复J-辛空间中完全J-Lagrangian子空间的刻画

Characterization of Complete J-Lagrangian Subspaces on Complex J-Symplectic Spaces

摘要

从低阶到高阶刻画了复J-辛空间中完全J-Lagrangian子空间。研究复J-辛空间中子空间是完全J-Lagrangian子空间的充要条件，并给出复J-辛空间中完全J-Lagrangian子空间的几个具体例子。

Abstract

The characterization of complete J-Lagrangian subspaces on complex J-symplectic space from low order to high order is given. The necessary and sufficient condition for a subspace on complex J-symplectic space to be a complete J-Lagrangian subspaces is researched and a few simple examples of complete J-Lagrangian subspace on complex J-symplectic space is given.

Graphical abstract

关键词

复J-辛空间 / 完全J-Lagrangian子空间 / J-自伴算子

Key words

complex J-symplectic space / complete J-Lagrangian subspace / J-self-adjoint operator

微分算子是解决量子力学和微分方程等众多问题的有力工具，而辛几何是研究对称微分算子各类扩张的有效方法^［1-7］。1999年，Everitt等^［8-9］首次运用辛几何研究了对称微分算子的自共轭扩张的描述。2002年，王万义^［10］用辛几何刻画了J-对称微分算子的J-自共轭扩张。2022年刘婷^［11］、2023年苏雅其其格等^［12］进一步研究了复辛空间中完全Lagrangian子空间的构造与分类。由于J-对称算子的所有J-自共轭扩张构成的集合与由算子定义域构造的复J-辛空间中的所有完全J-Lagrangian子空间的集合之间存在一一对应关系，因此，研究复J-辛空间中完全J-Lagrangian子空间的刻画具有重要意义。

本文由低阶到高阶研究复J-辛空间中完全J-Lagrangian子空间的刻画，给出了子空间是完全J-Lagrangian子空间的充要条件，并发现复J-辛空间中的基本完全J-Lagrangian子空间对应反对称矩阵中元素全为零的n阶子式。

1 预备知识

定义1^［10］ 设S是一个复的线性空间，在乘积空间S\times S上赋予一个复值函数

u,v\to [u:v],S\times S\to \mathbb{C}，

若复值函数[:]满足

（1） 双线性型

\left[c_{\mathrm{1}}u+c_{\mathrm{2}}v:w\right]=c_{\mathrm{1}}\left[u:w\right]+c_{\mathrm{2}}\left[v:w\right],\left[u:c_{\mathrm{3}}v+c_{\mathrm{4}}w\right]=c_{\mathrm{3}}\left[u:v\right]+c_{\mathrm{4}}\left[u:w\right]，

任意的u,v,w\in S，c_j\in \mathbb{C}，j=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4}；

（2） 反对称型

\left[u:v\right]=-\left[v:u\right]， \forall u,v\in S；

（3） 非退化的

\left[u:S\right]=\mathrm{0}\Rightarrow u=\mathrm{0}，

则称S是一个复J-辛空间。

复J-辛空间上所定义的J-辛形式[:]也称J-辛内积。特别地，若[u:v]=\mathrm{0}，则称u与v是J-辛正交的。设S是一个复J-辛空间，由定义1中条件（2）可得，[u:u]=\mathrm{0}，\forall u\in S。

定义2^［10］ 若复J-辛空间S中的线性子空间L满足\left[L:L\right]=\mathrm{0}，则称L为J-Lagrangian的，即

\left[u:v\right]=\mathrm{0}， \forall u,v\in L。

若一个J-Lagrangian子空间L\subset S满足

\left[u:L\right]=\mathrm{0}\Rightarrow u\in L,\forall u\in S，

则称L为完全J-Lagrangian的。

注1 复J-辛空间S的任意一个J-Lagrangian子空间不一定是完全的。例如，考虑复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}，设\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{2}},e^{\mathrm{3}},e^{\mathrm{4}}\right\}为S的一组基且满足

\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{3}}\right]=\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{3}}:e^{\mathrm{1}}\right]=-\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{4}}\right]=\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{4}}:e^{\mathrm{2}}\right]=-\mathrm{1}，

其余J-辛积全为零。

令L=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{1}}\right\}，由\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{1}}\right]=\mathrm{0}可知，L是S的一个J-Lagrangian子空间。又因为\left[e^{\mathrm{2}}:L\right]=\mathrm{0}，而e^{\mathrm{2}}\notin L，所以L不是S的一个完全J-Lagrangian子空间。

定义3^［10］ 设S_{\mathrm{1}}和S_{\mathrm{2}}是复J-辛空间，J-辛形式分别为{[:]}_{\mathrm{1}}与{[:]}_{\mathrm{2}}，若存在S_{\mathrm{1}}到S_{\mathrm{2}}的一个双射F，对于\forall u,v\in S_{\mathrm{1}}，有

{\left[u:v\right]}_{\mathrm{1}}={\left[Fu:Fv\right]}_{\mathrm{2}}，

则称S_{\mathrm{1}}和S_{\mathrm{2}}同构。

注2 任意一个D(>\mathrm{0})维复J-辛空间S都同构于复J-辛空间{\mathbb{C}}^D。

引理1^［10］ 设S是复J-辛空间，\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}S=\mathrm{2}n>\mathrm{0}，其J-辛形式为[:]，则存在S的一组基\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{2}},\cdots ,\right.\left.e^n,e^{n+\mathrm{1}},e^{n+\mathrm{2}},\cdots ,e^{\mathrm{2}n}\right\}，使得相应的反对称矩阵为

\mathit{H}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& {\mathit{I}}_n\\ -{\mathit{I}}_n& \mathrm{0}\end{array}\right)，

