减振橡胶材料本构模型及其应用研究进展

Research progress in constitutive models and application of vibration-reduction rubber materials

摘要

橡胶材料具备优异的减振、隔声和缓冲功能，以橡胶和金属为原材料设计制造的减振器广泛应用于航空、航天、兵器和船舶等领域。然而，由于采用实验指导设计的方式具有高昂的成本，因此引入有限元仿真以更好地服务于橡胶减振器的设计与优化，显著降低成本。橡胶材料具有高度非线性的特征，建立合适的本构模型来描述橡胶材料的力学特性是有限元分析的重点及难点问题。本文总结了减振用橡胶材料的超弹性和黏弹性的经典本构模型，并结合橡胶材料本身的发展所产生的变化，分析评述其适用性及合理性。通过有限元对橡胶减振器动静刚度、谐振和冲击等问题的分析实例，展示不同本构模型在有限元分析中的应用及计算的准确性。最后指出橡胶材料本构模型的创新和有限元建模的发展方向，如通过对有限元软件的二次开发实现新型本构模型的仿真应用，考虑环境因素和工程实际对本构模型与有限元理论进行创新，探究材料配方和本构模型之间的内在联系等。

Abstract

Rubber materials have excellent vibration reduction， sound insulation， and buffering functions. Shock absorbers designed and manufactured with rubber and metal as raw materials are widely used in fields such as aviation， aerospace， weapons， and ships. However， it is costly to adopt the method of test-guided design. Finite element simulation can reduce the cost significantly， so that the design and optimization of rubber shock absorbers can be better conducted. Rubber materials are highly nonlinear， so it is a key and difficult problem in finite element analysis to establish a proper constitutive model to describe the mechanical properties. The classical constitutive models of hyperelasticity and viscoelasticity of rubber materials are summarized， and their applicability and rationality are analyzed and reviewed in combination with the changes caused by the development of rubber materials. The application of different constitutive models in finite element analysis and the accuracy of calculation are demonstrated by analyzing the dynamic and static stiffness， resonance and shock of rubber shock absorbers. Finally， it is pointed out that the innovation of rubber material constitutive model and the development direction of finite element modeling， such as the realization of the simulation application of new constitutive model through the secondary development of finite element software， the innovation of constitutive model and finite element theory considering environmental factors and engineering practice， and the exploration of the internal relationship between material formula and constitutive model.

Graphical abstract

关键词

橡胶减振器 / 本构模型 / 超弹性 / 黏弹性 / 有限元

Key words

rubber shock absorber / constitutive model / hyperelasticity / viscoelasticity / finite element

橡胶材料的力学性能介于弹性固体和黏性液体之间，具有黏弹性特性，同时橡胶材料具有大变形特性，表现出超弹特性，具备优异的减振、隔声和缓冲功能。与金属制成的橡胶弹性元件具有非线性刚度、多向刚度特性，可以承受工作环境下来自轴向、径向、扭转、偏移等多向复杂的荷载、动载作用和瞬时冲击^［1］，因此橡胶减振器在航空、航天、车辆、铁道、船舶、兵器等领域有着广泛应用。目前，根据不同的使用条件和需求，北京航空材料研究院股份有限公司研发设计了典型橡胶减振器如JZA与JZB型橡胶减振器、JZQ型三向等刚度减振器、JZP和JZC型高抗冲型减振器、JZJ剪切减振器和JZT橡胶减振垫等，如图1所示。

常用于制备减振器的橡胶类型有丁基橡胶、天然橡胶、硅橡胶和氯丁橡胶等。近年来，学者们对于橡胶材料的性质展开了深入研究。涂春潮等^［2］研究发现，用于惯性导航减振器的氟硅橡胶材料高温阻尼性能较好，100 ℃下的损耗因子可以达到0.3。郭瑞毅等^［3］对不同填料含量橡胶制成的橡胶试样进行测试，结果表明对于减振器而言，随着填料使用量的增大，任意轴向的谐振频率和放大倍数均增大。添加剂对橡胶性质的影响也成为近年来的研究热点，在SE2155阻尼硅橡胶（含白炭黑的混炼胶）复合材料中加入石墨或铜粉，结果表明当石墨或铜粉用量不超过20份时，加入填料对SE2155阻尼硅橡胶材料的性能影响较小^［4-5］。采用石墨烯取代部分炭黑，当炭黑与石墨烯联用质量比为15∶2.5和20∶2时，胶料动静刚度比较低，且胶料具有良好的力学性能、耐磨性以及耐老化性^［6］。文华银等^［7］研究表明采用沉淀法以白炭黑T36-5作为增强材料的三元乙丙橡胶基体，其模量和黏度显著提升。米志安等^［8］对硅橡胶进行分子尺度改性，结果表明乙烯基含量为15%（质量分数）、烷基氢硅烷与乙烯基摩尔比为3∶1时， 硅橡胶表现出最佳的阻尼性能。

