一类缺项算子矩阵的Fredholm补

Fredholm Completions of a Class of Partial Operator Matrices

摘要

设H和K是无穷维的Hilbert空间。对于给定的算子A\in B\left(H\right)，B\in B(K,H)，C\in B(H,K)和D\in B(K)，利用空间分解和算子方程的方法得到了存在X\in B(K)使得M_X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)是Fredholm算子且其Fredholm逆本质等于形如算子矩阵\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)的充分必要条件。

Abstract

Let H and K be infinite-dimensional Hilbert spaces.For given operators A\in B\left(H\right)，B\in B(K,H)， C\in B(H,K) and D\in B(K)， the necessary and sufficient conditions are derived for the existence of X\in B(K) such that M_X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right) is a Fredholm operator and its Fredholm inverse is essentially equal to the operator matrix \left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right) by using the methods of space decomposition and operator equations.

关键词

算子矩阵 / Fredholm算子 / 补问题 / 有限秩算子

Key words

operator matrix / Fredholm operator / completion problem / finite-rank operator

算子矩阵是以线性算子为元素的矩阵，它是算子理论中最重要的研究内容之一，在偏微分方程求解、弹性力学、流体力学及量子力学等数学物理问题^［1-2］中均有广泛的应用。若Hilbert空间H可分为两个闭子空间H_{\mathrm{1}}和H_{\mathrm{2}}的正交和，即H=H_{\mathrm{1}}\oplus H_{\mathrm{2}}，则H上的任意有界线性算子T可以表示为

T=\left(\begin{array}{cc}{T}_{\mathrm{11}}& T_{\mathrm{12}}\\ T_{\mathrm{21}}& T_{\mathrm{22}}\end{array}\right):H_{\mathrm{1}}\oplus H_{\mathrm{2}}\to H_{\mathrm{1}}\oplus H_{\mathrm{2}}，

其中，T_{ij}是H_j到H_i的有界线性算子，i,j=\mathrm{1,2}。

缺项算子矩阵是指算子矩阵中某些位置的算子未被定义或未给出具体形式。缺项算子矩阵的补问题则是对已知算子加以条件约束，寻找未知算子，使得该缺项算子矩阵满足某些性质，比如可逆、左（右）可逆和值域闭等。有关缺项算子矩阵补问题的研究见文献［3-12］。李绍宽^［8-9］研究了算子矩阵补问题{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ ?& C\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)和{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& ?\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)。Hai等^［10］对算子矩阵的Fredholm补问题进行讨论，得出了对于给定算子A、B、C和D，存在X使得\left(\begin{array}{cc}A& B\\ X& C\end{array}\right)是Fredholm算子且{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ X& C\end{array}\right)}^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)的充分必要条件。还有学者研究了矩阵的补问题。Fiedler等^［13］研究了如下分块矩阵的补问题

{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ ?& C\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)，

即考虑矩阵A、B、C和D满足什么条件时，存在矩阵X使得\left(\begin{array}{cc}A& B\\ X& C\end{array}\right)是可逆的且具有形如\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)的逆。Tian等^［14］对矩阵广义逆的补问题进行了深入研究。

本文在文献［9-10］的启发下，利用空间分解和算子方程的方法，对如下缺项算子矩阵的补问题

{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& ?\end{array}\right)}^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)

进行研究，得到了存在X使得\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)是Fredholm算子且{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)}^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)的充分必要条件。

1 预备知识

设H和K是可分的无穷维Hilbert空间，用B(H,K)表示H到K的全体有界线性算子。若H=K，记B(H)=B(H,H)。设T\in B(H,K)，用R(T)和N(T)分别表示T的值域空间和零空间。对于线性子空间M\subset H，用\overline{M}和M^{\perp }分别表示它的闭包和正交补。用P_{\overline{M}}表示\overline{M}上的正交投影算子，T\left|{}_M\right.表示T限制在M上。

定义1^［15］ 设T\in B(H,K)，S\in B(K,H)。如果

TST=T，STS=S，{(TS)}^{\mathrm{*}}=TS，{(ST)}^{\mathrm{*}}=ST，

则S称为T的Moore-Penrose逆，记其为T^{†}。换言之，S=T^{†}。

容易发现，T是Moore-Penrose可逆当且仅当R(T)是闭的。此外，T{T}^{†}=P_{R(T)}，T^{†}T=I-P_{N(T)}。

定义2^［15］ 设T\in B(H,K)，若存在S\in B(K,H)和有限秩算子F_{\mathrm{1}}\in B(H)使得ST=I+F_{\mathrm{1}}，则称T是左Fredholm算子；若存在S\in B(K,H)和有限秩算子F_{\mathrm{2}}\in B(K)使得TS=I+F_{\mathrm{2}}，则称T是右Fredholm算子；若T既是左Fredholm算子又是右Fredholm算子，则称T是Fredholm算子。

