具有CTL免疫反应和细胞内时滞的HIV感染模型的全局稳定性

Global stability of HIV infection model with CTL immune response and intracellular time delay

摘要

研究了一类具有细胞内时滞和细胞毒性T淋巴细胞（CTL）免疫反应的HIV感染模型。运用再生矩阵方法，得到无免疫再生数R_{\mathrm{0}}，并定义免疫激活再生数R_z。通过构造Lyapunov泛函，证明了当时，无感染平衡点是全局渐近稳定的；当时，无免疫平衡点是全局渐近稳定的；当R_z>\mathrm{1}时，免疫激活平衡点是全局渐近稳定的。

Abstract

An HIV infection model with intracellular time delay and Cytotoxic T Lymphocyte （CTL） immune response was investigated. By using the next-generation matrix method， the basic reproduction number R_{\mathrm{0}} without immunity was obtained， and the immune activation reproduction number R_z was defined. By constructing Lyapunov functional， it was proved that， the infection-free equilibrium is globally asymptotically stable when ， the immune-free equilibrium is globally asymptotically stable when ， and the immune-activated equilibrium is globally asymptotically stable when R_z>\mathrm{1}.

关键词

细胞内时滞 / CTL免疫反应 / 全局稳定 / Lyapunov泛函

Key words

intracellular time delay / CTL immune response / global stability / Lyapunov functional

0 引言

据联合国艾滋病规划署统计，截至2023年， 全球约有3990万人患有艾滋病，累计约4050万人死于艾滋病相关疾病。人类免疫缺陷病毒（HIV）是导致艾滋病（AIDS）的病原体，它通过CD4分子侵入宿主细胞，破坏免疫系统，主要包括T4淋巴细胞、单核细胞、巨噬细胞和树突状细胞^［1］。如果患者不及时治疗，免疫系统最终将无法发挥其维持生命的作用^［2］。HIV发病机制的数学建模和分析是理解HIV传播机制的关键。目前，已有不少研究人员对HIV感染模型的稳定性进行了相关研究^［3-6］。

在病毒感染期间，免疫反应是普遍存在的，是消除或控制病毒增殖的重要途径。抗体、细胞因子、自然杀伤细胞和T细胞等是免疫反应的重要组成部分。在大多数病毒感染中，细胞毒性T淋巴细胞（CTLs）通过杀死或裂解被病毒感染的靶细胞在细胞免疫中发挥着关键作用^［7-9］。此外，当宿主体内的抗原载量过高时，CTL免疫反应会被抑制或者破坏。在过去的几十年中，由CTL介导的细胞免疫受到了广泛关注。引入细胞内时滞能更精确地模拟病毒从感染靶细胞到产生新病毒颗粒的时间延迟，这对准确预测感染进程和评估干预策略十分重要。

因此，研究细胞内时滞和CTL免疫反应对HIV感染动力学的影响至关重要，本文建立宿主细胞、游离病毒和CTL免疫反应之间相互作用的HIV感染模型：

\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\dot{T}(t)=\lambda -dT(t)-{\beta }_{\mathrm{1}}T(t)V(t)-\\ {\beta }_{\mathrm{2}}T(t)I(t),\end{array}\\ \begin{array}{l}\dot{I}(t)=(\mathrm{1}-f){\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}[{\beta }_{\mathrm{1}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})V(t-{\tau }_{\mathrm{1}})+\\ {\beta }_{\mathrm{2}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})I(t-{\tau }_{\mathrm{1}})]-\\ \delta I(t)-qZ(t)I(t)+\alpha L(t),\end{array}\\ \begin{array}{l}\dot{L}(t)=f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}[{\beta }_{\mathrm{1}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})V(t-{\tau }_{\mathrm{1}})+\\ {\beta }_{\mathrm{2}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})I(t-{\tau }_{\mathrm{1}})]-\\ (\alpha +{\delta }_L)L(t),\end{array}\\ \dot{V}(t)=N\delta I(t-{\tau }_{\mathrm{2}})-cV(t),\\ \dot{Z}(t)=pZ(t)I(t)-rZ(t),\end{array}\right.(1)

式中：T(t)\mathrm{、}I(t)\mathrm{、}L(t)\mathrm{、}V(t)\mathrm{、}Z(t)分别表示t时刻未感染细胞、感染细胞、潜伏感染细胞、游离病毒和CTL免疫反应的数量；参数\lambda表示未感染细胞的产生率；d\mathrm{、}\delta和{\delta }_L分别为未感染细胞、感染细胞和潜伏感染细胞的死亡率；{\beta }_{\mathrm{1}}表示未感染细胞被游离病毒感染的速率，{\beta }_{\mathrm{2}}表示未感染细胞被感染细胞感染的速率；常数是导致潜伏期的感染比例；潜伏感染的细胞可以被其相关抗原激活，以\alpha的速率成为感染细胞；N表示一个感染细胞在其生命周期内释放的病毒粒子总数；c是游离病毒的清除率；CTL免疫反应以速率p被感染细胞激活并以速率r衰减；时滞{\tau }_{\mathrm{1}}是病毒进入细胞到产生新病毒颗粒的时间；时滞{\tau }_{\mathrm{2}}是新产生的病毒的成熟时间。

