与欧拉函数有关的一个六元不定方程的正整数解

The positive integer solution of a six-variable indeterminate equation on Euler function

摘要

欧拉函数是数论中的一个重要概念， 它有许多好的性质，这为研究与欧拉函数有关的多元变系数不定方程提供了便利条件，也吸引了大批学者前来研究. 本文在前人的研究基础上，通过数论基本方法以及对称的方法，研究了与欧拉函数有关的一个六元不定方程的正整数解的问题， 得到方程\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{4}\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right) 共有 766 组解.

Abstract

Euler function is an important concept in number theory. It has many good properties， which provides a convenient condition for studying the indeterminate equation with variable coefficients. In this paper， the positive integer solvability of an indeterminate equation with six-variables \phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{4}\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right) were studied， and a total of 766 sets of solutions were obtained.

关键词

欧拉函数 / 不定方程 / 正整数解

Key words

Euler function / diophantine equation / positive integer solution

近年来， 很多学者都研究了与欧拉函数有关的不定方程正整数解的问题， 并且得到了很多重要结果^［1-5］，而形如对任意正整数的欧拉函数\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}\dots x_n\right)=k_{\mathrm{1}}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\dots \phi \left(x_r\right)+k_{\mathrm{2}}\phi \left(x_{r+\mathrm{1}}\right)\dots \phi \left(x_n\right)的问题，更是掀起了一波热潮，相关文献讨论了变量个数为 2 个、 3 个、 4 个、5 个的方程. 例如， 袁合才等^［6］研究了三元变系数混合型欧拉函数方程\phi \left(abc\right)=\mathrm{2}\phi \left(a\right)\phi \left(b\right)+\mathrm{6}\phi \left(c\right)的正整数解； 高倩等^［7］研究了混合型欧拉函数方程\phi \left(abc\right)=\mathrm{2}\phi \left(a\right)\phi \left(b\right)+\mathrm{8}\phi \left(c\right)的正整数解； 高倩等^［8］还研究了三元变系数混合型欧拉函数方程\phi \left(abc\right)=\mathrm{3}\phi \left(a\right)\phi \left(b\right)+\mathrm{4}\phi \left(c\right)的正整数解； 王丽等^［9］研究了三元变系数混合型欧拉函数方程\phi \left(abc\right)=\mathrm{2}\phi \left(a\right)\phi \left(b\right)+\mathrm{4}\phi \left(c\right)的正整数解； 张四保^［10］研究了关于 Euler 函数\phi \left(n\right)的一个四元变系数混合方程的解； 朱萍萍等^［11］研究了一类变系数欧拉函数方程\phi \left(abcd\right)=m\phi \left(a\right)\phi \left(b\right)+n\phi \left(c\right)\phi \left(d\right)的可解性； 张四保等^［12］研究了与 Euler 函数有关的一个五元不定方程的正整数解. 在前人的研究基础上， 本文将讨论以三个连续偶数为指标的方程， 比较小的两个偶数作为系数， 最大的偶数作为元数， 即讨论方程

\begin{array}{l}\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)+\\ \mathrm{4}\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)\end{array}（1）

的正整数解问题.

1 引理

引理1^［13］ 对于任意的正整数m与n，\phi \left(mn\right)=\frac{\left(m,n\right)\phi \left(m\right)\phi \left(n\right)}{\phi \left(\left(m,n\right)\right)}， 其中，\left(m,n\right)表示正整数m与n的最大公因数.

引理2^［13］ 对于正整数m， 当m\ge \mathrm{3}时， 有\phi \left(m\right)为偶数； 当m\ge \mathrm{2}时， 有m>\phi \left(m\right).

引理3^［13］ 令\phi \left(n\right)=\mathrm{2}p， 令g=\mathrm{2}p+\mathrm{1}，当g=\mathrm{2}p+\mathrm{1}为素数时， \phi \left(n\right)=\mathrm{2}p有两个解， 当g=\mathrm{2}p+\mathrm{1}不为素数时， \phi \left(n\right)=\mathrm{2}p无解.

2 结论及其证明

定理1 方程（1）共有正整数解 766 组， 当x_{\mathrm{1}}\le x_{\mathrm{2}}\le x_{\mathrm{3}}\le x_{\mathrm{4}}，x_{\mathrm{5}}\le x_{\mathrm{6}}时， 它的解共有54组， 分别为（1，1，1，15，1，8）， （1，1，1，16，1，5）， （1，1，1，24，1，5）， （1，1，3，5，1，8）， （1，1，3，8，1，5）， （1，1，1，7，1，9）， （1，1，1，9，1，7）， （1，1，1，7，1，18）， （1，1，1，18，1，7）， （1，1，1，9，1，14）， （1，1，1，14，1，9）， （1，1，1，7，2，9）， （1，1，1，9，2，7）， （1，1，2，7，1，9）， （1，1，2，9，1，7）， （1，1，1，8，1，4）， （1，1，1，10，1，4）， （1，1，1，5，2，4）， （1，1，2，5，1，4）， （1，1，1，12，1，4）， （1，1，1，8，1，6）， （1，1，1，8，2，3）， （1，1，2，8，1，3）， （1，1，1，10，1，6）， （1，1，1，5，2，6）， （1，1，2，5，1，6）， （1，1，1，10，2，3）， （1，1，2，10，1，3）， （1，1，2，5，2，3）， （1，2，2，5，1，3）， （1，1，3，4，1，4）， （1，1，4，4，1，3）， （1，1，6，6，1，1）， （1，1，3，6，1，2）， （1，2，3，6，1，1）， （1，1，3，3，2，2）， （2，2，3，3，1，1）， （1，2，3，3，1，2）， （1，1，2，3，2，3）， （1，2，2，3，1，3）， （1，1，1，6，1，6）， （1，1，1，3，2，6）， （1，1，2，3，1，6）， （1，1，2，6，1，3）， （1，1，1，4，2，2）， （1，1，2，4，1，2）， （1，2，2，4，1，1）， （1，1，1，6，2，2）， （1，1，2，6，1，2）， （1，2，2，6，1，1）， （1，1，2，3，2，2）， （1，2，2，3，1，2）， （2，2，2，3，1，1）， （1，1，1，6，2，3）.

