超常热加工过程中热传导理论的演化与应用：从傅里叶导热模型到非傅里叶导热模型

Evolution and application of heat transfer theory in supernormal hot working processes：from Fourier heat conduction model to non-Fourier heat conduction model

摘要

本文重点分析了从傅里叶导热到非傅里叶导热的理论革新及其在极端传热领域的关键应用。首先梳理了傅里叶导热定律的经典理论框架及其在常规传热场景中的适用性，揭示其在超快速、超短程、超低温等工况下分析能量传递的局限性；然后深入探讨非傅里叶导热理论，介绍了Cattaneo-Vernotte方程、双相滞后（DPL）模型，通过引入热流密度弛豫时间与温度梯度弛豫时间的双相滞后效应，突破了传统傅里叶导热模型的理论边界。傅里叶传热控制方程应采用傅里叶型边界条件，而非傅里叶传热控制方程应采用非傅里叶型边界条件。针对超常热加工过程的导热模型，文中首次给出了3类非傅里叶边界条件的数学表达式。通过将傅里叶导热模型与非傅里叶导热模型的数值模拟结果与实验测试结果进行对比，发现非傅里叶模型在预测超快速激光焊接、超短程微纳连接等的温度场瞬态响应、热影响区（HAZ）尺寸及工艺参数优化方面具有显著优势，验证了非傅里叶模型对极端传热条件的精准预测能力，为揭示高端装备、极端工况的传热机理提供重要理论支撑。

Abstract

This paper focuses on the theoretical innovation from Fourier heat conduction to non-Fourier heat conduction and its key application in the field of extreme heat transfer. Firstly， this paper describes the classical theory of Fourier heat conduction law and its applicability in conventional heat transfer scenarios， and reveals its limitations in analyzing energy transfer under ultra-fast， ultra-short-range， and ultra-low temperature conditions. Then the non-Fourier heat conduction theory is deeply discussed， and the Cattaneo-Vernotte equation and the dual-phase lag （DPL） model are introduced. By introducing the lagging effects of heat flux relaxation time and temperature gradient relaxation time， the theoretical boundary of the traditional Fourier heat conduction model is broken. Fourier boundary conditions should be adopted in Fourier heat transfer governing equations， while non-Fourier boundary conditions should be adopted in non-Fourier heat transfer governing equations. In this paper， the mathematical expressions of three kinds of non-Fourier boundary conditions are given for the first time in supernormal hot working processes. By comparing the numerical simulation results of Fourier heat conduction model and non-Fourier heat conduction model with the experimental test results， it is found that non-Fourier model has obvious advantages in predicting the transient response of temperature field， the size of heat affected zone （HAZ） and the optimization of laser process parameters， which verifies the accurate prediction ability of non-Fourier model for extreme heat transfer conditions and provides important theoretical support for revealing the heat transfer mechanism of high-end equipment and extreme working conditions.

Graphical abstract

关键词

傅里叶导热定律 / 非傅里叶导热理论 / 非傅里叶边界条件 / 热弛豫时间 / 激光加工

Key words

Fourier law of heat conduction / non-Fourier heat conduction theory / non-Fourier boundary conditions / thermal relaxation time / laser processing

自1822年傅里叶导热定律提出以来，其基于温度梯度与热流密度的线性关系，成为描述热传导现象的基石，并在建筑保温、能量调控、焊接制造、金属热处理等领域广泛应用。然而，随着现代科技向超快、微纳尺度发展（如激光焊接、电子束焊接、核反应堆热冲击、超微电子器件散热等），传统傅里叶导热模型的局限性逐渐显现。尤其在飞秒、皮秒级超快加热（加热速度{\mathrm{10}}^{\mathrm{3}}~{\mathrm{10}}^{\mathrm{7}}\mathrm{K}/\mathrm{s}）或纳米级超小尺度传热场景中，热能传播的有限速度与惯性效应导致傅里叶定律的准平衡假设失效。例如：激光深熔焊接模式中的瞬态高热流密度（{\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}~{\mathrm{10}}^{\mathrm{8}}\mathrm{W}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}）会引发热波前沿的陡峭温度梯度^［1-2］，而傅里叶模型对此无法准确预测。研究发现，在微纳尺度的电子封装中，实验发现温度场具有高度非对称性，与传统傅里叶模型预测的温度分布呈现对称的高斯型有所不同，这是由于纳米尺度效应使得传统连续介质假设不再成立，热传导呈现离散化特征^［3-4］。科学家们把这些傅里叶导热不能科学描述的热传导问题统称为非傅里叶导热^［5-6］。

