Mikusiński算符域上的拓扑再构造（Ⅰ）

Topological Reconstructions on Mikusiński Operator Fields （I）

摘要

从实数轴上某点左侧几乎处处为零的Lebesgue局部可积函数全体出发，将其作为基本函数引出一系列的函数空间以及乘积空间，通过在乘积空间中赋予等价关系得到3个代数同构的商空间；在函数空间与乘积空间上赋予拓扑，得到这些空间中具有的一些基本性质，为后续Mikusiński算符域F的研究奠定了基础。

Abstract

The Lebesgue local product function which is zero almost everywhere to the left of a point on the real number axis was considered as a basic function to lead to a series of function spaces and product spaces. By assigning equivalence relations to the product spaces， three algebraically isomorphic quotient spaces were obtained， and by assigning topology to the function spaces and product spaces， some basic properties of these spaces were obtained. The results lay the foundation for the subsequent study of Mikusiński operator fields.

关键词

Lebesgue局部可积函数 / 乘积空间 / 商空间

Key words

Lebesgue locally integrable function / the product space / the quotient space

在Mikusiński算符理论中，定义在[\mathrm{0},+\mathrm{\infty })上的复值连续函数f=\{f(t)\}全体是一个无零因子交换环，作为基本函数可以将其扩充成一个分式域^［1-2］，即著名的Mikusiński算符域F。若把实数轴上某点左侧几乎处处为零的Lebesgue局部可积函数全体作为基本函数，在卷积乘法下也是一个无零因子环，它所生成的商域也是Mikusiński算符域F。本文从Lebesgue局部可积函数全体出发，引出一系列函数空间以及乘积空间，通过在乘积空间中赋予等价关系得到3个不同形式的商空间，并在Boehme^［3］的基础上证明了3个商空间是代数同构的，其中，商空间Y/R正是Mikusiński算符域F。此外，基于Boehme^［3］给出的方程组的逼近解的存在性，本文将这一结果从C空间推广到了L\left[\mathrm{0,1}\right]空间。

1 基本概念和符号

1.1 函数空间

定义1^［4］ 设C是定义在(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })上且在某点左侧几乎处处为零的复值连续函数f=\left\{f\left(t\right)\right\}的全体，以加法和数乘及其卷积f\cdot g=\left\{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f\left(t\right)g\left(s-t\right)\mathrm{d}t\right\}作为基本运算。

记\mathrm{ℒ}表示实数轴上某点左侧几乎处处为零的Lebesgue局部可积函数全体，其中几乎处处相等的函数视为同一元素。对于f\in \mathrm{ℒ}，Boehme在文献［3］中给出了支集数Λ（f）的概念，即

，

称之为f的支集数。

记L _N =｛ƒ∈L∶Λ（ƒ）≥-N｝，N=0，1，2，…。对于ƒ∈L _N 以及K>\mathrm{0}，记

{‖f‖}_{[-N,K]}={\int }_{-N}^K\left|f(t)\right|\mathrm{d}t，

其中，{‖\bullet ‖}_{[-N,K]}是{\mathrm{ℒ}}_N上的半范数。由这些半范数族在{\mathrm{ℒ}}_N上诱导出的拓扑记为T_N，称之为局部平均收敛拓扑，（L _N，T_N ）是局部凸的Fréchet空间。\left(f_n\right)依拓扑T_N收敛到f，简记为f_n\stackrel{T_N}{\to }f。特别地，对f\in {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0}}以及K>\mathrm{0}，简记{‖f‖}_K={‖f‖}_{[\mathrm{0},K]}。记{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0,0}}=\{f\in \mathrm{ℒ}:\Lambda (f)=\mathrm{0}\}，T_{\mathrm{0}}在{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0,0}}中的相对拓扑记为T_{\mathrm{0,0}}。

因为{\mathrm{ℒ}}_N⊈{\mathrm{ℒ}}_{N+\mathrm{1}}，T_N=T_{N+\mathrm{1}}\left|{}_{{\mathrm{ℒ}}_N}\right.且\mathrm{ℒ}={\displaystyle \underset{N=\mathrm{0}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}}{\mathrm{ℒ}}_N，N=\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots，所以根据文献［5］，在L上由\left(T_N\right)生成一个局部凸严格归纳极限拓扑，记为T。

