一类三维圆柱域的交点域与复欧氏空间的公共子流形

Common submanifolds of the intersection of cylindrical field and complex Euclidean spaces

摘要

两个圆柱域的交点域 Bergman 核函数具有显表达式。在三维情况下，其Bergman核函数不再是有理函数。证明了在三维情况下具有Bergman度量的两个圆柱域的交点域与具有平坦度量的复欧氏空间不存在公共的Kähler子流形。

Abstract

The Bergman kernel function of the intersection of two cylindrical domains has an explicit form. In three-dimensional case， the Bergman kernel is not a rational function. It was proved that there was no common Kähler submanifold between the intersection of two cylindrical domains with Bergman metric and the complex Euclidean space with flat metric.

关键词

圆柱域的交点域 / 全纯等距嵌入 / Nash函数 / Bergman度量

Key words

intersection points of cylindrical domains / holomorphic isometric embedding / Nash function / Bergman metric

0 引言

近年来，多复变中公共的Kähler子流形问题一直是研究的热点。1953年，CALABI^［1］研究了具有实解析Kähler度量的复流形与赋予Fubini-Study度量的射影空间的全纯等距嵌入问题，证明了两者之间局部全纯等距的存在性、唯一性和全局延拓性。2010年，DI SCALA等^［2］将具有公共Kähler子流形的两个流形称为相关的，证明了具备Bergman度量的有界域与射影代数流形不存在公共的Kähler子流形，非紧型Hermite对称空间和射影Kähler流形不是弱相关的。这表明紧型和非紧型的Hermite对称空间是不存在公共的Kähler子流形的。2012年，MOSSA^［3］证明了具有齐性Kähler度量的有界齐性域与射影Kähler流形不存在公共的Kähler子流形。2015年，HUANG等^［4］证明了非紧型Hermite对称空间与具有平坦度量的复欧氏空间不存在公共的Kähler子流形。同年，LOI等^［5］也证明了具有Kähler度量的有界齐性域与任何射影Kähler流形都不存在公共的Kähler子流形。2017年，CHENG等^［6］给出了有限维Fubini-Study空间与不同曲率空间相关的充要条件。CHENG等^［7］证明了具有Bergman度量的Cartan-Hartogs域与复欧氏空间不存在公共的Kähler子流形。最近，程晓亮等^［8-9］证明了具有Bergman度量的Cartan-Hartogs域与具有平坦度量的复欧氏空间不存在公共Kähler子流形，具有Bergman度量的一类华罗庚域与具有平坦度量的复欧氏空间不存在公共的Kähler子流形。ZHANG等^［10］推广了文献［7-8］中CHENG的结果，证明了一类以有界齐性域为底空间的Hartogs域与复欧氏空间不存在公共的Kähler子流形。2018年，SU等^［11］证明了具有正则度量的有界对称多圆盘与具有平坦度量的复欧氏空间不存在公共的Kähler子流形。2021年，CHENG等^［12］给出了具有实解析Kähler度量的复流形与具有标准度量的复空间形式不存在公共的Kähler子流形的充分条件。2023年，ZHANG等^［13］给出了Kähler流形与不定复空间形式不存在公共Kähler子流形的充分条件。2024年，CHENG等^［14］证明了不定复双曲空间和不定复射影空间与诱导度量没有共同的复子流形。

三维情况下，圆柱域的交点域Bergman核函数不是Nash函数，本文主要研究三维情况下圆柱域的交点域与复欧氏空间是否存在公共的Kähler子流形的问题。

1 圆柱域的交点域及其Bergman核函数

2021年，PARK^［15］在n维复欧氏空间{\mathbf{C}}^n中引入圆柱域的交点域，其定义为：

M=M_{\mathrm{2}}\bigcap M_{\mathrm{3}}\bigcap \dots \bigcap M_n,

式中：p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},\dots ,p_j\in {\mathbf{R}}^{+}；z=\left(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}},\dots ,z_n\right)\in {\mathbf{C}}^n;j=\mathrm{2},\dots ,n。

