时空白噪声驱动的分数阶偏微分方程的平均原理

Averaging Principle for a Class of Nonlinear Stochastic Fractional Partial Differential Equations

摘要

考虑到小噪声扰动的长期影响会使随机系统产生重要特性， 建立了柯西条件下时空白噪声驱动的分数阶偏微分方程的平均原理. 首先，利用时空白噪声的性质和关于空间变量的分数阶微分算子的性质， 证明了随机分数阶偏微分方程的解过程在均方意义下收敛到平均系统的解过程. 最后，给出数值算例， 验证平均原理的正确性.

Abstract

Considering that the long-term effects of small noise disturbances can lead to significant characteristics in stochastic systems， an averaging principle for stochastic fractional partial differential equations driven by space-time white noise and the Cauchy conditions was established in this paper. First， by utilizing the properties of space-time white noise and the characteristics of fractional differential operators with respect to spatial variables， it is proved that the solution process of the stochastic fractional partial differential equations converge to the solution process of the averaged systems in the mean square sense. Finally， numerical examples are provided to verify the correctness of the averaging principle.

Graphical abstract

关键词

分数阶偏微分方程 / 时空白噪声 / 随机平均原理

Key words

fractional differential equations / space-time white noise / stochastic averaging principle

近年来，分数阶方程，无论是偏微分方程还是常微分方程，都受到了越来越多的关注，被广泛地应用于物理学、分形介质、量子场、图像分析、风险管理等领域^［1-3］. 时空噪声驱动的分数阶方程，常被解释为一个包含核函数的跳跃型随机积分方程，这使得在研究时空噪声驱动的偏微分方程时，鞅意义下的随机微积分理论有些不能直接适用^［4］. 文中考虑了时空白噪声驱动的分数阶偏微分方程

（1）

其中：\epsilon \in (\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{0}}]是一个正的参数，{\epsilon }_{\mathrm{0}}是固定的参数； [\alpha ]是\alpha的整数部分，m\in \mathbf{{\rm N}},且\mathrm{1}\le m\le \left[\alpha \right]；{}_x{}^{}{}_{\delta }^{\alpha }是关于空间变量的分数阶微分算子；W=\left\{W(t,x),t\in [\mathrm{0},T],x\in \mathbf{R}\right\}被称为时空白噪声^［5］. 目前已知，文献［6］给出了适当的条件，确保系统弱解轨迹的存在性、唯一性和光滑性. 此外，文中更关注\epsilon趋于0时随机系统（1）的解更详细的性质.

随机平均原理是一种有效的分析工具，可用于描述动态系统的行为^［7-9］. 许多学者对随机平均原理进行了研究，并将其应用于不同类型的随机微分方程. 例如，Cerrai等^［10］、Dong等^［11］和Wang等^［12］研究了带有不同随机积分的无限维随机偏微分方程. Bréhier^［13］和Fu等^［14］研究了随机偏微分方程中的弱收敛问题. Radchenko^［15］研究了一类由随机测度\mu驱动的随机热方程，其中随机测度\mu仅在概率上满足\sigma可加性. 之后，Shen等^［16］建立了由随机测度驱动的分数阶热方程的平均化原理.以上研究都是建立在时间噪声下的偏微分方程的平均原理，文中将空间变量引入分数阶偏微分方程，建立时空噪声扰动下偏微分方程的平均原理，将拉普拉斯算子推广到一般的分数阶偏微分方程，同时弱化对空间变量求导的条件，讨论更一般的柯西条件下分数阶时空噪声驱动的偏微分方程的均方收敛.

1 预备知识

四元组\left(\Omega ,F,{\left\{F_t\right\}}_{t\ge \mathrm{0}},{\rm P}\right)是通常假设的随机基. \mathrm{{\rm E}}\left(\cdot \right)表示概率测度{\rm P}下的期望. 随机流F_t定义为

F_t=\sigma \left\{W(s,x):\mathrm{0}\le s\le t,x\in \mathbf{R}\right\},

则W(t,x):\mathrm{0}\le t\le T,x\in \mathbf{R}产生一个连续的正交鞅测度^［5］.