由于橡胶减振器所处的工作环境复杂、荷载情况多变且实验成本高昂，引入有限元仿真可以简化设计流程、降低实验成本，从而更好地服务于橡胶减振器的设计与优化。目前，有限元仿真可结合实际工程，模拟分析橡胶减振器的诸多性能，如动静刚度、谐振响应和抗冲击等。然而由于橡胶材料本身的非线性特征，选取合适的本构模型是有限元分析的重点及难点问题。目前，学者们普遍采用超弹性本构模型分析预测大的非线性弹性行为，采用黏弹性模型分析预测与时间相关的响应。随着材料及理论计算的不断发展，多种超弹性和黏弹性模型已经被提出，在实际中需要根据材料本身性质及应用情况合理选择。

本文梳理了适用于减振橡胶材料的超弹性和黏弹性本构模型，介绍其作用机理及数学表达，并对不同模型的适用性加以分析。阐述了不同本构模型在有限元分析中的应用情况以及典型工程问题的分析效果。最后总结剖析当前研究面临的问题与挑战，并展望未来的发展方向及前景。橡胶本构模型及应用示意图如图2所示。

1 超弹性模型

橡胶材料的弹性变形具有非线性特征，采用应力-应变函数表达较为复杂，目前常用应变能密度函数来表征其超弹性性质，主要分为两大类：微观网络力学模型和基于连续介质理论的唯象理论模型。

1.1 微观网络力学模型

微观网络力学理论认为：橡胶材料由高分子链聚集而成，大量高分子链纠缠形成立体网络，分子链网络在变形过程中呈现出橡胶分子链特有的柔顺性，宏观上表现为橡胶的超弹性^［9］，是与熵有关的模型。假设分子链由N个长度为l的刚梁组成^［10］。分子链在完全伸长时的理想最大长度r_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=Nl。利用统计力学理论，无应力未变形分子链的平均端到端的长度r=\sqrt[]{N}l，聚合物链的端到端距离r的分布由高斯概率分布函数给出，如式（1）所示^［11］：

P\left(r\right)=\mathrm{4}\mathrm{\pi }{\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }N{l}^{\mathrm{2}}}\right)}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}}{r}^{\mathrm{2}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{\mathrm{3}{r}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}N{l}^{\mathrm{2}}}\right)（1）

式（1）仅仅对r\ll Nl的小变形有效，当发生r\simeq Nl的大变形时，采用非高斯理论来描述应力和伸长率的关系。Langevin方程可以描述分子链的有限伸长及其相对应的力值关系，如式（2）所示^［11］：

F=\frac{k\theta }{l}{\mathrm{L}}^{-\mathrm{1}}\left(\frac{r}{Nl}\right)=\frac{k\theta }{l}{\mathrm{L}}^{-\mathrm{1}}\frac{\lambda }{\sqrt[]{N}}（2）

式中：k为玻尔兹曼常数；\theta为绝对温度；{\mathrm{L}}^{-\mathrm{1}}为Langevin函数的反函数；λ为伸长率。

为了建立基于微观网络力学的本构模型，需要一个具有代表性的网络结构将单个聚合物链的链拉伸与应变联系起来。目前有限元中常用的模型有Arruda-Boyce模型和Van der Waals模型。

1.1.1 Arruda-Boyce模型

Arruda-Boyce模型^［12］也被称为八链模型，假设有八个弹性体从一个体积元素的中心散发到它的角落，一般变形状态下，八条链被均匀拉伸，伸长量能够直接被第一应变不变量表征，因此Arruda-Boyce模型主要由第一应变不变量确定，其应变能密度函数如式（3）所示：