对应的J-辛积为

\left[e^j:e^k\right]=\mathrm{0},\left[e^{n+j}:e^{n+k}\right]=\mathrm{0},\left[e^j:e^{n+k}\right]={\delta }_{jk}(\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\delta ),\mathrm{1}\le j,k\le n。

注3 复J-辛空间S必须是偶数维的，即\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}S=\mathrm{2}n>\mathrm{0}，因为复J-辛空间S总存在一组基对应于\mathrm{2}n阶反对称矩阵。

引理2^［10］ 设S是复J-辛空间，\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}S=\mathrm{2}n，若L是S的一个J-Lagrangian子空间，\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L=m，则存在S的一组基

\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{2}},\cdots ,e^m,e^{m+\mathrm{1}},\cdots ,e^n,e^{n+\mathrm{1}},\cdots ,e^{\mathrm{2}n}\right\}，

使得L=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{2}},\cdots ,e^m\right\}。

引理3^［10］ 设S是复J-辛空间，\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}S=\mathrm{2}n，则

（1） S一定有J-Lagrangian子空间和完全J-Lagrangian子空间；

（2） S的一个J-Lagrangian子空间L是完全的\iff \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L=n。

定义4^［13］ 在一个n行m列的矩阵\mathit{A}中任取k行k列（k\le \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{m,n\right\}），位于这些行列相交处的k^{\mathrm{2}}个元素按所处位置次序所排成的k阶行列式称为矩阵\mathit{A}的k阶子式。将分别取\mathit{A}的n_{\mathrm{1}},\cdots ,n_k行与m_{\mathrm{1}},\cdots ,m_k列所得到的子式记为

\mathit{K}\left(r_{n_{\mathrm{1}}},\cdots ,r_{n_k};l_{m_{\mathrm{1}}},\cdots ,l_{m_k}\right)。

特别地，当矩阵\mathit{A}取k行与k列时，矩阵\mathit{A}中的k阶子式记为\mathit{K}\left(n_{\mathrm{1}},\cdots ,n_k\right)。

后面我们发现，复J-辛空间中的完全J-Lagrangian子空间对应其反对称矩阵中元素全为零的n阶子式。

2 复J-辛空间中完全J-Lagrangian子空间的刻画

2.1 复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}中完全J-Lagrangian子空间的刻画

定理1 考虑复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}，设\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{2}}\right\}为S的一组基且满足

\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{1}}\right]=\mathrm{0},\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{2}}\right]=\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{1}}\right]=-\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{2}}\right]=\mathrm{0},

对应反对称矩阵

\mathit{H}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{1}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\right)，

则有

（1） L_{\mathrm{1}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{1}}\right\},L_{\mathrm{2}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{2}}\right\}是S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}中的完全J-Lagrangian子空间，分别对应反对称矩阵\mathit{H}中的1阶零子式\mathit{K}(\mathrm{1}),\mathit{K}(\mathrm{2})，称L_{\mathrm{1}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{1}}\right\},L_{\mathrm{2}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{2}}\right\}为S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}中的基本完全J-Lagrangian子空间。

（2） 令

w_{\mathrm{1}}=a{e}^{\mathrm{1}}+b{e}^{\mathrm{2}},\forall a,b\in \mathbb{C}，

则L=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}}\right\}是S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}中的完全J-Lagrangian子空间。

证明 （1） 对于任意的k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}}\in \mathbb{C}，

\left[L_{\mathrm{1}}:L_{\mathrm{1}}\right]=\left[k_{\mathrm{1}}{e}^{\mathrm{1}}:k_{\mathrm{2}}{e}^{\mathrm{1}}\right]=k_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{2}}\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{1}}\right]=\mathrm{0}，

由定义2得，L_{\mathrm{1}}是S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}中的J-Lagrangian子空间。又因为\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{L}_{\mathrm{1}}=n=\mathrm{1}，由引理3（2）可得，L_{\mathrm{1}}是S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}中的完全J-Lagrangian子空间，L_{\mathrm{2}}同理可证。

又因为

则L_{\mathrm{1}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{1}}\right\},L_{\mathrm{2}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{2}}\right\}分别对应反对称矩阵\mathit{H}中的1阶零子式\mathit{K}(\mathrm{1}),\mathit{K}(\mathrm{2})。

（2） 由

\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{1}}\right]=\left[a{e}^{\mathrm{1}}+b{e}^{\mathrm{2}}:a{e}^{\mathrm{1}}+b{e}^{\mathrm{2}}\right]=ab\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{2}}\right]+ba\left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{1}}\right]=ab-ba=\mathrm{0}，

故w_{\mathrm{1}}为J-Lagrangian元素。又由引理3（2）可得，L=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}}\right\}是S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}中的完全J-Lagrangian子空间。

注4 在复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}}中，将基本完全J-Lagrangian元素任意线性组合后仍是完全J-Lagrangian元素。

2.2 复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}中完全J-Lagrangian子空间的刻画

定理2 考虑复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}，设\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{2}},e^{\mathrm{3}},e^{\mathrm{4}}\right\}为S的一组基且满足

\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{3}}\right]=\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{3}}:e^{\mathrm{1}}\right]=-\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{4}}\right]=\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{4}}:e^{\mathrm{2}}\right]=-\mathrm{1}，

其余J-辛积全为零，对应反对称矩阵

\mathit{H}=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)，

则有

（1） L_{\mathrm{1}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{2}}\right\},L_{\mathrm{2}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{2}},e^{\mathrm{3}}\right\},L_{\mathrm{3}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{3}},e^{\mathrm{4}}\right\},L_{\mathrm{4}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{4}}\right\}是S={\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}中的完全J-Lagrangian子空间。

（2） L_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{4}}分别对应反对称矩阵\mathit{H}中元素全为零的2阶子式

