关于广义Tribonacci四元数的推广

On the generalization of generalized Tribonacci quaternions

摘要

本文将广义Tribonacci数列与3-参数四元数相结合，构建了一种新型的数学结构——广义Tribonacci 3-参数广义四元数（3PGQs），以拓展四元数代数的应用范围.为此，详细探讨了这种特殊的数值系统，并推导出一系列新的等式及著名的经典恒等式，包括Binet公式、生成函数、指数生成函数、Poisson生成函数、求和公式、Cassini恒等式、极坐标表示和矩阵公式等.此外，还介绍了与广义Tribonacci 3PGQs的矩阵表示密切相关的行列式、特征多项式、特征方程、特征值和特征向量等内容，为该领域的进一步研究奠定了理论基础.

Abstract

This study aims to combine the generalized Tribonacci sequence with 3-parameter quaternions to construct a new mathematical structure： generalized Tribonacci 3-parameter generalized quaternions （3PGQs）， in order to expand the application scope of quaternion algebra. To achieve this， this special numerical system was explored in detail， and a series of new equations and well-known classical identities were derived， including Binet’s formula， generating functions， exponential generating functions， Poisson generating functions， summation formulas， Cassini identity， polar coordinate representations， and matrix formulas， etc. In addition， the study introduced content closely related to the matrix representation of generalized Tribonacci 3PGQs， such as determinants， characteristic polynomials， characteristic equations， eigenvalues， and eigenvectors， laying a theoretical foundation for further research in this field.

关键词

广义Tribonacci数列 / 3-参数广义四元数 / 代数性质 / 基本矩阵 / 矩阵公式

Key words

generalized Tribonacci sequence / 3-parameter generalized quaternions / algebraic properties / fundamental matrix / matrix formulas

在数学和物理学的诸多领域， 四元数代数作为一种重要的非交换代数结构， 已经展现出其独特的应用价值.然而， 随着研究的深入， 传统的四元数结构已无法满足日益复杂的数学模型和物理现象的描述需求.因此， 探索四元数的推广形式及其与特殊数列的结合， 成为当前研究的一个重要方向. 本研究旨在将广义Tribonacci数列与3-参数广义四元数相结合， 构建一种新的数学结构——广义Tribonacci 3-参数广义四元数（3PGQs）， 以拓展四元数代数在数学和物理学中的应用范围.

自1843年Hamilton引入四元数以来， 四元数代数一直是数学研究的热点. 经典四元数作为一种非交换、可结合的4-维Clifford代数， 在图论、计算机科学和微分几何等领域有着广泛应用. 然而， 其在某些特殊场景下的局限性，促使研究者们探索其推广形式. 其中四元数集合为\mathbb{H}=\{q|q=q_{\mathrm{0}}+q_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+q_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+q_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}，q_{\mathrm{0}}，q_{\mathrm{1}}，q_{\mathrm{2}}，q_{\mathrm{3}}\in \mathbb{R}\}， e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}},e_{\mathrm{3}}满足乘法规则e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}=e_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}=e_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}=-\mathrm{1}，e_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{2}}=-e_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{1}}=e_{\mathrm{3}}，e_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{3}}=-e_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{2}}=e_{\mathrm{1}}，e_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{1}}=-e_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{3}}=e_{\mathrm{2}}^［1］.继Hamilton之后， 英国数学家James Cockle又研究了分裂四元数^［2］.分裂四元数满足乘法规则e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}=-\mathrm{1}， e_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}=e_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{1}， e_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{2}}=-e_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{1}}=e_{\mathrm{3}}， e_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{3}}=-e_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{2}}=-e_{\mathrm{1}}， e_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{3}}=\mathrm{1}.在此基础上，文献［3-7］研究了2-参数广义四元数（2PGQs），它是对实四元数、分裂四元数等的推广.一般地，2PGQs的集合为{\mathbb{H}}_{{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}}=\{q|q=q_{\mathrm{0}}+q_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+q_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+q_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}，q_{\mathrm{0}}，q_{\mathrm{1}}，q_{\mathrm{2}}，q_{\mathrm{3}}，{\lambda }_{\mathrm{1}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}\in \mathbb{R}\}， 其中，e_{\mathrm{1}}，e_{\mathrm{2}}，e_{\mathrm{3}}满足乘法规则e_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}=-{\lambda }_{\mathrm{1}}， e_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}=-{\lambda }_{\mathrm{2}}， e_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}=-{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}， e_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{2}}=-e_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{1}}=e_{\mathrm{3}}， e_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{3}}=-e_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{2}}={\lambda }_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{1}}， e_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{1}}=-e_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{3}}={\lambda }_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{2}}. 容易看出， 当{\lambda }_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}时， q是实四元数； 当{\lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，{\lambda }_{\mathrm{2}}=-\mathrm{1}时， q是分裂四元数； 当{\lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，{\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}时，q是半四元数； 当{\lambda }_{\mathrm{1}}=-\mathrm{1}，{\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}时， q是分裂半四元数； 当{\lambda }_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}时， q是1/4四元数. 此外，为了推广2-参数广义四元数， Şentürk等^［8］又提出了一种被称为3-参数广义四元数（3PGQs）的新类型，并对其代数结构进行了深入研究.3PGQs的集合\mathbb{K}=\{q|q=q_{\mathrm{0}}+q_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+q_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+q_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}，q_{\mathrm{0}}，q_{\mathrm{1}}，q_{\mathrm{2}}，q_{\mathrm{3}}，{\lambda }_{\mathrm{1}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}，{\lambda }_{\mathrm{3}}\in \mathbb{R}\}， 其中，单位元\mathrm{1}，e_{\mathrm{1}}，e_{\mathrm{2}}，e_{\mathrm{3}}满足表1给出的乘法规则.

显然，对{\lambda }_i\in\{\mathrm{1,2},\mathrm{3}\}进行不同取值，可得3PGQs的一些特殊情况.例如，当{\lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，{\lambda }_{\mathrm{2}}，{\lambda }_{\mathrm{3}}\in \mathbb{R}时， q是2PGQs； 当{\lambda }_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}，{\lambda }_{\mathrm{3}}=-\mathrm{1}时，q是分裂四元数； 当{\lambda }_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{2}}={\lambda }_{\mathrm{3}}=\mathrm{1}时， q是实四元数； 当{\lambda }_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}，{\lambda }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}时， q是半四元数； 当{\lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，{\lambda }_{\mathrm{2}}=-\mathrm{1}，{\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}时， q是分裂半四元数； 当{\lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，{\lambda }_{\mathrm{2}}={\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}时， q是1/4四元数.

特殊数列一直是数学研究中的热门课题. 广义Tribonacci数列作为三阶线性递推数列的一般形式， 涵盖了Tribonacci、Padovan、Narayana以及三阶Jacobsthal等著名数列， 具有重要的理论和应用价值. 近年来， 研究者们开始探索以特殊递推数列作为分量的四元数类型， 例如Fibonacci四元数、Jacobsthal四元数等， 为四元数代数的研究开辟了新的方向. 本文重点结合三阶线性递推数列的一般形式——广义Tribonacci数列^［9-10］来讨论四元数.