记χ=｛（a，b）\inL×L，b≠0｝，Y=｛（a，b）\inL₀×L₀，b≠0｝，Z=L×L_0，0，对于N=\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots，{\mathrm{𝒵}}_N={\mathrm{ℒ}}_N\times {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0,0}}，赋予\mathrm{𝒵}乘积拓扑T\times T_{\mathrm{0,0}}^［6］，赋予{\mathrm{𝒵}}_N乘积拓扑T_N\times T_{\mathrm{0,0}}。

1.2 Mikusiński算符域

给出关于有限区间上的Lebesgue局部可积函数的Titchmarsh定理。

引理1（Titchmarsh定理）^［7］ 设f和g是[\mathrm{0},K]上的Lebesgue可积函数，且{\int }_{\mathrm{0}}^{t}f(t-\tau )g(\tau )\mathrm{d}\tau =\mathrm{0}在[\mathrm{0},K]中几乎处处成立，则f=\mathrm{0}在[\mathrm{0},t_{\mathrm{1}}]中几乎处处成立，且g=\mathrm{0}在[\mathrm{0},t_{\mathrm{2}}]中几乎处处成立，其中t_{\mathrm{1}}+t_{\mathrm{2}}\ge K。

由引理1以及正数K的任意性可知，L₀关于加法和卷积乘法是一个无零因子交换环^［8］，它扩张而成的商域F正是Mikusiński算符域（见文献［9］），而且在如下等价关系下可表示为不同形式的商域。定义关系

R=｛（（a，b），（c，d）） ∊ χ×χ ∶ ad=bc｝，

显然R是一个等价关系^［10］，用符号(a,b)\sim (c,d)表示二者相互等价。当R为Y，Z和Z _N 中的等价关系时使用相同的符号，这样关系R生成4个商空间χ/R，Y/R，Z/R和Z _N /R。根据Boehme在文献［3］中给出的支集数\Lambda的如下性质，可以赋予它们分式加法和分式卷积乘法运算，前3个商空间都是商域；对每个自然数N，后者都是线性子空间，特别是当N=\mathrm{0}时，它是子代数。其中Y/R正是Mikusiński算符域F。

支集数具有如下性质（见文献［3］）：设a,b\in \mathrm{ℒ}，则

\begin{array}{l}(\mathrm{1})\Lambda (ab)=\Lambda (a)+\Lambda (b);\\ (\mathrm{2})\Lambda (a+b)\ge \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{\Lambda (a),\Lambda (b)\};\\ (\mathrm{3})\Lambda (\frac{a}{b})=\Lambda (a)-\Lambda (b)\mathrm{。}\end{array}

在连续函数为基本函数的背景下，Boehme在文献［3］中已经指出了3个商域的同构关系。在此我们以局部可积函数作为基本函数得出了类似的结论。这里先给出关于移动算符的相关引理：

引理2^［1］ 若\left\{f(t)\right\}是函数类L中的任意函数，则有

定理1 商空间χ/R，Y/R和Z/R是代数同构的。用符号“\cong”表示同构，即χ/R≅Y/R≅Z/R。

证明 首先证明\mathrm{𝒵}/R≅χ/R，定义

\begin{array}{l}\phi :\mathrm{𝒵}/R\to \chi /R,\\ \phi ([c,d])={[c,d]}_{\chi },\end{array}

其中，［c，d］∈Z/R表示(c,d)在Z中的等价类；［c，d］ _χ ∈χ/R表示(c,d)在χ中的等价类。

（1） 与代表元的选取无关，若(c^{\text{'}},d^{\text{'}})\in [c,d]，则［c´，d´］ _χ =［c，d］ _χ。

任取（a，b）∈［c，d］ _χ，（a´，b´）∈［c´，d´］ _χ，则(a,b)\sim (c,d)\sim (c^{\text{'}},d^{\text{'}})\sim (a^{\text{'}},b^{\text{'}})，所以［c´，d´］ _χ =［c，d］ _χ。

（2） \phi是满射。

任意的［a，b］∈χ/R，设\Lambda (b)=\lambda，则(h^{-\lambda }a,h^{-\lambda }b)\in \mathrm{𝒵}，并且有(h^{-\lambda }a,h^{-\lambda }b)\sim (a,b)，所以\phi（［h^{-\lambda }a，h^{-\lambda }b］）=［h^{-\lambda }a，h^{-\lambda }b］ _χ =［a，b］ _χ。

