带脉冲的分数阶微分方程边值问题解的存在性

Existence of solution to boundary value problems of fractional differential equations with impulsive

摘要

本文运用临界点理论和变分方法研究Banach空间中带脉冲条件的Caputo型分数阶微分方程解的存在性， 得出了其解是一个泛函的临界点. 通过给定一些新的准则， 证明了该脉冲问题至少有一个解或者无穷多个解.

Abstract

In this paper， the critical point theory and the variational method are used to study the existence of solution of the Caputo fractional differential equation in Banach space with impulsive conditions， and we conclude that the solution is a critical point of a functional. By giving some new criteria， it is proved that the impulsive problem has at least one solution or infinitely many solutions.

关键词

临界点理论 / 变分法 / 脉冲问题 / Palais-Smale条件

Key words

critical point theory / variational method / impulsive problems / Palais-Smale condition

近年来， 分数阶微分方程已成为被广泛关注的一个研究领域. 这不仅源自于分数阶微积分理论的深入发展， 如应用分数阶微积分理论可以更方便、更深刻地认识和研究超几何微分方程， 研究并扩展正交函数、特殊函数理论等； 也源自于这种结构在物理学、力学、化学、工程等各个科学领域的广泛应用^［1-3］. 在此背景下， 分数阶微分方程边值问题作为分数阶微分方程理论中的一个关键问题备受学者关注. 对这类问题进行研究有助于深化人们对分数阶微分方程的理解，以便在实际应用中更精确地解释复杂现象.

事实上， 已经有许多利用临界点理论对分数阶微分方程的研究. 例如， 文献［4-8］考虑了一类分数阶边值问题解的存在性；文献［9］利用临界点理论研究了具有超二次、渐近二次或次二次非线性的分数阶边值问题解的存在性和多重性；文献［10］研究了一类具有非光滑势的分数阶边值问题的无穷多个解的存在性；文献［11］找到了临界点理论在分数阶边值问题中的应用.

在经典的微分方程理论中， 经常假设物体的运动状态是随着时间变化而连续变化的. 但在现实世界中， 存在许多实际的工程和自然系统，事物的发展变化过程常常在短暂的时间内受到干扰，许多动力学系统在演化过程中会出现突变， 这些突变导致系统的动力学行为呈现出脉冲特性. 为了对这些现象进行数学描述，引入了脉冲微分方程.

脉冲微分方程是一类包含脉冲函数的微分方程，脉冲函数是在某些时刻产生突变的函数， 它表示系统在这些时刻发生了突变. 具有脉冲效应的微分方程产生于现实世界中的许多现象，描述突然的、不连续的跳跃发生的过程的动力学^［12-17］.

研究脉冲分数阶微分方程解的存在性有许多不同的方法， 如拓扑度理论、不动点理论、上下解方法、单调迭代技术等^［18-22］， 但利用临界点理论和变分法研究脉冲分数阶微分方程解的存在性还是相对较少， 因此本文主要利用临界点理论和变分法来证明脉冲问题至少有一个解或者无穷多个解.

Jiao等^［5］研究了如下分数阶微分方程边值问题解的存在性：

\left\{\begin{array}{l}{}_t{}^{}{D}_T^{\alpha }\left({}_{\mathrm{0}}{}^{}{D}_t^{\alpha }u\left(t\right)\right)=\nabla F\left(t,u\left(t\right)\right),\mathrm{a}.\mathrm{e}.t\in \left[\mathrm{0},T\right],\\ u\left(\mathrm{0}\right)=u\left(T\right)=\mathrm{0}.\end{array}\right.

在文献［4］中， Jiao等又研究了如下分数阶微分方程边值问题解的存在性：

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{}_{\mathrm{0}}{}^{}D{D}_t^{-\beta }\left(u^{\text{'}}\left(t\right)\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{}_t{}^{}D{D}_T^{-\beta }\left(u^{\text{'}}\left(t\right)\right)\right)+\nabla F\left(t,u\left(t\right)\right)=\mathrm{0},\hspace{1em}\mathrm{a}.\mathrm{e}.t\in \left[\mathrm{0},T\right],\\ u\left(\mathrm{0}\right)=u\left(T\right)=\mathrm{0}.\end{array}\right.

Nemat等^［23］研究了如下带脉冲的分数阶微分方程边值问题解的存在性：

\left\{\begin{array}{l}{}_t{}^{}{D}_T^{\alpha }\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right)\right)+a\left(t\right)\left(u\left(t\right)\right)=f\left(t,u\left(t\right)\right),t\ne t_j\mathrm{a}.\mathrm{e}.t\in \left[\mathrm{0},T\right],\\ \mathrm{\Delta }\left({}_t{}^{}{D}_T^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\right)\right)\left(t_j\right)=I_j\left( u\left(t_j\right)\right),j=\mathrm{1,2},\cdots ,n,\\ u\left(\mathrm{0}\right)=u\left(T\right)=\mathrm{0}.\end{array}\right.

受以上研究启发， 本文利用临界点理论考虑了如下脉冲分数阶边值问题解的存在性：

\left\{\begin{array}{l}\left({}_t{}^{}{D}_T^{\alpha }\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right)\right)+{}_{\mathrm{0}}{}^{}D{D}_t^{\alpha }\left({}_t{}^c{D}_T^{\alpha }u\left(t\right)\right)\right)=f\left(t,u\left(t\right)\right),t\ne t_j\mathrm{a}.\mathrm{e}.t\in \left[\mathrm{0},T\right],\\ \mathrm{\Delta }\left({}_t{}^{}{D}_T^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\right)\right)\left(t_j\right)+\left({}_{\mathrm{0}}{}^{}{D}_t^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_t{}^c{D}_T^{\alpha }u\right)\right)\left(t_j\right)=I_j\left( u\left(t_j\right)\right),j=\mathrm{1,2},\cdots ,n,\\ u\left(\mathrm{0}\right)=u\left(T\right)=\mathrm{0},\end{array}\right.（1）

其中，\alpha \in \left.\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{1}\right.\right]， 是一个固定（有限的）脉冲瞬时序列， 函数f:\left[\mathrm{0},T\right]\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}和I_j:\mathbb{R}\to \mathbb{R}， j=\mathrm{1},\cdots ,n是连续函数， 并且

\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }\left({}_t{}^{}{D}_T^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\right)\right)\left(t_j\right)+\left({}_{\mathrm{0}}{}^{}{D}_t^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_t{}^c{D}_T^{\alpha }u\right)\right)\left(t_j\right)=\\ \left({}_t{}^{}{D}_T^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\right)\left(t_j^{+}\right)+{}_{\mathrm{0}}{}^{}D{D}_t^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_t{}^c{D}_T^{\alpha }u\right)\left(t_j^{+}\right)\right)-\\ \left({}_t{}^{}{D}_T^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\right)\left(t_j^{-}\right)+{}_{\mathrm{0}}{}^{}D{D}_t^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_t{}^c{D}_T^{\alpha }u\right)\left(t_j^{-}\right)\right),\end{array}

{}_t{}^{}{}_T^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\right)\left(t_j^{+}\right)+{}_{\mathrm{0}}{}^{}D{}_t^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_t{}^c{D}_T^{\alpha }u\right)\left(t_j^{+}\right)=\underset{t\to t_j^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left({}_t{}^{}{D}_T^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\right)\left(t\right)+{}_{\mathrm{0}}{}^{}D{D}_t^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_t{}^c{D}_T^{\alpha }u\right)\left(t\right)\right),

{}_t{}^{}{}_T^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\right)\left(t_j^{-}\right)+{}_{\mathrm{0}}{}^{}D{}_t^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_t{}^c{D}_T^{\alpha }u\right)\left(t_j^{-}\right)=\underset{t\to t_j^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left({}_t{}^{}{D}_T^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\right)\left(t\right)+{}_{\mathrm{0}}{}^{}D{D}_t^{\alpha -\mathrm{1}}\left({}_t{}^c{D}_T^{\alpha }u\right)\left(t\right)\right).

1 预备知识

定义1^［24］ （左、右Riemann-Liouville分数阶导数）令f是定义在\left[a,b\right]上的一个函数， 函数f的左、右\gamma >\mathrm{0}阶的Riemann-Liouville分数阶导数分别用{}_a{}^{}{}_t^{\gamma }f\left(t\right)和{}_t{}^{}{}_b^{\gamma }f\left(t\right)表示， 且定义如下：

\begin{array}{l}{}_a{}^{}{}_t^{\gamma }f\left(t\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{}_a{}^{}D{}_t^{\gamma -\mathrm{1}}f\left(t\right)=\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }\left(\mathrm{1}-\gamma \right)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({\int }_a^t{\left(t-s\right)}^{-\gamma }f\left(s\right)\mathrm{d}s\right),\end{array}

t\in \left[a,b\right]，（2）

{}_t{}^{}{}_b^{\gamma }f\left(t\right)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{}_t{}^{}D{}_b^{\gamma -\mathrm{1}}f\left(t\right)=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }\left(\mathrm{1}-\gamma \right)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({\int }_t^b{\left(s-t\right)}^{-\gamma }f\left(s\right)\mathrm{d}s\right),

t\in \left[a,b\right].（3）

特别的，

{}_a{}^{}{}_t^{\mathrm{0}}f\left(t\right)={}_t{}^{}D{}_b^{\mathrm{0}}f\left(t\right)， t\in \left[a,b\right]，

除此之外，

{}_a{}^{}{}_t^{\mathrm{1}}f\left(t\right)=f^{\text{'}}\left(t\right)， {}_t{}^{}{}_b^{\mathrm{1}}f\left(t\right)=-f^{\text{'}}\left(t\right)， t\in \left[a,b\right].

