边界和转移条件中带有谱参数的Sturm-Liouville问题特征值的渐近估计

Asymptotic Behavior for the Sturm-Liouville Problem with Eigenparameter-Dependent Boundary Conditions and Transmission Conditions

摘要

研究了一类边界条件二次依赖谱参数且转移条件中带有谱参数的二阶不连续Sturm-Liouville问题。首先，结合边界条件和转移条件，定义了问题的基本解，并进一步构造了判别函数。最后，利用复分析理论得到了该问题的特征值的渐近估计式。

Abstract

A class of second-order discontinuous Sturm-Liouville problem with eigenparameter-dependent boundary conditions and transmission conditions containing spectral parameters is studied. By combining the boundary conditions and transmission conditions， the fundamental solution of the problem is defined， and further， a discriminant function is constructed. Finally， using the theory of complex analysis， an asymptotic estimation formula for the eigenvalues of the problem is obtained.

关键词

Sturm-Liouville问题 / 特征值的渐近式 / 谱参数 / 边界条件 / 转移条件

Key words

Sturm-Liouville problem / asymptotic behavior of eigenvalue / eigenparameter / boundary condition / transmission condition

Sturm-Liouville（S-L）理论因其重要性而闻名，特别是在数学物理领域。多年来，许多数学家对S-L问题进行研究，并取得了丰硕成果^［1-8］，特别是正则S-L问题^［9-11］。鉴于现代技术和工程以及物理研究的需要，比如在光的衍射和医学等领域的广泛应用，带转移条件的S-L问题成为近年来研究的一个重要课题。Mukhtarov等^［12-15］研究了带转移条件的不连续边值问题及其在抛物型方程初边值问题中的应用。Titeux等^［16］还研究了一些在力学中出现的转移条件问题（薄层板的热传导问题）。Akdoĝan等^［17-20］研究了谱参数不仅出现在微分方程中，而且出现在边界条件和转移条件下的不连续S-L问题。具有特征参数的边界条件问题因为可以解决更多的数理问题，已受到众多学者的关注。例如，Fulton^［21］早在1977年就研究了边界条件带有谱参数的S-L问题，并给出了特征值和特征函数的估计。2005年，Mukhtarov等^［22］研究了一类不连续的S-L问题，推广了不连续S-L问题的一些方法和结果，引入了一个特殊的希尔伯特空间，使用与之前研究类似的方式来解释自伴算子的本征值问题。Binding等^［23］研究了边界条件包含谱参数多项式的S-L问题，提供了本征值和本征函数的渐近估计。本文研究了一类二阶不连续S-L问题，其边界条件是有谱参数的二次多项式且转移条件中带有谱参数，得到了该问题的基本解、判别式和特征值的渐近估计式。

1 预备知识

研究以下二阶不连续S-L问题：

-y^{″}+qy=\lambda y（1）

边界条件为

L_{\mathrm{1}}(y):=y(a)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha -y^{\text{'}}(a)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha =\mathrm{0}（2）

L_{\mathrm{2}}(y):=\frac{y^{\text{'}}(b)}{y(b)}=a_{\mathrm{2}}{\lambda }^{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{1}}\lambda +a_{\mathrm{0}}（3）

间断点x=c处的转移条件为

L_{\mathrm{3}}(y):=y(c+\mathrm{0})-y(c-\mathrm{0})=\mathrm{0}（4）

L_{\mathrm{4}}(y):={\gamma }_{\mathrm{2}}{y}^{\text{'}}(c+\mathrm{0})-{\gamma }_{\mathrm{1}}{y}^{\text{'}}(c-\mathrm{0})+(\lambda {\delta }_{\mathrm{1}}+{\delta }_{\mathrm{2}})y(c)=\mathrm{0}（5）