假设模型（1）满足初始条件：

\begin{array}{l}\begin{array}{l}T(\theta )={\varphi }_{\mathrm{1}}(\theta ),I(\theta )={\varphi }_{\mathrm{2}}(\theta ),L(\theta )={\varphi }_{\mathrm{3}}(\theta ),\\ V(\theta )={\varphi }_{\mathrm{4}}(\theta ),Z(\theta )={\varphi }_{\mathrm{5}}(\theta ),\theta \in [-\tau ,\mathrm{0}),\end{array}\\ \tau =\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{{\tau }_{\mathrm{1}},{\tau }_{\mathrm{2}}\},{\varphi }_i(\theta )>\mathrm{0}(\forall \theta \in [-\tau ,\mathrm{0})),\\ {\varphi }_i(\mathrm{0})\ge \mathrm{0}\hspace{1em}(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5}),\end{array}

({\varphi }_{\mathrm{1}},{\varphi }_{\mathrm{2}},{\varphi }_{\mathrm{3}},{\varphi }_{\mathrm{4}},{\varphi }_{\mathrm{5}})\in C([-\tau ,\mathrm{0}],{\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{5}}),

{\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{5}}=\{(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}})|x_i\ge \mathrm{0},i=\mathrm{1,2},\cdots ,\mathrm{5}\}\mathrm{。}

可以证明，满足初始条件的模型（1）的解都是正的和有界的。构造

\begin{array}{l}G\left(t\right)=T\left(t\right)+{\mathrm{e}}^{m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}I\left(t+{\tau }_{\mathrm{1}}\right)+\\ {\mathrm{e}}^{m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}L\left(t+{\tau }_{\mathrm{1}}\right)+\frac{q}{p}{\mathrm{e}}^{m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}Z\left(t+{\tau }_{\mathrm{1}}\right),\end{array}

对该函数进行求导，得到

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}G\left(t\right)}{\mathrm{d}t}=\lambda -dT\left(t\right)-\delta {\mathrm{e}}^{m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}I\left(t+{\tau }_{\mathrm{1}}\right)-\\ {\delta }_L{\mathrm{e}}^{m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}L\left(t+{\tau }_{\mathrm{1}}\right)-\frac{rq}{p}Z\left(t+{\tau }_{\mathrm{1}}\right){\mathrm{e}}^{m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}\le \\ \lambda -\sigma G\left(t\right),\end{array}

这里\sigma =\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{d,\delta ,{\delta }_L,r\right\}，易知

\underset{\mathrm{t}\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}G\left(t\right)\le \frac{\lambda }{\sigma }，

因此G\left(t\right)是有界的，进而T\left(t\right)\mathrm{、}I\left(t\right)\mathrm{、}L\left(t\right)和Z\left(t\right)也是有界的。

下面证明V\left(t\right)是有界的。由于

I\left(t\right)\le \frac{\lambda }{\sigma }{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}，

根据模型（1）的第4个方程，则有

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}V\left(t\right)}{\mathrm{d}t}=N\delta I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right)-cV\left(t\right)\le \\ \frac{N\delta \lambda }{\sigma }{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}-cV\left(t\right),\end{array}

因此

\underset{\mathrm{t}\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}V\left(\mathrm{t}\right)\le \frac{N\delta \lambda }{\sigma c}{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}，

故对于任意的t>\mathrm{0}，T(t)\mathrm{、}I(t)\mathrm{、}L(t)\mathrm{、}V(t)\mathrm{、}Z(t)都是有界的。因此，集合

\Omega =\{\left(T,I,L,V,Z\right):T\le \frac{\lambda }{\sigma },I\le \frac{\lambda }{\sigma }{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}},L\le \frac{\lambda }{\sigma }{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}},V\le \frac{Na\lambda }{\sigma c}{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}},Z\le \frac{p\lambda }{q\sigma }{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}\}

是模型（1）的正不变集。

1 平衡点和再生数

模型（1）总是存在无感染平衡点E_{\mathrm{0}}(\lambda /d,\mathrm{0,0},\mathrm{0,0})。

为计算模型（1）的基本再生数，根据Driessche等^［10］提出的再生矩阵方法，则有

R_{\mathrm{0}}=\rho (\mathit{F}{\mathit{V}}^{-\mathrm{1}})=R_{\mathrm{01}}+R_{\mathrm{02}},

式中：

\mathit{F}=\left(\begin{array}{ccc}(\mathrm{1}-f){\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{0}}& \mathrm{0}& (\mathrm{1}-f){\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{0}}\\ f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{0}}& \mathrm{0}& f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{0}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right),

\mathit{V}=\left(\begin{array}{ccc}\delta & -\alpha & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \alpha +{\delta }_L& \mathrm{0}\\ -N\delta & \mathrm{0}& c\end{array}\right),

R_{\mathrm{01}}={\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}\frac{{\beta }_{\mathrm{2}}\lambda }{d\delta }((\mathrm{1}-f)+f\frac{\alpha }{\alpha +{\delta }_L}),

R_{\mathrm{02}}={\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}\frac{{\beta }_{\mathrm{1}}\lambda N}{dc}((\mathrm{1}-f)+f\frac{\alpha }{\alpha +{\delta }_L}),

R_{\mathrm{0}}表示一个感染细胞在整个易感群体中产生的继发感染细胞的数量，R_{\mathrm{01}}是细胞间感染对基本再生数的贡献，R_{\mathrm{02}}是病毒感染对基本再生数的贡献。