（3） \phi是单射。

若［c，d］ _χ =［c´，d´］ _χ，(c,d),(c^{\text{'}},d^{\text{'}})\in \mathrm{𝒵}，则(c,d)\sim (c^{\text{'}},d^{\text{'}})，故[c,d]=[c^{\text{'}},d^{\text{'}}]。

（4） \phi保持加法运算。

任取(a,b),(c,d)\in \mathrm{𝒵}，则

φ（［a，b］+［c，d］）=φ（［ad+bc，bd］）=［ad+bc，bd］ _χ

=［a，b］ _χ +［c，d］ _χ =φ（［a，b］）+φ（［c，d］）。

（5） 保持乘法运算。

任取(a,b),(c,d)\in \mathrm{𝒵}，则

φ（［a，b］∙［c，d］）=φ（［ac，bd］）=［ac，bd］ _χ =［a，b］ _χ ［c，d］ _χ =φ（［a，b］）φ（［c，d］）。

综上得Z/R≅χ/R。

接下来证明Y/R≅χ/R，定义

\psi ∶ Y/R→χ/R，

\psi（［c，d］_Y）=［c，d］ _χ，

其中，［c，d］_Y∊Y/R表示\left(c,d\right)在Y中的等价类；［c，d］ _χ ∊χ/R表示\left(c,d\right)在χ中的等价类。与\phi映射同理可证，\psi的定义与代表元\left(c,d\right)的选取无关，并且\psi是单射，保持加法和乘法运算，下面证明\psi是满射。

任取\left[a,b\right]\in \chi /R，设\Lambda \left(a\right)=\lambda，\Lambda \left(b\right)=\mu，则有\Lambda \left(h^{\left|\mu \right|+\left|\lambda \right|}a\right)=\left|\mu \right|+\left|\lambda \right|+\lambda \ge \mathrm{0}，\Lambda \left(h^{\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|}b\right)=\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|+\mu \ge \mathrm{0}，所以\left(h^{\left|\mu \right|+\left|\lambda \right|}a,h^{\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|}b\right)\in \mathrm{𝒴}且\left(h^{\left|\mu \right|+\left|\lambda \right|}a,h^{\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|}b\right)\sim \left(a,b\right)，故\psi \left([h^{\left|\mu \right|+\left|\lambda \right|}a,h^{\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|}{b]}_{\mathrm{𝒴}}\right)={\left[h^{\left|\mu \right|+\left|\lambda \right|}a,h^{\left|\lambda \right|+\left|\mu \right|}b\right]}_{\chi }={\left[a,b\right]}_{\chi }。

综上，\phi和\psi是同构映射，即Z/R≅χ/R，Y/R≅χ/R，由传递性可知，Z/R≅χ/R≅Y/R。证明完成。

2 基本引理和性质

本节主要研究函数空间以及乘积空间的基本性质。{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0}}上的卷积乘法是二元连续的；{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0}}中的一个固定元素卷积相乘{\mathrm{ℒ}}_N中的任意元素是一个连续线性变换；\mathrm{ℒ}上的卷积乘法是单侧连续的，但它是二元序列连续的；特别指出，在乘积空间Z中每个等价类\left[a,b\right]都是闭集。首先给出如下引理，其不等式容易证明。

引理3^［11］ 设x,y\in {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0}}，K>\mathrm{0}，则{‖xy‖}_K\le {‖x‖}_K\cdot {‖y‖}_K，这说明在{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0}}上的卷积乘法是二元连续的。

定理2 设y\in {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0}}，K>\mathrm{0}，对任意x\in {\mathrm{ℒ}}_N，有{‖xy‖}_{\left[-N,K\right]}\le {‖x‖}_{\left[-N,K\right]}\cdot {‖y‖}_{K+N}，这说明线性变换\left(x,y\right)\mapsto xy是从{\mathrm{ℒ}}_N\times {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0}}到{\mathrm{ℒ}}_N的连续变换。

证明 令s=t+N，

{‖xy‖}_{\left[-N,K\right]}={\int }_{-N}^K\left|{\int }_{-N}^{t}x\left(\tau \right)y\left(t-\tau \right)\mathrm{d}\tau \right|\mathrm{d}t={\int }_{\mathrm{0}}^{K+N}\left|{\int }_{-N}^{s-N}x\left(\tau \right)y\left(s-N-\tau \right)\mathrm{d}\tau \right|\mathrm{d}s，