\mathit{K}(\mathrm{1,2}),\mathit{K}(\mathrm{2,3}),\mathit{K}(\mathrm{3,4}),\mathit{K}(\mathrm{1,4})，

称L_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{4}}为S={\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}中的基本完全J-Lagrangian子空间。

证明 （1） 对于任意的k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}},k_{\mathrm{4}}\in \mathbb{C}，

\begin{array}{l}\left[L_{\mathrm{1}}:L_{\mathrm{1}}\right]=\left[k_{\mathrm{1}}{e}^{\mathrm{1}}+k_{\mathrm{2}}{e}^{\mathrm{2}}:k_{\mathrm{3}}{e}^{\mathrm{1}}+k_{\mathrm{4}}{e}^{\mathrm{2}}\right]\\ =k_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{3}}\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{1}}\right]+k_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{4}}\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{2}}\right]+k_{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{3}}\left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{1}}\right]+k_{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{4}}\left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{2}}\right]\\ =\mathrm{0},\end{array}

由定义2得，L_{\mathrm{1}}是S={\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}中的J-Lagrangian子空间。又因为\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{L}_{\mathrm{1}}=n=\mathrm{2}，由引理3（2）可得，L_{\mathrm{1}}是S={\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}中的完全J-Lagrangian子空间，L_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{4}}同理可证。

（2） 因为

L_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{3}}分别对应反对称矩阵\mathit{H}中元素全为零的2阶子式\mathit{K}(\mathrm{1,2}),\mathit{K}(\mathrm{2,3}),\mathit{K}(\mathrm{3,4})，L_{\mathrm{4}}对应取反对称矩阵\mathit{H}中1、4行与1、4列所构成的元素全为零的2阶子式\mathit{K}(\mathrm{1,4})。

定理3 设定理2中的符号与假定成立，令

w_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{4}}，

则w_{\mathrm{1}}是S的一个J-Lagrangian元素。

证明 由

\begin{array}{l}\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{1}}\right]=\left[a_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{4}}:a_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{4}}\right]\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{c}\end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{c}\end{array}& \end{array}\end{array}=a_{\mathrm{11}}{b}_{\mathrm{11}}+a_{\mathrm{12}}{b}_{\mathrm{12}}-b_{\mathrm{11}}{a}_{\mathrm{11}}-b_{\mathrm{12}}{a}_{\mathrm{12}}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{c}\end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{c}\end{array}& \end{array}\end{array}=\mathrm{0},\end{array}

则w_{\mathrm{1}}是S的一个J-Lagrangian元素。

定理4 设定理2中的符号与假定成立，令

w_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{4}}，w_{\mathrm{2}}=a_{\mathrm{21}}{e}^{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{22}}{e}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{21}}{e}^{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{22}}{e}^{\mathrm{4}}，

则L=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}\right\}是S的一个完全J-Lagrangian子空间的充分必要条件是

a_{\mathrm{11}}{b}_{\mathrm{21}}+a_{\mathrm{12}}{b}_{\mathrm{22}}=b_{\mathrm{11}}{a}_{\mathrm{21}}+b_{\mathrm{12}}{a}_{\mathrm{22}}。

证明 由定理3可得，w_{\mathrm{1}}与w_{\mathrm{2}}是S的J-Lagrangian元素，又由

\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{2}}\right]=\left[a_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{4}}:a_{\mathrm{21}}{e}^{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{22}}{e}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{21}}{e}^{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{22}}{e}^{\mathrm{4}}\right]=a_{\mathrm{11}}{b}_{\mathrm{21}}+a_{\mathrm{12}}{b}_{\mathrm{22}}-b_{\mathrm{11}}{a}_{\mathrm{21}}-b_{\mathrm{12}}{a}_{\mathrm{22}}，

则

\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{2}}\right]=\mathrm{0}\iff a_{\mathrm{11}}{b}_{\mathrm{21}}+a_{\mathrm{12}}{b}_{\mathrm{22}}=b_{\mathrm{11}}{a}_{\mathrm{21}}+b_{\mathrm{12}}{a}_{\mathrm{22}}。

例1 考虑复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}，设\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{2}},e^{\mathrm{3}},e^{\mathrm{4}}\right\}为S={\mathbb{C}}^{\mathrm{4}}中的一组基，其J-辛内积为

\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{3}}\right]=\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{3}}:e^{\mathrm{1}}\right]=-\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{4}}\right]=\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{4}}:e^{\mathrm{2}}\right]=-\mathrm{1}，

其余J-辛积全为零，对应反对称矩阵

\mathit{H}=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)。

令L=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}\right\}，其中

w_{\mathrm{1}}=e^{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{e}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{e}^{\mathrm{3}}+\mathrm{4}{e}^{\mathrm{4}}，w_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{e}^{\mathrm{1}}+e^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{e}^{\mathrm{3}}+\mathrm{3}{e}^{\mathrm{4}}，

由于w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}的组合系数满足

\mathrm{1}\times \mathrm{4}+\mathrm{2}\times \mathrm{3}=\mathrm{3}\times \mathrm{2}+\mathrm{4}\times \mathrm{1}，

因此根据定理4可得，L=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}\right\}为S的一个完全J-Lagrangian子空间。

2.3 复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{6}}中完全J-Lagrangian子空间的刻画

定理5 考虑复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{6}}，设\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{2}},e^{\mathrm{3}},e^{\mathrm{4}},e^{\mathrm{5}},e^{\mathrm{6}}\right\}为S的一组基且满足

\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{4}}\right]=\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{4}}:e^{\mathrm{1}}\right]=-\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{5}}\right]=\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{5}}:e^{\mathrm{2}}\right]=-\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{3}}:e^{\mathrm{6}}\right]=\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{6}}:e^{\mathrm{3}}\right]=-\mathrm{1}，