当R_{\mathrm{0}}>\mathrm{1}时，除无感染平衡点E_{\mathrm{0}}外，模型（1）存在无免疫平衡点E_{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{1}},I_{\mathrm{1}},L_{\mathrm{1}},V_{\mathrm{1}},\mathrm{0})，其中

\begin{array}{l}{T}_{\mathrm{1}}=\frac{\lambda }{d{R}_{\mathrm{0}}},I_{\mathrm{1}}=\frac{dc}{N\delta {\beta }_{\mathrm{1}}+{\beta }_{\mathrm{2}}c}\left(R_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}\right),\\ L_{\mathrm{1}}=\frac{f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}\lambda }{(\alpha +{\delta }_L)R_{\mathrm{0}}}\left(R_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}\right),\\ V_{\mathrm{1}}=\frac{dN\delta }{N\delta {\beta }_{\mathrm{1}}+{\beta }_{\mathrm{2}}c}\left(R_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}\right)\mathrm{。}\end{array}

定义

R_z=\frac{dcp}{r(N\delta {\beta }_{\mathrm{1}}+{\beta }_{\mathrm{2}}c)}\left(R_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}\right)

为模型（1）的免疫激活再生数。

进一步地，若R_z>\mathrm{1}，则模型（1）存在免疫激活平衡点E_{\mathrm{2}}(T_{\mathrm{2}},I_{\mathrm{2}},L_{\mathrm{2}},V_{\mathrm{2}},Z_{\mathrm{2}})，其中

T_{\mathrm{2}}=\frac{\lambda pc}{dpc+{\beta }_{\mathrm{1}}N\delta r+{\beta }_{\mathrm{2}}rc},I_{\mathrm{2}}=\frac{r}{p},

L_{\mathrm{2}}=\frac{f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}\lambda ({\beta }_{\mathrm{1}}N\delta r+{\beta }_{\mathrm{2}}rc)}{(\alpha +{\delta }_L)(dpc+{\beta }_{\mathrm{1}}N\delta r+{\beta }_{\mathrm{2}}rc)},

V_{\mathrm{2}}=\frac{N\delta r}{pc},Z_{\mathrm{2}}=\frac{\delta (R_z-\mathrm{1})({\beta }_{\mathrm{1}}N\delta r+{\beta }_{\mathrm{2}}rc)}{q(dpc+{\beta }_{\mathrm{1}}N\delta r+{\beta }_{\mathrm{2}}rc)}\mathrm{。}

2 全局渐近稳定性

下面通过构造Lyapunov泛函的方法来研究模型（1）的全局动力学性态。

定理1 若，则模型（1）的无感染平衡点E_{\mathrm{0}}是全局渐近稳定的。

证明 设(T(t),I(t),L(t),V(t),Z(t))为模型（1）的任意正解。定义

\begin{array}{l}W\left(t\right)=\left(\left(\alpha +{\delta }_L\right)\left(\mathrm{1}-f\right){\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}+\alpha f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}\right)\cdot \\ T_{\mathrm{0}}\left(\frac{T(t)}{T_{\mathrm{0}}}-\mathrm{1}-\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T(t)}{T_{\mathrm{0}}}\right)+\\ \left(\alpha +a_L\right)I(t)+\alpha L(t)+\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-R_{\mathrm{01}}\right)V(t)+\frac{q}{p}\left(\alpha +{\delta }_L\right)Z(t)+\\ \left(\alpha +{\delta }_L\right){\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}\left(\mathrm{1}-f\right)\cdot \\ {\int }_{t-{\tau }_{\mathrm{1}}}^t\left({\beta }_{\mathrm{1}}T\left(\theta \right)V\left(\theta \right)+{\beta }_{\mathrm{2}}T\left(\theta \right)I\left(\theta \right)\right)\mathrm{d}\theta +\\ \alpha {\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}f{\int }_{t-{\tau }_{\mathrm{1}}}^t\left({\beta }_{\mathrm{1}}T\left(\theta \right)V\left(\theta \right)+{\beta }_{\mathrm{2}}T\left(\theta \right)I\left(\theta \right)\right)\mathrm{d}\theta +\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-R_{\mathrm{01}}\right){\int }_{t-{\tau }_{\mathrm{2}}}^{t}N\delta I\left(\theta \right)\mathrm{d}\theta \mathrm{。}\end{array}

对W(t)沿模型（1）求全导数，则有

\begin{array}{l}\dot{W}\left(t\right)\left|{}_{\left(\mathrm{1}\right)}\right.=F_{\mathrm{0}}\left(\mathrm{1}-\frac{T_{\mathrm{0}}}{T(t)}\right)[\lambda -dT(t)-\\ {\beta }_{\mathrm{1}}T(t)V(t)-{\beta }_{\mathrm{2}}T(t)I(t)]+\\ \left(\alpha +{\delta }_L\right)[(\mathrm{1}-f){\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}({\beta }_{\mathrm{1}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})V(t-{\tau }_{\mathrm{1}})+\\ {\beta }_{\mathrm{2}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})I(t-{\tau }_{\mathrm{1}}))-\delta I(t)-\\ qZ(t)I(t)+\alpha L(t)]+\\ \alpha [f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}({\beta }_{\mathrm{1}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})V(t-{\tau }_{\mathrm{1}})+\\ {\beta }_{\mathrm{2}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})I(t-{\tau }_{\mathrm{1}}))-\left(\alpha +{\delta }_L\right)L(t)]+\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-R_{\mathrm{01}}\right)\left(N\delta I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right)-cV(t)\right)+\\ \frac{q}{p}\left(\alpha +{\delta }_L\right)\left(pZ(t)I(t)-rZ(t)\right)+\\ F_{\mathrm{1}}\left({\beta }_{\mathrm{1}}T(t)V(t)-{\beta }_{\mathrm{1}}T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)\right)+\\ F_{\mathrm{1}}({\beta }_{\mathrm{2}}T(t)I(t)-{\beta }_{\mathrm{2}}T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right))+\\ \alpha {\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}f\left({\beta }_{\mathrm{1}}T(t)V(t)-{\beta }_{\mathrm{1}}T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)\right)+\\ \alpha {\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}f\left({\beta }_{\mathrm{2}}T(t)I(t)-{\beta }_{\mathrm{2}}T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)\right)+\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-R_{\mathrm{01}}\right)\left(N\delta I(t)-N\delta I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right)\right),\end{array}

