对两类控制参数相等的双圈图的刻画

Description of two kinds of bicyclic graphs with equal domination parameters

摘要

特殊图类中不同控制参数相等的条件对优化系统具有至关重要的作用.本文研究了无穷型双圈图的控制数与其连通控制数、以及无穷型双圈图的全控制数与其弱凸控制数之间的关联性，给出了它们在不同条件下各自相等的充分且必要条件.与此同时，讨论了几类无穷型双圈图的全控制数与其弱凸控制数的关联性，以及无穷型双圈图的弱凸控制数的确定问题，并给出了相应的结果.

Abstract

The condition that different domination parameters are equal in the special graph class plays a crucial role in optimizing the system. The relationship between the domination number and its connect domination number for infinity-type bicyclic graph and the relationship between the total control number and its weakly convex domination number for infinity-type bicyclic graph were discussed in this paper， and the sufficient and necessary conditions for them to be equal under different conditions were given. Meanwhile， the relationship between the total domination number and the weakly convex control number of several types of infinity-type bicyclic graph and the problem of determining the weakly convex domination number for infinity-type bicyclic graph were discussed， and corresponding results were given.

关键词

无穷型双圈图 / 控制数 / 连通控制数 / 全控制数 / 弱凸控制数

Key words

infinity-type bicyclic graph / domination number / connect domination number / total domination number / weakly convex domination number

在无特殊说明下，本文所研究的连通图均是简单、有限、无向的.令G=(V,E)是1个连通图.对1个点v\in V(G)，点v的开邻域用N_G(v)=\{v\in V(G)|uv\in E(G)\}来表示，点v的闭邻域用N_G[v]=N_G(v)\bigcup \{u\}来表示.对于顶点子集M且M\subseteq V，集合M的开邻域用N_G(M)={\cup }_{v\in S}N(v)来表示，集合M的闭邻域用N_G[M]=N_G(M)\bigcup M来表示.令d_G(v)表示图G中点v的度，显然d_G(v)=|N_G(v)|.如果点v在G中只有1个邻点，那么点v是叶子点.图G中的一切叶子点用集合L(G)表示，\epsilon =|L(G)|，\epsilon表示图G中叶子点的个数.与叶子点相邻的点叫做支撑点，图G中的一切支撑点用集合S(G)表示.假设x\in V(G)在G中是割点，则G-\{x\}的连通分支数大于图G的连通分支数.图G中一切割点构成的集合由V_{\mathrm{C}}表示.度数大于1的点叫做内部点，图G中一切内部点构成的集合用I(G)表示.〈X〉是图G的诱导子图，其中，集合X是图G的非空子集，诱导子图中的点集为X集合，边集是由图G中两端点均在X集合中的那些边构成的全体.P_n=v_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}\cdots v_{n-\mathrm{1}}{e}_{n-\mathrm{1}}{v}_n，P_n是指G的一条路，路是指1个顶点与边交错出现的非空有限序列，P_n是指长度为n-\mathrm{1}的路，如P_{\mathrm{1}}是长度为0的路，即这条路只有1个点，P_{\mathrm{2}}是指长度为1的路，以此类推.d_G=(u,v)表示连通图G中u,v两点之间的距离，距离是指点u和点v之间最短路的长度.图G中长度为d_G=(u,v)的一条(u,v)路叫做图G中的一条(u,v)-测地线.

若N_G[A]=V，则称集合A为图G的控制集，其中集合A\subseteq V；图G的阶数最小的控制集合中所包含点的个数被称为G的控制数，用\gamma (G)来表示；假如集合V中的每个点都与集合N（N\subseteq V）中的至少1个点相邻，则集合N被称为图G的全控制集；图G中阶数最小的全控制集中所包含点的个数被称为图G的全控制数，用{\gamma }_{\mathrm{t}}(G)来表示；若N_G[A]=V且集合A中的诱导子图〈A〉连通，则集合A被称为图G的1个连通控制集，图G中阶数最小的连通控制集中所包含点的个数被称为图G的连通控制数，用{\gamma }_{\mathrm{C}}(G)表示；若集合P中的任意2个点a和b，在图G中所有的(a,b)-测地线上的所有点都属于集合P，则P被称为图G的凸集；若集合P既是图G的凸集又是图G的控制集，则P被称为图G的凸控制集；图G中阶数最小的凸控制集中所包含的点的个数被称为图G的凸控制数，用{\gamma }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)来表示；若集合Y中的任意2个点a和b，在图G中存在一条(a,b)-测地线，使得该测地线上的一切点都属于Y，则Y被称为图G的弱凸集；若Y既是图G的弱凸集又是图G的控制集，则称Y为图G的弱凸控制集；图G中阶数最小的弱凸控制集中所包含的点的个数被称为G的弱凸控制数，用{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)来表示.