科研人员开展的数值传热计算中，经典傅里叶导热模型已被广泛采用；但对于极端工况下的传热计算，非傅里叶模型的使用还不是很普遍。部分采用非傅里叶模型进行的数值预测，没有明确给出边界条件是如何处理的，或者直接采用了傅里叶导热模型边界条件的计算公式，边界条件没有进行非傅里叶变换或边界条件的非傅里叶变换不正确。这些因素或多或少会直接或间接影响数值预测结果的准确性和严谨性，而这对于科学揭示极端工况下的传热机制，提升高、精、尖装备的工作特性非常不利。此外，与非傅里叶导热模型相适用的传热边界条件的完备数学表达式还鲜见报道。基于此，本文旨在进一步挖掘非傅里叶导热模型的科学价值，协助科研人员更好地理解和掌握经典傅里叶导热模型和非傅里叶导热模型及其边界条件的正确数学表达式。

本文对比分析了非傅里叶导热理论与傅里叶导热定律，通过系统梳理两类模型的核心假设条件与数学表达形式，分别构建傅里叶导热模型与非傅里叶导热模型，给出了3类非傅里叶边界条件的完备数学表达式，并以超快速激光加工、超小尺度电子封装为例，通过数值模拟与实验测试对比验证非傅里叶模型的精度优势，探究非傅里叶传热理论模型对于极端条件下传热问题研究的重要意义。

1 傅里叶导热定律的局限性

1.1 傅里叶导热定律

傅里叶导热定律（Fourier’s law of heat conduction）基于大量实验观察，揭示了导热过程中热流密度与温度梯度的线性关系，其数学表达式如式（1）所示：

q=-k\nabla T（1）

式中：q为热流密度；k为热导率；\nabla T为温度梯度；“-”表示热量传递方向与温度升高的方向相反。傅里叶导热定律的基本假设如下^［6-10］。

（1） 连续介质假设：材料为连续介质，忽略原子/分子尺度的离散性。

（2） 各向同性假设：材料热导率不随方向变化，热导率为标量。

（3） 瞬时热平衡：热流与温度梯度平衡，无时间延迟。

（4） 小扰动假设：温度变化幅度小，热导率k视为常数。

（5） 能量守恒：系统内能变化仅由热传导和内热源引起，忽略辐射、相变等因素。

傅里叶导热定律的核心假设是热流传播速度无限大，且热量传递方向从高温部分传递到低温部分。傅里叶定律的实验验证本质上是通过宏观尺度（厘米级）稳态传热实验完成的，其隐含的瞬时热传播速度假设在当时的实验精度下未被观测到矛盾，因此傅里叶导热定律成为经典导热理论的核心。值得注意的是，傅里叶导热定律并非基于热力学第一定律推导而得，而是一个经验公式，但其普适性涵盖了固体、液体和气体的所有物质状态。

1.2 经典热传导方程及其边界条件

根据傅里叶导热定律建立的经典热传导方程为抛物型偏微分方程，其数学表达式如式（2）所示：

\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha {\nabla }^{\mathrm{2}}T=\alpha \left(\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}T}{\partial x^{\mathrm{2}}}+\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}T}{\partial y^{\mathrm{2}}}+\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}T}{\partial z^{\mathrm{2}}}\right)+\dot{\Phi }（2）

式中：T为温度场；t为时间；\alpha =\frac{k}{\rho c_{\mathrm{p}}}为热扩散率（\rho为密度，c_{\mathrm{p}}为比热容）；\dot{\Phi }为内热源项，\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}。

根据不同工况，可以将导热边界条件分为以下3种常见类型：

（1） 第一类边界条件：边界温度为定值，可表示为式（3）：

t>\mathrm{0} 时，T_{\mathrm{w}}=f(t)（3）

式中：稳态导热中的边界温度T_{\mathrm{w}}是常数；非稳态导热中的T_{\mathrm{w}}是时间t的函数（t是唯一的自变量）。

（2） 第二类边界条件：边界热流密度恒定，可表示为式（4）：

t>\mathrm{0}时，-k{\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)}_{\mathrm{w}}=f\left(t\right)（4）

式中：稳态导热中边界热流密度{\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)}_{\mathrm{w}}是常数；非稳态导热中的{\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)}_{\mathrm{w}}是时间t的函数（t是唯一的自变量）。

