二阶上三角关系矩阵的左（右）Weyl性

Left （Right） Weyl Properties for Second-Order Upper Triangular Relation Matrices

摘要

设\mathrm{𝒳}和\mathrm{𝒴}均为Banach空间。对给定关系A\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒳})和B\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒴})，记二阶上三角关系矩阵M_X=\left[\begin{array}{l}A\\ \mathrm{0}\end{array}\right.\left.\begin{array}{l}X\\ B\end{array}\right]\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{𝒴})，其中X\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{𝒴},\mathrm{𝒳})。利用关系分块技巧给出存在X\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{𝒴},\mathrm{𝒳})使得M_X是左（右）Weyl关系的充分必要条件。

Abstract

Let \mathrm{𝒳} and \mathrm{𝒴} be Banach spaces.For given the relations A\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒳}) and B\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒴})， the second-order upper triangular relation matrix is denoted by M_X=\left[\begin{array}{l}A\\ \mathrm{0}\end{array}\right.\left.\begin{array}{l}X\\ B\end{array}\right]\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{𝒴})， where X\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{𝒴},\mathrm{𝒳}).The necessary and sufficient conditions are given for M_X to be left （right） Weyl linear relation for some X\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{𝒴},\mathrm{𝒳})， based on the block relation technique.

关键词

关系矩阵 / 左 Weyl关系 / 右Weyl关系 / 上三角关系矩阵

Key words

relation matrix / left Weyl relation / right Weyl relation / upper triangular relation matrix

在经典的算子理论研究中，一般要求算子是单值的，但是随着多位学者对算子理论的深入研究，经典的算子理论不再适用，于是一些学者开始研究线性关系。多值线性算子和单值线性算子统称为线性关系，故线性关系可看作线性算子在多值情形下的推广，它是在文献［1］研究非稠定微分算子的共轭时首次被引入的。线性关系矩阵是指以线性关系为元素的矩阵，简称关系矩阵。

近三十年来，上三角（缺项）算子矩阵的Fredholm补和Weyl补问题成为了比较活跃的研究课题。文献［2］研究了Hilbert空间中二阶上三角算子矩阵的Fredholm性和Weyl性；文献［3］研究了Hilbert空间中二阶上三角算子矩阵为（α，β）-Fredholm算子的充分必要条件；文献［4］研究了在Hilbert空间中当二阶上三角算子矩阵中未知算子为自伴算子时的Fredholm性；文献［5］研究了Banach空间中二阶上三角算子矩阵的Fredholm性和Weyl性。

近十年来，许多学者开始研究上三角（缺项）关系矩阵的谱补问题。文献［6］研究了Hilbert空间中上三角关系矩阵的左（右）Fredholm补问题。文献［7-8］研究了Hilbert空间中二阶上三角算子矩阵的本质谱性质。在此基础上，文献［9］进一步研究了Hilbert空间中一类三阶上三角关系矩阵的Fredholm性和Weyl性。在已有的研究结论中，尚未见针对Banach空间中二阶上三角关系矩阵Fredholm性和Weyl性的研究，本文主要研究Banach空间中二阶上三角关系矩阵的左Weyl性和右Weyl性。