令\sigma =\tau +N，代入上式得

\begin{array}{l}{\int }_{\mathrm{0}}^{K+N}\left|{\int }_{\mathrm{0}}^{s}x\left(\sigma -N\right)y\left(s-\sigma \right)\mathrm{d}\sigma \right|\mathrm{d}s={\int }_{\mathrm{0}}^{K+N}\left|{\int }_{\mathrm{0}}^s\left(h^{N}x\right)\left(\sigma \right)y\left(s-\sigma \right)\mathrm{d}\sigma \right|\mathrm{d}s\\ ={‖\left(h^{N}x\right)y‖}_{K+N}\le {‖\left(h^{N}x\right)‖}_{K+N}\bullet {‖y‖}_{K+N}={‖x‖}_{\left[-N,K\right]}\bullet {‖y‖}_{K+N}\end{array}。

定理3 设r_{\mathrm{0}}\in \mathrm{ℒ}，则\mathrm{ℒ}上的线性变换x\mapsto r_{\mathrm{0}}x是连续的。

证明 设r_{\mathrm{0}}\ne \mathrm{0}，记\Lambda \left(r_{\mathrm{0}}\right)=\lambda，N是自然数，x\in {\mathrm{ℒ}}_N，K>\left|\lambda \right|。根据定理2，

{‖r_{\mathrm{0}}x‖}_{\left[\lambda -N,K\right]}={‖h^{-\lambda }{r}_{\mathrm{0}}{h}^{\lambda }x‖}_{\left[\lambda -N,K\right]}\le {‖h^{-\lambda }{r}_{\mathrm{0}}‖}_{K+N-\lambda }\cdot {‖h^{\lambda }x‖}_{\left[\lambda -N,K\right]}，

令\tau =t-\lambda，

{‖h^{\lambda }x‖}_{\left[\lambda -N,K\right]}={\int }_{\lambda -N}^K\left|x\left(t-\lambda \right)\right|\mathrm{d}t={\int }_{-N}^{K-\lambda }\left|x\left(\tau \right)\right|\mathrm{d}\tau ={‖x‖}_{\left[-N,K-\lambda \right]}，

所以{‖r_{\mathrm{0}}x‖}_{\left[\lambda -N,K\right]}\le {‖h^{-\lambda }{r}_{\mathrm{0}}‖}_{K+N-\lambda }\cdot {‖x‖}_{\left[-N,K-\lambda \right]}，对任意的K>\left|\lambda \right|成立，这说明从{\mathrm{ℒ}}_N到\mathrm{ℒ}的线性变换x\mapsto r_{\mathrm{0}}x是连续的。根据文献［5］中关于归纳极限拓扑的定理13-1-8可知，线性变换x\mapsto r_{\mathrm{0}}x在\mathrm{ℒ}上是连续的。

定理4\mathrm{ℒ}上的卷积乘法是二元序列连续的。

证明 设\left(x_n\right)按照\mathrm{ℒ}的严格归纳极限拓扑T收敛于x，而且\left(y_n\right)依拓扑T收敛于y，则存在正整数N，使得x,y\in {\mathrm{ℒ}}_N且\left(x_n\right),\left(y_n\right)\subset {\mathrm{ℒ}}_N。由于\Lambda \left(x_n{y}_n\right)\ge -\mathrm{2}N，有x_n{y}_n\in {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{2}N}。注意到定理3中的不等式，若将\lambda替换为-N，得出不等式{‖r_{\mathrm{0}}x‖}_{\left[-\mathrm{2}N,K\right]}\le {‖r_{\mathrm{0}}‖}_{\left[-N,K+N\right]}\cdot {‖x‖}_{\left[-N,K+N\right]}。那么，对任意的K>\mathrm{0}，由于\left({‖x_n‖}_{\left[-N,K+N\right]}\right)是有界数列，有

{‖x_n{y}_n-xy‖}_{\left[-\mathrm{2}N,K\right]}\le {‖x_n(y_n-y)‖}_{\left[-\mathrm{2}N,K\right]}+{‖y\left(x_n-x\right)‖}_{\left[-\mathrm{2}N,K\right]}

\le {‖x_n‖}_{\left[-N,K+N\right]}\cdot {‖y_n-y‖}_{\left[-N,K+N\right]}+{‖y‖}_{\left[-N,K+N\right]}\cdot {‖x_n-x‖}_{\left[-N,K+N\right]}\to \mathrm{0}，

