SH简谐地震波作用下横观各向同性土中桩基动态响应研究

Study on dynamic response of pile foundation in transversely isotropic soil under the action of SH harmonic seismic wave

摘要

首先，利用一维波动理论，得到了SH简谐地震波垂直入射下横观各向同性土层的水平位移。其次，将横观各向同性土-桩的动力相互作用利用Winkler弹簧-阻尼器模型来描述，在轴对称坐标下通过求解横观各向同性土的水平振动得到了Winkler弹簧-阻尼器的刚度系数和阻尼系数。然后，在考虑SH简谐地震波产生的水平位移的影响下，求解了横观各向同性土中桩基的水平振动，得到了桩顶的放大因子。最后，通过数值算例分析了相关参量对SH简谐地震波作用下横观各向同性土中桩基动态响应的影响。研究结果表明：在SH简谐地震波作用下，横观各向同性土-桩系统为稳态响应，桩顶放大因子随无量纲频率变化曲线的第一个峰值对应的频率较为固定，第二个峰值大小和位置均受桩土参数的影响。横观各向同性土水平面与竖直面上的剪切模量比G_hv主要影响第二个峰值的大小，桩土模量比E_p/G_v、桩土密度比ρ_p/ρ和桩径长比r₀/H对该峰值的影响较大。

Abstract

First， using one-dimensional wave theory， the horizontal displacement of transversely anisotropic soil layers under vertical incidence of SH harmonic seismic waves was obtained. Next， the dynamic interaction between transversely isotropic soil and pile was described using the Winkler spring-damper model. The stiffness and damping coefficients of the Winkler spring-damper were obtained by solving the horizontal vibration of transversely isotropic soil in axisymmetric coordinates. Then， the horizontal vibration of pile in transversely isotropic soil was solved by considering the influence of horizontal displacement generated by SH harmonic seismic wave， and the amplification factor at the top of the pile foundation was obtained. Finally， the influence of relevant parameters on the dynamic response of pile in transversely isotropic soil under SH harmonic seismic wave was analyzed through numerical examples. The research results indicated that， under the action of SH harmonic seismic wave， the transversely isotropic soil-pile system exhibited a steady-state response. The first peak of the curves of amplification factor at the pile top varying with dimensionless frequency corresponded to a relatively fixed frequency， while the size and position of the second peak were influenced by the parameters of pile and soil. The shear modulus ratio G_hv on the horizontal and vertical planes of isotropic soil mainly affected the size of the second peak. The pile-soil modulus ratio E_p/G_hv， pile-soil density ratio ρ_p/ρ， and pile diameter-length ratio r₀/H had a significant impact on this peak.

Graphical abstract

关键词

横观各向同性土 / SH地震波 / 动态响应 / 放大因子 / 桩基

Key words

transversely isotropic soil / SH seismic wave / dynamic response / amplification factor / pile foundation

0 引言

桩基础是建筑领域应用广泛且重要的基础形式，其在动态激励作用下的稳定性影响着整个建筑结构的安全可靠性。地震作为一种随机动态激励，其对建筑的危害性大，且地震导致的建筑破坏大多与桩基础的破坏有着很大的关系^［1］，因此研究地震波作用下桩基的振动响应，对于桩基的抗震设计等具有十分重大的工程应用价值。Kaynia等^［2］研究了瑞利波以及倾斜入射的P、SV和SH波对单桩和桩群的地震响应问题。王海东等^［3］给出了一种用于计算瑞利波激励下单桩竖向动力响应简化解析的方法，得到了桩底固支时单桩竖向动力位移分布的闭合解。在SH简谐地震波作用下桩-土动力相互作用方面，刘林超等^［4］ 采用动力Winkler地基梁模型模拟桩-土之间的动力相互作用，得到了SH简谐地震波作用下单桩桩顶的放大因子，分析了桩土力学参数对动力响应的影响。邹新军等^［5］运用三维连续介质力学和Euler梁模型建立了SH简谐地震波和轴向静荷载下非饱和土-端承桩水平耦合振动模型，考虑非饱和土体动剪切模量随其饱和度的变化特性，给出了桩顶水平位移相互作用因子、放大因子和桩身曲率比的表达式。

