线性分式向量优化问题Geoffrion真有效解的一个充分最优性条件

A Sufficient Optimality Condition of Geoffrion Proper Efficient Solution in Linear Fractional Vector Optimization Problem

摘要

针对线性分式向量优化问题，在利用可行集的回收锥建立一个Geoffrion真有效解的充分最优性条件的基础上，将其假设条件中锥的范围从回收锥扩大到切锥，利用向量优化问题Geoffrion真有效解与Benson真有效解的等价关系，得到了一个新的Geoffrion真有效解充分最优性条件，并给出相应例子对结论进行验证。

Abstract

For the linear fractional vector optimization problem， a sufficient optimality condition for Geoffrion proper efficient solutions has been established by using the recession cones of the feasible set.On this basis， the scope of the cones is extended in the assumption from the recession cones to the tangent cones.Utilizing the equivalence between Geoffrion proper efficient solutions and Benson proper efficient solutions in vector optimization problems， a new sufficient optimality condition for Geoffrion proper efficient solutions is derived， and corresponding examples are provided to verify the conclusions.

关键词

线性分式向量优化问题 / Pareto有效解 / Geoffrion真有效解 / 回收锥 / 切锥

Key words

linear fractional vector optimization problem / Pareto efficient solution / Geoffrion proper efficient solution / recession cone / tangent cone

向量优化理论是最优化理论的重要组成部分，在建筑设计、经济管理和物流运输等诸多领域发挥重要作用。在向量优化问题中，有效解的概念占据着核心地位。Koopmans^［1］首次提出Pareto有效解的概念（下文简称有效解）。然而，在有效解集中常会出现一些表现异常的有效解，因此众多学者相继提出了多种类型的真有效解概念。对于具有标准序锥的向量优化问题，Geoffrion^［2］发现部分有效解在某一成本的增益率与另一成本相应损失率之比方面表现出不理想的性质。为消除这种病态的有效解，他提出了Geoffrion真有效解这一重要概念。此后，Benson^［3］进一步将有效解的概念推广到序锥是任意非平凡闭凸锥的向量优化问题，进一步研究了该问题下有效解的最优性条件。除此之外，还有很多真有效解的定义^［4-7］。Liu^［8］提出了非光滑多目标优化问题Geoffrion近似真有效解的概念。在此基础上，Shukla等^［9］利用不等式系统的不可行性提出了另一种Geoffrion近似真有效解的概念，并研究了其收敛性质。

Choo^［10］首次提出线性分式向量优化问题的Geoffrion真有效解的概念，并在文献［11-12］中开展进一步研究。文献［13-14］研究了该问题下单调仿射向量变分不等式解集的拓扑性质。文献［15］给出了求解线性分式向量优化问题的数值方法。Huong等^［16］研究了无界约束集下线性分式向量优化问题Pareto有效解的正则性，并利用可行集的回收锥，建立了一类线性分式向量优化问题的有效解是Geoffrion真有效解的充分条件。同时，通过实例证明，对于双目标问题，为使结论成立，仅需要包含两个正则性条件的系统。如果目标函数的分量超过两个，则必须在系统中添加第三个正则性条件。在文献［9］的基础上，文献［17］针对目标函数是否存在仿射分量这两种情况，分别给出了Geoffrion真有效解的最优性充分条件，并举例说明了它们在具有无界约束集的线性分式向量优化问题中的应用。文献［18］首次系统地研究了具有无界约束集的线性分式向量优化问题的非真有效解，这一概念丰富了对有效解的认识。文中给出两组假设，保证所有有效解都是非真有效解。此外，还得到了一个有效解是非真有效解的必要条件，这为Geoffrion真有效解提供了一个新的充分条件。相比于文献［17］的结论，文献［18］的结论所需要的条件更弱。文献［19］对文献［18］中所用关于锥的假设条件进行推广，将部分假设条件的成立范围从回收锥拓展到切锥。本文受文献［19］的启发，结合文献［16-18］的结论，利用回收锥和切锥等工具将文献［19］中全部假设条件的成立范围从回收锥扩大到切锥，得到了关于线性分式向量优化问题的一个新的Geoffrion真有效解的充分条件。