特别地，{\mathbf{C}}^{\mathrm{3}}情况下圆柱域的交点域为：

式中：z=\left(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}},z_{\mathrm{3}}\right)\in {\mathbf{C}}^{\mathrm{3}}；p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},p_{\mathrm{3}}\in {\mathbf{R}}^{+}。

本文主要研究，当p_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}时，一类三维圆柱域的交点域与复欧氏空间的公共子流形问题。当p_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}时，

PARK^［15］给出M(\mathrm{1},p_{\mathrm{2}},p_{\mathrm{3}})的Bergman核函数显式表达式如下：

K_M\left(z,w\right)=\frac{\mathrm{1}}{{\pi }^{\mathrm{3}}}\frac{\mathrm{1}}{{\left(\mathrm{1}-v_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}-\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{3}}}}}\times {\left({\left(\mathrm{1}-v_{\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}}}-v_{\mathrm{2}}\right)}^{-\mathrm{2}}{\left({\left(\mathrm{1}-v_{\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{3}}}}-v_{\mathrm{3}}\right)}^{-\mathrm{2}}\times

\left(\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}}\frac{{\left(\mathrm{1}-v_{\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}}}+v_{\mathrm{2}}}{{\left(\mathrm{1}-v_{\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}}}-v_{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{3}}}\frac{{\left(\mathrm{1}-v_{\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{3}}}}+v_{\mathrm{3}}}{{\left(\mathrm{1}-v_{\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{3}}}}-v_{\mathrm{3}}}\right),

式中：

z=\left(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}},z_{\mathrm{3}}\right)\in {\mathbf{C}}^{\mathrm{3}},w=\left(w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},w_{\mathrm{3}}\right)\in {\mathbf{C}}^{\mathrm{3}},

v_{\mathrm{1}}=z_{\mathrm{1}}w{\overline{w}}_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}}=z_{\mathrm{2}}{\overline{w}}_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}}=z_{\mathrm{3}}{\overline{w}}_{\mathrm{3}}。

2 Nash函数及相关引理

定义1^［4］ 设D\subset {\mathbf{C}}^n是连通开集，f是D上的全纯函数。如果对于\forall x_{\mathrm{0}}\in D，存在x_{\mathrm{0}}的开邻域U和多项式P:{\mathbf{C}}^n\times \mathbf{C}\to \mathbf{C}，其中P\ne \mathrm{0}，使得对于\forall x\in U有P\left(x,f\left(x\right)\right)=\mathrm{0}，那么称f是在x_{\mathrm{0}}处的Nash函数，其中

P\left(x,t\right)={\sigma }_{\mathrm{0}}\left(x\right)t^s+{\sigma }_{\mathrm{1}}\left(x\right)t^{s-\mathrm{1}}+\dots +{\sigma }_s\left(x\right),

s\in \mathbf{N}；{\sigma }_{\mathrm{0}},{\sigma }_{\mathrm{1}},\dots ,{\sigma }_s是{\mathbf{C}}^n上的多项式且{\sigma }_{\mathrm{0}}\ne \mathrm{0}。

引理1^［4］ 设V\subset {\mathbf{C}}^k是连通开集，\xi =\left({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}},\dots ,{\xi }_k\right)\in V，H_{\mathrm{1}}\left({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}},\dots ,{\xi }_k\right)，H_{\mathrm{2}}\left({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}},\dots ,{\xi }_k\right)，\dots，H_s\left({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}},\dots ,{\xi }_k\right)和H\left({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}},\dots ,{\xi }_k\right)是V上的全纯Nash函数，其中k,s\in {\mathbf{N}}^{+}。如果对于实数{\mu }_{\mathrm{1}},{\mu }_{\mathrm{2}},\dots ,{\mu }_s有

\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(H({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}},\dots ,{\xi }_k))={\displaystyle \prod _{i=\mathrm{1}}^s}{\left(H_i\left({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}},\dots ,{\xi }_k\right)\right)}^{{\mu }_i},\xi \in V,

那么H\left({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}},\dots ,{\xi }_k\right)在V上是常值的。