根据全控制数和弱凸控制数的定义可知{\gamma }_t(G)\le {\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G).令C(G)=\{v|v\in I(G)-S(G)，且至少存在G-\{v\}的1个分支G_i，使得|V(G_i)\bigcap I(G)|=\mathrm{1}\}，\mathrm{\Delta }(G)表示图G的最大度.边数等于顶点数的简单连通图称为单圈图，而边数等于顶点数加1的简单连通图称为双圈图.根据双圈图的2个圈的位置不同，双圈图可分为如下3种类型的双圈图：2个圈只有1个公共点的双圈图、2个圈有多个公共点的双圈图与无穷型双圈图\mathrm{\infty }(n,m,l).无穷型双圈图\mathrm{\infty }(n,m,l)是指通过一条路径P_l连接2个不相交的圈C_m和C_n，C_m和C_n中的各一点是P_l的2个端点，其中，C_m和C_n是圈长分别为m\mathrm{、}n的2个基本圈，路径P_l的长度为l.未解释的术语和符号见文献［1］.

图G的凸控制数以及弱凸控制数的概念由Topp^［2］首次给出，由此使得连通控制在通信网络设计中的应用得到了很大的提升. Raczek等^［3］讨论了图的卡氏积的弱凸控制数和凸控制数问题，得到了几类特殊环面的弱凸控制数和凸控制数.Arumugam等^［4］刻画了一类控制数和连通控制数相等的树.Chen等^［5］刻画了控制数和连通控制数相等的块图和仙人掌图.Chen^［6］刻画了全控制数和连通控制数相等的树和单圈图.文献［7］讨论了在某一特定条件下双圈图的连通控制数和全控制数的问题，给出了它们相等的充分且必要条件.文献［8］讨论了特殊图类的弱凸控制数.与此同时，对由控制参数所衍生的衍生控制数的研究也备受关注，如Aita等^［9］研究了安全全控制数，Sahin^［10］研究了双边控制数，Abiod等^［11］研究了图类的p-控制的界限.

1 相关引理

引理1^［2］\gamma (G)\le {\gamma }_{\mathrm{c}}(G)\le {\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)\le {\gamma }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)，其中，G为任意的连通图.

引理2^［5］ 假设G是一单圈图，且圈C_n=u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}\dots u_n{u}_{\mathrm{1}},n\ge \mathrm{5}，若令圈C中一切2度点构成的集合为X，当且仅当以下条件成立时有\gamma ={\gamma }_{\mathrm{c}}：

1） V-N[X]中每个度数至少为2的点是支撑点；

2） 〈X〉是连通的且\left|X\right|\le \mathrm{3}；

3） 若〈X〉=P_{\mathrm{1}}或者P_{\mathrm{3}}，则N(X)中度数大于2的点均为支撑点；若〈X〉=P_{\mathrm{2}}，则N(X)中度数大于2的点中至少有1个点是支撑点.

引理3^［5］ 假设G是一包含圈C_m的单圈图，如果且\left|X\right|=m-\mathrm{1}，那么{\gamma }_{\mathrm{t}}(G)={\gamma }_{\mathrm{c}}(G)当且仅当以下条件成立：

1） \mathrm{3}\le m\le \mathrm{6}；

2） 令G^{\text{'}}=G-\{v_{\mathrm{1}}\}，当(v_m)\ge \mathrm{3}时，有I(G^{\text{'}})=S(G^{\text{'}})\bigcup C(G^{\text{'}}).

引理4^［8］ 对于阶数为n的任意树T，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(T)=n-\epsilon，其中，\epsilon是树T中叶子点的个数.

引理5^［8］ 当整数\mathrm{3}\le n\le \mathrm{6}时，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(C_n)=n-\mathrm{2}；当整数n\ge \mathrm{7}时，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(C_n)=n.

2 主要结果及证明

定理1 设G是一无穷型双圈图\mathrm{\infty }(n,m,l)且C_n=u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}\dots u_n{u}_{\mathrm{1}}（n\ge \mathrm{5}），C_m=v_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}\dots v_m{v}_{\mathrm{1}}（m\ge \mathrm{5}）， V(C_m)\bigcap V(C_n)=\phi，V(C_n)\bigcap l=u_{\mathrm{1}}，V(C_m)\bigcapl=v_{\mathrm{1}}.令C_n中一切2度点构成集合X，C_m中一切2度点构成集合Y，则\gamma ={\gamma }_{\mathrm{c}}成立当且仅当以下条件成立：

1） 集合(V-N[X])\bigcap (V-N[Y])中度数至少为2的点均是支撑点；

2） 〈X〉和〈Y〉都连通，\left|X\right|\le \mathrm{3},\left|Y\right|\le \mathrm{3}；

3） 若〈X〉=P_{\mathrm{1}}或P_{\mathrm{3}}，〈Y〉=P_{\mathrm{1}}或P_{\mathrm{3}}，则N(X)与N(Y)中度数大于2的点是支撑点；若〈X〉=P_{\mathrm{2}}（〈Y〉=P_{\mathrm{2}}），则N(X)（N(Y)）中度数大于2的点中至少有1个是支撑点.

证明 必要性.设图G是一无穷型双圈图，且\gamma ={\gamma }_{\mathrm{c}}，令图G的任意最小连通控制集为A，则有\left|A\right|=\gamma ={\gamma }_{\mathrm{c}}.

若条件1）不成立，则A-\{v\}是图G的控制集，这里点v是(V-N[X])\bigcap (V-N[Y])中度数至少为2的非支撑点，得出矛盾.

若条件2）不成立，如〈X〉（〈Y〉）是不连通的，集合A包含〈X〉（〈Y〉）中至少1个分支G_i的一切点，则A-\{u\}是图G的1个控制集，这里u\in G_i，得出矛盾.