其中，x\in [a,c)\bigcup (c,b]；\lambda是谱参数；q(x)在x\in [a,c)\bigcup (c,b]上是实值连续函数，左右极限存在且有限；q(\pm c)=\underset{x\to \pm c}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}q(x)；a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{2}}均为实数，a_{\mathrm{2}}\ne \mathrm{0}。假设{\gamma }_{\mathrm{1}},{\gamma }_{\mathrm{2}},{\delta }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}，{\gamma }_{\mathrm{1}}={\gamma }_{\mathrm{2}},并且令f(\lambda )=a_{\mathrm{2}}{\lambda }^{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{1}}\lambda +a_{\mathrm{0}}。

定义方程（1）的两个基本解为

\varphi (x,\lambda )=\left\{\begin{array}{c}{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda ),x\in [a,c)\\ {\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda ),x\in (c,b]\end{array}\right.， \chi (x,\lambda )=\left\{\begin{array}{c}{\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda ),x\in [a,c)\\ {\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda ),x\in (c,b]\end{array}\right.，

{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )满足初始条件\left(\begin{array}{c}{\varphi }_{\mathrm{1}}(a,\lambda )\\ {\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(a,\lambda )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \end{array}\right),并且是方程（1）在区间[a,c)上的解，显然{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )满足边界条件（2）。用转移条件（4）和（5）定义{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )，满足初始条件\left(\begin{array}{c}{\varphi }_{\mathrm{2}}^{}(c+\mathrm{0})\\ {\varphi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(c+\mathrm{0})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\varphi }_{\mathrm{1}}(c-\mathrm{0})\\ \frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(c-\mathrm{0})-\frac{(\lambda {\delta }_{\mathrm{1}}+{\delta }_{\mathrm{2}})}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(c-\mathrm{0})\end{array}\right)，且是方程（1）在区间(c,b]上的解，定义{\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )和{\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )为满足条件\left(\begin{array}{c}{\chi }_{\mathrm{2}}(b,\lambda )\\ {\chi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(b,\lambda )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ a_{\mathrm{2}}{\lambda }^{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{1}}\lambda +a_{\mathrm{0}}\end{array}\right)\mathrm{和}\left(\begin{array}{c}{\chi }_{\mathrm{1}}(c-\mathrm{0})\\ {\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(c-\mathrm{0})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\chi }_{\mathrm{2}}(c+\mathrm{0})\\ \frac{{\gamma }_{\mathrm{2}}}{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{\chi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(c+\mathrm{0})+\frac{(\lambda {\delta }_{\mathrm{1}}+{\delta }_{\mathrm{2}})}{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{\chi }_{\mathrm{2}}(c+\mathrm{0})\end{array}\right)的解。

引理 1{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )=\frac{{\gamma }_{\mathrm{2}}}{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{\omega }_{\mathrm{2}}(\lambda )。

证明 考虑朗斯基行列式{\omega }_i(\lambda )=W({\varphi }_i,{\chi }_i;\lambda )={\varphi }_i{\chi }_i^{\text{'}}-{\varphi }_i^{\text{'}}{\chi }_i,i=\mathrm{1,2}，在区间[a,c)，(c,b]上是关于\lambda的整函数，代入每一个初始条件中就可以得到W({\varphi }_{\mathrm{2}},{\chi }_{\mathrm{2}};c+\mathrm{0})=\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}W({\varphi }_{\mathrm{1}},{\chi }_{\mathrm{1}};c-\mathrm{0})，因此对于每一个\lambda \in \mathbb{C}，都有{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )=\frac{{\gamma }_{\mathrm{2}}}{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{\omega }_{\mathrm{2}}(\lambda )成立。

接下来，定义判别函数\omega (\lambda ):={\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )=\frac{{\gamma }_{\mathrm{2}}}{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{\omega }_{\mathrm{2}}(\lambda )。

定理 1{\lambda }_{\mathrm{0}}是S-L问题（1）—（5）特征值的充要条件是\omega ({\lambda }_{\mathrm{0}})=0。