土颗粒和组构单元的排列会导致自然界土体形成各向异性土。扁平状介质颗粒由于排列具有取向性，在土体沉积过程中会导致其水平与竖向性质的不同。对于此类土仍视为各向同性介质就不符合工程实际了，通常将此类土体视为横观各向同性介质。对于横观各向同性土中桩基的振动问题，Chen等^［6］借助于拉普拉斯变换求解了横观各向同性饱和土层，对瞬态扭转荷载作用下横观各向同性饱和土中桩的瞬态动力响应进行了研究。高洪波^［7］基于饱和多孔介质理论，研究了横观各向同性饱和土层中单桩竖向振动问题，借助桩端边界条件和三角函数的正交性给出了问题的解析解。Zheng等^［8］在Biot的多孔理论的基础上，给出了横观各向同性饱和土层的运动方程，并研究了横观各向同性饱和土层中管桩的扭转振动，在频域内给出了动力扭转响应的解。Ma等^［9］在Biot多孔弹性理论的基础上考虑施工扰动的影响，在频域内给出了横观各向同性土中桩扭转动力响应的闭合形式解，在时域内给出了半正弦激励扭矩作用下桩头速度响应的准解析解。杨冬英等^［10］基于横观各向同性材料本构方程，忽略土体径向位移，借助Rayleigh-Love杆模型求解得到了大直径桩在横观各向同性土中纵向振动的解析解，并分析了桩土参数对土体、桩顶动力响应的影响。李兴毓等^［11］基于Boer饱和多孔介质理论、分数导数黏弹性模型以及横观各向同性本构方程研究了大直径黏弹性桩在横观各向同性饱和黏弹性土中的竖向振动，得到了激振荷载为半正弦脉冲时桩顶的速度时域半解析解。由于地震荷载将进一步导致横观各向同性土层土体颗粒和单元的重新排列，因此，研究地震波作用下横观各向同性土中桩基的振动问题对于桩基的抗震设计等具有十分重要的工程应用价值。

本文将在横观各向同性土层一维波动理论和桩基振动理论的基础上，研究SH简谐地震波作用下横观各向同性土中桩基的动力响应问题。

1 SH简谐地震波下横观各向同性土位移求解

如图1所示，考察横观各向同性土中桩基在SH简谐地震波作用下的地震反应问题。

在直角坐标系中，横观各向同性介质的本构方程、波动方程和应变位移方程分别为^［12］

\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}\\ {\sigma }_{zz}\\ {\sigma }_{yz}\\ {\sigma }_{xz}\\ {\sigma }_{xy}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{C}_{\mathrm{11}}& C_{\mathrm{12}}& C_{\mathrm{13}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{12}}& C_{\mathrm{11}}& C_{\mathrm{13}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{13}}& C_{\mathrm{13}}& C_{\mathrm{33}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& C_{\mathrm{44}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& C_{\mathrm{44}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& C_{\mathrm{66}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{xx}\\ {\epsilon }_{yy}\\ {\epsilon }_{zz}\\ {\epsilon }_{yz}\\ {\epsilon }_{xz}\\ {\epsilon }_{xy}\end{array}\right]，(1)

\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{xz}}{\partial z}=\rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_x}{\partial t^{\mathrm{2}}},\\ \frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{yz}}{\partial z}=\rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_y}{\partial t^{\mathrm{2}}},\\ \frac{\partial {\sigma }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}=\rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_z}{\partial t^{\mathrm{2}}},\end{array}\right.(2)

\left\{\begin{array}{l}{\epsilon }_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial x},{\epsilon }_{yy}=\frac{\partial u_y}{\partial y},{\epsilon }_{zz}=\frac{\partial u_z}{\partial z},\\ {\epsilon }_{xy}=\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x},{\epsilon }_{yz}=\frac{\partial u_z}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial z},\\ {\epsilon }_{xz}=\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z},\end{array}\right.(3)

式中：σ_xx 、σ_yy 、σ_zz 、σ_xy 、σ_yz 、σ_xz 为横观各向同性土体的x、y、z方向的应力和剪切应力；ε_xx 、ε_yy 、ε_zz 、ε_xy 、ε_yz 、ε_xz 为横观各向同性土体x、y、z方向的应变和剪切应变；u_x 、u_y 、u_z 为横观各向同性土体x、y、z方向的位移；C₁₁、C₂₂、C₃₃、C₁₂、C₁₃、C₂₃、C₄₄、C₅₅、C₆₆为横观各向同性土体的弹性常数，且满足

C_{\mathrm{11}}=C_{\mathrm{22}}=\frac{E_{\mathrm{h}}(\mathrm{1}-{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{v}}{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}})}{(\mathrm{1}+{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}})(\mathrm{1}-{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}}-\mathrm{2}{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{v}}{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}})}，

C_{\mathrm{33}}=\frac{E_{\mathrm{h}}(\mathrm{1}-{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}})}{\mathrm{1}-{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}}-\mathrm{2}{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{v}}{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}}}，

C_{\mathrm{13}}=C_{\mathrm{23}}=\frac{E_{\mathrm{h}}{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}}}{\mathrm{1}-{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}}-\mathrm{2}{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{v}}{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}}}，

C_{\mathrm{12}}=\frac{E_{\mathrm{h}}({\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}}+{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{v}}{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}})}{(\mathrm{1}+{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}})(\mathrm{1}-{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}}-\mathrm{2}{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{v}}{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}})}，

C_{\mathrm{44}}=C_{\mathrm{55}}=G_{\mathrm{v}}，

C_{\mathrm{66}}=(C_{\mathrm{11}}-C_{\mathrm{12}})/\mathrm{2}=G_{\mathrm{h}}，

E_{\mathrm{v}}=\mathrm{2}(\mathrm{1}+{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}})G_{\mathrm{v}}，E_{\mathrm{h}}=\mathrm{2}(\mathrm{1}+{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}})G_{\mathrm{h}}，