假定集合X与集合Y均是连通的，且\left|X\right|\ge \mathrm{4}或\left|Y\right|\ge \mathrm{4}，不妨设X=\{u_{\mathrm{2}},u_{\mathrm{3}},\dots ,u_s\}(\mathrm{5}\le s\le n)或Y=\{v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},\dots ,v_s\}(\mathrm{5}\le s\le m)，则A不包含X或Y中2个相邻的点.如果u_{\mathrm{2}},u_{\mathrm{3}}\notin A，那么A-\{u_s\}是G的1个控制集（如果v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}}\notin A，那么A-\{v_s\}是G的1个控制集）；假如u_{s-\mathrm{1}},u_s\notin A，那么A-\{u_{\mathrm{2}}\}是G的1个控制集（假如v_{s-\mathrm{1}},v_s\notin A，那么A-\{v_{\mathrm{2}}\}是G的1个控制集）；假如，那么(A-\{u_{i-\mathrm{1}},u_{i+\mathrm{2}}\})\bigcup \{u_i\}是G的1个控制集（假如，那么(A-\{v_{i-\mathrm{1}},v_{i+\mathrm{2}}\})\bigcup \{v_i\}是G的1个控制集）.以上都与条件矛盾.

3） 当〈X〉=P_{\mathrm{1}}=u_i（〈Y〉=P_{\mathrm{1}}=v_i），u_i,u_{i+\mathrm{1}}\notin A（v_i,v_{i+\mathrm{1}}\notin A），如果u_{i-\mathrm{1}}（v_{i-\mathrm{1}}）不是1个支撑点，则A-\{u_{i-\mathrm{1}}\}（A-\{v_{i-\mathrm{1}}\}）是G的1个控制集.〈X〉=P_{\mathrm{3}}=u_i{u}_{i+\mathrm{1}}{u}_{i+\mathrm{2}}（〈Y〉=P_{\mathrm{3}}=v_i{v}_{i+\mathrm{1}}{v}_{i+\mathrm{2}}），那么u_i或u_{i+\mathrm{2}}\in A（v_i或v_{i+\mathrm{2}}\in A）.假设u_{i-\mathrm{1}}（v_{i-\mathrm{1}}）不是1个支撑点，那么(A-\{u_{i-\mathrm{1}},u_i\})\bigcup \{u_{i+\mathrm{1}}\}（(A-\{v_{i-\mathrm{1}},v_i\})\bigcup \{v_{i+\mathrm{1}}\}）是G的1个控制集.

如果〈X〉=P_{\mathrm{2}}=u_i{u}_{i+\mathrm{1}}（〈Y〉=P_{\mathrm{2}}=v_i{v}_{i+\mathrm{1}}），u_{i-\mathrm{1}}和u_{i+\mathrm{1}}（v_{i-\mathrm{1}}和v_{i+\mathrm{1}}）都不是支撑点，那么(A-\{u_{i-\mathrm{1}},u_{i+\mathrm{2}}\})\bigcup \{u_i\}（(A-\{v_{i-\mathrm{1}},v_{i+\mathrm{2}}\})\bigcup \{v_i\}）是G的控制集.

上述几种情况，都可得基数为\gamma -\mathrm{1}的控制集，这与前提\gamma ={\gamma }_c矛盾.

充分性是显然的，满足1）、2）、3）这3个条件的双圈图的控制数等于连通控制数.

定理2、3、4分别给出C_n=C_{\mathrm{3}}和C_m=C_{\mathrm{3}}，C_n=C_{\mathrm{4}}和C_m=C_{\mathrm{4}}，C_n=C_{\mathrm{3}}和C_m=C_{\mathrm{4}}（C_n=C_{\mathrm{4}}和C_m=C_{\mathrm{3}}）是\gamma ={\gamma }_{\mathrm{c}}的充分必要条件.具体如下.

定理2 设图G是无穷型双圈图，C_n=C_{\mathrm{3}}且C_m=C_{\mathrm{3}}，V(C_m)\bigcap V(C_n)=\phi，V(C_n)\bigcap l=u_{\mathrm{1}}，V(C_m)\bigcap l=v_{\mathrm{1}}.令C_n中一切2度点构成集合X，C_m中一切2度点构成集合Y，则\gamma ={\gamma }_{\mathrm{c}}成立当且仅当下述条件成立：

1） (V-N[X])\bigcap (V-N[Y])中度数至少为2的点均是图G的支撑点；

2） C_n、C_m中有且只有1个度数至少为3的点，或C_n与C_m中每一个度数至少为3的点均为支撑点.

证明 必要性.设图G是一无穷型双圈图，C_n=C_{\mathrm{3}}，C_m=C_{\mathrm{3}}，图G的控制数等于其连通控制数，不妨令图G的任意最小连通控制集为A，\gamma ={\gamma }_{\mathrm{c}}.

若条件1）不成立， 则A-\{v\}是图G的1个控制集，v是(V-N[X])\bigcap (V-N[Y])中度数至少为2的1个非支撑点，得出矛盾.