对n\ge \mathrm{3}，广义Tribonacci数列\{V_n(V_{\mathrm{0}},V_{\mathrm{1}},V_{\mathrm{2}};{r,s,t)\}}_{n\ge \mathrm{0}}（简写为\{V_n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}）的定义为

V_n=r{V}_{n-\mathrm{1}}+s{V}_{n-\mathrm{2}}+t{V}_{n-\mathrm{3}}，

其中，初始值V_{\mathrm{0}}=a， V_{\mathrm{1}}=b， V_{\mathrm{2}}=c是任意整数，系数r,s,t是实数.

广义Tribonacci数列是对Tribonacci、Padovan、Narayana以及三阶Jacobsthal等著名数列的推广.例如，数列\{V_n{(\mathrm{0,0},\mathrm{1};\mathrm{1,1},\mathrm{1})\}}_{n\ge \mathrm{0}}和\{V_n{(\mathrm{0,1},\mathrm{0};\mathrm{0,1},\mathrm{1})\}}_{n\ge \mathrm{0}}分别是Tribonacci数列^［11］和Padovan数列^［8］.

探讨以不同的特殊递推数列作为分量的四元数类型是一个非常有趣的课题.许多研究者对此进行了广泛研究.例如，文献［12］研究了Fibonacci四元数矩阵及其重要恒等式； 文献［13］探讨了广义Fibonacci四元数； 文献［14］和［15］分别研究了Jacobsthal、Pell和Pell-Lucas四元数； 文献［16］引入了分裂k-Fibonacci和分裂k-Lucas四元数. 此外，文献［17-18］引入了h（x）-Fibonacci四元数和修正的Pell和k-Pell四元数； 文献［19］研究了Pell和Pell-Lucas分裂四元数；文献［20-21］详细研究了Horadam 3PGQs和Horadam混合四元数； 文献［22-23］研究了Fibonacci、Lucas、Jacobsthal和Jacobsthal-Lucas 3PGQs； 文献［24］研究了对偶高阶Jacobsthal四元数.2024年， 文献［25］定义并研究了具有高阶广义Fibonacci数分量的3PGQs.

本文的主要贡献包括： 1） 提出广义Tribonacci 3-参数广义四元数的定义及其基本性质； 2） 推导出其Binet公式、生成函数等重要数学公式； 3） 探讨其矩阵表示及其特征值和特征向量， 为该领域的进一步研究奠定理论基础.

1 预备知识

1.1 3-参数广义四元数的基本性质

首先回顾一下3PGQs的基本概念和性质.

3-参数广义四元数的单位元记为e_{\mathrm{0}}\mathrm{、}{e}_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{e}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{e}_{\mathrm{3}}， 其乘法规则如表1所示.

对q=q_{\mathrm{0}}+q_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+q_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+q_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}，p=p_{\mathrm{0}}+p_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+p_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+p_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}\in \mathbb{K}， 考虑表1中的乘法规则，下面是3PGQs的一些基本代数性质：

① 相等：q=p\iffq_i=p_i（i=\mathrm{0,1},\mathrm{2,3}）.

② 加法与减法：q\pmp=(q_{\mathrm{0}}\pm p_{\mathrm{0}})+(q_{\mathrm{1}}\pm p_{\mathrm{1}})e_{\mathrm{1}}+(q_{\mathrm{2}}\pm p_{\mathrm{2}})e_{\mathrm{2}}+(q_{\mathrm{3}}\pm p_{\mathrm{3}})e_{\mathrm{3}}.

③ 数量乘法：kq=k{q}_{\mathrm{0}}+k{q}_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+k{q}_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+k{q}_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}， k\in \mathbb{R}.

④ 标量与向量部分：q的标量部分与向量部分分别记为S_q=q_{\mathrm{0}}，V_q=q_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+q_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+q_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}， 因此， q=S_q+V_q.

⑤ 乘法：q\cdot p=S_q{S}_p-f(V_q,V_p)+S_q{V}_q+S_p{V}_p+V_q\wedge V_p， 其中，

f(V_q,V_p)={\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{1}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}q_{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{3}}{p}_{\mathrm{3}}，

V_q\wedge V_p=\left|\begin{array}{ccc}{\lambda }_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{1}}& {\lambda }_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}& {\lambda }_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{3}}\\ q_{\mathrm{1}}& q_{\mathrm{2}}& q_{\mathrm{3}}\\ p_{\mathrm{1}}& p_{\mathrm{2}}& p_{\mathrm{3}}\end{array}\right|=

{\lambda }_{\mathrm{3}}(q_{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{3}}-q_{\mathrm{3}}{p}_{\mathrm{2}})e_{\mathrm{1}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}(q_{\mathrm{3}}{p}_{\mathrm{1}}-q_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{3}})e_{\mathrm{2}}+

{\lambda }_{\mathrm{1}}(q_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{2}}-q_{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{1}})e_{\mathrm{3}}.

⑥ 共轭：\overline{q}=q_{\mathrm{0}}-q_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}-q_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}-q_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}.

⑦ 范数：N_q=\overline{q}\cdot q=q\cdot \overline{q}=q_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}.

⑧ 内积：〈q,p〉=q_{\mathrm{0}}{p}_{\mathrm{0}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{1}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{2}}{p}_{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{3}}{p}_{\mathrm{3}}.

⑨ 逆：q^{-\mathrm{1}}  =\overline{q}/N_q=  \frac{q_{\mathrm{0}}-q_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}-q_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}-q_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}}{q_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}} 且N_q\ne\mathrm{0}.

容易看到，S_{q\pm p}=q_{\mathrm{0}}\pmp_{\mathrm{0}}=S_q\pmS_p，V_{q\pm p}=V_q\pmV_p， \overline{q}=S_q-V_q.若N_q=\mathrm{1}， 则q是3-参数广义单位四元数^［8］.此外，若N_q>\mathrm{0}且\mathrm{\Theta }={\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}\ne\mathrm{0}，则q可表为极坐标形式q=\sqrt[]{N_q}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta+\widehat{q}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta )，其中，\widehat{q}=\frac{(q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}},q_{\mathrm{3}})}{\sqrt[]{\mathrm{\Theta }}}，\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta=\frac{q_{\mathrm{0}}}{\sqrt[]{N_q}}，\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta=\sqrt[]{\frac{\mathrm{\Theta }}{N_q}}， 并称\widehat{q}是3-参数广义单位四元数向量.另一方面，q的基本矩阵为

M_q=\left[\begin{array}{cccc}{q}_{\mathrm{0}}& -{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}& -{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{2}}& -{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{3}}\\ q_{\mathrm{1}}& q_{\mathrm{0}}& -{\lambda }_{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{3}}& {\lambda }_{\mathrm{3}}{q}_{\mathrm{2}}\\ q_{\mathrm{2}}& {\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{3}}& q_{\mathrm{0}}& -{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}\\ q_{\mathrm{3}}& -{\lambda }_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}& {\lambda }_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{1}}& q_{\mathrm{0}}\end{array}\right].

