带组合非线性项的双波动方程耦合系统解的破裂

Blow-up of solutions to a coupled system of double wave equations with combined nonlinearities

摘要

本文研究了一类带组合非线性项与小初值的双波动方程耦合方程组的Cauchy问题解的破裂性态. 通过构造泛函，建立泛函的下界估计，运用迭代方法，在次临界情形得到解的破裂，进而建立解的生命跨度的上界估计.

Abstract

This paper aims to investigate blow-up dynamics of solutions to the small data Cauchy problem for a coupled system of double wave equations with combined nonlinearities. By establishing lower bound estimates of the constructed functionals and using iteration method， blow-up and upper bound lifespan estimate of solutions in the sub-critical case was deduced.

关键词

组合非线性项 / 双波动方程组 / 迭代方法 / 破裂 / 生命跨度估计

Key words

combined nonlinearities / coupled double wave equations / iteration approach / blow-up / lifespan estimate

本文研究如下具有组合非线性项的双波动方程耦合方程组的Cauchy问题：

\left\{\begin{array}{l}({\partial }_t^{\mathrm{2}}{-\mathrm{\Delta })}^{\mathrm{2}}u={\left|v(t,x)\right|}^{p_{\mathrm{1}}}+{\left|v_t(t,x)\right|}^{q_{\mathrm{1}}},\hspace{1em}(x,t)\in {\mathbb{R}}^n\times (\mathrm{0},T),\\ ({\partial }_t^{\mathrm{2}}{-\mathrm{\Delta })}^{\mathrm{2}}v={\left|u(t,x)\right|}^{p_{\mathrm{2}}}+{\left|u_t(t,x)\right|}^{q_{\mathrm{2}}},(x,t)\in {\mathbb{R}}^n\times (\mathrm{0},T),\\ (u,u_t,u_{tt},u_{ttt})(\mathrm{0},x)=\epsilon (u_{\mathrm{0}}(x),u_{\mathrm{1}}(x),u_{\mathrm{2}}(x),u_{\mathrm{3}}(x)),\hspace{1em}x\in {\mathbb{R}}^n,\\ (v,v_t,v_{tt},v_{ttt})(\mathrm{0},x)=\epsilon (v_{\mathrm{0}}(x),v_{\mathrm{1}}(x),v_{\mathrm{2}}(x),v_{\mathrm{3}}(x)),\hspace{1em}x\in {\mathbb{R}}^n,\end{array}\right.（1）

其中，\mathrm{\Delta }={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x_i^{\mathrm{2}}}是Laplace算子，({\partial }_t^{\mathrm{2}}{-\mathrm{\Delta })}^{\mathrm{2}}u=u_{tttt}-\mathrm{2}\mathrm{\Delta }{u}_{tt}+{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}u，p_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{p}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{q}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{q}_{\mathrm{2}}\mathrm{均大}\mathrm{于}\mathrm{1}，\epsilon为任意给定的正常数. 记B_{\mathbb{R}}(\mathrm{0})=\{x||x|\le \mathbb{R}\},\mathbb{R}\ge \mathrm{4}. 设u_i,v_i\in L_{loc}^{\mathrm{1}}({\mathbb{R}}^n)(i=\mathrm{0,1},\mathrm{2,3})为具有紧支集的非负光滑函数，并且\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\{u_i,v_i\}\subset B_{\mathbb{R}}(\mathrm{0}),i=\mathrm{0,1},\mathrm{2,3}.

近来，非线性波动方程解的破裂性态和生命跨度的估计被广泛关注^［1-14］. Han^［1］研究了波动方程u_{tt}-\mathrm{\Delta }u=|u{|}^p的小初值问题，该方程具有Strauss指数p_S(n). 当n=\mathrm{1}时，p_S(n)=\mathrm{\infty }. 当n\ge \mathrm{2}时，p_S(n)是二次方程-(n-\mathrm{1})p^{\mathrm{2}}+(n+\mathrm{1})p+\mathrm{2}=\mathrm{0}的正根.Zhou^［2］研究了具有导数型非线性项的波动方程u_{tt}-\mathrm{\Delta }u=|u_t{|}^p的Cauchy问题，得到临界指数（即Glassey指数）p_G(n)=(n+\mathrm{1})/(n-\mathrm{1}). 当时，方程的解在有限时间内破裂. 当p>p_G(n)时，方程存在唯一的整体解.Ouyang^［3］研究了具有组合非线性项的双波动方程({\partial }_t^{\mathrm{2}}{-\mathrm{\Delta })}^{\mathrm{2}}u(t,x)={\left|u(t,x)\right|}^p+{\left|u_t(t,x)\right|}^q的初值问题，通过构造泛函和迭代方法，得到解会在有限时间破裂，并给出解的生命跨度上界估计.Ikeda等^［4］研究了非线性波动方程{\partial }_t^{\mathrm{2}}u(x,t)-\mathrm{\Delta }u(x,t)=G(u(x,t),{\partial }_{t}u(x,t))的小初值问题及其弱耦合系统，其中，非线性项包含解及其时间偏导数的多项式， 证明了解会在有限时间破裂以及生命跨度的上界估计. 文献［5-7］研究了经典波动方程的弱耦合方程组u_{tt}-\mathrm{\Delta }u=|v{|}^p，v_{tt}-\mathrm{\Delta }v=|u{|}^q，其中，非线性项指数对(p,q)的临界曲线满足\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{(p+\mathrm{2}+q^{-\mathrm{1}})/(pq-\mathrm{1}),(q+\mathrm{2}+p^{-\mathrm{1}})/(pq-\mathrm{1})\}=(n-\mathrm{1})/\mathrm{2}.文献［8］研究了带记忆项的波动方程u_{tt}-\mathrm{\Delta }u=N_{\gamma ,p}(u)的Cauchy问题，得到解具有临界指数p_{\mathrm{0}}(n,\gamma )，并且给出解会在有限时间破裂的结果，当n=\mathrm{1}时，p_{\mathrm{0}}(n,\gamma )=\mathrm{\infty }； 当n\ge \mathrm{2}时，p_{\mathrm{0}}(n,\gamma )是二次方程-(n-\mathrm{1})p^{\mathrm{2}}+(n-\mathrm{2}\gamma +\mathrm{3})p+\mathrm{2}=\mathrm{0}的正根.其它相关研究见文献［9-14］，而关于带组合非线性项的双波动方程耦合方程组解的破裂尚无研究结果.因此，本文拟利用迭代方法研究问题（1）解的破裂性态. 主要结果如下.