（3） 第三类边界条件：指定对流换热边界，规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数h及周围流体的温度T_{\mathrm{f}}，数学表达式为式（5）：

t>\mathrm{0}时，-k{\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)}_{\mathrm{w}}=h\left(T_{\mathrm{w}}-T_{\mathrm{f}}\right)（5）

式中：对于非稳态导热，h和T_{\mathrm{f}}均可为时间t的已知函数（t是唯一的自变量）；T_{\mathrm{w}}以及{\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)}_{\mathrm{w}}都是未知的。

1.3 傅里叶导热模型的局限性

（1） 热传播速度无限大：傅里叶方程为抛物型，预测热扰动瞬间传遍整个求解域（v\to \mathrm{\infty }），数学上表现为方程的解在任意微小时间步长\mathrm{\Delta }t>\mathrm{0}时全域响应，与实际传热系统中热波速为有限大（v=\sqrt[]{\alpha /{\tau }_{\mathrm{0}}}）、热波传播需要有限时间的现象相矛盾。

（2） 忽略微观弛豫：不适用于纳米材料（如声子平均自由程与器件尺寸大小接近时）。

（3） 非线性效应：高温下热导率k随温度变化时需修正。

由此可见，对于超快速、超短程、极高（低）温工况，需要对傅里叶导热公式进行修正，建立非傅里叶导热模型，才能科学描述极端条件下的热传导。

2 非傅里叶导热理论

传统傅里叶导热定律自提出后，其核心假设认为热流传播速度无限大，且热流密度与温度梯度呈瞬时线性响应。然而，随着20世纪中后期超快激光加工、微电子封装等技术的快速发展，傅里叶模型在极端条件下的局限性逐渐暴露。1958年，Cattaneo通过实验发现，金属在高速激光脉冲加热下温度场存在滞后响应，热流传播速度有限^［11］。这一现象直接挑战了傅里叶定律的瞬时性假设，推动了非傅里叶导热理论的诞生。

2.1 非傅里叶导热C-V模型

C-V模型^［11-12］区别于傅里叶定律的核心在于引入热弛豫时间{\tau }_q（指热流密度q的变化滞后于温度梯度\partial T/\partial t的变化，表征热流达到稳态所需要的时间），根据傅里叶导热方程可将其改写为式（6）：

q\left(r,t+{\tau }_q\right)=-k\nabla T\left(r,t\right)（6）

对时间t进行泰勒级数展开并保留一阶导数项，得式（7）：

q+{\tau }_q\frac{\partial q}{\partial t}=-k\nabla T（7）

此即C-V修正导热定律，揭示了热流密度与温度梯度的时间滞后关系。

该方程并未得到温度场的控制方程，还需要对该方程两边同时取散度（是向量微积分中的一种算子，作用于向量场，输出一个标量场，表示某一点周围单位体积内向量场的净流出量）。为此，引入传热学中的能量守恒方程（此处仅考虑最简单的导热问题，即不考虑内热源项），如式（8）所示：

\rho c_{\mathrm{p}}\frac{\partial T}{\partial t}=-\nabla \bullet q=-\nabla \bullet \left(\frac{\partial q_x}{\partial x}+\frac{\partial q_y}{\partial y}+\frac{\partial q_z}{\partial z}\right)（8）

对保留一阶导数项的泰勒级数展开式（7）修正傅里叶导热定律，两边同时取散度，并与能量守恒方程联立，得出式（9）：

-\rho c_{\mathrm{p}}\frac{\partial T}{\partial t}-{\tau }_q\rho c_{\mathrm{p}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}T}{\partial t^{\mathrm{2}}}=-k{\nabla }^{\mathrm{2}}T（9）

两边同时除以-\rho c_{\mathrm{p}}，并引入热扩散率\alpha =\frac{k}{\rho c_{\mathrm{p}}}，得到式（10）：

{\tau }_q\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}T}{\partial t^{\mathrm{2}}}+\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha {\nabla }^{\mathrm{2}}T（10）

这就是C-V模型。该方程表明，热扰动以有限速度传播，其波速c由式（11）可得：

c=\sqrt[]{\frac{\alpha }{{\tau }_q}}（11）

尽管C-V模型成功解释了热波现象，其仅假设热流存在弛豫，但温度梯度无滞后，因而仍存在局限性。

2.2 非傅里叶导热DPL模型

双相滞后模型（dual-phase-lag model， DPL）是一种典型的非傅里叶模型^［13-14］，通过引入热流弛豫时间{\tau }_q和温度梯度弛豫时间{\tau }_T，描述热波传播过程的微观弛豫行为，更适用于极端工况下的传热。