3 圆柱域的交点域与复欧氏空间的公共子流形

为了方便，下面将M(\mathrm{1},p_{\mathrm{2}},p_{\mathrm{3}})简记为M。设M是三维情况下圆柱域的交点域，因M是圆形域，所以对\forall \theta \in \mathbf{R}，\xi \mathrm{、}\eta \in M，M的Bergman核函数满足K({\mathrm{e}}^{\sqrt[]{-\mathrm{1}}\theta }\xi ,\overline{{\mathrm{e}}^{\sqrt[]{-\mathrm{1}}\theta }\eta })=K(\xi ,\overline{\eta })，即

K({\mathrm{e}}^{\sqrt[]{-\mathrm{1}}\theta }\xi ,\mathrm{0})=K(\xi ,\mathrm{0})。

由于K(\xi ,\mathrm{0})是正的常数，那么K_M(\xi ,\overline{\eta })不含\xi的任何非常值全纯项，同时K_M(\xi ,\overline{\eta })也不含\eta的任何非常值共轭全纯项。因此K_M(\xi ,\overline{\xi })不含\xi的非常值多重调和项，正规化后得K_M(\xi ,\mathrm{0})=\mathrm{1}。

圆柱域的交点域M上的Bergman度量记为

{\omega }_M=\sqrt[]{-\mathrm{1}}\partial \overline{\partial }\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{K}_M,

式中：log默认为自然对数，且底数不影响结果，故无需说明底数，下同。

复欧氏空间{\mathbf{C}}^n的Kähler度量记为

{\omega }_{{\mathbf{C}}^n}=\frac{\sqrt[]{-\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}\partial \overline{\partial }{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\left|z_i\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}

设D\subset \mathbf{C}是连通开集，{\omega }_D是D上的Kähler度量，不失一般性，假设D包含原点。

借助HUANG等^［4］方法证明，在M\left(\mathrm{1},p_{\mathrm{2}},p_{\mathrm{3}}\right)情况下，圆柱域的交点域与复欧氏空间不存在公共的Kähler子流形。

定理1 设D\subset \mathbf{C}是连通开集，F=(f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}},\dots ,f_n):D\to {\mathbf{C}}^n，L=\left(l_{\mathrm{1}},l_{\mathrm{2}},l_{\mathrm{3}}\right):D\to M是全纯映射，满足L\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}，若在D上有

F^{\mathrm{*}}{\omega }_{{\mathbf{C}}^n}=L^{\mathrm{*}}{\omega }_M,

则F一定是常值函数，其中F^{\mathrm{*}}\mathrm{、}{L}^{\mathrm{*}}分别为F\mathrm{、}L的拉回映射。

证明 （反证法） 假设F不是常值函数，设D是包含原点的单连通域，F\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}。因为F^{\mathrm{*}}{\omega }_{{\mathbf{C}}^n}=L^{\mathrm{*}}{\omega }_M，所以对任意的z\in D，有

\partial \overline{\partial }({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\left|f_i\left(z\right)\right|}^{\mathrm{2}})=\partial \overline{\partial }\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(K(z,w)\right),（1）

式中：

\begin{array}{l}K(z,w)=K_M(l_{\mathrm{1}}\left(z\right),l_{\mathrm{2}}\left(z\right),l_{\mathrm{3}}\left(z\right),\\ \overline{l_{\mathrm{1}}}\left(w\right),\overline{l_{\mathrm{2}}}\left(w\right),\overline{l_{\mathrm{3}}}\left(w\right)),\end{array}

K_M\left(\xi ,\overline{\eta }\right)={\sum }_l{h}_l\left(\xi \right)\overline{h_l\left(\eta \right)}

是M上的Bergman核函数。K_M(\xi ,\overline{\eta })是\xi和\overline{\eta }的全纯函数，\{h_l(\xi )\}是M上的平方可积全纯函数的一组标准正交基。

通过比较式（1）中z的全纯项和共轭全纯项，去掉\partial \overline{\partial }得

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\left|f_i\left(z\right)\right|}^{\mathrm{2}}=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(K(z,w)\right),（2）