U=\mu {\sum }_{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{5}}\frac{C_i}{{\lambda }_m^{\mathrm{2}i-m}}\left({\overline{I}}_{\mathrm{1}}^i-{\mathrm{3}}^i\right)+\frac{\mathrm{1}}{D}(\frac{J_{\mathrm{e}\mathrm{l}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-ln{J}_{el})（3）

式中：U为应变能密度；\mu为初始剪切模量；{\lambda }_m为锁闭伸长率；{\overline{I}}_{\mathrm{1}}为第一应变不变量；D为表征体积变形行为的材料参数；J_{\mathrm{e}\mathrm{l}}为弹性体积率；C_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}，C_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}，C_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{1050}}，C_{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{19}}{\mathrm{7000}}，C_{\mathrm{5}}=\frac{\mathrm{519}}{\mathrm{673750}}。

研究表明，在仅有单轴拉伸数据的情况下，优先选用Arruda-Boyce模型^［13］。雍占福等^［14］研究表明在三元乙丙橡胶的应变超过280%的情况下，Arruda-Boyce模型具有最优的拟合效果。Ghoreishy等^［15］以苯乙烯丁二烯橡胶和天然橡胶为基料，50 phr炭黑为增强剂的胶料作为研究对象，通过单轴拉伸数据确定Arruda-Boyce模型参数，并以其为基础提出四参数加权的衰减函数，用来表征材料的超黏弹性特征。Yang等^［16］以三元乙丙橡胶和硅橡胶为研究对象，分析研究初始几何缺陷对单轴拉伸变形的影响，结果吻合良好，尤其在大变形的情况下，但仍需开展其他实验来更好地确定缺陷对变形的影响。Arruda-Boyce参数的影响同样也引起学者们的关注。陈嘉伟等^［17］研究Arruda-Boyce超弹性模型本构参数\mu和{\lambda }_m对橡胶抗冲瓦手性结构的抗冲击性能的影响，结果表明参数\mu的增大、{\lambda }_m的减小会加快应力升高，使材料更早地从平台阶段进入密实阶段，导致抗冲瓦结构的吸能效果减弱。

随着研究的不断深入，对于不同的应用情况，学者们对于Arruda-Boyce模型也提出了相应的改进。Konarzewski等^［18］考虑温度对苯乙烯-丁二烯橡胶、天然橡胶及其混合物性质的影响，通过曲线逼近和逐次响应平面的方法确定-25~50 ℃的Arruda-Boyce模型参数。Fu等^［19］考虑温度对含炭黑的硫化橡胶的影响，引入参数C_{\mathrm{r}}和N来表征温度的影响，采用Abaqus进行仿真并与实验结果对比吻合良好。付鑫涛等^［20］通过不同温度下不同炭黑填充比橡胶的应力-应变曲线进行分析，得到Arruda-Boyce模型参数与温度之间的定量关系，对不同温度下的模型参数确定具有指导意义。

1.1.2 Van der Waals模型

Van der Waals模型^［21］的应变能密度函数表达式如式（4）所示：

U=\mu \left\{-\left({\lambda }_m^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}\right)\left[\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{1}-\eta \right)+\eta \right]-\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}a{\left(\frac{\tilde{I}-\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}\right\}+\frac{\mathrm{1}}{D}\left(\frac{J_{\mathrm{e}\mathrm{l}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\mathrm{l}\mathrm{n}{J}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}\right)（4）

Van der Waals模型类似实际气体的状态方程，锁闭伸长率{\lambda }_m代表非高斯链的有限扩展性，与Arruda-Boyce模型不同，应用Van der Waals模型时，当达到锁闭伸长率时，应变能趋向于无穷大，因此Van der Waals不能用于大于锁闭伸长率的拉伸。

1.2 基于连续介质理论的唯象理论模型

唯象理论假设未变形状态下的橡胶为各向同性材料，即长分子链方向橡胶是随机分布的，这种各向同性的假设以单位体积的应变能密度来表征橡胶材料的力学行为^［9］。唯象理论以基于不变量或伸长率的应变能密度函数来表示橡胶的超弹性性质。与微观网络力学模型不同，唯象理论模型仅涉及所观察到的橡胶性质，而不是建立在聚合物分子结构的基础上。因此，基于连续介质理论的唯象理论模型与熵无关。

