带有工作休假和反向策略的可修排队系统分析

Analysis of Repairable Queueing System with Working Vacations and Reverse Policy

摘要

在服务系统中人们聚众心态的影响下，针对企业如何实现利润最大化的问题，本文研究了带有工作休假和反向策略的M/M/1/N可修排队系统。通过递推方法推导出了系统稳态概率，并计算出平均等待时间、平均止步率、平均队长等相关的性能指标。此外，本文还考虑了没有中途退出和反馈的特殊情况。在此基础上，建立系统成本模型，并考虑系统的平均收益和利润。最后为了更好地优化系统，先对系统性能指标进行敏感性分析，接着通过数值例子对系统进行成本分析，来降低系统费用，其结果为一些实际优化控制排队问题提供理论分析和参考依据。

Abstract

This paper studies the M/M/1/N repairable queueing system with multiple working vacations and reverse policies, focusing on the impact of people's crowding mentality in service systems and how enterprises can maximize profits. The steady-state probabilities of the system are derived by using a recursive method, and performance measures such as the average waiting time, the average balking rate, and the average queue length are calculated. In addition, this paper also considers the special case where there is no reverse reneging or feedback during the process. On this basis, we establish the system cost model and consider the average revenue and profit of the system. Finally, in order to better optimize the system, sensitivity analysis is conducted on the system performance measures. Then, cost analysis is performed on the system through numerical examples to reduce the system costs. The results provide the theoretical analysis and reference basis to optimize and control the queues.

Graphical abstract

关键词

反向策略 / 多重工作休假 / 故障 / 成本利润分析 / 排队系统

Key words

reverse policy / multiple working vacations / breakdown / cost and profit analysis / queueing system

0 引言

在实际生活中，完全可靠的服务系统是不存在的。服务台的长期使用可能导致部件磨损故障，在正常工作状态下的系统也可能因为操作不当等原因发生不可预料的故障。因此，一些公司和研究人员将故障维修纳入了排队系统。Jain等^［1］分析了具有服务台故障和工作休假的马尔可夫排队模型，计算出了该模型的性能指标并且进行了敏感性分析，以探索排队系统中不同参数对系统各性能指标的影响。Economou等^［2］从经济学视角考虑了可修排队系统在两种可见情况下的顾客的纳什均衡止步策略。在此基础上，Li等^［3］研究了可修排队系统在两种不可见情况下的均衡策略。Yang等^［4］分析了具有N策略和工作休假的M/M/1可修排队模型，其中服务台在不同时期以不同的故障率发生故障。作者使用矩阵几何方法求解出了系统中重要性能指标的矩阵形式表达式，构建了系统的预期成本函数并进行了成本分析。Li等^［5］考虑了具有服务中断的M/M/1可修排队系统，服务台在空闲期和繁忙时期以不同的速率进行故障。利用概率母函数的方法得到了该系统的稳态可用度和平均队长。Jayaraman等^［6］研究了到达率依赖于服务台故障的批量服务排队系统，系统在正规忙期和故障状态之间随机交替，求出了队列中的稳态概率。Agrawal等^［7］分析了带工作休假和两种服务台故障的M/M/1 排队模型，并求出了两种故障下的平均队长。Vinodhini^［8］研究了具有服务台故障的云计算排队模型并计算出了一系列重要的性能指标。

止步和中途退出是排队论中两个重要的概念，通常用来描述顾客的不耐烦行为。为了解决顾客对等待的不满和对服务的渴望，大多数研究都是从不耐烦顾客的角度研究排队系统。反向止步和反向中途退出的概念是从投资业务发展而来。在投资业务中，与公司相关的顾客数量越多，顾客止步的可能性就越小，反向中途退出也是如此。Som等^［9］讨论了具有反向止步和反向中途退出的异构排队系统。通过迭代方法获得系统的稳态概率和性能指标。Sasikala 等^［10］对到达率可控和反向止步的M/M/c/排队模型进行了稳态分析。Bouchentouf^［11-12］研究了带休假和不耐烦顾客的反馈排队系统和具有反向止步和中途退出的异构双服务台排队系统，推导出了这两个模型的稳态概率和性能指标。

工作休假是由Servi等^［13］提出的一种休假策略。与经典休假策略中服务台完全停止服务不同的是，在工作休假期间内，服务台并不是完全关闭，而是以较低的速率提供服务。Laxmi 等^［14］讨论了带有止步、中途退出和工作休假的M/M/1/N排队系统。Yue等^［15］对具有工作休假和不耐烦顾客的M/M/1排队模型进行了分析，推导出了服务台处于正规忙期和工作休假期间的概率，并得到了一些重要性能指标。