1 预备知识

设{\mathbb{R}}^n为n维欧氏空间，{\mathbb{R}}_{+}为正实数集，\mathbb{N}为自然数集。设A是{\mathbb{R}}^n中非空子集，\mathrm{c}\mathrm{l}A、\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}A和\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}A分别表示集合A的闭包、锥包和闭锥包。设x,y\in {\mathbb{R}}^n，则表示向量的内积，‖x‖表示向量x的范数，x^{\mathrm{T}}表示向量x的转置。

设B\subset {\mathbb{R}}^n是非空凸集，v\in {\mathbb{R}}^n是非零向量，若对于任意t\ge \mathrm{0}和任意x\in B，满足x+tv\in B，则称v是B的一个回收方向。B的所有回收方向构成的集合称为B的回收锥，记为{\mathrm{0}}^{+}B。若B是闭凸集，则{\mathrm{0}}^{+}B=\left\{v\in {\mathbb{R}}^n:\exists x\in B,\mathrm{s}.\mathrm{t}.x+tv\in B,\forall t>\mathrm{0}\right\}。令B是闭凸集且\overline{x}\in B，\left\{x^k\right\}是B\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}中的序列，满足\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖x^k‖=+\mathrm{\infty }，若\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{x^k-\overline{x}}{‖x^k-\overline{x}‖}=v，则v\in {\mathrm{0}}^{+}B。

令B\subset {\mathbb{R}}^n，且\overline{x}\in \mathrm{c}\mathrm{l}B，B在\overline{x}处的切锥定义为T\left(\overline{x};B\right)=\left\{u\in {\mathbb{R}}^n:\exists \right.\left\{t_k\right\}\subset {{\mathbb{R}}_{}}_{+}\backslash \left\{\mathrm{0}\right\},t_k\to \mathrm{0},\exists \left\{u^k\right\}\subset\left.{\mathbb{R}}^n,u^k\to u,\overline{x}+t_k{u}^k\in B,\forall k\in \mathbb{N}\right\}。令\left\{x^k\right\}\subset B\backslash \left\{\overline{x}\right\}，若满足\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{x^k-\overline{x}}{‖x^k-\overline{x}‖}=u且\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{x}^k=\overline{x}，则u\in T\left(\overline{x};B\right)。显然B为凸集时，对任意\overline{x}\in B都有{\mathrm{0}}^{+}B\subset T\left(\overline{x};B\right)且T\left(\overline{x};B\right)=\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\left(B-\overline{x}\right)。

考虑下面的向量优化问题^［1］：

\begin{array}{l}\left(\mathrm{V}\mathrm{P}\right)\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}f\left(x\right)\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.x\in D\end{array}

其中， f的分量f_i:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}，i\in I=\left\{\mathrm{1},\cdots ,m\right\}，D\subset {\mathbb{R}}^n。

下面给出问题（VP）相关有效解的概念。

定义1^［1］ 设\overline{x}\in K，若\left(f\left(K\right)-f\left(\overline{x}\right)\right)\bigcap \left(\left.-{\mathbb{R}}_{+}^m/\left\{\mathrm{0}\right\}\right)\right.=\varphi，则称\overline{x}是问题（VP）的Pareto有效解，记为\overline{x}\in E。

定义2^［2］ 设\overline{x}\in K是问题（VP）的有效解，若存在实数M>\mathrm{0}，对满足的x\in K和i\in I，都存在j\in I满足f_j\left(x\right)>f_j\left(\overline{x}\right)，使得\left(f_i\left(\overline{x}\right)-f_i\left(x\right)\right)/\left(f_j\left(x\right)-f_j\left(\overline{x}\right)\right)\le M，则称\overline{x}为问题（VP）的Geoffrion真有效解，记为\overline{x}\in E^{\mathrm{G}\mathrm{e}}。