分数微分算子定义为

{}_x{}^{}{}_{\delta }^{\alpha }\varphi (x)=F^{-\mathrm{1}}\left\{{}_{\delta }{}^{}{\psi }_{\alpha }(\lambda )F\{\varphi (x);\lambda \};x\right\},

其中

{{}_{\delta }{}^{}}_{\alpha }(\lambda )=-{\left|\lambda \right|}^{\alpha }\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-\mathrm{i}\delta \frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\left(\lambda \right)\right\}，

\left|\delta \right|\le \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\alpha -{\left[\alpha \right]}_{\mathrm{2}},\mathrm{2}+{\left[\alpha \right]}_{\mathrm{2}}-\alpha \}是小于等于\alpha的最大偶数，并且当\delta =\mathrm{0}时，\alpha \in \mathrm{2}\mathbf{{\rm N}}+\mathrm{1}，F和F^{-\mathrm{1}}分别是傅里叶变换和傅里叶逆变换. 算子{}_x{}^{}{}_{\delta }^{\alpha }是空间L^{\mathrm{2}}\left(\mathbf{R}\right)上的闭集， 是半群的无穷小生成元. 特别地，当\alpha =\mathrm{2}时，{}_x{}^{}{}_{\delta }^{\alpha }就是拉普拉斯算子.

假设\alpha \in (\mathrm{1},\mathrm{\infty })\backslash \mathbf{{\rm N}}，可测函数f,g,\sigma ：[\mathrm{0},\mathrm{\infty }]\times \mathbf{R}\times \mathbf{R}\to \mathbf{R}满足Lipschitz增长条件.

（H1） 对于任意的T>\mathrm{0}，存在一个有界函数K(t)>\mathrm{0},使得对于任意的t\in [\mathrm{0},T]和p,q,r\in \mathbf{R}，有

\left|f(t,r,p)\right|+\left|g(t,r,p)\right|+\left|\sigma (t,r,p)\right|\le K(t)(\mathrm{1}+\left|p\right|),

\left|f(t,r,p)-f(t,r,q)\right|+\left|g(t,r,p)-g(t,r,q)\right|+\left|\sigma (t,r,p)-\sigma (t,r,q)\right|\le K(t)\left|p-q\right|,

若系统（1）的系数f,g和\sigma满足假设（H1）^［6］，则称可测的随机场\left\{u(t,x),t\in [\mathrm{0},T],x\in \mathbf{R}\right\}为系统（1）在区间[\mathrm{0},T]上的温和解. 对于所有的t\in [\mathrm{0},T]和x\in \mathbf{R},\left\{u(t,x),t\in [\mathrm{0},T]\right\}是\left\{F_t\right\}可适的，并且u(t,x)满足积分方程

\begin{array}{l}{u}^{\epsilon }(t,x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{G}_{\alpha }(t,x-y)u_{\mathrm{0}}(y)\mathrm{d}y+\epsilon {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{G}_{\alpha }(t-s,x-y)f(s,u^{\epsilon }(s,y))\mathrm{d}y\mathrm{d}s-\\ \epsilon {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\partial G_{\alpha }}{\partial y}(t-s,x-y)g(s,u^{\epsilon }(s,y))\mathrm{d}y\mathrm{d}s+\sqrt[]{\epsilon }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{G}_{\alpha }(t-s,x-y)\sigma (s,u^{\epsilon }(s,y))dW(s,y).\end{array}（2）

此外，有 柯西问题的基本解是与系统（1）有关的格林函数，即

\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial t}G(t,x)={}_x{}^{}D{D}_{\delta }^{\alpha }G(t,x),t>\mathrm{0},x\in \mathbf{R},\\ G(\mathrm{0},x)={\delta }_{\mathrm{0}}(x),\end{array}\right.

其中{\delta }_{\mathrm{0}}是狄拉克分布. 经傅里叶计算得

G_{\alpha }\left(t,x\right)=F^{-\mathrm{1}}\left\{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{{}_{\delta }{\psi }_{\alpha }\left(\lambda \right)t\right\};x\right\}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }exp\left[-\mathrm{i}\lambda x-t{\left|\lambda \right|}^{\alpha }\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-\mathrm{i}\delta \frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\left(\lambda \right)\right\}\right]\mathrm{d}\lambda ，

更多性质可参考文献［4］.

下面研究整个实数域上的标准随机分数阶偏微分方程的平均原理.