若T是Fredholm算子，则存在S\in B(K,H)和有限秩算子F_{\mathrm{1}}\in B(H)，F_{\mathrm{2}}\in B(K)，使得

ST=I+F_{\mathrm{1}}，TS=I+F_{\mathrm{2}}，

此时，S称为T的Fredholm逆，记为T^{\mathrm{\Phi }}。

设T\in B(H,K)，不难发现T是左Fredholm算子当且仅当R(T)是闭的且，T是右Fredholm算子当且仅当R(T)是闭的且。

定义3^［16］ 对于S\in B(H,K)和T\in B(H,K)，如果存在有限秩算子F\in B(H,K)使得S=T+F，则称S和T本质相等，记为S\stackrel{e}{=}T。

如果T\in B(H,K)是Fredholm算子，那么T的任意两个Fredholm逆S_{\mathrm{1}}和S_{\mathrm{2}}相差一个有限秩算子，即S_{\mathrm{1}}\stackrel{e}{=}{S}_{\mathrm{2}}。Moore-Penrose广义逆T^{†}是T的一个Fredholm逆，因此，T^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}{T}^{†}。

2 主要结论

定理1 设A\in B\left(H\right)，B\in B(K,H)，C\in B(H,K)和D\in B(K)为给定算子。若R(A)是闭的并且A和D不是有限秩算子，则存在X\in B(K)使得

M_X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)

是Fredholm算子且

M_X^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)

当且仅当下列条件成立：

① R(D)是闭的；

② B_{\mathrm{4}}=P_{R{(A)}^{\perp }}B\left|{}_{R{(D)}^{\perp }}:R{(D)}^{\perp }\to R{(A)}^{\perp }\right.和C_{\mathrm{4}}=P_{N(D)}C\left|{}_{N(A)}\right.:N(A)\to N(D)是Fredholm算子；

③ B_{\mathrm{3}}=P_{R{(A)}^{\perp }}B\left|{}_{\overline{R(D)}}\right.:\overline{R(D)}\to R{(A)}^{\perp }和C_{\mathrm{2}}=P_{N{(D)}^{\perp }}C\left|{}_{N(A)}\right.:N(A)\to N{(D)}^{\perp }是有限秩算子。

此时

X\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}}+D_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\Phi }}& G\\ K& L\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}R(D)\\ R{(D)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}N{(D)}^{\perp }\\ N(D)\end{array}\right)，

其中，G\in B(R{(D)}^{\perp },N{(D)}^{\perp })，K\in B(R(D),N(D))和L\in B(R{(D)}^{\perp },N(D))是任意算子。

证明 必要性。假设存在X\in B(K)使得M_X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)是Fredholm算子且M_X^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)。由于R(A)是闭的，则M_X和M_X^{\mathrm{\Phi }}由如下算子矩阵表示

M_X=\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}& \begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{1}}& B_{\mathrm{2}}\\ B_{\mathrm{3}}& B_{\mathrm{4}}\end{array}\\ \begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{1}}& C_{\mathrm{2}}\\ C_{\mathrm{3}}& C_{\mathrm{4}}\end{array}& \begin{array}{cc}{X}_{\mathrm{1}}& X_{\mathrm{2}}\\ X_{\mathrm{3}}& X_{\mathrm{4}}\end{array}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}N{(A)}^{\perp }\\ N(A)\end{array}\\ \overline{R(D)}\end{array}\\ R{(D)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}R(A)\\ R{(A)}^{\perp }\\ N{(D)}^{\perp }\end{array}\\ N(D)\end{array}\right)，

M_X^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cccc}{Y}_{\mathrm{1}}& Y_{\mathrm{2}}& Z_{\mathrm{1}}& Z_{\mathrm{2}}\\ Y_{\mathrm{3}}& Y_{\mathrm{4}}& Z_{\mathrm{3}}& Z_{\mathrm{4}}\\ W_{\mathrm{1}}& W_{\mathrm{2}}& D_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ W_{\mathrm{3}}& W_{\mathrm{4}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}R(A)\\ R{(A)}^{\perp }\\ N{(D)}^{\perp }\\ N(D)\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}N{(A)}^{\perp }\\ N(A)\\ \overline{R(D)}\\ R{(D)}^{\perp }\end{array}\right)。