定义3^［3］ 设\overline{x}\in K，若\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\left(f\left(K\right)+{\mathbb{R}}_{+}^m-f\left(\overline{x}\right)\right)\bigcap \left(-\right.\left.{\mathbb{R}}_{+}^m\right)=\left\{\mathrm{0}\right\}，则称\overline{x}为问题（VP）的Benson真有效解，记为\overline{x}\in E^{\mathrm{B}\mathrm{e}}。

引理1^［19］ 设A是{\mathbb{R}}^m中的任意非空子集，则\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\left(A+{\mathbb{R}}_{+}^m\right)\bigcap \left(-{\mathbb{R}}_{+}^m\right)=\left\{\mathrm{0}\right\}当且仅当\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}A\bigcap\left(-{\mathbb{R}}_{+}^m\right)=\left\{\mathrm{0}\right\}。

引理2^［19］ 若x\in E，则E^{\mathrm{B}\mathrm{e}}=E^{\mathrm{G}\mathrm{e}}。设f_i\left(x\right)=\left(a_i^{T}x+{\alpha }_i\right)/\left(b_i^{T}x+{\beta }_i\right)，其中f_i:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}，i\in I=\left\{\mathrm{1},\cdots ,m\right\}，a_i\mathrm{、}b_i\in {\mathbb{R}}^n,{\alpha }_i\mathrm{、}{\beta }_i\in \mathbb{R}，则称f_i\left(x\right)为线性分式函数。

若存在p,n\in \mathbb{N}，矩阵\mathit{C}=\left({c_i}_j\right)\in {\mathbb{R}}^{p\times n}，向量d=\left(d_i\right)\in {\mathbb{R}}^p，K=\left\{x\in {\mathbb{R}}^n:Cx\le d\right\}，则称K为凸多面体。

假设b_i^{\mathrm{T}}x+{\beta }_i>\mathrm{0}，\forall x\in K，\forall i\in I。令f\left(x\right)=\left(f_{\mathrm{1}}\left(x\right),\cdots ,f_m\left(x\right)\right)，且\Omega =\left\{x\in {\mathbb{R}}^n:b_i^{\mathrm{T}}x+{\beta }_i>\mathrm{0},\forall i\in I\right\}。显然，\Omega是开凸集，K\subset \Omega，且f\left(x\right)在\Omega上是连续可微的。

本文考虑下面的线性分式向量优化问题：

\begin{array}{c}\left(\mathrm{L}\mathrm{F}\mathrm{V}\mathrm{O}\mathrm{P}\right)\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}f\left(x\right)\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.x\in K\end{array}

其中f\left(x\right)=\left(f_{\mathrm{1}}\left(x\right),\cdots ,f_m\left(x\right)\right)，f_i\left(·\right)\mathrm{为线}\mathrm{性分}\mathrm{式函}\mathrm{数},i\in I，K为凸多面体。

定义4^［20］ 设X，Y为赋范线性空间，U\subset X是x_{\mathrm{0}}\in X的一个开邻域，f:U\to Y，若存在与x_{\mathrm{0}}有关的连续线性映射\xi \left(x_{\mathrm{0}}\right)\in L\left(X,Y\right)，使得

\underset{h\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{‖f\left(x_{\mathrm{0}}+h\right)-f\left(x_{\mathrm{0}}\right)-\xi \left(x_{\mathrm{0}}\right)\left(h\right)‖}{‖h‖}

存在，则称\xi是f在x_{\mathrm{0}}处的Fréchet导数。

引理3^［21］ 令\phi \left(x\right)=\frac{a_{}^{\mathrm{T}}x+\alpha }{b_{}^{\mathrm{T}}x+\beta }是一个线性分式函数，其中a\mathrm{、}b\in {\mathbb{R}}^n,\alpha \mathrm{、}\beta \in \mathbb{R}。设K_{\mathrm{0}}\subset {\mathbb{R}}^n是任意凸集，满足b^{\mathrm{T}}x+\beta \ne \mathrm{0}，\forall x\in K_{\mathrm{0}}，则对\forall x,y\in K_{\mathrm{0}}，有

，

其中，\nabla \phi \left(x\right)表示函数\phi \left(x\right)在x处的Fréchet导数。

引理4^［19］ 设\overline{x}\in K，若存在u\in T\left(\overline{x},K\right)\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}，使得成立且至少有一个不等式严格成立，则\overline{x}不是问题（LFVOP）的有效解。