2 随机平均原理

接下来，将给出时空噪声驱动的分数阶偏微分方程平均原理的证明. 随机分数阶偏微分方程的平均方程为

（3）

令\overline{f}(x),\overline{g}(x),\overline{\sigma }(x)为可测函数，系统（3）的解可以用更简单的平均过程近似，即

z^{\epsilon }(t,x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{G}_{\alpha }(t,x-y)u_{\mathrm{0}}(y)\mathrm{d}y+\epsilon {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{G}_{\alpha }(t-s,x-y)\overline{f}(z^{\epsilon }(s,y))\mathrm{d}y\mathrm{d}s-\epsilon {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\partial G_{\alpha }}{\partial y}(t-s,x-y)\overline{g}(z^{\epsilon }(s,y))\mathrm{d}y\mathrm{d}s+\sqrt[]{\epsilon }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{G}_{\alpha }(t-s,x-y)\overline{\sigma }(z^{\epsilon }(s,y))\mathrm{d}W(s,y).（4）

（H2） 假设下列不等式成立

\frac{\mathrm{1}}{T_{\mathrm{1}}}{\int }_{\mathrm{0}}^{T_{\mathrm{1}}}{\left|f(s,y)-\overline{f}(y)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\le {\varphi }_{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{1}})(\mathrm{1}+{\left|y\right|}^{\mathrm{2}})，（5）

\frac{\mathrm{1}}{T_{\mathrm{1}}}{\int }_{\mathrm{0}}^{T_{\mathrm{1}}}{\left|g(s,y)-\overline{g}(y)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\le {\varphi }_{\mathrm{2}}(T_{\mathrm{1}})(\mathrm{1}+{\left|y\right|}^{\mathrm{4}})，（6）

\frac{\mathrm{1}}{T_{\mathrm{1}}}{\int }_{\mathrm{0}}^{T_{\mathrm{1}}}{\left|\sigma (s,y)-\overline{\sigma }(y)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\le {\varphi }_{\mathrm{3}}(T_{\mathrm{1}})(\mathrm{1}+{\left|y\right|}^{\mathrm{2}})，（7）

其中：T_{\mathrm{1}}\in [\mathrm{0},T]，{\varphi }_i(T_{\mathrm{1}})是正的有界函数，且\underset{T_{\mathrm{1}}\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\varphi }_i(T_{\mathrm{1}})=\mathrm{0},i=\mathrm{1,2},\mathrm{3}.

下面证明随机分数阶平均方程的解均方收敛到原始随机分数阶偏微分方程的解.

定理1 假设条件（H1）、（H2）成立，对于任意{\delta }_{\mathrm{0}}>\mathrm{0},存在L>\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{1}}\in (\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{0}}]和\beta \in (\mathrm{0,1}),使得对于任意的\epsilon \in (\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{1}}]，下式成立：

\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{t\in [\mathrm{0},L{\epsilon }^{-\beta }]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(t,x)-z^{\epsilon }(t,x)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\le {\delta }_{\mathrm{1}}.（8）

证明 由方程（2）和方程（4）整理得

\begin{array}{l}{u}^{\epsilon }(t,x)-z^{\epsilon }(t,x)=\epsilon {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{G}_{\alpha }(t-s,x-y)(f(s,u^{\epsilon }(s,y)）-\overline{f}(z^{\epsilon }(s,y)))\mathrm{d}y\mathrm{d}s-\\ \epsilon {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\partial G_{\alpha }}{\partial y}(t-s,x-y)(g(u^{\epsilon }(s,y))-\overline{g}(z^{\epsilon }(s,y)))\mathrm{d}y\mathrm{d}s+\\ \sqrt[]{\epsilon }{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{G}_{\alpha }(t-s,x-y)(\sigma (u^{\epsilon }(s,y)）-\overline{\sigma }(z^{\epsilon }(s,y)))\mathrm{d}W(s,y).\end{array}

利用基本不等式{\left|x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+\dots +x_n\right|}^{\mathrm{2}}\le C_n({\left|x{}_{\mathrm{1}}{}^{}\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|x_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}+\dots +{\left|x_n\right|}^{\mathrm{2}}),得

\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le t\le u}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(t,x)-z^{\epsilon }(t,x)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\le I_{\mathrm{1}}(t)+I_{\mathrm{2}}(t)+I_{\mathrm{3}}(t),