定理1 设p,q>\mathrm{1}，，且\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{q_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}(\mathrm{3}{p}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}),q_{\mathrm{2}}^{-\mathrm{1}}(\mathrm{3}{p}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})\}>(n-\mathrm{1})/\mathrm{2}. 设(u_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},u_{\mathrm{3}},v_{\mathrm{0}},v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}})\in (H^{\mathrm{3}}({\mathbb{R}}^n)\times H^{\mathrm{2}}({\mathbb{R}}^n)\times H^{\mathrm{1}}({\mathbb{R}}^n)\times L^{\mathrm{2}}({\mathbb{R}}^n{))}^{\mathrm{2}}是非负光滑函数，且不恒为0，\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\{u_i,v_i\}\subset B_{\mathbb{R}}(\mathrm{0})，i=\mathrm{0,1},\mathrm{2,3}. 假设

{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}(u_{\mathrm{3}}(x)+u_{\mathrm{2}}(x)-u_{\mathrm{1}}(x)-u_{\mathrm{0}}(x))\Phi (x)dx\ge \mathrm{0}，

{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}(v_{\mathrm{3}}(x)+v_{\mathrm{2}}(x)-v_{\mathrm{1}}(x)-v_{\mathrm{0}}(x))\Phi (x)dx\ge \mathrm{0}，

\begin{array}{c}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}(u_{\mathrm{3}}(x)-u_{\mathrm{1}}(x))\mathrm{\Phi }(x)\mathrm{d}x\ge \mathrm{0},\\ \hspace{1em}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}(v_{\mathrm{3}}(x)-v_{\mathrm{1}}(x))\mathrm{\Phi }(x)\mathrm{d}x\ge \mathrm{0},\end{array}

其中，\Phi (x)在下文中定义. 如果(u,v)是问题（1）的解，并且满足

\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\{u,v\}\subset \{(t,x)\in [\mathrm{0},T)\times {\mathbb{R}}^n||x|\le t+\mathbb{R}\}，

那么存在正常数{\epsilon }_{\mathrm{0}}={\epsilon }_{\mathrm{0}}(u_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},u_{\mathrm{3}},v_{\mathrm{0}},v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}},\mathbb{R})，使得当\epsilon \in (\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{0}}]时，解(u,v)会在有限时间破裂，其生命跨度的上界估计为

T(\epsilon )\le C{\epsilon }^{-\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{Y_{\mathrm{1}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}}),Y_{\mathrm{2}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}}{)\}}^{-\mathrm{1}}}，

其中，正常数C与\epsilon无关，

\begin{array}{l}{Y}_{\mathrm{1}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}})=\\ q_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}(\mathrm{3}{p}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})-(n-\mathrm{1})/\mathrm{2},\end{array}

\begin{array}{l}{Y}_{\mathrm{2}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}})=\\ q_{\mathrm{2}}^{-\mathrm{1}}(\mathrm{3}{p}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})-(n-\mathrm{1})/\mathrm{2}.\end{array}

定义1 若(u,v)是问题（1）的弱解，则

u,v\in C([\mathrm{0},T),H^{\mathrm{3}}({\mathbb{R}}^n))\bigcap C^{\mathrm{1}}([\mathrm{0},T),H^{\mathrm{2}}({\mathbb{R}}^n))\bigcap C^{\mathrm{2}}([\mathrm{0},T),H^{\mathrm{1}}({\mathbb{R}}^n))\bigcap C^{\mathrm{3}}([\mathrm{0},T),L^{\mathrm{2}}({\mathbb{R}}^n))，

u\in L_{loc}^q([\mathrm{0},T)\times {\mathbb{R}}^n)，v\in L_{loc}^p([\mathrm{0},T)\times {\mathbb{R}}^n)，

满足

\begin{array}{l}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{ttt}(t,x)\varphi (t,x)\mathrm{d}x-{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{ttt}(s,x){\varphi }_t(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\\ \mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\nabla u_{tt}(s,x)\cdot \nabla \varphi (s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(s,x){\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}\varphi (s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s=\\ {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|v(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{1}}}\varphi (s,x)dxds+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|v_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{1}}}\varphi (s,x)dxds+{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{ttt}(\mathrm{0},x)\varphi (\mathrm{0},x)\mathrm{d}x,(\mathrm{2})\end{array}

\begin{array}{l}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{ttt}(t,x)\phi (t,x)\mathrm{d}x-{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{ttt}(s,x){\phi }_t(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\\ \mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\nabla v_{tt}(s,x)\cdot \nabla \phi (s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}v(s,x){\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}\phi (s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s=\\ {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|u(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{2}}}\phi (s,x)dxds+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|u_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{2}}}\phi (s,x)dxds+{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{ttt}(\mathrm{0},x)\phi (\mathrm{0},x)\mathrm{d}x,(\mathrm{3})\end{array}

其中，\varphi (t,x),\phi (t,x)\in C_{\mathrm{0}}^{\infty }([\mathrm{0},T)\times {\mathbb{R}}^n),t\in [\mathrm{0},T). 利用分部积分计算得到

\begin{array}{l}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{ttt}(t,x)\varphi (t,x)\mathrm{d}x-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{tt}(t,x){\varphi }_t(t,x)\mathrm{d}x+{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_t(t,x){\varphi }_{tt}(t,x)\mathrm{d}x-\\ {\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(t,x){\varphi }_{ttt}(t,x)\mathrm{d}x+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(s,x){\varphi }_{tttt}(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s-\mathrm{2}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_t(t,x)\mathrm{\Delta }\varphi (t,x)\mathrm{d}x+\\ \mathrm{2}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(t,x)\mathrm{\Delta }{\varphi }_t(t,x)\mathrm{d}x-\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(s,x)\mathrm{\Delta }{\varphi }_{tt}(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s-{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\mathrm{\Delta }\nabla u(s,x)\cdot \nabla \varphi (s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s=\\ {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|v(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{1}}}\varphi (s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|v_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{1}}}\varphi (s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{\mathrm{3}}(x)\varphi (\mathrm{0},x)\mathrm{d}x-\\ \epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{\mathrm{2}}(x){\varphi }_t(\mathrm{0},x)\mathrm{d}x+\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{\mathrm{1}}(x){\varphi }_{tt}(\mathrm{0},x)\mathrm{d}x-\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{\mathrm{0}}(x){\varphi }_{ttt}(\mathrm{0},x)\mathrm{d}x-\\ \mathrm{2}\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{\mathrm{1}}(x)\mathrm{\Delta }\varphi (\mathrm{0},x)\mathrm{d}x+\mathrm{2}\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{\mathrm{0}}(x)\mathrm{\Delta }{\varphi }_t(\mathrm{0},x)\mathrm{d}x,\end{array}