2 主要结论

在文献［19］中定理3.1的基础上，将全部假设条件中的回收锥扩大到切锥，提出一个新的关于有效解\overline{x}是Geoffrion真有效解的最优性充分条件。在问题（LFVOP）中，若f_i\left(x\right)=a_i^{\mathrm{T}}x+{\alpha }_i，即b_i=\mathrm{0}且{\beta }_i=\mathrm{1}，则称f_i\left(x\right)=a_i^{\mathrm{T}}x+{\alpha }_i为仿射函数。令I_{\mathrm{1}}=\left\{i\in I:b_i\ne \mathrm{0}\right\}，I_{\mathrm{0}}:=I\backslash I_{\mathrm{1}}。

定理1 假设\overline{x}\in E，若对\forallz\in T\left(\overline{x};K\right)\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}，满足

，

则\overline{x}\in E^{\mathrm{G}\mathrm{e}}。

证明 假设\overline{x}\notin E^{\mathrm{G}\mathrm{e}}，根据引理2可知\overline{x}\notin E^{\mathrm{B}\mathrm{e}}，即\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\left(f\left(K\right)-f\left(\overline{x}\right)+{\mathbb{R}}_{+}^m\right)\bigcap \left(-{\mathbb{R}}_{+}^m\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}\right)\ne \varphi。由引理1可得，\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\left(f\left(K\right)-f\left(\overline{x}\right)\right)\bigcap \left(-{\mathbb{R}}_{+}^m\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}\right)\ne \varphi，则存在v\in {\mathbb{R}}_{+}^m\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}。取序列\left\{x^k\right\}\subset K和正实数序列\left\{t_k\right\}\subset {\mathbb{R}}_{+}\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}，使得

v_i=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left[t_k\left(f_i\left(x^k\right)-f_i\left(\overline{x}\right)\right)\right]\le \mathrm{0}（1）

对\forall i\in I至少有一个不等式严格成立。根据引理3，有

（2）

令v_i^k=t_k\left(f_i\left(x^k\right)-f_i\left(\overline{x}\right)\right)，则v_i=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{v}_i^k。必要时选择\left\{x^k\right\}的子列，考虑以下3种情况：

\begin{array}{l}\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{1}}\right)x^k\to \overline{x},\frac{x^k-\overline{x}}{‖x^k-\overline{x}‖}\to z\in T\left(\overline{x};K\right)\backslash \left\{\mathrm{0}\right\};\\ \left({\mathrm{C}}_{\mathrm{2}}\right)x^k\to \widehat{x}\in K,\widehat{x}\ne \overline{x};\\ \left({\mathrm{C}}_{\mathrm{3}}\right)‖x^k‖\to +\mathrm{\infty },\frac{x^k-\overline{x}}{‖x^k-\overline{x}‖}\to u\in {\mathrm{0}}^{+}K\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}\mathrm{。}\end{array}

对于正实数序列\left\{t_k\right\}，可能出现3种情况：

\begin{array}{l}\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{1}}\right)t_k\left(x^k-\overline{x}\right)\to \mathrm{0};\\ \left({\mathrm{S}}_{\mathrm{2}}\right)t_k\left(x^k-\overline{x}\right)\to \varpi \ne \mathrm{0};\\ \left({\mathrm{S}}_{\mathrm{3}}\right)t_k‖x^k-\overline{x}‖\to +\mathrm{\infty }\mathrm{。}\end{array}

下面讨论以上出现的所有情况。

首先考虑\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{1}}\right)：当\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{1}}\right)-\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{1}}\right)成立且i\in I_{\mathrm{0}}时，由式（1）可知v_i=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left[a_i^{\mathrm{T}}\cdot t_k\left(x^k-\overline{x}\right)\right]=\mathrm{0}；当i\in I_{\mathrm{1}}时，由式（2）得到v_i=\mathrm{0}。综上所述，v_i=\mathrm{0}，\forall i\in I=I_{\mathrm{0}}\bigcup I_{\mathrm{1}}，与v\ne \mathrm{0}矛盾。