其余J-辛积全为零，对应反对称矩阵

\mathit{H}=\left(\begin{array}{cccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)，

则有

（1） L_{\mathrm{1}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{2}},e^{\mathrm{3}}\right\},L_{\mathrm{2}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{2}},e^{\mathrm{3}},e^{\mathrm{4}}\right\},L_{\mathrm{3}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{3}},e^{\mathrm{4}},e^{\mathrm{5}}\right\},

\begin{array}{l}{L}_{\mathrm{4}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{4}},e^{\mathrm{5}},e^{\mathrm{6}}\right\},L_{\mathrm{5}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{2}},e^{\mathrm{6}}\right\},L_{\mathrm{6}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{5}},e^{\mathrm{6}}\right\},\\ L_{\mathrm{7}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{3}},e^{\mathrm{5}}\right\},L_{\mathrm{8}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{e^{\mathrm{2}},e^{\mathrm{4}},e^{\mathrm{6}}\right\},\end{array}

是S={\mathbb{C}}^{\mathrm{6}}中的完全J-Lagrangian子空间。

（2） L_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{5}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{6}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{7}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{8}}分别对应反对称矩阵\mathit{H}中元素全为零的3阶子式

\mathit{K}(\mathrm{1,2},\mathrm{3}),\mathit{K}(\mathrm{2,3},\mathrm{4}),\mathit{K}(\mathrm{3,4},\mathrm{5}),\mathit{K}(\mathrm{4,5},\mathrm{6}),

\mathit{K}(\mathrm{1,2},\mathrm{6}),\mathit{K}(\mathrm{1,5},\mathrm{6}),\mathit{K}(\mathrm{1,3},\mathrm{5}),\mathit{K}(\mathrm{2,4},\mathrm{6})，

称L_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{5}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{6}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{7}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{8}}为S={\mathbb{C}}^{\mathrm{6}}中的基本完全J-Lagrangian子空间。

证明 （1） 对于任意的k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}},k_{\mathrm{4}},k_{\mathrm{5}},k_{\mathrm{6}}\in \mathbb{C}，

\begin{array}{l}\left[L_{\mathrm{1}}:L_{\mathrm{1}}\right]=\left[k_{\mathrm{1}}{e}^{\mathrm{1}}+k_{\mathrm{2}}{e}^{\mathrm{2}}+k_{\mathrm{3}}{e}^{\mathrm{3}}:k_{\mathrm{4}}{e}^{\mathrm{1}}+k_{\mathrm{5}}{e}^{\mathrm{2}}+k_{\mathrm{6}}{e}^{\mathrm{3}}\right]\\ =k_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{4}}\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{1}}\right]+k_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{5}}\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{2}}\right]+k_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{6}}\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{3}}\right]+k_{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{4}}\left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{1}}\right]+k_{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{5}}\left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{2}}\right]\\ +k_{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{6}}\left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{3}}\right]+k_{\mathrm{3}}{k}_{\mathrm{4}}\left[e^{\mathrm{3}}:e^{\mathrm{1}}\right]+k_{\mathrm{3}}{k}_{\mathrm{5}}\left[e^{\mathrm{3}}:e^{\mathrm{2}}\right]+k_{\mathrm{3}}{k}_{\mathrm{6}}\left[e^{\mathrm{3}}:e^{\mathrm{3}}\right]\\ =\mathrm{0},\end{array}

由定义2得，L_{\mathrm{1}}是S={\mathbb{C}}^{\mathrm{6}}中的J-Lagrangian子空间。又因为\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{L}_{\mathrm{1}}=n=\mathrm{3}，由引理3（2）可得，L_{\mathrm{1}}是S={\mathbb{C}}^{\mathrm{6}}中的完全J-Lagrangian子空间，L_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{5}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{6}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{7}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{8}}同理可证。

（2） 因为

=\left(\begin{array}{cccccc}\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{1}}\right]& \left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{2}}\right]& \left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{3}}\right]& \left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{4}}\right]& \left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{5}}\right]& \left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{6}}\right]\\ \left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{1}}\right]& \left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{2}}\right]& \left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{3}}\right]& \left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{4}}\right]& \left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{5}}\right]& \left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{6}}\right]\\ \left[e^{\mathrm{3}}:e^{\mathrm{1}}\right]& \left[e^{\mathrm{3}}:e^{\mathrm{2}}\right]& \left[e^{\mathrm{3}}:e^{\mathrm{3}}\right]& \left[e^{\mathrm{3}}:e^{\mathrm{4}}\right]& \left[e^{\mathrm{3}}:e^{\mathrm{5}}\right]& \left[e^{\mathrm{3}}:e^{\mathrm{6}}\right]\\ \left[e^{\mathrm{4}}:e^{\mathrm{1}}\right]& \left[e^{\mathrm{4}}:e^{\mathrm{2}}\right]& \left[e^{\mathrm{4}}:e^{\mathrm{3}}\right]& \left[e^{\mathrm{4}}:e^{\mathrm{4}}\right]& \left[e^{\mathrm{4}}:e^{\mathrm{5}}\right]& \left[e^{\mathrm{4}}:e^{\mathrm{6}}\right]\\ \left[e^{\mathrm{5}}:e^{\mathrm{1}}\right]& \left[e^{\mathrm{5}}:e^{\mathrm{2}}\right]& \left[e^{\mathrm{5}}:e^{\mathrm{3}}\right]& \left[e^{\mathrm{5}}:e^{\mathrm{4}}\right]& \left[e^{\mathrm{5}}:e^{\mathrm{5}}\right]& \left[e^{\mathrm{5}}:e^{\mathrm{6}}\right]\\ \left[e^{\mathrm{6}}:e^{\mathrm{1}}\right]& \left[e^{\mathrm{6}}:e^{\mathrm{2}}\right]& \left[e^{\mathrm{6}}:e^{\mathrm{3}}\right]& \left[e^{\mathrm{6}}:e^{\mathrm{4}}\right]& \left[e^{\mathrm{6}}:e^{\mathrm{5}}\right]& \left[e^{\mathrm{6}}:e^{\mathrm{6}}\right]\end{array}\right)，