下面给出本文的记号和基本概念。

设\mathrm{𝒳}和\mathrm{𝒴}均为Banach空间，关系T:\mathrm{𝒳}\to \mathrm{𝒴}是一个映射，它将非空子集D(T)\subseteq \mathrm{𝒳}（即T的定义域）中的元素映射为\mathrm{𝒴}的某个非空子集。若关系T满足对任意的x_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{x}_{\mathrm{2}}\in D(T)及不全为零的标量{\lambda }_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\lambda }_{\mathrm{2}}都有T({\lambda }_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}})={\lambda }_{\mathrm{1}}T(x_{\mathrm{1}})+{\lambda }_{\mathrm{2}}T(x_{\mathrm{2}})，则称T为线性关系。若T\in \mathrm{ℒ}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒴}\right)且则称T是有界线性关系。记\mathrm{ℒ}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒴}\right)为所有从\mathrm{𝒳}到\mathrm{𝒴}且定义域D(T)为全空间\mathrm{𝒳}的线性关系，\mathrm{ℒ}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)可简记为\mathrm{ℒ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒳})。另外，记\mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒴}\right)、\mathrm{𝒞}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒴}\right)和\mathrm{ℬ}\mathrm{𝒞}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒴}\right)分别为所有从\mathrm{𝒳}到\mathrm{𝒴}的有界线性关系、闭线性关系和有界闭线性关系构成的集合。相应地，\mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)、\mathrm{𝒞}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)和\mathrm{ℬ}\mathrm{𝒞}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)可简记为\mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒳})、\mathrm{𝒞}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒳})和\mathrm{ℬ}\mathrm{𝒞}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒳})。此外，定义T\in \mathrm{ℒ}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒴}\right)的图为G(T)=\{(u,v)\in \mathrm{𝒳}\oplus\mathrm{𝒴}:u\in D(T),v\in T(u)\}。设子空间M\subseteq D(T)，定义T{|}_M\in \mathrm{ℒ}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒴}\right)为G(T{|}_M)=\{(x,y)\in \mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{𝒴}:y\in Tx+M\}确定的线性关系。另外，定义T(\mathrm{0})=\{y|(\mathrm{0},y)\in G(T)\}。若Q_T为从\mathrm{𝒴}到\mathrm{𝒴}/\overline{T(\mathrm{0})}的商映射，则Q_{T}T是单值的，并且对任意的x\in \mathrm{𝒳}，定义‖Tx‖=‖Q_{T}Tx‖，且定义T的范数为‖T‖=‖Q_{T}T‖。若它的图G(T)是\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{𝒴}的闭子空间，则称T是闭的。

设\mathrm{ℳ}是Banach空间\mathrm{𝒳}的闭子空间，若存在另一闭子空间\mathrm{𝒩}\subseteq \mathrm{𝒳}，使得\mathrm{ℳ}+\mathrm{𝒩}=\mathrm{𝒳}且\mathrm{ℳ}\bigcap\mathrm{𝒩}=\{\mathrm{0}\}，则称\mathrm{ℳ}在\mathrm{𝒳}中拓扑可补，简称可补，记为\mathrm{𝒳}=\mathrm{ℳ}\oplus \mathrm{𝒩}。设\mathrm{ℳ}\mathrm{、}\mathrm{𝒩}是Banach空间\mathrm{𝒳}的子空间，若存在有限维子空间\mathrm{ℱ}\subset \mathrm{𝒳}使得\mathrm{ℳ}\subset \mathrm{𝒩}+\mathrm{ℱ}，则\mathrm{ℳ}本质包含于\mathrm{𝒩}，记为\mathrm{ℳ}{\subset }_e\mathrm{𝒩}。

设T\in \mathrm{ℒ}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒴}\right)，用\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T=\{x\in D(T):Tx=T(\mathrm{0})\}\mathrm{和}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}T=T(D(T))分别表示关系T的零空间和值域，记\alpha (T)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T，\beta (T)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(\mathrm{𝒴}/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}T)。若\alpha (T)和\beta (T)之一有限，则定义T的指标为i(T)=\alpha (T)-\beta (T)。设T\in \mathrm{ℬ}\mathrm{𝒞}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒴}\right)且\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}T是闭的。若，\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}T在\mathrm{𝒴}中可补，则称T是左Fredholm关系；若，\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T在\mathrm{𝒳}中可补，则称T是右Fredholm关系；若且，则称T是Fredholm关系^［10］。若T是左Fredholm关系且i(T)\le \mathrm{0}，则称T是左Weyl关系；若T是右Fredholm关系且i(T)\ge \mathrm{0}，则称T是右Weyl关系；若T是Fredholm关系且i(T)=\mathrm{0}，则称T是Weyl关系^［11］。若\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T在\mathrm{𝒳}中可补，则用{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T}表示\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T在\mathrm{𝒳}中的补子空间。若\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}T和T(\mathrm{0})在\mathrm{𝒴}中可补，用{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}T}和{\mathrm{𝒪}}_{T(\mathrm{0})}分别表示\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}T和T(\mathrm{0})在\mathrm{𝒴}中的补子空间。

1 辅助引理

引理1^［12］ 设T\in \mathrm{ℒ}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒴}\right)，则