若条件2）不成立，令C_n或C_m包含多个度数至少为3的点，且在C_n或C_m中存在度数至少为3且不是支撑点的1个点.不妨假设u_{\mathrm{1}}和u_{\mathrm{3}}（v_{\mathrm{1}}和v_{\mathrm{3}}）是度数至少为3的点，u_{\mathrm{1}}（v_{\mathrm{1}}）不是支撑点，那么A-\{u_{\mathrm{1}}\}是G的1个控制集，得出矛盾.

充分性是显然的，若\mathrm{\infty }(n,m,l)满足条件1）与2），则\gamma ={\gamma }_{\mathrm{c}}.

定理3 设G是一无穷型双圈图\mathrm{\infty }(n,m,l)，且C_n=C_{\mathrm{4}}，C_m=C_{\mathrm{4}}，V(C_m)\bigcap V(C_n)=\phi，V(C_n)\bigcap l=u_{\mathrm{1}}，V(C_m)\bigcap l=v_{\mathrm{1}}.令C_n中度数为2的一切点构成集合X，C_m中度数为2的一切点构成集合Y，则\gamma ={\gamma }_{\mathrm{c}}当且仅当下述条件成立：

1） (V-N[X])\bigcap (V-N[Y])中一切度数至少为2的点均为支撑点；

2） 若\left|X\right|=\mathrm{1}或\left|Y\right|=\mathrm{1}，则C_n或者C_m中其余的3个点均为支撑点；若\left|X\right|\ge \mathrm{2}或者\left|Y\right|\ge \mathrm{2}，则〈X〉或〈Y〉是连通的，且C_n或C_{\mathrm{m}}所包含的点中至少有1个支撑点.

证明 必要性.设图G是一无穷型双圈图，C_n=C_{\mathrm{4}}，C_m=C_{\mathrm{4}}，\gamma ={\gamma }_{\mathrm{c}}，令图G的1个最小连通控制集为A，则|A|=\gamma ={\gamma }_{\mathrm{c}}.

若条件1）不成立，则A-\{v\}为图G的1个控制集，v是(V-N[X])\bigcap (V-N[Y])中度数至少为2的1个非支撑点，得出矛盾.

若条件2）不成立，不妨假定\left|X\right|=\mathrm{1}（\left|Y\right|=\mathrm{1}），C_n（C_m）中其他的3个点里至少有1个点不是支撑点.不妨假定\left|X\right|=u_{\mathrm{2}}（\left|Y\right|=v_{\mathrm{2}}），u_{\mathrm{3}}（v_{\mathrm{3}}）不是1个支撑点，因而A-\{u_{\mathrm{3}}\}（A-\{v_{\mathrm{3}}\}）就是图G的1个控制集.

若\left|X\right|\ge \mathrm{2}（\left|Y\right|\ge \mathrm{2}），〈X〉（〈Y〉）是不连通的，A中包含〈X〉（〈Y〉）的至少1个分支G_i上的一切点，则A-\{u\}是图G的1个控制集，其中u\in G_i，得出矛盾，因而〈X〉（〈Y〉）是连通的.如果C_n（C_m）中不包含支撑点，当〈X〉=P_{\mathrm{2}}（〈Y〉=P_{\mathrm{2}}）时，若〈X〉=P_{\mathrm{2}}=u_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{3}}（〈Y〉=P_{\mathrm{2}}=v_{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{3}}），则(A-\{u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{4}}\})\bigcup u_{\mathrm{3}}（(A-\{v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{4}}\})\bigcup v_{\mathrm{3}}）是图G的1个控制集；当〈X〉=P_{\mathrm{3}}（〈Y〉=P_{\mathrm{3}}）时，(A-\{u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{4}}\})\bigcup u_{\mathrm{3}}（(A-\{v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{4}}\})\bigcup v_{\mathrm{4}}）是图G的1个控制集，得出矛盾.

充分性显然成立，若满足条件1）与2），则\gamma ={\gamma }_{\mathrm{c}}.

定理4 设图G是一无穷型双圈图\mathrm{\infty }(n,m,l)，且C_n=C_{\mathrm{3}}，C_m=C_{\mathrm{4}}，V(C_m)\bigcap V(C_n)=\varphi，V(C_n)\bigcap l=u_{\mathrm{1}}，V(C_m)\bigcap l=v_{\mathrm{1}}.令C_n的一切2度点构成集合X，C_m的一切2度点构成集合Y，那么\gamma ={\gamma }_c当且仅当下列条件成立：

1） (V-N[X])\bigcap (V-[Y])中度数至少为2的一切点均为支撑点；

2） C_n仅有1个度数至少为3的点，或者C_n的每一个度数至少为3的点均为支撑点；

3） 当\left|Y\right|=\mathrm{1}时，有C_m其他的3个点均为支撑点；当\left|Y\right|\ge \mathrm{2}时，有〈Y〉是连通的，且C_m所包含的点中至少有1个支撑点.

证明与上面定理2、定理3的证明类似，此处不再赘述.

定理5 设T是一个树，若\left|I(T)\right|\ge \mathrm{2}，则{\gamma }_{\mathrm{t}}(T)={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(T)当且仅当I(T)=S(T)\bigcup C(T).

