究结构弹塑性地震反应提供了有效的手段^［2］。

系统的时滞与补偿是地震模拟振动台的重要且必要的研究内容，实验过程中由于处理器计算、作动器的驱动、传感器的测量等环节均需一定的时间，从而给试验中控制信号带来了滞后现象^［3］。当试验中存在较大的时滞时，将会影响系统的稳定性，因此国内外许多学者相继提出了相应的补偿算法。HORIUCHI等^［4］提出了采用立方外差的方法得出下一时刻的位移输入，以达到时滞补偿的目的。WALLACE等^［5］采用时滞微分方程对试验中时滞问题进行了研究，给出了临界时滞的计算方法。SHIMIZU等^［6］提出了一种时滞估计算法，但该方法只适用于试件为线性时的系统补偿。BONNET等^［7］系统地研究了各个参数对试验中系统时滞的影响，并提出了一种时滞补偿方法，但通过数值分析表明，该方法的稳定性有待提高。周大兴等^［8］提出了神经网络对子结构试验的时滞补偿，并取得了良好的效果。

现代控制理论中有许多解决时滞问题的方法，其中神经网络是一个较为有效的方法。神经网络具有较强的预测性，可以预测下一时刻的动力反应，从而消除系统的时滞性，实现其在线实时控制。目前，神经网络在控制领域多应用在主动和半主动控制中，在地震模拟振动台中的应用却鲜有涉及。本文就神经网络在地震模拟振动台试验中的应用进行探讨，为地震模拟振动台试验中的稳定性提供一定的理论依据。

1 神经网络模型设计

神经网络按照结构、功能及学习算法可以分为：BP神经网络、RBF（径向基）神经网络、感知器神经网络、线性神经网络、反馈神经网络及自组织神经网络等，其中BP神经网络具有极强的非线性映射能力。对于一个三层或三层以上的BP网络，只要隐层神经元数目足够多，该BP神经网络就能以任意精度逼近一个非线性函数。由于地震模拟振动台具有较多的非线性环节，所以本文采用BP神经网络对地震模拟振动台试验进行时滞性补偿的仿真设计与分析。

单个神经元模型如图1所示。该模型具有n个输入，每个输入都通过权值跟下一层连接。u_i 为神经元的内部状态，x_i 为输入信号，θ_i 为阈值，w_ij 为单元u_j 到单元u_i 的联结权系数，s_i 为外部的输出信号。网络设计一般应考虑系统的精度，增加神经元的层数可以提高系统精度，但随着层数的增加，神经元模型网络更加复杂化，增大了神经元的学习训练时间，同时，每一层的神经元数与系统的精度也是密切相关的。

采用三层前馈网络，即输入层、隐含层和输出层，隐含层有15个神经元，输入层为当前时刻地震模拟振动台的台面加速度信号和位移信号，输出层为下一时刻地震模拟振动台台面信号输出的预测值。网络结构如图2所示。

图2中u_ij 为输入层与隐含层之间的权系数，u_jk 为隐含层与输出层之间的权系数。权系数通过输出误差进行反向调节。网络根据系统输出与网络输出的误差信号来调节神经元之间的权值，从而达到逼近系统的目的。BP神经网络逼近模型如图3所示。

采用BP网络的反向传播，BP神经网络反向传播可以根据前一次的输出结果，对比输出结果与期望结果之间的误差，然后通过对比误差进行快速地修正神经网络中的权值，从而达到输出信号与期望结果更好地相关，可以很好地解决权值的修正问题，通过梯度下降法来调整各层神经元的权值系数。

对于某一层的第i个神经元，其输入可以表示为：

x_j={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{15}}}{w}_{ij}{x}_i,(1)

式中：w_{ij}为某一层的第j个神经元与当前层的第i个神经元的权值，x_i(i=\mathrm{1,2},\dots ,\mathrm{15})为某一层的输出，j表示从输入层到隐含层。

当前层第k个神经元的输出可利用S函数得到，如式（2）所示：

x_k=f(x_j)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{-x_j}}\mathrm{。}(2)

采用反向传播，输出层与隐含层神经元的权值系数w_jk 如式（3）所示：

\mathrm{\Delta }{w}_{jk}=-\eta \frac{\partial E}{\partial w_{jk}}=\eta e(k)\frac{\partial x_k}{\partial w_{jk}}=\eta e(k)x_j^{\text{'}},(3)

那么t+1时刻的网络权值可以表示为：

w_{jk}(t+\mathrm{1})=w_{jk}(t)+\mathrm{\Delta }{w}_{jk},(4)

式中：E为损失度函数，η为学习速率，e(k)为隐含层误差，x_j^{\text{'}}为激活函数导数。

进而调节输入层与隐含层神经元之间的权值w_{ij}可以表示为：

\mathrm{\Delta }{w}_{ij}=-\eta \frac{\partial E}{\partial w_{ij}}=\eta e(k)\frac{\partial y_n}{\partial w_{ij}},(5)