（i） 若T连续，并且D(T)和T(\mathrm{0})都是闭的，则T是闭的；

（ii） T闭当且仅当Q_{T}T闭且T(\mathrm{0})是闭的。

引理2 设A\in \mathrm{ℒ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒳})，B\in \mathrm{ℒ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒴})，X\in \mathrm{ℒ}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒴}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)为给定关系，则

Q_{M_X}{M}_X=\left[\begin{array}{cc}{Q}_{\left(AX\right)}A& Q_{\left(AX\right)}X\\ \mathrm{0}& Q_{B}B\end{array}\right]（1）

根据文献［6］中命题2.1可证。

引理3 设A\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒳})，B\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒴})，X\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒴}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)为给定关系，则M_X是闭的当且仅当A(\mathrm{0})+X(\mathrm{0})和B(\mathrm{0})都是闭的。

证明 充分性。设A(\mathrm{0})+X(\mathrm{0})和B(\mathrm{0})都是闭的，则M_X(\mathrm{0})是闭的，由引理1中（ii）可知，只需证明Q_{M_X}{M}_X是闭的。显然，Q_{M_X}{M}_X是一个单值关系，由引理2可知式（1）成立。因为A是定义在全空间上的有界关系，所以，进而，即Q_{\left(A\left.X\right)\right.}A是有界的。类似地，Q_{B}B是有界的。因此Q_{M_X}{M}_X是定义在全空间上的有界算子，显然Q_{M_X}{M}_X是闭的。

必要性。由M_X的闭性及引理3可知，M_X(\mathrm{0})是闭的，因此A(\mathrm{0})+X(\mathrm{0})和B(\mathrm{0})都是闭的。

引理4^［13］ 设T\in \mathrm{ℬ}\mathrm{𝒞}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒴}\right)，则

（i） T是左Fredholm关系，则Q_{T}T是左Fredholm关系。反之，Q_{T}T是左Fredholm关系且T(\mathrm{0})在\mathrm{𝒴}中可补，则T是左Fredholm关系；

（ii） T是右Fredholm关系当且仅当Q_{T}T是右Fredholm关系。

引理5^［11］ 设T\in \mathrm{ℒ}\mathrm{𝒞}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒴}\right)，则\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}T是闭的当且仅当\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}Q_{T}T是闭的。在这种情况下，\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}Q_{T}T且\beta (T)=\beta (Q_{T}T)。

引理6^［14］ 设T\in \mathrm{ℒ}\mathrm{ℛ}\left(\mathrm{𝒳}\right.,\left.\mathrm{𝒴}\right)且U\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{𝒴})，V\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{𝒳})均可逆，则

（i） \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(UT)闭当且仅当\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}T闭；

（ii） \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(TV)闭当且仅当\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}T闭。

引理7^［5］ 设A\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{𝒳})，B\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{𝒴})，X\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{𝒴}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)为给定算子，则

（i） 若M_X是左Fredholm算子，则A是左Fredholm算子；

（ii） 若M_X是右Fredholm算子，则B是右Fredholm算子。

引理8^［15］ 设\mathrm{ℳ}是Banach空间\mathrm{𝒳}的线性子空间，则有如下结论：

（i） 若\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{ℳ}，则\mathrm{ℳ}在\mathrm{𝒳}中拓扑可补；

（ii） 若\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{𝒳}/\mathrm{ℳ}，则\mathrm{ℳ}在\mathrm{𝒳}中拓扑可补。

引理9^［13］ 设\mathrm{ℳ},\mathrm{𝒩}是Banach空间\mathrm{𝒳}的闭子空间且满足\mathrm{𝒩}\subset \mathrm{ℳ}。若\mathrm{ℳ}/\mathrm{𝒩}和\mathrm{𝒩}分别在\mathrm{𝒳}/\mathrm{𝒩}和\mathrm{𝒳}中可补，则\mathrm{ℳ}在\mathrm{𝒳}中可补。

引理10^［12］ 设\mathrm{ℳ}是Banach空间\mathrm{𝒳}的一个闭子空间。若存在\mathrm{𝒳}的一个子空间\mathrm{𝒩}\subseteq \mathrm{ℳ}，则\mathrm{𝒩}是闭的当且仅当\mathrm{𝒩}/\mathrm{ℳ}是闭的。