基于以上文献的启发，本文针对服务系统中人们的聚众心态，首次在具有工作休假的可修排队系统中加入反向策略，使之更加贴合实际生活中的排队模型，其研究结果及思路有助于反向策略相关工作的研究。其次，以往的研究中大多讨论了系统的最小成本，而忽略了利润的最大化。本文通过构建成本利润函数并借助Matlab软件来分析系统参数对成本利润的影响，使成本分析更加完善。并从企业管理的角度分析，给出相应的建议，实现企业利润最大化。此模型可以应用于投资公司。当投资公司中的职员发现系统中没有顾客时，可以进行整理文档等其他简单工作进行工作休假，在正规忙期和工作休假期间，顾客可能会因为不耐烦态度而选择反向止步或中途退出，服务台在正规忙期和工作休假过程中都有可能发生故障，且发生故障后不能进行服务。

1 模型简介

考虑具有工作休假和反向策略的M/M/1/N可修排队系统。顾客的到达过程服从参数为\lambda的泊松过程。顾客到达系统后，当该顾客是第i个顾客时，或者以概率b_{i-\mathrm{1}}决定进入队列等待服务，或者以概率\mathrm{1}-b_{i-\mathrm{1}}离开（止步），其中b_i=i/N，b_N=\mathrm{0}，\mathrm{1}\le i\le N-\mathrm{1}。顾客进入系统后可能会因等待时间过长选择离开系统（中途退出），假设顾客从进入系统到中途退出的这段等待时间服从参数为\alpha的指数分布。当系统中有i个顾客时，顾客反向中途退出的平均速率为\left(N-\left(i-\mathrm{1}\right)\right)\alpha，其中\mathrm{1}\le i\le N。服务时间服从参数为\mu的指数分布。顾客在服务完成后以概率p离开系统，或者作为反馈顾客以概率\overline{p}=\mathrm{1}-p进行额外服务。

当系统中最后一位顾客服务完成后，服务台或者以a的概率留在忙期，或者以概率\overline{a}=\mathrm{1}-a开始工作休假。在假期期间，服务台以较低的服务率向顾客提供服务。假设工作休假期间的休假时间和服务时间分别服从\theta和{\mu }_v的指数分布。当一次工作休假结束时，系统中仍没有顾客排队等候，则开始新一轮独立分布的工作休假，直到某次休假结束后至少有一个顾客等待则恢复服务。这种工作假期被称为多重工作休假。

系统服务台不是完全可靠的，在正规忙期和工作休假期间随时都可能发生故障，服务台发生故障后停止服务并且立即进行维修。两种故障维修完成后都会直接回到忙期进行服务。服务台在正规忙期下出现故障的过程为参数y_{\mathrm{1}}的泊松过程，在工作休假状态下出现故障的过程为参数y_{\mathrm{2}}的泊松过程，两种故障状态下的维修时间均服从参数为\eta的指数分布。

用\left(N\left(t\right),J\left(t\right)\right)表示时刻t系统的状态，N\left(t\right)表示时刻t系统中的顾客数量，J\left(t\right)表示时刻t服务台的状态并且有

J\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0},\hspace{1em}\mathrm{服务}\mathrm{器处}\mathrm{于工}\mathrm{作休}\mathrm{假期},\\ \mathrm{1},\hspace{1em}\mathrm{服务}\mathrm{器处}\mathrm{于正}\mathrm{规忙}\mathrm{期},\\ \mathrm{2},\hspace{1em}\mathrm{服务}\mathrm{器处}\mathrm{于工}\mathrm{作休}\mathrm{假期}\mathrm{引发}\mathrm{故障},\\ \mathrm{3},\hspace{1em}\mathrm{服务}\mathrm{器处}\mathrm{于正}\mathrm{规忙}\mathrm{期引}\mathrm{发故}\mathrm{障。}\end{array}\right.