所以x_n{y}_n\stackrel{T}{\to }xy，结论成立。

根据文献［3］，同样可以证明如下的结论。

引理4 设\left(a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}}\right),\left(a,b\right)\in \mathrm{𝒵}，且a_{\mathrm{0}}b=a{b}_{\mathrm{0}}，对于\epsilon >\mathrm{0}，K>\mathrm{0}，则存在r\in {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0,0}}使得

。

证明 设，因为a_{\mathrm{0}}b=a{b}_{\mathrm{0}}，所以\Lambda \left(a\right)-\Lambda \left(b\right)=\Lambda \left(a_{\mathrm{0}}\right)-\Lambda \left(b_{\mathrm{0}}\right)。而\Lambda \left(b_{\mathrm{0}}\right)=\Lambda \left(b\right)=\mathrm{0}，有\Lambda \left(a\right)=\Lambda \left(a_{\mathrm{0}}\right)。

（1） 先证明当\Lambda \left(a\right)=\Lambda \left(a_{\mathrm{0}}\right)=\mathrm{0}时结论正确，设K=\mathrm{1}。

假若存在r_{\mathrm{0}}\in {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0}}，使得

（1）

由于{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0,0}}在{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0}}中稠密，取r\in {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0,0}}使得

，

于是

{‖a_{\mathrm{0}}r-a‖}_{\mathrm{1}}\le {‖a_{\mathrm{0}}\left(r-r_{\mathrm{0}}\right)‖}_{\mathrm{1}}+{‖a_{\mathrm{0}}{r}_{\mathrm{0}}-a‖}_{\mathrm{1}}

。

同理。所以只需证明存在r_{\mathrm{0}}\in {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0}}，使得（1）式成立。

特别强调，空间L\left[\mathrm{0,1}\right]的对偶空间是L^{\mathrm{\infty }}\left[\mathrm{0,1}\right]，为了方便起见，L\left[\mathrm{0,1}\right]上的连续线性泛函与L^{\mathrm{\infty }}\left[\mathrm{0,1}\right]中的函数使用同一符号。另外，在L\left[\mathrm{0,1}\right]上的限制性卷积定义为

\left(f\times g\right)\left(t\right)={\int }_{\mathrm{0}}^{t}f\left(\tau \right)g\left(t-\tau \right)\mathrm{d}\tau ,t\in \left[\mathrm{0,1}\right],f,g\in L\left[\mathrm{0,1}\right]\mathrm{。}

它满足交换律、结合律、分配律，而且

{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left|\left(f\times g\right)\left(t\right)\right|\mathrm{d}t\le {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left|f\left(t\right)\right|\mathrm{d}t\cdot {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left|g\left(t\right)\right|\mathrm{d}t，

所以L\left[\mathrm{0,1}\right]是一个Banach代数。令T是L\left[\mathrm{0,1}\right]到L\left[\mathrm{0,1}\right]\times L\left[\mathrm{0,1}\right]的线性算子，定义

T\left(r\right)=\left(\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{0}}\left(r\right)\\ B_{\mathrm{0}}\left(r\right)\end{array}\right),

其中A_{\mathrm{0}}\left(r\right)=a_{\mathrm{0}}\cdot r，B_{\mathrm{0}}\left(r\right)=b_{\mathrm{0}}\cdot r，将a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}}限制在\left[\mathrm{0,1}\right]上并使用同样的符号。T的伴随算子T^{\mathrm{*}}:T^{\mathrm{*}}(x^{\mathrm{*}},y^{\mathrm{*}})=A_{\mathrm{0}}^{\mathrm{*}}(x^{\mathrm{*}})+B_{\mathrm{0}}^{\mathrm{*}}(y^{\mathrm{*}})，其中x^{\mathrm{*}},y^{\mathrm{*}}\in L^{\mathrm{\infty }}\left[\mathrm{0,1}\right]，A_{\mathrm{0}}^{\mathrm{*}}是A_{\mathrm{0}}的伴随算子，B_{\mathrm{0}}^{\mathrm{*}}是B_{\mathrm{0}}的伴随算子。