其中

I_{\mathrm{1}}(t):=\mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{{}_{\mathrm{0}\le t\le u}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{G}_{\alpha }(t-s,x-y)(f(s,u^{\epsilon }(s,y))-\overline{f}(z^{\epsilon }(s,y)))\mathrm{d}y\mathrm{d}s\right|}^{\mathrm{2}}\right)，

I_{\mathrm{2}}(t):=\mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le t\le u}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\partial G_{\alpha }}{\partial y}(t-s,x-y)(g(s,u^{\epsilon }(s,y))-\overline{g}(z^{\epsilon }(s,y)))\mathrm{d}y\mathrm{d}s\right|}^{\mathrm{2}}\right),

I_{\mathrm{3}}(t):=\mathrm{3}\epsilon \mathrm{{\rm E}}\left(\underset{{}_{\mathrm{0}\le t\le u}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{G}_{\alpha }(t-s,x-y)(\sigma (s,u^{\epsilon }(s,y))-\overline{\sigma }(z^{\epsilon }(s,y)))\mathrm{d}W(s,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right).

首先，对于I_{\mathrm{1}}(t)，利用Hölder不等式、（H1）和式（5）得

I_{\mathrm{1}}(t)\le \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le t\le u}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\int }_{\mathrm{0}}^t\underset{y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left|f(s,u^{\epsilon }(s,y))\right.-\overline{f}(z^{\epsilon }(s,y)){|}^{\mathrm{2}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{G}_{\alpha }(t-s,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}s\right)\le \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le t\le u}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\int }_{\mathrm{0}}^t\underset{y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|f(s,u^{\epsilon }(s,y))-\overline{f}(z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}\right)\le \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}\mathrm{{\rm E}}\left({\int }_{\mathrm{0}}^u\underset{\mathrm{0}\le s\le s\mathrm{\text{'}},y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|f(s,u^{\epsilon }(s,y))-f(s,z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}ds\text{'}\right)+\mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le t\le u}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\int }_{\mathrm{0}}^t\underset{y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|f(s,z^{\epsilon }(s,y))-\overline{f}(z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\right)\le \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^u\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le s\le t,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|f(s,u^{\epsilon }(s,y))-f(s,z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}t+\mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le t\le u}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}t\right.\left.\left(\frac{\mathrm{1}}{t}{\int }_{\mathrm{0}}^t\underset{y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|f(s,z^{\epsilon }(s,y))-\overline{f}(z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\right)\right)\le \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}K(t){\int }_{\mathrm{0}}^u\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le s\le t,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(s,y)-z^{\epsilon }(s,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}t+\mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{0}\le t\le u，y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}t{\varphi }_{\mathrm{1}}(t)\left(\mathrm{1}+\mathrm{{\rm E}}\left|z^{\epsilon }(t,y)\right|\right)\le \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}K(t){\int }_{\mathrm{0}}^u\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le s\le t,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(s,y)-z^{\epsilon }(s,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}t+\mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}u{K}_{\mathrm{12}}\left(\mathrm{1}+\underset{\mathrm{0}\le t\le u，y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\mathrm{{\rm E}}\left|z^{\epsilon }(t,y)\right|\right),（9）

其中K_{\mathrm{12}}是一个正的常数.

对于I_{\mathrm{2}}(t)，利用Hölder不等式、（H1）和式（6）得

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{2}}(t)\le \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le t\le u}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\int }_{\mathrm{0}}^t\underset{y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|g(s,u^{\epsilon }(s,y))-\overline{g}(z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\partial G_{\alpha }}{\partial y}(t-s,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}s\right)\le \\ \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le t\le u}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }}\underset{y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|g(s,u^{\epsilon }(s,y))-\overline{g}(z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\right)\le \\ \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le t\le u}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }}\underset{y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|g(s,u^{\epsilon }(s,y))-g(s,z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\right)+\\ \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le t\le u}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }}\left.\underset{y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|g(s,z^{\epsilon }(s,y))-\overline{g}(z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\right)\right.\le \\ \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^u{(t-s)}^{-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }}\mathrm{{\rm E}}\left.\left(\underset{\mathrm{0}\le s\le t,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\right.{\left|g(s,u^{\epsilon }(s,y))-g(s,z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t\right)+\\ \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}{u}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }}\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le t\le u}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\cdot {\left(\frac{\mathrm{1}}{t}{\int }_{\mathrm{0}}^t\underset{y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|g(s,u^{\epsilon }(s,y))-\overline{g}(z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{4}}\mathrm{d}s\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)\le \\ \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^u{(t-s)}^{-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }}\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le s\le t,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|g(s,u^{\epsilon }(s,y))-g(s,z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}t+\mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}{u}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }}\underset{\mathrm{0}\le t\le u,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(t)\left(\mathrm{1}+\mathrm{{\rm E}}{\left|z^{\epsilon }(t,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\le \\ \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}K(t){\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }}\left(\mathrm{{\rm E}}\underset{\mathrm{0}\le s\le t,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(s,y)-z^{\epsilon }(s,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}t+\mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}{u}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }}{K}_{\mathrm{22}}\left(\mathrm{1}+\underset{\mathrm{0}\le t\le u}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\mathrm{{\rm E}}{\left|z^{\epsilon }(t,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right),\hspace{1em}\end{array}（10）