式中：

F_{\mathrm{0}}=\left(\alpha +{\delta }_L\right)\left(\mathrm{1}-f\right){\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}+\alpha f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}},

F_{\mathrm{1}}=\left(\alpha +{\delta }_L\right)(\mathrm{1}-f){\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}\mathrm{。}

由于

\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{0}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{0}}-\left(\alpha +{\delta }_L\right)\delta +\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-R_{\mathrm{01}}\right)N\delta =\mathrm{0},\end{array}

\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{0}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{0}}-\frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-R_{\mathrm{01}}\right)c=\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}c(R_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}),\end{array}

并由\lambda =d{T}_{\mathrm{0}}，可得

\begin{array}{l}\dot{W}\left(t\right)\left|{}_{\left(\mathrm{1}\right)}\right.=F_{\mathrm{0}}\left(\lambda -dT\left(t\right)+d{T}_{\mathrm{0}}-\lambda \frac{T_{\mathrm{0}}}{T(t)}\right)+\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(R_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}\right)cV(t)-\\ q\left(\alpha +{\delta }_L\right)rZ(t)/p=\end{array}

\begin{array}{l}-F_{\mathrm{0}}d\frac{{\left(T(t)-T_{\mathrm{0}}\right)}^{\mathrm{2}}}{T(t)}+\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(R_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}\right)cV(t)-\frac{q}{p}\left(\alpha +{\delta }_L\right)rZ(t)\mathrm{。}\end{array}

由于，则有\dot{W}\left(t\right){|}_{(\mathrm{1})}\le \mathrm{0}，且\dot{W}\left(t\right){|}_{(\mathrm{1})}=\mathrm{0}当且仅当

T(t)=T_{\mathrm{0}},I(t)=L(t)=V(t)=Z(t)=\mathrm{0}\mathrm{。}

容易证明M_{\mathrm{0}}=\{E_{\mathrm{0}}\}\subset \Omega是最大的不变子集。因此，根据LaSalle不变性原理^［11］，当时，E_{\mathrm{0}}是全局渐近稳定的。证毕。

定理2 若，则模型（1）的无免疫平衡点E_{\mathrm{1}}是全局渐近稳定的。

证明 设(T(t)\mathrm{、}I(t)\mathrm{、}L(t)\mathrm{、}V(t)\mathrm{、}Z(t))为满足模型（1）的任意正解。下面将通过Volterra型函数

g\left(x\right)=x-\mathrm{1}-\mathrm{l}\mathrm{n}x\left(x>\mathrm{0}\right),

对E_{\mathrm{1}}进行全局渐近稳定性分析。

显然，g\left(x\right)是正定的，且在x=\mathrm{1}处取得全局最小值g(\mathrm{1})=\mathrm{0}。定义

\begin{array}{l}U\left(t\right)=F_{\mathrm{0}}{T}_{\mathrm{1}}{g}_T+\left(\alpha +{\delta }_L\right)I_{\mathrm{1}}{g}_I+\alpha L_{\mathrm{1}}{g}_L+\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-\frac{R_{\mathrm{01}}}{R_{\mathrm{0}}}\right)V_{\mathrm{1}}{g}_V+\\ \frac{q}{p}\left(\alpha +{\delta }_L\right)Z(t)+\\ F_{\mathrm{1}}{\int }_{t-{\tau }_{\mathrm{1}}}^t({\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}{g}_{TV}+{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}{g}_{TI})\mathrm{d}\theta +\\ \alpha {\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}f{\int }_{t-{\tau }_{\mathrm{1}}}^t({\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}{g}_{TV}+{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}{g}_{TI})\mathrm{d}\theta +\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-\frac{R_{\mathrm{01}}}{R_{\mathrm{0}}}\right){\int }_{t-{\tau }_{\mathrm{2}}}^{t}N\delta I_{\mathrm{1}}{g}_I\mathrm{d}\theta ,\end{array}

式中：

\begin{array}{l}{g}_T=g\left(\frac{T(t)}{T_{\mathrm{1}}}\right),g_I=g\left(\frac{I(t)}{I_{\mathrm{1}}}\right),\\ g_L=g\left(\frac{L(t)}{L_{\mathrm{1}}}\right),g_V=g\left(\frac{V(t)}{V_{\mathrm{1}}}\right),\\ g_{TV}=g\left(\frac{T(t)V(t)}{T_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}}\right),g_{TI}=g\left(\frac{T(t)I(t)}{T_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}}\right)\mathrm{。}\end{array}