因此，

M_X{M}_X^{\mathrm{\Phi }}=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{\mathrm{1}}{Y}_{\mathrm{1}}+B_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{1}}+B_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{3}}& A_{\mathrm{1}}{Y}_{\mathrm{2}}+B_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{2}}+B_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{4}}& A_{\mathrm{1}}{Z}_{\mathrm{1}}+B_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{1}}& A_{\mathrm{1}}{Z}_{\mathrm{2}}\\ B_{\mathrm{3}}{W}_{\mathrm{1}}+B_{\mathrm{4}}{W}_{\mathrm{3}}& B_{\mathrm{3}}{W}_{\mathrm{2}}+B_{\mathrm{4}}{W}_{\mathrm{4}}& B_{\mathrm{3}}{D}_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{1}}{Y}_{\mathrm{1}}+C_{\mathrm{2}}{Y}_{\mathrm{3}}+X_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{1}}+X_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{3}}& C_{\mathrm{1}}{Y}_{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{2}}{Y}_{\mathrm{4}}+X_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{2}}+X_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{4}}& C_{\mathrm{1}}{Z}_{\mathrm{1}}+C_{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{3}}+X_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{1}}& C_{\mathrm{1}}{Z}_{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{4}}\\ C_{\mathrm{3}}{Y}_{\mathrm{1}}+C_{\mathrm{4}}{Y}_{\mathrm{3}}+X_{\mathrm{3}}{W}_{\mathrm{1}}+X_{\mathrm{4}}{W}_{\mathrm{3}}& C_{\mathrm{3}}{Y}_{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{4}}{Y}_{\mathrm{4}}+X_{\mathrm{3}}{W}_{\mathrm{2}}+X_{\mathrm{4}}{W}_{\mathrm{4}}& C_{\mathrm{3}}{Z}_{\mathrm{1}}+C_{\mathrm{4}}{Z}_{\mathrm{3}}+X_{\mathrm{3}}{D}_{\mathrm{1}}& C_{\mathrm{3}}{Z}_{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{4}}{Z}_{\mathrm{4}}\end{array}\right)

=\left(\begin{array}{cccc}I+F_{\mathrm{11}}& F_{\mathrm{12}}& F_{\mathrm{13}}& F_{\mathrm{14}}\\ F_{\mathrm{21}}& I+F_{\mathrm{22}}& F_{\mathrm{23}}& F_{\mathrm{24}}\\ F_{\mathrm{31}}& F_{\mathrm{32}}& I+F_{\mathrm{33}}& F_{\mathrm{34}}\\ F_{\mathrm{41}}& F_{\mathrm{42}}& F_{\mathrm{43}}& I+F_{\mathrm{44}}\end{array}\right)（1）

M_X^{\mathrm{\Phi }}{M}_X=\left(\begin{array}{cccc}{Y}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}+Z_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}+Z_{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{3}}& Z_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{2}}+Z_{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{4}}& Y_{\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}}+Y_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{3}}+Z_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{1}}+Z_{\mathrm{2}}{X}_{\mathrm{3}}& Y_{\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{2}}+Y_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{4}}+Z_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{2}}+Z_{\mathrm{2}}{X}_{\mathrm{4}}\\ Y_{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}}+Z_{\mathrm{3}}{C}_{\mathrm{1}}+Z_{\mathrm{4}}{C}_{\mathrm{3}}& Z_{\mathrm{3}}{C}_{\mathrm{2}}+Z_{\mathrm{4}}{C}_{\mathrm{4}}& Y_{\mathrm{3}}{B}_{\mathrm{1}}+Y_{\mathrm{4}}{B}_{\mathrm{3}}+Z_{\mathrm{3}}{X}_{\mathrm{1}}+Z_{\mathrm{4}}{X}_{\mathrm{3}}& Y_{\mathrm{3}}{B}_{\mathrm{2}}+Y_{\mathrm{4}}{B}_{\mathrm{4}}+Z_{\mathrm{3}}{X}_{\mathrm{2}}+Z_{\mathrm{4}}{X}_{\mathrm{4}}\\ W_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}+D_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}& D_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{2}}& W_{\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}}+W_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{3}}+D_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{1}}& W_{\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{2}}+W_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{4}}+D_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{2}}\\ W_{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}& W_{\mathrm{3}}{B}_{\mathrm{1}}+W_{\mathrm{4}}{B}_{\mathrm{3}}& W_{\mathrm{3}}{B}_{\mathrm{2}}+W_{\mathrm{4}}{B}_{\mathrm{4}}\end{array}\right)

=\left(\begin{array}{cccc}I+F_{\mathrm{11}}^{\mathrm{\text{'}}}& F_{\mathrm{12}}^{\mathrm{\text{'}}}& F_{\mathrm{13}}^{\mathrm{\text{'}}}& F_{\mathrm{14}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ F_{\mathrm{21}}^{\mathrm{\text{'}}}& I+F_{\mathrm{22}}^{\mathrm{\text{'}}}& F_{\mathrm{23}}^{\mathrm{\text{'}}}& F_{\mathrm{24}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ F_{\mathrm{31}}^{\mathrm{\text{'}}}& F_{\mathrm{32}}^{\mathrm{\text{'}}}& I+F_{\mathrm{33}}^{\mathrm{\text{'}}}& F_{\mathrm{34}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ F_{\mathrm{41}}^{\mathrm{\text{'}}}& F_{\mathrm{42}}^{\mathrm{\text{'}}}& F_{\mathrm{43}}^{\mathrm{\text{'}}}& I+F_{\mathrm{44}}^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right)（2）