证明 由引理 1， 有

\begin{array}{l}\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}\right)=\frac{\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)}{\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)\right)}=\\ \frac{\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}}\right)\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)}{\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}}\right)\right)\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)\right)}=\\ \frac{\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}\right)\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}}\right)\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)}{\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}\right)\right)\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}}\right)\right)\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)\right)}=\\ \frac{\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}}\right)\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}\right)\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}}\right)\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)}{\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}}\right)\right)\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}\right)\right)\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}}\right)\right)\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)\right)}=\\ \frac{\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\right)\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}}\right)\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}\right)\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}}\right)\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)}{\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\right)\right)\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}}\right)\right)\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}\right)\right)\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}}\right)\right)\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)\right)}=\\ \mathrm{2}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{4}\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)\le \mathrm{6}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right),\end{array}

令

\begin{array}{l}f\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)=\\ \frac{\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\right)\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}}\right)\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}\right)\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}}\right)\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)}{\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\right)\right)\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}}\right)\right)\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}\right)\right)\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}}\right)\right)\phi \left(\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)\right)}\end{array}，

则f\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)\le \mathrm{6}，下面分情况进行讨论.

情况1 当f\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}时， \left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{1}，\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{1}，\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{1}，\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}，\left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， 由方程（1）可得

\begin{array}{l}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\\ \mathrm{2}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{4}\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right),\end{array}

从而得

\frac{\mathrm{2}}{\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)}+\frac{\mathrm{4}}{\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)}=\mathrm{1}.

由引理 2 可知， 此时满足条件的只有 2 种情况，即情况1.1和情况1.2. 由于x_{\mathrm{1}}、 x_{\mathrm{2}}、 x_{\mathrm{3}}、x_{\mathrm{4}} 的作用是相同的， x_{\mathrm{5}}、x_{\mathrm{6}} 的作用是相同的， 不妨只考虑\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)，\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)这种情况， 其他情况可由对称性得到.

情况1.1\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{8}， 此时，\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{32}，x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}=\mathrm{51}，\mathrm{64}，\mathrm{68}，\mathrm{80}，\mathrm{96}，\mathrm{102}，\mathrm{120}.

情况 1.1.1\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}，\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{8}，\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 经验证， 此时满足方程（1） 的解为（1，1，1，15，1，8）， （1，1，1，16，1，5）， （1，1，1，24，1，5）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}，\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{8}， \phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（1，1，1，15，8，1）， （1，1，1，16，5，1）， （1，1，1，24，5，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}，\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{8}， \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（1，1，15，1，1，8）， （1，1，16，1，1，5）， （1，1，24，1，1，5）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}，\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{8}， \phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（1，1，15，1，8，1）， （1，1，16，1，5，1）， （1，1，24，1，5，1）.

由对称性可得，\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}，\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{8}， \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（1，15，1，1，1，8）， （1，16，1，1，1，5）， （1，24，1，1，1，5）.

由对称性可得，\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{8}，\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（1，15，1，1，8，1）， （1，16，1，1，5，1）， （1，24，1，1，5，1）.

由对称性可得，\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}，\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{8}， \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（15，1，1，1，1，8）， （16，1，1，1，1，5）， （24，1，1，1，1，5）.

由对称性可得，\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}，\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{8}，\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（15，1，1，1，8，1）， （16，1，1，1，5，1）， （24，1，1，1，5，1）.

情况1.1.2\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{8}，\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时没有满足方程 （1） 的解.

情况1.1.3\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{4}， 经验证， 此时没有满足方程 （1） 的解.

情况 1.1.4\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时没有满足方程 （1） 的解.