DPL模型建立的基本假设：

（1） 能量守恒原理：系统内能变化率等于净热流与内热源之和。

（2） 非局部热平衡：热流与温度梯度的响应存在时间延迟。

（3） 各向同性介质：材料热物性为常数，不考虑各向异性。

（4） 小扰动条件：温度及热流变化幅度较小，可忽略高阶非线性项。

DPL模型的核心思想可用数学式表达为式（12）：

q\left(r,t+{\tau }_q\right)=-k\nabla T\left(r,t+{\tau }_T\right)（12）

此处DPL模型仍与C-V模型表达一致，温度梯度延迟时间{\tau }_T表示温度梯度的建立滞后于温度场本身的变化。分别对热流密度梯度项q\left(t+{\tau }_q\right)和温度梯度项\nabla T\left(t+{\tau }_T\right)进行泰勒级数展开，仅保留一阶导数项可得式（13）：

q+{\tau }_q\frac{\partial q}{\partial t}=-k\left(\nabla T+{\tau }_T\frac{\partial \nabla T}{\partial t}\right)（13）

为得到温度场T的控制方程，需对上式两边同时取散度，由此引入能量守恒方程。此处考虑复杂情况，即考虑物体本身存在内热源的情况，则有式（14）：

\rho c_{\mathrm{p}}\frac{\partial T}{\partial t}=-\nabla \bullet q+\dot{\Phi }（14）

式中：对泰勒级数展开后的式子两边同时取散度，并将能量守恒方程式（14）带入处理过的泰勒级数展开式（13），推导出含有内热源项的双相滞后DPL模型的温度场控制方程见式（15）：

\rho c_{\mathrm{p}}{\tau }_q\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}T}{\partial t^{\mathrm{2}}}+\rho c\frac{\partial T}{\partial t}-k{\tau }_T\frac{{\nabla }^{\mathrm{2}}T}{\partial t}-k{\nabla }^{\mathrm{2}}T=\dot{\Phi }+{\tau }_q\frac{\partial \dot{\Phi }}{\partial t}（15）

DPL双相延迟模型通过引入热流密度和温度梯度的双重时间延迟，突破了傅里叶导热定律的局限性，能够准确描述纳米尺度、超快速、超低温、超高温等极端传热过程中的非傅里叶导热现象，可为超微器件热管理、飞秒激光加工、超急速生物组织冷冻等工程问题提供理论基础，DPL双相延迟模型在高端装备、交叉学科等先进材料的研发与应用中具有广阔的前景。

2.3 非傅里叶导热边界条件

在非傅里叶导热的数值求解中，需要特别注意边界条件的处理，如引入热势函数预处理等方法处理边界条件中的脉冲热流等复杂情况。参照傅里叶边界条件，非傅里叶传热边界条件仍然分为3大类：

（1）第一类非傅里叶边界条件：或称Dirichlet边界条件，直接指定边界上的温度值，表达式见式（16）：

T_{\mathrm{w}}=f(t,{\tau }_q,{\tau }_T)（16）

（2）第二类非傅里叶边界条件：或称Neumman边界条件或诺依曼边界条件，通常规定边界上的热流密度为常数。在实际应用中，由于非傅里叶效应的影响，热流密度不仅与温度梯度有关，还可能受到其他物理过程的影响。因此，需要综合考虑这些因素来准确设定边界条件，以确保模拟或实验结果的准确性。Neumman边界条件的表达式见式（17）：

\begin{array}{c}-k\left[\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial x}+{\tau }_T\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}T\left(x,t\right)}{\partial x\partial t}\right]=\\ q\left(x,t\right)+{\tau }_q\frac{\partial q\left(x,t\right)}{\partial t}\end{array}（17）

（3）第三类非傅里叶边界条件：或称Robin边界条件，为Dirichlet与Neumann的组合，常用于描述传导、对流等复合热能传递场景。数学表达式见式（18）：

\begin{array}{c}-k\left[\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial x}+{\tau }_T\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}T\left(x,t\right)}{\partial x\partial t}\right]=\\ h\left(T_{\mathrm{w}}-T_{\mathrm{f}}\right)+{\tau }_q\frac{\partial q\left(x,t\right)}{\partial t}h\left(T_{\mathrm{w}}-T_{\mathrm{f}}\right)\end{array}（18）