特别地，当{\lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，{\lambda }_{\mathrm{2}}，{\lambda }_{\mathrm{3}}\in \mathbb{R}时，M_q是2PGQs的基本矩阵； 当{\lambda }_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}，{\lambda }_{\mathrm{3}}=-\mathrm{1}时，M_q是分裂四元数的基本矩阵； 当{\lambda }_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{2}}={\lambda }_{\mathrm{3}}=\mathrm{1}时，M_q是实四元数的基本矩阵.此外，M_q的行列式是 \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(M_q)=N_q^{\mathrm{2}}， 特征方程是\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(M_q-t{I}_{\mathrm{4}})=\mathrm{0}\iffP_{M_q}(t)=(t^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{q}_{\mathrm{0}}t+N_q{)}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}， 特征根是t_{\mathrm{1,2}}=q_{\mathrm{0}}+\sqrt[]{-\mathrm{\Theta }}， t_{\mathrm{3,4}}=q_{\mathrm{0}}-\sqrt[]{-\mathrm{\Theta }}且t_{\mathrm{1,2}}{t}_{\mathrm{3,4}}=N_q， 对应于特征根t_{\mathrm{1,2}}和t_{\mathrm{3,4}}的特征向量分别为

{\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\lambda }_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}\sqrt[]{-\mathrm{\Theta }}-{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{3}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& \frac{q_{\mathrm{3}}\sqrt[]{-\mathrm{\Theta }}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& \mathrm{1},& \mathrm{0}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}，{\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{3}}\sqrt[]{-\mathrm{\Theta }}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& -\frac{q_{\mathrm{2}}\sqrt[]{-\mathrm{\Theta }}-{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{3}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& \mathrm{0},& \mathrm{1}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}

和

{\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\lambda }_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}\sqrt[]{-\mathrm{\Theta }}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{3}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& -\frac{q_{\mathrm{3}}\sqrt[]{-\mathrm{\Theta }}-{\lambda }_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& \mathrm{1},& \mathrm{0}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}，{\left[\begin{array}{cccc}-\frac{{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{3}}\sqrt[]{-\mathrm{\Theta }}-{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& \frac{q_{\mathrm{2}}\sqrt[]{-\mathrm{\Theta }}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{3}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{q}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& \mathrm{0},& \mathrm{1}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}.

1.2 广义Tribonacci数列的基本性质

广义Tribonacci数列的递推关系为：

V_n=r{V}_{n-\mathrm{1}}+s{V}_{n-\mathrm{2}}+t{V}_{n-\mathrm{3}}(n\ge \mathrm{3})，（1）

故其对应的特征方程是x^{\mathrm{3}}-r{x}^{\mathrm{2}}-sx-t=\mathrm{0}，其特征根为x_{\mathrm{1}}=\frac{r}{\mathrm{3}}+A+B， x_{\mathrm{2}}=\frac{r}{\mathrm{3}}+\omega A+{\omega }^{\mathrm{2}}B，x_{\mathrm{3}}=\frac{r}{\mathrm{3}}+{\omega }^{\mathrm{2}}A+\omega B，其中，A=\sqrt[\mathrm{3}]{\frac{r^{\mathrm{3}}}{\mathrm{27}}+\frac{rs}{\mathrm{6}}+\frac{t}{\mathrm{2}}+\sqrt[]{\mathbf{\Delta }}}，B=\sqrt[\mathrm{3}]{\frac{r^{\mathrm{3}}}{\mathrm{27}}+\frac{rs}{\mathrm{6}}+\frac{t}{\mathrm{2}}-\sqrt[]{\mathbf{\Delta }}}， 判别式\mathbf{\Delta }=\frac{r^{\mathrm{3}}t}{\mathrm{27}}  -  \frac{r^{\mathrm{2}}{s}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{108}}  +  \frac{rst}{\mathrm{6}}  -  \frac{s^{\mathrm{3}}}{\mathrm{27}}  +  \frac{t^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}，\omega=\frac{-\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt[]{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}.

本文始终约定\mathbf{\Delta }>\mathrm{0}.因此，特征方程始终有一个实根和两个共轭复根.于是，广义Tribonacci数列的Binet公式可表示为

V_n=\frac{P{x}_{\mathrm{1}}^n}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}  +  \frac{Q{x}_{\mathrm{2}}^n}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+

\frac{R{x}_{\mathrm{3}}^n}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}，（2）

其中，

P=c-(x_{\mathrm{2}}+x_{\mathrm{3}})b+x_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}a，Q=c-(x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{3}})b+x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{3}}a，R=c-(x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}})b+x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}a.

引理1 广义Tribonacci数列的Binet公式也可表示为

V_n=c{U}_n+(bs+at)U_{n-\mathrm{1}}+bt{U}_{n-\mathrm{2}}，（3）

其中，a、b、c是初始值，而数列\{U_n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}=\{V_n{(\mathrm{0,0},\mathrm{1};r,s,t)\}}_{n\ge \mathrm{0}}，且

U_n=\frac{x_{\mathrm{1}}^n}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}+\frac{x_{\mathrm{2}}^n}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+

\frac{x_{\mathrm{3}}^n}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}.（4）

注意到，生成\{V_n\}最有效的方法是利用文献［26］中定义的S-矩阵，S=\left[\begin{array}{ccc}r& s& t\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\right]，它是R-矩阵^［27］的一种推广.于是，有

\left[\begin{array}{c}{V}_{n+\mathrm{2}}\\ V_{n+\mathrm{1}}\\ V_n\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}r& s& t\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\right]}^n\left[\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{2}}\\ V_{\mathrm{1}}\\ V_{\mathrm{0}}\end{array}\right]，（5）

S^n={\left[\begin{array}{ccc}r& s& t\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{ccc}{U}_{n+\mathrm{2}}& s{U}_{n+\mathrm{1}}+t{U}_n& t{U}_{n+\mathrm{1}}\\ U_{n+\mathrm{1}}& s{U}_n+t{U}_{n-\mathrm{1}}& t{U}_n\\ U_n& s{U}_{n-\mathrm{1}}+t{U}_{n-\mathrm{2}}& t{U}_{n-\mathrm{1}}\end{array}\right]，（6）

其中，U_{-\mathrm{1}}=\mathrm{1}/t，U_{-\mathrm{2}}=-s/t^{\mathrm{2}}.

2 广义Tribonacci 3-参数广义四元数

本文的目标是将广义Tribonacci数列与3PGQs结合，定义并研究广义Tribonacci 3PGQs.

定义1 第n个广义Tribonacci 3PGQ定义为

\mathbb{Q}{V}_n=V_n+V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}，（7）

其中，V_n为第n个广义Tribonacci数，初始值为

\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}}=a+b{e}_{\mathrm{1}}+c{e}_{\mathrm{2}}+（rc+sb+ta）e_{\mathrm{3}}，

\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}=b+c{e}_{\mathrm{1}}+（rc+sb+ta）e_{\mathrm{2}}+

（r^{\mathrm{2}}c+rsb+rta+sc+tb）e_{\mathrm{3}}，

\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}=c+（rc+sb+ta）e_{\mathrm{1}}+（r^{\mathrm{2}}c+rsb+rta+sc+tb）e_{\mathrm{2}}+

（r^{\mathrm{3}}c+r^{\mathrm{2}}sb+r^{\mathrm{2}}ta+\mathrm{2}rsc+rtb+s^{\mathrm{2}}b+sta+tc）e_{\mathrm{3}}.

下面先讨论广义Tribonacci 3PGQs的相等、加减法、标量乘法、乘法、逆和内积等代数性质.

对n,m\ge \mathrm{0}，设\mathbb{Q}{V}_n=V_n+V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}和\mathbb{Q}{V}_m=V_m+V_{m+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{m+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{m+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}分别是第n个和第m个广义Tribonacci 3PGQs.于是，可得

①相等：\mathbb{Q}{V}_n=\mathbb{Q}{V}_m\iffV_n=V_m，V_{n+\mathrm{1}}=V_{m+\mathrm{1}}，V_{n+\mathrm{2}}=V_{m+\mathrm{2}}，V_{n+\mathrm{3}}=V_{m+\mathrm{3}}.