当\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{1}}\right)-\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{2}}\right)成立时，假设

{\varpi }_k=t_k\left(x^k-\overline{x}\right)=t_k‖x^k-\overline{x}‖\cdot \frac{x^k-\overline{x}}{‖x^k-\overline{x}‖}=‖{\varpi }^k‖\cdot \frac{x^k-\overline{x}}{‖x^k-\overline{x}‖}，

两边同时取极限，得到\varpi =‖\varpi ‖\cdot z，其中z\in T\left(\overline{x},K\right)\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}。因此\varpi \in T\left(\overline{x},K\right)\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}。当i\in I_{\mathrm{0}}时，由式（1）可知；当i\in I_{\mathrm{1}}时，根据式（2）有

综上所述，，\forall i\in I=I_{\mathrm{0}}\bigcup I_{\mathrm{1}}。由定理1中条件（a）可知，\exists i_{\mathrm{0}}\in I_{\mathrm{1}}，使得，z>\ne \mathrm{0}。根据引理4，\overline{x}不是有效解，矛盾。

当\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{1}}\right)-\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{3}}\right)成立时，由式（2）得到

，

对\forall i\in I都成立，与定理1中条件（a）矛盾。

其次考虑\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{2}}\right)：当\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{2}}\right)-\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{1}}\right)成立且i_{\mathrm{0}}\in I时，，则\mathrm{0}>v_{i_{\mathrm{0}}}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left[t_k\left(f_{i_{\mathrm{0}}}\left(x^k\right)-f_{i_{\mathrm{0}}}\left(\overline{x}\right)\right)\right]。同时，\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(f_{i_{\mathrm{0}}}\left(x^k\right)-f_{i_{\mathrm{0}}}\left(\overline{x}\right)\right)=f_{i_{\mathrm{0}}}\left(\widehat{x}\right)-f_{i_{\mathrm{0}}}\left(\overline{x}\right)。因此t_k\to \mathrm{0}是不可能的。

当\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{2}}\right)-\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{2}}\right)成立时，必要时取正实数序列\left\{t_k\right\}的子列\left\{t_{k_i}\right\}\to \overline{t}，使得v_i=\overline{t}\left(f_i\left(\widehat{x}\right)-f_i\left(\overline{x}\right)\right)\le \mathrm{0}，至少有一个不等式严格成立。因此，f_i\left(x^k\right)-f_i\left(\overline{x}\right)\le \mathrm{0}，至少有一个不等式严格成立。根据引理4，\overline{x}不是有效解，矛盾。

当\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{2}}\right)-\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{3}}\right)成立时，至少存在一个\left\{t_k\right\}的子列\left\{t_{k_i}\right\}\to +\mathrm{\infty }。令{\lambda }_k=\frac{\mathrm{1}}{t_k‖x^k-\overline{x}‖}，显然{\lambda }_k\to \mathrm{0}。假设u^k=x^k-\overline{x}，u^k\to u。因此，\overline{x}+{\lambda }_k{u}^k=\overline{x}+{\lambda }_k\left(x^k-\overline{x}\right)={\lambda }_k{x}^k+\left(\mathrm{1}-{\lambda }_k\right)\overline{x}\in K。当任意k充分大时，满足切锥的定义，因此\widehat{x}-\overline{x}\in T\left(\overline{x};K\right)\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}。根据定理1中条件（a）可知，\exists i_{\mathrm{1}}\in I_{\mathrm{1}}，因此，由式（2）可知v_{i_{\mathrm{1}}}\le \mathrm{0}。又因为

，

因此，\left\{t_k\right\}的任何子列t_{k_i}\to +\mathrm{\infty }是不可能的，进一步t_k\to +\mathrm{\infty }是不可能的。

最后考虑\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{3}}\right)：当\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{3}}\right)-\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{1}}\right)成立且i\in I_{\mathrm{0}}时，由式（1）得到v_i=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left[a_i^{\mathrm{T}}\cdot t_k\left(x^k-\overline{x}\right)\right]=\mathrm{0}；当i\in I_{\mathrm{1}}时，有