显然的，随机过程\left\{\left(N\left(t\right),J\left(t\right)\right),t\ge \mathrm{0}\right\}构成了一个连续时间的二维马尔可夫链。系统的稳态概率定义如下

P_{i,j}=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}P\left\{N(t)=i,J\left(t\right)=j\right\}，\mathrm{0}\le i\le N，j\ge \mathrm{0}。

2 稳态分布

通过应用马尔可夫过程理论，相对应的状态转移图如图1所示。

由马尔可夫过程理论可得系统稳态概率满足如下

(\lambda b_{\mathrm{0}}+y_{\mathrm{2}})P_{\mathrm{0,0}}=({\mu }_{v}p+N\alpha )P_{\mathrm{1,0}}+\overline{a}(\mu p+N\alpha )P_{\mathrm{1,1}}，（1）

[\lambda b_i+y_{\mathrm{2}}+\theta +{\mu }_{v}p+(N-i+\mathrm{1})\alpha ]P_{i,\mathrm{0}}=[{\mu }_{v}p+(N-i)\alpha ]P_{i+\mathrm{1,0}}+\lambda b_{i-\mathrm{1}}{P}_{i-\mathrm{1,0}},（2）

\left(y_{\mathrm{2}}+\theta +{\mu }_{v}p+\alpha \right)P_{N,\mathrm{0}}=\lambda b_{N-\mathrm{1}}{P}_{N-\mathrm{1,0}}，（3）

(\lambda b_{\mathrm{1}}+\mu p+N\alpha +y_{\mathrm{1}})P_{\mathrm{1,1}}=\lambda b_{\mathrm{0}}{P}_{\mathrm{0,1}}+\eta P_{\mathrm{1,3}}+\eta P_{\mathrm{1,2}}+[\mu p+(N-\mathrm{1})\alpha ]P_{\mathrm{2,1}}+\theta P_{\mathrm{1,0}}，（4）

\begin{array}{c}[\lambda b_i+\mu p+(N-i+\mathrm{1})\alpha +y_{\mathrm{1}}]P_{i,\mathrm{1}}=\\ \eta P_{i,\mathrm{2}}+\eta P_{i,\mathrm{3}}+[\mu p+(N-i)\alpha ]P_{i+\mathrm{1,1}}+\lambda b_{i-\mathrm{1}}{P}_{i-\mathrm{1,1}}+\theta P_{i,\mathrm{0}}+\eta P_{i,\mathrm{2}}+\eta P_{i,\mathrm{3}},\end{array}（5）

(\mu p+\alpha +y_{\mathrm{1}})P_{N,\mathrm{1}}=\lambda b_{N-\mathrm{1}}{P}_{N-\mathrm{1,1}}+\theta P_{N,\mathrm{0}}+\eta P_{N,\mathrm{3}}+\eta P_{N,\mathrm{2}}，（6）

(\eta +\lambda b_{\mathrm{0}})P_{\mathrm{0,2}}=y_{\mathrm{2}}{P}_{\mathrm{0,0}}，（7）

(\eta +\lambda b_i)P_{i,\mathrm{2}}=y_{\mathrm{2}}{P}_{i,\mathrm{0}}+\lambda b_{i-\mathrm{1}}{P}_{i-\mathrm{1,2}}，（8）

\eta P_{N,\mathrm{2}}=y_{\mathrm{2}}{P}_{N,\mathrm{0}}+\lambda b_{N-\mathrm{1}}{P}_{N-\mathrm{1,3}}，（9）

(\lambda b_{\mathrm{0}}+\eta )P_{\mathrm{0,3}}=y_{\mathrm{1}}{P}_{\mathrm{0,1}}，（10）

(\lambda b_i+\eta )P_{i,\mathrm{3}}=\lambda b_{i-\mathrm{1}}{P}_{i-\mathrm{1,3}}+y_{\mathrm{1}}{P}_{i,\mathrm{1}}，（11）

\eta P_{N,\mathrm{3}}=y_{\mathrm{1}}{P}_{N,\mathrm{1}}+\lambda b_{N-\mathrm{1}}{P}_{N-\mathrm{1,3}}，（12）

其中。

令P_{i,\mathrm{0}}={\phi }_i{P}_{N,\mathrm{0}}，由式（1）—式（3）可得

{\phi }_N=\mathrm{1}，（13）

{\phi }_{N-\mathrm{1}}=\frac{y_{\mathrm{2}}+\theta +{\mu }_{v}p+\alpha }{\lambda b_{N-\mathrm{1}}}，（14）

{\phi }_i=\frac{\lambda b_{i+\mathrm{1}}+y_{\mathrm{2}}+\theta +{\mu }_{v}p+(N-i)\alpha }{\lambda b_i}{\phi }_{i+\mathrm{1}}-\frac{{\mu }_{v}p+(N-i-\mathrm{1})\alpha }{\lambda b_i}{\phi }_{i+\mathrm{2}}， ，（15）