对U(t)沿模型（1）求全导数，则有

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}U\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\left|{}_{\left(\mathrm{1}\right)}\right.=F_{\mathrm{0}}\left(\mathrm{1}-\frac{T_{\mathrm{1}}}{T(t)}\right)[\lambda -dT(t)-\\ {\beta }_{\mathrm{1}}T(t)V(t)-{\beta }_{\mathrm{2}}T(t)I(t)]+\\ \left(\alpha +{\delta }_L\right)\left(\mathrm{1}-\frac{I_{\mathrm{1}}}{I(t)}\right)\cdot \\ [(\mathrm{1}-f){\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}({\beta }_{\mathrm{1}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})V(t-{\tau }_{\mathrm{1}})+\\ {\beta }_{\mathrm{2}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})I(t-{\tau }_{\mathrm{1}}))-\delta I(t)-\\ qZ(t)I(t)+\alpha L(t)]+\\ \alpha \left(\mathrm{1}-\frac{L_{\mathrm{1}}}{L(t)}\right)[f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}({\beta }_{\mathrm{1}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})V(t-{\tau }_{\mathrm{1}})+\\ {\beta }_{\mathrm{2}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})I(t-{\tau }_{\mathrm{1}}))-\left(\alpha +{\delta }_L\right)L(t)]+\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-\frac{R_{\mathrm{01}}}{R_{\mathrm{0}}}\right)\left(\mathrm{1}-\frac{V_{\mathrm{1}}}{V(t)}\right)\cdot \\ \left(N\delta I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right)-cV(t)\right)+\\ \frac{q}{p}\left(\alpha +{\delta }_L\right)\left(pZ(t)I(t)-rZ(t)\right)+\\ F_{\mathrm{1}}\left({\beta }_{\mathrm{1}}T(t)V(t)-{\beta }_{\mathrm{1}}T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)\right)+\\ F_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}{N}_{TV\mathrm{1}}+\\ F_{\mathrm{1}}\left({\beta }_{\mathrm{2}}T(t)I(t)-{\beta }_{\mathrm{2}}T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)\right)+\\ F_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}{N}_{TI\mathrm{1}}+\alpha {\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}f[{\beta }_{\mathrm{1}}T(t)V(t)-\\ {\beta }_{\mathrm{1}}T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)+{\beta }_{\mathrm{2}}T(t)I(t)-\\ {\beta }_{\mathrm{2}}T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)]+\\ \alpha {\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}f{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}{N}_{TV\mathrm{1}}+\\ \alpha {\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}f{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}{N}_{TI\mathrm{1}}+\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-\frac{R_{\mathrm{01}}}{R_{\mathrm{0}}}\right)(N\delta I(t)-N\delta I(t-{\tau }_{\mathrm{2}}))+\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-\frac{R_{\mathrm{01}}}{R_{\mathrm{0}}}\right)N\delta I_{\mathrm{1}}{N}_I,\end{array}

式中：

\begin{array}{l}{N}_{TV\mathrm{1}}=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)}{T_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}}-\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T(t)V(t)}{T_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}},\\ N_{TI\mathrm{1}}=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)}{T_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}}-\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T(t)I(t)}{T_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}},\\ N_I=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right)}{I_{\mathrm{1}}}-\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{I(t)}{I_{\mathrm{1}}}\mathrm{。}\end{array}

由于

F_{\mathrm{0}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{1}}-\left(\alpha +{\delta }_L\right)\delta +\frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-\frac{R_{\mathrm{01}}}{R_{\mathrm{0}}}\right)N\delta =\mathrm{0},

-\frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-\frac{R_{\mathrm{01}}}{R_{\mathrm{0}}}\right)c+F_{\mathrm{0}}{\beta }_{\mathrm{1}}\frac{T_{\mathrm{0}}}{R_{\mathrm{0}}}=\mathrm{0},

\begin{array}{l}-\frac{q}{p}\left(\alpha +{\delta }_L\right)r+\left(\alpha +{\delta }_L\right)q{I}_{\mathrm{1}}=-\frac{q}{p}\left(\alpha +{\delta }_L\right)r+\\ \left(\alpha +{\delta }_L\right)q\frac{dc}{N\delta {\beta }_{\mathrm{1}}+{\beta }_{\mathrm{2}}c}\left(R_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}\right)=\\ -\frac{q}{p}\left(\alpha +{\delta }_L\right)r\left(\mathrm{1}-R_z\right),\end{array}

因此

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}U\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\left|{}_{\left(\mathrm{1}\right)}\right.=F_{\mathrm{0}}\left(\lambda +d{T}_{\mathrm{1}}\right)+\\ \left(\alpha +{\delta }_L\right)\left(\delta I_{\mathrm{1}}+qZ(t)I_{\mathrm{1}}+\alpha L_{\mathrm{1}}\right)+\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-\frac{R_{\mathrm{01}}}{R_{\mathrm{0}}}\right)c{V}_{\mathrm{1}}-\frac{q}{p}\left(\alpha +{\delta }_L\right)rZ(t)-\\ F_{\mathrm{0}}d{T}_{\mathrm{1}}\left(g(\frac{T(t)}{T_{\mathrm{1}}})+\mathrm{1}+\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T(t)}{T_{\mathrm{1}}}\right)-\\ F_{\mathrm{0}}\lambda \left(g(\frac{T_{\mathrm{1}}}{T(t)})+\mathrm{1}+\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T_{\mathrm{1}}}{T(t)}\right)-\\ F_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}{G}_{\mathrm{1}}-F_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}{G}_{\mathrm{2}}-\\ \left(\alpha +{\delta }_L\right)\alpha L_{\mathrm{1}}\left(g(\frac{L(t)I_{\mathrm{1}}}{L_{\mathrm{1}}I(t)})+\mathrm{1}+\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{L(t)I_{\mathrm{1}}}{L_{\mathrm{1}}I}\right)-\\ \alpha f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}{\overline{G}}_{\mathrm{1}}-\alpha f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}{\overline{G}}_{\mathrm{2}}-\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-\frac{R_{\mathrm{01}}}{R_{\mathrm{0}}}\right)N\delta I_{\mathrm{1}}{G}_{\mathrm{3}}+\\ F_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}{G}_{\mathrm{4}}+F_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}{G}_{\mathrm{5}}+\\ \alpha {\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}f{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}{G}_{\mathrm{4}}+\alpha {\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}f{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}{G}_{\mathrm{5}}+\\ \frac{\alpha +{\delta }_L}{N}\left(\mathrm{1}-\frac{R_{\mathrm{01}}}{R_{\mathrm{0}}}\right)N\delta I_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right)}{I_{\mathrm{1}}}-\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{I(t)}{I_{\mathrm{1}}}\right)=\\ -F_{\mathrm{0}}d{T}_{\mathrm{1}}g\left(\frac{T(t)}{T_{\mathrm{1}}}\right)-F_{\mathrm{0}}\lambda g\left(\frac{T_{\mathrm{1}}}{T(t)}\right)-\\ F_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}{G}_{\mathrm{6}}-F_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}{G}_{\mathrm{7}}-\\ \left(\alpha +{\delta }_L\right)\alpha L_{\mathrm{1}}g\left(\frac{I_{\mathrm{1}}L(t)}{L_{\mathrm{1}}I(t)}\right)-\\ \alpha f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}{G}_{\mathrm{8}}-\alpha f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}{G}_{\mathrm{9}}-\\ (\alpha +{\delta }_L)\left(\mathrm{1}-\frac{R_{\mathrm{01}}}{R_{\mathrm{0}}}\right)\delta I_{\mathrm{1}}g\left(\frac{I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right)V_{\mathrm{1}}}{I_{\mathrm{1}}V(t)}\right)-\\ \frac{rq}{p}\left(\alpha +{\delta }_L\right)\left(\mathrm{1}-R_z\right)Z(t),\end{array}