基于连续介质力学理论，对于均质、各向同性、不可压缩或近似不可压缩的橡胶，应变能密度函数可以是包含应变不变量的多项式函数^{［11，22］}。应变不变量如式（5）所示：

I_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}

I_{\mathrm{2}}={\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}（5）

I_{\mathrm{3}}={\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}

式中：{\lambda }_i为伸长率，下标1、2、3代表3个方向。

对于近似不可压缩的橡胶，应变能密度函数是表示形状变化的偏量超弹性的函数U_{\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{v}}和表示体积变化的膨胀超弹性的函数U_{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{l}}之和，如式（6）所示：

U=U_{\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{v}}\left({\overline{I}}_{\mathrm{1}},{\overline{I}}_{\mathrm{2}}\right)+U_{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{l}}(J)（6）

式中：{\overline{I}}_{\mathrm{1}}=\frac{I_{\mathrm{1}}}{J^{\mathrm{2}/\mathrm{3}}}；{\overline{I}}_{\mathrm{2}}=\frac{I_{\mathrm{2}}}{J^{\mathrm{4}/\mathrm{3}}}；J=\sqrt[]{I_{\mathrm{3}}}。

对于近似不可压缩的橡胶，认为I_{\mathrm{3}}=\mathrm{1}，则有式（7）：

U=U_{\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{v}}\left({\overline{I}}_{\mathrm{1}},{\overline{I}}_{\mathrm{2}}\right)（7）

Rivlin提出级数形式的应变能函数如式（8）所示^［23］：

U={\sum }_{i,j=\mathrm{0}}^N{C}_{ij}{\left(I_{\mathrm{1}}-\mathrm{3}\right)}^i{\left(I_{\mathrm{2}}-\mathrm{3}\right)}^j（8）

式中：C_{ij}为材料参数；N为阶数。

式（8）可以看作是许多基于应变不变量的应变能函数的基础。经过学者们的研究，基于连续介质理论的唯象理论模型主要可分为基于应变不变量的应变能函数、基于主拉伸率的应变能函数、基于应变不变量和主拉伸率的应变能函数^{［10，24-25］}，如表1^［26-40］、表2^［41-48］和表3^［49-53］所示。表1~3中列举了应变能函数的名称、函数形式和材料参数以及模型对应研究的橡胶种类。对于已经成熟广泛应用的模型如Neo-Hooken、Mooney-Rivlin、Yeoh和Ogden等，已经被多次验证可以表征多种橡胶的力学特性，因此不再说明适用的橡胶种类，另外，未明确适用的特定橡胶模型也未作特殊说明。

目前，确定超弹性模型参数需要对橡胶开展单轴拉伸（uniaxial tension，UT）、等双轴拉伸（equibiaxial tension，ET）和平面拉伸（planar tension，PT）测试，实验结果直接影响超弹性模型的拟合效果及参数。因此，学者们展开了关于实验本身对模型的影响研究。Melly等^［54］对比了部分超弹性模型对于橡胶单轴拉伸、等双轴拉伸和纯剪切的实验数据拟合情况后认为，如果不考虑参数数量，Ogden、Carroll和Shariff是预测能力较好的模型。徐昱根等^［55］通过对一种隔振橡胶材料进行单轴拉伸、单轴压缩（uniaxial compression，UC）和简单剪切测试，结果发现：当有UT和UC实验数据时，若橡胶组件主要受到拉伸变形和压缩变形，优先选用3阶G-H模型和Ogden模型，考虑剪切变形时选用Yeoh模型；当仅有UC实验数据时，若橡胶组件同时存在拉伸变形和压缩变形，优先选用Yeoh模型。