式中：E_h为水平向弹性模量，E_v为竖直向弹性模量，G_h为水平面上的剪切模量，G_v为竖直面上的剪切模量，μ_hh为水平向应力引起的正交水平向应变的泊松比，μ_hv为水平向应力引起的竖直向应变的泊松比，μ_vh为竖直向应力引起的水平向应变的泊松比，且{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}}/E_{\mathrm{v}}={\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{v}}/E_{\mathrm{h}}，\rho为土体的密度。

这里假设桩底为基岩，桩基和基岩完全固结，SH简谐地震波由基岩垂直入射，满足

{\overline{U}}_{\mathrm{g}}={\tilde{U}}_{\mathrm{g}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}，(4)

式中：{\overline{U}}_{\mathrm{g}}是SH波沿x方向的位移，{\tilde{U}}_{\mathrm{g}}是相应的x方向位移的幅值，\omega是地震波的圆频率，\mathrm{i}=\sqrt[]{-\mathrm{1}}为虚数单位，桩长H与基岩上覆土层的厚度相同。

考虑SH简谐地震波的特征可知，土体中的所有反应量（应力、位移等）与x和y无关，只和坐标变量z有关，土体自由场y和z方向的位移均为零，只存在沿x方向的位移u_x=u_x(z,t)，则波动方程（2）简化为

\frac{\partial {\sigma }_{xz}}{\partial z}=\rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_x}{\partial t^{\mathrm{2}}}。(5)

考虑本构方程和应力位移关系，可得横观各向同性场地土一维波动方程为

C_{\mathrm{44}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_x}{\partial z^{\mathrm{2}}}=\rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_x}{\partial t^{\mathrm{2}}}。(6)

横观各向同性场地土上下表面的边界条件为

\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial u_x}{\partial z}=\mathrm{0},z=H,\\ u_x={\overline{U}}_{\mathrm{g}},z=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.(7)

设横观各向同性土层相对于基岩的相对位移为u_f，则u_x={\overline{U}}_{\mathrm{g}}+u_{\mathrm{f}}。设u_f解的形式为u_{\mathrm{f}}={\tilde{u}}_{\mathrm{f}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}，代入方程（6）、（7） 并进行无量纲运算可得

\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\overline{u}}_{\mathrm{f}}}{\partial {\overline{z}}^{\mathrm{2}}}+{\overline{\omega }}^{\mathrm{2}}{\overline{u}}_{\mathrm{f}}=-{\overline{\omega }}^{\mathrm{2}}{U}_{\mathrm{g}}，(8)

\frac{\partial {\overline{u}}_{\mathrm{f}}}{\partial \overline{z}}=\mathrm{0},\overline{z}=\mathrm{1}；{\overline{u}}_{\mathrm{f}}=\mathrm{0},\overline{z}=\mathrm{0}，(9)

式中：\overline{\omega }=H\omega /v_{\mathrm{v}}，\overline{z}=z/H，u_{\mathrm{f}}={\tilde{u}}_{\mathrm{f}}/H，{\overline{u}}_x={\tilde{u}}_x/H，U_{\mathrm{g}}={\tilde{U}}_{\mathrm{g}}/H，v_{\mathrm{v}}=\sqrt[]{G_{\mathrm{v}}/\rho }，{\tilde{u}}_{\mathrm{f}}为相对位移u_{\mathrm{f}}的幅值，{\tilde{u}}_x为水平位移u_x的幅值。

考虑土层的位移边界条件（9），可设式（8）的级数解形式为

{\overline{u}}_{\mathrm{f}}=U_{\mathrm{g}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\infty }}{a}_k^{f}sin({\alpha }_k\overline{z})，(10)

式中：{\alpha }_k=(\mathrm{2}k-\mathrm{1})\mathrm{\pi }/\mathrm{2}。

将位移的级数解式（10）代入式（8），并利用正弦函数的正交性运算，可知a_k^{\mathrm{f}}=\mathrm{2}{\overline{\omega }}^{\mathrm{2}}/({\alpha }_k({\alpha }_k^{\mathrm{2}}-{\overline{\omega }}^{\mathrm{2}}))，再代入式（10），可以得到简谐SH地震波作用下横观各向同性土层沿x方向的水平位移：

{\overline{u}}_x=U_{\mathrm{g}}(\mathrm{1}+{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{a}_k^{\mathrm{f}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_k\overline{z}))。(11)

2 横观各向同性土‑桩水平动力相互作用的刚度和阻尼系数

简谐地震波的作用会导致土层的振动，进而对图1所示的端承桩产生振动，为了求解土层振动导致的桩基振动，需要考虑横观各向同性土与桩基的动力相互作用，采用等效的Winkler弹簧-阻尼器模型来刻画横观各向同性土-桩之间的动力相互作用，因此需要求得Winkler弹簧-阻尼器模型的刚度系数和阻尼系数。