其中，F_{ij}和F_{ij}^{\mathrm{\text{'}}}是有限秩算子，i,j=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4}。

由式（1）和式（2）得到A_{\mathrm{1}}{Z}_{\mathrm{2}}=F_{\mathrm{14}}，W_{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}}=F_{\mathrm{41}}^{\mathrm{\text{'}}}，B_{\mathrm{3}}{D}_{\mathrm{1}}=F_{\mathrm{23}}，D_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{2}}=F_{\mathrm{32}}^{\mathrm{\text{'}}}。因为A和D不是有限秩算子，D_{\mathrm{1}}:N{(D)}^{\perp }\to \overline{R(D)}是单射且有稠值域，A_{\mathrm{1}}:N{(A)}^{\perp }\to R(A)是可逆的，因此Z_{\mathrm{2}}、W_{\mathrm{3}}、B_{\mathrm{3}}和C_{\mathrm{2}}是有限秩算子。又由式（1）和式（2）可知

B_{\mathrm{3}}{W}_{\mathrm{2}}+B_{\mathrm{4}}{W}_{\mathrm{4}}=I+F_{\mathrm{22}}，

W_{\mathrm{3}}{B}_{\mathrm{2}}+W_{\mathrm{4}}{B}_{\mathrm{4}}=I+F_{\mathrm{44}}^{\mathrm{\text{'}}}，

C_{\mathrm{3}}{Z}_{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{4}}{Z}_{\mathrm{4}}=I+F_{\mathrm{44}}，

Z_{\mathrm{3}}{C}_{\mathrm{2}}+Z_{\mathrm{4}}{C}_{\mathrm{4}}=I+F_{\mathrm{22}}^{\mathrm{\text{'}}}，

因为B_{\mathrm{3}}、W_{\mathrm{3}}、C_{\mathrm{2}}和Z_{\mathrm{2}}是有限秩算子，故B_{\mathrm{4}}和C_{\mathrm{4}}是Fredholm算子。

由式（1）和式（2）可得

A_{\mathrm{1}}{Z}_{\mathrm{1}}+B_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{1}}=F_{\mathrm{13}}，C_{\mathrm{1}}{Z}_{\mathrm{1}}+C_{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{3}}+X_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{1}}=I+F_{\mathrm{33}}，

W_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}+D_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}=F_{\mathrm{31}}^{\mathrm{\text{'}}}，W_{\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}}+W_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{3}}+D_{\mathrm{1}}{X}_{\mathrm{1}}=I+F_{\mathrm{33}}^{\mathrm{\text{'}}}，

所以

(X_{\mathrm{1}}-C_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}})D_{\mathrm{1}}=I+F_{\mathrm{33}}-C_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{F}_{\mathrm{13}}-C_{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{3}}（3）

D_{\mathrm{1}}(X_{\mathrm{1}}-C_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}})=I+F_{\mathrm{33}}^{\mathrm{\text{'}}}-F_{\mathrm{31}}^{\mathrm{\text{'}}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}}-W_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{3}}（4）

因为F_{\mathrm{13}}、F_{\mathrm{33}}、F_{\mathrm{31}}^{\mathrm{\text{'}}}、F_{\mathrm{33}}^{\mathrm{\text{'}}}、C_{\mathrm{2}}和B_{\mathrm{3}}是有限秩算子，因此F_{\mathrm{33}}-C_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{F}_{\mathrm{13}}-C_{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{3}}和F_{\mathrm{33}}^{\mathrm{\text{'}}}-F_{\mathrm{31}}^{\mathrm{\text{'}}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}}-W_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{3}}是有限秩算子。结合式（3）和式（4）得，D_{\mathrm{1}}:N{(D)}^{\perp }\to \overline{R(D)}是Fredholm算子，因此R(D)是闭的。

充分性。由于R(A)和R(D)是闭的，则A、B、C和D分别表示为

A=\left(\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}N{(A)}^{\perp }\\ N(A)\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}R(A)\\ R{(A)}^{\perp }\end{array}\right)，B=\left(\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{1}}& B_{\mathrm{2}}\\ B_{\mathrm{3}}& B_{\mathrm{4}}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}R(D)\\ R{(D)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}R(A)\\ R{(A)}^{\perp }\end{array}\right)，