设x\in L\left[\mathrm{0,1}\right],x^{\mathrm{*}}\in L^{\mathrm{\infty }}\left[\mathrm{0,1}\right]，因为〈x,A_{\mathrm{0}}^{\mathrm{*}}{x}^{\mathrm{*}}〉=〈A_{\mathrm{0}}x,x^{\mathrm{*}}〉=〈a_{\mathrm{0}}\cdot x,x^{\mathrm{*}}〉，于是

\begin{array}{l}〈a_{\mathrm{0}}\bullet x,x^{*}〉={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\left[a_{\mathrm{0}}\bullet x\left(t\right)\right]\overline{x^{*}}\left(t\right)\mathrm{d}t\\ ={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}\overline{x^{*}}\left(t\right)\mathrm{d}t{\int }_{\mathrm{0}}^t{a}_{\mathrm{0}}\left(t-\tau \right)x\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau ={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}x\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau {\int }_{\tau }^{\mathrm{1}}\overline{x^{*}}\left(t\right)a_{\mathrm{0}}\left(t-\tau \right)\mathrm{d}t\end{array}（2）

令t=\mathrm{1}-\sigma，得

{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}x\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau {\int }_{\tau }^{\mathrm{1}}\overline{x^{*}}\left(t\right)a_{\mathrm{0}}\left(t-\tau \right)\mathrm{d}t={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}x\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}-\tau }\overline{x^{*}}\left(\mathrm{1}-\sigma \right)a_{\mathrm{0}}\left(\mathrm{1}-\sigma -\tau \right)\mathrm{d}\sigma，

令\tau =\mathrm{1}-t，得

{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}x\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}-\tau }\overline{x^{*}}\left(\mathrm{1}-\sigma \right)a_{\mathrm{0}}\left(\mathrm{1}-\sigma -\tau \right)\mathrm{d}\sigma ={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}x\left(\mathrm{1}-t\right)\mathrm{d}t{\int }_{\mathrm{0}}^t\overline{x^{*}}\left(\mathrm{1}-\sigma \right)a_{\mathrm{0}}\left(t-\sigma \right)\mathrm{d}\sigma，

令s\left(t\right)=\mathrm{1}-t，得

{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}x\left(\mathrm{1}-t\right)\mathrm{d}t{\int }_{\mathrm{0}}^t\overline{x^{*}}\left(\mathrm{1}-\sigma \right)a_{\mathrm{0}}\left(t-\sigma \right)\mathrm{d}\sigma ={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}x\left(s\left(t\right)\right)\mathrm{d}t{\int }_{\mathrm{0}}^t\overline{x^{*}}\left(s\left(\sigma \right)\right)a_{\mathrm{0}}\left(t-\sigma \right)\mathrm{d}\sigma，

令S\left(x^{*}\right)\left(t\right)=x^{*}\left(s\left(t\right)\right)，S\left(x\right)\left(t\right)=x\left(s\left(t\right)\right)，得

{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}S\left(x\right)\left(t\right)\mathrm{d}t{\int }_{\mathrm{0}}^t\overline{S}\left(x^{*}\right)\left(\sigma \right)a_{\mathrm{0}}\left(t-\sigma \right)\mathrm{d}\sigma =〈S\left(x\right),a_{\mathrm{0}}\overline{S}\left(x^{*}\right)〉=〈S\left(x\right),A_{\mathrm{0}}\overline{S}\left(x^{*}\right)〉。

因为

〈x,S^{*}\left(x^{*}\right)〉=〈S\left(x\right),x^{*}〉={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}S\left(x\right)\left(t\right)\overline{x^{*}}\left(t\right)\mathrm{d}t={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}x\left(\mathrm{1}-t\right)\overline{x^{*}}\left(t\right)\mathrm{d}t，

令\mathrm{1}-t=\tau，得

{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}x\left(\tau \right)\overline{x^{*}}\left(\mathrm{1}-\tau \right)\mathrm{d}\tau ={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}x\left(\tau \right)S\left(\overline{x^{*}}\right)\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau =〈x,\overline{S}\left(x^{*}\right)〉，

所以S^{\mathrm{*}}=\overline{S}，故（2）式可写成〈x,\overline{S}{A}_{\mathrm{0}}\overline{S}(x^{\mathrm{*}})〉，从而〈x,A_{\mathrm{0}}^{\mathrm{*}}{x}^{\mathrm{*}}〉=〈x,\overline{S}{A}_{\mathrm{0}}\overline{S}(x^{\mathrm{*}})〉，即A_{\mathrm{0}}^{\mathrm{*}}=\overline{S}{A}_{\mathrm{0}}\overline{S}。同理B_{\mathrm{0}}^{\mathrm{*}}=\overline{S}{B}_{\mathrm{0}}\overline{S}。