定义2^［24］ （左、右Caputo分数阶导数）令且f\in AC\left(\left[a,b\right]\right)， 那么函数f的左、右\gamma阶Caputo分数阶导数分别用{}_a{}^c{}_t^{\gamma }f\left(t\right)和{}_t{}^c{}_b^{\gamma }f\left(t\right)表示， 且在\left[a,b\right]上几乎处处存在. {}_a{}^c{}_t^{\gamma }f\left(t\right)和{}_t{}^c{}_b^{\gamma }f\left(t\right)分别表示为

\begin{array}{l}{}_a{}^c{}_t^{\gamma }f\left(t\right)={}_a{}^{}D{}_t^{\gamma -\mathrm{1}}{f}^{\text{'}}\left(t\right)=\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }\left(\mathrm{1}-\gamma \right)}\left({\int }_a^t{\left(t-s\right)}^{-\gamma }{f}^{\text{'}}\left(s\right)\mathrm{d}s\right),\end{array}

t\in \left[a,b\right]，（4）

\begin{array}{l}{}_t{}^c{}_b^{\gamma }f\left(t\right)=-{}_t{}^{}D{}_b^{\gamma -\mathrm{1}}{f}^{\text{'}}\left(t\right)=\\ -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }\left(\mathrm{1}-\gamma \right)}\left({\int }_t^b{\left(s-t\right)}^{-\gamma }{f}^{\text{'}}\left(s\right)\mathrm{d}s\right),\end{array}

t\in \left[a,b\right].（5）

注意到， 当\gamma =\mathrm{1}时，

{}_a{}^c{}_t^{\mathrm{1}}f\left(t\right)=f^{\text{'}}\left(t\right)， {}_t{}^c{}_b^{\mathrm{1}}f\left(t\right)=-f^{\text{'}}\left(t\right)， t\in \left[a,b\right],

当\gamma =\mathrm{0}时，

{}_a{}^c{}_t^{\mathrm{0}}f\left(t\right)={}_t{}^{c}D{}_b^{\mathrm{0}}f\left(t\right)=f\left(t\right)， t\in \left[a,b\right].

性质1^［24］ 令n\in \mathbb{N}且. 如果f\in A{C}^n\left(\left[a,b\right],{\mathbb{R}}^N\right)或f\in C^n\left(\left[a,b\right],{\mathbb{R}}^N\right)， 那么对t\in \left[a,b\right]，有

{}_a{}^{}{}_t^{-\gamma }\left({}_a{}^c{D}_t^{\gamma }f\left(t\right)\right)=f\left(t\right)-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{f^{\left(j\right)}\left(a\right)}{j!}{\left(t-a\right)}^j，

{}_t{}^{}{}_b^{-\gamma }\left({}_t{}^c{D}_b^{\gamma }f\left(t\right)\right)=f\left(t\right)-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}\frac{{\left(-\mathrm{1}\right)}^j{f}^{\left(j\right)}\left(b\right)}{j!}{\left(b-t\right)}^j.

特别的， 如果和f\in AC\left(\left[a,b\right],{\mathbb{R}}^N\right)或f\in C^{\mathrm{1}}\left(\left[a,b\right],{\mathbb{R}}^N\right)， 那么有

{}_a{}^{}{}_t^{-\gamma }\left({}_a{}^c{D}_t^{\gamma }f\left(t\right)\right)=f\left(t\right)-f\left(a\right)，

{}_t{}^{}{}_b^{-\gamma }\left({}_t{}^c{D}_b^{\gamma }f\left(t\right)\right)=f\left(t\right)-f\left(b\right).

对于任何固定的t\in \left[\mathrm{0},T\right]和， 本文表示

{‖u ‖}_{L^r\left(\left[\mathrm{0},t\right]\right)}:={\left({\int }_{\mathrm{0}}^t{\left|u\left(\xi \right)\right|}^r\mathrm{d}\xi \right)}^{\frac{\mathrm{1}}{r}}，

{‖u ‖}_{L^r}:={\left({\int }_{\mathrm{0}}^T{\left|u\left(\xi \right)\right|}^r\mathrm{d}\xi \right)}^{\frac{\mathrm{1}}{r}}且{‖ u ‖}_{\mathrm{\infty }}:=\underset{\xi \in \left[\mathrm{0},T\right]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left|u\left(\xi \right)\right|，

假设前面的表达式定义了一个有限的数. 这与文献［4］中的表达法一致.

定义3^［4］ 令， . 分数阶导数空间E_{\mathrm{0}}^{\alpha ,P}的定义是C_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\left(\left[\mathrm{0},T\right]\right)在范数式（6）中的闭包，

{‖u ‖}_{\alpha ,p}={\left({\int }_{\mathrm{0}}^T{\left| u\left(t\right) \right|}^p\mathrm{d}t+{\int }_{\mathrm{0}}^T{\left|{}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right)\right|}^p\mathrm{d}t\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p}}.（6）

引理1^［4］ 令， ， 对任一f\in L^p\left(\left[\mathrm{0},T\right],{\mathbb{R}}^N\right)和\xi \in \left[\mathrm{0},t\right]， t\in \left[\mathrm{0},T\right]， 有

{‖{}_{\mathrm{0}}{}^{}{D}_{\xi }^{-\alpha }f‖}_{L^p\left(\left[\mathrm{0},t\right]\right)}\le \frac{t^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha +\mathrm{1}\right)}{‖f‖}_{L^p\left(\left[\mathrm{0},T\right]\right)}.（7）

引理2^［4］ 令， ， 则分数阶导数空间E^{\alpha ,p}是一个可分自反的Banach空间.

引理3^［4］ 令且. 对所有的u\in E_{\mathrm{0}}^{\alpha ,p}， 有

{‖u‖}_{L^p}\le \frac{t^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha +\mathrm{1}\right)}{‖{}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u‖}_{L^p}.（8）

此外， 如果\alpha >\frac{\mathrm{1}}{p}和\frac{\mathrm{1}}{p}+\frac{\mathrm{1}}{q}=\mathrm{1}， 那么

{‖u‖}_{\mathrm{\infty }}\le \frac{T^{\alpha -\frac{\mathrm{1}}{p}}}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right) \left(\left(\alpha -\mathrm{1}\right) q+\mathrm{1}\right){}^{\frac{\mathrm{1}}{q}}}{‖{}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u‖}_{L^p}.（9）

如文献［4］所述， 根据不等式（8）， 本文也可以考虑空间E_{\mathrm{0}}^{\alpha ,p}等价于范数

{‖u ‖}_{\alpha ,p}={‖{}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }‖}_{L^p}={\left({\int }_{\mathrm{0}}^T{\left|{}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right)\right|}^p\mathrm{d}t\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p}}， \forall u\in E_{\mathrm{0}}^{\alpha ,p}.（10）

引理4 令且. 如果\alpha >\frac{\mathrm{1}}{p}且序列\left\{u_n\right\}在E_{\mathrm{0}}^{\alpha ,p}中弱收敛于u， 即u_n\to u， 那么在C\left(\left[\mathrm{0},T\right],\mathbb{R}\right)中u_n\to u， 即n\to \mathrm{\infty }时， {‖u_n-u‖}_{\mathrm{\infty }}\to \mathrm{0}.

本文进一步利用引理4，证明空间E_{\mathrm{0}}^{\alpha ,p}紧密嵌入在C\left(\left[\mathrm{0},T\right]\right).

引理5 假设且\mathrm{1}\ge \alpha >\frac{\mathrm{1}}{p}，那么空间E_{\mathrm{0}}^{\alpha ,p}紧密嵌入在C\left(\left[\mathrm{0},T\right]\right).

证明 对于和\mathrm{1}\ge \alpha >\frac{\mathrm{1}}{p}， 从式（9）中， 得到E_{\mathrm{0}}^{\alpha ,p}\subseteq C\left(\left[\mathrm{0},T\right]\right)和E_{\mathrm{0}}^{\alpha ,p}在C\left(\left[\mathrm{0},T\right]\right)中的嵌入是连续的. 令\left\{u_n\right\}是一个在E_{\mathrm{0}}^{\alpha ,p}中有界的序列. 由于E_{\mathrm{0}}^{\alpha ,p}是一个自反空间， 必要时给一个子序列， 可以假设在E_{\mathrm{0}}^{\alpha ,p}中u_n\to u. 然后通过引理4， 在C\left(\left[\mathrm{0},T\right]\right)中u_n\to u， 即n\to \mathrm{\infty }时， {‖u_n-u‖}_{\mathrm{\infty }}\to \mathrm{0}. 因此这种嵌入是紧凑的.

