算子方程AXA=BX=XAX的可解性

Solvability of Operator Equation AXA=BX=XAX

摘要

设A和B是作用在Hilbert空间\mathrm{\mathscr{H}}上的有界线性算子。首先给出算子方程AXA=BX=XAX的可解性与B的非平凡不变子空间的关系，再利用\mathrm{*}-偏序和不变子空间等方法研究算子方程AXA=BX=XAX的幂等解的存在性。

Abstract

Let A and B be bounded linear operators on a Hilbert space \mathrm{\mathscr{H}}.Firstly， the relationship between the solvability of operator equation AXA=BX=XAX and the nontrivial invariant subspace of B is given.Then， the existence of idempotent solutions of operator equation AXA=BX=XAX is studied by using *-partial order， invariant subspace， and other methods.

关键词

算子方程 / 不变子空间 / 幂等算子

Key words

operator equation / invariant subspace / idempotent operator

算子方程本质上是对有限维矩阵方程进行无穷维空间拓展的结果，已成为现代算子理论研究体系的重要组成部分。在工程力学^［1-5］和流体力学^［6-13］等领域的实际问题中，控制方程多数以微分方程的形式呈现，且都可以转化为非线性算子方程。由于非线性算子方程求解过程比较困难，探索其解的存在性与具体表达式已成为现代数学研究的重点课题，具有重要的理论价值与应用价值。

1954年，Aronszajn等^［14］利用非平凡不变子空间讨论了算子方程XAX=AX解的存在性。在此基础上，Holbrook等^［15］根据A在其任意不变子空间的限制具有稠值域，给出了XAX=AX具有幂等解的充要条件。2003年，An等^［16］借助A的不变子空间给出了XAX=AX解的具体表达式。随着算子方程的不断发展，许多学者开始研究算子方程XAX=BX，即Riccati方程XAX+XC-BX-D=\mathrm{0}的特殊形式。2022年，Wang等^［17］利用\mathrm{*}-偏序和非平凡不变子空间给出了算子方程XAX=BX存在非零解的充要条件。此外，Wang等^［18］基于上述方法给出了XAX=BX解的表示。Deng等^［19］根据值域的包含关系和非平凡不变子空间，研究了XAX=BX解或幂等解存在的条件并给出了其通解的新表示。更多关于XAX=BX的内容见文献［20-21］，但关于算子方程AXA=BX=XAX的研究，目前还没有文献涉及。

本文主要研究算子方程

AXA=BX=XAX

的可解性，其中A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)和B\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)是已知的。首先给出了算子方程AXA=BX=XAX的可解性与B的非平凡不变子空间的关系，再借助\mathrm{*}-偏序、单射和不变子空间等方法研究算子方程AXA=BX=XAX的幂等解的存在性。

1 预备知识

设\mathrm{\mathscr{H}}表示可分的无穷维复Hilbert空间，\mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)表示\mathrm{\mathscr{H}}到\mathrm{\mathscr{H}}的有界线性算子构成的全体。对任意算子A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)，A^{\mathrm{*}}、\mathrm{𝒩}\left(A\right)和\mathrm{ℛ}\left(A\right)分别表示A的共轭、零空间和值域。\overline{\mathrm{ℛ}\left(A\right)}是\mathrm{ℛ}\left(A\right)的闭包。若\mathrm{𝒩}\left(A\right)=\left\{\mathrm{0}\right\}，则称A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)是单射。设A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)，\mathrm{ℳ}\subseteq \mathrm{\mathscr{H}}。A在子空间\mathrm{ℳ}的限制用A\left|{}_{\mathrm{ℳ}}\right.表示，并且A\left|{}_{\mathrm{ℳ}}\right.表示\mathrm{ℳ}到\mathrm{ℳ}的算子。容易发现，对\mathrm{\mathscr{H}}的闭子空间\mathrm{ℳ}，用P_{\mathrm{ℳ}}表示\mathrm{ℳ}上的正交投影。如果A^{\mathrm{2}}=A，则称A是幂等算子。