1.3 超弹性模型在有限元分析中的应用

目前，通过选取合适的超弹性模型表征橡胶材料的力学性能，可以实现对多种结构形式减振器静力学性能的有限元分析，并达到较高的准确性。郭骧等^［56］对WH型橡胶减振器进行静刚度仿真，结果表明对于WH型橡胶隔振器，横向静刚度的计算应选择单轴拉伸和等双轴拉伸的应力-应变曲线组合，垂向、纵向静刚度的计算应选择单轴拉伸和平面拉伸的应力-应变曲线组合。取三向计算相对误差最大的一项为评价模型计算准确程度的标准，Mooney-Rivlin模型最大相对误差为6.96%，为5种模型中最小。Neo-Hooken模型在垂向变形时相对误差仅为2.01%，说明Neo-Hooken模型在描述剪切变形时精度较高。金著等^［57］采用Yeoh模型对舰用橡胶隔振器进行轴向静刚度计算，在3000 N荷载下，垂直变形为3.97 mm，与测试结果误差仅为1.24%。谢峰等^［58］采用Mooney-Rivlin模型探究橡胶隔振垫安装预压缩量与静刚度的关系，受力图如图3（a）所示，结果表明压缩量对垂向刚度的变化较为敏感，对径向和切向两方向的刚度变化影响不大。Xiao等^［59］采用2阶Mooney-Rivlin模型来表征橡胶材料的超弹性性质，对BE-300橡胶减振器进行静刚度分析，位移云图如图3（b）所示，与实验对比在力值较小时，有限元计算结果小于实验结果，力值较大时反之。Tiwari等^［60］采用Mooney-Rivlin、Yeoh和Ogden模型对层压橡胶减振器进行静力学仿真，结果显示在相同力的作用下，采用Yeoh模型计算出最大的变形，Mooney-Rivlin模型计算得到最小的变形。综上所述，目前多采用成熟应用于商业有限元软件中的超弹性模型，如Mooney-Rivlin、Yeoh、Ogden和Neo-Hooken模型表征橡胶材料的力学性质，确定参数后可以实现对不同结构橡胶减振器的静力学分析，计算得到减振器在特定工况下的受力及变形情况，达到较高的准确度，为减振器的设计提供理论基础。

1.4 对经典超弹性理论模型的修正及创新

随着材料的发展与设计需求的提高，越来越多的学者开始关注本构模型的参数与修正，并逐渐在经典本构模型中引入橡胶硬度^［61-62］、环境温度^［62-63］、橡胶填料^［64］等参数，使其具有更广泛更精确的应用。同时，考虑到橡胶的时间效应^［65］及其对基础力学实验数据的拟合效果^［66-67］，学者们对经典超弹性理论模型也做了一定的改进。对超弹性模型做出的修正及改进如表4^［61-67］所示。

经过改进后的超弹性本构模型能够更有针对性地表征材料的力学性质，从而适用于多种极端环境或特殊情况，同时在一定程度上减小确定参数所需的实验成本。但是在有限元模拟中大都需要对软件进行二次开发，难度较大，成本较高，因此创新修正后的超弹性本构模型未能在有限元软件中形成广泛应用。

随着材料配方的创新与发展，经典的超弹性本构模型已经不能满足新材料的模拟需求，新形式的橡胶材料超弹性本构模型被不断提出。Ouardi等^［68］提出一种基于微观力学的本构模型，该模型以分子链的链段之间的弹性行为和弯曲能为前提假设，更好地从微观层面解释了橡胶材料的变形情况，通过强调潜在的微观机制来模拟变形的不同阶段，显示交联点对大分子网络行为的影响，有效减少模拟宏观行为的参数。Anssari-Benam^［69］提出一种基于4个参数的应变能表达式，可以更好地预测具有明显可识别变形特征的各种类型的类橡胶材料力学行为，包括天然未填充和填充橡胶、水凝胶和极其柔软的生物组织。

综上所述，经典超弹性模型已经成熟应用于橡胶减振器静力学的有限元仿真模拟，通过对实验数据的拟合确定超弹性模型参数，可以有效分析减振器的静力学问题。由于外部环境因素的影响和工作状况的变化，当传统理论模型不再适用时，学者们引入表征温度、湿度、填料影响的参数对经典超弹性模型进行修正，从而获得更准确的计算结果，然而由于商业有限元软件的局限性，修正创新后的超弹性模型未能在有限元分析中广泛应用。随着材料本身的发展，学者们不再局限于微观网络力学和连续介质理论的唯象理论的分类，而是将两种理论基础加以融合、创新，提出新的本构模型以适应材料的发展。