②加/减法：\mathbb{Q}{V}_n\pm\mathbb{Q}{V}_m=（V_n\pmV_m）+（V_{n+\mathrm{1}}\pmV_{m+\mathrm{1}}）e_{\mathrm{1}}+（V_{n+\mathrm{2}}\pmV_{m+\mathrm{2}}）e_{\mathrm{2}}+（V_{n+\mathrm{3}}\pmV_{m+\mathrm{3}}）e_{\mathrm{3}}.

③标量乘法：k\mathbb{Q}{V}_n=k{V}_n+k{V}_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+k{V}_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+k{V}_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}， k\in \mathbb{R}.

④标量和向量部分：\mathbb{Q}{V}_n的标量部分和向量部分分别用S_{\mathbb{Q}{V}_n}和V_{\mathbb{Q}{V}_n}表示， 并且S_{\mathbb{Q}{V}_n}=V_n，V_{\mathbb{Q}{V}_n}=V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}. 这意味着， S_{\mathbb{Q}{V}_n\pm \mathbb{Q}{V}_m}=V_n\pmV_m=S_{\mathbb{Q}{V}_n}\pmS_{\mathbb{Q}{V}_m}，V_{\mathbb{Q}{V}_n\pm \mathbb{Q}{V}_m}=V_{\mathbb{Q}{V}_n}\pmV_{\mathbb{Q}{V}_m}.

⑤乘法：\mathbb{Q}{V}_n\cdot \mathbb{Q}{V}_m=S_{\mathbb{Q}{V}_n}{S}_{\mathbb{Q}{V}_m}-f(V_{\mathbb{Q}{V}_n},V_{\mathbb{Q}{V}_m})+S_{\mathbb{Q}{V}_n}{V}_{\mathbb{Q}{V}_n}+S_{\mathbb{Q}{V}_m}{V}_{\mathbb{Q}{V}_m}+V_{\mathbb{Q}{V}_n}\wedge V_{\mathbb{Q}{V}_m}， 其中，

f(V_{\mathbb{Q}{V}_n},V_{\mathbb{Q}{V}_m})={\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}{V}_{m+\mathrm{1}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}{V}_{m+\mathrm{2}}+

{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}{V}_{m+\mathrm{3}}，

V_{\mathbb{Q}{V}_n}\wedge V_{\mathbb{Q}{V}_m}=\left|\begin{array}{ccc}{\lambda }_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{1}}& {\lambda }_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}& {\lambda }_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{3}}\\ V_{n+\mathrm{1}}& V_{n+\mathrm{2}}& V_{n+\mathrm{3}}\\ V_{m+\mathrm{1}}& V_{m+\mathrm{2}}& V_{m+\mathrm{3}}\end{array}\right|={\lambda }_{\mathrm{3}}(V_{n+\mathrm{2}}{V}_{m+\mathrm{3}}-V_{n+\mathrm{3}}{V}_{m+\mathrm{2}})e_{\mathrm{1}}+

{\lambda }_{\mathrm{2}}(V_{n+\mathrm{3}}{V}_{m+\mathrm{1}}-V_{n+\mathrm{1}}{V}_{m+\mathrm{3}})e_{\mathrm{2}}+

{\lambda }_{\mathrm{1}}(V_{n+\mathrm{1}}{V}_{m+\mathrm{2}}-V_{n+\mathrm{2}}{V}_{m+\mathrm{1}})e_{\mathrm{3}}.

或者，通过直接计算可得

\begin{array}{c}\begin{array}{l}\mathbb{Q}{V}_n\cdot \mathbb{Q}{V}_m=V_n{V}_m-{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}{V}_{m+\mathrm{1}}-{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}{V}_{m+\mathrm{2}}-{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}{V}_{m+\mathrm{3}}+\\ (V_n{V}_{m+\mathrm{1}}+V_m{V}_{n+\mathrm{1}}+{\lambda }_{\mathrm{3}}(V_{n+\mathrm{2}}{V}_{m+\mathrm{3}}-V_{n+\mathrm{3}}{V}_{m+\mathrm{2}}))e_{\mathrm{1}}+\\ (V_n{V}_{m+\mathrm{2}}+V_m{V}_{n+\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}(V_{n+\mathrm{3}}{V}_{m+\mathrm{1}}-V_{n+\mathrm{1}}{V}_{m+\mathrm{3}}))e_{\mathrm{2}}+\\ (V_n{V}_{m+\mathrm{3}}+V_m{V}_{n+\mathrm{3}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}(V_{n+\mathrm{1}}{V}_{m+\mathrm{2}}-V_{n+\mathrm{2}}{V}_{m+\mathrm{1}}))e_{\mathrm{3}}.\end{array}\end{array}（8）

⑥共轭：\overline{\mathbb{Q}{V}_n}=V_n-V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}-V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}-V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}.

⑦范数：N_{\mathbb{Q}{V}_n}=\mathbb{Q}{V}_n\cdot \overline{\mathbb{Q}{V}_n}=\overline{\mathbb{Q}{V}_n}\cdot \mathbb{Q}{V}_n=V_n^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}.

⑧内积：〈\mathbb{Q}{V}_n,\mathbb{Q}{V}_m〉=V_n{V}_m+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}{V}_{m+\mathrm{1}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}{V}_{m+\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}{V}_{m+\mathrm{3}}.

⑨逆：\mathbb{Q}{V}_n^{-\mathrm{1}}=\frac{\overline{\mathbb{Q}{V}_n}}{N_{\mathbb{Q}{V}_n}}=\frac{V_n-V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}-V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}-V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}}{V_n^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}，其中，N_{\mathbb{Q}{V}_n}\ne \mathrm{0}.

定理1 （递推关系） 对于第n个广义Tribonacci 3PGQ，其递推关系为：

\mathbb{Q}{V}_n=r\mathbb{Q}{V}_{n-\mathrm{1}}+s\mathbb{Q}{V}_{n-\mathrm{2}}+t\mathbb{Q}{V}_{n-\mathrm{3}}.（9）

证明 根据定义1和广义Tribonacci数列的递推关系，可以得到

r\mathbb{Q}{V}_{n-\mathrm{1}}+s\mathbb{Q}{V}_{n-\mathrm{2}}+t\mathbb{Q}{V}_{n-\mathrm{3}}=

r（V_{n-\mathrm{1}}+V_n{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{3}}）+

s（V_{n-\mathrm{2}}+V_{n-\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+V_n{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{3}}）+

t（V_{n-\mathrm{3}}+V_{n-\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n-\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{2}}+V_n{e}_{\mathrm{3}}）=（r{V}_{n-\mathrm{1}}+s{V}_{n-\mathrm{2}}+t{V}_{n-\mathrm{3}}）+（r{V}_n+s{V}_{n-\mathrm{1}}+t{V}_{n-\mathrm{2}}）e_{\mathrm{1}}+

（r{V}_{n+\mathrm{1}}+s{V}_n+t{V}_{n-\mathrm{1}}）e_{\mathrm{2}}+（r{V}_{n+\mathrm{2}}+s{V}_{n+\mathrm{1}}+t{V}_n）e_{\mathrm{3}}=

V_n+V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}=\mathbb{Q}{V}_n.