令P_{i,\mathrm{2}}={\chi }_i{P}_{N,\mathrm{0}}，由式（7）—式（9）整理得

{\chi }_{\mathrm{0}}=\frac{y_{\mathrm{2}}{\phi }_{\mathrm{0}}}{\eta +\lambda b_{\mathrm{0}}}，（16）

{\chi }_i=\frac{y_{\mathrm{2}}{\phi }_i+\lambda b_{i-\mathrm{1}}{\chi }_{i-\mathrm{1}}}{\eta +\lambda b_i},，（17）

{\chi }_N=\frac{y_{\mathrm{2}}}{\eta }+\frac{\lambda b_{N-\mathrm{1}}{\chi }_{N-\mathrm{1}}}{\eta }。（18）

令P_{i,\mathrm{1}}=z_i{P}_{N,\mathrm{0}}，考虑式（1）和式（4）—式（6），从而有

z_{\mathrm{0}}=\frac{(y_{\mathrm{2}}\eta y+a\lambda b_{\mathrm{0}}\eta +a{\lambda }^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}+a{y}_{\mathrm{2}}\eta +a\lambda y_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{0}}){\phi }_{\mathrm{0}}-(a{\mu }_{v}p\eta +a{\mu }_{v}p\lambda b_{\mathrm{0}}+aN\alpha \eta +\lambda b_{\mathrm{0}}aN\alpha ){\phi }_{\mathrm{1}}}{\lambda b_{\mathrm{0}}\overline{a}(\lambda b_{\mathrm{0}}+{\eta }_{\mathrm{1}}+y_{\mathrm{1}})}，（19）

z_{\mathrm{1}}=\frac{(\lambda b_{\mathrm{0}}+y_{\mathrm{2}}){\phi }_{\mathrm{0}}-({\mu }_{v}p+N\alpha ){\phi }_{\mathrm{1}}}{\overline{a}(\mu p+N\alpha )}，（20）

\begin{array}{c}{z}_i=\frac{(\lambda b_i+\eta )(\lambda b_{i-\mathrm{1}}+\mu p+N\alpha -i\alpha +\mathrm{2}\alpha +y_{\mathrm{1}})z_{i-\mathrm{1}}-(\lambda b_i+\eta )(\lambda b_{i-\mathrm{2}}{z}_{i-\mathrm{2}}+\theta {\phi }_{i-\mathrm{1}}+\eta {\chi }_{i-\mathrm{1}})}{(\mu p+N\alpha -i\alpha +\alpha )(\lambda b_i+\eta )+\eta y_{\mathrm{1}}}-\\ \hspace{1em}\hspace{1em}\frac{(\lambda b_i+\eta )\eta {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{i-\mathrm{1}}}\frac{y_{\mathrm{1}}}{\lambda b_j+\eta }{z}_j\stackrel{i}{\underset{k=j+\mathrm{1}}{\mathrm{\Pi }}}\frac{\lambda b_{k-\mathrm{1}}}{\lambda b_k+\eta }}{(\mu p+N\alpha -i\alpha +\alpha )(\lambda b_i+\eta )+\eta y_{\mathrm{1}}},\mathrm{2}\le i\le N,\end{array}（21）

令P_{i,\mathrm{3}}={\omega }_i{P}_{N,\mathrm{0}}，结合式（10）—式（12），即有

{\omega }_{\mathrm{0}}=\frac{y_{\mathrm{1}}{z}_{\mathrm{0}}}{\lambda b_{\mathrm{0}}+\eta }，（22）

{\omega }_i=\frac{\lambda b_{i-\mathrm{1}}{\omega }_{i-\mathrm{1}}+y_{\mathrm{1}}{z}_i}{\lambda b_i+\eta }， ，（23）

{\omega }_N=\frac{\lambda b_{N-\mathrm{1}}{\omega }_{N-\mathrm{1}}+y_{\mathrm{1}}{z}_N}{\eta }。（24）

最后利用归一化条件，由式（13）—式（24）可解得稳态概率P_{N,\mathrm{0}}的表达式

P_{N,\mathrm{0}}={\left[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}\left({\phi }_i+{\chi }_i+z_i+{\omega }_i\right)\right]}^{-\mathrm{1}}。（25）

3 性能指标

本节将利用上节得到的系统稳态分布来推导系统相关的稳定性能指标。

（1） 服务台处于繁忙期的概率（P_{\mathrm{B}}），服务台处于休假期的概率（P_{\mathrm{v}}）和处于故障时期的概率（P_{\mathrm{B}\mathrm{r}}）分别为

P_{\mathrm{B}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}{P}_{i,\mathrm{1}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}{z}_i{P}_{N,\mathrm{0}}，