证明 设{\lambda }_{\mathrm{0}}是\omega (\lambda )的零点，\omega ({\lambda }_{\mathrm{0}})=0，则\forall x\in [a,c)，W({\varphi }_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}}),{\chi }_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}}))=\mathrm{0},故{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})和{\chi }_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})线性相关，此时存在k_{\mathrm{1}}\ne \mathrm{0},使得{\chi }_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})=k_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})\mathrm{。}由\left(\begin{array}{c}{\varphi }_{\mathrm{1}}(a,\lambda )\\ {\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(a,\lambda )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \end{array}\right)可知，\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha {\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(\mathrm{0},\lambda )-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha {\chi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0},\lambda )=k_{\mathrm{1}}(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha )=\mathrm{0}，因此\chi (x,\lambda )满足边界条件（3）。

从上述讨论可知，\chi (x,\lambda )满足式（2）—（5），因此\chi (x,{\lambda }_{\mathrm{0}})是特征值{\lambda }_{\mathrm{0}}对应的特征函数。反之，若{\lambda }_{\mathrm{0}}是特征值，令y_{\mathrm{0}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})是对应的特征函数，假设\omega ({\lambda }_{\mathrm{0}})\ne \mathrm{0}，那么{\varphi }_{\mathrm{1}}和{\chi }_{\mathrm{1}},{\varphi }_{\mathrm{2}}和{\chi }_{\mathrm{2}}线性无关，令

y_{\mathrm{0}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})=\left\{\begin{array}{cc}{c}_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})+c_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}}),& x\in [-\mathrm{1,0})\\ c_{\mathrm{3}}{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})+c_{\mathrm{4}}{\chi }_{\mathrm{2}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}}),& x\in (\mathrm{0,1}]\end{array}\right.，

其中，至少有一个常数c_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4})不为零，根据y_{\mathrm{0}}(x)的定义和转移条件（4）可知，y_{\mathrm{0}}(c+)=c_{\mathrm{3}}{\varphi }_{\mathrm{2}}(c,{\lambda }_{\mathrm{0}})+c_{\mathrm{4}}{\chi }_{\mathrm{2}}(c,{\lambda }_{\mathrm{0}})=c_{\mathrm{3}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(c,{\lambda }_{\mathrm{0}})+c_{\mathrm{4}}{\chi }_{\mathrm{1}}(c,{\lambda }_{\mathrm{0}})，y_{\mathrm{0}}(c+)=y_{\mathrm{0}}(c-)=c_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(c,{\lambda }_{\mathrm{0}})+c_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}(c,{\lambda }_{\mathrm{0}})，则(c_{\mathrm{3}}-c_{\mathrm{1}}){\varphi }_{\mathrm{1}}(c,{\lambda }_{\mathrm{0}})+(c_{\mathrm{4}}-c_{\mathrm{2}}){\chi }_{\mathrm{1}}(c,{\lambda }_{\mathrm{0}})=\mathrm{0}\mathrm{。}同理可得(c_{\mathrm{3}}-c_{\mathrm{1}})\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(c,\lambda )+(c_{\mathrm{4}}-c_{\mathrm{2}})\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}{\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(c,\lambda )=\mathrm{0}，则

\left|\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}(c_{\mathrm{3}}-c_{\mathrm{1}}){\varphi }_{\mathrm{1}}(c,{\lambda }_{\mathrm{0}})+(c_{\mathrm{4}}-c_{\mathrm{2}}){\chi }_{\mathrm{1}}(c,{\lambda }_{\mathrm{0}})=\mathrm{0}\\ (c_{\mathrm{3}}-c_{\mathrm{1}}){\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(\mathrm{0},\lambda )+(c_{\mathrm{4}}-c_{\mathrm{2}}){\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(\mathrm{0},\lambda )=\mathrm{0}\end{array}\right|=\mathrm{0}，