证明 必要性.已知{\gamma }_{\mathrm{t}}(T)={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(T)，当I(T)=S(T)时，C(T)=\varphi，则结论成立.当I(T)\ne S(T)时，令T_{\mathrm{1}},T_{\mathrm{2}},\dots ,T_s是T-\{v\}的一切分支，其中，v是I(T)-S(T)中的任意1个点，假设这一切分支T_i(\mathrm{1}\le i\le s)都满足|V(T_i)\bigcap I(T)|\ge \mathrm{2}，那么I(T)-\{v\}是树T中小于I(T)的全控制集，则，矛盾，于是至少存在1个分支T_i使得|V(T_i)\bigcap I(T)|\le \mathrm{1}，任意I(T)-S(T)中的点都属于C(T)，则I(T)=S(T)\bigcup C(T).

充分性.设M是树T的1个全控制集，N是树T的1个弱凸控制集，因为I(T)\ge \mathrm{2}，所以|M\bigcap L(T)|=\varphi，且支撑点一定在全控制集中去控制叶子点，则S(T)\subseteq M，因为T-\{v\}中至少存在1个分支T_i(\mathrm{1}\le i\le s)使得|V(T_i)\bigcap I(T)|=\mathrm{1}，v是C(T)中的任意1个点，所以v\in M，则C(T)\subseteq M.因为I(T)=S(T)\bigcup C(T)，所以I(T)\subseteq M，即{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(T)\le {\gamma }_{\mathrm{t}}(T)；全控制集只要在控制集的基础上满足T中每一个点都至少与M中的1个点相邻，而弱凸控制集是在控制集的基础上还要满足N中任意2个点的至少1条最短路上的一切点都在N中，则{\gamma }_{\mathrm{t}}(T)\le {\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(T)，因而{\gamma }_{\mathrm{t}}(T)={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(T).

定理6与定理7刻画{\gamma }_{\mathrm{t}}(G)={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)的双圈图.具体如下.

定理6 设G是一个无穷型双圈图\mathrm{\infty }(n,m,l)，C_n=u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}\dots u_n{u}_{\mathrm{1}}，C_m=v_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}\dots v_m{v}_{\mathrm{1}}，V(C_m)\bigcap V(C_n)=\varphi， 令C_n中2度点构成集合X，C_m中2度点构成集合Y，若\left|X\right|=\left|Y\right|=\mathrm{0}，则{\gamma }_{\mathrm{t}}(G)={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)当且仅当I(G)=S(G)\bigcup C(G).

证明 可知I(G)是G的弱凸控制集. 必要性.令{\gamma }_{\mathrm{t}}(G)={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G).

情形1 当I(G)=S(G)时，有C(G)=\phi，则I(G)=S(G)\bigcup C(G).

情形2 当I(G)-S(G)\ne \phi时，对于任意的v_i\in I(G)-S(G)，令G_{\mathrm{1}},G_{\mathrm{2}},\dots ,G_s是G-v_i的分支.如果G-\{v_i\}的一切分支G_i都满足V(G_i)\bigcap I(G)\ge \mathrm{2}，那么I(G)-\{v_i\}是图G的全控制集，得出矛盾，于是G-\{v_i\}的至少1个分支满足V(G_i)\bigcap I(G)=\mathrm{1}，v_i\in C(G).综上所述，I(G)=S(G)\bigcup C(G).

充分性.假定S是图G的1个全控制集，S\bigcap L(G)=\phi，S(G)\subseteq S，对于任意点v_i\in C(G)，由C(G)的定义得v_i\in S，因而C(G)\subseteq S.因为I(G)=S(G)\bigcup C(G)，可以得到I(G)\subseteq S，那么{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)\le {\gamma }_t(G).根据全控制数和弱凸控制数的定义可知，{\gamma }_{\mathrm{t}}(G)\le {\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G).因此，{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)={\gamma }_{\mathrm{t}}(G).

定理7 设G是1个含有n个点的圈C_n，{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)={\gamma }_{\mathrm{t}}(G)当且仅当n=\mathrm{4,5},\mathrm{6}.

证明 充分性显然成立，当n=\mathrm{4,5},\mathrm{6}时，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)={\gamma }_{\mathrm{t}}(G).

必要性. 若{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)={\gamma }_{\mathrm{t}}(G)，当n=\mathrm{3}时，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=\mathrm{1}.若{\gamma }_{\mathrm{t}}(G)=\mathrm{2}，则{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)\ne {\gamma }_{\mathrm{t}}(G)，得出矛盾.结合引理5可知，当n\ge \mathrm{7}时，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)>{\gamma }_{\mathrm{t}}(G)，得出矛盾，因而{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)={\gamma }_{\mathrm{t}}(G)成立时有n=\mathrm{4,5},\mathrm{6}.

定理8 设G是一无穷型双圈图\mathrm{\infty }(n,m,l)，C_n=u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}\dots u_n{u}_{\mathrm{1}}，C_m=v_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}\dots v_m{v}_{\mathrm{1}}，V(C_n)\bigcap l=u_{\mathrm{1}}，V(C_m)\bigcap l=v_{\mathrm{1}}.若|X|=n-\mathrm{1}，|Y|=m-\mathrm{1}，则{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)={\gamma }_{\mathrm{t}}(G)当且仅当以下条件成立：

1） \mathrm{3}\le n\le \mathrm{5}，\mathrm{3}\le m\le \mathrm{5}；

2） d(u_{\mathrm{1}})\ge \mathrm{3}，d(v_{\mathrm{1}})\ge \mathrm{3}.令G^{\text{'}}=G-\{u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}}\}，那么I(G^{\text{'}})=S(G^{\text{'}})\bigcup C(G^{\text{'}}).