本文在Hilbert空间X^{\alpha }:=E_{\mathrm{0}}^{\alpha ,p}的背景下考虑问题（1）， 给出的范数{‖ u ‖}_{\alpha }={‖ u ‖}_{\alpha ,\mathrm{2}}是式（10）中定义的. 注意到对任意的u,v\in X^{\alpha }， 可以考虑内积

\left(u,v\right):={\int }_{\mathrm{0}}^T\left[\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }v\left(t\right)\right)+\left({}_t{}^c{D}_T^{\alpha }u\left(t\right),{}_{\mathrm{0}}{}^{c}D{D}_t^{\alpha }v\left(t\right)\right)\right] \mathrm{d}t.（11）

其中，范数

‖u ‖:={\left({\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }u\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}，（12）

并且等价于{‖ u ‖}_{\alpha ,\mathrm{2}}.

引理6^{［4］ 如果\alpha \in \left.\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{1}\right.\right]， 那么对于任意的u\in X^{\alpha }， 有}

-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\pi \alpha \right){\int }_{\mathrm{0}}^T{\left|{}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right) \right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t\le -{\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }u\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\le -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\pi \alpha \right)}{\int }_{\mathrm{0}}^T{\left|{}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right) \right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t.

引理7 令\alpha \in \left.\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{1}\right.\right]且u\in X^{\alpha }， 那么范数‖\cdot ‖和范数{‖\cdot ‖}_{\alpha ,\mathrm{2}}是等价的， 即存在两个常数{\eta }_{\mathrm{1}}和{\eta }_{\mathrm{2}}， 使得对任意u\in X^{\alpha }，有

{\eta }_{\mathrm{1}}{‖ u ‖}_{\alpha ,\mathrm{2}}\le ‖ u ‖\le {\eta }_{\mathrm{2}}{‖ u ‖}_{\alpha ,\mathrm{2}}.（13）

证明 根据性质1可以得到

{}_{\mathrm{0}}{}^{}{}_t^{-\alpha }\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right)\right)=u\left(t\right)-u\left(\mathrm{0}\right)，

并且从式 （7）和引理6可以推出

\begin{array}{l}{{\int }_{\mathrm{0}}^T\left| u\left(t\right) \right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t={{\int }_{\mathrm{0}}^T\left|{}_{\mathrm{0}}{}^{}{D}_t^{-\alpha }\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right)\right)+u\left(\mathrm{0}\right)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t\le \\ \mathrm{2}{{\int }_{\mathrm{0}}^T\left|{}_{\mathrm{0}}{}^{}{D}_t^{\alpha }\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right)\right)\right|}^{\mathrm{2}}+{\left| u\left(\mathrm{0}\right)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t\le \\ \mathrm{2}\frac{T^{\mathrm{2}\alpha }}{{\left(\mathrm{\Gamma }\left(\alpha +\mathrm{1}\right)\right)}^{\mathrm{2}}}{‖{}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right) ‖}_{L^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\le \\ \frac{\mathrm{2}{T}^{\mathrm{2}\alpha }}{{\left(\mathrm{\Gamma }\left(\alpha +\mathrm{1}\right)\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\pi \alpha \right)}{\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }u\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\le \\ -\frac{\mathrm{2}{T}^{\mathrm{2}\alpha }}{{\left(\mathrm{\Gamma }\left(\alpha +\mathrm{1}\right)\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\pi \alpha \right)}{‖ u ‖}^{\mathrm{2}}.\end{array}(\mathrm{14})

通过式（14）和引理6得到

\begin{array}{l}{‖u ‖}_{\alpha ,\mathrm{2}}={\left({\int }_{\mathrm{0}}^T{\left| u\left(t\right) \right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t+{\int }_{\mathrm{0}}^T{\left|{}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\le \\ {\left(-\frac{\mathrm{2}{T}^{\mathrm{2}\alpha }}{{\left(\mathrm{\Gamma }\left(\alpha +\mathrm{1}\right)\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\pi \alpha \right)}{‖ u ‖}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\pi \alpha \right)}{\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }u\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\le \\ {\left(-\frac{\mathrm{2}{T}^{\mathrm{2}\alpha }}{{\left(\mathrm{\Gamma }\left(\alpha +\mathrm{1}\right)\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\pi \alpha \right)}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\pi \alpha \right)}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}‖ u ‖,\end{array}（15）

那么就意味着{\eta }_{\mathrm{1}}{‖ u ‖}_{\alpha ,\mathrm{2}}\le ‖ u ‖， 其中，

{\eta }_{\mathrm{1}}={\left(-\frac{\mathrm{2}{T}^{\mathrm{2}\alpha }}{{\left(\mathrm{\Gamma }\left(\alpha +\mathrm{1}\right)\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\pi \alpha \right)}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\pi \alpha \right)}\right)}^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}.

另一方面， 由式（12）和引理6得出

‖u ‖={\left({\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }u\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\le

{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\pi \alpha \right)}{\int }_{\mathrm{0}}^T{\left|{}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right) \right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}},

由式（10）可得{‖ u ‖}_{\alpha ,\mathrm{2}}=={\left({\int }_{\mathrm{0}}^T{\left|{}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}.

因此，

‖u ‖={\left({\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }u\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\le {\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\pi \alpha \right)}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{‖ u ‖}_{\alpha ,\mathrm{2}},（16）

即‖ u ‖\le {\eta }_{\mathrm{2}}{‖ u ‖}_{\alpha ,\mathrm{2}}， 其中，{\eta }_{\mathrm{2}}={\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\pi \alpha \right)}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}.那么根据式（15）和式（16），不等式（13）成立， 证毕.

2 变分设置

定义4 对于每个v\in X^{\alpha }，如果下面的恒等式成立， 那么函数u\in X^{\alpha }是问题式（1）的弱解，

{\int }_{\mathrm{0}}^T\left[\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }v\left(t\right)\right)+\left({}_t{}^c{D}_T^{\alpha }u\left(t\right),{}_{\mathrm{0}}{}^{c}D{D}_t^{\alpha }v\left(t\right)\right)\right] \mathrm{d}t+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{I}_j\left(u\left(t_j\right)\right)v\left(t_j\right)={\int }_{\mathrm{0}}^{T}f\left(t,u\left(t\right)\right)v\left(t\right)\mathrm{d}t.

下文假设函数f:\left[\mathrm{0},T\right]\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}和I_j:\mathbb{R}\to \mathbb{R}， j=\mathrm{1},\cdots ,n有连续性， 并且使得F\left(t,u\right)={\int }_{\mathrm{0}}^{u}f\left(t,s\right)\mathrm{d}s.

为了证明主要结果， 考虑泛函\phi :X^{\alpha }\to \mathbb{R}的定义为：

\phi \left(u\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }u\left(t\right)\right)+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{u\left(t_j\right)}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}F\left(t,u\left(t\right)\right)\mathrm{d}t，（17）

对所有的u\in X^{\alpha }且F\left(t,u\right)={\int }_{\mathrm{0}}^{u}f\left(t,s\right)\mathrm{d}s. 通过f和I_j的连续性， 泛函\phi在X^{\alpha }上是明显连续的和可微的， 对每个u,v\in X^{\alpha }，有

\begin{array}{c}{\phi }^{\text{'}}\left(u\right)v=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^T\left[\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }v\left(t\right)\right)+\left({}_t{}^c{D}_T^{\alpha }u\left(t\right),{}_{\mathrm{0}}{}^{c}D{D}_t^{\alpha }v\left(t\right)\right)\right] \mathrm{d}t+\\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{I}_j\left(u\left(t_j\right)\right)v\left(t_j\right)-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}f\left(t,u\left(t\right)\right)v\left(t\right)\mathrm{d}t\end{array}.（18）

很显然，{\phi }^{\text{'}}是连续的（因为\phi \in C^{\mathrm{1}}\left(X^{\alpha },\mathbb{R}\right)）且\phi的临界点是问题（1）的弱解.

本文主要结果的证明是基于一个最小化结果和临界点理论， 用到的主要结论如下.

引理8^［25］ 如果\phi在一个自反的Banach空间X中是弱下半连续的，并且有一个有界最小序列， 那么\phi在X上有最小值.

定义5^{［26］ 假设X是一个Banach空间并且\phi \in C^{\mathrm{1}}\left(X,\mathbb{R}\right). 如果任意序列\left\{u_n\right\}\subset X，\phi \left(u_n\right)有界， {\phi }^{\text{'}}\left(u_n\right)\to \mathrm{0}蕴涵\left\{u_n\right\}有收敛子列， 则称泛函\phi满足Palais-Smale条件.}

引理9^{［25］ 令X是一个Banach空间，令\phi \in C^{\mathrm{1}}\left(X,\mathbb{R}\right)满足Palais-Smale条件. 假设存在u_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{1}}\in X和u_{\mathrm{0}}的\mathrm{\Omega }有界开放邻域，使得}

u_{\mathrm{1}}\in X\backslash \overline{\mathrm{\Omega }}和.

令

\mathrm{\Lambda }=\left\{h\in C\left(\left[\mathrm{0,1}\right],X\right):h\left(\mathrm{0}\right)=u_{\mathrm{0}},h\left(\mathrm{1}\right)=u_{\mathrm{1}}\right\}，

\tau =\underset{h\in \mathrm{\Lambda },s\in \left[\mathrm{0,1}\right]}{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\phi \left(h\left(s\right)\right)，

那么\tau是\phi的一个临界值， 使得存在u^{\mathrm{*}}有{\phi }^{\text{'}}\left(u^{\mathrm{*}}\right)=\mathrm{\Theta }和\phi \left(u^{\mathrm{*}}\right)=\tau， 其中，\tau >\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\phi \left(u_{\mathrm{0}}\right),\phi \left(u_{\mathrm{1}}\right)\right\}.