2 黏弹性模型

橡胶材料是一种典型的黏弹性材料，即在外力作用下，高分子材料的性质介于弹性材料和黏性材料之间，高分子材料产生形变时，应力可同时依赖于应变和应变速率。要获得橡胶制品在动态情况下的性能参数，就必须深入研究其黏弹本构关系^［70］。目前最常用的方法是根据橡胶材料的力学特性建立相关的黏弹性本构模型，并且将相关的参数赋予具体的物理意义^［71］。黏弹性本构模型是以弹簧模型和牛顿黏壶模型为基础，通过改变弹簧和黏壶的数量进行串联或并联从而构建不同的线性黏弹性本构模型^［70］。

2.1 黏弹性模型理论

为准确描述黏弹性材料的线性本构行为，通常采用弹簧与黏壶单元（图4（a））构建不同组合模型，其本构方程分别如式（9）和式（10）所示：

\sigma =E\epsilon（9）

\sigma =\eta \dot{\epsilon }（10）

Maxwell模型（图4（a）^［72］）是由单个弹簧与单个黏壶串联而成。

Kelvin-Voigt模型（图4（b）^［72］）是由单个弹簧与单个黏壶并联而成，其通常表现出非物理行为：阻尼在低频时被低估，在高频时被高估^［73］。二者不能兼顾应力松弛或是蠕变过程进行逼近或是预测，具有一定的局限性，将Kelvin-Viogt和Maxwell模型进行不同形式的组合，可以在一定程度上弥补其局限性^［1，74］。随着材料的发展与研究的推进，目前已经形成了多种组合形式如图4^［72］所示，其本构方程如表5^［72］所示。

此外，为更加精确地表征材料的本构关系，通过并联Maxwell模型得到广义Maxwell模型（图4（k）^［72］）和串联多个Kelvin-Voigt模型得到广义Kelvin-Voigt模型（图4（l）^［72］），其本构模型表达式分别如式（11）和式（12）所示：

\dot{\epsilon }\left(t\right)=p_{\mathrm{0}}\sigma \left(t\right)+p_{\mathrm{1}}\dot{\sigma }(t)（11）

\mathrm{\sigma }\left(t\right)=q_{\mathrm{0}}\epsilon \left(t\right)+q_{\mathrm{1}}\dot{\epsilon }(t)（12）

式中：p_{\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{1}}{{\sum }_{j=\mathrm{1}}^N\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{M}}^j}}；p_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{{\sum }_{j=\mathrm{1}}^N\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{M}}^j}}；q_{\mathrm{0}}=E_{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}={\sum }_{j=\mathrm{1}}^N{E}_{\mathrm{K}}^j；q_{\mathrm{1}}={\eta }_{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}={\sum }_{j=\mathrm{1}}^N{\eta }_{\mathrm{K}}^j。

在有限元分析应用中，Prony级数是一种应用更为广泛的表征橡胶黏弹性性质的函数，以无量纲松弛模量表示的Prony级数如式（13）所示^［75］。但其参数确定具有不唯一性，不同参数往往对仿真结果产生较大影响^［76］。

g_{\mathrm{R}}\left(t\right)=\mathrm{1}-{\sum }_{i=\mathrm{0}}^n{g}_i^{-p}[\mathrm{1}-exp(-t/{\tau }_i^G)]（13）

式中：g_{\mathrm{R}}\left(t\right)为松弛模量；n、g_i^{-p}、{\tau }_i^{\mathrm{G}}为材料参数。

在线性黏弹性理论模型不能满足分析需求的情况下，学者们引入非线性黏弹性理论。橡胶材料的非线性黏弹性行为已被广泛研究，早在60年前，Warring研究发现填充橡胶存在显著的非线性黏弹性特性，并指出Payne效应是橡胶材料经历大震荡的一种典型的非线性软化响应^［77］。Christensen^［78］对橡胶弹性动力学理论的黏弹性进行推广，并用于模拟时间和速率相关的效应，推导方法表明该理论适用于应力施加条件，而不适用于应变施加条件。

目前，在分析有关蠕变、松弛及各种动力学问题时往往采用橡胶的黏弹性特性。刘会英等^［79］对比三参数固体模型和Burgers模型对不同温度硅橡胶蠕变实验结果的拟合效果，结果表明前者具有更高的准确性。基于三参数固体模型及无量纲分析方法建立黏弹性参数\frac{Y}{Y^{\text{'}}}与无量纲温度\frac{\theta }{{\theta }^{\text{'}}}\mathrm{的关}\mathrm{联关}\mathrm{系}符合式（14），表现出良好的拟合效果。