C=\left(\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{1}}& C_{\mathrm{2}}\\ C_{\mathrm{3}}& C_{\mathrm{4}}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}N{(A)}^{\perp }\\ N(A)\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}N{(D)}^{\perp }\\ N(D)\end{array}\right)，D=\left(\begin{array}{cc}{D}_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}N{(D)}^{\perp }\\ N(D)\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}R(D)\\ R{(D)}^{\perp }\end{array}\right)。

显然A_{\mathrm{1}}:N{(A)}^{\perp }\to R(A)和D_{\mathrm{1}}:N{(D)}^{\perp }\to R(D)是可逆的，因此A_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}和D_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\Phi }}存在。令

\begin{array}{l}X=\left(\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}}+D_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\Phi }}& G\\ K& L\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}R(D)\\ R{(D)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}N{(D)}^{\perp }\\ N(D)\end{array}\right),\\ Y=\left(\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}+A_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}& Y_{\mathrm{2}}\\ Y_{\mathrm{3}}& Y_{\mathrm{4}}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}R(A)\\ R{(A)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}N{(A)}^{\perp }\\ N(A)\end{array}\right),\\ Z=\left(\begin{array}{cc}-A_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{4}}^{†}(C_{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{1}}-K{D}_{\mathrm{1}})& C_{\mathrm{4}}^{†}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}N{(D)}^{\perp }\\ N(D)\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}N{(A)}^{\perp }\\ N(A)\end{array}\right),\\ W=\left(\begin{array}{cc}-D_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}& -D_{\mathrm{1}}G{B}_{\mathrm{4}}^{†}+D_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{4}}^{†}\\ \mathrm{0}& B_{\mathrm{4}}^{†}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}R(A)\\ R{(A)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}R(D)\\ R{(D)}^{\perp }\end{array}\right)\mathrm{。}\end{array}

其中，G\in B(R{(D)}^{\perp },N{(D)}^{\perp }),K\in B(R(D),N(D)),L\in B(R{(D)}^{\perp },N(D))是任意算子，并且

\begin{array}{l}{Y}_{\mathrm{2}}=-A_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{4}}^{†}+A_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{1}}G{B}_{\mathrm{4}}^{†}-A_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{4}}^{†},\\ Y_{\mathrm{3}}=-C_{\mathrm{4}}^{†}{C}_{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}+C_{\mathrm{4}}^{†}K{D}_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}-C_{\mathrm{4}}^{†}{C}_{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}},\\ Y_{\mathrm{4}}=C_{\mathrm{4}}^{†}{C}_{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{4}}^{†}-C_{\mathrm{4}}^{†}{C}_{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{1}}G{B}_{\mathrm{4}}^{†}+C_{\mathrm{4}}^{†}{C}_{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{4}}^{†}\\ +C_{\mathrm{4}}^{†}K{D}_{\mathrm{1}}G{B}_{\mathrm{4}}^{†}-C_{\mathrm{4}}^{†}K{D}_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{4}}^{†}-C_{\mathrm{4}}^{†}L{B}_{\mathrm{4}}^{†}\mathrm{。}\end{array}

直接计算可得\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& D\end{array}\right)和\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)是有限秩算子。

定理2 设A\in B\left(H\right)，B\in B(K,H)，C\in B(H,K)和D\in B(K)为给定算子。若A和D是有限秩算子，则存在X\in B(K)使得

M_X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)

是Fredholm算子且

M_X^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)

当且仅当B和C是Fredholm算子。此时X\stackrel{e}{=}G，其中G\in B(H,K)是Fredholm算子。

证明 由于A和D是有限秩算子，结合Fredholm算子紧扰动理论，只需证明存在X\in B(K)使得\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)是Fredholm算子且{\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)}^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& \mathrm{0}\end{array}\right)当且仅当B和C是Fredholm算子即可。

必要性。假设存在X\in B(K)使得\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)是Fredholm算子且{\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)}^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& \mathrm{0}\end{array}\right)。因此，存在有限秩算子F_{ij}和F_{ij}^{\mathrm{\text{'}}}（i,j=\mathrm{1,2}）使得

\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& \mathrm{0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}BW& \mathrm{0}\\ CY+XW& CZ\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I+F_{\mathrm{11}}& F_{\mathrm{12}}\\ F_{\mathrm{21}}& I+F_{\mathrm{22}}\end{array}\right)，

\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& \mathrm{0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ZC& YB+ZX\\ \mathrm{0}& WB\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I+F_{\mathrm{11}}^{\mathrm{\text{'}}}& F_{\mathrm{12}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ F_{\mathrm{21}}^{\mathrm{\text{'}}}& I+F_{\mathrm{22}}^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right)。