2 主要结果及证明

定理1 设A\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒳}),B\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒴})为给定关系。若A(\mathrm{0})在\mathrm{𝒳}中可补，则存在X\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{𝒴}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)使得M_X是左Weyl关系当且仅当下列条件成立：

（i） A是左Fredholm关系；

（ii） B(\mathrm{0})闭；

（iii） 存在J\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{𝒴},{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A})使得\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])在{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A}\oplus \mathrm{𝒴}中可补，\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])在\mathrm{𝒴}中可补且\mathrm{𝒴}{\subset }_e{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])}，并且满足i(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])\le -\alpha (A)。

证明 充分性。设条件（i）（ii）（iii）成立。因为A是左Fredholm关系，所以A是闭的，，\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A是闭的且在\mathrm{𝒳}中可补。由A的闭性及引理1可得A(\mathrm{0})是闭的，结合B(\mathrm{0})的闭性及引理3可知，对任意的X\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{𝒴}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)使得M_X是闭的。

注意到\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A是闭的且在\mathrm{𝒳}中可补，则\mathrm{𝒳}有分解式\mathrm{𝒳}=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A\oplus {\mathit{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A}，

因此

A=\left[\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}\end{array}\right]:\mathrm{𝒳}\to \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A\oplus {\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A}。

定义

X=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ J\end{array}\right]:\mathrm{𝒴}\to \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A\oplus {\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A}，

其中，J\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{𝒴},{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A})是条件（iii）中的J。M_X作为从\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{𝒴}到\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A\oplus {\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A}\oplus \mathrm{𝒴}的关系矩阵具有以下分块形式

M_X=\left[\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& J\\ \mathrm{0}& B\end{array}\right]。

由\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A的闭性可知A_{\mathrm{1}}是满的，结合\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])在{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A}\oplus \mathrm{𝒴}中可补，得到\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{M}_X=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A\oplus \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])是闭的且在\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{𝒴}中可补。又由\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])在\mathrm{𝒴}中可补且\mathrm{𝒴}{\subset }_e{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])}，则存在\mathrm{𝒴}的有限维子空间\mathrm{ℱ}\subset \mathrm{𝒴}使得\mathrm{𝒴}={\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])}+\mathrm{ℱ}。显然，存在子空间\widetilde{\mathrm{ℱ}}\subset \mathrm{ℱ}使得\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])\subset \mathrm{𝒴}={\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])}\oplus \widetilde{\mathrm{ℱ}}，则\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])是有限维空间，即，故\alpha (M_X)=。因此，M_X是左Fredholm关系。另外，因为

\begin{array}{l}\beta (M_X)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{𝒴})/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{M}_X\\ =\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A\oplus {\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A}\oplus \mathrm{𝒴})/(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A\oplus \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right]))\\ =\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}({\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A}\oplus \mathrm{𝒴})/\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])=\beta (\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right]),\end{array}

结合i(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])\le -\alpha (A)可得，i(M_X)\le \alpha (A)+\alpha (\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])-\beta (\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])=\alpha (A)+i(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])\le \mathrm{0}。综上，M_X是左Weyl关系。

必要性。假设存在X\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{𝒴}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)使得M_X是左Weyl关系，则M_X一定是左Fredholm关系。注意到X\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{𝒴}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)，根据引理2和引理4得

Q_{M_X}{M}_X=\left[\begin{array}{cc}{Q}_{\left(AX\right)}A& Q_{\left(AX\right)}X\\ \mathrm{0}& Q_{B}B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Q}_{A}A& Q_{A}X\\ \mathrm{0}& Q_{B}B\end{array}\right]:\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{𝒴}\to (\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{𝒴})/M_X(\mathrm{0})

是左Fredholm关系。因为A(\mathrm{0})在\mathrm{𝒳}中可补，则A(\mathrm{0})是闭的，结合A的有界性，由引理1可知A是闭的。又因为Q_{M_X}{M}_X的左Fredholm性，根据引理7可得Q_{A}A是左Fredholm算子，这意味着，所以。为证明定理1中条件（i），只需证\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A是闭的且在\mathrm{𝒳}中可补。事实上，由于Q_{A}A是左Fredholm算子，则\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{Q}_{A}A是闭的且可补。注意到\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{Q}_{A}A=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A/\overline{A(\mathrm{0})}，由\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{Q}_{A}A的闭性，结合A(\mathrm{0})是闭的，根据引理10可得\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A是闭的。又由\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{Q}_{A}A的可补性，结合\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A是闭的，A(\mathrm{0})在\mathrm{𝒳}中可补，根据引理9可得\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A在\mathrm{𝒳}中可补，综上条件（i）成立。因为M_X是左Fredholm关系，所以M_X是闭的，由引理3可得B(\mathrm{0})是闭的，即条件（ii）成立。