\begin{array}{l}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{ttt}(t,x)\phi (t,x)\mathrm{d}x-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{tt}(t,x){\phi }_t(t,x)\mathrm{d}x+{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_t(t,x){\phi }_{tt}(t,x)\mathrm{d}x-\\ {\int }_{{\mathbb{R}}^n}v(t,x){\phi }_{ttt}(t,x)\mathrm{d}x+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}v(s,x){\phi }_{tttt}(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s-\mathrm{2}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_t(t,x)\mathrm{\Delta }\phi (t,x)\mathrm{d}x+\\ \mathrm{2}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}v(t,x)\mathrm{\Delta }{\phi }_t(t,x)\mathrm{d}x-\mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}v(s,x)\mathrm{\Delta }{\phi }_{tt}(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s-{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\mathrm{\Delta }\nabla v(s,x)\cdot \nabla \phi (s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s=\\ {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|u(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{2}}}\phi (s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|u_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{2}}}\phi (s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{\mathrm{3}}(x)\phi (\mathrm{0},x)\mathrm{d}x-\\ \epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{\mathrm{2}}(x){\phi }_t(\mathrm{0},x)\mathrm{d}x+\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{\mathrm{1}}(x){\phi }_{tt}(\mathrm{0},x)\mathrm{d}x-\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{\mathrm{0}}(x){\phi }_{ttt}(\mathrm{0},x)\mathrm{d}x-\\ \mathrm{2}\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{\mathrm{1}}(x)\mathrm{\Delta }\phi (\mathrm{0},x)\mathrm{d}x+\mathrm{2}\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{\mathrm{0}}(x)\mathrm{\Delta }{\phi }_t(\mathrm{0},x)\mathrm{d}x.\end{array}

注1 本文分别将文献［1-2］中研究的带幂次型非线性项|u{|}^p的波动方程、带导数型非线性项|u_t{|}^p的波动方程推广为带组合非线性项的双波动方程耦合方程组情形. 将文献［3］中研究的带组合非线性项|u{|}^p+|u_t{|}^q的单个双波动方程的初值问题推广为耦合方程组的初值问题（1），并且，组合非线性项中指数p_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{p}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{q}_{\mathrm{1}}和q_{\mathrm{2}}可取不同值. 将文献［5-7］中研究的经典波动方程弱耦合方程组u_{tt}-\mathrm{\Delta }u=|v{|}^p，v_{tt}-\mathrm{\Delta }v=|u{|}^q推广为带组合非线性项的双波动方程耦合方程组情形. 同时利用迭代方法，得到问题（1）解的生命跨度的上界估计. 此外，当问题（1）中p_{\mathrm{1}}=p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}}=q_{\mathrm{2}}时，定理1的结果与文献［3］中结果一致.

1 定理 1 的证明

引入函数

\Phi (x)=\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x},\hspace{1em}n=\mathrm{1},\\ {\int }_{S^{n-\mathrm{1}}}{\mathrm{e}}^{\omega \cdot x}\mathrm{d}{\sigma }_{\omega },n\ge \mathrm{2},\end{array}\right.

其中，x\in {\mathbb{R}}^n，\Phi (x)是正光滑函数且具有如下性质：

\mathrm{\Delta }\Phi =\Phi (x),\Phi (x)\sim |x{|}^{-(n-\mathrm{1})/\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\left|x\right|}(|x|\to \infty ).

设\Psi ={\mathrm{e}}^{-t}\Phi (x). 可知\Psi是方程({\partial }_t^{\mathrm{2}}{-\mathrm{\Delta })}^{\mathrm{2}}\Psi =\mathrm{0}的解. 假设

U_{\mathrm{0}}(t)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(t,x)\Psi (t,x)\mathrm{d}x，

V_{\mathrm{0}}(t)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}v(t,x)\Psi (t,x)\mathrm{d}x.（4）

在式（2）~（3）中，令\varphi =\phi =\Psi，可得

\begin{array}{l}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{ttt}(t,x)\mathrm{\Psi }(t,x)\mathrm{d}x-{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{ttt}(s,x){\mathrm{\Psi }}_t(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\\ \mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\nabla u_{tt}(s,x)\cdot \nabla \mathrm{\Psi }(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(s,x){\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}\mathrm{\Psi }(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s=\\ {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|v(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{1}}}\Psi (s,x)dxds+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|v_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{1}}}\Psi (s,x)dxds+{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{ttt}(\mathrm{0},x)\mathrm{\Psi }(\mathrm{0},x)\mathrm{d}x,\end{array}（5）

\begin{array}{l}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{ttt}(t,x)\mathrm{\Psi }(t,x)\mathrm{d}x-{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{ttt}(s,x){\mathrm{\Psi }}_t(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\\ \mathrm{2}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\nabla v_{tt}(s,x)\cdot \nabla \mathrm{\Psi }(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}v(s,x){\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}\mathrm{\Psi }(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s=\\ {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|u(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{2}}}\Psi (s,x)dxds+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|u_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{2}}}\Psi (s,x)dxds+{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{ttt}(\mathrm{0},x)\mathrm{\Psi }(\mathrm{0},x)\mathrm{d}x.\end{array}（6）

利用式（5）~（6），得到

\begin{array}{l}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{ttt}(t,x)\mathrm{\Psi }(t,x)\mathrm{d}x+{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{tt}(t,x)\mathrm{\Psi }(t,x)\mathrm{d}x-\\ {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_t(t,x)\mathrm{\Psi }(t,x)\mathrm{d}x-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(t,x)\mathrm{\Psi }(t,x)\mathrm{d}x=\\ \epsilon I_{\mathrm{1}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|v(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{1}}}\Psi (s,x)dxds+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|v_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{1}}}\Psi (s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s,\end{array}（7）

\begin{array}{l}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{ttt}(t,x)\mathrm{\Psi }(t,x)\mathrm{d}x+{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{tt}(t,x)\mathrm{\Psi }(t,x)\mathrm{d}x-\\ {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_t(t,x)\mathrm{\Psi }(t,x)\mathrm{d}x-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}v(t,x)\mathrm{\Psi }(t,x)\mathrm{d}x=\\ \epsilon I_{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|u(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{2}}}\Psi (s,x)dxds+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{\left|u_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{2}}}\Psi (s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s,\end{array}（8）

其中，

I_{\mathrm{1}}={\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}(u_{\mathrm{3}}(x)+u_{\mathrm{2}}(x)-u_{\mathrm{1}}(x)-u_{\mathrm{0}}(x))\mathrm{\Phi }(x)\mathrm{d}x,

I_{\mathrm{2}}={\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}(v_{\mathrm{3}}(x)+v_{\mathrm{2}}(x)-v_{\mathrm{1}}(x)-v_{\mathrm{0}}(x))\mathrm{\Phi }(x)\mathrm{d}x.