其中K_{\mathrm{22}}是一个正的常数.

对于I_{\mathrm{3}}(t)，利用Burkholder-Davis-Gundy不等式、Hölder不等式、（H1）和式（7）得

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{3}}(t)\le \mathrm{3}\epsilon \mathrm{{\rm E}}\left|{\int }_{\mathrm{0}}^u{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{G}_{\alpha }^{\mathrm{2}}(u-s,x-y)\right.{\left|\sigma (u^{\epsilon }(s,y))-\overline{\sigma }(z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}y\mathrm{d}s\left|\right.\le \\ \mathrm{3}\epsilon \mathrm{{\rm E}}{\int }_{\mathrm{0}}^u\underset{y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|\sigma (s,u^{\epsilon }(s,y))-\overline{\sigma }(z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s{\int }_{\mathrm{0}}^u{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{G}_{\alpha }^{\mathrm{2}}(u-s,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}s\le \\ \mathrm{3}\epsilon \mathrm{{\rm E}}\left({\int }_{\mathrm{0}}^u\underset{y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|\sigma (s,u^{\epsilon }(s,y))-\sigma (s,z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\right)+\mathrm{3}\epsilon \mathrm{{\rm E}}\left({\int }_{\mathrm{0}}^u\underset{y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|\sigma (s,z^{\epsilon }(s,y))-\overline{\sigma }(z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\right)\le \\ \mathrm{3}\epsilon {\int }_{\mathrm{0}}^u\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|\sigma (s,u^{\epsilon }(s,y))-\sigma (s,z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}t+\mathrm{3}\epsilon \mathrm{{\rm E}}\left(u\left(\frac{\mathrm{1}}{u}\right.\right.\left.\left.{\int }_{\mathrm{0}}^u\underset{y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|\sigma (s,z^{\epsilon }(s,y))-\overline{\sigma }(z^{\epsilon }(s,y))\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s\right)\right)\le \\ \mathrm{3}\epsilon K(t){\int }_{\mathrm{0}}^u{\rm E}\left(\underset{\mathrm{0}\le s\le t,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(s,y)-z^{\epsilon }(s,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}t+\mathrm{3}\epsilon \underset{\mathrm{0}\le t\le u,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}t{\varphi }_{\mathrm{3}}(t)\left(\mathrm{1}+\mathrm{{\rm E}}{\left|z^{\epsilon }(s,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\le \\ \mathrm{3}\epsilon K(t){\int }_{\mathrm{0}}^u{\rm E}\left(\underset{\mathrm{0}\le s\le t,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(s,y)-z^{\epsilon }(s,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}t+\mathrm{3}\epsilon u{K}_{\mathrm{32}}\left(\mathrm{1}+\underset{\mathrm{0}\le t\le u,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\mathrm{{\rm E}}{\left|z^{\epsilon }(s,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)，\end{array}（11）

其中K_{\mathrm{32}}是一个正的常数.