所以c_{\mathrm{3}}=c_{\mathrm{1}},c_{\mathrm{4}}=c_{\mathrm{2}}。通过边界条件（2）和（3）以及前两个初始条件可知，L_{\mathrm{1}}(y_{\mathrm{0}}(x))=c_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}({\lambda }_{\mathrm{0}})=\mathrm{0}，因为{\omega }_{\mathrm{1}}({\lambda }_{\mathrm{0}})\ne \mathrm{0}，所以c_{\mathrm{2}}=c_{\mathrm{4}}=\mathrm{0}，用类似方法可得L_{\mathrm{2}}(y_{\mathrm{0}}(x))=c_{\mathrm{3}}{\omega }_{\mathrm{2}}({\lambda }_{\mathrm{0}})=\mathrm{0}，c_{\mathrm{3}}=c_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}，故c_{\mathrm{1}}=c_{\mathrm{2}}=c_{\mathrm{3}}=c_{\mathrm{4}}=\mathrm{0}，这与所设是矛盾的，因此\omega ({\lambda }_{\mathrm{0}})=\mathrm{0}。

从以上定理可知，S-L问题的特征值与判别函数的零点是一致的。

2 特征值的渐近式

首先给出基本解的渐近式。

定理 2 令\lambda =s^{\mathrm{2}},s=\sigma +\mathrm{i}k，则下面的积分方程成立：

{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sx+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sx}{s}+\frac{\mathrm{1}}{s}{\int }_{\mathrm{0}}^{x}sin[s(x-t)]q(t)\varphi (t,\lambda )\mathrm{d}t（6）

{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(x,\lambda )=-s\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sx+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sx+{\int }_{\mathrm{0}}^{x}cos[s(x-t)]q(t)\varphi (t,\lambda )\mathrm{d}t（7）

{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )=A\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s(x-c)+\frac{B}{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(x-c)+\frac{\mathrm{1}}{s}{\int }_c^{x}sin[s(x-t)]q(t){\varphi }_{\mathrm{2}}(t,\lambda )\mathrm{d}t（8）

{\varphi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(x,\lambda )=-As\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x-c)+B\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s(x-c)+{\int }_c^{x}cos[s(x-t)]q(t){\varphi }_{\mathrm{2}}(t,\lambda )\mathrm{d}t（9）

其中，A={\varphi }_{\mathrm{1}}(c-\mathrm{0})，B=\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(c-\mathrm{0})-\frac{(\lambda {\delta }_{\mathrm{1}}+{\delta }_{\mathrm{2}})}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(c-\mathrm{0})。

证明 由常数变异法可知

{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )=c_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sx+c_{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sx}{s}+\frac{\mathrm{1}}{s}{\int }_a^{x}sin[s(x-t)]q(t){\varphi }_{\mathrm{1}}(t,\lambda )\mathrm{d}t，

由初始条件知{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha =c_{\mathrm{1}},{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(x,\lambda )=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha =c_{\mathrm{2}}，代入上式可得式（6）。同理，

{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )=c_{\mathrm{3}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sx+c_{\mathrm{4}}\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sx}{s}+\frac{\mathrm{1}}{s}{\int }_c^{x}sin[s(x-t)]q(t){\varphi }_{\mathrm{1}}(t,\lambda )\mathrm{d}t，

将{\varphi }_{\mathrm{2}}(c+\mathrm{0})={\varphi }_{\mathrm{1}}(c-\mathrm{0}),{\varphi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(c+\mathrm{0})=\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(c-\mathrm{0})-\frac{(\lambda {\delta }_{\mathrm{1}}+{\delta }_{\mathrm{2}})}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(c-\mathrm{0})代入上式可得

\left\{\begin{array}{c}{c}_{\mathrm{3}}=A\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc-\frac{B}{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\\ c_{\mathrm{4}}=B\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc+As\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\end{array}\right.，

整理可得式（8），对式（6）和式（8）分别进行求导，即可得证。

定理 3 令\lambda =s^{\mathrm{2}},s=\sigma +\mathrm{i}k，\left|\lambda \right|\to \mathrm{\infty }，下面的渐近式

\left\{\begin{array}{c}{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sx+O({\left|s\right|}^{-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\left|k\right|x})\\ {\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(x,\lambda )=-s\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sx+O({\mathrm{e}}^{\left|k\right|x})\end{array}\right.