当{\tau }_T=\mathrm{0}时，式（16）~（18）转化为C-V模型的边界条件；当{\tau }_q=\mathrm{0}时，式（16）~（18）转化为另一种单相滞后模型（single-phase-lag model， SPLM）的边界条件^［15-17］；当{\tau }_T=\mathrm{0}且{\tau }_q=\mathrm{0}时，式（16）~（18）则直接转化为傅里叶导热模型的三类边界条件。

3 超快激光深熔焊接过程非傅里叶导热模型的优势

傅里叶模型适用于大多数常规热传递工程问题，但对于超快速、超高热流密度的激光深熔焊接加热过程，需要应用非傅里叶导热模型。

3.1 有效处理超短激光的非平衡热传递

对于飞秒、皮秒超短激光作用下的热传递，非傅里叶模型引入弛豫时间参数，即热流密度延迟参数{\tau }_q和温度梯度延迟参数{\tau }_T，捕捉电子-声子相互作用的有限速度。Bag^［18］将模拟结果与Brorson等^［19］实验结果比较发现，在750 fs激光脉冲结束后，温度在延迟0.15 ps后达到峰值（见图1），而在傅里叶模型的假设预测下应当瞬间平衡，这显然与实测结果不同，表明非傅里叶导热相对于傅里叶导热在非平衡传热情况下更具有优越性。

3.2 提高热影响区（HAZ）计算精度和调控微观结构

由于传统傅里叶定律在微纳尺度范围仍假设“热传播无限快”，高估热量扩散范围，无法准确描述微纳尺度的瞬态热过程，会导致HAZ预测值大于实测值。当引入非傅里叶模型时，因其本身假设条件与激光焊接情况更接近，得到的HAZ与实测结果也更吻合。Bag等^［18］采用非傅里叶模型预测的HAZ宽度，与Huang等^［20］实测铝-钢激光焊接接头HAZ仅\mathrm{100}\mathrm{\mu }\mathrm{m}的宽度吻合良好。赖忠民等^［21］利用激光加热焊料熔化润湿基板形成焊点，实验发现焊料的铺展面积随激光功率的增加而增加，但在焊料铺展面积达到饱和状态后随激光功率的增大而减小，相比传统钎焊，激光微纳连接通过局部高能密度加热，也可显著减小HAZ范围。

此外，傅里叶模型难以处理异质材料热物性差异，对于普通熔焊中的对接和搭接，大多数都没有考虑接触热阻。当采用DPL非傅里叶模型时，由于引入了热流密度滞后参数{\tau }_q和温度梯度滞后参数{\tau }_T，可以同时间接考虑接触热阻的影响，因而能够更准确预测由于材料不同而引起的热物理性质的不同。图4^［18］是脉冲频率为1 MHz、脉冲能量 30 µJ时的三维温度分布，模拟中取{\tau }_T=\mathrm{0.1}\mathrm{p}\mathrm{s}，{\tau }_q=\mathrm{0.05}\mathrm{p}\mathrm{s}，铝合金的熔点、蒸发温度分别为927、2700 K，钢的熔点、蒸发温度为1719、3100 K，高于熔点为熔化区，高于蒸发温度定义为烧蚀区^［22-23］。观察图2发现温度分布呈现高度非对称性，小孔（keyhole）主要形成于不锈钢侧，而HAZ更多偏向铝侧，这种非对称现象源于两种材料热物性的巨大差异。

3.3 优化工艺参数的可行性

实验研究发现，在脉冲频率较低时，熔池区域较大；而在脉冲频率较高时，熔池区域较小。傅里叶模型无法考虑到脉冲参数对激光焊接结果的影响，而DPL模型由于存在弛豫时间，能够充分考虑到激光焊接过程中脉冲频率所产生的影响，因而可以更有效优化激光焊接工艺参数。图3为超短脉冲激光熔焊玻璃的熔池横截面积随脉冲频率和激光功率的不同而发生改变的计算结果^［24］。由于3种情况的脉冲频率和脉冲能量都不一样，所以即便位置相近、焊接速度相同，熔池的横截面积分布也不会相似。