定理2 （Binet公式） 对于第n个广义Tribonacci 3PGQs \mathbb{Q}{V}_n， 其Binet公式为

\mathbb{Q}{V}_n=\frac{P{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}^n}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}+\frac{Q{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}^n}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+

\frac{R{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{3}}^n}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}，（10）

其中，P,Q,R如式（2）， {\underline{x}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}+x_{\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}， {\underline{x}}_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}+x_{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}， {\underline{x}}_{\mathrm{3}}=\mathrm{1}+x_{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+x_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}.

证明 根据定义1和式（2），可以得到

\mathbb{Q}{V}_n=V_n+V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}=

\frac{P{x}_{\mathrm{1}}^n}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}+\frac{Q{x}_{\mathrm{2}}^n}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+

\frac{R{x}_{\mathrm{3}}^n}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}+

\left[\frac{P{x}_{\mathrm{1}}^{n+\mathrm{1}}}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}\right.+\frac{Q{x}_{\mathrm{2}}^{n+\mathrm{1}}}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+

\left.\frac{R{x}_{\mathrm{3}}^{n+\mathrm{1}}}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}\right]e_{\mathrm{1}}+

\left[\frac{P{x}_{\mathrm{1}}^{n+\mathrm{2}}}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}\right.+\frac{Q{x}_{\mathrm{2}}^{n+\mathrm{2}}}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+

\left.\frac{R{x}_{\mathrm{3}}^{n+\mathrm{2}}}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}\right]e_{\mathrm{2}}+\left[\frac{P{x}_{\mathrm{1}}^{n+\mathrm{3}}}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}\right.+

\frac{Q{x}_{\mathrm{2}}^{n+\mathrm{3}}}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+\left.\frac{R{x}_{\mathrm{3}}^{n+\mathrm{3}}}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}\right]e_{\mathrm{3}}=

\frac{P{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}^n}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}+\frac{Q{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}^n}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+

\frac{R{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{3}}^n}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}.

定理3 （生成函数） 第n个广义Tribonacci 3PGQs \mathbb{Q}{V}_n的生成函数为：

g(x)=\frac{\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}}+(\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}-r\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}})x+(\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}-r\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}-s\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}})x^{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}-rx-s{x}^{\mathrm{2}}-t{x}^{\mathrm{3}}}.（11）

证明 设广义Tribonacci 3PGQs数列\{\mathbb{Q}{V}_n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}的生成函数g(x)={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\mathbb{Q}{V}_n{x}^n.分别用rx，s{x}^{\mathrm{2}}和t{x}^{\mathrm{3}}乘以等式的两边，可得

rx{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\mathbb{Q}{V}_n{x}^n=r\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}}x+r\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}{x}^{\mathrm{2}}+r\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{3}}+\cdots+

r\mathbb{Q}{V}_n{x}^{n+\mathrm{1}}+\cdots，

s{x}^{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\mathbb{Q}{V}_n{x}^n=s\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}}{x}^{\mathrm{2}}+s\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}{x}^{\mathrm{3}}+s\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{4}}+\cdots+

s\mathbb{Q}{V}_{n-\mathrm{2}}{x}^n+s\mathbb{Q}{V}_{n-\mathrm{1}}{x}^{n+\mathrm{1}}+\cdots，

t{x}^{\mathrm{3}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\mathbb{Q}{V}_n{x}^n=t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}}{x}^{\mathrm{3}}+t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}{x}^{\mathrm{4}}+t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{5}}+\cdots+

t\mathbb{Q}{V}_{n-\mathrm{2}}{x}^{n+\mathrm{1}}+t\mathbb{Q}{V}_{n-\mathrm{1}}{x}^{n+\mathrm{2}}+\cdots，

于是，有

（\mathrm{1}-rx-s{x}^{\mathrm{2}}-t{x}^{\mathrm{3}}）{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\mathbb{Q}{V}_n{x}^n=

\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}}+\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}x+\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{2}}+\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}}+\cdots-

r\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}}x-r\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}{x}^{\mathrm{2}}-r\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{3}}-r\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{4}}-\cdots-

s\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}}{x}^{\mathrm{2}}-s\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}{x}^{\mathrm{3}}-s\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{4}}-s\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{5}}-\cdots-

t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}}{x}^{\mathrm{3}}-t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}{x}^{\mathrm{4}}-t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{5}}-t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{6}}-\cdots=

\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}}+(\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}-r\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}})x+

（\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}-r\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}-s\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}}）x^{\mathrm{2}}+

(\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{3}}-r\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}-s\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}-t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}}）x^{\mathrm{3}}+\cdots.

由定理1的递推关系可知， 当n\ge \mathrm{3}时， x^n的系数等于0. 因此， 生成函数为

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\mathbb{Q}{V}_n{x}^n=\frac{\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}}+(\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}-r\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}})x+(\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}-r\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}-s\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}})x^{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}-rx-s{x}^{\mathrm{2}}-t{x}^{\mathrm{3}}}.

定理4 （指数生成函数） 第n个广义Tribonacci 3PGQs \mathbb{Q}{V}_n的指数生成函数为

g_{\mathrm{e}}(y)={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\mathbb{Q}{V}_n\frac{y^n}{n!}=\frac{P{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{x_{\mathrm{1}}y}}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}+\frac{Q{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{x_{\mathrm{2}}y}}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+\frac{R{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{\mathrm{e}}^{x_{\mathrm{3}}y}}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}.（12）

证明 根据定理2中的Binet公式：

g_{\mathrm{e}}(y)={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\mathbb{Q}{V}_n\frac{y^n}{n!}=

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{P{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}^n}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}\frac{y^n}{n!}+

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{Q{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}^n}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}\frac{y^n}{n!}+

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{R{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{3}}^n}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}\frac{y^n}{n!}=

\frac{P{\underline{x}}_{\mathrm{1}}}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{x_{\mathrm{1}}^n{y}^n}{n!}+

\frac{Q{\underline{x}}_{\mathrm{2}}}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{x_{\mathrm{2}}^n{y}^n}{n!}+

\frac{R{\underline{x}}_{\mathrm{3}}}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{x_{\mathrm{3}}^n{y}^n}{n!}=

\frac{P{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{x_{\mathrm{1}}y}}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}+\frac{Q{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{x_{\mathrm{2}}y}}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+

\frac{R{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{\mathrm{e}}^{x_{\mathrm{3}}y}}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}.

定理5 （Poisson生成函数） 第n个广义Tribonacci 3PGQs \mathbb{Q}{V}_n的Poisson生成函数是

g_p(y)={\mathrm{e}}^{-y}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\mathbb{Q}{V}_n\frac{y^n}{n!}=\frac{P{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{(x_{\mathrm{1}}-\mathrm{1})y}}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}+

\frac{Q{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{(x_{\mathrm{2}}-\mathrm{1})y}}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+\frac{R{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{\mathrm{e}}^{(x_{\mathrm{3}}-\mathrm{1})y}}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}.（13）

证明 Poisson生成函数是指数生成函数乘以{\mathrm{e}}^{-y}，根据定理4中的指数生成函数，利用等式（12）即可得到等式（13）.

下面给出广义Tribonacci数列和广义Tribonacci 3PGQs的前n项和公式.

引理2^［27］ 广义Tribonacci数列\{V_n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}的前n项和公式为

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{V}_i=\frac{\mathrm{1}}{\alpha (r,s,t)}·

［V_{n+\mathrm{2}}+(\mathrm{1}-r)V_{n+\mathrm{1}}+t{V}_n+\gamma (r,s,t)］，（14）

其中， \alpha =\alpha (r,s,t)=r+s+t-\mathrm{1}，\gamma =\gamma (r,s,t)=(r+s-\mathrm{1})a+(r-\mathrm{1})b-c.