情况1.1.5\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 经检验， 此时满足方程（1） 的解为（1，1，3，5，1，8）， （1，1，3，8，1，5）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（1，1，3，5，8，1）， （1，1，3，8，5，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（1，1，8，3，1，5）， （1，1，5，3，1，8）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（1，1，8，3，5，1）， （1，1，5，3，8，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（1，3，1，8，1，5）， （1，3，1，5，1，8）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（1，3，1，5，8，1）， （1，3，1，8，5，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（1，8，1，3，1，5）， （1，5，1，3，1，8）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（1，8，1，3，5，1）， （1，5，1，3，8，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（3，1，1，8，1，5）， （3，1，1，5，1，8）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（3，1，1，8，5，1）， （3，1，1，5，8，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（8，1，1，3，1，5）， （5，1，1，3，1，8）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（8，1，1，3，5，1）， （5，1，1，3，8，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（3，1，8，1，1，5）， （3，1，5，1，1，8）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（3，1，8，1，5，1）， （3，1，5，1，8，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（8，1，3，1，1，5）， （5，1，3，1，1，8）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（8，1，3，1，5，1）， （5，1，3，1，8，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（3，8，1，1，1，5）， （3，5，1，1，1，8）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（3，8，1，1，5，1）， （3，5，1，1，8，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（8，3，1，1，1，5）， （5，3，1，1，1，8）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（8，3，1，1，5，1）， （5，3，1，1，8，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（1，3，8，1，1，5）， （1，3，5，1，1，8）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（1，3，8，1，5，1）， （1，3，5，1，8，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（1，8，3，1，1，5）， （1，5，3，1，1，8）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{4}， 此时满足方程 （1） 的解为（1，8，3，1，5，1）， （1，5，3，1，8，1）.

情况1.1.6\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}，\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}， 经验证， 此时没有满足方程 （1） 的解.

情况1.2\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{6}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{6}，此时，\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{36}，x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}=\mathrm{37}，\mathrm{57}，\mathrm{74}，\mathrm{76}，\mathrm{108}，\mathrm{114}，\mathrm{126}.

情况1.2.1\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{6}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（1，1，1，7，1，9）， （1，1，1，9，1，7）， （1，1，1，7，2，9）， （1，1，1，9，2，7）， （1，1，2，7，1，9）， （1，1，2，9，1，7）， （1，2，1，7，1，9）， （1，2，1，9，1，7），（2，1，1，7，1，9）， （2，1，1，9，1，7）， （1，1，1，18，1，7）， （1，1，1，9，1，14）， （1，1，1，14，1，9）， （1，1，1，7，1，18）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{6}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（1，1，1，7，9，1）， （1，1，1，9，7，1）， （1，1，1，7，9，2）， （1，1，1，9，7，2）， （1，1，2，7，9，1）， （1，1，2，9，7，1）， （1，2，1，7，9，1）， （1，2，1，9，7，1）， （2，1，1，7，9，1）， （2，1，1，9，7，1）， （1，1，1，18，7，1）， （1，1，1，9，14，1）， （1，1，1，14，9，1）， （1，1，1，7，18，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{6}， 经验证， 此时满足方程（1） 的解为（1，1，7，1，1，9）， （1，1，9，1，1，7）， （1，1，7，1，2，9）， （1，1，9，1，2，7）， （1，1，7，2，1，9）， （1，1，9，2，1，7）， （1，2，7，1，1，9）， （1，2，9，1，1，7）， （2，1，7，1，1，9）， （2，1，9，1，1，7）， （1，1，18，1，1，7）， （1，1，9，1，1，14）， （1，1，14，1，1，9）， （1，1，7，1，1，18）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}，\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{6}， 经验证， 此时满足方程（1） 的解为（1，1，7，1，9，1）， （1，1，9，1，7，1）， （1，1，7，1，9，2）， （1，1，9，1，7，2）， （1，1，7，2，9，1）， （1，1，9，2，7，1）， （1，2，7，1，9，1）， （1，2，9，1，7，1）， （2，1，7，1，9，1） ，（2，1，9，1，7，1）， （1，1，18，1，7，1）， （1，1，9，1，14，1）， （1，1，14，1，9，1）， （1，1，7，1，18，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{6}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（1，7，1，1，1，9）， （1，9，1，1，1，7）， （1，7，1，1，2，9）， （1，9，1，1，2，7）， （1，7，1，2，1，9）， （1，9，1，2，1，7）， （1，7，2，1，1，9）， （1，9，2，1，1，7）， （2，7，1，1，1，9）， （2，9，1，1，1，7）， （1，18，1，1，1，7）， （1，9，1，1，1，14）， （1，14，1，1，1，9）， （1，7，1，1，1，18）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{6}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（1，7，1，1，9，1）， （1，9，1，1，7，1）， （1，7，1，1，9，2）， （1，9，1，1，7，2）， （1，7，1，2，9，1）， （1，9，1，2，7，1）， （1，7，2，1，9，1）， （1，9，2，1，7，1）， （2，7，1，1，9，1）， （2，9，1，1，7，1）， （1，18，1，1，7，1）， （1，9，1，1，14，1）， （1，14，1，1，9，1）， （1，7，1，1，18，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{6}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（7，1，1，1，1，9）， （9，1，1，1，1，7）， （7，1，1，1，2，9）， （9，1，1，1，2，7）， （7，1，1，2，1，9）， （9，1，1，2，1，7）， （7，1，2，1，1，9）， （9，1，2，1，1，7）， （7，2，1，1，1，9）， （9，2，1，1，1，7）， （18，1，1，1，1，7）， （9，1，1，1，1，14）， （14，1，1，1，1，9），（7，1，1，1，1，18）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{6}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（7，1，1，1，9，1）， （9，1，1，1，7，1）， （7，1，1，1，9，2）， （9，1，1，1，7，2）， （7，1，1，2，9，1）， （9，1，1，2，7，1）， （7，1，2，1，9，1）， （9，1，2，1，7，1）， （7，2，1，1，9，1）， （9，2，1，1，7，1）， （18，1，1，1，7，1）， （9，1，1，1，14，1）， （14，1，1，1，9，1）， （7，1，1，1，18，1）.