注1 对任意\left\{u_n\right\}\subset X， 如果\phi \left(u_n\right)有界且随着n\to \mathrm{\infty }， \left(\mathrm{1}+‖ u_n‖\right)‖{\phi }^{\text{'}}\left(u_n\right)‖\to \mathrm{0}时， \left\{u_n\right\}有收敛的子序列， 就说\phi满足条件（\mathrm{C}）.

如文献［27］所示， 可以用条件（\mathrm{C}）代替Palais-Smale条件来证明变形引理，证明定理3在条件（\mathrm{C}）下成立.

引理10^［28］ 令X是实Banach空间. 设\phi \in C^{\mathrm{1}}\left(X,\mathbb{R}\right)是偶泛函， 满足Palais-Smale条件且\phi \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}. 假设X=V\oplus E， 其中，V是无线维的， 并且\phi满足：

1） 存在\tilde{\alpha }>\mathrm{0}且\rho >\mathrm{0}使得\phi {|}_{\partial B_{\rho }\bigcap E}\ge \tilde{\alpha }， 其中，；

2） 对任何有限维子空间W\subset X， 有R=R\left(W\right)使得在W\backslash B_{R\left(W\right)}上\phi \left(u\right)\le \mathrm{0}，

那么， \phi具有一个临界值的无界序列.

3 主要结果

定理1 假设， 且以下条件成立：

（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{1}） 存在一个常数v>\mathrm{2}使得

\underset{\left| u \right|\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\frac{\underset{t\in \left[\mathrm{0},T\right]}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}F\left(t,u\right)-{\left|u\right|}^v}{{\left|u\right|}^{\mathrm{2}}}>-\mathrm{\infty }.

（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{2}） .

（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{3}） 存在一个常数\kappa >\mathrm{2}， L_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}， {\chi }_i\ge \mathrm{0}， 和， 使得对每个t\in \left[\mathrm{0},T\right]和u\in \mathbb{R}，\left| u \right|\ge L_{\mathrm{1}}， 有

\kappa F\left(t,u\right)-uf\left(t,u\right)\le {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^l}{\chi }_i{\left| u \right|}^{{\sigma }_i}+{\chi }_F{\left| u \right|}^{\mathrm{2}}，

， j=\mathrm{1},\cdots ,n.

（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{4}） 存在常数a_j^{″}>\mathrm{0}和{\gamma }_j^{″}>\mathrm{1}， j=\mathrm{1},\cdots ,n， 使得对所有的u\in \mathbb{R}，有

\left|I_j\left(u\right)\right|\le a_j^{″}{\left| u \right|}^{{\gamma }_j^{″}}，

如果f\left(t,u\right)和脉冲函数I_j\left(u\right)\left(j=\mathrm{1},\cdots ,n\right)关于变量u是奇函数， 那么问题（1）有无穷多个解.

证明 因为f:\left[\mathrm{0},T\right]\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}和I_j:\mathbb{R}\to \mathbb{R}， j=\mathrm{1},\cdots ,n,是连续函数， 那么\phi是连续的和连续可微的. 从式（17）的表达式和f\left(t,u\right)中u的奇特征以及脉冲函数I_j\left(u\right)， 可以看出\phi是偶的并且\phi \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}.

接下来证明\phi满足Palais-Smale条件.

令\left\{u_k\right\}\subset X^{\alpha }使得\left\{\phi \left(u_k\right)\right\}是一个有界序列，并且\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\phi }^{\text{'}}\left(u_k\right)=\mathrm{0}.

首先证明\left\{u_k\right\}也是X^{\alpha }中的一个有界序列. 令\mathrm{\Omega }=\left\{t\in \left[\mathrm{0},T\right]:\left| u_k\left(t\right)\right|\ge L_{\mathrm{1}}\right\}， 其中L_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}是（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{3}）中给定的. 通过式（17）、式（18）、假设（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{3}）、不等式（9）以及引理7， 得到

\begin{array}{l}\kappa \phi \left(u_k\right)-{\phi }^{\text{'}}\left(u_k\right)u_k=\\ \frac{\kappa }{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }{u}_k\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }{u}_k\left(t\right)\right)\mathrm{d}t+\\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{u_k\left(t_j\right)}\kappa I_j\left(s\right)\mathrm{d}s-\kappa {\int }_{\mathrm{0}}^{T}F\left(t,u_k\left(t\right)\right)\mathrm{d}t-\end{array}

{\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }{u}_k\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }{u}_k\left(t\right)\right)\mathrm{d}t-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{I}_j\left(u_k\left(t_j\right)\right)u_k\left(t_j\right)+{\int }_{\mathrm{0}}^{T}f\left(t,u_k\left(t\right)\right)u_k\left(t\right)\mathrm{d}t=

\left(\frac{\kappa }{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right){‖u_k‖}^{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^T\left(f\left(t,u_k\left(t\right)\right)u_k\left(t\right)-\kappa F\left(t,u_k\left(t\right)\right)\right)\mathrm{d}t+

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}\left(\kappa {\int }_{\mathrm{0}}^{u_k\left(t_j\right)}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s-I_j\left(u_k\left(t_j\right)\right)u_k\left(t_j\right)\right)\ge

\left(\frac{\kappa }{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right){‖u_k‖}^{\mathrm{2}}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^l}{\chi }_i{\left| u_k\left(t\right) \right|}^{{\sigma }_i}+{\chi }_F{\left| u_k\left(t\right) \right|}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}t-

T\underset{t\in \left[\mathrm{0},T\right],u_k\left(t\right)\in \left[-L_{\mathrm{1}},L_{\mathrm{1}}\right]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left|f\left(t,u_k\left(t\right)\right)u_k\left(t\right)-\kappa F\left(t,u_k\left(t\right)\right)\right|-

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}\underset{u_k\left(t_j\right)\in \left[-L_{\mathrm{1}},L_{\mathrm{1}}\right]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left|\kappa {\int }_{\mathrm{0}}^{u_k\left(t_j\right)}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s-I_j\left(u_k\left(t_j\right)\right)u_k\left(t_j\right)\right|\ge

\left(\frac{\kappa }{\mathrm{2}}-{\chi }_{F}T\frac{T^{\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}}}{{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\alpha \right)\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}\right){‖u_k‖}^{\mathrm{2}}-T{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^l}{\chi }_i{\left(\frac{T^{\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}/\mathrm{2}}}{{\eta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right){\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}}\right)}^{{\sigma }_i}{‖u_k‖}^{{\sigma }_i}-

T\underset{t\in \left[\mathrm{0},T\right],u_k\left(t\right)\in \left[-L_{\mathrm{1}},L_{\mathrm{1}}\right]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left|f\left(t,u_k\left(t\right)\right)u_k\left(t\right)-\kappa F\left(t,u_k\left(t\right)\right)\right|-

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}\underset{u_k\left(t_j\right)\in \left[-L_{\mathrm{1}},L_{\mathrm{1}}\right]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left|\kappa {\int }_{\mathrm{0}}^{u_k\left(t_j\right)}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s-I_j\left(u_k\left(t_j\right)\right)u_k\left(t_j\right)\right|，

由于\kappa >\mathrm{2}， 和， 因此\left\{u_k\right\}在X^{\alpha }中有界. 由于X^{\alpha }被紧凑地嵌入到C\left(\left[\mathrm{0},T\right]\right)， 可以推导出\left\{u_k\right\}有一个强收敛的子序列， 因此\phi满足Palais-Smale条件.

现在证明\phi满足引理10中的条件1）. 从假设（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{2}）中， 可以固定\vartheta使其满足

.（19）

因此，通过式（19）有

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}-\vartheta \frac{T^{\mathrm{2}\alpha }}{{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\alpha \right)\left(\alpha +\mathrm{1}\right)}>\mathrm{0}，

并且存在\delta >\mathrm{0}，使得对每一个t\in \left[\mathrm{0},T\right]和u\in \mathbb{R}，\left| u \right|\le \delta， 有

.（20）

鉴于条件（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{4}）、式（9）、式（20）和引理7，得到对任意u\in X^{\alpha }有

\begin{array}{l}\phi \left(u\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }u\left(t\right)\right) \mathrm{d}t+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{u\left(t_j\right)}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}F\left(t,u\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\ge \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\vartheta T\frac{T^{\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}}}{{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\alpha \right)\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}\right){‖ u ‖}^{\mathrm{2}}-\\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{a}_j^{″}{\left(\frac{T^{\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}/\mathrm{2}}}{{\eta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right){\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}}\right)}^{{\gamma }_j^{″}+\mathrm{1}}{‖ u ‖}^{{\gamma }_j^{″}+\mathrm{1}}.\end{array}

由于{\gamma }_j^{″}>\mathrm{1}， 前面的不等式意味着可以选择足够小的\rho >\mathrm{0}，使得具有‖ u ‖=\rho的\phi \left(u\right)\ge \tilde{\alpha }>\mathrm{0}.