L_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{4}}分别对应反对称矩阵\mathit{H}中元素全为零的3阶子式

\mathit{K}(\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3}),\mathit{K}(\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4}),\mathit{K}(\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{5}),\mathit{K}(\mathrm{4},\mathrm{5},\mathrm{6})，

L_{\mathrm{5}}对应取反对称矩阵\mathit{H}中1、2、6行与1、2、6列的元素全为零的3阶子式\mathit{K}(\mathrm{1,2},\mathrm{6})，同理L_{\mathrm{6}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{7}}\mathrm{、}{L}_{\mathrm{8}}分别对应取反对称矩阵\mathit{H}中的元素全为零的3阶子式\mathit{K}(\mathrm{1,5},\mathrm{6}),\mathit{K}(\mathrm{1,3},\mathrm{5}),\mathit{K}(\mathrm{2,4},\mathrm{6})。

下面讨论一般情形。

定理6 设定理5中的符号与假定成立，令

w_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{13}}{e}^{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{4}}+b_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{5}}+b_{\mathrm{13}}{e}^{\mathrm{6}}，

则w_{\mathrm{1}}是S的一个J-Lagrangian元素。

证明 由

\begin{array}{l}\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{1}}\right]=\left[a_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{13}}{e}^{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{4}}+b_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{5}}+b_{\mathrm{13}}{e}^{\mathrm{6}}:a_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{13}}{e}^{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{11}}{e}^{\mathrm{4}}+b_{\mathrm{12}}{e}^{\mathrm{5}}+b_{\mathrm{13}}{e}^{\mathrm{6}}\right]\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{c}\end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{c}\end{array}& \end{array}\end{array}=a_{\mathrm{11}}{b}_{\mathrm{11}}+a_{\mathrm{12}}{b}_{\mathrm{12}}+a_{\mathrm{13}}{b}_{\mathrm{13}}-b_{\mathrm{11}}{a}_{\mathrm{11}}-b_{\mathrm{12}}{a}_{\mathrm{12}}-b_{\mathrm{13}}{a}_{\mathrm{13}}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{c}\end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{c}\end{array}& \end{array}\end{array}=\mathrm{0},\end{array}

则w_{\mathrm{1}}是S的一个J-Lagrangian元素。

定理7 设定理5中的符号与假定成立， 令

\left(\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1}}\\ w_{\mathrm{2}}\\ w_{\mathrm{3}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& a_{\mathrm{13}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& a_{\mathrm{23}}\\ a_{\mathrm{31}}& a_{\mathrm{32}}& a_{\mathrm{33}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{e}^{\mathrm{1}}\\ e^{\mathrm{2}}\\ e^{\mathrm{3}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}{b}_{\mathrm{11}}& b_{\mathrm{12}}& b_{\mathrm{13}}\\ b_{\mathrm{21}}& b_{\mathrm{22}}& b_{\mathrm{23}}\\ b_{\mathrm{31}}& b_{\mathrm{32}}& b_{\mathrm{33}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{e}^{\mathrm{4}}\\ e^{\mathrm{5}}\\ e^{\mathrm{6}}\end{array}\right)，

且w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},w_{\mathrm{3}}是线性无关的J-Lagrangian元素，则L=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},w_{\mathrm{3}}\right\}是S的一个完全J-Lagrangian子空间的充分必要条件是\mathit{A}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}=\mathit{B}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}，其中\mathit{A}={\left(a_{ij}\right)}_{\mathrm{3}\times \mathrm{3}},\mathit{B}={\left(b_{ij}\right)}_{\mathrm{3}\times \mathrm{3}}。

证明 因为w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},w_{\mathrm{3}}是线性无关的J-Lagrangian元素，即\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L=\mathrm{3}，所以L是S的一个完全J-Lagrangian子空间的充分必要条件是

\left(\begin{array}{ccc}\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{2}}\right]& \left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{3}}\right]\\ \left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{2}}\right]& \left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{3}}\right]\\ \left[w_{\mathrm{3}}:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_{\mathrm{3}}:w_{\mathrm{2}}\right]& \left[w_{\mathrm{3}}:w_{\mathrm{3}}\right]\end{array}\right)=\mathit{{\rm O}} （其中\mathit{{\rm O}}为零矩阵），

而

\begin{array}{l}\left(\begin{array}{ccc}\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{2}}\right]& \left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{3}}\right]\\ \left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{2}}\right]& \left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{3}}\right]\\ \left[w_{\mathrm{3}}:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_{\mathrm{3}}:w_{\mathrm{2}}\right]& \left[w_{\mathrm{3}}:w_{\mathrm{3}}\right]\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& a_{\mathrm{13}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& a_{\mathrm{23}}\\ a_{\mathrm{31}}& a_{\mathrm{32}}& a_{\mathrm{33}}\end{array}\right)\mathit{H}{\left(\begin{array}{ccc}{b}_{\mathrm{11}}& b_{\mathrm{12}}& b_{\mathrm{13}}\\ b_{\mathrm{21}}& b_{\mathrm{22}}& b_{\mathrm{23}}\\ b_{\mathrm{31}}& b_{\mathrm{32}}& b_{\mathrm{33}}\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}\end{array}