情况 1.2.2\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{6}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{3}， 由引理 2 可知， 此时没有满足方程 （1） 的解.

情况 1.2.3\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{6}， \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{3}， 由引理 2 可知， 此时没有满足方程 （1） 的解.

情况1.2.4\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{3}， 由引理 2 可知， 此时没有满足方程 （1） 的解.

情况 2 当 f\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}时， 由方程 （1） 可得

\begin{array}{l}\mathrm{2}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\\ \mathrm{2}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{4}\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right),\end{array}

从而得到

\frac{\mathrm{1}}{\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)}+\frac{\mathrm{2}}{\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)}=\mathrm{1}.

由引理 2 可知， 此时满足条件的只有 2 种情况，即情况2.1和情况2.2. 由于x_{\mathrm{1}}、 x_{\mathrm{2}}、 x_{\mathrm{3}}、x_{\mathrm{4}} 的作用是相同的， x_{\mathrm{5}}、x_{\mathrm{6}} 的作用是相同的， 不妨只考虑\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)，\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)这种情况， 其他情况可由对称性得到.

情况2.1\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{4}， 此时，\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{16}，x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}=\mathrm{17}，\mathrm{32}，\mathrm{34}，\mathrm{40}，\mathrm{48}，\mathrm{60}.

情况 2.1.1\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{4}， \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（1，1，1，8，1，4）， （1，1，1，10，1，4）， （1，1，1，5，2，4）， （1，1，2，5，1，4）， （1，2，1，5，1，4）， （2，1，1，5，1，4）， （1，1，1，8，1，6）， （1，1，1，12，1，4）， （1，1，1，8，2，3）， （1，1，2，8，1，3）， （1，2，1，8，1，3）， （2，1，1，8，1，3）， （1，1，1，10，1，6）， （1，1，1，10，2，3）， （1，1，2，10，1，3）， （1，2，1，10，1，3）， （2，1，1，10，1，3）， （1，1，1，5，2，6）， （1，1，2，5，1，6）， （1，2，1，5，1，6）， （2，1，1，5，1，6）， （1，1，2，5，2，3）， （1，2，1，5，2，3）， （2，1，1，5，2，3）， （1，2，2，5，1，3）， （2，1，2，5，1，3）， （2，2，1，5，1，3）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{4}， \phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（1，1，1，8，4，1）， （1，1，1，10，4，1）， （1，1，1，5，4，2）， （1，1，2，5，4，1）， （1，2，1，5，4，1）， （2，1，1，5，4，1）， （1，1，1，8，6，1）， （1，1，1，12，4，1）， （1，1，1，8，3，2）， （1，1，2，8，3，1）， （1，2，1，8，3，1）， （2，1，1，8，3，1）， （1，1，1，10，6，1）， （1，1，1，10，3，2）， （1，1，2，10，3，1）， （1，2，1，10，3，1）， （2，1，1，10，3，1）， （1，1，1，5，6，2）， （1，1，2，5，6，1）， （1，2，1，5，6，1）， （2，1，1，5，6，1）， （1，1，2，5，3，2）， （1，2，1，5，3，2）， （2，1，1，5，3，2）， （1，2，2，5，3，1）， （2，1，2，5，3，1）， （2，2，1，5，3，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{4}， \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（1，1，8，1，1，4）， （1，1，10，1，1，4）， （1，1，5，1，2，4）， （1，1，5，2，1，4）， （1，2，5，1，1，4）， （2，1，5，1，1，4）， （1，1，8，1，1，6）， （1，1，12，1，1，4）， （1，1，8，1，2，3）， （1，1，8，2，1，3）， （1，2，8，1，1，3）， （2，1，8，1，1，3）， （1，1，10，1，1，6）， （1，1，10，1，2，3）， （1，1，10，2，1，3）， （1，2，10，1，1，3）， （2，1，10，1，1，3）， （1，1，5，1，2，6）， （1，1，5，2，1，6）， （1，2，5，1，1，6）， （2，1，5，1，1，6）， （1，1，5，2，2，3）， （1，2，5，1，2，3）， （2，1，5，1，2，3）， （1，2，5，2，1，3）， （2，1，5，2，1，3）， （2，2，5，1，1，3）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{4}， \phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（1，1，8，1，4，1）， （1，1，10，1，4，1）， （1，1，5，1，4，2）， （1，1，5，2，4，1）， （1，2，5，1，4，1）， （2，1，5，1，4，1）， （1，1，8，1，6，1）， （1，1，12，1，4，1）， （1，1，8，1，3，2）， （1，1，8，2，3，1）， （1，2，8，1，3，1）， （2，1，8，1，3，1）， （1，1，10，1，6，1）， （1，1，10，1，3，2，）， （1，1，10，2，3，1）， （1，2，10，1，3，1）， （2，1，10，1，3，1）， （1，1，5，1，6，2）， （1，1，5，2，6，1）， （1，2，5，1，6，1）， （2，1，5，1，6，1）， （1，1，5，2，3，2）， （1，2，5，1，3，2）， （2，1，5，1，3，2）， （1，2，5，2，3，1）， （2，1，5，2，3，1）， （2，2，5，1，3，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{4}， \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（1，8，1，1，1，4）， （1，10，1，1，1，4）， （1，5，1，1，2，4）， （1，5，1，2，1，4）， （1，5，2，1，1，4）， （2，5，1，1，1，4）， （1，8，1，1，1，6）， （1，12，1，1，1，4）， （1，8，1，1，2，3）， （1，8，1，2，1，3）， （1，8，2，1，1，3）， （2，8，1，1，1，3）， （1，10，1，1，1，6）， （1，10，1，1，2，3）， （1，10，1，2，1，3）， （1，10，2，1，1，3）， （2，10，1，1，1，3）， （1，5，1，1，2，6）， （1，5，1，2，1，6）， （1，5，2，1，1，6）， （2，5，1，1，1，6）， （1，5，1，2，2，3）， （1，5，2，1，2，3）， （2，5，1，1，2，3）， （1，5，2，2，1，3）， （2，5，1，2，1，3）， （2，5，2，1，1，3） .

