200 GeV的Au+Au碰撞中粲奇异介子的动力学冻结性质

Kinetic Freeze-out Properties of Charm-strange Mesons in Au+Au Collisions at 200 GeV

摘要

本文对200 GeV的Au+Au碰撞中粲奇异介子DS±的横动量谱进行了模型研究。利用非广延Tsallis统计模型、冲击波模型和Tsallis冲击波模型分析了不同碰撞中心度的粒子分布，并与实验结果进行了比较和讨论，给出和解释了模型各自适用的横动量范围以及其中的动力学冻结参数。非广延参数q和动力学冻结温度随中心度百分比的升高而升高，平均径向流随中心度百分比的升高而降低。与边缘碰撞相比，中心碰撞的热化火球寿命较长，具有更长的演化时间。D_S^±的动力学冻结时间早于轻强子，具有较小的径向流速，和较高动力学冻结温度。由于质量较大，产生于碰撞更早期，携带着夸克胶子等离子体（Quark-Gluon Plasma, QGP）的相关信息。这些冻结性质有助于加深我们对高能核碰撞中反应体系演化的理解。

关键词

高能核-核碰撞 / Tsallis冲击波模型 / D_S^±粒子谱 / 动力学冻结

Key words

nucleus-nucleus collision at high energies / Tsallis Blast-wave model / D_S ^± spectra / kinetic freeze-out

0 引言

位于美国布鲁克海文国家实验室的相对论重离子对撞机（Relativistic Heavy Ion Collider，RHIC）^［1-3］和瑞士日内瓦欧洲粒子物理研究所的大型强子对撞机（Large Hadron Collider，LHC）^［4-6］的重离子对撞项目主要研究集中在高温高密下的强相互作用和量子色动力学（Quantum Chromodynamics，QCD）的研究。在极高温和极高能量密度的极端环境下，碰撞产生了自由态的夸克和胶子体系。它是一种新的物态——夸克胶子等离子体（Quark-Gluon Plasma， QGP）^［7］。这些QGP仅存在于碰撞初始阶段很短的时间内，之后碰撞系统会迅速转变为强子气体系统。在过去的几十年间，RHIC和LHC上的实验组测量的基于轻味探测的实验数据已经证明，这样的高能重离子碰撞中产生了强耦合夸克胶子等离子体（strongly-coupled Quark-Gluon Plasma， sQGP）。最重要的证据是来自中心碰撞产生的不同可测量强子（包括多奇异强子： \varphi和 \mathrm{\Omega }）的强椭圆流和大的高横动量产额抑制。

重味夸克（粲夸克、底夸克）由于质量（ m_c \simeq \mathrm{1.27} GeV、 m_b \simeq \mathrm{4.18} GeV）较大的缘故，主要产生于极端相对论性高能强子和核碰撞的早期阶段^［8-10］，经由部分子与部分子硬散射过程产生。这些过程绝大多数包含了通过胶子融合（ g g \to c \overline{c} / b \overline{b}）和夸克-反夸克湮灭（ q \overline{q} \to c \overline{c} / b \overline{b}）的重味夸克生成。所以，产生于这些隐和开的粲、底味夸克的强子被认为是探测高能强子碰撞与核-核碰撞实验中所出现的热密物质系统的动力学机制的至关重要的探针。在时间尺度上，粲夸克的形成时间比产生QGP的时间更短，随后遍历QGP物质的整个演化。它们的热弛豫时间（约1.6×10^-23~3.3×10^-23 s），与QGP寿命相当，携带着介质的热力学和输运性质的信息。在这些介质冷却过程中，粲夸克能够强子化为不同的开粲强子，比如：D⁰、D_S ^±、 {{\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{C}}}^{\pm }等粒子。在横动量方面，由于能量损失和径向流，粒子产生的修正对于部分子sQGP相的重味夸克动力学是敏感的。在方位角方面，由于各项异性流，这样的修正对于部分子sQGP相的重味夸克动力学也是敏感的。分析含重味夸克末态强子的横动量分布是研究高能核碰撞形成系统的相关性质的重要手段。在QGP演化中，奇异夸克大量产生，它们的质量与介质的温度相当，与火球处于化学平衡态。重离子碰撞相比于p+p碰撞，由于QGP中奇异夸克数量的增加，如果通过夸克重组来强子化，开粲奇异介子D_S ^±的产生会增加。