极化式（2）等价于

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{f}_i\left(z\right)\overline{f_i}\left(w\right)=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(K(z,w)\right),（3）

式中：

\overline{f_i}\left(w\right)=\overline{f_i(\overline{w})}，\overline{l_{\mathrm{1}}}\left(w\right)=\overline{l_{\mathrm{1}}(\overline{w})},

\overline{l_{\mathrm{2}}}\left(w\right)=\overline{l_{\mathrm{2}}(\overline{w})}，\overline{l_{\mathrm{3}}}\left(w\right)=\overline{l_{\mathrm{3}}(\overline{w})},

\left(z,w\right)\inD\times\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\left(D\right)，\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\left(D\right)=\{z\in \mathbf{C}\left|\overline{z}\in D\right.\}。

步骤1 对于任意\mathrm{1}\le i\le n可证f_i\left(z\right)是L=(l_{\mathrm{1}}\left(z\right),l_{\mathrm{2}}\left(z\right),l_{\mathrm{3}}\left(z\right))的全纯多项式，即存在全纯多项式P_i\left(z,X\right)(i=\mathrm{1,2},\dots ,n)，使得f_i\left(z\right)=P_i(z,L(z))，必要时将D向原点收缩。

式（3）两侧同时对w微分，且令w\to \mathrm{0}，有

\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{f}_i\left(z\right)\frac{\partial }{\partial w}\overline{f_i}\left(\omega \right)=\\ \frac{\partial A}{\partial w}\cdot \frac{\mathrm{1}}{A}+\frac{\partial B}{\partial w}\cdot \frac{\mathrm{1}}{B}+\frac{\partial C}{\partial w}\cdot \frac{\mathrm{1}}{C},\end{array}（4）

式中：

\frac{\mathrm{1}}{A}={\left(\mathrm{1}-u_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}-\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{3}}}},

B=({\left(\mathrm{1}-u_{\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}}}-u_{\mathrm{2}}{)}^{-\mathrm{2}}({\left(\mathrm{1}-u_{\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{3}}}}-u_{\mathrm{3}}{)}^{-\mathrm{2}},

C=\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}}\frac{{\left(\mathrm{1}-u_{\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}}}+u_{\mathrm{2}}}{{\left(\mathrm{1}-u_{\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}}}-u_{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{3}}}\frac{{\left(\mathrm{1}-u_{\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{3}}}}+u_{\mathrm{3}}}{{\left(\mathrm{1}-u_{\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{3}}}}-u_{\mathrm{3}}},

u_{\mathrm{1}}=l_{\mathrm{1}}\left(z\right)\overline{l_{\mathrm{1}}}{\left(w\right)}^{\mathrm{T}},u_{\mathrm{2}}=l_{\mathrm{2}}\left(z\right)\overline{l_{\mathrm{2}}}{\left(w\right)}^{\mathrm{T}},

u_{\mathrm{3}}=l_{\mathrm{3}}\left(z\right)\overline{l_{\mathrm{3}}}{\left(w\right)}^{\mathrm{T}}\mathrm{。}

若L\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}，则u_{\mathrm{1}}\left(z,\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}，\frac{\partial u_{\mathrm{1}}}{\partial w}是关于l_{\mathrm{1}}\left(z\right)的多项式，因此{\left.\frac{\partial A}{\partial w}\cdot \frac{\mathrm{1}}{A}\right|}_{w=\mathrm{0}}是关于l_{\mathrm{1}}\left(z\right)的多项式，则u_{\mathrm{2}}\left(z,\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}，u_{\mathrm{3}}\left(z,\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}，\frac{\partial u_{\mathrm{2}}}{\partial w}和\frac{\partial u_{\mathrm{3}}}{\partial w}分别是关于l_{\mathrm{2}}\left(z\right)和l_{\mathrm{3}}\left(z\right)的多项式，因此{\left.\frac{\partial B}{\partial w}\cdot \frac{\mathrm{1}}{B}\right|}_{w=\mathrm{0}}、 {\left.\frac{\partial C}{\partial w}\cdot \frac{\mathrm{1}}{C}\right|}_{w=\mathrm{0}}均是关于l_{\mathrm{1}}\left(z\right)\mathrm{、}{l}_{\mathrm{2}}\left(z\right)\mathrm{、}{l}_{\mathrm{3}}\left(z\right)的多项式，所以{\left.\partial \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{K}_M\right|}_{w=\mathrm{0}}是关于L\left(z\right)=\left(l_{\mathrm{1}}\left(z\right),l_{\mathrm{2}}\left(z\right),l_{\mathrm{3}}\left(z\right)\right)的多项式，也是关于L\left(z\right)的全纯多项式。