证明 必要性.令{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)={\gamma }_{\mathrm{t}}(G).当n\ge \mathrm{6}，m\ge \mathrm{6}时有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)\ne {\gamma }_{\mathrm{t}}(G)，因此\mathrm{3}\le n\le \mathrm{5}，\mathrm{3}\le m\le \mathrm{5}.在这种情形下可得{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G^{\text{'}})={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=|I(G^{\text{'}})|，令S是G^{\text{'}}的全控制集且S\bigcap L(G)=\phi.因此S\subseteq I(G^{\text{'}}).

情形1 当v_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{1}}\in S时，如果存在1个点v\in I(G^{\text{'}})-S(G^{\text{'}})\bigcup C(G^{\text{'}})，那么由定理5可得，S也是G的全控制集.因此，，得出矛盾.

情形2 当v_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{1}}\notin S时，m=\mathrm{5},n=\mathrm{5}且v_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{1}}不是支撑点，v_{\mathrm{4}},v_{\mathrm{5}},u_{\mathrm{4}},u_{\mathrm{5}}\in S.

情形2.1N(v_{\mathrm{1}})\bigcap (S-\{v_{\mathrm{5}}\})且N(u_{\mathrm{1}})\bigcap (S-\{u_{\mathrm{5}}\})都不是空集.

存在2个点v_a,v_b\in S，v_a控制v_{\mathrm{1}}，v_b控制u_{\mathrm{1}}，v_a\in N(v_{\mathrm{1}})\bigcap (S-v_{\mathrm{5}})且v_b\in N(u_{\mathrm{1}})\bigcap (S-u_{\mathrm{5}}).因此，(S-\{v_{\mathrm{5}},u_{\mathrm{5}}\})\bigcup \{v_{\mathrm{3}},u_{\mathrm{3}}\}是G的1个全控制集且(S-\{v_{\mathrm{5}},u_{\mathrm{5}}\})\bigcup \{v_{\mathrm{3}},u_{\mathrm{3}}\}的基数不超过{\gamma }_{\mathrm{t}}(G^{\text{'}}).由于，那么，得出矛盾.

情形2.2N(v_{\mathrm{1}})\bigcap (S-\{v_{\mathrm{5}}\})且N(u_{\mathrm{1}})\bigcap (S-\{u_{\mathrm{5}}\})是空集.

此时，\left|S\right|\le {\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G^{\text{'}})-\mathrm{4}，S\cup \{u_{\mathrm{3}},v_{\mathrm{3}}\}是G的1个全控制集，则，得出矛盾.

情形2.3N(v_{\mathrm{1}})\bigcap (S-\{v_{\mathrm{5}}\})、N(u_{\mathrm{1}})\bigcap (S-\{u_{\mathrm{5}}\})中有且仅有一个是空集.

假设N(v_{\mathrm{1}})\bigcap (S-v_{\mathrm{5}})\ne \varphi，那么\left|S\right|\le {\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G^{\text{'}})-\mathrm{3}且(S-\{v_{\mathrm{5}}\})\bigcup \{v_{\mathrm{3}},u_{\mathrm{3}}\}是G的1个全控制集，则，得出矛盾.

情形3v_{\mathrm{1}}和u_{\mathrm{1}}中有且仅有1个点不属于S，不妨设v_{\mathrm{1}}\notin S,u_{\mathrm{1}}\in S.此时v_{\mathrm{1}}不是1个支撑点且m=\mathrm{5}.

情形3.1N(v_{\mathrm{1}})\bigcap (S-\{v_{\mathrm{5}}\})\ne \phi.

此时存在1个点v_a\in N(v_{\mathrm{1}})\bigcap (S-\{v_{\mathrm{5}}\})，且该点可控制v_{\mathrm{1}}.因此(S-\{v_{\mathrm{5}}\})\bigcup \{v_{\mathrm{3}}\}是G的1个全控制集且基数不超过{\gamma }_{\mathrm{t}}(G^{\text{'}}).那么，得出矛盾.

情形3.2N(v_{\mathrm{1}})\bigcap (S-\{v_{\mathrm{5}}\})=\varphi.

此时，N(v_{\mathrm{1}})\bigcap (S-v_{\mathrm{5}})中无任何点可控制v_{\mathrm{1}}，则\left|S\right|\le {\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G^{\text{'}})-\mathrm{2}.因而，S\cup \{v_{\mathrm{3}}\}是图G的1个基数不超过{\gamma }_{\mathrm{t}}(G^{\text{'}})的全控制集.那么，得出矛盾.

充分性.在满足1）、2）条件时，由定理5可得{\gamma }_{\mathrm{t}}(G^{\text{'}})={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G^{\text{'}})，{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G^{\text{'}})={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)，{\gamma }_{\mathrm{t}}(G)={\gamma }_{\mathrm{t}}(G^{\text{'}}).故有{\gamma }_t(G)={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G).