（3）

综上所述，v_i=\mathrm{0}，\forall i\in I=I_{\mathrm{0}}\bigcup I_{\mathrm{1}}，与v\ne \mathrm{0}矛盾。

当\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{3}}\right)-\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{2}}\right)成立且I_{\mathrm{0}}=\varphi时，I_{\mathrm{1}}=I。由于t_k\left(x^k-\overline{x}\right)\to \varpi \ne \mathrm{0}，则t_k\frac{x^k-\overline{x}}{‖x^k-\overline{x}‖}\to \mathrm{0}。因此，

v_i=\mathrm{0}与v\ne \mathrm{0}矛盾。当I_{\mathrm{0}}\ne \varphi时，由于t_k\left(x^k-\overline{x}\right)\to \varpi \ne \mathrm{0}，令

{\varpi }^k=t_k\left(x^k-\overline{x}\right)=t_k\cdot ‖x^k-\overline{x}‖\cdot \frac{x^k-\overline{x}}{‖x^k-\overline{x}‖}=‖{\varpi }^k‖\cdot \frac{x^k-\overline{x}}{‖x^k-\overline{x}‖}，

两边同时取极限得到\varpi =‖\varpi ‖\cdot z，其中z\in {\mathrm{0}}^{+}K\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}\subset T\left(\overline{x};K\right)\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}。由于锥的定义，且‖\varpi ‖>\mathrm{0}，则\varpi \in {\mathrm{0}}^{+}K\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}\subset T\left(\overline{x};K\right)\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}。因此，根据式（3），有v_i=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left[a_i^{\mathrm{T}}\cdot t_k\left(x^k-\overline{x}\right)\right]=a_i^{\mathrm{T}}\varpi \le \mathrm{0}，与定理1中条件（b）矛盾。

当\left({\mathrm{C}}_{\mathrm{3}}\right)-\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{3}}\right)成立且I_{\mathrm{0}}=\varphi时，I_{\mathrm{1}}=I。分3种情况讨论\left\{t_k\right\}：

i） t_k\to \mathrm{0}，由式（3）得

，

v_i=\mathrm{0}与v\ne \mathrm{0}矛盾。

ii） t_k\to \overline{t}>\mathrm{0}，根据式（3），得到

由定理1中条件（c）可知，\exists i_{\mathrm{0}}\in I_{\mathrm{1}}，使得。根据引理4，\overline{x}不是有效解，矛盾。

iii） t_k\to +\mathrm{\infty }，根据式（3），得到

与定理1中条件（a）矛盾。当I_{\mathrm{0}}\ne \varphi时，\exists i_{\mathrm{0}}\in I_{\mathrm{0}}，有

\mathrm{0}=\frac{v_i}{t_k‖x^k-\overline{x}‖}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{a_i^{\mathrm{T}}\left(x^k-\overline{x}\right)}{‖x^k-\overline{x}‖}=a_i^{\mathrm{T}}z，

与定理1中条件（b）矛盾。证毕。

下面给出例子对本文的结论进行说明。

例1 考虑多目标优化问题^［16］

\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}f\left(x\right)=\left(f_{\mathrm{1}}\left(x\right),f_{\mathrm{2}}\left(x\right)\right)\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.x\in K\end{array}

其中，f_{\mathrm{1}}\left(x\right)=x^{-\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}}\left(x\right)=x,K=\left\{x\in \mathbb{R}:x\ge \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right\}。该问题的有效解集为E=\left.\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},+\mathrm{\infty }\right.\right)。由文献［16］可知E^{\mathrm{G}\mathrm{e}}=E，不妨取\overline{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\in E，此时{\mathrm{0}}^{+}K=T\left(\overline{x};K\right)={\mathbb{R}}_{+}。根据目标函数可以计算得到，\nabla f_{\mathrm{1}}\left(\overline{x}\right)=-\mathrm{4}，\nabla f_{\mathrm{2}}\left(\overline{x}\right)=\mathrm{1}，b_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，a_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}。因此，对于\forall z\in T\left(\overline{x};K\right)\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}，都有