由上式可得

BW=I+F_{\mathrm{11}}，WB=I+F_{\mathrm{22}}^{\mathrm{\text{'}}}，

CZ=I+F_{\mathrm{22}}，ZC=I+F_{\mathrm{11}}^{\mathrm{\text{'}}}。

故B和C是Fredholm算子。

充分性。假设B和C是Fredholm算子，则N(B)，R{(B)}^{\perp }，N(C)和R{(C)}^{\perp }是有限维的。取G\in B(H,K)为任意Fredholm算子，直接计算得

\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& G\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-C^{†}G{B}^{†}& C^{†}\\ B^{†}& \mathrm{0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-P_{R{(B)}^{\perp }}& \mathrm{0}\\ P_{R{(C)}^{\perp }}G{B}^{†}& -P_{R{(C)}^{\perp }}\end{array}\right),

\left(\begin{array}{cc}-C^{†}G{B}^{†}& C^{†}\\ B^{†}& \mathrm{0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& G\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-P_{N(C)}& C^{†}G{P}_{N(B)}\\ \mathrm{0}& -P_{N(B)}\end{array}\right)\mathrm{。}

因此，\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& G\end{array}\right)是Fredholm算子且{\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& G\end{array}\right)}^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}-C^{†}G{B}^{†}& C^{†}\\ B^{†}& \mathrm{0}\end{array}\right)。

定理3 设A\in B\left(H\right)，B\in B(K,H)，C\in B(H,K)和D\in B(K)为给定算子。若A是有限秩算子，D不是有限秩算子，则存在X\in B(K)使得

M_X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)

是Fredholm算子且

M_X^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)

当且仅当下列条件成立：

① B是右Fredholm算子且\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N(B)=\mathrm{\infty }；

② C是左Fredholm算子且\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R{(C)}^{\perp }=\mathrm{\infty }；

③ 存在Fredholm算子T:N(B)\to R{(C)}^{\perp }使得D\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}{T}^{†}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}R{(C)}^{\perp }\\ R(C)\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}N(B)\\ N{(B)}^{\perp }\end{array}\right)。

此时

X\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}T& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}N(B)\\ N{(B)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}R{(C)}^{\perp }\\ R(C)\end{array}\right)\mathrm{。}

证明 必要性。假设存在X\in B(K)使得M_X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)是Fredholm算子且M_X^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)。由于A是有限秩算子，于是{\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)}^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)。因此，存在有限秩算子F_{ij}和F_{ij}^{\mathrm{\text{'}}}（i,j=\mathrm{1,2}）使得

\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}BW& BD\\ CY+XW& CZ+XD\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I+F_{\mathrm{11}}& F_{\mathrm{12}}\\ F_{\mathrm{21}}& I+F_{\mathrm{22}}\end{array}\right)，

\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ZC& YB+ZX\\ DC& WB+DX\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I+F_{\mathrm{11}}^{\mathrm{\text{'}}}& F_{\mathrm{12}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ F_{\mathrm{21}}^{\mathrm{\text{'}}}& I+F_{\mathrm{22}}^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right)，

从而BW=I+F_{\mathrm{11}}，ZC=I+F_{\mathrm{11}}^{\mathrm{\text{'}}}，故B是右Fredholm算子，C是左Fredholm算子。因为R(C)是闭的，此时

\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& B_{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& X_{\mathrm{1}}& X_{\mathrm{2}}\\ C_{\mathrm{2}}& X_{\mathrm{3}}& X_{\mathrm{4}}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}H\\ N(B)\\ N{(B)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}H\\ R{(C)}^{\perp }\\ R(C)\end{array}\right)

是Fredholm算子，其中B_{\mathrm{2}}:N{(B)}^{\perp }\to H是左可逆算子，C_{\mathrm{2}}:H\to R(C)是右可逆算子。故存在H\oplus K上的可逆算子U和V使得

U\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)V=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& B_{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& X_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)

是Fredholm算子，因此X_{\mathrm{1}}为Fredholm算子。又由于

{\left(U\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)V\right)}^{\mathrm{\Phi }}={\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& B_{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& X_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)}^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& C_{\mathrm{2}}^{†}\\ \mathrm{0}& X_{\mathrm{1}}^{†}& \mathrm{0}\\ B_{\mathrm{2}}^{†}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)，

故

{\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)}^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}V\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& C_{\mathrm{2}}^{†}\\ \mathrm{0}& X_{\mathrm{1}}^{†}& \mathrm{0}\\ B_{\mathrm{2}}^{†}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)U=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{*}& \mathrm{*}& C_{\mathrm{2}}^{†}\\ \mathrm{*}& X_{\mathrm{1}}^{†}& \mathrm{0}\\ B_{\mathrm{2}}^{†}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}H\\ R{(C)}^{\perp }\\ R(C)\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}H\\ N(B)\\ N{(B)}^{\perp }\end{array}\right)\mathrm{。}