根据文献［12］，T的值域的闭包\overline{R(T)}是T^{\mathrm{*}}的零空间的正交补，即\overline{R(T)}={\mathrm{𝒩}}^{\perp }(T^{\mathrm{*}})。显然R\left(T\right)\subset \left\{(c,d):a_{\mathrm{0}}\cdot d=c\cdot b_{\mathrm{0}},(c,d)\in L\left[\mathrm{0,1}\right]\times L\left[\mathrm{0,1}\right]\right\}=U。由于L\left[\mathrm{0,1}\right]是Banach代数，其上的限制性卷积运算是二元连续的，可知U是L\left[\mathrm{0,1}\right]\times L\left[\mathrm{0,1}\right]的一个闭子集。现在只需证明U\subset {\mathrm{𝒩}}^{\perp }(T^{\mathrm{*}})。

取(x^{\mathrm{*}},y^{\mathrm{*}})\in {\mathrm{𝒩}}^{\perp }(T^{\mathrm{*}})，则A_{\mathrm{0}}^{\mathrm{*}}(x^{\mathrm{*}})+B_{\mathrm{0}}^{\mathrm{*}}(y^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}，从而

\overline{S}(A_{\mathrm{0}}\overline{S}(x^{\mathrm{*}})+B_{\mathrm{0}}\overline{S}(y^{\mathrm{*}}))=\overline{S}{A}_{\mathrm{0}}\overline{S}(x^{\mathrm{*}})+\overline{S}{B}_{\mathrm{0}}\overline{S}(y^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}。

因为\overline{S}是双射，所以A_{\mathrm{0}}\overline{S}(x^{\mathrm{*}})+B_{\mathrm{0}}\overline{S}(y^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}，从而有a_{\mathrm{0}}\cdot \overline{S}(x^{\mathrm{*}})+b_{\mathrm{0}}\cdot \overline{S}(y^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}。

任取(c,d)\in U，即a_{\mathrm{0}}\cdot d=b_{\mathrm{0}}\cdot c，那么

a_{\mathrm{0}}\cdot d\cdot \overline{S}(y^{\mathrm{*}})=b_{\mathrm{0}}\cdot c\cdot \overline{S}(y^{\mathrm{*}})=c\cdot b_{\mathrm{0}}\cdot \overline{S}(y^{\mathrm{*}})=-c\cdot a_{\mathrm{0}}\cdot \overline{S}(x^{\mathrm{*}})，

所以

a_{\mathrm{0}}\cdot (d\cdot \overline{S}(y^{\mathrm{*}})+c\cdot \overline{S}(x^{\mathrm{*}}))=a_{\mathrm{0}}\cdot d\cdot \overline{S}(y^{\mathrm{*}})+c\cdot a_{\mathrm{0}}\cdot \overline{S}(x^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}。

因为\Lambda (a)=\mathrm{0}，由引理1得，d\cdot \overline{S}(y^{\mathrm{*}})+c\cdot \overline{S}(x^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}，即对任意的t\in \left[\mathrm{0,1}\right]，

{\int }_{\mathrm{0}}^{t}c(t-\tau )\overline{x^{\mathrm{*}}}(\mathrm{1}-\tau )\mathrm{d}\tau +{\int }_{\mathrm{0}}^{t}d(t-\tau )\overline{y^{\mathrm{*}}}(\mathrm{1}-\tau )\mathrm{d}\tau =\mathrm{0}。

取t=\mathrm{1}，则

{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}c(\mathrm{1}-\tau )\overline{x^{\mathrm{*}}}(\mathrm{1}-\tau )\mathrm{d}\tau +{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}d(\mathrm{1}-\tau )\overline{y^{\mathrm{*}}}(\mathrm{1}-\tau )\mathrm{d}\tau =\mathrm{0}。

令\tau =\mathrm{1}-t，则

{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}c(t)\overline{x^{\mathrm{*}}}(t)\mathrm{d}t+{\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1}}d(t)\overline{y^{\mathrm{*}}}(t)\mathrm{d}t=\mathrm{0}，