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{4}， \phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（1，8，1，1，4，1）， （1，10，1，1，4，1）， （1，5，1，1，4，2）， （1，5，1，2，4，1）， （1，5，2，1，4，1）， （2，5，1，1，4，1）， （1，8，1，1，6，1）， （1，12，1，1，4，1）， （1，8，1，1，3，2）， （1，8，1，2，3，1）， （1，8，2，1，3，1）， （2，8，1，1，3，1）， （1，10，1，1，6，1）， （1，10，1，1，3，2，）， （1，10，1，2，3，1）， （1，10，2，1，3，1）， （2，10，1，1，3，1）， （1，5，1，1，6，2）， （1，5，1，2，6，1）， （1，5，2，1，6，1）， （2，5，1，1，6，1）， （1，5，1，2，3，2）， （1，5，2，1，3，2）， （2，5，1，1，3，2）， （1，5，2，2，3，1）， （2，5，1，2，3，1）， （2，5，2，1，3，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{4}， \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（8，1，1，1，1，4）， （10，1，1，1，1，4）， （5，1，1，1，2，4）， （5，1，1，2，1，4）， （5，1，2，1，1，4）， （5，2，1，1，1，4）， （8，1，1，1，1，6）， （12，1，1，1，1，4）， （8，1，1，1，2，3）， （8，1，1，2，1，3）， （8，1，2，1，1，3）， （8，2，1，1，1，3）， （10，1，1，1，1，6）， （10，1，1，1，2，3）， （10，1，1，2，1，3）， （10，1，2，1，1，3）， （10，2，1，1，1，3）， （5，1，1，1，2，6）， （5，1，1，2，1，6）， （5，1，2，1，1，6）， （5，2，1，1，1，6）， （5，1，1，2，2，3）， （5，1，2，1，2，3）， （5，2，1，1，2，3）， （5，1，2，2，1，3）， （5，2，1，2，1，3）， （5，2，2，1，1，3）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{4}， \phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（8，1，1，1，4，1）， （10，1，1，1，4，1）， （5，1，1，1，4，2）， （5，1，1，2，4，1）， （5，1，2，1，4，1）， （5，2，1，1，4，1）， （8，1，1，1，6，1）， （12，1，1，1，4，1）， （8，1，1，1，3，2）， （8，1，1，2，3，1）， （8，1，2，1，3，1）， （8，2，1，1，3，1）， （10，1，1，1，6，1）， （10，1，1，1，3，2）， （10，1，1，2，3，1）， （10，1，2，1，3，1）， （10，2，1，1，3，1）， （5，1，1，1，6，2）， （5，1，1，2，6，1）， （5，1，2，1，6，1）， （5，2，1，1，6，1）， （5，1，1，2，3，2）， （5，1，2，1，3，2），（5，2，1，1，3，2），（5，1，2，2，3，1），（5，2，1，2，3，1），（5，2，2，1，3，1）.

情况 2.1.2\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程 （1）的解为（1，1，3，4，1，4）， （1，1，4，3，1，4）， （1，1，4，4，1，3）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1） 的解为（1，1，3，4，4，1）， （1，1，4，3，4，1）， （1，1，4，4，3，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1） 的解为（1，3，1，4，1，4）， （1，4，1，3，1，4）， （1，4，1，4，1，3）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1） 的解为 （1，3，1，4，4，1）， （1，4，1，3，4，1）， （1，4，1，4，3，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}，\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1） 的解为（3，1，1，4，1，4）， （4，1，1，3，1，4）， （4，1，1，4，1，3）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1） 的解为（3，1，1，4，4，1）， （4，1，1，3，4，1）， （4，1，1，4，3，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1） 的解为（3，1，4，1，1，4）， （4，1，3，1，1，4）， （4，1，4，1，1，3）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1） 的解为（3，1，4，1，4，1）， （4，1，3，1，4，1）， （4，1，4，1，3，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1） 的解为（3，4，1，1，1，4）， （4，3，1，1，1，4）， （4，4，1，1，1，3）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1） 的解为（3，4，1，1，4，1）， （4，3，1，1，4，1）， （4，4，1，1，3，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1） 的解为（1，4，3，1，1，4）， （1，3，4，1，1，4）， （1，4，4，1，1，3）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1） 的解为（1，4，3，1，4，1）， （1，3，4，1，4，1）， （1，4，4，1，3，1）.

情况 2.2\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{3}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{3}， 由引理 2 可知， 此时满足方程 （1） 的解不存在.