定理9 设G是一无穷型双圈图\mathrm{\infty }(n,m,l)，C_n=u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}\dots u_n{u}_{\mathrm{1}}，C_m=v_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}\dots v_m{v}_{\mathrm{1}}，V(C_m)\bigcap V(C_n)=\varphi，V(C_n)\bigcap l=u_{\mathrm{1}}，V(C_m)\bigcap l=v_{\mathrm{1}}.那么

\begin{array}{l}{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=\{N-\epsilon ,N-\epsilon -\mathrm{1},N-\epsilon -\mathrm{2},\\ N-\epsilon -\mathrm{3},N-\epsilon -\mathrm{4}\},\end{array}

其中，N是G中一切点的个数，\epsilon是G中叶子点的个数.

证明 分以下3种情况讨论.

当m\ge \mathrm{7}、n\ge \mathrm{7}时，由弱凸控制数的定义并结合引理4与引理5，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon.

当m\ge \mathrm{7}、\mathrm{3}\le n\le \mathrm{6}时，若C_n中有至少2个连续的2度点，则C_n中有2个点不在G的弱凸控制集内，因此{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon -\mathrm{2}.若C_n中有2度点，但无连续的2度点，则有：①当\mathrm{3}\le n\le \mathrm{4}时，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon -\mathrm{1}；②当\mathrm{5}\le n\le \mathrm{6}时，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon；若C_n中无2度点，则由弱凸控制集的定义并结合引理4与引理5，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon.

当\mathrm{3}\le n\le \mathrm{6}，\mathrm{3}\le m\le \mathrm{6}时，若C_n或C_m中有多于1个的连续2度点，则C_n或C_m中有2个点不在图G的弱凸控制集内，因而{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon -\mathrm{4}；若C_n或C_m中有2个2度点，但无2个连续的2度点，则有：①当\mathrm{3}\le m\le \mathrm{4}，\mathrm{3}\le n\le \mathrm{4}时，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon -\mathrm{2}；②当\mathrm{3}\le m\le \mathrm{4}， \mathrm{5}\le n\le \mathrm{6}时，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon -\mathrm{1}；③当\mathrm{5}\le m\le \mathrm{6}，\mathrm{5}\le n\le \mathrm{6}时，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon.若C_m至少有2个连续的2度点，C_n有2度点但无2个连续的2度点，则有：①当\mathrm{3}\le m\le \mathrm{6}，\mathrm{3}\le n\le \mathrm{4}时，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon -\mathrm{3}；②当\mathrm{3}\le m\le \mathrm{6}，\mathrm{5}\le m\le \mathrm{6}时，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon -\mathrm{2}.若C_m至少有2个连续的2度点，C_n中无2度点，则当\mathrm{3}\le m\le \mathrm{6}，\mathrm{3}\le n\le \mathrm{6}时有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon -\mathrm{2}.若C_m有2度点但无2个连续的2度点，C_n无2度点，则有：①当\mathrm{3}\le m\le \mathrm{4}，\mathrm{3}\le n\le \mathrm{6}时，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon -\mathrm{1}；②当\mathrm{5}\le m\le \mathrm{6}，\mathrm{3}\le n\le \mathrm{6}时，有{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon.若C_m和C_n均无2个2度点，则由弱凸控制数的定义并结合引理4与引理5，有当\mathrm{3}\le m\le \mathrm{6}，\mathrm{3}\le n\le \mathrm{6}时，{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon.

综上所述，{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=\{N-\epsilon ,N-\epsilon -\mathrm{1},N-\epsilon -\mathrm{2},N-\epsilon -\mathrm{3},N-\epsilon -\mathrm{4}\}.

定理10 设G是一无穷型双圈图\mathrm{\infty }(n,m,l)，C_n=u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}\dots u_n{u}_{\mathrm{1}}，C_m=v_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}\dots v_m{v}_{\mathrm{1}}， V(C_m)\bigcap V(C_n)=\varphi. 如果\mathrm{5}\le \left|X\right|\le n-\mathrm{2}，\mathrm{5}\le \left|Y\right|\le m-\mathrm{2}，其中，X、Y分别是C_n和C_m中一切2度点构成的集合，那么.

证明 按照X、Y中2度点的最长路进行讨论.由于\mathrm{5}\le \left|X\right|\le n-\mathrm{2}，\mathrm{5}\le \left|Y\right|\le m-\mathrm{2}，因此n\ge \mathrm{7}，m\ge \mathrm{7}，由定理9可知{\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)=N-\epsilon =I(G).

令〈X〉中最长路上点的个数为t，〈Y〉中最长路上点的个数为p.当t\ge \mathrm{2}，p\ge \mathrm{2}时，I(G)-\{v_i,v_{i+\mathrm{1}},u_i,u_{i+\mathrm{1}}\}是G的1个全控制集，其中，u_i,u_{i+\mathrm{1}}是X中的点，v_i,v_{i+\mathrm{1}}是Y中的点，因此 ；当t=\mathrm{1}，p=\mathrm{1}时，I(G)-\{v_i,u_i\}是G的1个全控制集，u_i是X中的点，v_i是Y中的点，因此；当t\ge \mathrm{2}，p=\mathrm{1}时，I(G)-\{u_i,u_{i+\mathrm{1}},v_i\}是G的1个全控制集，u_i,u_{i+\mathrm{1}}是X中的点，v_i是Y中的点，因此.

综上所述，.