定理6 广义Tribonacci 3PGQs \{\mathbb{Q}{V}_n{\}}_{n\ge \mathrm{0}}的前n项和公式为

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}\mathbb{Q}{V}_i=\frac{\mathrm{1}}{\alpha (r,s,t)}·

［\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{2}}+(\mathrm{1}-r)\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{1}}+t\mathbb{Q}{V}_n+\beta (r,s,t)］，（15）

其中，\beta =\beta (r,s,t)=\gamma +(\gamma -\alpha a)e_{\mathrm{1}}+(\gamma -\alpha (a+b))e_{\mathrm{2}}+(\gamma -\alpha (a+b+c))e_{\mathrm{3}}，\gamma =\gamma (r,s,t)=(r+s-\mathrm{1})a+(r-\mathrm{1})b-c.

证明 根据定义1和等式（14）以及符号\gamma =\gamma (r,s,t)=(r+s-\mathrm{1})a+(r-\mathrm{1})b-c，可得

\begin{array}{l}\alpha (r,s,t){\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}\mathbb{Q}{V}_i=\alpha (r,s,t)\left[{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{V}_i+e_{\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{V}_{i+\mathrm{1}}+e_{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{V}_{i+\mathrm{2}}+e_{\mathrm{3}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{V}_{i+\mathrm{3}}\right]=\alpha {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{V}_i+\\ e_{\mathrm{1}}\alpha {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{V}_{i+\mathrm{1}}+e_{\mathrm{2}}\alpha {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{V}_{i+\mathrm{2}}+e_{\mathrm{3}}\alpha {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{V}_{i+\mathrm{3}}=V_{n+\mathrm{2}}+(\mathrm{1}-r)V_{n+\mathrm{1}}+t{V}_n+\gamma +e_{\mathrm{1}}(V_{n+\mathrm{3}}+(\mathrm{1}-r)V_{n+\mathrm{2}}+\\ t{V}_{n+\mathrm{1}}+\gamma -\alpha a)+e_{\mathrm{2}}(V_{n+\mathrm{4}}+(\mathrm{1}-r)V_{n+\mathrm{3}}+t{V}_{n+\mathrm{2}}+\gamma -\alpha (a+b))+e_{\mathrm{3}}(V_{n+\mathrm{5}}+(\mathrm{1}-r)V_{n+\mathrm{4}}+\\ t{V}_{n+\mathrm{3}}+\gamma -\alpha (a+b+c))=\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{2}}+(\mathrm{1}-r)\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{1}}+t\mathbb{Q}{V}_n+\beta (r,s,t),\end{array}

其中， \beta =\beta (r,s,t)=\gamma +(\gamma -\alpha a)e_{\mathrm{1}}+(\gamma -\alpha (a+b))e_{\mathrm{2}}+(\gamma -\alpha (a+b+c))e_{\mathrm{3}}，\gamma =\gamma (r,s,t)=(r+s-\mathrm{1})a+(r-\mathrm{1})b-c.

因此， 可得

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}\mathit{\mathbb{Q}}{V}_i=\frac{\mathrm{1}}{\alpha (r,s,t)}\left[\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{2}}+(\mathrm{1}-r)\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{1}}+t\mathbb{Q}{V}_n+\beta (r,s,t)\right].

定理7 （Cassini恒等式） 第n个广义Tribonacci 3PGQs \mathbb{Q}{V}_n的Cassini恒等式为

\begin{array}{l}\mathbb{Q}{V}_{n-\mathrm{1}}\cdot \mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{1}}-\mathbb{Q}{V_n}^{\mathrm{2}}=\frac{PQ(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{)}^{n-\mathrm{1}}(x_{\mathrm{2}}{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{\underline{x}}_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{\underline{x}}_{\mathrm{1}})}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+\\ \frac{PR(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{3}}{)}^{n-\mathrm{1}}(x_{\mathrm{3}}{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{\underline{x}}_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}}{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{\underline{x}}_{\mathrm{1}})}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}+\end{array}

\frac{QR(x_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{)}^{n-\mathrm{1}}(x_{\mathrm{3}}{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{\underline{x}}_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}}{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{\underline{x}}_{\mathrm{2}})}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})}.（16）

证明 利用等式（10），

\mathbb{Q}{V}_{n-\mathrm{1}}\cdot \mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{1}}-\mathbb{Q}{V_n}^{\mathrm{2}}=

\left[\frac{P{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}^{n-\mathrm{1}}}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}\right.+\frac{Q{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}^{n-\mathrm{1}}}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+\left.\frac{R{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{3}}^{n-\mathrm{1}}}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}\right]\cdot

\left[\frac{P{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}^{n+\mathrm{1}}}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}\right.+\frac{Q{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}^{n+\mathrm{1}}}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+\left.\frac{R{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{3}}^{n+\mathrm{1}}}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}\right]-

\left[\frac{P{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}^n}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}\right.+\frac{Q{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}^n}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+{\left.\frac{R{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{3}}^n}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}\right]}^{\mathrm{2}}=

\frac{PQ{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{1}}^{n-\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}^{n+\mathrm{1}}-PQ{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{1}}^n{x}_{\mathrm{2}}^n+PQ{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}^{n+\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}^{n-\mathrm{1}}-PQ{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}^n{x}_{\mathrm{2}}^n}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+\frac{PR{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{1}}^{n-\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{3}}^{n+\mathrm{1}}-PR{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{1}}^n{x}_{\mathrm{3}}^n+PR{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}^{n+\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{3}}^{n-\mathrm{1}}-PQ{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}^n{x}_{\mathrm{3}}^n}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})}+\frac{QR{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{2}}^{n-\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{3}}^{n+\mathrm{1}}-QR{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{2}}^n{x}_{\mathrm{3}}^n+QR{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}^{n+\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{3}}^{n-\mathrm{1}}-QR{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}^n{x}_{\mathrm{3}}^n}{(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}=

\frac{PQ(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{2}}{)}^{n-\mathrm{1}}(x_{\mathrm{2}}{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{\underline{x}}_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{\underline{x}}_{\mathrm{1}})}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})}+\frac{PR(x_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{3}}{)}^{n-\mathrm{1}}(x_{\mathrm{3}}{\underline{x}}_{\mathrm{1}}{\underline{x}}_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}}{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{\underline{x}}_{\mathrm{1}})}{(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}})(x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{3}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}})}+\frac{QR(x_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{3}}{)}^{n-\mathrm{1}}(x_{\mathrm{3}}{\underline{x}}_{\mathrm{2}}{\underline{x}}_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{2}}{\underline{x}}_{\mathrm{3}}{\underline{x}}_{\mathrm{2}})}{(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}})(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{3}})(x_{\mathrm{3}}-x_{\mathrm{1}})} .

现在，给出广义Tribonacci 3PGQs的一些特殊等式.

定理8 对于第n个广义Tribonacci 3PGQs \mathbb{Q}{V}_n， 有下列性质：

1） \mathbb{Q}{V}_n-\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}-\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}-\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}=V_n+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{4}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{6}}.

2） \mathbb{Q}{V}_n+\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}=\mathrm{2}\mathbb{Q}{V}_n-(V_n+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{4}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{6}}).

3） \mathbb{Q}{V}_n+\overline{\mathbb{Q}{V}_n}=\mathrm{2}{V}_n.