情况 3 当 f\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{3}时， 由方程 （1） 可得

\begin{array}{l}\mathrm{3}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\\ \mathrm{2}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{4}\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right),\end{array}

从而得到

\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)}=\mathrm{1}.

由引理 2 可知， 此时满足条件的只有 2 种情况，即情况3.1和情况3.2. 由于x_{\mathrm{1}}、 x_{\mathrm{2}}、 x_{\mathrm{3}}、x_{\mathrm{4}} 的作用是相同的， x_{\mathrm{5}}、x_{\mathrm{6}} 的作用是相同的， 不妨只考虑\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)，\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)这种情况， 其他情况可由对称性得到.

情况3.1\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{4}， 此时，\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{12}，x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}=\mathrm{13}，\mathrm{21}，\mathrm{26}，\mathrm{28}，\mathrm{36}，\mathrm{42}.

情况 3.1.1\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \varphi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{6}，经验证， 此时满足方程 （1） 的解不存在.

情况 3.1.2\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程 （1）的解为（1，1，6，6，1，1）， （1，1，3，6，1，2）， （1，1，6，3，1，2）， （1，1，3，6，2，1）， （1，1，6，3，2，1）， （1，2，3，6，1，1）， （1，2，6，3，1，1）， （2，1，3，6，1，1）， （2，1，6，3，1，1）， （1，1，3，3，2，2）， （1，2，3，3，1，2）， （1，2，3，3，2，1）， （2，1，3，3，1，2）， （2，1，3，3，2，1）， （2，2，3，3，1，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{2}，经验证， 此时满足方程（1）的解为（1，6，1，6，1，1）， （1，3，1，6，1，2）， （1，6，1，3，1，2）， （1，3，1，6，2，1）， （1，6，1，3，2，1）， （1，3，2，6，1，1）， （1，6，2，3，1，1）， （2，3，1，6，1，1）， （2，6，1，3，1，1）， （1，3，1，3，2，2）， （1，3，2，3，1，2）， （1，3，2，3，2，1）， （2，3，1，3，1，2）， （2，3，1，3，2，1）， （2，3，2，3，1，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（6，1，1，6，1，1）， （3，1，1，6，1，2）， （6，1，1，3，1，2）， （3，1，1，6，2，1）， （6，1，1，3，2，1）， （3，1，2，6，1，1）， （6，1，2，3，1，1）， （3，2，1，6，1，1）， （6，2，1，3，1，1）， （3，1，1，3，2，2）， （3，1，2，3，1，2）， （3，1，2，3，2，1）， （3，2，1，3，1，2）， （3，2，1，3，2，1）， （3，2，2，3，1，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（1，6，6，1，1，1）， （1，3，6，1，1，2）， （1，6，3，1，1，2）， （1，3，6，1，2，1）， （1，6，3，1，2，1）， （1，3，6，2，1，1）， （1，6，3，2，1，1）， （2，3，6，1，1，1）， （2，6，3，1，1，1）， （1，3，3，1，2，2）， （1，3，3，2，1，2）， （1，3，3，2，2，1）， （2，3，3，1，1，2）， （2，3，3，1，2，1）， （2，3，3，2，1，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（6，1，6，1，1，1）， （3，1，6，1，1，2）， （6，1，3，1，1，2）， （3，1，6，1，2，1）， （6，1，3，1，2，1）， （3，1，6，2，1，1）， （6，1，3，2，1，1）， （3，2，6，1，1，1）， （6，2，3，1，1，1）， （3，1，3，1，2，2）， （3，1，3，2，1，2）， （3，1，3，2，2，1）， （3，2，3，1，1，2）， （3，2，3，1，2，1）， （3，2，3，2，1，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（6，6，1，1，1，1）， （3，6，1，1，1，2）， （6，3，1，1，1，2）， （3，6，1，1，2，1）， （6，3，1，1，2，1）， （3，6，1，2，1，1）， （6，3，1，2，1，1）， （3，6，2，1，1，1）， （6，3，2，1，1，1）， （3，3，1，1，2，2）， （3，3，1，2，1，2）， （3，3，1，2，2，1）， （3，3，2，1，1，2）， （3，3，2，1，2，1）， （3，3，2，2，1，1）.