令D^{\delta }=\frac{{\partial }^{\delta }}{\partial w^{\delta }}，那么式（4）可写成，当\delta =\mathrm{1}时，

F\left(z\right)D^{\text{'}}\left(\overline{F}\left(w\right)\right)=\Phi \left(w,l_{\mathrm{1}}\left(z\right),l_{\mathrm{2}}\left(z\right),l_{\mathrm{3}}\left(z\right)\right)\mathrm{。}（5）

当w=\mathrm{0}时，{\Phi }_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{0},l_{\mathrm{1}}\left(z\right),l_{\mathrm{2}}\left(z\right),l_{\mathrm{3}}\left(z\right)\right)是关于L\left(z\right)的全纯多项式。对式（5）关于w进行微分，当w=\mathrm{0}、\delta为任意值时，

F\left(z\right)D^{\delta }\left(\overline{F}\left(w\right)\right)={\Phi }_{\delta }\left(w,l_{\mathrm{1}}\left(z\right),l_{\mathrm{2}}\left(z\right),l_{\mathrm{3}}\left(z\right)\right),（6）

当w=\mathrm{0}、\delta >\mathrm{0}时，式（6）中{\Phi }_{\delta }\left(\mathrm{0},l_{\mathrm{1}}\left(z\right),l_{\mathrm{2}}\left(z\right),l_{\mathrm{3}}\left(z\right)\right)是L\left(z\right)=\left(l_{\mathrm{1}}\left(z\right),l_{\mathrm{2}}\left(z\right),l_{\mathrm{3}}\left(z\right)\right)的全纯多项式。

设E=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}{\mathrm{n}}_{\mathbf{C}}\{D^{\delta }\left(\overline{F}\left(w\right)\right){|}_{w=\mathrm{0}}{\}}_{\delta \ge \mathrm{1}}是{\mathbf{C}}^n的一个向量子空间，其中\{D^{{\delta }_j}\left(\overline{F}\left(w\right)\right){|}_{w=\mathrm{0}}{\}}_{j=\mathrm{1}}^{\tau }是E的一组基，\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}{\mathrm{n}}_{\mathbf{C}}\{D^{\delta }\left(\overline{F}\left(w\right)\right){|}_{w=\mathrm{0}}{\}}_{\delta \ge \mathrm{1}}表示在复欧氏空间上由\{D^{{\delta }_j}\left(\overline{F}\left(w\right)\right){|}_{w=\mathrm{0}}{\}}_{j=\mathrm{1}}^{\tau }张成的空间。用{\Delta }_{\mathrm{0}}表示\mathbf{C}中以0为圆心的开圆盘，使得\overline{F}\left({\Delta }_{\mathrm{0}}\right)\subset E，当w\to \mathrm{0}时，\overline{F}\left(w\right)由泰勒展开得

\overline{F}\left(w\right)=\sum _{\delta \ge \mathrm{1}}\frac{D^{\delta }\left(\overline{F}\right)\left(\mathrm{0}\right)}{\delta !}{w}^{\delta }\in E。