定理11 设G是一无穷型双圈图\mathrm{\infty }(n,m,l)，C_n=u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}\dots u_n{u}_{\mathrm{1}}，C_m=v_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}\dots v_m{v}_{\mathrm{1}}， V(C_n)\bigcap V(C_m)=\varphi.如果n\ge \mathrm{5}，m\ge \mathrm{5}且t=\mathrm{1}或p=\mathrm{1}，那么，其中，t和p分别指的是X和Y中最长路上的点的个数.

证明 若t=\mathrm{1}或p=\mathrm{1}，则图G中至少存在1个2度点.不妨假定u_i是X的1个2度点，v_i是Y的1个2度点，因而C_n、C_m上的一切点均在图G的弱凸控制集内，从而I(G)是G的弱凸控制集，而I(G)-v_i（I(G)-u_i或I(G)-v_i-u_i）是G的全控制集，因此.

定理12 设图G是一无穷型双圈图\mathrm{\infty }(n,m,l)，C_n=u_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}\dots u_n{u}_{\mathrm{1}}(\mathrm{4}\le n\le \mathrm{6})，C_m=v_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}\dots v_{\mathrm{m}}{v}_{\mathrm{1}}(\mathrm{4}\le m\le \mathrm{6})，V(C_m)\bigcap V(C_n)=\varphi.令C_n中一切2度点构成集合X，C_m中一切2度点构成集合Y.若t=p=\mathrm{2}，|X|=|Y|=\mathrm{2}，G^{\text{'}}=G-\{u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}}\}，u_{\mathrm{2}}\in X，v_{\mathrm{2}}\in Y，则{\gamma }_{\mathrm{t}}(G)={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)当且仅当I(G^{\text{'}})=S(G^{\text{'}})\bigcup C(G^{\text{'}})\bigcup \{u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}\}.

证明 显然，{\gamma }_{\mathrm{t}}(G)={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G^{\text{'}})=|I(G)|-\mathrm{4}=|I(G^{\text{'}})|.

必要性.{\gamma }_{\mathrm{t}}(G)={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)，假设此时存在1个点v_i\in I(G^{\text{'}})-S(G^{\text{'}})\bigcup C(G^{\text{'}})\bigcup \{u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}\}.根据定理5，有且S\subseteq I(G^{\text{'}})-\{v_i\}是G^{\text{'}}的1个全控制.

当u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}\in S时，S是G的1个全控制集，有，得出矛盾；当u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}\notin S，那么|S|\le I(G^{\text{'}})-\mathrm{3}和S\cup \{u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}\}是G的1个全控制集，因此， 得出矛盾；当u_{\mathrm{1}}与v_{\mathrm{1}}中仅有1个点不在集合S中，不妨假设u_{\mathrm{1}}\notin S，则|S|\le I(G^{\text{'}})-\mathrm{2}且S\cup \{u_{\mathrm{1}}\}是图G的1个全控制集，因此，得出矛盾.

充分性.不妨令I(G^{\text{'}})=S(G^{\text{'}})\bigcup C(G^{\text{'}})\bigcup\{u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}\}.

当u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}\in S(G^{\text{'}})\bigcup C(G^{\text{'}})时，得I(G^{\text{'}})=S(G^{\text{'}})\bigcup C(G^{\text{'}}).根据定理5可知，{\gamma }_{\mathrm{t}}(G^{\text{'}})={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G^{\text{'}})={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G)，且I(G^{\text{'}})是图G^{\text{'}}的1个全控制集.若，则至少存在1个点v\in I(G^{\text{'}})使得I(G^{\text{'}})-\{v\}是图G的1个全控制集.由于v\in \{v_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{1}}\}，则I(G^{\text{'}})-\{v\}也是G^{\text{'}}的1个全控制集，得出矛盾.

当u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}\notin S(G^{\text{'}})\bigcup C(G^{\text{'}})时，I(G^{\text{'}})-\{v_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{1}}\}是G^{\text{'}}的1个全控制集，{\gamma }_{\mathrm{t}}(G^{\text{'}})={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G^{\text{'}})-\mathrm{2}，因此，{\gamma }_{\mathrm{t}}(G)={\gamma }_{\mathrm{t}}(G^{\text{'}})+\mathrm{2}={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G^{\text{'}})-\mathrm{2}+\mathrm{2}={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G^{\text{'}})={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G).

当u_{\mathrm{1}}与v_{\mathrm{1}}中仅有1个点不在S(G^{\text{'}})\bigcup C(G^{\text{'}})中时，假设u_{\mathrm{1}}\notin S(G^{\text{'}})\bigcup C(G^{\text{'}})，那么I(G^{\text{'}})-\{u_{\mathrm{1}}\}是G^{\text{'}}的1个全控制集，因而{\gamma }_{\mathrm{t}}(G^{\text{'}})={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G^{\text{'}})-\mathrm{1}，故{\gamma }_{\mathrm{t}}(G)={\gamma }_{\mathrm{t}}(G^{\text{'}})+\mathrm{1}={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G^{\text{'}})-\mathrm{1}+\mathrm{1}={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G^{\text{'}})={\gamma }_{\mathrm{w}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}(G).

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基金资助

国家自然科学基金项目(12061039)

新疆维吾尔自治区自然科学基金项目(2025D01A10)

喀什大学校内一般项目（（2023）2860）