由于在碰撞系统的整个演化过程中持续发生多部分子的相互作用，这使得系统初始状态相关的绝大部分信息被丢失。碰撞系统的末态行为可以通过测量产生粒子的数量和特性以及它们的能量和动量谱来获得。末态强子信息对于了解高能碰撞中粒子生成的机理和所产生物质的本质是非常有效的。在碰撞中存在两个标志性的系统冻结^［11-13］：化学冻结和动力学冻结。碰撞过程中，物质系统首先达到化学平衡，然后通过膨胀冷却下来，接着非弹性碰撞停止，此时发生了化学冻结。在这一阶段后，粒子的成分比例不再发生变动，但粒子继续相互作用，直至强子间的弹性碰撞停止，粒子的横动量谱保持不变。当这种情形出现时说明碰撞系统发生了动力学冻结。所以，由高能碰撞实验产生的末态粒子的横动量谱是研究粒子动力学冻结相关性质的重要数据^［14-15］。

RHIC中的STAR合作组使用了高精度硅探测装置首次测量出 \sqrt[]{s_{NN}} = 200 GeV的Au + Au碰撞所产生的含粲奇异介子D_S ^±［8-10］。在本文中，我们应用三种热力学模型来研究3个不同碰撞中心度区间的中心快度区的D_S ^±介子的横动量 p_T谱。对三种不同的模型结果与实验数据分别做了对比研究，讨论了高能核-核碰撞中D_S ^±粒子系统的动力学冻结性质。在分析粒子谱时，非广延Tsallis统计模型、冲击波模型和Tsallis冲击波模型各有特点，每种模型所适用的横动量范围不尽相同，涉及的物理意义也不同。通过模型的比较研究可以进一步检验模型的有效性，讨论其随着不同碰撞中心度百分比的变化情况，分析碰撞系统演化相关的性质。本文采用不同的热力学统计模型分析了横动量在1.48 GeV~6.12 GeV范围内的D_S ^±粒子分布。通过模型结果与实验数据的比照分析，讨论了含粲介子D_S ^±对应的模型参数，分析了在不同中心度区间的粒子动力学冻结情况。其结果有助于我们进一步理解高能碰撞中粲奇异介子D_S ^±的相关特性以及其中产生机理。

1 理论模型

在过去的很多研究工作中，非广延Tsallis统计模型和冲击波模型常被用来研究高能核碰撞中的末态粒子分布。非广延Tsallis统计模型考虑了反应体系的温度、化学势、平衡性等热力学性质，可以描述一些高横动量区的横动量分布。以前的研究证明，经过修正后的Tsallis模型可以很好地满足热力学自洽性。冲击波模型考虑了大量粒子所表现出的集体流效应，然而对有些横动量谱描述得不是很好，尤其是横动量范围较大时。Tsallis冲击波模型是两种模型的有机结合，一定程度上包含了两种模型的优点。

1.1　非广延Tsallis统计模型

非广延Tsallis统计方法广泛应用于p+p碰撞、p+A碰撞和A-A碰撞中末态粒子分布的研究中^［16-19］。其中的粒子分布函数可以认为是玻尔兹曼-吉布斯指数分布函数形式的一种有效延伸。指数函数形式被改为幂函数形式，故能较好地描述高横动量范围的粒子分布。一般情况，关于有效温度T（即Tsallis温度）、非广延参数q的Tsallis分布函数为：

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}N}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }{N}_{ev}{p}_T\mathrm{d}{p}_T\mathrm{d}y} = C_q {\left(\mathrm{1}+\left(q-\mathrm{1}\right)\frac{m_T}{T}\right)}^{-\frac{\mathrm{1}}{q-\mathrm{1}}}，（1）

m_T = \sqrt[]{{m_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{p_T}^{\mathrm{2}}}，（2）

其中N代表总粒子数，N_ev 为碰撞事件数，C_q 是归一化常数，m_T 代表横质量， m_{\mathrm{0}}为粒子质量。这里的有效温度T与动力学冻结温度T _kin（发生动力学冻结时的温度）的近似关系为：

T = T_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}} + \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} m_{\mathrm{0}} {〈\beta 〉}^{\mathrm{2}}，（3）

其中 〈\beta 〉是平均径向流。

满足热力学自洽性的Tsallis分布函数形式为：

\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}N}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }{N}_{ev}{p}_T\mathrm{d}{p}_T\mathrm{d}y}=\\ C_q{m}_T\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(y){\left(\mathrm{1}+\left(q-\mathrm{1}\right)\frac{m_T\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(y)-\mu }{T}\right)}^{-\frac{q}{q-\mathrm{1}}}\end{array}，（4）