采用Novak薄层假定，认为土层由无穷多带一半径为r₀圆孔的薄土层组成，当桩土接触面处土体产生单位水平位移时，桩周横观各向同性土对桩基的水平作用力的实部和虚部即为Winkler弹簧-阻尼器模型的刚度系数和阻尼系数，为此需要求解轴对称坐标下横观各向同性土层的水平振动问题。

假设横观各向同性土和桩的位移均为小变形，不考虑桩和横观各向同性土之间的相对滑移和脱落问题，且桩基底部和基岩完全固结，即桩底的位移和转角为零。在三维轴对称坐标下，横观各向同性土体的本构方程为^［13］

\left\{\begin{array}{l}{\sigma }_{rr}=C_{\mathrm{11}}{\epsilon }_{rr}+C_{\mathrm{12}}{\epsilon }_{\theta \theta }+C_{\mathrm{13}}{\epsilon }_{zz},\\ {\sigma }_{\theta \theta }=C_{\mathrm{12}}{\epsilon }_{rr}+C_{\mathrm{22}}{\epsilon }_{\theta \theta }+C_{\mathrm{23}}{\epsilon }_{zz},\\ {\sigma }_{zz}=C_{\mathrm{13}}{\epsilon }_{rr}+C_{\mathrm{23}}{\epsilon }_{\theta \theta }+C_{\mathrm{33}}{\epsilon }_{zz},\\ {\sigma }_{\theta z}=C_{\mathrm{44}}{\epsilon }_{\theta z},{\sigma }_{rz}=C_{\mathrm{44}}{\epsilon }_{rz},{\sigma }_{r\theta }=C_{\mathrm{66}}{\epsilon }_{r\theta },\end{array}\right.(12)

式中：σ_rr 、σ_θθ 、σ_zz 、σ_rθ 、σ_rz 、σ_θz 分别代表横观各向同性土体的径向、环向、竖向应力和剪切应力；ε_rr 、ε_θθ 、ε_zz 、ε_rθ 、ε_rz 、ε_θz 分别代表横观各向同性土体的径向、环向、竖向应变和剪切应变；横观各向同性土体的弹性常数C₁₁、C₂₂、C₃₃、C₁₂、C₁₃、C₂₃、C₄₄、C₅₅、C₆₆同直角坐标系。

由于横观各向同性土层的水平振动问题，需忽略土体的竖向位移，且认为径向位移和环向位移与变量z无关，则相应的水平运动方程和应变-位移关系分别为^［14］

\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial {\sigma }_{rr}}{\partial r}+\frac{\mathrm{1}}{r}\frac{\partial {\sigma }_{r\theta }}{\partial \theta }+\frac{\partial {\sigma }_{rz}}{\partial z}+\frac{{\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\theta \theta }}{r}=\rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_r}{\partial t^{\mathrm{2}}},\\ \frac{\partial {\sigma }_{r\theta }}{\partial r}+\frac{\mathrm{1}}{r}\frac{\partial {\sigma }_{\theta \theta }}{\partial \theta }+\frac{\partial {\sigma }_{\theta z}}{\partial z}+\mathrm{2}\frac{{\sigma }_{r\theta }}{r}=\rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{\theta }}{\partial t^{\mathrm{2}}},\end{array}\right.(13)

\left\{\begin{array}{l}{\epsilon }_{rr}=\frac{\partial u_r}{\partial r},{\epsilon }_{\theta \theta }=\frac{\mathrm{1}}{r}\frac{\partial u_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{u_r}{r},{\epsilon }_{zz}=\mathrm{0},\\ {\epsilon }_{rz}=\mathrm{0},{\epsilon }_{r\theta }=\frac{\mathrm{1}}{r}\frac{\partial u_r}{\partial \theta }+\frac{\partial u_{\theta }}{\partial r}-\frac{u_{\theta }}{r},{\epsilon }_{\theta z}=\mathrm{0},\end{array}\right.(14)

式中：u_r 和u_θ 分别为横观各向同性土体的径向位移和环向位移，ρ为横观各向同性土密度。由式（12）—式（14）可以建立以径向位移和环向位移表示的横观各向同性土体的水平振动控制方程为

[C_{\mathrm{11}}(\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial r^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{r}\frac{\partial }{\partial r}-\frac{\mathrm{1}}{r^{\mathrm{2}}})+C_{\mathrm{66}}\frac{\mathrm{1}}{r^{\mathrm{2}}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial {\theta }^{\mathrm{2}}}]u_r+

[(C_{\mathrm{11}}-C_{\mathrm{66}})\frac{\mathrm{1}}{r}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial r\partial \theta }-