在上一致成立，

\left\{\begin{array}{c}{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s(x-c)-\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(x-c)+O({\left|s\right|}^{-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\left|k\right|(x-c)})\\ {\varphi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(x,\lambda )=-s\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(x-c)-\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}s}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s(x-c)+O({\mathrm{e}}^{\left|k\right|(x-c)})\end{array}\right.

在上一致成立。

证明 令{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )={\mathrm{e}}^{\left|k\right|x}F(x,\lambda ),则

F(x,\lambda )=\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sx+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sx}{s}\right){\mathrm{e}}^{-\left|k\right|x}+\frac{\mathrm{1}}{s}{\int }_a^{x}sin\left[s(x-t)\right]{\mathrm{e}}^{-\left|k\right|(x-t)}q(t)F(t,\lambda )\mathrm{d}t，

由\left|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sx\right|\le {\mathrm{e}}^{\left|k\right|x}\mathrm{和}\left|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sx\right|\le {\mathrm{e}}^{\left|k\right|x}可得，u(\lambda )\le \left|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \right|+\left|\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha }{s}\right|+\frac{\mathrm{1}}{s}{\int }_a^x\left|q(t)\right|u(\lambda )\mathrm{d}t，当\left|s\right|>\mathrm{2}{\int }_a^c\left|q(t)\right|\mathrm{d}t时，有

M，

M是与\lambda无关的常数，将{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )={\mathrm{e}}^{\left|k\right|x}F(x,\lambda )代入式（6），有{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sx+O({\left|s\right|}^{-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\left|k\right|x})，求导可得{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}。

下证{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )。将A,B以及

{\varphi }_{\mathrm{1}}(c-\mathrm{0})=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc}{s}+\frac{\mathrm{1}}{s}{\int }_a^{c}sin[s(c-t)]q(t){\varphi }_{\mathrm{1}}(t,\lambda )\mathrm{d}t，

{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(c-\mathrm{0})=-s\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc+cos\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc+{\int }_a^{c}cos[s(c-t)]q(t){\varphi }_{\mathrm{1}}(t,\lambda )\mathrm{d}t，

代入式（8）得{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )=A_{\mathrm{1}}+A_{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{3}}+A_{\mathrm{4}}，其中

A_{\mathrm{1}}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s(x-c)-\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(x-c)，

A_{\mathrm{2}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc}{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s(x-c)+\frac{\mathrm{1}}{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(x-c){\int }_a^{c}sin[s(c-t)]q(t){\varphi }_{\mathrm{1}}(t,\lambda )\mathrm{d}t，

\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{3}}=\frac{\lambda {\delta }_{\mathrm{1}}+{\delta }_{\mathrm{2}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}s}\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc}{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(x-c)\right)\\ +\frac{\lambda {\delta }_{\mathrm{1}}+{\delta }_{\mathrm{2}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{s^{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(x-c){\int }_a^{c}sin[s(c-t)]q(t){\varphi }_{\mathrm{1}}(t,\lambda )\mathrm{d}t,\end{array}

A_{\mathrm{4}}=\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc}{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(x-c)+\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(x-c){\int }_a^{c}cos[s(c-t)]q(t){\varphi }_{\mathrm{1}}(t,\lambda )\mathrm{d}t

+\frac{\mathrm{1}}{s}{\int }_c^{x}sin[s(x-t)]q(t){\varphi }_{\mathrm{2}}(t,\lambda )\mathrm{d}t,

令{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )={\mathrm{e}}^{\left|k\right|(x-c)}v(\lambda ),v(\lambda )={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}{v}_i(\lambda ),Q_{\mathrm{1}}={\int }_a^c\left|q(t)\right|\mathrm{d}t，Q_{\mathrm{2}}={\int }_c^x\left|q(t)\right|\mathrm{d}t，由\left|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s(x-c)\right|\le {\mathrm{e}}^{\left|k\right|(x-c)}\mathrm{和}\left|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(x-c)\right|\le {\mathrm{e}}^{\left|k\right|(x-c)}得，A_{\mathrm{1}}\le \left|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc\right|+\left|\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\right|\left|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\right|\le M_{\mathrm{1}}，则，A_{\mathrm{2}}\le \left|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc}{s}\right|+\left|\frac{\mathrm{1}}{s}\right|{\int }_a^{c}q(t)v_{\mathrm{2}}(\lambda )\mathrm{d}t，则