=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{a}_{\mathrm{1}k}{b}_{\mathrm{2}k}-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{b}_{\mathrm{1}k}{a}_{\mathrm{2}k}& {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{a}_{\mathrm{1}k}{b}_{\mathrm{3}k}-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{b}_{\mathrm{1}k}{a}_{\mathrm{3}k}\\ {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{a}_{\mathrm{2}k}{b}_{\mathrm{1}k}-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{b}_{\mathrm{2}k}{a}_{\mathrm{1}k}& \mathrm{0}& {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{a}_{\mathrm{2}k}{b}_{\mathrm{3}k}-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{b}_{\mathrm{2}k}{a}_{\mathrm{3}k}\\ {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{a}_{\mathrm{3}k}{b}_{\mathrm{1}k}-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{b}_{\mathrm{3}k}{a}_{\mathrm{1}k}& {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{a}_{\mathrm{3}k}{b}_{\mathrm{2}k}-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{b}_{\mathrm{3}k}{a}_{\mathrm{2}k}& \mathrm{0}\end{array}\right),

则

\left(\begin{array}{ccc}\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{2}}\right]& \left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{3}}\right]\\ \left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{2}}\right]& \left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{3}}\right]\\ \left[w_{\mathrm{3}}:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_{\mathrm{3}}:w_{\mathrm{2}}\right]& \left[w_{\mathrm{3}}:w_{\mathrm{3}}\right]\end{array}\right)=\mathit{{\rm O}}\iff{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{a}_{ik}{b}_{jk}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{b}_{ik}{a}_{jk},i,j=\mathrm{1,2},\mathrm{3}，

即

\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& a_{\mathrm{13}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& a_{\mathrm{23}}\\ a_{\mathrm{31}}& a_{\mathrm{32}}& a_{\mathrm{33}}\end{array}\right){\left(\begin{array}{ccc}{b}_{\mathrm{11}}& b_{\mathrm{12}}& b_{\mathrm{13}}\\ b_{\mathrm{21}}& b_{\mathrm{22}}& b_{\mathrm{23}}\\ b_{\mathrm{31}}& b_{\mathrm{32}}& b_{\mathrm{33}}\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}{b}_{\mathrm{11}}& b_{\mathrm{12}}& b_{\mathrm{13}}\\ b_{\mathrm{21}}& b_{\mathrm{22}}& b_{\mathrm{23}}\\ b_{\mathrm{31}}& b_{\mathrm{32}}& b_{\mathrm{33}}\end{array}\right){\left(\begin{array}{ccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& a_{\mathrm{13}}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& a_{\mathrm{23}}\\ a_{\mathrm{31}}& a_{\mathrm{32}}& a_{\mathrm{33}}\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}，

\mathit{A}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}=\mathit{B}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}，其中\mathit{A}={\left(a_{ij}\right)}_{\mathrm{3}\times \mathrm{3}},\mathit{B}={\left(b_{ij}\right)}_{\mathrm{3}\times \mathrm{3}}。

例2 考虑复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{6}}，设\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{2}},e^{\mathrm{3}},e^{\mathrm{4}},e^{\mathrm{5}},e^{\mathrm{6}}\right\}为S={\mathbb{C}}^{\mathrm{6}}中的一组基，其J-辛内积为

\left[e^{\mathrm{1}}:e^{\mathrm{4}}\right]=\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{4}}:e^{\mathrm{1}}\right]=-\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{2}}:e^{\mathrm{5}}\right]=\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{5}}:e^{\mathrm{2}}\right]=-\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{3}}:e^{\mathrm{6}}\right]=\mathrm{1},\left[e^{\mathrm{6}}:e^{\mathrm{3}}\right]=-\mathrm{1}，

其余J-辛积全为零，对应反对称矩阵

\mathit{H}=\left(\begin{array}{cccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)。

令L=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},w_{\mathrm{3}}\right\}，其中

w_{\mathrm{1}}=e^{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{e}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{e}^{\mathrm{3}}+\mathrm{4}{e}^{\mathrm{4}}+\mathrm{5}{e}^{\mathrm{5}}+\mathrm{6}{e}^{\mathrm{6}}，

w_{\mathrm{2}}=\mathrm{3}{e}^{\mathrm{1}}+e^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{e}^{\mathrm{3}}+\mathrm{5}{e}^{\mathrm{4}}+\mathrm{6}{e}^{\mathrm{5}}+\mathrm{4}{e}^{\mathrm{6}}，

w_{\mathrm{3}}=\mathrm{2}{e}^{\mathrm{1}}+\mathrm{3}{e}^{\mathrm{2}}+e^{\mathrm{3}}+\mathrm{6}{e}^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}{e}^{\mathrm{5}}+\mathrm{5}{e}^{\mathrm{6}}，

由

\mathit{A}=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{2}& \mathrm{3}\\ \mathrm{3}& \mathrm{1}& \mathrm{2}\\ \mathrm{2}& \mathrm{3}& \mathrm{1}\end{array}\right),\mathit{B}=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{4}& \mathrm{5}& \mathrm{6}\\ \mathrm{5}& \mathrm{6}& \mathrm{4}\\ \mathrm{6}& \mathrm{4}& \mathrm{5}\end{array}\right)，

故可得\mathit{A}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}=\mathit{B}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}。

因此，根据定理7可得，L=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},w_{\mathrm{3}}\right\}为S的一个完全J-Lagrangian子空间。

2.4 复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}n}中完全J-Lagrangian子空间的刻画

定理8 考虑复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}n}，设\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{2}},\cdots ,e^{\mathrm{2}n}\right\}为S的一组基且满足