\frac{Y}{Y^{\mathrm{\text{'}}}}={{\sum }_{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\left(\frac{\theta }{{\theta }^{\mathrm{\text{'}}}}\right)}^n（14）

2.2 黏弹性模型在有限元中的应用

目前，黏弹性模型可用于解决橡胶减振器振型分析、谐振响应、动态传递率及动刚度等问题，具有较高的准确性。确定橡胶黏弹性模型需要对橡胶开展松弛实验、蠕变实验或DMA测试，根据实验数据对黏弹性本构模型进行数据拟合以确定参数，建立橡胶的黏弹性模型并将其引入有限元的计算中。Zhou等^［80］通过DMA测试获得硅橡胶的黏弹性参数，并将其输入ANSYS软件中对橡胶减振器进行模态分析和随机振动分析，4阶振型如图5（a）所示，与实验结果的最大相对误差在2.4%；郭骧等^［81］选用广义Maxwell模型，根据橡胶剪切实验结果拟合得到黏弹性Prony参数，计算分析表明WH减振器谐响应及动态传递率误差小于10%。

黏弹性模型在有限元分析计算中往往需要与超弹性模型结合使用，以表征橡胶在静、动态情况下的变形特征。王伟等^［82］采用Mooney-Rivlin模型和Prony级数模型分别表征橡胶的超弹性与黏弹性特征，通过ANSYS分析具有双层六棱结构的橡胶隔振器动态性能，结果表明该橡胶隔振器具有较小的固有频率和共振放大率，理论上对振动的衰减可达94.5%，将该橡胶隔振器安装在汽车油箱与车身连接处， 可有效降低油箱内因燃油晃动产生静电的可能性，从而改善汽车行驶时的安全性。Ucar等^［83］利用超弹性和黏弹性本构模型研究具有不同邵氏硬度值的橡胶减振器动态特性，对其施加0~100 Hz的正弦扫频，得到的计算结果和实验结果如图5（b）所示，实验曲线与计算曲线基本吻合，证明计算过程的合理性。唐安特等^［84］采用一种由Mooney-Rivlin模型和多个Maxwell模型叠加组成的非线性黏弹性模型来计算橡胶隔振器的高频动态特性。施加沿Z方向的简谐位移激励，分别采集结点反力可得到跨点动刚度和原点动刚度如图5（c）所示。袁子豪等^［85］采用Yeoh模型和Maxwell模型建立并联叠加型超黏弹性模型定量表达式，将其导入Abaqus软件预测橡胶试样的双剪切动态响应。数值模拟结果与实验数据基本吻合，可反映应变幅值和频率变化对载荷-位移滞后环和动刚度的影响。Saremi等^［86］采用2阶Ogden模型和Prony级数建立橡胶的黏弹性本构模型，结合分段标定技术和Nelder-Mead单纯形优化方法模拟减振器内橡胶材料的非线性应力-应变关系和应变历程依赖关系，获得模拟减振器有效水平刚度和等效黏性阻尼比的平均误差分别约为8%和10%。

综上所述，橡胶材料黏弹性模型的应用往往需要与超弹性模型结合，可以有效分析橡胶减振器在实际工程中的动、静态问题，如振型、谐振响应、动刚度问题等。目前，较为常用的黏弹性模型是广义Maxwell模型，在有限元软件中以Prony级数的形式表征；与黏弹性模型联合使用的超弹性模型多为有限元软件内嵌模型，如1.3节所述，而三参量、四参量线性或非线性黏弹性模型，在有限元中的应用难度较大，因此尚未普及，其在有限元中的应用将成为未来本构建模研究的关键方向。

2.3 对黏弹性理论及有限元分析方法的改进与创新

近年来，随着研究的不断深入，黏弹性模型不再以单一理论作为支撑，而是融合多种理论，结合材料本身性质及应用情况，形成更具针对性的表达形式。Guo等^［87］以热力学理论为基础推导得到材料的能量耗散速率，之后基于黏弹性理论和能量耗散速率提出一种可以表征橡胶类弹性体速率相关的黏弹性本构模型，该模型可以预测橡胶弹性体在不同应变速率下的非线性力学行为。Zhang等^［88］提出了一种改进的分数阶导数模型来表征VE阻尼器的软化行为，该模型可以考虑位移幅值对VE阻尼器性能退化的影响。Li等^［89］采用带有不确定参数的高阶多项式函数来表征橡胶材料的性质，该模型考虑了位移对非线性阻尼和刚度的影响。Guo等^［90］通过减振实验和ZN-35硅橡胶阻尼器的有限元理论，建立了振动参数与橡胶材料动态力学性能之间的关系，如图6所示。