整理不等式（9）~（11），可得

\begin{array}{l}\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le t\le u}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(t,x)-z^{\epsilon }(t,x)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\le \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}K(t){\int }_{\mathrm{0}}^t\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le s\le t,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(s,y)-z^{\epsilon }(s,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}t+\\ \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}u{K}_{\mathrm{12}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le s\le t，y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|z^{\epsilon }(t,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\right)+\mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}K(t){{\int }_{\mathrm{0}}^t\left(t-s\right)}^{-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }}\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le s\le t,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(s,y)-z^{\epsilon }(s,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}t+\\ \mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }}{K}_{\mathrm{22}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le s\le t,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|z^{\epsilon }(s,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\right)+\mathrm{3}\epsilon K(t){\int }_{\mathrm{0}}^u{\rm E}\left(\underset{\mathrm{0}\le s\le t,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(s,y)-z^{\epsilon }(s,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)+\\ \mathrm{3}\epsilon u{K}_{\mathrm{32}}\left(\mathrm{1}+\underset{\mathrm{0}\le t\le u,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\mathrm{{\rm E}}{\left|z^{\epsilon }(t,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\le \mathrm{3}\epsilon K(t)(\epsilon +\mathrm{1}){\int }_{\mathrm{0}}^u{\rm E}\left(\underset{\mathrm{0}\le s\le t,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(s,y)-z^{\epsilon }(s,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)+\\ \mathrm{3}\epsilon u(\epsilon K_{\mathrm{12}}+\epsilon K_{\mathrm{22}}+K_{\mathrm{32}})+\mathrm{3}{\epsilon }^{\mathrm{2}}K(t){\int }_{\mathrm{0}}^t{(t-s)}^{-\frac{\mathrm{1}}{\alpha }}\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{\mathrm{0}\le s\le t,y}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(s,y)-z^{\epsilon }(s,y)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}t.\end{array}

根据Gronwall-Bellman不等式可得

\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{t\in [\mathrm{0},u]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(t,x)-z^{\epsilon }(t,x)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\le \mathrm{3}\epsilon u(\epsilon K_{\mathrm{12}}+\epsilon K_{\mathrm{22}}+K_{\mathrm{32}})\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{\mathrm{3}\epsilon (\epsilon +\mathrm{1})K(t)C_{\alpha }\right\}.

取\beta \in (\mathrm{0,1})和L>\mathrm{0}，使得对于任意的t\in (\mathrm{0},L{\epsilon }^{-\beta }]\subseteq [\mathrm{0},T]，有

\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{t\in (\mathrm{0},L{\epsilon }^{-\beta }]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(t,x)-z^{\epsilon }(t,x)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\le K{\epsilon }^{\mathrm{1}-\beta },

其中K=\mathrm{3}\epsilon u\left(\epsilon K_{\mathrm{12}}+\epsilon K_{\mathrm{22}}+K_{\mathrm{32}}\right)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{\mathrm{3}\epsilon (\epsilon +\mathrm{1})K(t)C_{\alpha }\right\}是一个正的常数.

因此，任给常数{\delta }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0},取{\epsilon }_{\mathrm{1}}\in (\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{0}}]，\epsilon \in (\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{1}}]，对任意的t\in (\mathrm{0},L{\epsilon }^{-\beta }],有

\mathrm{{\rm E}}\left(\underset{t\in (\mathrm{0},L{\epsilon }^{-\beta }]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|u^{\epsilon }(t,x)-z^{\epsilon }(t,x)\right|}^{\mathrm{2}}\right)\le {\delta }_{\mathrm{1}}.

3 数值算例

现在举例验证平均原理的正确性^{［7，17-18］}. 考虑下列系统

（12）

其中：f(t,u^{\epsilon })=\mathrm{2}{u}^{\epsilon }\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\left(t\right)，g(t,u^{\epsilon })=\mathrm{2}{x}^{\mathrm{4}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(t\right)u^{\epsilon }，\sigma (t,u^{\epsilon })=\mathrm{1}，\alpha =\mathrm{2},\delta =\mathrm{0}，则

\left\{\begin{array}{l}\overline{f}(t,u^{\epsilon })=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\pi }}f(t,u^{\epsilon })=u^{\epsilon },\\ \overline{g}(t,u^{\epsilon })=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\pi }}g(t,u^{\epsilon })=x^{\mathrm{4}}{u}^{\epsilon },\\ \overline{\sigma }(t,u^{\epsilon })=\mathrm{1}.\end{array}\right.

观察给出的函数具体形式，满足条件（H1）. 因此，平均后的随机偏微分方程为

（13）

如图1所示，系统（12）的解u^{\epsilon }在均方意义下收敛到平均方程（13）的解z^{\epsilon }（x_{\mathrm{0}}（x）=z_{\mathrm{0}}(x)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\pi }x,T_{\mathrm{1}}=\mathrm{\pi },\alpha =\mathrm{2}，\epsilon =\mathrm{0.1}，\mathrm{0.01}，\mathrm{0.001}），这与定理1给出的结论一致.