所以〈c,x^{\mathrm{*}}〉+〈d,y^{\mathrm{*}}〉=\mathrm{0}。因此(c,d)\in {\mathrm{𝒩}}^{\perp }(T^{\mathrm{*}})，故U\subset {\mathrm{𝒩}}^{\perp }(T^{\mathrm{*}})=\overline{R(T)}，从而\overline{R(T)}=R(T)。结论成立。

（2） 设\Lambda (a)=\Lambda (a_{\mathrm{0}})=\lambda \ne \mathrm{0}。由（1）的证明，对任意的K>\left|\lambda \right|，\epsilon >\mathrm{0}，取K^{\mathrm{\text{'}}}>K+\left|\lambda \right|，存在r\in {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0,0}}，使得

于是

所以引理得证。

定理5 若\left(a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}}\right)\in \mathrm{𝒵}，则\left[a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}}\right]=\overline{\left\{(a_{\mathrm{0}}r,b_{\mathrm{0}}r):r\in {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0,0}}\right\}}。

证明 设\Lambda (a_{\mathrm{0}})\ge -N，因为\Lambda (r)=\mathrm{0}，所以\left\{(a_{\mathrm{0}}r,b_{\mathrm{0}}r):r\in {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0,0}}\right\}\subset {\mathrm{𝒵}}_N。因为Z上的拓扑诱导的{\mathrm{𝒵}}_N的拓扑即为{\mathrm{𝒵}}_N的原拓扑，并且闭子空间{\mathrm{𝒵}}_N是可度量的，所以序列闭包等同于闭包。由于(a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}})\in {\mathrm{𝒵}}_N，从而\left[a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}}\right]\subset {\mathrm{𝒵}}_N，要证\left[a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}}\right]在\mathrm{𝒵}中闭只需证明\left[a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}}\right]在{\mathrm{𝒵}}_N中闭。任取\left(a_n,b_n\right)\subset \left[a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}}\right]，且\left(a_n,b_n\right)\to \left(c,d\right)\in {\mathrm{𝒵}}_N，即a_n\stackrel{T_N}{\to }c，b_n\stackrel{T_{\mathrm{0,0}}}{\to }d。对任意的T>\mathrm{0}，由定理3可得，

\begin{array}{l}{‖a_{\mathrm{0}}d-b_{\mathrm{0}}c‖}_{\left[-N,K\right]}\le {‖a_{\mathrm{0}}(d-b_n)‖}_{\left[-N,K\right]}+{‖(a_n-c)b_{\mathrm{0}}‖}_{\left[-N,K\right]}\\ \le {‖a_{\mathrm{0}}‖}_{\left[-N,K\right]}{‖d-b_n‖}_{T+K}+{‖a_n-c‖}_{\left[-N,K\right]}{‖b_{\mathrm{0}}‖}_{K+N}\mathrm{。}\end{array}

令n\to \mathrm{\infty }得{‖a_{\mathrm{0}}d-b_{\mathrm{0}}c‖}_{\left[-N,K\right]}=\mathrm{0}。所以a_{\mathrm{0}}d=b_{\mathrm{0}}c，从而\left[a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}}\right]在{\mathrm{𝒵}}_N中闭。

显然\left\{\left(a_{\mathrm{0}}r,b_{\mathrm{0}}r\right):r\in {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0,0}}\right\}\subset \left[a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}}\right]。由引理4可得，对每个\left(a,b\right)\in \left[a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}}\right]，\left(a,b\right)都存在{\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0,0}}中的序列\left(r_n\right)使得\left(a_{\mathrm{0}}{r}_n,b_{\mathrm{0}}{r}_n\right)收敛到\left(a,b\right)，故\left[a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}}\right]\subset \left\{\left(a_{\mathrm{0}}r,b_{\mathrm{0}}r\right):r\in {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0,0}}\right\}，则\left[a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}}\right]=\overline{\left\{\left(a_{\mathrm{0}}r,b_{\mathrm{0}}r\right):r\in {\mathrm{ℒ}}_{\mathrm{0,0}}\right\}}。证明完成。

以上是关于实数轴上某点左侧几乎处处为零的Lebesgue局部可积函数全体作为基本函数所生成的函数空间以及乘积空间的一些基本性质，这也为接下来Mikusiński算符域F上拓扑的构造奠定了基础。

参考文献

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基金资助

国家自然科学基金项目(12061050)

内蒙古自然科学基金项目(2020MS01004)