注意到\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A在\mathrm{𝒳}中可补，故\mathrm{𝒳}有分解形式\mathrm{𝒳}=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A\oplus {\mathit{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A}，则M_X作为从\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{𝒴}到\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A\oplus{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A}\oplus \mathrm{𝒴}的关系矩阵可写成如下分块形式

M_X=\left[\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{1}}& X_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}& X_{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& B\end{array}\right]\mathrm{。}

由\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A的闭性可知A_{\mathrm{1}}是满的，取J=X_{\mathrm{2}}，显然\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{M}_X=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A\oplus \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])，故\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])在{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A}\oplus \mathrm{𝒴}中可补。假设\alpha (\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])=\mathrm{\infty }，此时，对任意x\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}J都有Jx\subseteq \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A，则存在x_{\mathrm{0}}\in \mathrm{𝒳}使得A_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{0}}\bigcap Jx\ne \mathrm{\varnothing }，即\mathrm{0}\in A_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{0}}-Jx，进而(x_{\mathrm{0}}{-x)}^{\mathrm{T}}\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}{M}_X。因为\alpha (\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])=\mathrm{\infty }，所以\alpha (M_X)=\mathrm{\infty }，这与M_X的Fredholm性矛盾，因此成立。注意到B(\mathrm{0})是闭的，根据引理3可得\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right]是闭的。因此，列关系\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right]是左Fredholm关系。另外，M_X可因式分解成如下形式

M_X=\left[\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& J\\ \mathrm{0}& B\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I& X_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right]。

容易证明\left[\begin{array}{cc}I& X_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right]是可逆的，从而。由M_X的右Weyl性可知

\alpha (A)+\alpha (\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])-\beta (\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])=\alpha (M_X)-\beta (M_X)=i(M_X)\le \mathrm{0}，

即i(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])\le -\alpha (A)，综上条件（iii）成立。

注 由于Hilbert空间是特殊的Banach空间，因此，本文定理1的结论可推导到Hilbert空间（见文献［16］中的定理3.1.17）。

推论1 设A\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒳}),B\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒴})为给定关系。若A(\mathrm{0})在\mathrm{𝒳}中可补，则存在X\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{𝒴}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)使得M_X是左Weyl关系当且仅当下列条件成立：

（i） A是左Fredholm关系；

（ii） B(\mathrm{0})闭；

（iii） 存在J\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{𝒴},{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A})使得列关系\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right]是左Fredholm关系且满足i(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])\le -\alpha (A)。

证明 充分性。设条件（i）（ii）（iii）成立。若存在J\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{𝒴},{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A})使得列关系\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right]是左Fredholm关系，则\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])在{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A}\oplus \mathrm{𝒴}中可补，，即\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])在\mathrm{𝒴}中可补且\mathrm{𝒴}{\subset }_e{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])}，结合i(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])\le -\alpha (A)，由定理1可得结论成立。

必要性。假设存在X\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{𝒴}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)使得M_X是左Weyl关系，由定理1可得A是左Fredholm关系，B(\mathrm{0})闭，即条件（i）和（ii）成立。另外，存在J\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{𝒴},{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A})使得\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])在{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}A}\oplus \mathrm{𝒴}中可补，\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])在\mathrm{𝒴}中可补且\mathrm{𝒴}{\subset }_e{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])}，并且满足i(\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right])\le -\alpha (A)。注意到B(\mathrm{0})是闭的，根据引理3可得\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right]是闭的。因此，列关系\left[\begin{array}{c}J\\ B\end{array}\right]是左Fredholm关系，综上条件（iii）成立。

定理2 设A\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒳}),B\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒴})为给定关系。若B(\mathrm{0})在\mathrm{𝒴}中可补，则存在X\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{𝒴}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)使得M_X是右Weyl关系当且仅当下列条件成立：