(C_{\mathrm{11}}+C_{\mathrm{66}})\frac{\mathrm{1}}{r^{\mathrm{2}}}\frac{\partial }{\partial \theta }]u_{\theta }=\rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_r}{\partial t^{\mathrm{2}}},(15)

\begin{array}{l}[(C_{\mathrm{11}}-C_{\mathrm{66}})\frac{\mathrm{1}}{r}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial r\partial \theta }+(C_{\mathrm{11}}+C_{\mathrm{66}})\frac{\mathrm{1}}{r^{\mathrm{2}}}\frac{\partial }{\partial \theta }]u_r+\\ [C_{\mathrm{66}}(\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial r^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{r}\frac{\partial }{\partial r}-\frac{\mathrm{1}}{r^{\mathrm{2}}})+\\ C_{\mathrm{11}}\frac{\mathrm{1}}{r^{\mathrm{2}}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial {\theta }^{\mathrm{2}}}]u_{\theta }=\rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{\theta }}{\partial t^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}\end{array}(16)

对于稳态响应，横观各向同性土的径向位移和环向位移满足u_r={\tilde{u}}_r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}，u_{\theta }={\tilde{u}}_{\theta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}，{\tilde{u}}_r和{\tilde{u}}_{\theta }分别为横观各向同性土的径向和环向位移幅值。将u_r={\tilde{u}}_r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}，u_{\theta }={\tilde{u}}_{\theta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}代入式（15）和式（16），并进行无量纲运算得

\begin{array}{l}{G}_{\mathrm{h}\mathrm{v}}[c_{\mathrm{11}}(\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial {\overline{r}}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\overline{r}}\frac{\partial }{\partial \overline{r}}-\frac{\mathrm{1}}{{\overline{r}}^{\mathrm{2}}})+\frac{\mathrm{1}}{{\overline{r}}^{\mathrm{2}}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial {\theta }^{\mathrm{2}}}]{\overline{u}}_r+\\ G_{\mathrm{h}\mathrm{v}}[(c_{\mathrm{11}}-\mathrm{1})\frac{\mathrm{1}}{\overline{r}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial \overline{r}\partial \theta }-\\ (c_{\mathrm{11}}+\mathrm{1})\frac{\mathrm{1}}{{\overline{r}}^{\mathrm{2}}}\frac{\partial }{\partial \theta }]{\overline{u}}_{\theta }=-{\overline{\omega }}^{\mathrm{2}}{\overline{u}}_r\end{array}，(17)

\begin{array}{l}{G}_{\mathrm{h}\mathrm{v}}[(c_{\mathrm{11}}-\mathrm{1})\frac{\mathrm{1}}{\overline{r}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial \overline{r}\partial \theta }+(c_{\mathrm{11}}+\mathrm{1})\frac{\mathrm{1}}{{\overline{r}}^{\mathrm{2}}}\frac{\partial }{\partial \theta }]{\overline{u}}_r+\\ G_{\mathrm{h}\mathrm{v}}[(\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial {\overline{r}}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\overline{r}}\frac{\partial }{\partial \overline{r}}-\frac{\mathrm{1}}{{\overline{r}}^{\mathrm{2}}})+c_{\mathrm{11}}\frac{\mathrm{1}}{{\overline{r}}^{\mathrm{2}}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial {\theta }^{\mathrm{2}}}]{\overline{u}}_{\theta }=\\ -{\overline{\omega }}^{\mathrm{2}}{\overline{u}}_{\theta }\end{array}，(18)

式中：

c_{\mathrm{11}}=\frac{\mathrm{2}[(\mathrm{1}+{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}})-(\mathrm{1}+{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}})G_{\mathrm{h}\mathrm{v}}{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}]}{(\mathrm{1}-{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}})(\mathrm{1}+{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}})-\mathrm{2}(\mathrm{1}+{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}})G_{\mathrm{h}\mathrm{v}}{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}}，

u_r={\tilde{u}}_r/H，u_{\theta }={\tilde{u}}_{\theta }/H，\overline{r}=r/H。

引入势函数

{\overline{u}}_r=\frac{\partial \phi }{\partial \overline{r}}+\frac{\mathrm{1}}{\overline{r}}\frac{\partial \psi }{\partial \theta }，{\overline{u}}_{\theta }=\frac{\mathrm{1}}{\overline{r}}\frac{\partial \phi }{\partial \theta }-\frac{\partial \psi }{\partial \overline{r}}，(19)

对式（17）和式（18）进行解耦，考虑问题的边界条件以及径向位移和环向位移的奇偶性，可得势函数的解为

\overline{\phi }=A_{\mathrm{1}}{K}_{\mathrm{1}}(q\overline{r})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta，(20)

\overline{\psi }=B_{\mathrm{1}}{K}_{\mathrm{1}}(g\overline{r})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta，(21)

式中：q^{\mathrm{2}}=-{\overline{\omega }}^{\mathrm{2}}/(c_{\mathrm{11}}{G}_{hv})，g^{\mathrm{2}}=-{\overline{\omega }}^{\mathrm{2}}/G_{hv}，A₁、B₁为待定系数。由式（19）、式（21）和式（22）可得到横观各向同性土体径向位移和环向位移的表达式为