综上，通过对比分析发现，在超快激光深熔焊接时，采用非傅里叶导热模型，对于认识热量扩散机制、准确预测焊接温度场分布和热影响区宽度非常必要。此外，对于改善工艺参数以获得最佳激光功率参数、减少熔池形状预测误差以及抑制热裂纹等焊接缺陷、提升超快速激光加工精度等都具有重要意义。

4 非傅里叶导热的发展与应用前景

4.1 非傅里叶导热理论的前沿进展

非傅里叶导热的主要突破在于引入热弛豫时间和非平衡效应，突破了傅里叶导热的瞬时性假设，为极端热作用过程提供了更精确的理论框架。近年来，非傅里叶导热的相关研究呈现跨尺度与多物态建模、数值方法与实验验证创新、跨学科交叉融合等发展趋势。

（1）跨尺度与多物态建模

非傅里叶导热的双曲型热传导方程的解析解与数值分析方法得到了不断完善。Kheibari等^［25］通过分离变量法求解了多层复合圆柱中的非傅里叶热传导问题，揭示了热波在异质界面的反射与折射机制；Mao等^［26］基于积分变换法，建立了纳米薄膜在超快速激光加热下的二维非傅里叶模型，发现热波振幅在垂直方向比水平方向高30%以上，验证了热波传播的各向异性。张茜^［27］基于H-Galerkin混合连续时空有限元方法，对非傅里叶热传导模型同时进行时间和空间变量的有限元离散，在时间和空间两个维度上都得到了高精度计算结果。张创^［28］以声子的玻尔兹曼输运方程（Boltzmann transport equation， BTE）为主，提出了一种求解该稳态方程的高效的介观数值方法，研究了热流涡、梯度热导率和热整流现象及机理。该研究结果加深了对非傅里叶导热机理的理解，为微纳尺度下的热管理和工程热设计提供了理论支持。

（2）数值方法与实验验证创新

Schoenlein等^［29］通过飞秒泵浦探测技术，通过修正的双温模型引入温度依赖的电子-声子耦合常数，计算结果与实验数据吻合，首次在金薄膜中观测到热弛豫时间的非线性温度效应；华中科技大学杨荣贵教授团队^［30］基于热反射表征技术皮秒级别的时间分辨率和超宽范围（0.01~50 MHz）的频率扫描特性，对具有较低热导率（<10 W·m^-1·K^-1）和面内各向异性材料非扩散热输运过程中的温度空间分布特性进行了测量，揭示了功能材料（例如化学气相沉积钻石、受到离子辐射的材料和电池电极材料）的结构-属性关系；飞秒激光频率梳技术^［31］可实现亚纳米级绝对距离测量，为非傅里叶模型的实验验证提供了新工具；Huberman等^［32］实验观察到石墨在温度T>\mathrm{100}\mathrm{K}的声子第二声现象，证实了非傅里叶模型在宏观尺度的适用性；清华大学曹炳阳教授团队分别采用反射热成像温度场测试技术和全带跨尺度仿真技术对GaN晶体管非傅里叶热输运进行了研究^［33］。借助反射热成像方法的高空间分辨率优势，观察到了低至500 nm尺寸热源的温度场分布；基于全带声子蒙特卡洛及有限元方法的三维跨尺度仿真的模拟结果与实验值具有较好一致性。并指出，随着热源尺寸的减小，基于傅里叶定律的温度预测偏差逐渐增大，而基于非傅里叶热输运机制对准确预测GaN晶体管器件的结温非常重要。

（3）跨学科交叉融合

Chen团队^［34］通过超晶格界面纳米点调控、时域热反射测量与分子动力学模拟，揭示了纳米尺度下声子安德森局域化，通过增强界面散射热传导的抑制效应，为非傅里叶模型在纳米焊接中的应用提供了微观依据，证明当声子输运进入局域化时，必须考虑非平衡态散射和非局部效应；Qian等^［35］通过纳米结构设计、超快速测量技术与多尺度模拟，揭示了非傅里叶导热在声子局域化、非平衡弛豫及界面散射中的关键机制，证实了传统傅里叶模型在纳米尺度的局限性；并指出，当声子输运进入局域化（如安德森局域化）或相干（如超晶格中的相位保留散射）时，必须采用非傅里叶模型描述热传导过程，为微纳器件热控制提供了新的理论框架。欧阳^［36］采用理论分析、数值模拟和实验研究相结合的方法，研究了可为微纳卫星提供可靠动力来源的激光-电磁复合推力器的工作过程和推进特性。其研究结果表明，热弛豫时间的存在，会导致烧蚀表面温度和烧蚀深度低于传统傅里叶导热过程，但是更符合实验结果。