注1 Shi等^［19］考虑了柯西条件下分数阶偏微分方程全局解的存在性和唯一性，因此，可以继续讨论时空Lévy噪声下分数阶偏微分方程的平均原理.

参考文献

[1] TRUMAN A， WU Jianglun. On a stochastic nonlinear equation arising from 1D integro-differential scalar conservation laws［J］.Journal of Functional Analysis， 2006， 238（2）： 612-635.

[2] MUELLER C. The heat equation with Lévy noise［J］. Stochastic Processes and Their Applications， 1998， 74（1）：67-82.

[3] 褚丽敏，胡卫敏，苏有慧. 一类含有p-Laplacian算子的半正分数阶微分方程脉冲边值问题正解的存在性［J］.宁夏大学学报（自然科学版），2022，43（4）：341-347.

[4] YUE Hongge， XU Yong， Jiao ZHE. Averaging principle for semilinear stochastic partial differential equations involving space-time white noise［J］. Applied Mathematics Letters， 2023， 143： 108686.

[5] WALSH J B. An introduction to stochastic partial differential equations［C］// HENNEQUIN P L. École d’Été de Probabilités de Saint Flour XIV-1984. Lecture Notes in Mathematics， vol. 1180. Berlin， Heidelberg： Springer， 1986：265-439.

[6] DEBBI L， DOZZI M. On the solutions of nonlinear stochastic fractional partial differential equations in one spatial dimension［J］. Stochastic Processes and Their Applications， 2005， 115（11）： 1764-1781.

[7] XU Yong， DUAN Jinqiao， XU Wei. An averaging principle for stochastic dynamical systems with Lévy noise［J］. Physica D： Nonlinear Phenomena， 2011， 240（17）： 1395-1401.

[8] PEI Bin， INAHAMA Y， XU Yong. Averaging principles for mixed fast-slow systems driven by fractional Brownian motion［J］.Kyoto Journal of Mathematics， 2023， 63（4）：721-748.

[9] CERRAI S. A Khasminskii type averaging principle for stochastic reaction-diffusion equations［J］. The Annals of Applied Probability， 2009， 19（3）： 899-948.

[10] CERRAI S， FREIDLIN M. Averaging principle for a class of stochastic reaction-diffusion equations［J］. Probability Theory and Related Fields，2009，144（1/2）： 137-177.

[11] DONG Zhao， SUN Xiaobin， XIAO Hui， et al. Averaging principle for one dimensional stochastic Burgers equation［J］.Journal of Differential Equations， 2018，265（10）：4749-4797.

[12] WANG W， ROBERTS A J. Average and deviation for slow-fast stochastic partial differential equations［J］. Journal of Differential Equations， 2012， 253（5）： 1265-1286.

[13] BRÉHIER C E. Orders of convergence in the averaging principle for SPDEs： the case of a stochastically forced slow component［J］. Stochastic Processes and Their Applications， 2020， 130（6）： 3325-3368.

[14] FU Hongbo， WAN Li， LIU Jicheng， et al. Weak order in averaging principle for stochastic wave equation with a fast oscillation［J］. Stochastic Processes and Their Applications， 2018， 128（8）： 2557-2580.

[15] RADCHENKO V. Averaging principle for the heat equation driven by a general stochastic measure［J］. Statistics & Probability Letters， 2019，146：224-230.

[16] SHEN Guangjun， WU Jianglun， YIN Xiuwei. Averaging principle for fractional heat equations driven by stochastic measures［J］. Applied Mathematics Letters， 2020，106：106404.

[17] YUE Hongge， XU Yong， WANG Ruifang， et al. Averaging principle of stochastic Burgers equation driven by Lévy processes［J］. Journal of Mathematical Physics， 2023， 64（10）：103506.

[18] XU Wenjing， DUAN Jinqiao， XU Wei. An averaging principle for fractional stochastic differential equations with Lévy noise［J］. Chaos， 2020， 30（8）： 083126.

[19] SHI Kehu， WANG Yongjin. On a stochastic fractional partial differential equation driven by a Lévy space-time white noise［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2010， 364（1）： 119-129.

基金资助

宁夏自然科学基金资助项目(NZ2024AAC03003)

国家自然科学基金资助项目(12072264)