结合式（4）和式（7）~（8），可推出

\begin{array}{l}{U}_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}(t)+\mathrm{3}{U}_{\mathrm{0}}\text{'}(t)+U_{\mathrm{0}}(t)-\\ {\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(t,x)\mathrm{\Psi }(t,x)\mathrm{d}x=\end{array}

\epsilon I_{\mathrm{1}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}({\left|v(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{1}}}+{\left|v_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{1}}})\mathrm{\Psi }(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s,（9）

\begin{array}{l}{V}_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}(t)+\mathrm{3}{V}_{\mathrm{0}}\text{'}(t)+V_{\mathrm{0}}(t)-\\ {\int }_{{\mathbb{R}}^n}v(t,x)\mathrm{\Psi }(t,x)dx=\epsilon I_{\mathrm{2}}+\\ {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}({\left|u(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{2}}}+{\left|u_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{2}}})\mathrm{\Psi }(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s.\end{array}（10）

式（9）~（10）对t求导，则有

\begin{array}{l}{U}_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}\text{'}(t)+\mathrm{3}{U}_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}(t)+U_{\mathrm{0}}\text{'}(t)-U_{\mathrm{0}}(t)+{\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(t,x)\mathrm{\Psi }(t,x)\mathrm{d}x=\\ {\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}({\left|v(t,x)\right|}^{p_{\mathrm{1}}}+{\left|v_t(t,x)\right|}^{q_{\mathrm{1}}})\Psi (s,x)\mathrm{d}x,\end{array}（11）

\begin{array}{l}{V}_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}\text{'}(t)+\mathrm{3}{V}_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}(t)+V_{\mathrm{0}}\text{'}(t)-V_{\mathrm{0}}(t)+{\int }_{{\mathbb{R}}^n}v(t,x)\mathrm{\Psi }(t,x)\mathrm{d}x=\\ {\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}({\left|u(t,x)\right|}^{p_{\mathrm{2}}}+{\left|u_t(t,x)\right|}^{q_{\mathrm{2}}})\Psi (s,x)\mathrm{d}x.\end{array}（12）

由式（9）~（12），可得

\begin{array}{l}{U}_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}\text{'}(t)+\mathrm{4}{U}_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}(t)+\mathrm{4}{U}_{\mathrm{0}}\text{'}(t)=\\ \epsilon I_{\mathrm{1}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}({\left|v(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{1}}}+{\left|v_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{1}}})\mathrm{\Psi }(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\\ {\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}({\left|v(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{1}}}+{\left|v_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{1}}})\Psi (s,x)\mathrm{d}x,\end{array}

\begin{array}{l}{V}_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}\text{'}(t)+\mathrm{4}{V}_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}(t)+\mathrm{4}{V}_{\mathrm{0}}\text{'}(t)=\\ \epsilon I_{\mathrm{2}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}({\left|u(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{2}}}+{\left|u_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{2}}})\mathrm{\Psi }(s,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\\ {\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}({\left|u(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{2}}}+{\left|u_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{2}}})\Psi (s,x)\mathrm{d}x.\end{array}

设F(t)=U_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}(t)+\mathrm{2}{U}_{\mathrm{0}}\text{'}(t)，G(t)=V_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}(t)+\mathrm{2}{V}_{\mathrm{0}}\text{'}(t). 则有

F\text{'}(t)+\mathrm{2}F(t)\ge \mathrm{0},（13）

G\text{'}(t)+\mathrm{2}G(t)\ge \mathrm{0}.（14）

对式（13）~（14）积分，可得

U_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}(t)+\mathrm{2}{U}_{\mathrm{0}}\text{'}(t)\ge {\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}t}F(\mathrm{0}),（15）

V_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}(t)+\mathrm{2}{V}_{\mathrm{0}}\text{'}(t)\ge {\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}t}G(\mathrm{0}),（16）

其中，

F(\mathrm{0})=U_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}(\mathrm{0})+\mathrm{2}{U}_{\mathrm{0}}\text{'}(\mathrm{0})=\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}(u_{\mathrm{3}}(x)-u_{\mathrm{1}}(x))\mathrm{\Phi }(x)\mathrm{d}x,

G(\mathrm{0})=V_{\mathrm{0}}\text{'}\text{'}(\mathrm{0})+\mathrm{2}{V}_{\mathrm{0}}\text{'}(\mathrm{0})=\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}(v_{\mathrm{3}}(x)-v_{\mathrm{1}}(x))\mathrm{\Phi }(x)\mathrm{d}x.

由式（15）~（16），对其关于时间变量t积分两次，可得

\begin{array}{l}{U}_{\mathrm{0}}(t)\ge U_{\mathrm{0}}(\mathrm{0})+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}s}{U}_{\mathrm{0}}\text{'}(\mathrm{0})\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^{t}s{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}s}F(\mathrm{0})\mathrm{d}s\ge \\ (\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}t})\epsilon /\mathrm{2}{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{u}_{\mathrm{2}}(x)\Phi (x)dx+(\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}t})\epsilon /\mathrm{2}{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{u}_{\mathrm{1}}(x)\Phi (x)dx+{\int }_{\mathrm{0}}^{t}s{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}s}F(\mathrm{0})\mathrm{d}s\ge C_{\mathrm{1}}\epsilon ,\end{array}（17）

\begin{array}{l}{V}_{\mathrm{0}}(t)\ge V_{\mathrm{0}}(\mathrm{0})+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}s}{V}_{\mathrm{0}}\text{'}(\mathrm{0})\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^{t}s{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}s}G(\mathrm{0})\mathrm{d}s\ge \\ (\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}t})\epsilon /\mathrm{2}{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{v}_{\mathrm{2}}(x)\Phi (x)dx+(\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}t})\epsilon /\mathrm{2}{\int }_{{\mathit{ℝ}}^n}{v}_{\mathrm{1}}(x)\Phi (x)dx+{\int }_{\mathrm{0}}^{t}s{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}s}G(\mathrm{0})\mathrm{d}s\ge K_{\mathrm{1}}\epsilon ,\end{array}（18）

其中，C_{\mathrm{1}},K_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}. 设

U(t)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}u(t,x)\mathrm{d}x,\hspace{1em}V(t)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}v(t,x)\mathrm{d}x.（19）

式（2）~（3）中选取\varphi =\phi =\mathrm{1}，结合\{(s,x)\in (\mathrm{0},T]\times {\mathbb{R}}^n||x|\le s+\mathbb{R}\}，得到

{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{ttt}(t,x)\mathrm{d}x={\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|v(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|v_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{u}_{\mathrm{3}}(x)\mathrm{d}x，（20）

{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{ttt}(t,x)\mathrm{d}x={\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|u(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|u_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}s+\epsilon {\int }_{{\mathbb{R}}^n}{v}_{\mathrm{3}}(x)\mathrm{d}x.（21）

根据式（19）~（21），可得

U\text{'}\text{'}\text{'}(t)=U\text{'}\text{'}\text{'}(\mathrm{0})+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|v(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|v_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}s,（22）

V\text{'}\text{'}\text{'}(t)=V\text{'}\text{'}\text{'}(\mathrm{0})+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|u(s,x)\right|}^{p_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}s+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|u_t(s,x)\right|}^{q_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}s.（23）

对式（22）~（23）积分，则有

U(t)=U(\mathrm{0})+U\text{'}(\mathrm{0})t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}U\text{'}\text{'}(\mathrm{0})t^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}U\text{'}\text{'}\text{'}(\mathrm{0})t^{\mathrm{3}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\int }_{\mathrm{0}}^{\sigma }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}({\left|v(\eta ,x)\right|}^{p_{\mathrm{1}}}+{\left|v_t(\eta ,x)\right|}^{q_{\mathrm{1}}})\mathrm{d}x\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s,（24）