（i） B是右Fredholm关系；

（ii） A(\mathrm{0})闭；

（iii） 存在S\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B,\mathrm{𝒳})使得\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])在\mathrm{𝒳}中可补且\mathrm{𝒳}{\subset }_e\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])，\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])在\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B中可补且满足i(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])\ge -i(B)。

证明 充分性。设条件（i）（ii）（iii）成立。因为B是右Fredholm关系，所以B是闭的，\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B是闭的，且\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B在\mathrm{𝒴}中可补。由B的闭性及引理1可得B(\mathrm{0})是闭的，结合A(\mathrm{0})的闭性及引理3可知，对任意的X\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{𝒴}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)使得M_X是闭的。

注意到，所以\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B在\mathrm{𝒴}中可补，结合\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B在\mathrm{𝒴}中可补，故\mathrm{𝒴}有如下分解形式

\mathrm{𝒴}={\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B}\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B，\mathrm{𝒴}=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B\oplus {\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B}。

定义

X=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{0}& S\end{array}\right]:{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B}\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B\to \mathrm{𝒳}，

其中S\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B,\mathrm{𝒳})是条件（iii）中的S。M_X作为从\mathrm{𝒳}\oplus {\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B}\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B到\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B\oplus {\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B}的关系矩阵具有以下分块形式

M_X=\left[\begin{array}{ccc}A& \mathrm{0}& S\\ \mathrm{0}& B_{\mathrm{1}}& B-B\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]。

因为\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])在\mathrm{𝒳}中可补，即\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])是闭的，所以\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{M}_X=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])\oplus \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B是闭的。又因为\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])在\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B中可补，所以\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}{M}_X=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B在\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{𝒴}中可补。由于\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])在\mathrm{𝒳}中可补且\mathrm{𝒳}{\subset }_e\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])，故存在\mathrm{𝒳}的有限维子空间\mathrm{ℱ}使得\mathrm{𝒳}\subset \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])+\mathrm{ℱ}。显然存在子空间\widetilde{\mathrm{ℱ}}\subset \mathrm{ℱ}使得{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])}\subset \mathrm{𝒳}=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])\oplus \widetilde{\mathrm{ℱ}}。因此{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])}是有限维空间，即，进而

，

因此，M_X是右Fredholm关系。另外，因为i(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])\ge -i(B)，则

i(M_X)=\alpha (M_X)-\beta (M_X)=\alpha (\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])-\beta (\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])+\alpha (B)-\beta (B)=i(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])+i(B)\ge \mathrm{0}。

综上，M_X是右Weyl关系。

必要性。假设存在X\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{𝒴}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)使得M_X是右Weyl关系，则M_X一定是右Fredholm关系。注意到X\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{𝒴}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)，根据引理2和引理4得

Q_{M_X}{M}_X=\left[\begin{array}{cc}{Q}_{A}A& Q_{A}X\\ \mathrm{0}& Q_{B}B\end{array}\right]:\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{𝒴}\to (\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{𝒴})/M_X(\mathrm{0})

是右Fredholm关系。因为B(\mathrm{0})是闭的，结合B的有界性，根据引理1可知B是闭的。又因为Q_{M_X}{M}_X的右Fredholm性，由引理7可得Q_{B}B是右Fredholm算子，这意味着\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{Q}_{B}B是闭的，且\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}{Q}_{B}B在\mathrm{𝒴}中可补。由\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}{Q}_{B}B的闭性，结合引理5可得，\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B是闭的。在这种情况下，\beta (B)=\beta (Q_{B}B)且\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}{Q}_{B}B成立。因此，且\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B在\mathrm{𝒴}中可补。综上，B是右Fredholm关系，故条件（i）成立。注意到M_X是右Fredholm关系，所以M_X是闭的，由引理3可知A(\mathrm{0})是闭的，故条件（ii）成立。