接下来， 还需要证明\phi满足引理10中的条件2）. 设W\subset X^{\alpha }是一个有限维的子空间. 通过（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{3}）和类似文献［29］的方法， 存在一个常数K>\mathrm{0}，使得对任意u\in \mathbb{R}有

{\int }_{\mathrm{0}}^u{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s\le -k_j{\left|u\right|}^{\kappa }+K，（21）

其中，k_j=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{L_{\mathrm{1}}^{-\kappa }\left|{\int }_{\mathrm{0}}^{L_{\mathrm{1}}}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s\right|,L_{\mathrm{1}}^{-\kappa }\left|{\int }_{\mathrm{0}}^{-L_{\mathrm{1}}}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s\right|\right\}>\mathrm{0}.

通过（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{1}）， 存在一个常数，使得

\underset{\left| u \right|\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\frac{\underset{t\in \left[\mathrm{0},T\right]}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}F\left(t,u\right)-{\left|u\right|}^v}{{\left|u\right|}^{\mathrm{2}}}>\mathrm{𝓁}.

那么存在{\tilde{A}}_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}，使得对任意的t\in \left[\mathrm{0},T\right]， \left| u \right|\ge {\tilde{A}}_{\mathrm{1}}，有

F\left(t,u\right)-{\left| u \right|}^v>\mathrm{𝓁}{\left| u \right|}^{\mathrm{2}}，

因此存在一个常数b>\mathrm{0}，使得对所有的\left(t,u\right)\in \left[\mathrm{0},T\right]\times \mathbb{R}， 有

F\left(t,u\right)\ge \mathrm{𝓁}{\left| u \right|}^{\mathrm{2}}+{\left| u \right|}^v-b.（22）

故对任意r>\mathrm{0}和u\in W\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}，其中‖ u ‖=\mathrm{1}， 通过式（9）、式（21）、式（22）和引理7， 得到

\begin{array}{l}\phi \left(ru\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{r}^{\mathrm{2}}+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{ru\left(t_j\right)}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s-\\ {\int }_{\mathrm{0}}^{T}F\left(t,ru\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\le \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{r}^{\mathrm{2}}-\mathrm{𝓁}T\frac{T^{\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}}}{{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\alpha \right)\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}{r}^{\mathrm{2}}-\\ r^v{\int }_{\mathrm{0}}^T|u(t){|}^v\mathrm{d}t-r^{\kappa }{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{k}_j{\left|u\left(t_j\right)\right|}^{\kappa }+Kn+bT=\\ \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\mathrm{𝓁}\frac{T^{\mathrm{2}\alpha }}{{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\alpha \right)\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}\right)r^{\mathrm{2}}-\\ r^v{\int }_{\mathrm{0}}^T|u(t){|}^v\mathrm{d}t-r^{\kappa }{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{k}_j{\left|u\left(t_j\right)\right|}^{\kappa }+Kn+bT,\end{array}

由于v,\kappa >\mathrm{2}， 前面的不等式意味着， 存在r_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}使得对每个r\ge r_{\mathrm{0}}，有‖ ru ‖>\rho和. 因为W是一个有限维子空间， 在W中的所有范数是等价的. 因此类似文献［29］的证明过程， 对所有的u\in W\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}有‖ u ‖=\mathrm{1}， 可以选择相同的r_{\mathrm{0}}， 使得存在R\left(W\right)>\mathrm{0}，在W\backslash B_{R\left(W\right)}上有\phi \left(u\right)\le \mathrm{0}. 那么引理10中的所有条件都满足， 因此函数\phi有无穷多个临界点， 即问题（1）有无穷多个解.

定理2 假设， 并且以下条件成立：

（\mathrm{{\rm H}}{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}）， 其中{\eta }_{\mathrm{1}}是引理7中的定义.

（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{5}） 对任意j=\mathrm{1,2},\cdots ,n， 存在a_j>\mathrm{0}， b_j>\mathrm{0}和{\gamma }_j\in \left.\left[\mathrm{0,1}\right.\right)使得

和，

那么问题（1）至少有一个解.

证明 首先证明\phi是弱下半连续的.

令\left\{u_k\right\}\subset X^{\alpha }， u_k\to u在X^{\alpha }中， 可以看出\left\{u_k\right\}在C\left(\left[\mathrm{0},T\right]\right)中一致收敛于u且\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}{‖ u_k‖}_{\alpha }\ge {‖ u ‖}_{\alpha }. 然后利用f和I_j\left(j=\mathrm{1,2},\cdots ,n\right)的连续性， 可以得到

\begin{array}{l}\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\phi \left(u_k\right)=\\ \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }{u}_k\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }{u}_k\left(t\right)\right)\mathrm{d}t+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{u_k\left(t_j\right)}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}F\left(t,u_k\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\right)\ge \\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }u\left(t\right)\right) \mathrm{d}t+\end{array}

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{u\left(t_j\right)}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}F\left(t,u\left(t\right)\right)\mathrm{d}t=\phi \left(u\right)，

故\phi是弱下半连续的.

接下来证明\phi是强制的. 为此从（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{5}）中推断存在{\vartheta }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}和{\vartheta }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}，使得对所有的s\ge {\vartheta }_{\mathrm{1}}，有

I_j\left(s\right)>-b_j{\left| s \right|}^{{\gamma }_j}\ge -c_j{s}^{{\gamma }_j}，（23）

对所有的s\le -{\vartheta }_{\mathrm{2}}，有

，（24）

其中，c_j=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{a_j,b_j\right\}>\mathrm{0}， j=\mathrm{1,2},\cdots ,n.

因为I_j\left(s\right)+c_j{s}^{{\gamma }_j}和I_j\left(s\right)-c_j{\left(-s\right)}^{{\gamma }_j}是连续的， 存在d_j>\mathrm{0}，使得对所有的\mathrm{0}\le s\le {\vartheta }_{\mathrm{1}}，有

I_j\left(s\right)+c_j{s}^{{\gamma }_j}\ge -d_j，（25）

对所有的-{\vartheta }_{\mathrm{2}}\le s\le \mathrm{0}，有

I_j\left(s\right)-c_j{\left(-s\right)}^{{\gamma }_j}\le d_j.（26）

因此， 由式（23）和式（25）得到， 对所有的s\ge \mathrm{0}，有

I_j\left(s\right)\ge -c_j{s}^{{\gamma }_j}-d_j.

故对所有的e\ge \mathrm{0}，有

\begin{array}{l}{\int }_{\mathrm{0}}^e{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s\ge -\frac{c}{{\gamma }_j+\mathrm{1}}{e}^{{\gamma }_j+\mathrm{1}}-d_{j}e=\\ -\frac{c}{{\gamma }_i+\mathrm{1}}{\left| e \right|}^{{\gamma }_j+\mathrm{1}}-d_j\left| e \right|\end{array}.（27）

另外， 从式（24）和式（26）得到， 对所有的s\le \mathrm{0}，有

I_j\left(s\right)\le c_j{\left(-s\right)}^{{\gamma }_j}+d_j.

所以， 对所有的有

{\int }_e^{\mathrm{0}}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s\le \frac{c_j}{{\gamma }_j+\mathrm{1}}{\left(-e\right)}^{{\gamma }_j+\mathrm{1}}+d_j\left(-e\right)=\frac{c}{{\gamma }_i+\mathrm{1}}{\left| e \right|}^{{\gamma }_j+\mathrm{1}}+d_j\left| e \right|.（28）

因此， 从式（27）和式（28）得到， 对任何e\in \mathbb{R}，有

{\int }_{\mathrm{0}}^e{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s\ge -\frac{c_j}{{\gamma }_j+\mathrm{1}}{\left| e \right|}^{{\gamma }_j+\mathrm{1}}-d_j\left| e \right|.（29）

另一方面， 通过（\mathrm{{\rm H}}{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}）可以选择\mathrm{𝓁}>\mathrm{0}，使得

.

从上面的第一个不等式， 证明了对每一个t\in \left[\mathrm{0},T\right]和\left| u \right|足够大（\left| u \right|\ge \tilde{K}>\mathrm{0}），有. 由于\underset{t\in \left[\mathrm{0},T\right],u\in \left[-\tilde{K},\tilde{K}\right]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}F\left(t,u\right)是有限的， 那么存在一个常数b>\mathrm{0}， 使得对所有的\left(t,u\right)\in \left[\mathrm{0},T\right]\times \mathbb{R}，有

F\left(t,u\right)\le \mathrm{𝓁}{\left| u \right|}^{\mathrm{2}}+b.（30）

所以， 通过式（9）、式（17）、式（29）、式（30）和引理7， 得到对任意u\in X^{\alpha }，有

\phi \left(u\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }u\left(t\right)\right) \mathrm{d}t+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{u\left(t_j\right)}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}F\left(t,u\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\ge \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖ u ‖}^{\mathrm{2}}-\mathrm{𝓁}T\frac{T^{\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}}}{{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\alpha \right)\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}{‖ u ‖}^{\mathrm{2}}-\frac{T^{\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}/\mathrm{2}}}{{\eta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right){\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}}‖ u ‖\times {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}\left(\frac{c_j}{{\gamma }_j+\mathrm{1}}{\left(\frac{T^{\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}/\mathrm{2}}}{{\eta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right){\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}}\right)}^{{\gamma }_j}{‖ u ‖}^{{\gamma }_j+\mathrm{1}}+d_j\right)-bT.