\left[e^j:e^k\right]=\mathrm{0},\left[e^{n+j}:e^{n+k}\right]=\mathrm{0},\left[e^j:e^{n+k}\right]={\delta }_{jk},\mathrm{1}\le j,k\le n，

对应反对称矩阵

\mathit{H}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& {\mathit{I}}_n\\ -{\mathit{I}}_n& \mathrm{0}\end{array}\right)，

则复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}n}中的基本完全J-Lagrangian子空间对应反对称矩阵\mathit{H}中元素全为零的n阶子式，且基本完全J-Lagrangian子空间是成对出现的。

令

\left(\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{1}}\\ w_{\mathrm{2}}\\ \cdots \\ w_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& \cdots & a_{\mathrm{1}n}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& \cdots & a_{\mathrm{2}n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n\mathrm{1}}& a_{n\mathrm{2}}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{e}^{\mathrm{1}}\\ e^{\mathrm{2}}\\ \cdots \\ e^n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{\mathrm{11}}& b_{\mathrm{12}}& \cdots & b_{\mathrm{1}n}\\ b_{\mathrm{21}}& b_{\mathrm{22}}& \cdots & b_{\mathrm{2}n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{n\mathrm{1}}& b_{n\mathrm{2}}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{e}^{n+\mathrm{1}}\\ e^{n+\mathrm{2}}\\ \cdots \\ e^{\mathrm{2}n}\end{array}\right)，

且L=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},\cdots ,w_n\right\}是线性无关的J-Lagrangian元素，其中w_i\in S,i=\mathrm{1,2},\cdots ,n,则L是S的一个完全J-Lagrangian子空间的充分必要条件是\mathit{A}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}=\mathit{B}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}，其中\mathit{A}={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n},\mathit{B}={\left(b_{ij}\right)}_{n\times n}。

证明 因为w_i\in S\mathrm{是线}\mathrm{性无}\mathrm{关的}J-Lagrangian元素，i=\mathrm{1,2},\cdots ,n，\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}L=n，所以L是S的一个完全J-Lagrangian子空间的充分必要条件是

\left(\begin{array}{cccc}\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{2}}\right]& \cdots & \left[w_{\mathrm{1}}:w_n\right]\\ \left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{2}}\right]& \cdots & \left[w_{\mathrm{2}}:w_n\right]\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \left[w_n:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_n:w_{\mathrm{2}}\right]& \cdots & \left[w_n:w_n\right]\end{array}\right)=\mathit{{\rm O}} （其中\mathit{{\rm O}}为零矩阵），

这里

\left(\begin{array}{cccc}\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{2}}\right]& \cdots & \left[w_{\mathrm{1}}:w_n\right]\\ \left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{2}}\right]& \cdots & \left[w_{\mathrm{2}}:w_n\right]\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \left[w_n:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_n:w_{\mathrm{2}}\right]& \cdots & \left[w_n:w_n\right]\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& \cdots & a_{\mathrm{1}n}& b_{\mathrm{11}}& b_{\mathrm{12}}& \cdots & b_{\mathrm{1}n}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& \cdots & a_{\mathrm{2}n}& b_{\mathrm{21}}& b_{\mathrm{22}}& \cdots & b_{\mathrm{2}n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n\mathrm{1}}& a_{n\mathrm{2}}& \cdots & a_{nn}& b_{n\mathrm{1}}& b_{n\mathrm{2}}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right)\mathit{H}{\left(\begin{array}{cccccccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& \cdots & a_{\mathrm{1}n}& b_{\mathrm{11}}& b_{\mathrm{12}}& \cdots & b_{\mathrm{1}n}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& \cdots & a_{\mathrm{2}n}& b_{\mathrm{21}}& b_{\mathrm{22}}& \cdots & b_{\mathrm{2}n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n\mathrm{1}}& a_{n\mathrm{2}}& \cdots & a_{nn}& b_{n\mathrm{1}}& b_{n\mathrm{2}}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}

=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{0}& {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{a}_{\mathrm{1}k}{b}_{\mathrm{2}k}-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{b}_{\mathrm{1}k}{a}_{\mathrm{2}k}& \cdots & {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{a}_{\mathrm{1}k}{b}_{nk}-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{b}_{\mathrm{1}k}{a}_{nk}\\ {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{a}_{\mathrm{2}k}{b}_{\mathrm{1}k}-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{b}_{\mathrm{2}k}{a}_{\mathrm{1}k}& \mathrm{0}& \cdots & {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{a}_{\mathrm{2}k}{b}_{nk}-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{b}_{\mathrm{2}k}{a}_{nk}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{a}_{nk}{b}_{\mathrm{1}k}-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{b}_{nk}{a}_{\mathrm{1}k}& {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{a}_{nk}{b}_{\mathrm{2}k}-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{b}_{nk}{a}_{\mathrm{2}k}& \cdots & \mathrm{0}\end{array}\right),

所以

\left(\begin{array}{cccc}\left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_{\mathrm{1}}:w_{\mathrm{2}}\right]& \cdots & \left[w_{\mathrm{1}}:w_m\right]\\ \left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_{\mathrm{2}}:w_{\mathrm{2}}\right]& \cdots & \left[w_{\mathrm{2}}:w_m\right]\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \left[w_m:w_{\mathrm{1}}\right]& \left[w_m:w_{\mathrm{2}}\right]& \cdots & \left[w_m:w_m\right]\end{array}\right)=\mathit{{\rm O}}\iff{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{a}_{ik}{b}_{jk}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{b}_{ik}{a}_{jk},i,j=\mathrm{1,2},\cdots ,n，