，

A_{\mathrm{3}}\le \left|\frac{\lambda {\delta }_{\mathrm{1}}+{\delta }_{\mathrm{2}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}s}\right|\left|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc}{s}\right|+\left|\frac{\lambda {\delta }_{\mathrm{1}}+{\delta }_{\mathrm{2}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\right|\left|\frac{\mathrm{1}}{s^{\mathrm{2}}}\right|{\int }_a^{c}q(t)v_{\mathrm{3}}(\lambda )\mathrm{d}t，

则

，

A_{\mathrm{4}}\le \left|\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\right|\left|\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc}{s}\right|+\left|\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\right|\left|\frac{\mathrm{1}}{s}\right|{\int }_a^{c}q(t)v_{\mathrm{4}}(\lambda )\mathrm{d}t+\left|\frac{\mathrm{1}}{s}\right|{\int }_c^{x}q(t)v_{\mathrm{4}}(\lambda )\mathrm{d}t，

则

因此，，即{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )=O({\mathrm{e}}^{\left|k\right|(x-c)})。同理，A_{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{3}}+A_{\mathrm{4}}=O({\left|s\right|}^{-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\left|k\right|(x-c)}),因此，{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s(x-c)-\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(x-c)+O({\left|s\right|}^{-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\left|k\right|(x-c)})，求导后可得{\varphi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(x,\lambda )。

接下来，通过以下两个定理得到特征值的渐近估计式。

定理 4 令\lambda =s^{\mathrm{2}},s=\sigma +\mathrm{i}k，{\omega }_{\mathrm{2}}(\lambda )渐近估计式为

{\omega }_{\mathrm{2}}(\lambda )=s^{\mathrm{4}}{a}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s\left(b-c\right)-\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s\left(b-c\right)\right)+O({\left|s\right|}^{\mathrm{3}}{\mathrm{e}}^{\left|k\right|})。

证明 将

\left(\begin{array}{c}{\chi }_{\mathrm{2}}(b,\lambda )\\ {\chi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(b,\lambda )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ a_{\mathrm{2}}{\lambda }^{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{1}}\lambda +a_{\mathrm{0}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{\chi }_{\mathrm{1}}(c-\mathrm{0})\\ {\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(c-\mathrm{0})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\chi }_{\mathrm{2}}(c+\mathrm{0})\\ \frac{{\gamma }_{\mathrm{2}}}{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{\chi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(c+\mathrm{0})+\frac{(\lambda {\delta }_{\mathrm{1}}+{\delta }_{\mathrm{2}})}{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{\chi }_{\mathrm{2}}(c+\mathrm{0})\end{array}\right)