因为和， 所以得到\underset{‖ u ‖\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\phi \left(u\right)=+\mathrm{\infty }， 也就是说\phi是强制的. 因此通过引理8， \phi有一个最小值， 这是\phi的一个临界点. 证毕.

定理3 假设， （\mathrm{{\rm H}}\mathrm{2}）成立， 并且假设下面两条件之一成立：

（\mathrm{{\rm H}}{\mathrm{5}}^{\mathrm{*}}） 对任意j=\mathrm{1,2},\cdots ,n， 存在a_j>\mathrm{0}和{\gamma }_j\in \left.\left[\mathrm{0,1}\right.\right)，使得

.

（\mathrm{{\rm H}}{\mathrm{6}}^{\mathrm{*}}） 对任意j=\mathrm{1,2},\cdots ,n， 存在a_j^{\text{'}}>\mathrm{0}， b_j^{\text{'}}>\mathrm{0}和{\gamma }_j^{\text{'}}\in \left.\left[\mathrm{0,1}\right.\right)， 使得对每个s\ge \mathrm{0}，有

I_j\left(s\right)\le a_j^{\text{'}}{s}^{{\gamma }_j^{\text{'}}}+b_j^{\text{'}}.

此外， 假设还满足以下条件：

（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{7}）\underset{\left| u \right|\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\frac{\underset{t\in \left[\mathrm{0},T/\mathrm{2}\right]}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}F\left(t,u\right)}{{\left|u\right|}^{\mathrm{2}}}>\frac{\mathrm{4}{\pi }^{\mathrm{2}}{T}^{\mathrm{3}-\mathrm{2}\alpha }}{\mathrm{3}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}-\alpha \right){\mathrm{2}}^{\mathrm{2}-\mathrm{2}\alpha }{T}^{\mathrm{3}}}.

（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{8}） 存在常数c>\mathrm{0}， A_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}和{\delta }_{\mathrm{1}}\ge \mathrm{2}， 使得对所有的\left(t,u\right)\in \left[\mathrm{0},T\right]\times \mathbb{R}，其中，\left| u \right|\ge A_{\mathrm{1}}， 有

F\left(t,u\right)\le c{\left| u \right|}^{{\delta }_{\mathrm{1}}}.

（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{9}） 存在常数\theta >\mathrm{0}， A_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}和{\mu }_{\mathrm{1}}\ge {\delta }_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}， 使得对所有的\left(t,u\right)\in \left[\mathrm{0},T\right]\times \mathbb{R}，其中，\left| u \right|\ge A_{\mathrm{2}}， 有

uf\left(t,u\right)-\mathrm{2}F\left(t,u\right)\ge \theta {\left| u \right|}^{{\mu }_{\mathrm{1}}}.

（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{10}） 对任意的u\in \mathbb{R}， 有\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^u{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s-u{I}_j\left(u\right)\ge \mathrm{0}和{\int }_{\mathrm{0}}^u{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s\ge \mathrm{0}.

那么问题（1）至少有一个非平凡解.

证明 假设（\mathrm{{\rm H}}{\mathrm{6}}^{\mathrm{*}}）成立， 首先证明映射\phi满足条件（\mathrm{C}）. 假设\left\{u_k\right\}\subset X^{\alpha }是\phi中的一个（\mathrm{C}）序列， 即\phi \left\{u_k\right\}是有界的并且随着k\to \mathrm{\infty }， \left(\mathrm{1}+‖ u_k‖\right)‖{\phi }^{\text{'}}\left(u_k\right)‖\to \mathrm{0}，那么存在一个常数\zeta >\mathrm{0}， 使得对任意的k\in \mathbb{N}，有

\left|\phi \left(u_k\right)\right|\le \zeta， \left(\mathrm{1}+‖ u_k‖\right)‖ {\phi }^{\text{'}}\left(u_k\right)‖\le \zeta，（31）

假设在前面的不等式中， 可以取范数{‖\cdot ‖}_{\mathrm{\infty }}.通过（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{9}）， 存在一个常数l_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}， 使得对所有的\left(t,u\right)\in \left[\mathrm{0},T\right]\times \mathbb{R}，有

uf\left(t,u\right)-\mathrm{2}F\left(t,u\right)\ge \theta {\left| u \right|}^{{\mu }_{\mathrm{1}}}-l_{\mathrm{1}}.（32）

从式（31）、式（32）和（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{10}），得出

\begin{array}{l}\mathrm{3}\zeta \ge \mathrm{2}\phi \left(u_k\right)-{\phi }^{\text{'}}\left(u_k\right)u_k=\\ {\int }_{\mathrm{0}}^T\left(f\left(t,u_k\left(t\right)\right)u_k\left(t\right)-\mathrm{2}F\left(t,u_k\left(t\right)\right)\right)\mathrm{d}t+\\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}\left(\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^{u_k\left(t_j\right)}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s-I_j\left(u_k\left(t_j\right)\right)u_k\left(t_j\right)\right)\ge \\ \theta {{\int }_{\mathrm{0}}^T\left| u_k\left(t\right)\right|}^{{\mu }_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}t-l_{\mathrm{1}}T,\end{array}

因此，{{\int }_{\mathrm{0}}^T\left| u_k\left(t\right)\right|}^{{\mu }_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}t是有界的.

根据（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{2}）和（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{8}）， 存在\varsigma >\mathrm{0}，使得对所有的\left(t,u\right)\in \left[\mathrm{0},T\right]\times \mathbb{R}，有

F\left(t,u\right)\le \vartheta {\left| u \right|}^{\mathrm{2}}+\varsigma {\left| u \right|}^{{\delta }_{\mathrm{1}}}.（33）

通过式（19）、式（31）、式（33）和（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{10}），有

\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{0}}\ge \phi \left( u_k\right)=\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }{u}_k\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }{u}_k\left(t\right)\right)\mathrm{d}t+\\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{u_k\left(t_j\right)}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}F\left(t,u_k\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\ge \\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖ u_k‖}^{\mathrm{2}}-{\int }_{\mathrm{0}}^T\left(\vartheta {\left| u_k\left(t\right) \right|}^{\mathrm{2}}+\varsigma {\left| u_k\left(t\right) \right|}^{{\delta }_{\mathrm{1}}}\right) \mathrm{d}t\ge \\ \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\vartheta T\frac{T^{\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}}}{{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\alpha \right)\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}\right){‖ u_k‖}^{\mathrm{2}}-\\ \varsigma {\int }_{\mathrm{0}}^T {\left|\left.u_k\left(t\right)\right|\right.}^{{\delta }_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}t.(\mathrm{34})\end{array}

如果{\mu }_{\mathrm{1}}>{\delta }_{\mathrm{1}}， 利用Hölder不等式可以得到

{{\int }_{\mathrm{0}}^T \left| u_k\left(t\right) \right|}^{{\delta }_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}t\le T^{\frac{{\mu }_{\mathrm{1}}-{\delta }_{\mathrm{1}}}{{\mu }_{\mathrm{1}}}}{\left({{\int }_{\mathrm{0}}^T \left| u_k\left(t\right) \right|}^{{\mu }_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}t\right)}^{\frac{{\delta }_{\mathrm{1}}}{{\mu }_{\mathrm{1}}}}.

结合式（34），并考虑到{{\int }_{\mathrm{0}}^T \left| u_k\left(t\right) \right|}^{{\mu }_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}t的有界性和式（19）中的不等式， 可以得到\left\{ u_k\right\}在X^{\alpha }上是有界的.

另一方面， 如果， 通过式（9）和引理7，有

\begin{array}{l}{{\int }_{\mathrm{0}}^T \left| u_k\left(t\right) \right|}^{{\delta }_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}t={{\int }_{\mathrm{0}}^T\left| u_k\left(t\right)\right|}^{{\delta }_{\mathrm{1}}-{\mu }_{\mathrm{1}}}{\left| u_k\left(t\right)\right|}^{{\mu }_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}t\le \\ {‖ u_k‖}_{\mathrm{\infty }}^{{\delta }_{\mathrm{1}}-{\mu }_{\mathrm{1}}}{\int }_{\mathrm{0}}^T{\left| u_k\left(t\right)\right|}^{{\mu }_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}t\le \\ {\left(\frac{T^{\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}/\mathrm{2}}}{{\eta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right){\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}}\right)}^{{\delta }_{\mathrm{1}}-{\mu }_{\mathrm{1}}}{‖ u_k‖}^{{\delta }_{\mathrm{1}}-{\mu }_{\mathrm{1}}}{\int }_{\mathrm{0}}^T{\left| u_k\left(t\right)\right|}^{{\mu }_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}t.\end{array}

从式（34）、式（19）中的不等式和，得到\left\{ u_k\right\}在X^{\alpha }上是有界的.

因此在任何情况下， \left\{ u_k\right\}在X^{\alpha }中有界. 由于X^{\alpha }被紧嵌入到C\left(\left[\mathrm{0},T\right]\right)中， 那么通过论证，可以推导出\left\{ u_k\right\}有一个强收敛的子序列， 故\phi满足条件（\mathrm{C}）.