{\overline{u}}_r=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta [-\frac{A_{\mathrm{1}}}{\overline{r}}{K}_{\mathrm{1}}(q\overline{r})-A_{\mathrm{1}}q{K}_{\mathrm{0}}(q\overline{r})+\frac{B_{\mathrm{1}}{K}_{\mathrm{1}}(g\overline{r})}{\overline{r}}],(22)

{\overline{u}}_{\theta }=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta [-\frac{A_{\mathrm{1}}{K}_{\mathrm{1}}(q\overline{r})}{\overline{r}}+\frac{B_{\mathrm{1}}}{\overline{r}}{K}_{\mathrm{1}}(g\overline{r})+B_{\mathrm{1}}g{K}_{\mathrm{0}}(g\overline{r})]。(23)

为求解Winkler弹簧-阻尼器模型的刚度系数和阻尼系数，设横观各向同性土层与桩接触面处土层的径向位移和环向位移的无量纲位移幅值均是1，由此可得边界条件

\left\{\begin{array}{l}{\overline{u}}_{r.}({\overline{r}}_{\mathrm{0}},\theta ,t)=\mathrm{1},\theta =\mathrm{0},\\ {\overline{u}}_{\theta }({\overline{r}}_{\mathrm{0}},\theta ,t)=-\mathrm{1},\theta =\mathrm{\pi }/\mathrm{2},\end{array}\right.(24)

式中：{\overline{r}}_{\mathrm{0}}=r_{\mathrm{0}}/H，r_{\mathrm{0}}为桩的半径。

由式（22）和式（23）考虑边界条件式（24）得

A_{\mathrm{1}}=-\frac{g{\overline{r}}_{\mathrm{0}}{K}_{\mathrm{0}}(g{\overline{r}}_{\mathrm{0}})+\mathrm{2}{K}_{\mathrm{1}}(g{\overline{r}}_{\mathrm{0}})}{C_{\mathrm{1}}}，(25)

B_{\mathrm{1}}=-\frac{q{\overline{r}}_{\mathrm{0}}{K}_{\mathrm{0}}(q{\overline{r}}_{\mathrm{0}})+\mathrm{2}{K}_{\mathrm{1}}(q{\overline{r}}_{\mathrm{0}})}{C_{\mathrm{1}}}，(26)

式中：

\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{1}}=q{K}_{\mathrm{0}}(q{\overline{r}}_{\mathrm{0}})K_{\mathrm{1}}(g{\overline{r}}_{\mathrm{0}})+g{K}_{\mathrm{1}}(q{\overline{r}}_{\mathrm{0}})K_{\mathrm{0}}(g{\overline{r}}_{\mathrm{0}})+\\ qg{\overline{r}}_{\mathrm{0}}{K}_{\mathrm{0}}(q{\overline{r}}_{\mathrm{0}})K_{\mathrm{0}}(g{\overline{r}}_{\mathrm{0}})\mathrm{。}\end{array}

由此可以确定横观各向同性土体径向位移和环向位移的解析解，再计算式（12）和式（14）可得横观各向同性土径向应力和环向应力，进而可得桩土接触面处单位厚度横观各向同性土沿水平方向对桩基作用力的无量纲量为

\begin{array}{l}{\overline{P}}_x=\frac{P_x}{G_{\mathrm{v}}}=\\ {{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}\left.\left[-{\overline{\sigma }}_{rr}^S\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +{\overline{\sigma }}_{r\theta }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \right]\right|}_{\overline{r}={\overline{r}}_{\mathrm{0}}}{\overline{r}}_{\mathrm{0}}\mathrm{d}\theta =\\ \mathrm{\pi }{\overline{r}}_{\mathrm{0}}{G}_{\mathrm{h}\mathrm{v}}[\frac{\mathrm{4}-\mathrm{2}(c_{\mathrm{11}}-c_{\mathrm{12}})}{{\overline{r}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}{K}_{\mathrm{1}}(q{\overline{r}}_{\mathrm{0}})-\\ c_{\mathrm{11}}{q}^{\mathrm{2}}{K}_{\mathrm{1}}(q{\overline{r}}_{\mathrm{0}})+\frac{\mathrm{2}-c_{\mathrm{11}}+c_{\mathrm{12}}}{r_{\mathrm{0}}}q{K}_{\mathrm{0}}(q{\overline{r}}_{\mathrm{0}})]A_{\mathrm{1}}-\\ [\frac{\mathrm{2}(c_{\mathrm{12}}-c_{\mathrm{11}})+\mathrm{4}}{{\overline{r}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}{K}_{\mathrm{1}}(g{\overline{r}}_{\mathrm{0}})+\\ \frac{(c_{\mathrm{12}}-c_{\mathrm{11}})+\mathrm{2}}{r}g{K}_{\mathrm{0}}(g{\overline{r}}_{\mathrm{0}})+\\ g^{\mathrm{2}}{K}_{\mathrm{1}}(g{\overline{r}}_{\mathrm{0}})]\mathrm{\pi }{\overline{r}}_{\mathrm{0}}{G}_{\mathrm{h}\mathrm{v}}{B}_{\mathrm{1}}=k_{\mathrm{h}}+\mathrm{i}{c}_{\mathrm{h}}\end{array}，(27)