注意到，\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B在\mathrm{𝒴}中可补，\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B和B(\mathrm{0})在\mathrm{𝒴}中可补。事实上，\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B=(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B\bigcap {\mathrm{𝒪}}_{B(\mathrm{0})})\oplusB(\mathrm{0})。因为B(\mathrm{0})\subset \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B，\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B\bigcap {\mathrm{𝒪}}_{B(\mathrm{0})}\subset \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B，显然(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B\bigcap {\mathrm{𝒪}}_{B(\mathrm{0})})\oplus B(\mathrm{0})\subset\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B。另一方面，对任意的x\in \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B，存在x_{\mathrm{1}}\in {\mathrm{𝒪}}_{B(\mathrm{0})},x_{\mathrm{2}}\in B(\mathrm{0})，使得x=x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}，进而x_{\mathrm{1}}=(x-x_{\mathrm{2}})\in \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B，故x_{\mathrm{1}}\in \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B\bigcap {\mathrm{𝒪}}_{B(\mathrm{0})}，因此\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B\subset(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B\bigcap {\mathrm{𝒪}}_{B(\mathrm{0})})\oplus B(\mathrm{0})，进而\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B=(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B\bigcap {\mathrm{𝒪}}_{B(\mathrm{0})})\oplus B(\mathrm{0})成立，则\mathrm{𝒴}有如下分解形式

\mathrm{𝒴}={\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B}\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B，\mathrm{𝒴}=(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B\bigcap {\mathrm{𝒪}}_{B(\mathrm{0})})\oplus B(\mathrm{0})\oplus {\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B}。

M_X作为从\mathrm{𝒳}\oplus {\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B}\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B到\mathrm{𝒳}\oplus (\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B\bigcap {\mathrm{𝒪}}_{B(\mathrm{0})})\oplus B(\mathrm{0})\oplus {\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B}的关系具有以下分块矩阵形式

M_X=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{\mathrm{1}}& X_{\mathrm{1}}& X_{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& B_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& B-B& B-B\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]。

由于

B_{\left|{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B}\right.}={\left[\begin{array}{ccc}{B}_{\mathrm{1}}& B-B& \mathrm{0}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}:{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B}\to (\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B\bigcap {\mathrm{𝒪}}_{B(\mathrm{0})})\oplus B(\mathrm{0})\oplus {\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B}，

显然算子B_{\mathrm{1}}是单值的。另外，对任意的y\in \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B\bigcap {\mathrm{𝒪}}_{B(\mathrm{0})}，存在x\in \mathrm{𝒴}使得y\in Bx。令x_{\mathrm{1}}\in {\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B},x_{\mathrm{2}}\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B满足x=x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}}，则y\in B(x_{\mathrm{1}}+x_{\mathrm{2}})=B_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}+B(\mathrm{0})=B{x}_{\mathrm{1}}，进而y=B_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}}，即B_{\mathrm{1}}是满的，这意味着算子B_{\mathrm{1}}是可逆的。因此，存在可逆算子U\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{𝒳}\oplus (\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B\bigcap {\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{B}(\mathrm{0})})\oplus B(\mathrm{0})\oplus {\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B})使得

U{M}_X=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}& X_{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& B_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& B-B& B-B\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]。

取S=X_{\mathrm{2}}，显然\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(U{M}_X)=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])\oplus \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}B。因此，由M_X的右Fredholm性可得，即\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])在\mathrm{𝒳}中可补且{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])}是有限维子空间，进而\mathrm{𝒳}\subset \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])+{\mathrm{𝒪}}_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])}，即\mathrm{𝒳}{\subset }_e\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])。又因为\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(U{M}_X)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B，结合M_X的右Fredholm性，所以\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])在\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B中可补。另外，由M_X的右Weyl性可知

i(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])+i(B)=\alpha (\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])-\beta (\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])+\alpha (B)-\beta (B)=\alpha (M_X)-\beta (M_X)=i(M_X)\ge \mathrm{0}，

即i(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])\ge -i(B)，综上条件（iii）成立。

注 由于Hilbert空间是特殊的Banach空间，因此，本文定理2的结论可推导到Hilbert空间（见文献［16］中的定理3.1.20）。

推论2 设A\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒳}),B\in \mathrm{ℬ}\mathrm{ℛ}(\mathrm{𝒴})为给定关系。若B(\mathrm{0})在\mathrm{𝒴}中可补，则存在X\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{𝒴}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)使得M_X是右Weyl关系当且仅当下列条件成立：

（i） B是右Fredholm关系；

（ii） A(\mathrm{0})闭；

（iii） 存在S\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B,\mathrm{𝒳})使得行关系\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right]是右Fredholm关系且满足i(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])\ge -i(B)。