设t_j(j=\mathrm{1,2},\dots ,n-\tau )是E的欧氏正交补的一组基，则有

F\left(z\right)t_j=\mathrm{0}。（7）

当w=\mathrm{0}、\delta =\left({\delta }_{\mathrm{1}},{\delta }_{\mathrm{2}},\dots ,{\delta }_{\tau }\right)时，将式（6）和式（7）整理成矩阵的形式：

\begin{array}{l}F\left(z\right){\left[\begin{array}{c}{\left.D^{{\delta }_{\mathrm{1}}}\left(\overline{F}\left(w\right)\right)\right|}_{w=\mathrm{0}}\\ ⋮\\ {\left.D^{{\delta }_{\tau }}\left(\overline{F}\left(w\right)\right)\right|}_{w=\mathrm{0}}\\ t_{\mathrm{1}}\\ ⋮\\ t_{n-\tau }\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}={\left[\begin{array}{c}{\Phi }_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{0},l_{\mathrm{1}}\left(z\right),l_{\mathrm{2}}\left(z\right),l_{\mathrm{3}}\left(z\right)\right)\\ ⋮\\ {\Phi }_{\tau }\left(\mathrm{0},l_{\mathrm{1}}\left(z\right),l_{\mathrm{2}}\left(z\right),l_{\mathrm{3}}\left(z\right)\right)\\ \mathrm{0}\\ ⋮\\ \mathrm{0}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}},\\ \end{array}（8）

式（8）左侧系数矩阵是非奇异矩阵，右侧矩阵每行元素是L\left(z\right)的全纯多项式，应用Cramer法则，f_i\left(z\right)是关于l_{\mathrm{1}}\left(z\right)\mathrm{、}{l}_{\mathrm{2}}\left(z\right)\mathrm{、}{l}_{\mathrm{3}}\left(z\right)的全纯多项式。

步骤2 假设l_{\mathrm{1}}\left(z\right)\mathrm{、}{l}_{\mathrm{2}}\left(z\right)\mathrm{、}{l}_{\mathrm{3}}\left(z\right)都是全纯的Nash函数。由步骤1可知，f_i\left(z\right)可以改写成

f_i\left(z\right)={\widehat{f}}_i\left(l_{\mathrm{1}}\left(z\right),l_{\mathrm{2}}\left(z\right),l_{\mathrm{3}}\left(z\right)\right)(i=\mathrm{1,2},\dots ,n),

式中：{\widehat{f}}_i\left(\cdot \right)是一个全纯多项式，因此f_i\left(z\right)是全纯的Nash函数。

式（3）可以等价于

\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{f}_i\left(z\right)\overline{f_i}\left(w\right))=K(z,w),

由引理1可知，F=\left(f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}},\dots ,f_n\right)是常值函数。

步骤3 假设\left(l_{\mathrm{1}}\left(z\right),l_{\mathrm{2}}\left(z\right),l_{\mathrm{3}}\left(z\right)\right)中存在不是Nash函数的元素，设Q是由z形成的有理函数域，z\in D，考虑域的扩张，Y=Q(l_{\mathrm{1}}\left(z\right),l_{\mathrm{2}}\left(z\right),l_{\mathrm{3}}\left(z\right))，即Y是D上含Nash函数和l_{\mathrm{1}}\left(z\right)\mathrm{、}{l}_{\mathrm{2}}\left(z\right)\mathrm{、}l_{\mathrm{3}}\left(z\right)的有理函数域的最小子域。

设O=\{l_{\mathrm{1}}\left(z\right),\dots ,l_m\left(z\right)\}(\mathrm{1}\le m\le \mathrm{3})是Y的极大代数无关子集，即O是Y的超越基，因此Y/Q(O)是由Nash函数生成的集合，由Nash函数构成的域超越次数为0，则Y/Q(O)的超越次数为0。

存在\mathrm{0}\in U的连通开集，使得对\forall j都有g_j\notin O。选取集合[\{(z,l_{\mathrm{1}}z,\dots ,l_{m}z)z\in U\}]\subseteq \mathbf{C}\times {\mathbf{C}}^m，\widehat{U}是\{(z,l_{\mathrm{1}}\left(z\right),\dots ,l_m\left(z\right))\left|z\in U\right.\}的邻域，在\widehat{U}上存在全纯的Nash函数{\widehat{l}}_j\left(z,X_{\mathrm{1}},\dots ,X_m\right)。对于任意的z\in U，有

l_j\left(z\right)={\widehat{l}}_j\left(z,l_{\mathrm{1}}\left(z\right),\dots ,l_m\left(z\right)\right)，(j=\mathrm{1,2},\mathrm{3})。