4.2 非傅里叶导热面临的挑战与发展前景

4.2.1 非傅里叶导热面临的挑战

（1）非傅里叶导热模型与求解方法的多样化

典型的非傅里叶热传导模型包括单相滞后C-V模型和双相滞后DPL模型。C-V模型只引入热流弛豫时间{\tau }_q；相较而言，DPL是一种更优的非傅里叶导热模型，引入热流密度和温度梯度两个时间弛豫参数{\tau }_q和{\tau }_T，描述热波传播过程的微观弛豫行为，更适用于各种极端传热场景。当DPL模型中{\tau }_T=\mathrm{0}时，转化为C-V模型；当DPL模型中{\tau }_q=\mathrm{0}时，转化为另一种单相滞后模型^［15-17］；当DPL模型中{\tau }_T=\mathrm{0}且{\tau }_q=\mathrm{0}时，则直接转化为傅里叶导热模型。

对于非傅里叶热传导问题的求解，主要有解析法和数值法两大类。在实际应用中，需要根据具体问题和边界条件选择合适的模型和方法进行求解。针对简单规则有界区域的非傅里叶热传导问题，可通过拉普拉斯变换、积分变换或分离变量法等求解特定条件下的解析解，或采用有限差分法对时间和空间进行离散获得数值解。对于复杂几何形体和复杂边界条件，可通过伽辽金法（Galerkin method）^［37］、蒙特卡罗法（Monte Carlo method）^［38］等对非傅里叶方程进行空间和时间离散从而获得数值解。也有通过本征正交分解法（proper orthogonal decomposition method， PODM）^［39］对非傅里叶模型进行降阶处理，提取主导模态降低计算维度，该法适用于随机非傅里叶热传导的高效分析；或采用瑞利-里茨法（Rayleigh-Ritz method）^［40-42］生成动态基向量逼近复杂温度场，提升大规模瞬态传热问题的求解效率。

（2）边界条件的非傅里叶变换

在非傅里叶传热模型的求解过程中，需要特别注意边界条件的处理，如采用分离变量法、积分变化法等处理非傅里叶变换的简单边界条件，或引入热势函数等方法处理脉冲热流等复杂边界条件。严格意义上说，傅里叶传热控制方程应采用傅里叶型边界条件，而非傅里叶传热控制方程应采用非傅里叶型边界条件。截至目前，国内关于激光加工中温度场、流场、熔池、匙孔动态行为数值分析方面公开发表的论文中，几乎都是傅里叶导热模型，有的明确给出了傅里叶型边界条件^［43-46］，有的没有给出边界条件信息^［47-52］。而在其他一些涉及激光加工制造与使用的学科领域，已经开始运用非傅里叶模型求解工程问题，有的没有给出边界条件，因而不得而知边界条件有否进行非傅里叶转换，但截至目前大多数仍采用的是傅里叶边界条件^{［36，53］}。

许光映等^［54-55］针对激光辐照生物组织的热传导瞬态作用过程进行了研究，运用DPL非傅里叶模型控制方程，导出了非傅里叶和傅里叶边界条件，分别给出了非傅里叶和傅里叶边界条件问题的解析解。研究结果表明，在非傅里叶控制方程条件下，基于非傅里叶边界条件预测的生物组织内的温度分布更符合能量守恒定律，而基于傅里叶边界条件预测的生物组织内的温度分布则不符合能量守恒定律，且非傅里叶边界条件计算所得的激光辐照生物组织的温升幅值和温度的变化速率与傅里叶边界条件下所得的结论相反，还发现采用傅里叶边界条件预测的生物组织的热损伤明显低于非傅里叶边界条件的热损伤。

（3）弛豫时间的精确测定

热流密度弛豫时间{\tau }_q和温度梯度弛豫时间{\tau }_T的确定，对于准确预测瞬态温度变化的响应速度及其对材料服役行为的影响等具有重要意义。研究表明，金属材料的热弛豫时间值取决于材料类型、微观结构及外部条件（如晶格振动、温度、应力状态、杂质、位错等），不同体系差异显著^［56］。受测量技术的限制，截至目前测量金属材料在超急速、超短程导热过程中的热弛豫时间仍有相当大的困难。