定义1^［22］ 设A是从线性空间\mathrm{𝒳}到\mathrm{𝒴}的线性算子。集合

\mathrm{ℛ}(A)=\left\{Ax:x\in \mathrm{𝒳}\right\}

称为A的值域，集合

\mathrm{𝒩}(A)=\left\{x\in \mathrm{𝒳}:Ax=\mathrm{0}\right\}

称为A的零空间。

注：设A是\mathrm{𝒳}上的线性算子，则\left\{\mathrm{0}\right\}=\mathrm{𝒩}(A^{\mathrm{0}})\subset \mathrm{𝒩}(A)\subset \mathrm{𝒩}(A^{\mathrm{2}})\subset \cdots。

定义2^［23］ 设A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)，M是\mathrm{\mathscr{H}}的闭线性子空间。若x\in M，有Ax\in M，即AM\subseteq M，则称M是A的一个不变子空间。若M不等于\mathrm{\mathscr{H}}和\left\{\mathrm{0}\right\}，则称M是A的一个非平凡不变子空间。

定义3^［24］ 设A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)和B\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)。A和B的\mathrm{*}-偏序A\stackrel{\mathrm{*}}{\le }B表示为

A{A}^{\mathrm{*}}=B{A}^{\mathrm{*}}，A^{\mathrm{*}}A=A^{\mathrm{*}}B，

其中，左\mathrm{*}-偏序A\mathrm{*}\le B表示为A^{\mathrm{*}}A=A^{\mathrm{*}}B，且\mathrm{ℛ}\left(A\right)\subseteq \mathrm{ℛ}\left(B\right)；右\mathrm{*}-偏序A\le \mathrm{*}B表示为A{A}^{\mathrm{*}}=B{A}^{\mathrm{*}}，且\mathrm{ℛ}\left(A^{\mathrm{*}}\right)\subseteq \mathrm{ℛ}\left(B^{\mathrm{*}}\right)。

引理1^［25］ 设A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)和B\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)，有下列陈述成立。

① A\mathrm{*}\le B可以推出A=P_{\overline{\mathrm{ℛ}\left(A\right)}}B，A\le \mathrm{*}B可以推出A=B{P}_{\overline{\mathrm{ℛ}\left(A^{\mathrm{*}}\right)}}；

② A\stackrel{\mathrm{*}}{\le }B可以推出\mathrm{ℛ}\left(A\right)\subseteq \mathrm{ℛ}\left(B\right)，\mathrm{ℛ}\left(A^{\mathrm{*}}\right)\subseteq \mathrm{ℛ}\left(B^{\mathrm{*}}\right)；

③ A\stackrel{\mathrm{*}}{\le }B可以推出A=P_{\overline{\mathrm{ℛ}\left(A\right)}}B=B{P}_{\overline{\mathrm{ℛ}\left(A^{\mathrm{*}}\right)}}；

④ A\stackrel{\mathrm{*}}{\le }B可以推出A\mathrm{*}\le B且A\le \mathrm{*}B。

引理2^［26］ 设A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)和B\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)，且B\mathrm{*}\le A。如果算子方程XAX=BX的解X满足\mathrm{ℛ}\left(X\right)\subseteq\overline{\mathrm{ℛ}\left(B^{\mathrm{*}}\right)}，则算子方程XAX=BX的解也是算子方程XAX=AX的解。此外，如果A在其任意不变子空间的限制具有稠值域，则XAX=BX的解是幂等的。

引理3^［17］ 设A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)和B\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)，且A\mathrm{*}\le B。如果B对其不变子空间的限制具有稠值域，则算子方程XAX=BX的解X满足X{P}_{\overline{\mathrm{ℛ}\left(A\right)}}X=X。此外，如果\mathrm{ℛ}\left(X\right)\subseteq \overline{\mathrm{ℛ}\left(A\right)}，则XAX=BX的解是幂等的。

2 主要结果及证明

定理1 设A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)和B\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)。如果AXA=BX=XAX有非零解X_{\mathrm{0}}，且B^{\mathrm{2}}\ne A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}，则\mathrm{𝒩}\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)是B的非平凡不变子空间。