式中：

c_{\mathrm{12}}=\frac{\mathrm{2}{G}_{\mathrm{h}}[{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}}(\mathrm{1}+{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}})+(\mathrm{1}+{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}})G_{\mathrm{h}\mathrm{v}}{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}]}{(\mathrm{1}-{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}})(\mathrm{1}+{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}})-\mathrm{2}(\mathrm{1}+{\mu }_{\mathrm{h}\mathrm{h}})G_{\mathrm{h}\mathrm{v}}{\mu }_{\mathrm{v}\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}}，

P_x 为桩土接触面处单位厚度横观各向同性土沿水平方向对桩基的作用力，进而可以确定Winkler弹簧-阻尼器的刚度系数k_h和阻尼系数c_h。

3 SH简谐地震波作用下横观各向同性土中桩基的地震响应

由于横观各向同性土-桩体系在SH简谐地震波作用下作稳态振动，考虑系统的调和性，设桩相对于基岩的水平位移为u_{\mathrm{b}}(t)={\tilde{u}}_{\mathrm{b}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}，{\tilde{u}}_{\mathrm{b}}为位移的幅值，结合式（27）和式（10）可以得到横观各向同性土中桩基在SH简谐地震波作用下的无量纲水平运动方程为

\frac{{\partial }^{\mathrm{4}}{\overline{u}}_{\mathrm{b}}}{\partial {\overline{z}}^{\mathrm{4}}}+\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{4}}{\overline{u}}_{\mathrm{b}}=(k_{\mathrm{h}}+\mathrm{i}{c}_{\mathrm{h}}){\overline{u}}_{\mathrm{f}}+\frac{\mathrm{4}{\overline{\rho }}_{\mathrm{p}}{\overline{\omega }}^{\mathrm{2}}}{{\overline{E}}_{\mathrm{p}}{\overline{r}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}{U}_{\mathrm{g}}，(28)

式中：{\overline{u}}_{\mathrm{b}}=u_{\mathrm{b}}/H，{\rho }_{\mathrm{p}}={\overline{\rho }}_{\mathrm{p}}/\rho，{\overline{E}}_{\mathrm{p}}=E_p/G_v，\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{4}}=k_{\mathrm{h}}+\mathrm{i}{c}_{\mathrm{h}}-\mathrm{4}{\rho }_p{\overline{\omega }}^{\mathrm{2}}/({\overline{E}}_{\mathrm{p}}{\overline{r}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}})，{\rho }_{\mathrm{p}}为桩基桩身密度。

求解式（28）可得其通解为

\begin{array}{l}{\overline{u}}_{\mathrm{b}}={\mathrm{e}}^{\lambda \overline{z}}(A\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda \overline{z})+B\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda \overline{z}))+\\ {\mathrm{e}}^{-\lambda \overline{z}}(C\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda \overline{z})+D\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda \overline{z}))+\\ \frac{{\overline{\rho }}_{\mathrm{p}}{\overline{\omega }}^{\mathrm{2}}}{{\lambda }^{\mathrm{4}}{\overline{E}}_{\mathrm{p}}{\overline{r}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}{U}_{\mathrm{g}}+\frac{(k_{\mathrm{h}}+\mathrm{i}{c}_{\mathrm{h}})U_{\mathrm{g}}}{\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{4}}+{\alpha }_n^{\mathrm{4}}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\infty }}{a}_n^{f}sin({\alpha }_n\overline{z}),\end{array}(29)

式中：A\mathrm{、}B\mathrm{、}C\mathrm{、}D是由边界条件确定的待定系数。这里仅考虑桩底固定、桩顶自由的边界条件的情况，

{\left.\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\overline{u}}_{\mathrm{b}}}{\partial {\overline{z}}^{\mathrm{2}}}\right|}_{\overline{z}=\mathrm{1}}=\mathrm{0}，{\left.\frac{{\partial }^{\mathrm{3}}{\overline{u}}_{\mathrm{b}}}{\partial {\overline{z}}^{\mathrm{3}}}\right|}_{\overline{z}=\mathrm{1}}=\mathrm{0}，

{\left.{\overline{u}}_{\mathrm{b}}\right|}_{\overline{z}=\mathrm{0}}=\mathrm{0}，{\left.\frac{\partial {\overline{u}}_{\mathrm{b}}}{\partial \overline{z}}\right|}_{\overline{z}=\mathrm{0}}=\mathrm{0}。(30)