P_{\mathrm{v}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}{P}_{i,\mathrm{0}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}{\phi }_i{P}_{N,\mathrm{0}}，

P_{\mathrm{B}\mathrm{r}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}{P}_{i,\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}{P}_{i,\mathrm{3}}=\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}(z_i+{\phi }_i)P_{N,\mathrm{0}}。

（2） 系统中平均顾客数（L_{\mathrm{s}}），排队中的平均顾客数（L_{\mathrm{q}}），单位时间内服务的平均顾客数（E_{\mathrm{c}\mathrm{s}}）和单位时间内反馈的平均顾客数量（E_{\mathrm{F}}）分别为

L_{\mathrm{s}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}i(P_{i,\mathrm{0}}+P_{i,\mathrm{1}}+P_{i,\mathrm{2}}+P_{i,\mathrm{3}})，

L_{\mathrm{q}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}(i-\mathrm{1})P_{i,\mathrm{0}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}(i-\mathrm{1})P_{i,\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}i{P}_{i,\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}i{P}_{i,\mathrm{3}}，

E_{\mathrm{c}\mathrm{s}}=\mu {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}i{P}_{i,\mathrm{1}}+{\mu }_v{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}i{P}_{i,\mathrm{0}}，

E_{\mathrm{F}}=\mu q_{\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}i{P}_{i,\mathrm{1}}+{\mu }_v{q}_{\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}i{P}_{i,\mathrm{0}}=q_{\mathrm{1}}{E}_{cs}。

（3） 顾客的损失概率为 P_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{s}}=P_{N,\mathrm{0}}+P_{N,\mathrm{1}}+P_{N,\mathrm{2}}+P_{N,\mathrm{3}}。

（4） 顾客有效到达率为 {\lambda }^{\text{'}}=\lambda (\mathrm{1}-P_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{s}})。

（5） 系统中顾客的平均等待时间（W_{\mathrm{s}}）为 W_{\mathrm{s}}=L_{\mathrm{s}}/{\lambda }^{\text{'}}。

（6） 排队中顾客的平均等待时间（W_{\mathrm{q}}）为 W_{\mathrm{q}}=L_{\mathrm{q}}/{\lambda }^{\text{'}}。

（7） 平均加入率（J_{\mathrm{s}}）和平均止步率（B_{\mathrm{r}}）分别为

J_{\mathrm{s}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\lambda b_i{P}_{i,\mathrm{0}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\lambda b_i{P}_{i,\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\lambda b_i{P}_{i,\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\lambda b_i{P}_{i,\mathrm{3}}=\frac{\lambda }{N}{L}_{\mathrm{s}}，B_{\mathrm{r}}=\lambda (\mathrm{1}-\frac{L_{\mathrm{s}}}{N})。

（8） 平均中途退出率R_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}}和平均保留率R_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}分别为

R_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}}=\alpha [{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}(N-i+\mathrm{1})P_{i,\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}(N-i+\mathrm{1})P_{i,\mathrm{0}}]，

R_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}=(\mathrm{1}-\alpha )[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}(N-i+\mathrm{1})P_{i,\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}(N-i+\mathrm{1})P_{i,\mathrm{0}}]。

4 成本模型

本节建立了一个成本模型，以便对所考虑的排队系统进行分析。

C_{\mathrm{1}}：服务台正规忙期的单位时间成本，

C_{\mathrm{2}}：服务台工作休假时单位时间的成本，

C_{\mathrm{3}}：当顾客加入队列并等待服务时的单位时间成本，

C_{\mathrm{4}}：顾客止步的单位时间成本，

C_{\mathrm{5}}：单位时间每项服务成本，

C_{\mathrm{6}}：顾客中途退出的单位时间成本，

C_{\mathrm{7}}：顾客保留系统中的单位时间成本，

C_{\mathrm{8}}：作为反馈顾客返回系统的单位时间成本，

C_{\mathrm{9}}：服务台故障的单位时间成本，

R：通过为顾客服务而获得的收入。

通过上节求得的性能指标，我们可以计算出系统单位时间的总期望成本（\Gamma），系统单位时间的总期望收益（\Delta）和系统单位时间的总期望利润（\Theta）

\Gamma =P_{\mathrm{B}}{C}_{\mathrm{1}}+P_{\mathrm{v}}{C}_{\mathrm{2}}+P_{\mathrm{B}\mathrm{r}}{C}_{\mathrm{9}}+L_{\mathrm{q}}C{}_{\mathrm{3}}{}^{}+B_{\mathrm{r}}{C}_{\mathrm{4}}+R_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}}{C}_{\mathrm{6}}+R_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}}{C}_{\mathrm{7}}+(\mu +{\mu }_v)(C_{\mathrm{5}}+C_{\mathrm{8}}q)，