V(t)=V(\mathrm{0})+V\text{'}(\mathrm{0})t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}V\text{'}\text{'}(\mathrm{0})t^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}V\text{'}\text{'}\text{'}(\mathrm{0})t^{\mathrm{3}}+{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\int }_{\mathrm{0}}^{\sigma }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}({\left|u(\eta ,x)\right|}^{p_{\mathrm{2}}}+{\left|u_t(\eta ,x)\right|}^{q_{\mathrm{2}}})\mathrm{d}x\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s.（25）

根据式（24）~（25），得到

U(t)\ge {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\int }_{\mathrm{0}}^{\sigma }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|v_t(\eta ,x)\right|}^{q_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s,（26）

V(t)\ge {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\int }_{\mathrm{0}}^{\sigma }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|u_t(\eta ,x)\right|}^{q_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s.（27）

利用\Psi的渐近性，可知

{\int }_{B_{\mathbb{R}+t}}\mathrm{\Psi }{(t,x)}^{p\text{'}}\mathrm{d}x\le k{(\mathbb{R}+t)}^{(n-\mathrm{1})(\mathrm{1}-p\text{'}/\mathrm{2})}，（28）

其中，k>\mathrm{0}，\mathrm{1}/p\text{'}+\mathrm{1}/p=\mathrm{1}. 根据式（4）、式（28）和Holder不等式，有

\begin{array}{l}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|u_t(s,x)\right|}^q\mathrm{d}x\ge \\ U_{\mathrm{0}}^q(t){\left({\mathrm{\Psi }}^{q/(q-\mathrm{1})}(s,x)\mathrm{d}x\right)}^{-(q-\mathrm{1})}\ge \\ k^{-(q-\mathrm{1})}{U}_{\mathrm{0}}^q(s){(\mathbb{R}+s)}^{(n-\mathrm{1})(\mathrm{1}-q/\mathrm{2})}.\end{array}（29）

运用式（27）和式（29），可得

V(t)\ge k^{-(q_{{}_{\mathrm{2}}}-\mathrm{1})}{(\mathbb{R}+t)}^{-(n-\mathrm{1})q_{{}_{\mathrm{2}}}/\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\int }_{\mathrm{0}}^{\sigma }{U}_{\mathrm{0}}^{q_{{}_{\mathrm{2}}}}(\eta ){(\mathbb{R}+\eta )}^{n-\mathrm{1}}\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s.（30）

同理可得

U(t)\ge c^{-(q_{\mathrm{1}}-\mathrm{1})}{(\mathbb{R}+t)}^{-(n-\mathrm{1})q_{{}_{\mathrm{1}}}/\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\int }_{\mathrm{0}}^{\sigma }{V}_{\mathrm{0}}^{q_{{}_{\mathrm{1}}}}(\eta ){(\mathbb{R}+\eta )}^{n-\mathrm{1}}\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s.（31）

结合式（18）和式（31），得到

\begin{array}{l}U(t)\ge c^{-(q_{\mathrm{1}}-\mathrm{1})}{K}_{\mathrm{1}}^{q_{\mathrm{1}}}{\epsilon }^{q_{\mathrm{1}}}{(\mathbb{R}+t)}^{-(n-\mathrm{1})q_{{}_{\mathrm{1}}}/\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\int }_{\mathrm{0}}^{\sigma }{\eta }^{n-\mathrm{1}}\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge \\ {(c^{-(q_{\mathrm{1}}-\mathrm{1})}{K}_{\mathrm{1}}^{q_{\mathrm{1}}}{\epsilon }^{q_{\mathrm{1}}}/n(n+\mathrm{1})(n+\mathrm{2})(n+\mathrm{3}))(\mathbb{R}+t)}^{-(n-\mathrm{1})q_{{}_{\mathrm{1}}}/\mathrm{2}}{t}^{n+\mathrm{3}}.\end{array}（32）

同理，结合式（17）和式（30），可得

V(t)\ge {(k^{-(q_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{C}_{\mathrm{1}}^{q_{\mathrm{2}}}{\epsilon }^{q_{\mathrm{2}}}/n(n+\mathrm{1})(n+\mathrm{2})(n+\mathrm{3}))(\mathbb{R}+t)}^{-(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{2}}/\mathrm{2}}{t}^{n+\mathrm{3}}.（33）

令

D_{\mathrm{1}}=c^{-(q_{\mathrm{1}}-\mathrm{1})}{K}_{\mathrm{1}}^{q_{\mathrm{1}}}{\epsilon }^{q_{\mathrm{1}}}/n(n+\mathrm{1})(n+\mathrm{2})(n+\mathrm{3})，

a_{\mathrm{1}}=(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{1}}/\mathrm{2}，b_{\mathrm{1}}=n+\mathrm{3}，

{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}=k^{-(q_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{C}_{\mathrm{1}}^{q_{\mathrm{2}}}{\epsilon }^{q_{\mathrm{2}}}/n(n+\mathrm{1})(n+\mathrm{2})(n+\mathrm{3})，

{\alpha }_{\mathrm{1}}=(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{2}}/\mathrm{2}，{\beta }_{\mathrm{1}}=n+\mathrm{3}.

则有

U(t)\ge D_{\mathrm{1}}{(\mathbb{R}+t)}^{-a_{\mathrm{1}}}{t}^{b_{\mathrm{1}}},（34）

V(t)\ge {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}{(\mathbb{R}+t)}^{-{\alpha }_{\mathrm{1}}}{t}^{{\beta }_{\mathrm{1}}}.（35）

下面构造U(t)和V(t)的迭代序列. 设

U(t)\ge D_j{(\mathbb{R}+t)}^{-a_j}{t}^{b_j},（36）

V(t)\ge {\mathrm{\Delta }}_j{(\mathbb{R}+t)}^{-{\alpha }_j}{t}^{{\beta }_j},（37）

其中，非负实数列\{D_j{\}}_{j\ge \mathrm{1}},\{a_j{\}}_{j\ge \mathrm{1}},\{b_j{\}}_{j\ge \mathrm{1}},\{{\Delta }_j{\}}_{j\ge \mathrm{1}},\{{\alpha }_j{\}}_{j\ge \mathrm{1}},\{{\beta }_j{\}}_{j\ge \mathrm{1}}将在下文给出定义. 根据式（24）、式（25）以及定理2的条件，可得

\begin{array}{l}U(t)\ge {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\int }_{\mathrm{0}}^{\sigma }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|v(\eta ,x)\right|}^{p_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge \\ C_{\mathrm{0}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\int }_{\mathrm{0}}^{\sigma }{(\mathbb{R}+\eta )}^{-n(p_{\mathrm{1}}-\mathrm{1})}(V{(\eta ))}^{p_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s,\end{array}（38）

\begin{array}{l}V(t)\ge {\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\int }_{\mathrm{0}}^{\sigma }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|u(\eta ,x)\right|}^{p_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge \\ K_{\mathrm{0}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\int }_{\mathrm{0}}^{\sigma }{(\mathbb{R}+\eta )}^{-n(p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}(U{(\eta ))}^{p_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s.\end{array}（39）