证明 先证\mathrm{𝒩}\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)是非平凡子空间。设X_{\mathrm{0}}\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)是AXA=BX=XAX的非零解，B^{\mathrm{2}}\ne A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}，则

\mathrm{𝒩}\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)\ne \left\{\mathrm{0}\right\}， \mathrm{𝒩}\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)\ne \mathrm{\mathscr{H}}。

事实上，若\mathrm{𝒩}\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)=\left\{\mathrm{0}\right\}，则\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)X_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}等价于X_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}，这与已知条件矛盾。若\mathrm{𝒩}\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{\mathscr{H}}，可得B^{\mathrm{2}}=A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}，这也与已知条件矛盾。

再证\mathrm{𝒩}\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)是B的不变子空间。任取x\in \mathrm{𝒩}\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)，则A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}x=B^{\mathrm{2}}x。注意到A{X}_{\mathrm{0}}A=B{X}_{\mathrm{0}}=X_{\mathrm{0}}A{X}_{\mathrm{0}}，因此

A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}{X}_{\mathrm{0}}=B{X}_{\mathrm{0}}A{X}_{\mathrm{0}}=B^{\mathrm{2}}{X}_{\mathrm{0}}=BA{X}_{\mathrm{0}}A，

从而

\begin{array}{l}\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)Bx=A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}Bx-B{B}^{\mathrm{2}}x\\ =A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}{X}_{\mathrm{0}}Ax-BA{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}x\\ =\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}{X}_{\mathrm{0}}-BA{X}_{\mathrm{0}}A\right)Ax\\ =\mathrm{0},\end{array}

即

Bx\in \mathrm{𝒩}\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)，

所以，\mathrm{𝒩}\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)是B的非平凡不变子空间。

定理2设A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)和B\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)。如果AXA=BX=XAX有非零解X_{\mathrm{0}}，且B^{\mathrm{2}}\ne A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}，则对于任意的正整数n，有B^{\mathrm{2}}\mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^{n+\mathrm{1}}\right)\subseteq \mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^n\right)，且\mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^n\right)是B^{\mathrm{2}}的不变子空间。

证明 由数学归纳法可证。任取n\ge \mathrm{1}，

{\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}\right)}^{n+\mathrm{1}}={\left(B^{\mathrm{2}}\right)}^{n}A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}，

从而

{\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^{n+\mathrm{1}}={\left(-\mathrm{1}\right)}^n\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right){\left(B^{\mathrm{2}}\right)}^n（1）

下面证任意x\in \mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^{n+\mathrm{1}}\right)，有B^{\mathrm{2}}x\in \mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^n\right)。若x\in \mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^{n+\mathrm{1}}\right)，则{\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^{n+\mathrm{1}}x=\mathrm{0}。根据式（1）可知

{\left(-\mathrm{1}\right)}^n\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right){\left(B^{\mathrm{2}}\right)}^{n}x=\mathrm{0}，

即\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)B^{\mathrm{2}n}x=\mathrm{0}，从而

\begin{array}{l}{\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^n{B}^{\mathrm{2}}x={\left(-\mathrm{1}\right)}^{n-\mathrm{1}}\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)B^{\mathrm{2}n-\mathrm{2}}{B}^{\mathrm{2}}x\\ ={\left(-\mathrm{1}\right)}^{n-\mathrm{1}}\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)B^{\mathrm{2}n}x\\ =\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

故

B^{\mathrm{2}}\mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^{n+\mathrm{1}}\right)\subseteq \mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^n\right)。

又因为

\mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^n\right)\subseteq \mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^{n+\mathrm{1}}\right)，

所以

B^{\mathrm{2}}\mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^{n+\mathrm{1}}\right)\subseteq \mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^n\right)\subseteq \mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^{n+\mathrm{1}}\right)。

因此，任取正整数n，\mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}\right)}^n\right)是B^{\mathrm{2}}的不变子空间。