代入{\omega }_{\mathrm{2}}(\lambda )的表达式可知，{\omega }_{\mathrm{2}}(\lambda )={\varphi }_{\mathrm{2}}(b,\lambda ){\chi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(b,\lambda )-{\varphi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(b,\lambda ){\chi }_{\mathrm{2}}(b,\lambda )={\varphi }_{\mathrm{2}}(b,\lambda )(a_{\mathrm{2}}{\lambda }^{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{1}}\lambda +a_{\mathrm{0}})-{\varphi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}=(a_{\mathrm{2}}{\lambda }^{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{1}}\lambda +a_{\mathrm{0}})\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s(b-c)-\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(b-c)\right)+s\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(b-c)+\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}s}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s(b-c)+(a_{\mathrm{2}}{\lambda }^{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{1}}\lambda +a_{\mathrm{0}})O({\left|s\right|}^{-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\left|k\right|(x-c)})+O({\mathrm{e}}^{\left|k\right|(x-c)}),所以\frac{{\omega }_{\mathrm{2}}(\lambda )}{{\lambda }^{\mathrm{2}}}=(a_{\mathrm{2}}+\frac{a_{\mathrm{1}}}{s^{\mathrm{2}}}+\frac{a_{\mathrm{0}}}{s^{\mathrm{4}}})\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s(b-c)-\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(b-c)\right)+\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s(b-c)+\frac{\mathrm{1}}{s^{\mathrm{3}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(b-c)+O({\mathrm{e}}^{\left|k\right|(x-c)})。其中，(\frac{a_{\mathrm{1}}}{s^{\mathrm{2}}}+\frac{a_{\mathrm{0}}}{s^{\mathrm{4}}})\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s(b-c)-\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(b-c)\right)+\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s(b-c)+\frac{\mathrm{1}}{s^{\mathrm{3}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(b-c)\le \left(\left|\left(\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}+\mathrm{1}\right)a_{\mathrm{1}}{s}^{-\mathrm{2}}\right|+\left|\left(\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}+\mathrm{1}\right)a_{\mathrm{0}}{s}^{-\mathrm{4}}\right|+\left|\left(\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}+\mathrm{1}\right)s^{-\mathrm{3}}\right|\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha {\mathrm{e}}^{\left|k\right|}。因此

\begin{array}{l}\frac{{\omega }_{\mathrm{2}}(\lambda )}{{\lambda }^{\mathrm{2}}}=a_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s\left(b-c\right)-\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s\left(b-c\right)\right)+O\left({\left|s\right|}^{-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\left|k\right|}\right),\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \ne \mathrm{0},\\ {\omega }_{\mathrm{2}}(\lambda )=s^{\mathrm{4}}{a}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s\left(b-c\right)-\frac{{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\gamma }_{\mathrm{2}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s\left(b-c\right)\right)+O\left({\left|s\right|}^{\mathrm{3}}{\mathrm{e}}^{\left|k\right|}\right),\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \ne \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

定理 5 S-L问题（1）—（5）的特征值{\lambda }_n=s_n^{\mathrm{2}},n=\mathrm{0,1},\mathrm{2}...的渐近估计式为

s_n=\frac{\mathrm{\pi }}{b}(n-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}})+O(\frac{\mathrm{1}}{n}),\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \ne \mathrm{0}。

证明 下面只证明\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \ne \mathrm{0}的情形，其他情形可以使用类似的方法。记{\omega }_{\mathrm{2}}(s)={\omega }_{\mathrm{0}}(s)+a(s)，则{\omega }_{\mathrm{0}}(s)=s^{\mathrm{4}}{a}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}sc\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}s(b-c)-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}sc\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}s(b-c)\right)\mathrm{。}因为{\omega }_{\mathrm{0}}(s)>a(s)，根据儒歇定理可知，{\omega }_{\mathrm{2}}(s)与{\omega }_{\mathrm{0}}(s)有相同的零点。令{\lambda }_{\mathrm{0}}\le {\lambda }_{\mathrm{1}}\le ...\le {\lambda }_n是{\omega }_{\mathrm{2}}(s)的零点，因为s_n=\frac{\mathrm{\pi }}{b}(n-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}})+{\delta }_n，可得\frac{w_{\mathrm{2}}(s)}{s^{\mathrm{3}}}=(\frac{\mathrm{\pi }}{b}(n-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}})+{\delta }_n)(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[(n-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}})\mathrm{\pi }+b{\delta }_n])+\alpha (\sqrt[]{{\lambda }_n})=\mathrm{0}，由于\alpha (\sqrt[]{{\lambda }_n})有界，，有\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\delta }_{n}b={\alpha }_n(\sqrt[]{{\lambda }_n})/\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha [\frac{\mathrm{\pi }}{b}(n-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}})+{\delta }_n]\mathrm{。}因此，

\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\delta }_{n}b=O(\frac{\mathrm{1}}{n})，{\delta }_n=O(\frac{\mathrm{1}}{n})，s_n=\frac{\mathrm{\pi }}{b}(n-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}})+O(\frac{\mathrm{1}}{n})。

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基金资助

国家自然科学基金项目(12361027)