式中：

\begin{array}{l}\frac{\partial y_n}{\partial w_{ij}}=\frac{\partial y_n}{\partial x_j^{\text{'}}}\frac{\partial x_j^{\text{'}}}{\partial x_j}\frac{\partial x_j}{\partial w_{ij}}=w_{j\mathrm{2}}\frac{\partial x_j^{\text{'}}}{\partial x_j}{x}_j=\\ w_{j\mathrm{2}}x{x}_j^{\text{'}}(\mathrm{1}-x{x}_j^{\text{'}})x_i,\end{array}

那么t+1时刻的网络权值可以表示为：

w_{ij}(k+\mathrm{1})=w_{ij}(k)+\mathrm{\Delta }{w}_{ij}\mathrm{。}(6)

算法中为避免权值系数在学习的过程中收敛慢、发生振荡，故需要考虑上一次权值的变化对本次权值变化的影响率，引入了动量因子α，则此时的权值可以表示为：

\begin{array}{l}{w}_{jk}(k+\mathrm{1})=w_{jk}(k)+\mathrm{\Delta }{w}_{jk}+\\ \alpha (w_{jk}(k)-w_{jk}(k-\mathrm{1})),\end{array}(7)

\begin{array}{l}{w}_{ij}(k+\mathrm{1})=w_{ij}(k)+\mathrm{\Delta }{w}_{ij}+\\ \alpha (w_{ij}(k)-w_{ij}(k-\mathrm{1})),\end{array}(8)

式中：η是学习速率，α是动量因子，两个参数的范围均为［0，1{{{]}^{[}}^{\mathrm{9}}}^{]}，BP神经网络的算法流程图如图4所示。

2 试验方法的仿真分析

进行仿真前，应辨识地震模拟振动台系统的时滞，以信阳师范大学建筑与土木工程学院地震模拟振动台为例，该系统输出输入的时滞大约0.01 s，仿真中所用地震加速度时程如图5所示。

2.1 网络训练

采用误差修正规则Delta（δ）学习算法来训练网络，该算法是BP神经网络学习算法中根据误差修订较快的一种，该算法建立误差准则函数可以表示为：

e=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{p=\mathrm{1}}^N}(d_p-y_p{)}^{\mathrm{2}},(9)

式中：d_p为期望输出；y_p为神经网络的输出；y_p=f(\mathit{W}{\mathit{X}}_p)，\mathit{W}为权值矩阵，{\mathit{X}}_p为输入矩阵。

该算法用控制学习过程因子μ代替了学习控制速率η，可以表示为：

w_{i+\mathrm{1}}=w_i-[\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}E}{\partial w_i^{\mathrm{2}}}+\mu {\mathit{K}}^{-\mathrm{1}}]\frac{\partial E}{\partial w_i},(10)

式中：i为网络的训练步数，\frac{\partial E}{\partial w_i}为性能指标函数对权值的下降梯度，μ为控制学习过程因子，\mathit{K}为单位矩阵。

样本m的输入输出性能指标E可以定义：

E=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}[x_m(n)-{\stackrel{̑}{x}}_m{(n)]}^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{e}_n^{\mathrm{2}},(11)

式中：N为神经元的输出数目，e_n为第n个神经元的输出误差。

根据雅可比矩阵原理，式（11）的一阶偏导数式（12）所示：

\frac{\partial E}{\partial w_i}={\mathit{J}}_i^{\mathrm{T}}{e}_n,(12)

式（11）的二阶偏导数可表示为：

\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}E}{\partial w_i^{\mathrm{2}}}={\mathit{J}}_i^{\mathrm{T}}{\mathit{J}}_i,(13)

将式（12）、（13）代入式（10）可得Delta（δ）学习算法的计算公式：

w_{i+\mathrm{1}}=w_i-({\mathit{J}}_i^{\mathrm{T}}{\mathit{J}}_i{+\mu K)}^{-\mathrm{1}}{\mathit{J}}_i^{\mathrm{T}}{e}_n,(14)

式中：{\mathit{J}}_i为误差关于权值的雅可比矩阵。

该算法的训练流程图如图6所示。

为获得BP神经网络的训练样本，采用隐式算法（Newmark⁃β法），获取训练样本。采用El⁃centro（NS）波进行激励振动台，输入样本为前一步的台面加速度，目标样本为下一步的台面加速度，数据的采样时间为0.02 s，采样频率为50 Hz，通过归一化处理后BP网络训练的输入如图7所示，训练结果如图8所示。

BP神经网络的训练记录如图9所示。从图9可看出，采用误差修正规则Delta（δ）学习算法的BP神经网络仅需要10步迭代就可达到预目标。

2.2 试验系统仿真

采用两个地震模拟振动台台阵系统，如图10所示，力学简化模型如图11所示，双自由度体系在地震动{\ddot{u}}_g作用下，根据液压系统三连续方程可得其系统运动方程：

\begin{array}{l}{M}_s{s}^{\mathrm{2}}{x}_s+(C_{\mathrm{1}}s+K_{\mathrm{1}})(x_s-x_{\mathrm{1}})+\\ (C_{\mathrm{2}}s+K_{\mathrm{2}})(x_s-x_{\mathrm{2}})=\mathrm{0},\end{array}

\begin{array}{l}{M}_{\mathrm{1}}{s}^{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{1}}+(C_{\mathrm{1}}s+K_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{1}}-x_s)=F_{\mathrm{1}},\\ M_{\mathrm{2}}{s}^{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}+(C_{\mathrm{2}}s+K_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{2}}-x_s)=F_{\mathrm{2}},\end{array}(15)