另一方面，{\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)}^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& D\end{array}\right)，因为R(C)是闭的，故

\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}Y& Z_{\mathrm{1}}& Z_{\mathrm{2}}\\ W_{\mathrm{1}}& D_{\mathrm{1}}& D_{\mathrm{2}}\\ W_{\mathrm{2}}& D_{\mathrm{3}}& D_{\mathrm{4}}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}H\\ R{(C)}^{\perp }\\ R(C)\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}H\\ N(B)\\ N{(B)}^{\perp }\end{array}\right)，

因此

D\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}{X}_{\mathrm{1}}^{†}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}R{(C)}^{\perp }\\ R(C)\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}N(B)\\ N{(B)}^{\perp }\end{array}\right)\mathrm{。}

令T=X_{\mathrm{1}}，则条件③成立。

由于D不是有限秩算子，因此X_{\mathrm{1}}也不是有限秩算子，\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N(B)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R{(C)}^{\perp }=\mathrm{\infty }。

充分性。假设条件①、②和③成立，设B_{\mathrm{2}}=B\left|{}_{N{(B)}^{\perp }}:N{(B)}^{\perp }\to H\right.和C_{\mathrm{2}}=P_{R(C)}C:H\to R(C)。由于\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N(B)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R{(C)}^{\perp }=\mathrm{\infty }，因此，存在Fredholm算子T\in B(N(B),R{(C)}^{\perp })\mathrm{。}令

X=\left(\begin{array}{cc}T& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}N(B)\\ N{(B)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}R{(C)}^{\perp }\\ R(C)\end{array}\right)，Y=\mathrm{0}，

Z=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& C_{\mathrm{2}}^{†}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}R{(C)}^{\perp }\\ R(C)\end{array}\right)\to H，W=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ B_{\mathrm{2}}^{†}\end{array}\right):H\to \left(\begin{array}{c}N(B)\\ N{(B)}^{\perp }\end{array}\right)。

容易验证\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& D\end{array}\right)和\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)是有限秩算子。

定理4 设A\in B\left(H\right)，B\in B(K,H)，C\in B(H,K)和D\in B(K)为给定算子。若A不是有限秩算子，D是有限秩算子，则存在X\in B(K)使得

M_X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)

是Fredholm算子且

M_X^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)

当且仅当下列条件成立：

① C是右Fredholm算子，B是左Fredholm算子；

② A{C}^{†}和B^{†}A是有限秩算子；

③ 存在算子T\in B(H)使得\left\{\begin{array}{l}AT\stackrel{e}{=}I-B{B}^{†}\\ TA\stackrel{e}{=}I-C^{†}C\end{array}\right.。

此时

X\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& -C_{\mathrm{1}}T{B}_{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}N(B)\\ N{(B)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}R(C)\\ R{(C)}^{\perp }\end{array}\right)，

其中C_{\mathrm{1}}=P_{R(C)}C，B_{\mathrm{2}}=B{P}_{N{(B)}^{\perp }}。

证明 必要性。假设存在X\in B(K)使得M_X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)是Fredholm算子且M_X^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)。由于D是有限秩算子，故{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)}^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& \mathrm{0}\end{array}\right)。因此

\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& \mathrm{0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}AY+BW& AZ\\ CY+XW& CZ\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I+F_{\mathrm{11}}& F_{\mathrm{12}}\\ F_{\mathrm{21}}& I+F_{\mathrm{22}}\end{array}\right)（5）

\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& \mathrm{0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}YA+ZC& YB+ZX\\ WA& WB\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I+F_{\mathrm{11}}^{\mathrm{\text{'}}}& F_{\mathrm{12}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ F_{\mathrm{21}}^{\mathrm{\text{'}}}& I+F_{\mathrm{22}}^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right)（6）

其中F_{ij}和F_{ij}^{\mathrm{\text{'}}}是有限秩算子，i,j=\mathrm{1,2}\mathrm{。}所以CZ=I+F_{\mathrm{22}}，WB=I+F_{\mathrm{22}}^{\mathrm{\text{'}}}，从而C是右Fredholm算子，B是左Fredholm算子。显然C^{†}和B^{†}存在，故Z\stackrel{e}{=}{C}^{†}，W\stackrel{e}{=}{B}^{†}。由式（5）和式（6）得AZ=F_{\mathrm{12}}，WA=F_{\mathrm{21}}^{\mathrm{\text{'}}}，因此A{C}^{†}和B^†A是有限秩算子。再由式（5）和式（6）得AY+BW=I+F_{\mathrm{11}}，YA+ZC=I+F_{\mathrm{11}}^{\mathrm{\text{'}}}，故

\left\{\begin{array}{l}AY\stackrel{e}{=}{P}_{R{(B)}^{\perp }}=I-B{B}^{†}\\ YA\stackrel{e}{=}{P}_{N(C)}=I-C^{†}C\end{array}\right.，