，

因此\overline{x}\in E^{\mathrm{G}\mathrm{e}}。

以下例子从反面验证了如果不满足本文定理的假设条件，则有效解就不是Geoffrion真有效解。

例2 考虑多目标优化问题^［16］

\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}f\left(x\right)=\left(f_{\mathrm{1}}\left(x\right),f_{\mathrm{2}}\left(x\right)\right)\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.x\in K\end{array}

其中，

f_{\mathrm{1}}\left(x\right)=-x_{\mathrm{2}},f_{\mathrm{2}}\left(x\right)=\frac{x_{\mathrm{2}}}{x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+\mathrm{1}},K=\left\{x=\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\right)\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}:x_{\mathrm{1}}\ge \mathrm{0},x_{\mathrm{2}}\ge \mathrm{0}\right\}。

该问题的有效解集为E=\left\{\left(x_{\mathrm{1}},\mathrm{0}\right):x_{\mathrm{1}}\ge \mathrm{0}\right\}。由文献［16］可知E^{\mathrm{G}\mathrm{e}}=\varphi，不妨取\overline{x}=\left({\overline{x}}_{\mathrm{1}},\mathrm{0}\right)\in E，其中{\overline{x}}_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}。此时T\left(\overline{x};K\right)=\left\{z=\left(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}}\right)\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}:z_{\mathrm{1}}\in \mathbb{R},z_{\mathrm{2}}\ge \mathrm{0}\right\}。根据目标函数可以计算得到，\nabla f_{\mathrm{1}}\left(\overline{x}\right)={\left(\mathrm{0},-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{T}}，\nabla f_{\mathrm{2}}\left(\overline{x}\right)={\left(\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{{\overline{x}}_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{T}}，a_{\mathrm{1}}={\left(\mathrm{0},-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{T}}，b_{\mathrm{2}}={\left(\mathrm{1,1}\right)}^{\mathrm{T}}。取z={\left(-\mathrm{1,0}\right)}^{\mathrm{T}}\in T\left(\overline{x};K\right)\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}，显然z\notin {\mathrm{0}}^{+}K\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}。此时有

，

不满足定理1中的条件（a）、（b）和（c）。

例3 考虑多目标优化问题^［16］

\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}f\left(x\right)=\left(f_{\mathrm{1}}\left(x\right),f_{\mathrm{2}}\left(x\right),f_{\mathrm{3}}\left(x\right)\right)\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.x\in K\end{array}

其中，

f_{\mathrm{1}}\left(x\right)=-x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}},f_{\mathrm{2}}\left(x\right)=\frac{x_{\mathrm{2}}}{x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}+\mathrm{1}},f_{\mathrm{3}}\left(x\right)=x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}}，

。

由文献［16］可知E^{\mathrm{G}\mathrm{e}}=\varphi。此时{\mathrm{0}}^{+}K={\mathbb{R}}_{+}^{\mathrm{2}}，T\left(\overline{x};K\right)={\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}。根据目标函数可以计算得到，a_{\mathrm{1}}={\left(-\mathrm{1},-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{T}}，a_{\mathrm{3}}={\left(\mathrm{1},-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{T}}。取z={\left(-\mathrm{1,1}\right)}^{\mathrm{T}}\in T\left(\overline{x};K\right)\backslash \left\{\mathrm{0}\right\}，则有

，

不满足定理1中条件（b）。

3 小结

本文基于文献［19］中定理3.1所给出的有效解是Geoffrion真有效解的充分条件，将假设条件的成立范围从回收锥扩大到切锥，从而建立了一个新的Geoffrion真有效解的最优性充分条件。围绕线性分式向量优化问题的Geoffrion非真有效解，还有其他问题有待进一步研究，比如文献［18］中关于非真有效解必要条件的成立范围是否也可以考虑进一步扩大到整个切锥。

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基金资助

国家自然科学基金项目(12461057)

国家自然科学基金项目(11601248)

内蒙古自然科学基金项目(2024MS01011)

内蒙古自然科学基金项目(2025MS01027)