推论1 设A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)。如果AXA=AX=XAX有非零解X_{\mathrm{0}}，则\mathrm{𝒩}\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-A^{\mathrm{2}}\right)是A的非平凡不变子空间。此外，对于任意的正整数n，有A^{\mathrm{2}}\mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-A^{\mathrm{2}}\right)}^{n+\mathrm{1}}\right)\subseteq \mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-A^{\mathrm{2}}\right)}^n\right)，且\mathrm{𝒩}\left({\left(A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}-A^{\mathrm{2}}\right)}^n\right)是A^{\mathrm{2}}的不变子空间。

定理3 设A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)和B\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)。如果B\le \mathrm{*}A，且AXA=BX=XAX的解X_{\mathrm{0}}满足\mathrm{ℛ}\left(X_{\mathrm{0}}\right)\subseteq\overline{\mathrm{ℛ}\left(B^{\mathrm{*}}\right)}，则X_{\mathrm{0}}是AXA=AX=XAX的解。此外，如果A在其任意不变子空间的限制具有稠值域，A是单射，则AXA=BX=XAX的解是幂等的，并且此幂等解与A可交换。

证明 根据引理2可知，X_{\mathrm{0}}A{X}_{\mathrm{0}}=A{X}_{\mathrm{0}}。由于A{X}_{\mathrm{0}}A=X_{\mathrm{0}}A{X}_{\mathrm{0}}，则A{X}_{\mathrm{0}}A=A{X}_{\mathrm{0}}=X_{\mathrm{0}}A{X}_{\mathrm{0}}。因此X_{\mathrm{0}}是AXA=AX=XAX的解。因为A{X}_{\mathrm{0}}=X_{\mathrm{0}}A{X}_{\mathrm{0}}，所以

\left(I-X_{\mathrm{0}}\right)A{X}_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}，

且A\overline{\mathrm{ℛ}\left(X_{\mathrm{0}}\right)}\subseteq \overline{\mathrm{ℛ}\left(X_{\mathrm{0}}\right)}，因此\overline{\mathrm{ℛ}\left(X_{\mathrm{0}}\right)}是A的不变子空间。如果A在其任意不变子空间的限制具有稠值域，则\overline{\mathrm{ℛ}\left(A{X}_{\mathrm{0}}\right)}=\overline{\mathrm{ℛ}\left(X_{\mathrm{0}}\right)}。结合\left(I-X_{\mathrm{0}}\right)A{X}_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}可知

\left(I-X_{\mathrm{0}}\right)X_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}，

即X_{\mathrm{0}}={X_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}。又因为A{X}_{\mathrm{0}}=A{X}_{\mathrm{0}}A，所以A{X}_{\mathrm{0}}\left(A-I\right)=\mathrm{0}。由于A是单射，从而

X_{\mathrm{0}}\left(A-I\right)=\mathrm{0}，

即X_{\mathrm{0}}A=X_{\mathrm{0}}，结合X_{\mathrm{0}}A{X}_{\mathrm{0}}=A{X}_{\mathrm{0}}及{X_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}=X_{\mathrm{0}}可知

X_{\mathrm{0}}A=A{X}_{\mathrm{0}}。

故AXA=BX=XAX的解是幂等的，并且此幂等解与A可交换。

命题1 设A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)和B\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)，若AXB=B=BXA与AXA=BX=XAX有公共解X_{\mathrm{0}}，则下列条件成立。

① 若B是单射，则X_{\mathrm{0}}A与X_{\mathrm{0}}可交换；

② 若B是单射，X_{\mathrm{0}}与B可交换，则A与X_{\mathrm{0}}A可交换。

证明 由于AXB=B=BXA与AXA=BX=XAX有公共解X_{\mathrm{0}}，则A{X}_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}=A{X}_{\mathrm{0}}B，即A{X}_{\mathrm{0}}\left(A^{\mathrm{2}}-B\right)=\mathrm{0}，进而B{X}_{\mathrm{0}}\left(A^{\mathrm{2}}-B\right)=\mathrm{0}。