结合式（37）和（38），有

\begin{array}{l}U(t)\ge C_{\mathrm{0}}{\mathrm{\Delta }}_j^{p_{\mathrm{1}}}{(\mathbb{R}+t)}^{-n(p_{\mathrm{1}}-\mathrm{1})-{\alpha }_j{p}_{\mathrm{1}}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\int }_{\mathrm{0}}^s{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\int }_{\mathrm{0}}^{\sigma }{\eta }^{{\beta }_j{p}_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}\eta \mathrm{d}\sigma \mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\ge \\ C_{\mathrm{0}}{\mathrm{\Delta }}_j^{p_{\mathrm{1}}}{(\mathbb{R}+t)}^{-n(p_{\mathrm{1}}-\mathrm{1})-{\alpha }_j{p}_{\mathrm{1}}}{t}^{{\beta }_j{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{4}}/({\beta }_j{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})({\beta }_j{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{2})({\beta }_j{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{3})({\beta }_j{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{4}).\end{array}（40）

同理，利用式（36）和（39）可推出

V(t)\ge K_{\mathrm{0}}{D}_j^{p_{\mathrm{2}}}{(\mathbb{R}+t)}^{-n(p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})-a_j{p}_{\mathrm{2}}}{t}^{b_j{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{4}}/(b_j{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})(b_j{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{2})(b_j{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{3})(b_j{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{4}).（41）

令

\begin{array}{l}{D}_{j+\mathrm{1}}=C_{\mathrm{0}}{\mathrm{\Delta }}_j^{p_{\mathrm{1}}}/({\beta }_j{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})({\beta }_j{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{2})({\beta }_j{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{3})({\beta }_j{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{4}),\\ a_{j+\mathrm{1}}=n(p_{\mathrm{1}}-\mathrm{1})+{\alpha }_j{p}_{\mathrm{1}},\hspace{1em}{b}_{j+\mathrm{1}}={\beta }_j{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{4},\end{array}（42）

\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_{j+\mathrm{1}}=K_{\mathrm{0}}{D}_j^{p_{\mathrm{2}}}/(b_j{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})(b_j{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{2})(b_j{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{3})(b_j{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{4}),\\ {\alpha }_{j+\mathrm{1}}=n(p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})+a_j{p}_{\mathrm{2}},\hspace{1em}{\beta }_{j+\mathrm{1}}=b_j{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{4},\end{array}（43）

则由式（40）和（41）可知，式（36）和（37）对j+\mathrm{1}成立.

当j为奇数时，利用式（42）~（43），可得

\begin{array}{l}{a}_j=n(p_{\mathrm{1}}-\mathrm{1})+{\alpha }_{j-\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{1}}=n(p_{\mathrm{1}}-\mathrm{1})+(n(p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})+a_{j-\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{2}})p_{\mathrm{1}}=n(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})+a_{j-\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}=\\ n(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}){\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{(j-\mathrm{3})/\mathrm{2}}}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^k+a_{\mathrm{1}}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}=(n+a_{\mathrm{1}})(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-n=(n+(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{1}}/\mathrm{2})(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-n,\end{array}（44）

\begin{array}{l}{\alpha }_j=n(p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})+a_{j-\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}=n(p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})+(n(p_{\mathrm{1}}-\mathrm{1})+{\alpha }_{j-\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{1}})p_{\mathrm{2}}=\\ n(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})+{\alpha }_{j-\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}=n(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}){\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{(j-\mathrm{3})/\mathrm{2}}}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^k+{\alpha }_{\mathrm{1}}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}=\\ (n+{\alpha }_{\mathrm{1}})(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-n=(n+(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{2}}/\mathrm{2})(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-n,\end{array}（45）

\begin{array}{l}{b}_j=\mathrm{4}+\mathrm{4}{p}_{\mathrm{1}}+p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{b}_{j-\mathrm{2}}=b_{\mathrm{1}}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}+\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}){\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{(j-\mathrm{3})/\mathrm{2}}}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^k=\\ (b_{\mathrm{1}}+\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}))(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})=\\ (n+\mathrm{3}+\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}))(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}),\end{array}（46）

\begin{array}{l}{\beta }_j=\mathrm{4}+\mathrm{4}{p}_{\mathrm{2}}+p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{\beta }_{j-\mathrm{2}}={\beta }_{\mathrm{1}}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}+\mathrm{4}(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1}){\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{(j-\mathrm{3})/\mathrm{2}}}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^k=\\ ({\beta }_{\mathrm{1}}+\mathrm{4}(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}))(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-\mathrm{4}(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})=\\ (n+\mathrm{3}+\mathrm{4}(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}))(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-\mathrm{4}(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}).\end{array}（47）

若j为偶数，则j-\mathrm{1}为奇数. 因此

\begin{array}{l}{b}_j={\beta }_{j-\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{4}=\\ p_{\mathrm{1}}(n+\mathrm{3}+\mathrm{4}(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}))(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-\mathrm{4}{p}_{\mathrm{1}}(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})+\mathrm{4},\end{array}（48）

\begin{array}{l}{\beta }_j=b_{j-\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{4}=\\ p_{\mathrm{2}}(n+\mathrm{3}+\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}))(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-\mathrm{4}{p}_{\mathrm{2}}(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})+\mathrm{4}.\end{array}（49）

式（46）~（49）表明

，

j为奇数，

，

j为偶数，（50）

其中，B_{\mathrm{0}}=B_{\mathrm{0}}(p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},n),{\tilde{B}}_{\mathrm{0}}={\tilde{B}}_{\mathrm{0}}(p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},n)是不依赖于j的正数. 根据式（42）~（43），得到

D_j\ge C_{\mathrm{0}}{\mathrm{\Delta }}_{j-\mathrm{1}}^{p_{\mathrm{1}}}/b_j^{\mathrm{4}},\hspace{1em}{\mathrm{\Delta }}_j\ge K_{\mathrm{0}}{D}_{j-\mathrm{1}}^{p_{\mathrm{2}}}/{\beta }_j^{\mathrm{4}}.（51）

结合式（50）~（51），可知

D_j\ge C_{\mathrm{0}}{\mathrm{\Delta }}_{j-\mathrm{1}}^{p_{\mathrm{1}}}/B_{\mathrm{0}}^{\mathrm{4}}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}(j-\mathrm{1})}\ge