\Delta =R\mu {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}{P}_{i,\mathrm{1}}+R{\mu }_{\mathrm{v}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}{P}_{i,\mathrm{2}}，

\Theta =\Delta -\Gamma。

5 模型的特殊情况

本节提出了一个没有反馈和中途退出的特殊情形（p=\mathrm{1}，\alpha =\mathrm{0}），相对应的状态转移图如图2所示。由前面的推导，可以得到这个特殊情形的稳态结果。

令P_{i,\mathrm{0}}={\phi }_i{P}_{N,\mathrm{0}}，由式（13）—式（15）得

{\phi }_N=\mathrm{1}，{\phi }_{N-\mathrm{1}}=\frac{y_{\mathrm{2}}+\theta +{\mu }_v}{\lambda b_{N-\mathrm{1}}}，{\phi }_i=\frac{\lambda b_{i+\mathrm{1}}+y_{\mathrm{2}}+\theta +{\mu }_v}{\lambda b_i}{\phi }_{i+\mathrm{1}}-\frac{{\mu }_v}{\lambda b_i}{\phi }_{i+\mathrm{2}}， 。

令P_{i,\mathrm{2}}={\chi }_i{P}_{N,\mathrm{0}}，由式（16）—式（18）得

{\chi }_{\mathrm{0}}=\frac{y_{\mathrm{2}}{\phi }_{\mathrm{0}}}{\eta +\lambda b_{\mathrm{0}}}，{\chi }_i=\frac{y_{\mathrm{2}}{\phi }_i}{\eta +\lambda b_i}+\frac{\lambda b_{\mathrm{0}}{\chi }_{i-\mathrm{1}}}{\eta +\lambda b_i},， {\chi }_N=\frac{y_{\mathrm{2}}}{\eta }+\frac{\lambda b_{N-\mathrm{1}}{\chi }_{N-\mathrm{1}}}{\eta }。

令P_{i,\mathrm{1}}=z_i{P}_{N,\mathrm{0}}，由式（19）—式（21）得

z_{\mathrm{0}}=\frac{(y_{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}\overline{a}+a\lambda b_{\mathrm{0}}\eta +a{\lambda }^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}+a{y}_{\mathrm{2}}\eta +a\lambda y_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{0}}){\phi }_{\mathrm{0}}-(a{\mu }_v\eta +a{\mu }_v\lambda b_{\mathrm{0}}){\phi }_{\mathrm{1}}}{{\lambda }^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}\overline{a}+\lambda b_{\mathrm{0}}\eta \overline{a}+\lambda b_{\mathrm{0}}{y}_{\mathrm{1}}\overline{a}}，

z_{\mathrm{1}}=\frac{(\lambda b_{\mathrm{0}}+y_{\mathrm{2}}){\phi }_{\mathrm{0}}-{\mu }_v{\phi }_{\mathrm{1}}}{\overline{a}\mu }，

z_i=\frac{(\lambda b_{i-\mathrm{1}}+\mu +y_{\mathrm{1}})z_{i-\mathrm{1}}-\lambda b_{i-\mathrm{2}}{z}_{i-\mathrm{2}}-\theta {\phi }_{i-\mathrm{1}}-{\eta }_{\mathrm{1}}{\chi }_{i-\mathrm{1}}-\eta {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{i-\mathrm{1}}}\frac{y_{\mathrm{1}}}{\lambda b_j+\eta }{z}_j\stackrel{i}{\underset{k=j+\mathrm{1}}{\mathrm{\Pi }}}\frac{\lambda b_{k-\mathrm{1}}}{\lambda b_k+\eta }}{\mu \left(\lambda b_i+\eta \right)+\eta y_{\mathrm{1}}}， 。

令P_{i,\mathrm{3}}={\omega }_i{P}_{N,\mathrm{0}}，由式（22）—式（24）得

{\omega }_{\mathrm{0}}=\frac{y_{\mathrm{1}}{z}_{\mathrm{0}}}{\lambda b_{\mathrm{0}}+\eta }，{\omega }_i=\frac{\lambda b_{i-\mathrm{1}}{\omega }_{i-\mathrm{1}}+y_{\mathrm{1}}{z}_i}{\lambda b_i+\eta },， {\omega }_N=\frac{\lambda b_{N-\mathrm{1}}{\omega }_{N-\mathrm{1}}+y_{\mathrm{1}}{z}_N}{\eta }。