式中：

\begin{array}{l}{G}_{\mathrm{1}}=g(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I_{\mathrm{1}}}{T_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}I(t)})+\mathrm{1}+\\ \mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}})V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I_{\mathrm{1}}\right.}{T_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}I(t)},\end{array}

\begin{array}{l}{\overline{G}}_{\mathrm{1}}=g(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)L_{\mathrm{1}}}{T_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}L(t)})+\mathrm{1}+\\ \mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}})V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)L_{\mathrm{1}}\right.}{T_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}L(t)},\end{array}

\begin{array}{l}{G}_{\mathrm{2}}=g(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I_{\mathrm{1}}}{T_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}I(t)})+\mathrm{1}+\\ \mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}})I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I_{\mathrm{1}}\right.}{T_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}I(t)},\end{array}

\begin{array}{l}{\overline{G}}_{\mathrm{2}}=g(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)L_{\mathrm{1}}}{T_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}L(t)})+\mathrm{1}+\\ \mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}})I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)L_{\mathrm{1}}\right.}{T_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}L(t)},\end{array}

G_{\mathrm{3}}=g(\frac{I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right)V_{\mathrm{1}}}{I_{\mathrm{1}}V(t)})+\mathrm{1}+\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right)V_{\mathrm{1}}}{I_{\mathrm{1}}V(t)},

G_{\mathrm{4}}=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)}{T_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}}-\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T(t)V(t)}{T_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}},

G_{\mathrm{5}}=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)}{T_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}}-\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T(t)I(t)}{T_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}},

G_{\mathrm{6}}=g\left(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I_{\mathrm{1}}}{T_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}I(t)}\right)，

G_{\mathrm{7}}=g\left(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I_{\mathrm{1}}}{T_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}I(t)}\right)，

G_{\mathrm{8}}=g\left(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)L_{\mathrm{1}}}{T_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{1}}L(t)}\right),

G_{\mathrm{9}}=g\left(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)L_{\mathrm{1}}}{T_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}L(t)}\right)\mathrm{。}

因此，\dot{U}\left(t\right)\left|{}_{\left(\mathrm{1}\right)}\right.\le \mathrm{0}，且\dot{U}\left|{}_{\left(\mathrm{1}\right)}\right.=\mathrm{0}当且仅当T=T_{\mathrm{1}},I=I_{\mathrm{1}},L=L_{\mathrm{1}},V=V_{\mathrm{1}},Z=\mathrm{0}。容易看出，\{(T(t),I(t),L(t),V(t),Z(t)):\dot{U}\left|{}_{\left(\mathrm{1}\right)}\right.=\mathrm{0}\}的最大不变子集是M_{\mathrm{1}}=\{E_{\mathrm{1}}\}\subset \Omega。由LaSalle不变性原理^［11］，当时，E_{\mathrm{1}}是全局渐近稳定的。证毕。

定理3 若R_z>\mathrm{1}，则模型（1）的免疫激活平衡点E_{\mathrm{2}}是全局渐近稳定的。

证明 设(T(t)\mathrm{、}I(t)\mathrm{、}L(t)\mathrm{、}V(t)\mathrm{、}Z(t))为模型（1）的任意正解。定义

\begin{array}{l}M\left(t\right)=F_{\mathrm{0}}{T}_{\mathrm{2}}g\left(\frac{T}{T_{\mathrm{2}}}\right)+\left(\alpha +{\delta }_L\right)I_{\mathrm{2}}g\left(\frac{I}{I_{\mathrm{2}}}\right)+\\ \alpha L_{\mathrm{2}}g\left(\frac{L}{L_{\mathrm{2}}}\right)+H_{\mathrm{1}}{V}_{\mathrm{2}}g\left(\frac{V}{V_{\mathrm{2}}}\right)+\\ \frac{q}{p}\left(\alpha +{\delta }_L\right)Z_{\mathrm{2}}g\left(\frac{Z}{Z_{\mathrm{2}}}\right)+\\ \left(\alpha +{\delta }_L\right){\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}\left(\mathrm{1}-f\right)H_{\mathrm{2}}+\alpha {\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}f{H}_{\mathrm{2}}+\\ H_{\mathrm{1}}{\int }_{t-{\tau }_{\mathrm{2}}}^{t}N\delta I_{\mathrm{2}}g\left(\frac{I}{I_{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{d}\theta ,\end{array}