上式考虑到了快度y和化学势 \mu。而在碰撞的中心快度区域 y = \mathrm{0}，分布函数简化为：

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}N}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }{N}_{ev}{p}_T\mathrm{d}{p}_T\mathrm{d}y} = C_q m_T {\left(\mathrm{1}+\left(q-\mathrm{1}\right)\frac{m_T-\mu }{T}\right)}^{-\frac{q}{q-\mathrm{1}}}。（5）

当处理RHIC能区的相关问题时，一般需要考虑与碰撞中心度百分比相关的有限化学势 \mu。而在LHC能区，反应系统化学冻结时由于正反粒子等量产生，重子化学势近似为零，可以忽略。粒子分布函数也可以写为：

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}N}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }{N}_{ev}{p}_T\mathrm{d}{p}_T\mathrm{d}y} = C_q m_T {\left(\mathrm{1}+\left(q-\mathrm{1}\right)\frac{m_T}{T}\right)}^{-\frac{q}{q-\mathrm{1}}}。（6）

1.2　冲击波模型

冲击波模型最初的理论基础可以认为是源于Landau和Hagedorn的碰撞理论。强子产生于快速移动火球的发射和强子流的流体动力学演化。碰撞后的系统可视作一个热化火球，这个火球会经历快速膨胀、强子化，然后冷却出射。集体性表现（连续强子流的集体运动或构型空间中离散团的集合）是多粒子的一个显著特征。冲击波模型是研究热化火球特性的常见模型之一^［20-24］。模型中假设粒子在动力学冻结温度会局部发生热化，以相同的集体流速运动。粒子的动量分布函数为：

E \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}N}{\mathrm{d}{p}^{\mathrm{3}}} \propto \int {\mathrm{d}}^{\mathrm{3}} {\sigma }_{\mu } p^{\mu } \mathrm{e} \mathrm{x} \mathrm{p} \left(-\frac{p^{\mu }{u}_{\mu }}{T_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}}\right)，（7）

其中 T_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}为动力学冻结温度，粒子动量 p_{\mu } = \left(m_T\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}y, p_T\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi , p_T\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi , m_T\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}y\right)，粒子速度 u_{\mu } = \mathrm{c} \mathrm{o} \mathrm{s} \mathrm{h} \rho \left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\eta ,\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\rho \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_r,\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\rho \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_r,\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}y\right) , y为粒子快度。

由上式，可以得出横动量分布函数为：

\frac{\mathrm{d}N}{p_T\mathrm{d}{p}_T} = \frac{\mathrm{d}N}{m_T\mathrm{d}{m}_T} \propto {\int }_{\mathrm{0}}^R r\mathrm{d}r{m}_T{\mathrm{I}}_{\mathrm{0}}\left(\frac{p_T\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\rho }{T_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}}\right) {\mathrm{K}}_{\mathrm{1}} \left(\frac{m_T\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\rho }{T_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}}\right)。（8）

由此，可得到一个与动力学冻结温度T _kin和平均径向流速 〈\beta 〉有关的分布函数形式。式中的物理量的计算如下：

\rho = \mathrm{t} \mathrm{a} \mathrm{n} {\mathrm{h}}^{-\mathrm{1}} \beta，（9）

\beta = {\beta }_S {\left(\frac{r}{R}\right)}^n，（10）

〈\beta 〉 = \frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{2}+n\right)} {\beta }_S，（11）

其中ρ是火球的横向膨胀快度，β是径向流速，R是火球的半径，r/R是对热化源的相对半径位置， {\beta }_S是在r=R位置（即火球表面）的径向流速，n是描述流速特征的指数，I₀和K₁是修正贝塞尔函数。

1.3　Tsallis冲击波模型

前两种模型结合被称为Tsallis冲击波模型^［24-27］。在冲击波模型中的分布函数加入非广延参数q，可以用来描述系统的不平衡程度。这样可以得到一个关于动力学冻结温度T _kin、平均径向流速 〈\beta 〉以及非广延参数q的函数，其粒子横质量分布为：

\frac{\mathrm{d}N}{m_T\mathrm{d}{m}_T} \propto m_T {{\int }_{-Y}^{+Y}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}y\mathrm{d}y{\int }_{-\mathrm{\pi }}^{+\mathrm{\pi }}\mathrm{d}\Phi {\int }_{\mathrm{0}}^{R}r\mathrm{d}r\left(\mathrm{1}+\frac{q-\mathrm{1}}{T_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}}\left(\begin{array}{l}{m}_T\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}y\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\rho -\\ p_T\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\rho \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\Phi \end{array}\right)\right)}^{-\frac{q}{q-\mathrm{1}}}，（12）