现在， 对任意u\in X^{\alpha }有

‖u ‖\le \frac{\delta {\eta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right){\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}}{T^{\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}/\mathrm{2}}}，

其中，\delta是式（20）中定义的. 利用式（9）和引理7， 得到{‖ u ‖}_{\mathrm{\infty }}\le \delta. 所以通过（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{10}）， 式（9）、式（20）和引理7， 得到

\begin{array}{l}\phi \left(u\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }u\left(t\right)\right) \mathrm{d}t+\\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{u\left(t_j\right)}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}F\left(t,u\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\ge \\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖ u ‖}^{\mathrm{2}}-{{\int }_{\mathrm{0}}^T\vartheta \left| u\left(t\right) \right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t\ge \\ \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\vartheta T\frac{T^{\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}}}{{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\alpha \right)\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}\right){‖ u ‖}^{\mathrm{2}}.\end{array}

取

{\beta }_{\mathrm{1}}=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\vartheta \frac{T^{\mathrm{2}\alpha }}{{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\alpha \right)\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}\right)\frac{{\delta }^{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\alpha \right)\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}{T^{\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}}}，

{\rho }_{\mathrm{1}}=\frac{\delta {\eta }_{\mathrm{1}}\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right){\left(\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}}{T^{\mathrm{2}\alpha -\mathrm{1}/\mathrm{2}}}，

那么对任意的u\in \partial B_{\rho }，有\phi \left(u\right)\ge {\beta }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}， 其中，.

因为（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{7}）， 故对\epsilon >\mathrm{0}固定到足够小， 存在A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}>\mathrm{0}，使得对所有的t\in \left[\mathrm{0},\frac{T}{\mathrm{2}}\right]且\left| u \right|\ge A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}， 其中{\omega }_{\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{2}\pi }{T}，有

F\left(t,u\right)\ge \left(\frac{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{T}^{\mathrm{3}-\mathrm{2}\alpha }+\epsilon }{\mathrm{3}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}-\alpha \right){\mathrm{2}}^{\mathrm{2}-\mathrm{2}\alpha }{T}^{\mathrm{3}}}\right){\left| u \right|}^{\mathrm{2}}.

令A_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\underset{t\in \left[\mathrm{0},\frac{T}{\mathrm{2}}\right],\left| u \right|\le A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left|F\left(t,u\right)\right|， 可得到对所有的t\in \left[\mathrm{0},\frac{T}{\mathrm{2}}\right]和u\in \mathbb{R}，有

\begin{array}{l}F\left(t,u\right)\ge \left(\frac{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{T}^{\mathrm{3}-\mathrm{2}\alpha }+\epsilon }{\mathrm{3}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}-\alpha \right){\mathrm{2}}^{\mathrm{2}-\mathrm{2}\alpha }{T}^{\mathrm{3}}}\right)\times \left({\left| u \right|}^{\mathrm{2}}-{\left(A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}\right)-\\ A_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}\end{array}.（35）

定义

w\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}{\theta }_{\mathrm{0}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\omega }_{\mathrm{0}}t\right)\right), t\in \left[\mathrm{0},\frac{T}{\mathrm{2}}\right],\\ \mathrm{0} ,\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}t\in \left[\frac{T}{\mathrm{2}},T\right],\end{array}\right.

其中，{\theta }_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}， 很显然w\in X^{\alpha }且

\begin{array}{l}{‖w ‖}^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }w,{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }w\right)\mathrm{d}t=\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^T\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }\left(\mathrm{1}-\alpha \right)}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\left(t-s\right)}^{-\alpha }{w}^{\text{'}}\left(s\right)\mathrm{d}s,\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }\left(\mathrm{1}-\alpha \right)}{\int }_t^T{\left(s-t\right)}^{-\alpha }{w}^{\text{'}}\left(s\right)\mathrm{d}s\right)\mathrm{d}t=\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}-\alpha \right)}\left\{{\int }_{\mathrm{0}}^{T/\mathrm{2}}\left({\int }_{\mathrm{0}}^t{\left(t-s\right)}^{-\alpha }\left({\theta }_{\mathrm{0}}{\omega }_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\omega }_{\mathrm{0}}s\right)\right)\mathrm{d}s,{\int }_t^{T/\mathrm{2}}{\left(s-t\right)}^{-\alpha }\left({\theta }_{\mathrm{0}}{\omega }_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\omega }_{\mathrm{0}}s\right)\right)\mathrm{d}s\right)\mathrm{d}t\right\}\le \\ \frac{{{\theta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\omega }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}-\alpha \right){\mathrm{2}}^{\mathrm{3}-\mathrm{2}\alpha }}{T}^{\mathrm{3}-\mathrm{2}\alpha }.\end{array}

从（\mathrm{{\rm H}}{\mathrm{6}}^{\mathrm{*}}）、（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{7}）和式（35）得到

\begin{array}{l}\phi \left(w\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }w\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }w\left(t\right)\right) \mathrm{d}t+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{w\left(t_j\right)}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}F\left(t,w\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\le \\ \frac{{{\theta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\omega }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}-\alpha \right){\mathrm{2}}^{\mathrm{3}-\mathrm{2}\alpha }}{T}^{\mathrm{3}-\mathrm{2}\alpha }-{{\theta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\frac{T}{\mathrm{2}}}\left(\frac{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{T}^{\mathrm{3}-\mathrm{2}\alpha }+\epsilon }{\mathrm{3}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}-\alpha \right){\mathrm{2}}^{\mathrm{2}-\mathrm{2}\alpha }T}\right){\left| \mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\omega }_{\mathrm{0}}t\right) \right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t+\\ \frac{T}{\mathrm{2}}\left[\left(\frac{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{T}^{\mathrm{3}-\mathrm{2}\alpha }+\epsilon }{\mathrm{3}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}-\alpha \right){\mathrm{2}}^{\mathrm{2}-\mathrm{2}\alpha }{T}^{\mathrm{3}}}\right){\left(A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}\right]+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}\left(a_j^{\text{'}}{\theta }_{\mathrm{0}}^{{\gamma }_j+\mathrm{1}}+b_j^{\text{'}}{\theta }_{\mathrm{0}}\right)=\\ \frac{{{\theta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\omega }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}-\alpha \right){\mathrm{2}}^{\mathrm{3}-\mathrm{2}\alpha }}{T}^{\mathrm{3}-\mathrm{2}\alpha }-{\theta }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\frac{T}{\mathrm{2}}\left(\frac{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{T}^{\mathrm{3}-\mathrm{2}\alpha }+\epsilon }{\mathrm{3}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}-\alpha \right){\mathrm{2}}^{\mathrm{2}-\mathrm{2}\alpha }T}\right)+\\ \frac{T}{\mathrm{2}}\left[\left(\frac{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{T}^{\mathrm{3}-\mathrm{2}\alpha }+\epsilon }{\mathrm{3}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}-\alpha \right){\mathrm{2}}^{\mathrm{2}-\mathrm{2}\alpha }{T}^{\mathrm{3}}}\right){\left(A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}\right]+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}\left(a_j^{\text{'}}{\theta }_{\mathrm{0}}^{{\gamma }_j+\mathrm{1}}+b_j^{\text{'}}{\theta }_{\mathrm{0}}\right)=\\ -\frac{\epsilon }{\mathrm{2}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}-\alpha \right){\mathrm{2}}^{\mathrm{3}-\mathrm{2}\alpha }}{{\theta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\frac{T}{\mathrm{2}}\left[\left(\frac{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{T}^{\mathrm{3}-\mathrm{2}\alpha }+\epsilon }{\mathrm{3}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}-\alpha \right){\mathrm{2}}^{\mathrm{2}-\mathrm{2}\alpha }{T}^{\mathrm{3}}}\right){\left(A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}\right]+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}\left(a_j^{\text{'}}{\theta }_{\mathrm{0}}^{{\gamma }_j+\mathrm{1}}+b_j^{\text{'}}{\theta }_{\mathrm{0}}\right),\end{array}

当{\theta }_{\mathrm{0}}\to +\mathrm{\infty }时（由于）， 上式\to -\mathrm{\infty }.那么存在足够大的\theta，使得‖ w ‖>{\rho }_{\mathrm{1}}且. 令u_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}和u_{\mathrm{1}}=w， 由于\phi \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}，故满足引理9中的所有条件. 因此根据引理9， \phi有一个临界值\tilde{\tau }>\mathrm{0}， 其中，

\tilde{\tau }=\underset{h\in \mathrm{\Lambda },s\in \left[\mathrm{0,1}\right]}{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\phi \left(h\left(s\right)\right)，

\mathrm{\Lambda }=\left\{h\in C\left(\left[\mathrm{0,1}\right],X^{\alpha }\right):h\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0},h\left(\mathrm{1}\right)=w\right\}.

因此， 存在\tilde{u}\in X^{\alpha }，使得

\phi \left(\tilde{u}\right)=\tilde{\tau }， {\phi }^{\text{'}}\left(\tilde{u}\right)=\mathrm{0}.

那么\tilde{u}是问题（1）的一个弱解. 从\tilde{\tau }>\mathrm{0}可知\tilde{u}是一个非平凡解.

推论1 定理3的结论适用于\alpha =\mathrm{1}， 通过替换条件（\mathrm{{\rm H}}\mathrm{7}）如下：

（\mathrm{{\rm H}}{\mathrm{7}}^{\mathrm{*}}）\underset{\left| u \right|\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\frac{\underset{t\in \left[\mathrm{0},T/\mathrm{2}\right]}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}F\left(t,u\right)}{{\left|u\right|}^{\mathrm{2}}}>\frac{\mathrm{4}{\pi }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{6}{T}^{\mathrm{2}}}>\mathrm{0}.