式中:

H_{\mathrm{1}}=\frac{\left(\alpha +{\delta }_L\right){\beta }_{\mathrm{1}}\delta pcd{R}_{\mathrm{0}}}{\left({\beta }_{\mathrm{2}}c+{\beta }_{\mathrm{1}}N\delta \right)\left(dpc+{\beta }_{\mathrm{2}}cr+{\beta }_{\mathrm{1}}N\delta r\right)},

H_{\mathrm{2}}={\int }_{t-{\tau }_{\mathrm{1}}}^t({\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}g\left(\frac{TV}{T_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}}\right)+{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}g\left(\frac{TI}{T_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}}\right))\mathrm{d}\theta \mathrm{。}

对M(t)沿模型（1）求全导数，则有

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}M\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\left|{}_{\left(\mathrm{1}\right)}\right.=F_{\mathrm{0}}\left(\mathrm{1}-\frac{T_{\mathrm{2}}}{T(t)}\right)(\lambda -dT(t)-\\ {\beta }_{\mathrm{1}}T(t)V(t)-{\beta }_{\mathrm{2}}T(t)I(t))+\\ \left(\alpha +{\delta }_L\right)\left(\mathrm{1}-\frac{I_{\mathrm{2}}}{I(t)}\right)\cdot \\ [(\mathrm{1}-f){\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}({\beta }_{\mathrm{1}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})V(t-{\tau }_{\mathrm{1}})+\\ {\beta }_{\mathrm{2}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})I(t-{\tau }_{\mathrm{1}}))-\\ \delta I(t)-qZ(t)I(t)+\alpha L(t)]+\\ \alpha \left(\mathrm{1}-\frac{L_{\mathrm{2}}}{L(t)}\right)[f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}({\beta }_{\mathrm{1}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})V(t-{\tau }_{\mathrm{1}})+\\ {\beta }_{\mathrm{2}}T(t-{\tau }_{\mathrm{1}})I(t-{\tau }_{\mathrm{1}}))-\\ \left(\alpha +{\delta }_L\right)L(t)]+\\ H_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-\frac{V_{\mathrm{2}}}{V(t)}\right)\left(N\delta I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right)-cV(t)\right)+\end{array}

\begin{array}{l}\frac{q}{p}\left(\alpha +{\delta }_L\right)\left(\mathrm{1}-\frac{Z_{\mathrm{2}}}{Z(t)}\right)\left(pZ(t)I(t)-rZ(t)\right)+\\ F_{\mathrm{1}}{G}_{\mathrm{13}}+\left(\alpha +{\delta }_L\right)\left(\mathrm{1}-f\right){\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}{G}_{\mathrm{10}}+\\ F_{\mathrm{1}}{G}_{\mathrm{12}}+F_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}{G}_{\mathrm{11}}+\\ \alpha f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{G}_{\mathrm{13}}+\alpha f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}{G}_{\mathrm{10}}+\\ \alpha f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{G}_{\mathrm{12}}+\alpha f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}{G}_{\mathrm{11}}+\\ H_{\mathrm{1}}(N\delta I(t)-N\delta I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right))+\\ H_{\mathrm{1}}N\delta I_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right)}{I_{\mathrm{2}}}-\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{I(t)}{I_{\mathrm{2}}}\right),\end{array}

式中：

G_{\mathrm{10}}=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)}{T_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}}-\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T(t)V(t)}{T_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}},

G_{\mathrm{11}}=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)}{T_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}}-\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T(t)I(t)}{T_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}},

G_{\mathrm{12}}={\beta }_{\mathrm{2}}T(t)I(t)-{\beta }_{\mathrm{2}}T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right),

G_{\mathrm{13}}={\beta }_{\mathrm{1}}T(t)V(t)-{\beta }_{\mathrm{1}}T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)\mathrm{。}

由于

\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{0}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{2}}-\left(\alpha +{\delta }_L\right)\delta +\\ H_{\mathrm{1}}N\delta -\frac{q}{p}\left(\alpha +{\delta }_L\right)p{Z}_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},\end{array}

-H_{\mathrm{1}}c+F_{\mathrm{0}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},

-\frac{q}{p}\left(\alpha +{\delta }_L\right)r+\left(\alpha +{\delta }_L\right)q{I}_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},