根据式（4）和式（5）可知，当w=\mathrm{0}时\partial \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(K(z,w))/\partial w是L\left(z\right)的有理函数。对\mathrm{1}\le i\le \mathrm{3}，f_i\left(z\right)是L\left(z\right)的全纯有理式，存在\widehat{U}上的全纯Nash函数{\widehat{f}}_j\left(z,X_{\mathrm{1}},\dots ,X_m\right)\left(z\in U\right)使得

f_i\left(z\right)={\widehat{f}}_j\left(z,l_{\mathrm{1}}\left(z\right),\dots ,l_m\left(z\right)\right)，(i=\mathrm{1,2},\dots ,n)。

令

\Psi \left(z,X,w\right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\widehat{f}}_i\left(z,X\right)\overline{f_i}\left(w\right)-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(K_M\left(X,{\widehat{l}}_{\mathrm{1}}\left(z,X\right),{\widehat{l}}_{\mathrm{2}}\left(z,X\right),{\widehat{l}}_{\mathrm{3}}\left(z,X\right),\overline{l_{\mathrm{1}}}\left(w\right),\overline{l_{\mathrm{2}}}\left(w\right),\overline{l_{\mathrm{3}}}\left(w\right)\right)\right),

记

{\phi }_k\left(z,X,w\right)=\frac{{\partial }^k}{\partial w^k}\Psi \left(z,X,w\right)，

式中：\left(z,X,w\right)\in \widehat{U}\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\left(U\right)(k=\mathrm{1,2},\mathrm{3})，X=\left(X_{\mathrm{1}},\dots ,X_m\right)，可得在\widehat{U}\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\left(U\right)上

\Psi \left(z,X,w\right)\equiv \mathrm{0}\mathrm{。}

对于任意\left(z,w\right)\approx \left(\mathrm{0,0}\right)，w=\mathrm{0}，易证对\forall k，{\phi }_k\left(z,X,w\right)是\left(z,X\right)的Nash函数。

若{\phi }_k\left(z,X,w\right)\ne \mathrm{0}，则存在某些k依赖X，即存在w_{\mathrm{0}}\to \mathrm{0}使得{\phi }_k\left(z,X,w\right)\ne \mathrm{0}。

由\Psi \left(z,X,w\right)的定义可知，{\phi }_k\left(z,X,w_{\mathrm{0}}\right)是\left(z,X\right)的Nash函数，那么存在

\begin{array}{l}{P}_k\left(z,X,t\right)=a_{d_k}\left(z,X\right)t^{d_k}+a_{d_{k-\mathrm{1}}}\left(z,X\right)t^{d_{k-\mathrm{1}}}+\\ \dots +a_{\mathrm{0}}\left(z,X\right),\end{array}

使得

P(z,X,{\phi }_k\left(z,X,w_{\mathrm{0}}\right))\equiv \mathrm{0},

式中：a_{\mathrm{0}}\left(z,X\right)\ne\mathrm{0}，a_i\left(z,X\right)是\left(z,X\right)的全纯有理式。

记{\Psi }_{\mathrm{k}}(z,w_{\mathrm{0}})=\frac{{\partial }^k\Psi }{\partial w^k}\left(z,l_{\mathrm{1}}\left(z\right),\dots ,l_m\left(z\right),w_{\mathrm{0}}\right)，对于任意z\in U，\Psi \left(z,l_{\mathrm{1}}\left(z\right),\dots ,l_m\left(z\right),\omega \right)\equiv \mathrm{0}恒成立，故{\Psi }_{\mathrm{k}}(z,w_{\mathrm{0}})\equiv \mathrm{0}，