证明 充分性。设条件（i）（ii）（iii）成立。若存在S\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B,\mathrm{𝒳})使得行关系\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right]是右Fredholm关系，则\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])是闭的，\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])在\mathrm{𝒳}\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B中可补，，则\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])在\mathrm{𝒳}中可补且\mathrm{𝒳}{\subset }_e\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])，结合i(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])\ge -i(B)，由定理2可得结论成立。

必要性。假设存在X\in \mathrm{ℬ}\left(\mathrm{𝒴}\right.,\left.\mathrm{𝒳}\right)使得M_X是右Weyl关系，由定理2可得B是右Fredholm关系，A(\mathrm{0})是闭的，即条件（i）和（ii）成立。另外，存在S\in \mathrm{ℬ}(\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B,\mathrm{𝒳})使得行关系\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right]是右Fredholm关系并且满足i(\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right])\ge -i(B)。注意到A(\mathrm{0})是闭的，根据引理3可得行关系\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right]是闭的。因此，行关系\left[\begin{array}{cc}A& S\end{array}\right]是右Weyl关系，综上条件（iii）成立。

参考文献

[1] VON NEUMANN J.Functional operator Ⅱ：The geometry of orthogonal spaces［M］.Princeton：Princeton University Press，1951.

[2] CAO X H， GUO M Z， MENG B.Semi-Fredholm spectrum and Weyl's theorem for operator matrices［J］.Acta Mathematica Sinica，2006，22（1）：169-178.

[3] 海国君，阿拉坦仓.上三角算子矩阵的（α，β）-本质谱［J］.数学学报，2014，57（3）：569-580.

[4] 吴秀峰，黄俊杰，阿拉坦仓.上三角算子矩阵的左（右）本质谱的自伴扰动［J］.数学学报，2022，65（3）：423-434.

[5] LIU A C， HUANG J J， CHEN A.Right and left weyl operator matrices in a Banach space setting［J］.Journal of Mathematics，2021：9959364（2021-06-01）［2025-02-01］.

[6] ELLEUCH S， MNIF M.Essential approximate point spectra for upper triangular matrix of linear relations［J］.Acta Mathematica Scientia，2013，33（4）：1187-1201.

[7] HUANG J J， DU Y Y， HUO R.Fredholm properties of upper triangular matrices of relations［J］.Advances in Operator Theory，2023，8（3）：44.

[8] DU Y Y， HUANG J J.Spectral property of upper triangular relation matrices［J］.Linear and Multilinear Algebra，2022，70（8）：1526-1542.

[9] 董淑婷，吴秀峰.一类三阶上三角关系矩阵的Fredholm性和Weyl性［J］.内蒙古大学学报（自然科学版），2024，55（5）：459-469.

[10] ÁLVAREZ T.Left-right Browder linear relations and Riesz perturbations［J］.Acta Mathematica Scientia，2017，37（5）：1437-1452.

[11] ÁLVAREZ T.On the perturbation of semi-Fredholm relations with complemented ranges and null spaces［J］.Acta Mathematica Sinica（English Series），2010，26：1545-1554.

[12] CROSS R.Multivalued linear operators［M］.New York：Marcel Dekker，1998.

[13] ÁLVAREZ T， CHAMKHA Y， MNIF M.Left-and right-atkinson linear relation matrices［J］.Mediterranean Journal of Mathematics，2016，13（4）：2039-2059.

[14] MÜLLER V.Spectral theory of linear operators and spectral systems in Banach algebras［M］.Basel：Birkhäuser Verlag，2003.

[15] 王玉文.巴拿赫空间中算子广义逆理论及其应用［M］.北京：科学出版社，2005.

[16] 杜燕燕.线性关系矩阵的谱性质［D］.呼和浩特：内蒙古大学，2021.

基金资助

内蒙古自治区自然科学基金项目(2022LHMS01003)

内蒙古自治区自然科学基金项目(2023QN01013)

内蒙古自治区自然科学基金项目(2024ZD21)

内蒙古自治区高等学校青年科技英才项目(NJYT22029)

内蒙古自治区一流学科科研专项(YLXKZX-NSD-011)

内蒙古自治区一流学科科研专项(NYLXKZX-NSD-001)