因此，

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}M\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\left|{}_{\left(\mathrm{1}\right)}\right.=F_{\mathrm{0}}\left(\lambda +d{T}_{\mathrm{2}}\right)+\\ \left(\alpha +{\delta }_L\right)\left(\delta I_{\mathrm{2}}+\alpha L_{\mathrm{2}}\right)+\\ H_{\mathrm{1}}c{V}_{\mathrm{2}}+\frac{q}{p}\left(\alpha +{\delta }_L\right)r{Z}_{\mathrm{2}}-\\ F_{\mathrm{0}}d{T}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{2}}-F_{\mathrm{0}}\lambda A_{\mathrm{3}}-\\ F_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{4}}-F_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{5}}-\\ \left(\alpha +{\delta }_L\right)\alpha L_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{6}}-\alpha f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{7}}-\\ \alpha f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{8}}-H_{\mathrm{1}}N\delta I_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{9}}+\\ F_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}{N}_{TV\mathrm{2}}+F_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}{N}_{TI\mathrm{2}}+\\ \alpha {\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}f{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}{N}_{TV\mathrm{2}}+\\ \alpha {\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}f{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}{N}_{TI\mathrm{2}}+\\ H_{\mathrm{1}}N\delta I_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right)}{I_{\mathrm{2}}}-\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{I(t)}{I_{\mathrm{2}}}\right)=\\ -F_{\mathrm{0}}d{T}_{\mathrm{2}}g\left(\frac{T(t)}{T_{\mathrm{2}}}\right)-F_{\mathrm{0}}\lambda g\left(\frac{T_{\mathrm{2}}}{T(t)}\right)-\\ F_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}g\left(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I_{\mathrm{2}}}{T_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}I(t)}\right)-\\ F_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}g\left(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I_{\mathrm{2}}}{T_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}I(t)}\right)-\\ \left(\alpha +{\delta }_L\right)\alpha L_{\mathrm{2}}g\left(\frac{I_{\mathrm{2}}L(t)}{L_{\mathrm{2}}I(t)}\right)-\\ \alpha f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{\beta }_{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}g\left(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)L_{\mathrm{2}}}{T_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}L(t)}\right)-\\ \alpha f{\mathrm{e}}^{-m_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{1}}}{\beta }_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}g\left(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)L_{\mathrm{2}}}{T_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}L(t)}\right)-\\ H_{\mathrm{1}}N\delta I_{\mathrm{2}}g\left(\frac{I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right)V_{\mathrm{2}}}{I_{\mathrm{2}}V(t)}\right),\end{array}

式中：

A_{\mathrm{2}}=g(\frac{T(t)}{T_{\mathrm{2}}})+\mathrm{1}+\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T(t)}{T_{\mathrm{2}}}，

A_{\mathrm{3}}=g(\frac{T_{\mathrm{2}}}{T(t)})+\mathrm{1}+\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T_{\mathrm{2}}}{T(t)}，

\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{4}}=g(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I_{\mathrm{2}}}{T_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}I(t)})+\mathrm{1}+\\ \mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I_{\mathrm{2}}}{T_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}I(t)},\end{array}

\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{5}}=g(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I_{\mathrm{2}}}{T_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}I(t)})+\mathrm{1}+\\ \mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}})I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I_{\mathrm{2}}\right.}{T_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}I(t)},\end{array}

A_{\mathrm{6}}=g(\frac{L(t)I_{\mathrm{2}}}{L_{\mathrm{2}}I(t)})+\mathrm{1}+\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{L(t)I_{\mathrm{2}}}{L_{\mathrm{2}}I(t)},

\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{7}}=g(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)L_{\mathrm{2}}}{T_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}L(t)})+\mathrm{1}+\\ \mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)L_{\mathrm{2}}}{T_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}L(t)},\end{array}

\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{8}}=g(\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)L_{\mathrm{2}}}{T_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}L(t)})+\mathrm{1}+\\ \mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)L_{\mathrm{2}}}{T_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}L(t)},\end{array}

A_{\mathrm{9}}=g(\frac{I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right)V_{\mathrm{2}}}{I_{\mathrm{2}}V(t)})+\mathrm{1}+\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{I\left(t-{\tau }_{\mathrm{2}}\right)V_{\mathrm{2}}}{I_{\mathrm{2}}V(t)},

N_{TV\mathrm{2}}=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)V\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)}{T_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}}-\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T(t)V(t)}{T_{\mathrm{2}}{V}_{\mathrm{2}}},

N_{TI\mathrm{2}}=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)I\left(t-{\tau }_{\mathrm{1}}\right)}{T_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}}-\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{T(t)I(t)}{T_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}}。

显然，\dot{M}\left(t\right)\left|{}_{\left(\mathrm{1}\right)}\right.\le \mathrm{0}，且\dot{M}\left(t\right)\left|{}_{\left(\mathrm{1}\right)}\right.=\mathrm{0}当且仅当

T=T_{\mathrm{2}},I=I_{\mathrm{2}},L=L_{\mathrm{2}},V=V_{\mathrm{2}},Z=Z_{\mathrm{2}}。

进而，M_{\mathrm{2}}=\{E_{\mathrm{2}}\}\subset \Omega是\{(T(t),I(t),L(t),V(t),Z(t)):\dot{M}\left(t\right)\left|{}_{\left(\mathrm{1}\right)}\right.=\mathrm{0}\}的最大不变子集。

因此，根据LaSalle的不变性原理^［11］，当R_z>\mathrm{1}时，E_{\mathrm{2}}是全局渐近稳定的。证毕。

3 结束语

构建了具有细胞内感染时滞和CTL免疫应答的HIV感染动力学模型，揭示了时滞与免疫调控对病毒传播的复杂影响，通过理论推导与数学分析，证明了在CTL免疫反应下模型的全局稳定性。当时，无感染平衡点是全局渐近稳定的；当时，无免疫平衡点是全局渐近稳定的；当R_z>\mathrm{1}时，免疫激活平衡点是全局渐近稳定的。

研究发现，引入细胞内时滞不会改变稳定性结果，但在模型中包含免疫时滞会产生丰富的动力学行为，这将是后续的研究方向。

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基金资助

国家自然科学基金项目(12571548)

河南省教师教育课程改革研究项目(2026-JSJYZD-018)

信阳师范大学青年骨干教师资助计划项目(2023GGJS-01)

信阳师范大学研究生科研创新基金项目(2025KYJJ55)