最后利用归一化条件，可解得稳态概率P_{\mathrm{0},N}的表达式

P_{N,\mathrm{0}}={\left[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}\left({\phi }_i+{\chi }_i+z_i+{\omega }_i\right)\right]}^{-\mathrm{1}}。

下面是此排队系统相关的稳定性能指标。

（1） 系统中平均顾客数（L_{\mathrm{s}}），单位时间内服务的平均顾客数（E_{\mathrm{c}\mathrm{s}}）分别为

L_{\mathrm{s}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}i(P_{i,\mathrm{0}}+P_{i,\mathrm{1}}+P_{i,\mathrm{2}}+P_{i,\mathrm{3}})，

E_{\mathrm{c}\mathrm{s}}=\mu {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}i{P}_{i,\mathrm{1}}+{\mu }_v{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}i{P}_{i,\mathrm{0}}。

（2） 系统中顾客的平均等待时间（W_{\mathrm{s}}）为 W_{\mathrm{s}}=L_{\mathrm{s}}/{\lambda }^{\text{'}}。

（3） 平均加入率（J_{\mathrm{s}}）和平均止步率（B_{\mathrm{r}}）分别为

J_{\mathrm{s}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\lambda b_i{P}_{i,\mathrm{0}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\lambda b_i{P}_{i,\mathrm{1}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\lambda b_i{P}_{i,\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}\lambda b_i{P}_{i,\mathrm{3}}=\frac{\lambda }{N}{L}_{\mathrm{s}}，B_{\mathrm{r}}=\lambda (\mathrm{1}-\frac{L_{\mathrm{s}}}{N})。

6 数值分析

在本节中，首先证明上面结果推导的正确性，然后通过以上所得到的性能指标，进一步分析系统参数对性能指标所产生的影响。

首先，我们考虑到达率\lambda对概率P_{N,\mathrm{0}}的影响。通过图3可以看出，在两种状态下，随着\lambda的增大，P_{N,\mathrm{0}}也随着增大。\lambda的增大说明顾客更愿意进入系统，系统变得拥挤，所以服务台处于正常忙期的概率增大。到达的顾客观察到系统中与之相关的顾客人数变多，更加倾向于进入系统（积极影响）；其次，我们发现一般情况下的P_{N,\mathrm{0}}比特殊情况下的要大。因为无退出和反馈情况下，顾客不会选择中途退出，导致处于正常忙期的概率更大，排队的顾客数量也越多，从而产生了这样的结论。

通过表1可以看出，随着\alpha的增大，中途退出的顾客比例增多，平均中途退出率增加，平均保留率减少。由于顾客的退出，系统队长减小，压力减小，顾客看到系统中的同类顾客少，则会认为此系统的服务质量欠佳，不愿意进入系统，选择止步和中途退出，导致平均止步率和服务台处于正规忙期的概率减小，而系统处于空闲状态的概率增大，导致单位时间内服务的顾客数量减小，顾客的平均等待时间也减少。在这种情况下，可以使用顾客保留机制，可以将顾客保留在系统中，平均保留率会上升。

从表2可以看出，随着到达率\lambda的增加，顾客愿意进入系统等待，平均队长变长，系统变得拥挤，所以服务台处于正规忙期的概率增加，单位时间内服务的平均顾客数增加，平均中途退出率和平均保留率也会随之增加。处于工作休假状态和故障状态的概率，平均止步率减小。

从表3中观察到随着服务率\mu的增加，系统单位时间服务的人数变多，导致系统中的顾客数量减少，平均队长变短，系统规模变小，处于正规忙期的概率减小，平均中途退出率和平均保留率减小。服务台处于工作休假时期的概率和处于故障时期的概率升高，平均止步率增加。

从表4中可以观察到，随着工作休假时期的服务率{\mu }_v的增加，平均队长变短，导致顾客平均等待时间变短，顾客减少导致服务台处于正规忙期的概率减少，平均止步率增加，平均中途退出率和平均保留率减少。

从表5随着系统中y_{\mathrm{1}}的增加，可以看出服务台处于工作休假引发故障状态的概率增加，导致服务台处于繁忙状态或处于工作休假状态的概率降低，由于服务台故障，顾客被滞留，导致系统队长变长，顾客看到系统的队长变长，认为系统服务质量较好，更愿意进入系统接受并且不愿意退出系统，所以系统的平均止步率变小，平均中途退出率和平均保留率将随着y_{\mathrm{1}}的升高而减小。