\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{0}}{K}_{\mathrm{0}}^{p_{\mathrm{1}}}{D}_{j-\mathrm{2}}^{p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}}/B_{\mathrm{0}}^{\mathrm{4}}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}(j-\mathrm{1})}{\beta }_{j-\mathrm{1}}^{\mathrm{4}{p}_{\mathrm{1}}}\ge \\ C_{\mathrm{0}}{K}_{\mathrm{0}}^{p_{\mathrm{1}}}{D}_{j-\mathrm{2}}^{p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}}/B_{\mathrm{0}}^{\mathrm{4}}{\tilde{B}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{4}{p}_{\mathrm{1}}}((p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}(j-\mathrm{1})}=\\ \tilde{C}{D}_{j-\mathrm{2}}^{p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}}/((p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}(j-\mathrm{1})},\end{array}（52）

\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_j\ge K_{\mathrm{0}}{D}_{j-\mathrm{1}}^{p_{\mathrm{2}}}/B_{\mathrm{0}}^{\mathrm{4}}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}(j-\mathrm{1})}\ge \\ K_{\mathrm{0}}{C}_{\mathrm{0}}^{p_{\mathrm{2}}}{\mathrm{\Delta }}_{j-\mathrm{2}}^{p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}}/B_{\mathrm{0}}^{\mathrm{4}}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}(j-\mathrm{1})}{\beta }_{j-\mathrm{1}}^{\mathrm{4}{p}_{\mathrm{2}}}\ge \\ K_{\mathrm{0}}{C}_{\mathrm{0}}^{p_{\mathrm{2}}}{\mathrm{\Delta }}_{j-\mathrm{2}}^{p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}}/B_{\mathrm{0}}^{\mathrm{4}}{\tilde{B}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{4}{p}_{\mathrm{2}}}((p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}(j-\mathrm{1})}=\\ \tilde{K}{\mathrm{\Delta }}_{j-\mathrm{2}}^{p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}}/((p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}(j-\mathrm{1})},\end{array}（53）

其中，\tilde{C}=C_{\mathrm{0}}{K}_{\mathrm{0}}^{p_{\mathrm{1}}}/B_{\mathrm{0}}^{\mathrm{4}}{\tilde{B}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{4}{p}_{\mathrm{1}}},\tilde{K}=K_{\mathrm{0}}{C}_{\mathrm{0}}^{p_{\mathrm{2}}}/{\tilde{B}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{4}}{B}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{4}{p}_{\mathrm{2}}}.

当j为奇数时，对式（52）两边取对数，可得

\begin{array}{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_j\ge p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_{j-\mathrm{2}}-\mathrm{2}(j-\mathrm{1})(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})+\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{C}\ge \\ (p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_{j-\mathrm{4}}-\mathrm{2}((j-\mathrm{1})+(j-\mathrm{3})p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})\times \\ \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})+(\mathrm{1}+p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{C}\ge \\ (p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}\left({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}}(j+\mathrm{1}-\mathrm{2}k)(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{k-\mathrm{1}}\right)\times \\ (p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})+\left({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{(j-\mathrm{3})/\mathrm{2}}}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^k\right)\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{C}\ge \\ (p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}[\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_{\mathrm{1}}-\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}+\\ \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{C}/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})]+\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}+\\ \mathrm{2}(j-\mathrm{1})(j-\mathrm{1})(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{C}/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}).\end{array}

因此，当j_{\mathrm{1}}\ge \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{C}/\mathrm{2}(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})-\mathrm{2}{p}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})+\mathrm{1}时，有

\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_j\ge (p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_{\mathrm{1}}-S_{p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}}(\mathrm{\infty })),（54）

其中，

S_{p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}}(\mathrm{\infty })=\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{C}/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}).

类似地，通过利用（53）式，可得

\begin{array}{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{\mathrm{\Delta }}_j\ge (p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}[\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}-\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}+\\ \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{K}/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})]+\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}+\\ \mathrm{2}(j-\mathrm{1})(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{K}/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}).\end{array}

因此，当j_{\mathrm{2}}\ge \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{K}/\mathrm{2}(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})-\mathrm{2}{p}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})+\mathrm{1}时，有

\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{\mathrm{\Delta }}_j\ge (p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}-{\tilde{S}}_{p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}}(\mathrm{\infty })),（55）

其中，

\begin{array}{l}{\tilde{S}}_{p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}}(\mathrm{\infty })=\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{K}/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}).\end{array}

设

j_{\mathrm{0}}=[(\mathrm{1}/\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}))\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{C}/\mathrm{2}(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}),\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\tilde{K}/\mathrm{2}(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})\}-\mathrm{2}{p}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})+\mathrm{1}].

将式（44）~（47）和式（54）~（55）代入式（36）~（37），可得

\begin{array}{l}U(t)\ge \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}((p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_{\mathrm{1}}-S_{p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}}(\mathrm{\infty }))){(\mathbb{R}+t)}^{-a_j}{t}^{b_j}=\\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}((p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_{\mathrm{1}}-S_{p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}}(\mathrm{\infty }))){(\mathbb{R}+t)}^{-(n+(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{1}}/\mathrm{2})(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{{}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}}+n}\times \\ t^{(n+\mathrm{3}+\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}))(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}-\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}=\\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}((p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_{\mathrm{1}}-(n+(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{1}}/\mathrm{2})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathbb{R}+t)+\\ (n+\mathrm{3}+\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}))\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}t-S_{p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}}(\mathrm{\infty })))\times {(\mathbb{R}+t)}^n{t}^{-\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})},\end{array}

\begin{array}{l}V(t)\ge \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}((p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{K}_{\mathrm{1}}-(n+(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{2}}/\mathrm{2})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathbb{R}+t)+\\ (n+\mathrm{3}+\mathrm{4}(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}))\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}t-{\tilde{S}}_{p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}}(\mathrm{\infty })))\times {(\mathbb{R}+t)}^n{t}^{-\mathrm{4}(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}.\end{array}

因此，当t\ge R时，可知\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\mathbb{R}+t)\le \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{2}t. 故

U(t)\ge \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}((p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}J(t)){(\mathbb{R}+t)}^n{t}^{-\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})},（56）

V(t)\ge \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}((p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}{)}^{(j-\mathrm{1})/\mathrm{2}}\tilde{J}(t)){(\mathbb{R}+t)}^n{t}^{-\mathrm{4}(p_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})},（57）

其中，

\begin{array}{l}J(t)=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{D}_{\mathrm{1}}+((n+\mathrm{3}+\mathrm{4}(p_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}))-(n+(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{1}}/\mathrm{2}))\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}t-\\ (n+(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{1}}/\mathrm{2})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{2}-S_{p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}}(\mathrm{\infty })=\\ \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(D_{\mathrm{1}}{t}^{(\mathrm{3}{p}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})-(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{1}}/\mathrm{2}})-(n+(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{1}}/\mathrm{2})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{2}-S_{p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}}(\mathrm{\infty }),\end{array}（58）

\begin{array}{l}\tilde{J}(t)=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(K_{\mathrm{1}}{t}^{(\mathrm{3}{p}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})-(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{2}}/\mathrm{2}})-\\ (n+(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{2}}/\mathrm{2})\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{2}-{\tilde{S}}_{p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}}(\mathrm{\infty }).\end{array}（59）

式（58）~（59）中t的指数分别为

(\mathrm{3}{p}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})-(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{1}}/\mathrm{2}=Y_{\mathrm{1}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}})q_{\mathrm{1}},

(\mathrm{3}{p}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})-(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{2}}/\mathrm{2}=Y_{\mathrm{2}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}})q_{\mathrm{2}}.