① 如果B是单射，由B{X}_{\mathrm{0}}\left(A^{\mathrm{2}}-B\right)=\mathrm{0}推出X_{\mathrm{0}}\left(A^{\mathrm{2}}-B\right)=\mathrm{0}，即X_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}=X_{\mathrm{0}}B，进而X_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}{X}_{\mathrm{0}}=X_{\mathrm{0}}B{X}_{\mathrm{0}}，因此X_{\mathrm{0}}A(A{X}_{\mathrm{0}}-X_{\mathrm{0}}A)=\mathrm{0}。结合A{X}_{\mathrm{0}}A=B{X}_{\mathrm{0}}可知，B{X}_{\mathrm{0}}(A{X}_{\mathrm{0}}-X_{\mathrm{0}}A)=\mathrm{0}。再由B的单射性可知，X_{\mathrm{0}}(A{X}_{\mathrm{0}}-X_{\mathrm{0}}A)=\mathrm{0}，故X_{\mathrm{0}}A与X_{\mathrm{0}}可交换。

② 若X_{\mathrm{0}}与B可交换，即X_{\mathrm{0}}B=B{X}_{\mathrm{0}}，从条件①可知X_{\mathrm{0}}B=X_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}。由于B{X}_{\mathrm{0}}=A{X}_{\mathrm{0}}A，则X_{\mathrm{0}}{A}^{\mathrm{2}}=A{X}_{\mathrm{0}}A。因此A与X_{\mathrm{0}}A可交换。

此外，若AXB=B=BXA与AXA=BX=XAX有单射的公共解X_{\mathrm{0}}，根据条件①可知，X_{\mathrm{0}}\left(A^{\mathrm{2}}-B\right)=\mathrm{0}，则B=A^{\mathrm{2}}。

推论2 设A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)，若方程AXA=A=AX=XAX有公共解X_{\mathrm{0}}，则A是幂等算子，且X_{\mathrm{0}}与A可交换。

证明 由于方程AXA=A=AX=XAX有公共解X_{\mathrm{0}}，则A{X}_{\mathrm{0}}A=A=A{X}_{\mathrm{0}}=X_{\mathrm{0}}A{X}_{\mathrm{0}}。注意到A{X}_{\mathrm{0}}=A，故A=A^{\mathrm{2}}，因此A是幂等算子。结合A{X}_{\mathrm{0}}=A可知

X_{\mathrm{0}}A{X}_{\mathrm{0}}=X_{\mathrm{0}}A，

即X_{\mathrm{0}}A=A{X}_{\mathrm{0}}，从而X_{\mathrm{0}}与A可交换。

定理4 设A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)和B\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)，如果A\mathrm{*}\le B，A是单射，并且B对其不变子空间的限制具有稠值域，则AXA=BX=XAX的解X满足XA=X=X{P}_{\overline{\mathrm{ℛ}\left(A\right)}}X。此外，如果\mathrm{ℛ}\left(X\right)\subseteq \overline{\mathrm{ℛ}\left(A\right)}，则AXA=BX=XAX的解是幂等的，并且此幂等解与A可交换。

证明 由引理3可知，算子方程XAX=BX的解X满足X{P}_{\overline{\mathrm{ℛ}\left(A\right)}}X=X。若AXA=BX，结合A\mathrm{*}\le B和引理1可知

P_{\overline{\mathrm{ℛ}\left(A\right)}}BXA=BX\mathrm{。}

故P_{\overline{\mathrm{ℛ}\left(A\right)}}BX(A-I)=\mathrm{0}，即

AX\left(A-I\right)=\mathrm{0}。

因为A是单射，所以X\left(A-I\right)=\mathrm{0}。故AXA=BX=XAX的解满足

XA=X=X{P}_{\overline{\mathrm{ℛ}\left(A\right)}}X。

此外，若\mathrm{ℛ}\left(X\right)\subseteq \overline{\mathrm{ℛ}\left(A\right)}，则XA=X=X^{\mathrm{2}}。因为XAX=BX，所以B\overline{\mathrm{ℛ}\left(X\right)}\subseteq \overline{\mathrm{ℛ}\left(X\right)}，即\overline{\mathrm{ℛ}\left(X\right)}是B的不变子空间。由B对其不变子空间的限制具有稠值域可知，\overline{\mathrm{ℛ}\left(BX\right)}=\overline{\mathrm{ℛ}\left(X\right)}，从而AX=P_{\overline{\mathrm{ℛ}\left(A\right)}}BX=P_{\overline{\mathrm{ℛ}\left(A\right)}}X=X，即AX=XA。因此AXA=BX=XAX的解是幂等的，并且此幂等解与A可交换。