情况3.2\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{2}， 此时\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{12}，x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}=\mathrm{13}，\mathrm{21}，\mathrm{26}，\mathrm{28}，\mathrm{36}，\mathrm{42}.\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（1，1，1，6，1，6）， （1，1，1，3，2，6）， （1，1，1，6，2，3）， （1，1，2，3，1，6）， （1，1，2，6，1，3）， （1，2，1，3，1，6）， （1，2，1，6，1，3）， （2，1，1，3，1，6）， （2，1，1，6，1，3）， （1，1，2，3，2，3）， （1，2，1，3，2，3）， （2，1，1，3，2，3）， （1，2，2，3，1，3）， （2，1，2，3，1，3）， （2，2，1，3，1，3）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（1，1，1，6，6，1）， （1，1，1，3，6，2）， （1，1，1，6，3，2）， （1，1，2，3，6，1）， （1，1，2，6，3，1）， （1，2，1，3，6，1）， （1，2，1，6，3，1）， （2，1，1，3，6，1）， （2，1，1，6，3，1）， （1，1，2，3，3，2）， （1，2，1，3，3，2）， （2，1，1，3，3，2）， （1，2，2，3，3，1）， （2，1，2，3，3，1）， （2，2，1，3，3，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（1，1，6，1，1，6）， （1，1，3，1，2，6）， （1，1，6，1，2，3）， （1，1，3，2，1，6）， （1，1，6，2，1，3）， （1，2，3，1，1，6）， （1，2，6，1，1，3）， （2，1，3，1，1，6）， （2，1，6，1，1，3）， （1，1，3，2，2，3）， （1，2，3，1，2，3）， （2，1，3，1，2，3）， （1，2，3，2，1，3）， （2，1，3，2，1，3）， （2，2，3，1，1，3）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（1，1，6，1，6，1）， （1，1，3，1，6，2）， （1，1，6，1，3，2）， （1，1，3，2，6，1）， （1，1，6，2，3，1）， （1，2，3，1，6，1）， （1，2，6，1，3，1）， （2，1，3，1，6，1）， （2，1，6，1，3，1）， （1，1，3，2，3，2）， （1，2，3，1，3，2）， （2，1，3，1，3，2）， （1，2，3，2，3，1）， （2，1，3，2，3，1）， （2，2，3，1，3，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（1，6，1，1，1，6）， （1，3，1，1，2，6）， （1，6，1，1，2，3）， （1，3，1，2，1，6）， （1，6，1，2，1，3）， （1，3，2，1，1，6）， （1，6，2，1，1，3）， （2，3，1，1，1，6）， （2，6，1，1，1，3）， （1，3，1，2，2，3）， （1，3，2，1，2，3）， （2，3，1，1，2，3）， （1，3，2，2，1，3）， （2，3，1，2，1，3）， （2，3，2，1，1，3）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（1，6，1，1，6，1）， （1，3，1，1，6，2）， （1，6，1，1，3，2）， （1，3，1，2，6，1）， （1，6，1，2，3，1）， （1，3，2，1，6，1）， （1，6，2，1，3，1）， （2，3，1，1，6，1）， （2，6，1，1，3，1）， （1，3，1，2，3，2）， （1，3，2，1，3，2）， （2，3，1，1，3，2）， （1，3，2，2，3，1）， （2，3，1，2，3，1）， （2，3，2，1，3，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（6，1，1，1，1，6）， （3，1，1，1，2，6）， （6，1，1，1，2，3）， （3，1，1，2，1，6）， （6，1，1，2，1，3）， （3，1，2，1，1，6）， （6，1，2，1，1，3）， （3，2，1，1，1，6）， （6，2，1，1，1，3）， （3，1，1，2，2，3）， （3，1，2，1，2，3）， （3，2，1，1，2，3）， （3，1，2，2，1，3）， （3，2，1，2，1，3）， （3，2，2，1，1，3）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（6，1，1，1，6，1）， （3，1，1，1，6，2）， （6，1，1，1，3，2）， （3，1，1，2，6，1）， （6，1，1，2，3，1）， （3，1，2，1，6，1）， （6，1，2，1，3，1）， （3，2，1，1，6，1）， （6，2，1，1，3，1）， （3，1，1，2，3，2）， （3，1，2，1，3，2）， （3，2，1，1，3，2）， （3，1，2，2，3，1）， （3，2，1，2，3，1）， （3，2，2，1，3，1）.

情况 4 当f\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{4}时， 由方程 （1） 可得

\begin{array}{l}\mathrm{4}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\\ \mathrm{2}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{4}\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right),\end{array}

从而得到

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)}=\mathrm{1}.

由引理 2 可知， 此时满足条件的只有 1 种情况. 由于x_{\mathrm{1}}、 x_{\mathrm{2}}、x_{\mathrm{3}}、x_{\mathrm{4}} 的作用是相同的， x_{\mathrm{5}}、x_{\mathrm{6}} 的作用是相同的， 不妨只考虑\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)，\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)这种情况， 其他情况可由对称性得到.