\rho = \mathrm{t} \mathrm{a} \mathrm{n} {\mathrm{h}}^{-\mathrm{1}} \left[{\beta }_S{\left(\frac{r}{R}\right)}^n\right]，（13）

〈\beta 〉 = \frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{2}+n\right)} {\beta }_S。（14）

当 q - \mathrm{1}接近于零时，Tsallis冲击波分布函数（公式（12））可退化为冲击波模型的分布函数（公式（8））^［8］。Tsallis冲击波模型与前两种模型所使用的主要物理量基本一致。不同之处在于，函数中引入了两个与粒子运动相关的物理量：粒子的快度y、发射粒子与粒子源之间的方位角差 \Phi。

2 三种热力学模型中的横动量分布

选用不同的热力学模型研究粒子分布可以对比研究碰撞系统的动力学冻结性质。通过非广延Tsallis统计模型能得到碰撞系统中多强子体系的不平衡程度和有效温度。通过冲击波模型可以将平均径向流速和动力学冻结温度这两种重要的物理量提取出来。Tsallis冲击波模型中可以得到不平衡程度、平均径向流速和动力学冻结温度的三种与动力学冻结相关的物理量。该模型可以用于研究低、高横动量区产生的强子的粒子分布。

2.1　非广延Tsallis统计模型中的D_S ^±介子分布

本节采用非广延Tsallis统计模型研究了200 GeV横动量范围为1.48 GeV~6.12 GeV的D_S ^±介子的p_T 分布。在图1中，方块、圆点、三角等符号分别代表RHIC上STAR合作组测得的碰撞中心度区间0~10%、10%~40%、40%~80%的实验数据^［10］。模型结果是通过非广延Tsallis分布函数（公式（5））拟合实验数据得到的，对应的 {\chi }^{\mathrm{2}}/\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{f}和模型参数见表1。从图中可以看出，非广延Tsallis统计模型结果与D_S ^±的p_T 谱符合程度较高。模型中，非广延参数q、有效温度T和化学势 \mu的具体值和变化趋势如图2所示。非广延参数q随着碰撞中心度百分比的增加而升高。这说明，当越接近于中心碰撞，D_S ^±介子系统越趋于平衡态。有效温度T随着碰撞中心度百分比的升高而降低。这说明，越接近中心碰撞，由于碰撞更激烈，D_S ^±介子系统热运动加强。

2.2　冲击波模型中的D_S ^±介子分布

采用冲击波模型分析D_S ^±介子在横动量范围为1.48 GeV~6.12 GeV的粒子谱，结果如图3所示。模型结果是通过公式（8）拟合实验数据得到的，对应的 {\chi }^{\mathrm{2}}/\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{f}和模型参数见表2。从 {\chi }^{\mathrm{2}}/\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{f}值来看，冲击波模型不适用。参数值是近似的，在图4中，平均径向流速 〈\beta 〉介于0.345到0.410，从边缘碰撞到中心碰撞增大，流效应更加明显。该结果表明：这样的多粒子系统在中心碰撞的情形下膨胀速度会更快。动力学冻结温度T _kin随中心度百分比增大而升高。在高中心度碰撞中产生了较长寿命的火球，D_S ^±介子在介质中经历更长的演化过程，导致动力学冻结相对于边缘碰撞稍有延迟。

2.3　Tsallis冲击波模型的D_S ^±介子分布

通过非广延Tsallis统计模型和冲击波模型的结合得到了Tsallis冲击波模型，它能够用来描述非平衡态碰撞系统中的现象。图5为 \sqrt[]{s_{NN}} = 200 GeV的Au + Au碰撞的D_S ^±介子横动量 p_T分布。模型结果是通过公式（12）拟合实验数据得到的，对应的 {\chi }^{\mathrm{2}}/\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{f}和模型参数见表1。从图5和表4的R ²可以看出，Tsallis冲击波模型的结果对实验数据的描述无论是低横动量区还是高横动量区都优于前两个模型。在3个不同的中心度区间，Tsallis冲击波模型结果与实验数据的符合程度都较高。由此得到的相关的动力学冻结参数更加准确，其值随中心度百分比的变化如图6所示。平均横径向流速 〈\beta 〉的变化趋势与冲击波模型的情况相同，具体值在0.230 GeV~0.267 GeV，比冲击波模型的值（0.345 GeV~0.410 GeV）整体偏小大约1/3。动力学冻结温度T _kin的变化趋势与冲击波模型的情况相同，在对心碰撞中D_S ^±获得了更大的径向集体运动，具体值在0.118 GeV~0.122 GeV之间，比冲击波模型的值（0.245 GeV~0.287 GeV）整体偏小大约1/2。两个模型都显示：中心碰撞所形成的热化火球的寿命较长，由于质量较大，D_S ^±介子系统在碰撞介质中演化过程更长，动力学冻结时刻比边缘碰撞晚。非广延参数q随中心度百分比的增大而升高，其数值也与非广延Tsallis统计模型中的值接近，进一步验证了非广延Tsallis统计模型对分析高能碰撞粒子行为的有效性。这一结论表明，由于在热化火球在动力学冻结时刻的系统演化的时间非常短，系统非平衡度没有发生明显变化。