4） \mathbb{Q}{V}_n-\overline{\mathbb{Q}{V}_n}=\mathrm{2}\mathbb{Q}{V}_n-\mathrm{2}{V}_n.

5） \mathbb{Q}{V_n}^{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{V}_n\mathbb{Q}{V}_n-({V_n}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}).

6） {\overline{\mathbb{Q}{V}_n}}^{\mathrm{2}}=-\mathrm{2}{V}_n\mathbb{Q}{V}_n-(-\mathrm{3}{V}_n^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}).

证明 1） 根据定义1和表1的乘法规则，可得

\begin{array}{l}\mathbb{Q}{V}_n-\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}-\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}-\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}=\\ V_n+V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}-\\ (V_{n+\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{4}}{e}_{\mathrm{3}})e_{\mathrm{1}}-\\ (V_{n+\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{4}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{5}}{e}_{\mathrm{3}})e_{\mathrm{2}}-\\ (V_{n+\mathrm{3}}+V_{n+\mathrm{4}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{5}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{6}}{e}_{\mathrm{3}})e_{\mathrm{3}}=\\ V_n+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{4}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{6}}.\end{array}

2） 根据定义1和表1的乘法规则，可得

\begin{array}{l}\mathbb{Q}{V}_n+\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}=\\ V_n+V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}+\\ (V_{n+\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{4}}{e}_{\mathrm{3}})e_{\mathrm{1}}+\\ (V_{n+\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{4}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{5}}{e}_{\mathrm{3}})e_{\mathrm{2}}+\\ (V_{n+\mathrm{3}}+V_{n+\mathrm{4}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{5}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{6}}{e}_{\mathrm{3}})e_{\mathrm{3}}=\\ \mathrm{2}\mathbb{Q}{V}_n-(V_n+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{4}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{6}}).\end{array}

3） \mathbb{Q}{V}_n+\overline{\mathbb{Q}{V}_n}=(V_n+V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}})+(V_n-V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}-V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}-V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}})=\mathrm{2}{V}_n.

4） \mathbb{Q}{V}_n-\overline{\mathbb{Q}{V}_n}=(V_n+V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}})-(V_n-V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}-V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}-V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}})=\mathrm{2}\mathbb{Q}{V}_n-\mathrm{2}{V}_n.

5） 根据定义1和表1的乘法规则，可得

\mathbb{Q}{V_n}^{\mathrm{2}}={V_n}^{\mathrm{2}}-{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{V}_n{V}_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{V}_n{V}_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{V}_n{V}_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}=\mathrm{2}{V}_n\mathbb{Q}{V}_n-({V_n}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}).

6） 根据定义1和表1的乘法规则，可得

\begin{array}{l}{\overline{\mathbb{Q}{V}_n}}^{\mathrm{2}}={V_n}^{\mathrm{2}}-{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{2}(V_n{V}_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+V_n{V}_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+V_n{V}_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}})=\\ -\mathrm{2}{V}_n\mathbb{Q}{V}_n-(-\mathrm{3}{V}_n^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\\ {\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}).\end{array}

定理9 对于第n个广义Tribonacci 3PGQs \mathbb{Q}{V}_n， 有如下矩阵性质：

\left[\begin{array}{c}\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{2}}\\ \mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{1}}\\ \mathbb{Q}{V}_n\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}r& s& t\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\right]}^n\left[\begin{array}{c}\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}\\ \mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}\\ \mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}}\end{array}\right].（17）

证明 利用数学归纳法和等式（9）很容易推导，在此省略证明过程.

定义2 设\mathbb{Q}{V}_n是第n个广义Tribonacci 3PGQs.称矩阵

S_{\mathbb{Q}{V}_n}=\left[\begin{array}{ccc}\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{4}}& s\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{3}}+t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}& t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{3}}\\ \mathbb{Q}{V}_{\mathrm{3}}& s\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}+t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}& t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}\\ \mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}& s\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}+t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}}& t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}\end{array}\right]（18）

为它的S_{\mathbb{Q}{V}_n}-矩阵.

定理10 若\mathbb{Q}{V}_n是第n个广义Tribonacci 3PGQs，则对\forall n\ge \mathrm{0}， 都有

S_{\mathbb{Q}{V}_n}\cdot {\left[\begin{array}{ccc}r& s& t\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{ccc}\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{4}}& s\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{3}}+t\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{2}}& t\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{3}}\\ \mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{3}}& s\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{2}}+t\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{1}}& t\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{2}}\\ \mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{2}}& s\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{1}}+t\mathbb{Q}{V}_n& t\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{1}}\end{array}\right].（19）

证明 当n=\mathrm{0}时，结论显然成立.假设当n=m时，（19）式成立，即

S_{\mathbb{Q}{V}_n}\cdot S^m=\left[\begin{array}{ccc}\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{4}}& s\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{3}}+t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{2}}& t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{3}}\\ \mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{3}}& s\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{2}}+t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{1}}& t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{2}}\\ \mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{2}}& s\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{1}}+t\mathbb{Q}{V}_m& t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{1}}\end{array}\right].

根据定理1的递推关系，对m\ge \mathrm{0}，\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{3}}=r\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{2}}+s\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{1}}+t\mathbb{Q}{V}_m.由归纳假设，可得

\begin{array}{l}{S}_{\mathbb{Q}{V}_n}\cdot S^{m+\mathrm{1}}=(S_{\mathbb{Q}{V}_n}\cdot S^m)S=\left[\begin{array}{ccc}\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{4}}& s\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{3}}+t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{2}}& t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{3}}\\ \mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{3}}& s\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{2}}+t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{1}}& t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{2}}\\ \mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{2}}& s\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{1}}+t\mathbb{Q}{V}_m& t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{1}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}r& s& t\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{ccc}\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{5}}& s\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{4}}+t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{3}}& t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{4}}\\ \mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{4}}& s\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{3}}+t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{2}}& t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{3}}\\ \mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{3}}& s\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{2}}+t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{1}}& t\mathbb{Q}{V}_{m+\mathrm{2}}\end{array}\right].\end{array}

因此，由归纳原理可知，等式（19）对\forall n\ge \mathrm{0}均成立.

推论1 若\mathbb{Q}{V}_n是第n个广义Tribonacci 3PGQs，则对\forall n\ge \mathrm{0}，有

\begin{array}{l}\mathbb{Q}{V}_{n+\mathrm{2}}=\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{2}}\cdot U_{n+\mathrm{2}}+(s\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}+t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{0}})\cdot U_{n+\mathrm{1}}+\\ t\mathbb{Q}{V}_{\mathrm{1}}\cdot U_n.(\mathrm{20})\end{array}

证明 由等式（18）和式（6）计算出矩阵S_{\mathbb{Q}{V}_n}\cdot S^n，比较其与等式（19）右边矩阵的（3，1）元即可得证.

定义3 设\mathbb{Q}{V}_n是第n个广义Tribonacci 3PGQs.对N_{\mathbb{Q}{V}_n}>\mathrm{0}和\mathrm{\Omega }={\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}\ne \mathrm{0}， \mathbb{Q}{V}_n的极坐标表示为

\mathbb{Q}{V}_n=\sqrt[]{N_{\mathbb{Q}{V}_n}}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +\widehat{\mathbb{Q}{V}_n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta )，（21）

其中，\widehat{\mathbb{Q}{V}_n}=\frac{(V_{n+\mathrm{1}},V_{n+\mathrm{2}},V_{n+\mathrm{3}})}{\sqrt[]{\mathrm{\Omega }}}，\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =\frac{V_n}{\sqrt[]{N_{\mathbb{Q}{V}_n}}},\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta =\sqrt[]{\frac{\mathrm{\Omega }}{N_{\mathbb{Q}{V}_n}}}，并称\widehat{\mathbb{Q}{V}_n}为Tribonacci 3-参数广义单位四元数向量.