即

\left(\begin{array}{cccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& \cdots & a_{\mathrm{1}n}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& \cdots & a_{\mathrm{2}n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n\mathrm{1}}& a_{n\mathrm{2}}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right){\left(\begin{array}{cccc}{b}_{\mathrm{11}}& b_{\mathrm{12}}& \cdots & b_{\mathrm{1}n}\\ b_{\mathrm{21}}& b_{\mathrm{22}}& \cdots & b_{\mathrm{2}n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{n\mathrm{1}}& b_{n\mathrm{2}}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{\mathrm{11}}& b_{\mathrm{12}}& \cdots & b_{\mathrm{1}m}\\ b_{\mathrm{21}}& b_{\mathrm{22}}& \cdots & b_{\mathrm{2}m}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{m\mathrm{1}}& b_{m\mathrm{2}}& \cdots & b_{mm}\end{array}\right){\left(\begin{array}{cccc}{a}_{\mathrm{11}}& a_{\mathrm{12}}& \cdots & a_{\mathrm{1}n}\\ a_{\mathrm{21}}& a_{\mathrm{22}}& \cdots & a_{\mathrm{2}n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n\mathrm{1}}& a_{n\mathrm{2}}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}，

\mathit{A}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}=\mathit{B}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}},\mathit{A}={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n},\mathit{B}={\left(b_{ij}\right)}_{n\times n}。

定理9 复J-辛空间中的基本完全J-Lagrangian子空间有{\mathrm{2}}^n个。

证明 由于复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}n}中的一组基为\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{2}},\cdots ,e^n,e^{n+\mathrm{1}},\cdots ,e^{\mathrm{2}n}\right\}且满足

\left[e^j:e^k\right]=\mathrm{0},\left[e^{n+j}:e^{n+k}\right]=\mathrm{0},\left[e^j:e^{n+k}\right]={\delta }_{jk},\mathrm{1}\le j,k\le n，

而S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}n}的基本完全J-Lagrangian子空间L对应反对称矩阵\mathit{H}中元素全为零的n阶子式，所以e^j与e^{n+j}不能同时存在，即L共有

\underset{n\mathrm{个}}{\underbrace{C_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\times C_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\times C_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\times \cdots \times C_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}}}={\mathrm{2}}^n个。

3 例子

由于高维复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}n}中完全J-Lagrangian子空间的构造相对复杂，下面给出几个具体例子。

例3 考虑复J-辛空间S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}n}，设\left\{e^{\mathrm{1}},e^{\mathrm{2}},\cdots ,e^{\mathrm{2}n}\right\}为S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}n}中的一组基，其J-辛内积为

\left[e^j:e^k\right]=\mathrm{0},\left[e^{n+j}:e^{n+k}\right]=\mathrm{0},\left[e^j:e^{n+k}\right]={\delta }_{jk},\mathrm{1}\le j,k\le n，

对应反对称矩阵

\mathit{H}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& {\mathit{I}}_n\\ -{\mathit{I}}_n& \mathrm{0}\end{array}\right)。

令L=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},\cdots ,w_n\right\}，其中

w_{\mathrm{1}}=e^{\mathrm{1}}+e^{n+\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}=e^{\mathrm{2}}+e^{n+\mathrm{2}},\cdots ,w_n=e^n+e^{\mathrm{2}n}，

因为

\mathit{A}=\mathit{B}=\left(\begin{array}{ccccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{0}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{1}\end{array}\right)，

所以满足\mathit{A}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}=\mathit{B}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}，由定理8可知，L为S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}n}中的完全J-Lagrangian子空间。

例4 与例3所定义的符号和假定相同，令L=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},\cdots ,w_n\right\}，其中

w_{\mathrm{1}}=e^{\mathrm{1}}+\mathrm{i}{e}^{n+\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}=e^{\mathrm{2}}+\mathrm{i}{e}^{n+\mathrm{2}},\cdots ,w_n=e^n+\mathrm{i}{e}^{\mathrm{2}n}，

因为

\mathit{A}=\left(\begin{array}{ccccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \cdots & \mathrm{0}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{1}\end{array}\right),\mathit{B}=\left(\begin{array}{ccccc}\mathrm{i}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{i}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{i}& \cdots & \mathrm{0}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{i}\end{array}\right)，

所以满足\mathit{A}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}=\mathit{B}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}=\mathit{B}=\mathrm{i}\mathit{I}，由定理8可知，L为S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}n}中的完全J-Lagrangian子空间。

例5 与例3所定义的符号和假定相同，令L=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},\cdots ,w_n\}，其中

w_{\mathrm{1}}=\left(\mathrm{i}+\mathrm{1}\right)e^{\mathrm{1}}+\left(\mathrm{i}-\mathrm{1}\right)e^{n+\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}}=\left(\mathrm{i}+\mathrm{1}\right)e^{\mathrm{2}}+\left(\mathrm{i}-\mathrm{1}\right)e^{n+\mathrm{2}},\cdots ,w_n=\left(\mathrm{i}+\mathrm{1}\right)e^n+\left(\mathrm{i}-\mathrm{1}\right)e^{\mathrm{2}n}，

因为

\mathit{A}=\left(\begin{array}{ccccc}\mathrm{i}+\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{i}+\mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{i}+\mathrm{1}& \cdots & \mathrm{0}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{i}+\mathrm{1}\end{array}\right),\mathit{B}=\left(\begin{array}{ccccc}\mathrm{i}-\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{i}-\mathrm{1}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{i}-\mathrm{1}& \cdots & \mathrm{0}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{i}-\mathrm{1}\end{array}\right)，

所以\mathit{A}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}=\mathit{B}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}=\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{B}\mathit{A}=-\mathrm{2}\mathit{I}，由定理8可知，L为S={\mathbb{C}}^{\mathrm{2}n}中的完全J-Lagrangian子空间。

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基金资助

国家自然科学基金项目(11801286)

内蒙古自然科学基金项目(2018MS01021)