由式（29）和式（30）可得

\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{1}& \mathrm{1}& -\mathrm{1}& \mathrm{1}\\ -t_{\mathrm{2}}& t_{\mathrm{1}}& t_{\mathrm{4}}& -t_{\mathrm{3}}\\ -(t_{\mathrm{1}}+t_{\mathrm{2}})& t_{\mathrm{1}}-t_{\mathrm{2}}& t_{\mathrm{3}}-t_{\mathrm{4}}& t_{\mathrm{3}}+t_{\mathrm{4}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}A\\ B\\ C\\ D\end{array}\right]=

\left[\begin{array}{c}-\frac{{\overline{\rho }}_{\mathrm{p}}{\overline{\omega }}^{\mathrm{2}}}{{\lambda }^{\mathrm{4}}{\overline{E}}_{\mathrm{p}}{\overline{r}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}}{U}_{\mathrm{g}}\\ -\frac{(k_{\mathrm{h}}+\mathrm{i}{c}_{\mathrm{h}})U_{\mathrm{g}}}{\lambda (\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{4}}+{\alpha }_n^{\mathrm{4}})}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\alpha }_n{a}_n^{\mathrm{f}}\\ \frac{(k_{\mathrm{h}}+\mathrm{i}{c}_{\mathrm{h}})U_{\mathrm{g}}}{\mathrm{2}{\lambda }^{\mathrm{2}}(\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{4}}+{\alpha }_n^{\mathrm{4}})}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\alpha }_n^{\mathrm{2}}{a}_n^{\mathrm{f}}{(-\mathrm{1})}^{n+\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}\end{array}\right]，(31)

式中：t_{\mathrm{1}}={\mathrm{e}}^{\lambda }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda，t_{\mathrm{2}}={\mathrm{e}}^{\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda，t_{\mathrm{3}}={\mathrm{e}}^{-\lambda }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda，t_{\mathrm{4}}={\mathrm{e}}^{-\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda。通过求解方程组（31）可以确定待定系数A\mathrm{、}B\mathrm{、}C\mathrm{、}D。

由式（29）可得桩顶的相对位移{\overline{u}}_{\mathrm{b}}(\mathrm{0})，进而可以得到横观各向同性土中桩基的桩顶放大因子：

\beta =\frac{{\overline{u}}_{\mathrm{b}}(\mathrm{0})}{U_{\mathrm{g}}}。(32)

4 数值算例与讨论

通过数值算例分析桩顶放大因子，探讨相关参量对横观各向同性土中桩基在SH简谐地震波作用下的地震响应的影响。在不做说明的情况下，各参数取值分别为，r₀/H=1/20，G_hv=1.5，μ_hh=0.4，μ_vh=0.35，E_p/G_v=1000，{\overline{\rho }}_{\mathrm{p}}=\mathrm{2.5}。

图2—图5给出了SH简谐地震波作用下横观各向同性土中桩基桩顶的放大因子。在SH简谐地震波作用下，桩顶放大因子随无量纲频率的变化曲线存在着峰值，横观各向同性土-桩系统为稳态动态响应。放大因子随频率变化曲线的第一个峰值相对较尖锐，且第一个峰值对应的频率较为固定（Hω/υ_v =1.6附近），第二个峰值无论是大小还是位置都受桩土参数的影响较大。横观各向同性土水平面与竖直面上的剪切模量比G_hv的主要影响放大因子随频率变化曲线的第二个峰值的大小（图2），G_hv越大，也就是竖直平面的剪切模量相对较大时，此时土体的剪切力越大，对桩的约束力越大，相应的第二个峰值越小。桩土模量比E_p/G_v（图3）、桩土密度比ρ_p/ρ（图4）和桩基径长比r₀/H（图5）对SH简谐地震波作用下横观各向同性土-桩的动力影响相对较大，桩土模量比E_p/G_v越大，放大因子随频率变化曲线的第二个峰值越小，峰值对应的频率越大。桩土密度比越大，放大因子随频率变化曲线的第二个峰值越大，峰值对应的频率越小。桩基径长比r₀/H越小，也即桩基越长，放大因子随频率变化曲线的第二个峰值对应的频率越小。

5 结论

基于一维波动理论和桩-土动力相互作用理论，研究了SH简谐地震波垂直入射下横观各向同性土中桩基的动态响应问题，主要得到以下结论：1）SH简谐地震波作用下，横观各向同性土-桩系统做稳态振动；2）水平面上的剪切模量与竖直面上的剪切模量比G_hv对SH简谐地震波作用下横观各向同性土中桩的振动主要影响放大因子随频率变化曲线第一个峰值大小，而第二个峰值受桩土参量的影响比较大；3）桩土模量比E_p/G_v、桩土密度比ρ_p/ρ和桩基径长比r₀/H对SH简谐地震波作用下横观各向同性土中桩的振动影响相对较大，在桩基抗震设计中需要重点关注。

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基金资助

国家自然科学基金项目(U1504505)

河南省科技计划项目(112300410105)

河南省高等学校重点科研项目(23B560001)