定理11 第n个广义Tribonacci 3PGQs \mathbb{Q}{V}_n的基本矩阵可表为

{\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}=

\left(\begin{array}{cccc}{V}_n& -{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}& -{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}& -{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}\\ V_{n+\mathrm{1}}& V_n& -{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}& {\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}\\ V_{n+\mathrm{2}}& {\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{3}}& V_n& -{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}\\ V_{n+\mathrm{3}}& -{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}& {\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{1}}& V_n\end{array}\right).（22）

证明 在\mathbb{Q}{V}_n=V_n+V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}两边分别右乘\mathrm{1},e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}},e_{\mathrm{3}}，并利用表1中的乘法规则，可得

\mathbb{Q}{V}_n\cdot \mathrm{1}=V_n+V_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{1}}+V_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{2}}+V_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{3}}，

\mathbb{Q}{V}_n\cdot e_{\mathrm{1}}=-{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}+V_n{e}_{\mathrm{1}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{2}}-{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{3}}，

\mathbb{Q}{V}_n\cdot e_{\mathrm{2}}=-{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}-{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}{e}_{\mathrm{1}}+V_n{e}_{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{3}}，

\mathbb{Q}{V}_n\cdot e_{\mathrm{3}}=-{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}+{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}{e}_{\mathrm{1}}-{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}{e}_{\mathrm{2}}+V_n{e}_{\mathrm{3}}.

将上述等式中\left\{\mathrm{1},e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}},e_{\mathrm{3}}\right\}的系数写成列，就得到了等式（22）中的矩阵.

注意到，当{\lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，{\lambda }_{\mathrm{2}}，{\lambda }_{\mathrm{3}}\in \mathbb{R}时，{\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}是广义Tribonacci 2PGQs的基本矩阵； 当{\lambda }_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}，{\lambda }_{\mathrm{3}}=-\mathrm{1}时，{\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}是Tribonacci分裂四元数的基本矩阵； 当{\lambda }_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{2}}={\lambda }_{\mathrm{3}}=\mathrm{1}时，{\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}是Tribonacci实四元数的基本矩阵.

定理12 若\mathbb{Q}{V}_n是第n个广义Tribonacci 3PGQs，则对\forall n\ge \mathrm{0}，下列等式成立：

1） \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}=N_{\mathbb{Q}{V}_n}^{\mathrm{2}}.

2） {\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}的特征多项式P_{{\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}}(t)=(t^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}t{V}_n+V_n^{\mathrm{2}}{+\mathrm{\Omega })}^{\mathrm{2}}.

3） {\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}的特征方程\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}({\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}-t{I}_{\mathrm{4}})=\mathrm{0}\iff P_{{\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}}(t)=\mathrm{0}.

4） {\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}的特征值为t_{\mathrm{1}}=V_n+\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}，t_{\mathrm{2}}=V_n+\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}，t_{\mathrm{3}}=V_n-\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}，t_{\mathrm{4}}=V_n-\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}.

5） {\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}的特征值乘积t_{\mathrm{1}}{t}_{\mathrm{2}}{t}_{\mathrm{3}}{t}_{\mathrm{4}}=({V_n}^{\mathrm{2}}{+\mathrm{\Omega })}^{\mathrm{2}}=N_{\mathbb{Q}{V}_n}^{\mathrm{2}}.

6） {\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}的对应于特征值t_{\mathrm{1}},t_{\mathrm{2}}和t_{\mathrm{3}},t_{\mathrm{4}}的特征向量分别为

{\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}-{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{3}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& \frac{V_{n+\mathrm{3}}\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& \mathrm{1},& \mathrm{0}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}，

{\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{3}}\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& -\frac{V_{n+\mathrm{2}}\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}-{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{3}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& \mathrm{0},& \mathrm{1}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}

和

{\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}+{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{3}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& -\frac{V_{n+\mathrm{3}}\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}-{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& \mathrm{1},& \mathrm{0}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}，

{\left[\begin{array}{cccc}-\frac{{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{3}}\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}-{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& \frac{V_{n+\mathrm{2}}\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{3}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}},& \mathrm{0},& \mathrm{1}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}.

证明 1） 根据定理11，矩阵{\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}是一个\mathrm{4}\times \mathrm{4}矩阵，通过计算行列式可得\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}{\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}=N_{\mathbb{Q}{V}_n}^{\mathrm{2}}.

2） {\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}的特征多项式定义为：

\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left({\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}-tI\right)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\begin{array}{cccc}{V}_n-t& -{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}& -{\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}& -{\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}\\ V_{n+\mathrm{1}}& V_n-t& -{\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{3}}& {\lambda }_{\mathrm{3}}{V}_{n+\mathrm{2}}\\ V_{n+\mathrm{2}}& {\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{3}}& V_n-t& -{\lambda }_{\mathrm{2}}{V}_{n+\mathrm{1}}\\ V_{n+\mathrm{3}}& -{\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{2}}& {\lambda }_{\mathrm{1}}{V}_{n+\mathrm{1}}& V_n-t\end{array}\right).

通过计算行列式， 可以得到特征多项式：

\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left({\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}-tI\right)={\left(t^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}t{V}_n+{V_n}^{\mathrm{2}}+\mathrm{\Omega }\right)}^{\mathrm{2}}.

3） {\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}的特征方程为：\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left({\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}-tI\right)={\left(t^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}t{V}_n+{V_n}^{\mathrm{2}}+\mathrm{\Omega }\right)}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}.

4） 解特征方程可得特征值t_{\mathrm{1}}=V_n+\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}，t_{\mathrm{2}}=V_n+\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}，t_{\mathrm{3}}=V_n-\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}，t_{\mathrm{4}}=V_n-\sqrt[]{-\mathrm{\Omega }}.

5） 由4）很容易得到t_{\mathrm{1}}{t}_{\mathrm{2}}{t}_{\mathrm{3}}{t}_{\mathrm{4}}=({V_n}^{\mathrm{2}}{+\mathrm{\Omega })}^{\mathrm{2}}=N_{\mathbb{Q}{V}_n}^{\mathrm{2}}.

6） 对于每个特征值t_i， 其对应的特征向量v_i满足：

\left({\mathrm{ℳ}}_{\mathbb{Q}{V}_n}-t_{i}I\right)v_i=\mathrm{0}，

显然通过求解线性方程组， 可以得到特征向量.

3 结束语

本文成功地将广义Tribonacci数列与3-参数广义四元数结合， 构建了广义Tribonacci 3PGQs这一新的数学结构. 通过推导其Binet公式、生成函数、矩阵表示等重要数学公式和性质， 为四元数代数的研究提供了新的视角.未来的研究可以进一步探索广义Tribonacci数列与其他数学结构的结合， 如对偶数和混合数， 以拓展其在计算机图形学、编码学、物理学和工程学中的应用. 此外， 广义Tribonacci 3PGQs的高维推广及其在量子计算中的应用， 也将是值得关注的研究方向.

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基金资助

国家自然科学基金项目(12061039)