定理5 设A\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)，B\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)和X\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{\mathscr{H}}\right)，如果B\stackrel{\mathrm{*}}{\le }A，\overline{\mathrm{ℛ}\left(BX\right)}=\overline{\mathrm{ℛ}\left(X\right)}，\overline{\mathrm{ℛ}\left(B^{\mathrm{*}}\right)}=\overline{\mathrm{ℛ}\left(B\right)}，A是单射，则XABX=BX=ABXA当且仅当XAX=X=AXA。

证明 必要性。由于XABX=BX，则\left(XA-I\right)BX=\mathrm{0}。根据\overline{\mathrm{ℛ}\left(BX\right)}=\overline{\mathrm{ℛ}\left(X\right)}可知

\left(XA-I\right)\left|{}_{\overline{\mathrm{ℛ}\left(BX\right)}}\right.=\left(XA-I\right)\left|{}_{\overline{\mathrm{ℛ}\left(X\right)}}\right.=\mathrm{0}，

从而XAX=X。注意到B\stackrel{\mathrm{*}}{\le }A，利用引理1得B=A{P}_{\overline{\mathrm{ℛ}(B^{\mathrm{*}})}}。结合BX=ABXA可知

A{P}_{\overline{\mathrm{ℛ}(B^{\mathrm{*}})}}X=AA{P}_{\overline{\mathrm{ℛ}(B^{\mathrm{*}})}}XA。

因为\overline{\mathrm{ℛ}\left(BX\right)}\subseteq \overline{\mathrm{ℛ}\left(B\right)}，所以\overline{\mathrm{ℛ}\left(X\right)}\subseteq \overline{\mathrm{ℛ}\left(B^{\mathrm{*}}\right)}。故AX=A^{\mathrm{2}}XA，即

A\left(X-AXA\right)=\mathrm{0}，

从而

\mathrm{ℛ}\left(X-AXA\right)\subseteq \mathrm{𝒩}\left(A\right)。

又因为A的单射性可知X=AXA。因此，XAX=X=AXA。

充分性。因为XAX=X，故\left(XA-I\right)X=\mathrm{0}，由\overline{\mathrm{ℛ}\left(BX\right)}=\overline{\mathrm{ℛ}\left(X\right)}推得

\left(XA-I\right)BX=\mathrm{0}，

即XABX=BX。因为X=AXA，所以P_{\overline{\mathrm{ℛ}(B)}}X=P_{\overline{\mathrm{ℛ}(B)}}AXA。注意到B=P_{\overline{\mathrm{ℛ}(B)}}A，且\overline{\mathrm{ℛ}\left(B^{\mathrm{*}}\right)}=\overline{\mathrm{ℛ}\left(B\right)}，故

ABXA=A{P}_{\overline{\mathrm{ℛ}\left(B\right)}}AXA，BX=A{P}_{\overline{\mathrm{ℛ}(B^{\mathrm{*}})}}X=A{P}_{\overline{\mathrm{ℛ}(B)}}X，

所以BX=ABXA。因此，XABX=BX=ABXA。

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基金资助

内蒙古自治区自然科学基金项目(2020ZD01)

内蒙古自治区自然科学基金项目(2024QN01003)

无穷维哈密顿系统及其算法应用教育部重点实验室开放课题(2023KFZD01)

内蒙古自治区高校创新团队发展计划项目(NMGIRT2317)

内蒙古自治区一流学科科研专项(YLXKZX-NSD-017)