\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}，\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{2}， 此时\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{8}，x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}=\mathrm{15}，\mathrm{16}，\mathrm{20}，\mathrm{24}，\mathrm{30}.\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程 （1） 的解为（1，1，1，4，2，2）， （1，1，2，4，1，2）， （1，1，2，4，2，1）， （1，2，1，4，1，2）， （1，2，1，4，2，1）， （2，1，1，4，1，2）， （2，1，1，4，2，1）， （2，1，2，4，1，1）， （2，2，1，4，1，1）， （1，2，2，4，1，1）， （1，1，1，6，2，2）， （1，1，2，6，2，1）， （1，1，2，6，1，2）， （1，2，1，6，1，2）， （1，2，1，6，2，1）， （2，1，1，6，1，2）， （2，1，1，6，2，1）， （2，1，2，6，1，1）， （2，2，1，6，1，1）， （1，2，2，6，1，1）， （1，2，1，3，2，2）， （1，1，2，3，2，2）， （2，1，1，3，2，2）， （1，2，2，3，1，2）， （1，2，2，3，2，1）， （2，2，1，3，1，2）， （2，2，1，3，2，1）， （2，1，2，3，1，2）， （2，1，2，3，2，1）， （2，2，2，3，1，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（1，1，4，1，2，2）， （1，1，4，2，1，2）， （1，1，4，2，2，1）， （1，2，4，1，1，2）， （1，2，4，1，2，1）， （2，1，4，1，1，2）， （2，1，4，1，2，1）， （2，1，4，2，1，1）， （2，2，4，1，1，1）， （1，2，4，2，1，1）， （1，1，6，1，2，2）， （1，1，6，2，2，1）， （1，1，6，2，1，2）， （1，2，6，1，1，2）， （1，2，6，1，2，1）， （2，1，6，1，1，2）， （2，1，6，1，2，1）， （2，1，6，2，1，1）， （2，2，6，1，1，1）， （1，2，6，2，1，1）， （1，2，3，1，2，2）， （1，1，3，2，2，2）， （2，1，3，1，2，2）， （1，2，3，2，1，2）， （1，2，3，2，2，1）， （2，2，3，1，1，2）， （2，2，3，1，2，1）， （2，1，3，2，1，2）， （2，1，3，2，2，1）， （2，2，3，2，1，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（1，4，1，1，2，2）， （1，4，1，2，1，2）， （1，4，1，2，2，1）， （1，4，2，1，1，2）， （1，4，2，1，2，1）， （2，4，1，1，1，2）， （2，4，1，1，2，1）， （2，4，1，2，1，1）， （2，4，2，1，1，1）， （1，4，2，2，1，1）， （1，6，1，1，2，2）， （1，6，1，2，2，1）， （1，6，1，2，1，2）， （1，6，2，1，1，2）， （1，6，2，1，2，1）， （2，6，1，1，1，2）， （2，6，1，1，2，1）， （2，6，1，2，1，1）， （2，6，2，1，1，1）， （1，6，2，2，1，1）， （1，3，2，1，2，2）， （1，3，1，2，2，2）， （2，3，1，1，2，2）， （1，3，2，2，1，2）， （1，3，2，2，2，1）， （2，3，2，1，1，2）， （2，3，2，1，2，1）， （2，3，1，2，1，2）， （2，3，1，2，2，1）， （2，3，2，2，1，1）.

由对称性可得， \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)=\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}， \phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{2}， 经验证， 此时满足方程（1）的解为（4，1，1，1，2，2）， （4，1，1，2，1，2）， （4，1，1，2，2，1）， （4，1，2，1，1，2）， （4，1，2，1，2，1）， （4，2，1，1，1，2）， （4，2，1，1，2，1）， （4，2，1，2，1，1）， （4，2，2，1，1，1）， （4，1，2，2，1，1）， （6，1，1，1，2，2）， （6，1，1，2，2，1）， （6，1，1，2，1，2）， （6，1，2，1，1，2）， （6，1，2，1，2，1）， （6，2，1，1，1，2）， （6，2，1，1，2，1）， （6，2，1，2，1，1）， （6，2，2，1，1，1）， （6，1，2，2，1，1）， （3，1，2，1，2，2）， （3，1，1，2，2，2）， （3，2，1，1，2，2）， （3，1，2，2，1，2）， （3，1，2，2，2，1）， （3，2，2，1，1，2）， （3，2，2，1，2，1）， （3，2，1，2，1，2）， （3，2，1，2，2，1）， （3，2，2，2，1，1）.

情况 5 当f\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{5}时， 由方程 （1） 可得

\begin{array}{l}\mathrm{5}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\\ \mathrm{2}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{4}\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right),\end{array}

从而得到

\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)}=\mathrm{1}.

由引理 2 可知， 此时满足条件的只有 1 种情况. 由于x_{\mathrm{1}}、x_{\mathrm{2}}、x_{\mathrm{3}}、x_{\mathrm{4}} 的作用是相同的， x_{\mathrm{5}}、x_{\mathrm{6}} 的作用是相同的， 不妨只考虑\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)，\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)这种情况， 其他情况可由对称性得到.

\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}，\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{1}， 此时，\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{10}，x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}=\mathrm{22}， \mathrm{11}. 经验证， 满足方程 （1） 的解不存在.

情况 6 当f\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{6}时， 由方程 （1） 可得

\mathrm{6}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{4}\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right),

从而得到

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)}=\mathrm{1}.

由引理 2 可知， 此时满足条件的只有 1 种情况. 由于x_{\mathrm{1}}、x_{\mathrm{2}}、x_{\mathrm{3}}、x_{\mathrm{4}} 的作用是相同的， x_{\mathrm{5}}、x_{\mathrm{6}}的作用是相同的， 不妨只考虑\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)，\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\le \phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)这种情况， 其他情况可由对称性得到.

\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{1}，\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{1}， 此时，\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{6}，x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}=\mathrm{7}，\mathrm{9}，\mathrm{14}，\mathrm{18}. 经验证， 满足方程 （1） 的解不存在.

综上所述， 已经求出方程\phi \left(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{4}}{x}_{\mathrm{5}}{x}_{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{2}\phi \left(x_{\mathrm{1}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{2}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{3}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{4}\phi \left(x_{\mathrm{5}}\right)\phi \left(x_{\mathrm{6}}\right)的所有正整数解， 共 766 组， 当x_{\mathrm{1}}\le x_{\mathrm{2}}\le x_{\mathrm{3}}\le x_{\mathrm{4}}，x_{\mathrm{5}}\le x_{\mathrm{6}}时， 它的解共有 54组.

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基金资助

国家自然科学基金项目(11771351)