图7比较了非广延Tsallis统计模型和Tsallis冲击波模型的动力学冻结温度T _kin。通过公式（3）可以近似计算出非广延Tsallis统计模型的T _kin。从图中可以看出，非广延Tsallis统计模型的T _kin比Tsallis冲击波模型的整体偏大约0.01 GeV。所以，通过非广延Tsallis分布的有效温度，再利用转换公式也可以近似计算动力学冻结温度。

我们对 \sqrt[]{s_{NN}} = 200 GeV的Au + Au碰撞3个中心度区间所产生的含粲奇异粒子D_S ^±的横动量分布进行了研究。实验数据的横动量p_T 的范围为1.48 GeV~6.12 GeV。非广延Tsallis统计模型、冲击波模型和Tsallis冲击波模型对粒子谱的横动量范围的适用情况并不相同。对比发现，冲击波模型不是很适用于该横动量范围。当p_T 超过4 GeV时，模型结果与实验数据有一定的差距。利用模型得到的动力学冻结参数去分析粒子系统冻结特征的精度相对有限，其参数变化趋势具有参考价值。而非广延Tsallis统计模型和Tsallis冲击波模型对粒子谱的描述较好，其模型参数更可靠，可用于进一步的研究分析。

在非广延Tsallis统计模型对D_S ^±的粒子谱的研究中发现，非广延参数q随中心度百分比的增大而升高。在高中心度碰撞中，该碰撞反应系统会更加趋向于平衡态。有效温度T随着中心度百分比的升高而减小。在相同碰撞条件下，D_S ^±的有效温度T比轻强子的有效温度大^［18］。这是由于质量较大，D_S ^±粒子系统在反应中更早出现动力学冻结。化学势随着中心度百分比的升高而增大，但由于碰撞能量较高，对粒子的动力学冻结造成的影响较小。

Tsallis冲击波模型是在冲击波模型中嵌入了Tsallis统计，是两种模型的一种结合。Tsallis冲击波模型和冲击波模型得到的动力学冻结参数随中心度的变化趋势相近，但具体数值有差别。平均径向流 〈\beta 〉随中心度百分比的增大而降低，动力学冻结温度T _kin随中心度百分比的增大而升高。与末态轻强子相比，D_S ^±的动力学冻结温度T _kin数值更大^［24］，这与用非广延Tsallis统计模型研究得出的有效温度T高于轻强子的结论一致。非广延参数q随中心度百分比的增大也在升高。相比于边缘碰撞，中心碰撞中产生了较长寿命的火球。相比于在 \sqrt[]{s_{NN}} = 200 GeV的Au + Au碰撞中产生的其他末态轻强子，D_S ^±粒子获得了较小的径向流速，动力学冻结时的温度也更高一些。

3 结论

本文通过不同的热力学统计模型对比分析了高能碰撞中粲奇异介子D_S ^±的分布，解释了对应的实验结果，并详细讨论了非广延参数、平均径向流、有效温度、动力学冻结温度等的变化情况及其关联意义。研究表明，D_S ^±粒子体系随热化火球介质经历的演化时间更短，冻结时间更早^［19］。在高能核碰撞所产生的粒子中，粲奇异介子D_S ^±由于含有粲夸克、奇异夸克，其质量较大。它们产生于碰撞的更早期，经过了QGP演化的多个不同的阶段，是高能碰撞系统中物质演化研究中的一个重要的探针。由于D_S ^±粒子的这些特殊性，论文通过模型研究得到了关于粒子系统的部分性质，有助于进一步讨论和理解高能核碰撞中含粲强子系统的热力学性质及其产生过程。本工作得到的粒子产生信息相对有限，下一步可以结合碰撞过程分析其中的热力学性质以及QGP中粲夸克和奇异夸克的聚合。

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基金资助

国家自然科学基金(11575103)

山西省自然科学基金(202103021224036)