令T=Y，即得条件③。

充分性。假设条件①、②和③成立，设

B=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B_{\mathrm{2}}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}N(B)\\ N{(B)}^{\perp }\end{array}\right)\to H\mathrm{。}

由于C是右Fredholm算子，因此R(C)是闭的。故C和D表示为

C=\left(\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}\end{array}\right):H\to \left(\begin{array}{c}R(C)\\ R{(C)}^{\perp }\end{array}\right)，D=\left(\begin{array}{cc}{D}_{\mathrm{1}}& D_{\mathrm{2}}\\ D_{\mathrm{3}}& D_{\mathrm{4}}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}R(C)\\ R{(C)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}N(B)\\ N{(B)}^{\perp }\end{array}\right)，

显然C_{\mathrm{1}}是右可逆算子，B_{\mathrm{2}}是左可逆算子。令

X=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& -C_{\mathrm{1}}T{B}_{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}N(B)\\ N{(B)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}R(C)\\ R{(C)}^{\perp }\end{array}\right)，Y=T:H\to H，

Z=\left(\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{1}}^{†}& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}R(C)\\ R{(C)}^{\perp }\end{array}\right)\to H，W=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ B_{\mathrm{2}}^{†}\end{array}\right):H\to \left(\begin{array}{c}N(B)\\ N{(B)}^{\perp }\end{array}\right)。

直接计算可得\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& D\end{array}\right)和\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)是有限秩算子。

注1 定理1中A和D均不是有限秩算子，得到了{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)}^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)的补X的形式；定理2中A和D均是有限秩算子，得到了{\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)}^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& \mathrm{0}\end{array}\right)的补X的形式；定理3中A是有限秩算子，D不是有限秩算子，得到了{\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& X\end{array}\right)}^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& D\end{array}\right)的补X的形式；定理4中A不是有限秩算子，D是有限秩算子，得到了{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)}^{\mathrm{\Phi }}\stackrel{e}{=}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{*}& \mathrm{0}\end{array}\right)的补X的形式。

例1 设B\in B(K,H)，C\in B(H,K)和D\in B(K)为给定算子，其中B为左Fredholm算子且\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R{(B)}^{\perp }=\mathrm{\infty }，C为右Fredholm算子且\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}N(C)=\mathrm{\infty }，D为有限秩算子。设

A=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& A_{\mathrm{2}}\\ A_{\mathrm{3}}& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}N(C)\\ N{(C)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}R(B)\\ R{(B)}^{\perp }\end{array}\right)，

其中A_{\mathrm{2}}:N{(C)}^{\perp }\to R(B)为有限秩算子，A_{\mathrm{3}}:N(C)\to R{(B)}^{\perp }为可逆算子。

显然和，因此A{C}^{†}和B^†A是有限秩算子。记

T=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& A_{\mathrm{3}}^{-\mathrm{1}}\\ S& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}R(B)\\ R{(B)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}N(C)\\ N{(C)}^{\perp }\end{array}\right)，

其中S\in B(R(B),N{(C)}^{\perp })是任意算子，则AT\stackrel{e}{=}I-B{B}^{†}和TA\stackrel{e}{=}I-C^†C。根据定理4可知，存在X\in B(K)，Y\in B(H)，Z\in B(K,H)和W\in B(H,K)使得M_X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)是Fredholm算子且其Fredholm逆与\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& D\end{array}\right)本质相等。实际上，令

X=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& -C_{\mathrm{1}}S{B}_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}N(B)\\ N{(B)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}R(C)\\ R{(C)}^{\perp }\end{array}\right)，Y=T:H\to H，

Z=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}R(C)\\ R{(C)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}N(C)\\ N{(C)}^{\perp }\end{array}\right)，W=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\\ B_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}& \mathrm{0}\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}R(B)\\ R{(B)}^{\perp }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}N(B)\\ N{(B)}^{\perp }\end{array}\right)。

直接计算可得\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& D\end{array}\right)和\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)是有限秩算子，故\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& D\end{array}\right)是其Fredholm逆。

注2 从例1中发现，\mathrm{2}\times \mathrm{2}算子矩阵\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)的Fredholm逆也可能本质等于三角算子矩阵\left(\begin{array}{cc}Y& Z\\ W& \mathrm{0}\end{array}\right)。

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基金资助

内蒙古自治区自然科学基金项目(2020ZD01)

内蒙古自治区自然科学基金项目(2024QN01003)

内蒙古自治区高校创新团队发展计划项目(NMGIRT2317)

内蒙古自治区一流学科科研专项(YLXKZX-NSD-017)

无穷维哈密顿系统及其算法应用教育部重点实验室开放课题(2023KFZD01)