在有限元分析方面，学者们也根据减振器形式及具体问题，提出了更具有针对性的分析方法。刘晓东等^［91］采用单步Houbolt法进行硅橡胶非线性动力学有限元分析，并通过自主设计的硅橡胶减振器振动测试系统进行测试，验证得到Signiorini作为硅橡胶的本构模型更为合理。鲍继轩等^［92］提出一种由Sprng-Damper165单元定义金属橡胶材料的数值模拟方法，计算分析不同负载质量对金属橡胶减振器抗冲击特性的影响，结果表明在冲击荷载较小时，提出的数值模拟方法具有较好的表现。邹广平等^［93］采用正交各向异性阻尼材料来模拟金属橡胶材料，通过金属橡胶减振器正弦扫频实验确定仿真参数，对其进行随机振动分析，结果显示，输入均方根加速度误差均在5%以内，均方根加速度响应误差均在10%以内，仿真误差较小。

综上所述，对于橡胶减振器动态性能计算准确性的提高，学者们从黏弹性模型理论和有限元分析方法两方面进行了研究与创新，通过对理论的融合和分析方法的改进，实现对新型材料、复杂问题的有效计算分析。然而，由于各类模型及方法的创新尚处于初始阶段，具有一定的局限性，未能形成具有共性的表达，因此，对于其在减振器动态性能计算领域的普及和推广，是未来的研究方向与发展趋势。

3 结束语

本文系统综述了减振器用橡胶材料的超弹性与黏弹性本构模型研究进展，并结合橡胶减振器有限元工程案例，系统验证了不同本构模型在动静刚度预测、谐振响应分析及冲击载荷模拟中的适用性与合理性，对橡胶减振器的设计具有一定的指导意义。未来研究可聚焦于以下方向：

（1）经典超弹性本构模型，如Mooney-Rivlin、Yeoh、Ogden和Neo-Hooken等，在分析橡胶减振器静刚度问题时具有较高的准确性。随着材料的发展与设计需求的提高，学者们引入考虑温度、橡胶硬度和填料等因素的参数对经典超弹性本构模型进行修正，或是从理论层面进行创新，得到准确度更高的超弹性模型。然而由于有限元软件的局限性，修正创新后的超弹性本构模型尚未在有限元中形成广泛应用。未来可根据实际情况对有限元软件进行二次开发，以实现不同超弹性模型在橡胶减振器静力学分析中的应用。

（2）以弹簧和黏壶为基础单元，形成多种线性黏弹性本构模型，广义Maxwell模型是使用最多的黏弹性模型，其在有限元软件中以Prony级数的形式表达。随着材料本身的发展，学者们提出非线性黏弹性本构模型，其在有限元中已经得到初步的应用。未来可更有针对性地根据橡胶材料本身的性质，结合实际的工作环境，考虑外部环境因素如温度、湿度等的影响，建立更加适用的黏弹性本构模型，并通过有限元软件二次开发，将创新的黏弹性本构模型应用于各类结构形式减振器的动态问题分析中。

（3）分析橡胶减振器在工程中面临的复杂问题，需要将超弹性和黏弹性本构模型联合使用。经典超黏弹性本构模型可以准确分析橡胶减振器的振型、谐振响应和动刚度等问题。随着应用需求的不断增加，学者们从黏弹性本构模型理论和有限元分析方法两方面进行了创新，实现对于更加复杂的工程问题的分析，具有较高的准确性。未来可结合材料本身的性质和减振器的结构形式，对有限元分析方法进行创新，使其更适用于特定结构特定问题的计算分析。

（4）目前对于橡胶材料超弹性和黏弹性本构模型的选取及参数确定大都依赖于基础力学实验，缺乏与材料本身性质结合的机理性分析，在一定程度上增加了工作量。未来可深入研究材料配方对本构模型选取及参数确定的影响，细化分析以指导后续对材料的研究以及对减振器结构的设计。

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