从表6可以看出，当y_{\mathrm{2}}增大时，故障状态的概率增加，处于休假状态的概率减小，单位时间内服务的平均顾客数增加，系统的队长变长，系统规模越大，导致平均止步率减少、平均中途退出率和平均保留率也随之减小。

7 成本利润分析

为了更好地优化系统，本节将分析该排队模型中各个参数变化对系统成本利润的影响。使用Matlab实现程序，更好地展现总期望成本，总期望收入和总期望利润随不同系统参数变化情况。为了对系统进行成本分析，将不同的成本固定如下：

C_{\mathrm{1}}=\mathrm{15},C_{\mathrm{2}}=\mathrm{12},C_{\mathrm{3}}=\mathrm{5},C_{\mathrm{4}}=\mathrm{3},C_{\mathrm{5}}=\mathrm{2},C_{\mathrm{6}}=\mathrm{3},C_{\mathrm{7}}=\mathrm{2},C_{\mathrm{8}}=\mathrm{3},C_{\mathrm{9}}=\mathrm{3},R=\mathrm{50}\mathrm{。}

通过图4和图5，观察到\alpha和\lambda的增加对系统的成本利润方面的影响，随着\alpha的增加顾客选择中途退出的概率增加，会引发系统中顾客数量减少，服务的顾客人数减少。从而导致总预期收入的减小，队长减少，顾客的等待时间成本减少，总预期成本也随之减少，成本模型中的总预期成本下降幅度小于总预期收入，所以总预期利润也随之减小。反而\lambda的增加会有大量的顾客进入系统，系统处于正规忙期的概率增加，导致总预期成本的增加，服务的顾客数量增加，总预期收入也会最之增加，但由于模型中服务台正规忙期的单位时间成本较高，导致成本模型中的总预期成本增加幅度大于总预期收入，所以总预期利润将随着顾客到达率的增加而减少。

此外，通过观察图6和图7两种服务率\mu，{\mu }_v对系统的成本利润方面的影响，发现正规忙期的服务率的增大，使得系统中服务的人员变多，导致服务收益增大，队长变短，顾客等待时间变短，处于正规忙期的概率减小，由于模型中服务台正规忙期的单位时间成本较高，服务成本虽然增大但相对缓慢，所以预计总成本和预计总收入随着\mu的增大而增大，而预计总成本的变化趋势相对总收益的波动更加平稳，因此预计利润总额增加。随着{\mu }_v的增大，发现工作休假期的服务率的增大，使得系统中服务的人员变多，导致服务收益增大，顾客等待时间变短，服务率变快导致服务成本增大，所以预计总成本和预计总收入随着{\mu }_v的增大而增大，而预计总收益的变化趋势相对总收入的波动更加平稳，因此预计利润总额减少。

图8和图9中可以看出y_{\mathrm{1}}，y_{\mathrm{2}}的增大导致系统的故障率增大，虽然系统中人数变多，止步率增加，所以预计总成本随之增大，但因系统故障无法进行服务，导致大量顾客被滞留在系统中，预计总收入反而随之减少，预计利润总额逐步减少。我们可以通过定期检查服务台的情况，以此来减少服务台故障的概率。

通过图10，\eta的增加会导致系统处于正常忙期的概率增加，单位时间被服务的顾客数增加，导致总预期成本和预计总收入的增加，预计总收入的增长趋势快于预计总成本，所以总预期利润也随之增加。

8 结论

在人们聚众心态的影响下，针对企业应该怎样改变来实现利润最大化的问题，本文提出了带有工作休假和反向策略的M/M/1/N可修排队模型。结果表明：预计总利润随着顾客在工作休假状态的服务率、服务台的故障率、顾客的反馈率和中途退出率，以及系统的容量的变大而减小；随着客户的到达率、服务台对客户的服务率、服务台的休假时间和维修时间的增大而增多。随着服务的顾客人数变多，诱导顾客加入排队系统，服务的顾客人数越多，企业所得利益就越高。在现实生活中，系统管理者可以通过提高客户在正规忙期的服务效率，适当控制有限容量的人数来鼓励顾客进入系统，通过定期检查服务台的情况来减少服务台故障的概率。并且通过提高服务质量来降低顾客反馈率，从而实现利润最大化。然而，本文只设定有一个服务台进行服务。因此，在未来的工作中，我们可以将模型推广到多服务台排队模型中，进行深入的研究。

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基金资助

国家自然科学基金(71971189)