证明 因为（\mathrm{{\rm H}}{\mathrm{7}}^{\mathrm{*}}）， 故对\epsilon >\mathrm{0}固定足够小， 存在A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}>\mathrm{0}，使得对所有的t\in \left[\mathrm{0},\frac{T}{\mathrm{2}}\right]且\left| u \right|\ge A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}，有

F\left(t,u\right)\ge \left(\frac{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}+\epsilon }{\mathrm{6}}\right){\left| u \right|}^{\mathrm{2}}，

其中，{\omega }_{\mathrm{0}}是定理3证明中的定义.

然后取A_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\underset{t\in \left[\mathrm{0},\frac{T}{\mathrm{2}}\right],\left| u \right|\le A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left|F\left(t,u\right)\right|， 可得到对所有的t\in \left[\mathrm{0},\frac{T}{\mathrm{2}}\right]和u\in \mathbb{R}，有

F\left(t,u\right)\ge \left(\frac{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}+\epsilon }{\mathrm{6}}\right)\times \left({\left| u \right|}^{\mathrm{2}}-{\left(A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}\right)-A_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}.（36）

再次考虑在定理3证明中定义的w，通过（\mathrm{{\rm H}}{\mathrm{6}}^{\mathrm{*}}）、（\mathrm{{\rm H}}{\mathrm{7}}^{\mathrm{*}}）和式（36）得到

\begin{array}{l}\phi \left(w\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^T\left({}_{\mathrm{0}}{}^c{D}_t^{\alpha }w\left(t\right),{}_t{}^{c}D{D}_T^{\alpha }w\left(t\right)\right) \mathrm{d}t+\\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\int }_{\mathrm{0}}^{w\left(t_j\right)}{I}_j\left(s\right)\mathrm{d}s-{\int }_{\mathrm{0}}^{T}F\left(t,w\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\le \end{array}

\begin{array}{l}\frac{{{\theta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\omega }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}T-{{\theta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^{\frac{T}{\mathrm{2}}}\left(\frac{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}+\epsilon }{\mathrm{6}}\right){\left| \mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\omega }_{\mathrm{0}}t\right) \right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}t+\\ \frac{T}{\mathrm{2}}\left[\left(\frac{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}+\epsilon }{\mathrm{6}}\right){\left(A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}\right]+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}\left(a_j^{\text{'}}{\theta }_{\mathrm{0}}^{{\gamma }_j+\mathrm{1}}+b_j^{\text{'}}{\theta }_{\mathrm{0}}\right)=\end{array}

\frac{{{\theta }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\omega }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}T-{\theta }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\frac{T}{\mathrm{2}}\left(\frac{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}+\epsilon }{\mathrm{6}}\right)+\frac{T}{\mathrm{2}}\left[\left(\frac{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}+\epsilon }{\mathrm{6}}\right){\left(A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}\right]+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}\left(a_j^{\text{'}}{\theta }_{\mathrm{0}}^{{\gamma }_j+\mathrm{1}}+b_j^{\text{'}}{\theta }_{\mathrm{0}}\right)=

-\frac{\epsilon }{\mathrm{8}}{\theta }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}T+\frac{T}{\mathrm{2}}\left[\left(\frac{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}+\epsilon }{\mathrm{6}}\right){\left(A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}\right]+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}\left(a_j^{\text{'}}{\theta }_{\mathrm{0}}^{{\gamma }_j+\mathrm{1}}+b_j^{\text{'}}{\theta }_{\mathrm{0}}\right)，

当{\theta }_{\mathrm{0}}\to +\mathrm{\infty }时（由于）， 上式\to -\mathrm{\infty }.因此存在足够大的{\theta }_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}，使得‖ w ‖>{\rho }_{\mathrm{1}}且， 该证明与定理3的证明是类似的.

参考文献

[1] EL-SAYED A M. Nonlinear functional differential equations of arbitrary orders［J］. Nonlinear Analysis： Theory， Methods & Applications， 1998， 33（2）： 181-186.

[2] KILBAS A A， TRUJILLO J J. Differential equations of fractional order： methods results and problem-I［J］. Applicable Analysis， 2001， 78（1-2）： 153-192.

[3] KILBAS A A， TRUJILLO J J. Differential equations of fractional order： methods， results and problems-II［J］. Applicable Analysis， 2002， 81（2）： 435-493.

[4] JIAO F， ZHOU Y. Existence of solutions for a class of fractional boundary value problems via critical point theory［J］. Computers & Mathematics with Applications， 2011， 62（3）： 1181-1199.

[5] JIAO F， ZHOU Y. Existence results for fractional boundary value problem via critical point theory［J/OL］. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2012， 22（4） ［2024-01-15］.

[6] BAI C. Existence of three solutions for a nonlinear fractional boundary value problem via a critical points theorem［J/OL］. Abstract and Applied Analysis， 2012 ［2024-01-15］.

[7] JIAO F， ZHOU Y. Existence results for fractional boundary value problem via critical point theory［J］. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2012（22）： 1-17.

[8] SUN H R， ZHANG Q G. Existence of solutions for a fractional boundary value problem via the Mountain Pass method and an iterative technique［J］. Computers & Mathematics with Applications， 2012， 64（10）： 3436-3443.

[9] CHEN J， TANG X H. Existence and multiplicity of solutions for some fractional boundary value problem via critical point theory［J/OL］. Abstract and Applied Analysis， 2012 ［2024-01-15］.

[10] TENG K. Infinitely many solutions for a class of fractional boundary value problems with nonsmooth potential［J/OL］. Abstract and Applied Analysis， 2013 ［2024-01-15］.

[11] CHEN J， TANG X H. Infinitely many solutions for a class of fractional boundary value problem［J］. Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society， 2013， 36（4）： 1083-1097.

[12] LAKSHMIKANTHAM V， BAINOV D D， SIMEONOV P S. Theory of impulsive differential equations［M］. Singapore： World Scientific， 1989.

[13] SAMOILENKO A M， PERESTYUK N A. Impulsive differential equations［M］. Singapore： World Scientific， 1995.

[14] GEORGE R K， NANDAKUMARAN A K， ARAPOSTATHIS A. A note on controllability of impulsive systems［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2000， 241（2）： 276-283.

[15] SHEN J， LI J. Existence and global attractivity of positive periodic solutions for impulsive predator-prey model with dispersion and time delays［J］. Nonlinear Analysis： Real World Applications， 2009， 10（1）： 227-243.

[16] DAI B， SU H， HU D. Periodic solution of a delayed ratio-dependent predator-prey model with monotonic functional response and impulse［J］. Nonlinear Analysis： Theory， Methods & Applications， 2009， 70（1）： 126-134.

[17] BONANNO G， BISCI G M. Infinitely many solutions for a boundary value problem with discontinuous nonlinearities［J/OL］. Boundary Value Problems， 2009［2024-01-15］.

[18] CAO J， CHEN H. Impulsive fractional differential equations with nonlinear boundary conditions［J］. Mathematical and Computer Modelling， 2012， 55（3-4）： 303-311.

[19] ZHANG X， ZHU C， WU Z. Solvability for a coupled system of fractional differential equations with impulses at resonance［J］. Boundary Value Problems， 2013 （1）： 1-23.

[20] LIU Z， LU L， SZÁNTÓ I. Existence of solutions for fractional impulsive differential equations with p-Laplacian operator［J］. Acta Mathematica Hungarica， 2013， 141（3）： 203-219.

[21] BONANNO G， RODRÍGUEZ-LÓPEZ R， TERSIAN S. Existence of solutions to boundary value problem for impulsive fractional differential equations［J］. Fractional Calculus and Applied Analysis， 2014， 17： 717-744.

[22] RODRÍGUEZ-LÓPEZ R， TERSIAN S. Multiple solutions to boundary value problem for impulsive fractional differential equations［J］. Fractional Calculus and Applied Analysis， 2014， 17（4）： 1016-1038.

[23] NYAMORADI N， RODRÍGUEZ-LÓPEZ R. On boundary value problems for impulsive fractional differential equations［J］. Applied Mathematics and Computation， 2015， 271： 874-892.

[24] KILBAS A A， SRIVASTAVA H M， TRUJILLO J J. Theory and applications of fractional differential equations［M］. Amsterdam： Elsevier， 2006.

[25] MAWHIN J. Critical point theory and Hamiltonian systems［M］. New York： Springer Science & Business Media， 2013.

[26] 郭大钧. 非线性泛函分析［M］. 北京： 高等教育出版社， 2005.

[27] GUO D J. Nonlinear function analysis［M］. Beijing： Higher Education Press， 2005. （Ch）.

[28] BARTOLO P， BENCI V， FORTUNATO D. Abstract critical point theorems and applications to some nonlinear problems with “strong” resonance at infinity［J］. Nonlinear Analysis： Theory， Methods & Applications， 1983， 7（9）： 981-1012.

[29] RABINOWITZ， PAUL H. Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations［M］. USA： American Mathematical Society， 1986.

[30] ZHANG D， DAI B， CHEN Y. Existence of solutions for a damped nonlinear impulsive problem with Dirichlet boundary conditions［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2014， 37（10）： 1538-1552.

基金资助

国家自然科学基金项目(11961039)