\begin{array}{l}P(z,l_{\mathrm{1}}\left(z\right),\dots ,l_m\left(z\right),{\Psi }_{\mathrm{k}}(z,w_{\mathrm{0}}))=\\ a_{d_k}(z,l_{\mathrm{1}}\left(z\right),\dots ,l_m\left(z\right)){\Psi }_{\mathrm{k}}(z,w_{\mathrm{0}}{)}^{d_k}+\\ a_{d_{k-\mathrm{1}}}(z,l_{\mathrm{1}}\left(z\right),\dots ,l_m\left(z\right)){\Psi }_{\mathrm{k}-\mathrm{1}}(z,w_{\mathrm{0}}{)}^{d_{k-\mathrm{1}}}+\\ \dots +a_{\mathrm{0}}(z,l_{\mathrm{1}}\left(z\right),\dots ,l_m\left(z\right))=\\ a_{\mathrm{0}}(z,l_{\mathrm{1}}\left(z\right),\dots ,l_m\left(z\right))\equiv \mathrm{0},\left(k=\mathrm{1,2},\mathrm{3}\right)\mathrm{。}\end{array}

因此\{l_{\mathrm{1}}\left(z\right),\dots ,l_m\left(z\right)\}在Q上是代数相关的，与假设O=\{l_{\mathrm{1}}\left(z\right),\dots ,l_m\left(z\right)\}是Y的极大代数无关子集矛盾，于是\Psi \left(z,X,w\right)\equiv \mathrm{0}。然而

{\phi }_k\left(z,X,w\right)=\frac{{\partial }^k}{\partial w^k}\Psi \left(z,X,w\right),

则\Psi \left(z,X,w\right)\equiv \mathrm{0}。令\phi \left(z,X,w\right)\equiv \mathrm{0}，可得方程

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\widehat{f}}_i\left(z,X\right)\overline{f_i}\left(w\right)=\widehat{K}(z,X),(9)

式中：

\begin{array}{l}\widehat{K}(z,X)=K_M(X,{\widehat{l}}_{\mathrm{1}}\left(z,X\right),{\widehat{l}}_{\mathrm{2}}\left(z,X\right),{\widehat{l}}_{\mathrm{3}}\left(z,X\right),\\ \overline{l_{\mathrm{1}}}\left(w\right),\overline{l_{\mathrm{2}}}\left(w\right),\overline{l_{\mathrm{3}}}\left(w\right)),\end{array}

\left(z,X,w\right)\in \widehat{U}\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\left(U\right)。

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\widehat{f}}_i\left(z,X\right)\overline{f_i}\left(w\right)可分成2种情况进行讨论：

情况1 当{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\widehat{f}}_i\left(z,X\right)\overline{f_i}\left(w\right)\equiv \mathrm{0}时，令w=z，

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\left|f_i\left(z\right)\right|}^{\mathrm{2}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\widehat{f}}_i\left(z,l_{\mathrm{1}}\left(z\right),l_{\mathrm{2}}\left(z\right),l_{\mathrm{3}}\left(z\right)\right)\overline{f_i}\left(z\right)\equiv \mathrm{0},

因此F是常值函数，与假设矛盾。

情况2 若存在\left(z_{\mathrm{0}},w_{\mathrm{0}}\right)\in U\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{j}\left(U\right)使得

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\widehat{f}}_i\left(z_{\mathrm{0}},X\right)\overline{f_i}\left(w_{\mathrm{0}}\right)\ne \mathrm{0}，

则必有{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\widehat{f}}_i\left(z_{\mathrm{0}},X\right)\overline{f_i}\left(w_{\mathrm{0}}\right)是X上非常值的全纯Nash函数，式（9）可写成

\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\widehat{f}}_i\left(z,X\right)\overline{f_i}\left(w\right))=\widehat{K}(z,X),

由引理1知F是常值函数，因此与假设矛盾。

综上，定理1得证。证毕。

4 结束语

Kähler流形间的全纯等距嵌入问题一直是多复变与复几何领域的研究热点之一。借助HUANG等^［4］的方法，利用Nash函数，对一类三维圆柱域的交点域与复欧氏空间的公共子流形的问题进行了研究，证明了一类三维圆柱域的交点域与复欧氏空间不存在公共的Kähler子流形。

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基金资助

国家自然科学基金项目(12026420)

吉林省科技发展计划项目(YDZJ202201ZYTS627)

吉林省教育厅“十三五”科学技术项目(JJKH20200405KJ)