因此，(\mathrm{3}{p}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})-(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{1}}/\mathrm{2}>\mathrm{0}，(\mathrm{3}{p}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{p}_{\mathrm{2}}+\mathrm{1})/(p_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})-(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{2}}/\mathrm{2}>\mathrm{0}当且仅当Y_{\mathrm{1}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}})>\mathrm{0}，Y_{\mathrm{2}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}})>\mathrm{0}.

当Y_{\mathrm{1}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}})>\mathrm{0}时，则存在{\epsilon }_{\mathrm{0}}={\epsilon }_{\mathrm{0}}(u_{\mathrm{0}},u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}},u_{\mathrm{3}},v_{\mathrm{0}},v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}},\mathbb{R})>\mathrm{0}使得\widehat{C}{\epsilon }_{\mathrm{0}}^{-Y_{\mathrm{1}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}}{)}^{-\mathrm{1}}}\ge \mathbb{R}，其中，\widehat{C}=(n(n+\mathrm{1})(n+\mathrm{2})(n+\mathrm{3})/C^{-(q_{\mathrm{1}}-\mathrm{1})}{K}_{\mathrm{1}}^{q_{\mathrm{1}}}){\mathrm{2}}^{n+(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{1}}/\mathrm{2}}· \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(S_{p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}}{(\mathrm{\infty })))}^{\mathrm{1}/q_{\mathrm{1}}{Y}_{\mathrm{1}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}})}.因此，对于\epsilon \in (\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{0}}]和t>\widehat{C}{\epsilon }_{\mathrm{0}}^{-Y_{\mathrm{1}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}}{)}^{-\mathrm{1}}}，有t\ge \mathbb{R}，J(t)>\mathrm{0}.式（56）中，令J\to \mathrm{\infty }，U(t)\to \mathrm{\infty }，从而得T(\epsilon )\le \widehat{C}{\epsilon }^{-Y_{\mathrm{1}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}}{)}^{-\mathrm{1}}}.

同理，当Y_{\mathrm{2}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}})>\mathrm{0}时，假设

\widehat{K}{\epsilon }_{\mathrm{0}}^{-Y_{\mathrm{2}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}}{)}^{-\mathrm{1}}}\ge \mathbb{R}，

其中，\widehat{K}=(n(n+\mathrm{1})(n+\mathrm{2})(n+\mathrm{3})/K^{-(q_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{C}_{\mathrm{1}}^{q_{\mathrm{2}}}){\mathrm{2}}^{n+(n-\mathrm{1})q_{\mathrm{2}}/\mathrm{2}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}({\tilde{S}}_{p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}}}{(\mathrm{\infty })))}^{\mathrm{1}/q_{\mathrm{2}}{Y}_{\mathrm{2}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}})}. 因此，对于\epsilon \in (\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{0}}]和t>\widehat{K}{\epsilon }_{\mathrm{0}}^{-Y_{\mathrm{2}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}}{)}^{-\mathrm{1}}}，有t\ge \mathbb{R}， \tilde{J}(t)>\mathrm{0}.式（57）中，令J\to \mathrm{\infty }，V(t)\to \mathrm{\infty }，得T(\epsilon )\le \widehat{K}{\epsilon }^{-Y_{\mathrm{2}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}}{)}^{-\mathrm{1}}}.因此，解(u,v)的生命跨度估计为

T(\epsilon )\le C{\epsilon }^{-\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{Y_{\mathrm{1}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}}),Y_{\mathrm{2}}(n,p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}}{)\}}^{-\mathrm{1}}},

其中，C为正常数. 定理1得证.

参考文献

[1] HAN W. Concerning the strauss conjecture for the subcritical and critical cases on the exterior domain in two space dimensions［J］. Nonlinear Analysis， 2013， 84： 136-145.

[2] ZHOU Y. Blow-up of solutions to the Cauchy problem for nonlinear wave equatins［J］. Chinese Annals of Mathematics Series B， 2001， 22： 275-280.

[3] OUYANG B P. Blow-up of solutions to a class of weakly coupled semilinear double wave systems with nonlinear terms of derivative type［J］. Journal of East China Normal University， 2023 （4）： 24-34.

[4] IKEDA M， SOBAJIMA M， WAKASA K. Blow-up phenomena of semilinear wave equations and their weakly coupled systems［J］. Journal of Differential Equations， 2019， 267（9）： 5165-5201.

[5] KATO T. Blow-up of solutions of some nonlinear hyperbolic equations［J］. Communications on Pure and Applied Mathematics， 1980， 33（4）： 501-505.

[6] AGEMI R， KUROKAWA Y， TAKAMURA H. Critical curve for p-q systems of nonlinear wave equations in three space dimensions［J］. Journal of Differential Equations， 2000， 167（1）： 87-133.

[7] D’ABBICCO M， JANNELLI E. Dissipative higher order hyperbolic equations［J］. Communications in Partial Differential Equations， 2017， 42（11）： 1682-1706.

[8] CHEN W H， PALMIERI A. Blow-up result for a semilinear wave equation with a nonlinear memory term［J］. Anomalies in Partial Differential Equations， 2021， 43： 77-97.

[9] KITAMURA S， MORISAWA K， TAKAMURA H. The lifespan of classical solutions of semilinear wave equations with spatial weights and compactly supported data in one space dimension［J］. Journal of Differential Equations， 2022， 307： 486-516.

[10] DING B B， LU Y， YIN H C. On the critical exponent p c of the 3D quasilinear wave equation - ( 1 + ( ∂ t ϕ ) p ) ∂ t 2 ϕ + Δ ϕ = 0 with short pulse initial data. I， global existence［J］. Journal of Differential Equations， 2024， 385： 183-253.

[11] IKEDA M， TANAKA T， WAKASA K. Critical exponent for the wave equation with a time dependent scale invariant damping and a cubic convolution［J］. Journal of Differential Equations， 2021， 270： 916-946.

[12] LAI N A， ZHOU Y. Blow-up and lifespan estimate to a nonlinear wave equation in Schwarzschild spacetime［J］. Journal de Mathematiques Pures et Appliquees， 2023， 173： 172-194.

[13] MING S， DU J Y， XIE J. Blow-up of solutions to the wave equations with memory terms in Schwarzschild spacetime［J/OL］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2024， 540（2） ［2025-08-24］.

[14] ANH D T， MICHAEL R. The interplay of critical regularity of nonlinearities in a weakly coupled system of semi-linear damped wave equations［J /OL］. Journal of Differential Equations， 2021， 299 ［2025-08-24］.

基金资助

山西省基础研究计划项目(20210302123045)