式中：M_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{M}_{\mathrm{2}}分别为台面质量，M_s为试件质量，x_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{x}_{\mathrm{2}}分别为台面位移，x_s为试件位移，C_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{C}_{\mathrm{2}}分别为台面的阻尼系数，K_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{K}_{\mathrm{2}}分别为台面的刚度系数，F_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{F}_{\mathrm{2}}分别为作动器的出力。

令x=x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}}，根据Rayleigh阻尼假设可以看出，地震模拟振动台1的质量与地震模拟振动台2的质量的运动，可以通过{\ddot{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}\dot{x}以及x进行耦联。图12是在Simulink中系统仿真示意图，其中BP神经网络模块为训练后的，把地震模拟振动台的原输入信号和反馈信号作为BP网络的输入，把BP网络的输出作为新的输入信号输入到地震模拟振动台中，同时在地震模拟振动台输入时加入系统的时滞性。

地震模拟振动台模块中两子台的模型如图12所示。仿真结果如图13—图15所示。

从图15可以看出，时滞为0的情况，是系统的理论输出，本文为验证BP神经网络对实验中时滞问题的预测准确性，输入时滞为0.02 s的激励，BP神经网络预测实验中的时滞性也为0.02 s；故BP神经网络对地震模拟振动台试验时滞问题具有较好的预测补偿效果。

3 地震模拟振动台试验时滞补偿判别

地震模拟振动台随着使用时间的变化，其本身固有属性会有所变化。随着固有属性的变化、机械元件间的间隙的出现、伺服阀死区的出现等原因，实验中波形会出现滞后性，本文采用神经网络算法补偿实验中波形的滞后性，也就是补偿由于振动台本身固有属性带来的影响。时滞补偿定量判别可以寻出最优的一种时滞补偿算法，通过仿真分析算法的有效性，用于指导试验。波形失真度可以定性地对地震模拟振动台幅值和相位的失真进行判别，但判别过程较为烦琐。刘永昌等^［10］提出了一种较为简单的定量判别方法，其判别公式为：

K_{XY}(N_{\mathrm{1}},N_{\mathrm{2}})=\frac{{\displaystyle \sum _{i=N_{\mathrm{1}}}^{N_{\mathrm{2}}}}{X}_i{Y}_i}{{\left({\displaystyle \sum _{i=N_{\mathrm{1}}}^{N_{\mathrm{2}}}}{X}_i^{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=N_{\mathrm{1}}}^{N_{\mathrm{2}}}}{Y}_i^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}},(16)

式中：X_i\mathrm{、}{Y}_i分别为补偿前后系统的结构响应，N_{\mathrm{1}}、N_{\mathrm{2}}分别为采样的起点和终点数。

根据式（16），分别计算时滞分别为0.01、0.02、0.05 s时地震模拟振动台的位移响应值与期望值的相关系数，结果如图16所示。

从图16可看出，当时滞为0.02 s时，结构位移响应相关性最大，而其他两种情况基本相同，从前述仿真结果中可以看出，不同时滞下结构位移响应还是有明显区别的，所以文献［10］给出的方法具有一定的局限性。在文献［10］所提的基础上对其进行改进，预测值与理论值的偏差为D：

D_{XY}(N_{\mathrm{1}},N_{\mathrm{2}})=\frac{{\displaystyle \sum _{i=N_{\mathrm{1}}}^{N_{\mathrm{2}}}}{X}_i{Y}_i}{{\displaystyle \sum _{i=N_{\mathrm{1}}}^{N_{\mathrm{2}}}}{X}_i^{\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{i=N_{\mathrm{1}}}^{N_{\mathrm{2}}}}{Y}_i^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}(17)

根据式（17），计算出上述仿真中地震模拟振动台位移反应的偏差，结果如图17所示。

从图17可以看出：采用式（17）计算所得结构位移的偏差可以很好地反映结构的预测值与理论值的关系，可以作为实验中一种衡量时滞影响的判别方法。

4 结束语

时滞特性是影响地震模拟振动台试验精度的重要因素，试验中如果不能很好地消除，就可能造成试验的失败。从上述分析可看出，神经网络对地震模拟振动台的时滞性具有很好的补偿效果，能够提高试验的波形相关度。但其相关度与神经网络的设计有关，神经网络的时滞补偿效果还需进一步扩大试验进行验证。

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基金资助

国家自然科学基金项目(41807240)

河南省科技攻关项目(182102210539)

河南省自然科学基金项目(212300410234)

信阳师范大学研究生科研创新基金项目(2024KYJJ110)