常温下金属材料的热弛豫时间小于{\mathrm{10}}^{-\mathrm{11}}\mathrm{s}量级^［21］。镍及其合金的热弛豫时间极短，得益于其高温稳定性和抗腐蚀性，适合高温应用场景（如航空发动机）^［57］。Brorson等^［19］通过高频电流脉冲加热金箔，通过施加不同频率的热激励，记录热流密度q和温度梯度\nabla T的动态响应曲线，推导DPL模型与傅里叶模型的解析解，通过对比两者在不同频率下的热响应差异，来确定滞后参数{\tau }_q和{\tau }_T。Brorson测得激光在金箔中的延迟时间非常短，具体为热量传播距离100 nm延时100 fs。Bag等^［18］在探究超短脉冲激光焊接钢-铝异种材料时，对于频率为1 MHz、脉冲能量 30 µJ时激光热源，模拟中取{\tau }_T=\mathrm{0.1}\mathrm{p}\mathrm{s}，{\tau }_q=\mathrm{0.05}\mathrm{p}\mathrm{s}。胡学功等^［58］研究了脉冲激光热源对圆柱陶瓷端面温度场的影响，{\tau }_q在常温下取值范围为{\mathrm{10}}^{-\mathrm{12}}~{\mathrm{10}}^{-\mathrm{14}} s，并指出，热弛豫时间对微小空间尺度下非均质材料的急速传热过程起着主导作用。

正是由于非傅里叶模型中变量的复杂性、求解方法的多样性、边界是否进行非傅里叶变换、弛豫时间测量难度大等问题，直接或间接影响求解结果的精确性。此外，对于极端环境中的实际传热问题，除了热传导外，还可能存在对流、辐射等热量交换方式或散热边界条件，以及热、流、力、磁、电、声等的耦合，加上求解域的不规则形，因而，如何获得精确、高效的预测结果，仍面临巨大的挑战。

4.2.2 非傅里叶导热的发展前景

从各种数据库检索结果的时间分布来推断，近30年来越来越多的科研人员开始关注传热过程的非傅里叶特性，除了熟知的激光、电子束等热源的非傅里叶特性外，还发现了一些其他现象的非傅里叶导热特性，例如声子水动力学、微纳连接、热整流、声子局域化、极低温生物组织等。赵凌康等^［53］在研究电磁轨道发射过程中轨道与电枢温度场的变化规律时，分析了非傅里叶热效应对轨道温度的影响。研究结果表明，在靠近出口一端轨道的温度值分布受非傅里叶热效应影响较大。许光映等^［54］研究发现，采用DPL建立的非傅里叶导热模型相较于傅里叶导热模型能够更好地反映脉冲激光与生物组织瞬态作用过程，且非傅里叶边界条件下所得的温升幅值和温度的变化速率与傅里叶边界条件下所得的结论相反。

非傅里叶导热在先进制造领域取得了重大的突破。超快速、超短程材料加工（如飞秒、皮秒激光焊接，微纳尺度电子封装）的特征时间尺度与材料微观热弛豫时间相当，此类场景中非傅里叶模型比傅里叶模型具有显著优势。上海光机所2023年在镍基高温合金激光焊接中，通过非傅里叶模型调整能量输入方式，将焊缝气孔率从8%降至0.5%，并提高接头高温强度15%^［57］；沈阳富创精密在2024年开发的电铸镍高温合金真空激光焊接工艺，通过非傅里叶模型优化束斑偏移量，解决了异种金属焊接中的磁干扰问题，将焊缝抗拉强度提升至母材的90%^［59］。

非傅里叶导热除了在超快速激光焊接、超短程微纳连接^{［26，60］}、极低温生物医学^［61］以及超高温新材料^［62］开发等极端热过程中广泛应用外，未来在以下领域还具有广阔应用前景。

（1）核能系统：预测高温合金在极端热载荷下的失效行为。

（2）航空航天：优化超高温材料（如C/C复合材料）的焊接工艺。

（3）柔性电子：解决柔性热管在复杂表面的传热瓶颈。

非傅里叶导热与材料科学、人工智能深度融合，相关技术已取得了重大创新。但非傅里叶导热理论仍面临诸多的挑战，尚存在一些问题亟待解决，比如超短脉冲激光焊接的瞬态温度场的实验测量目前仍缺乏有效手段。未来需通过多尺度建模、实验技术创新及跨学科交叉融合，进一步推动非傅里叶导热的产业化应用，为高端制造与极端环境工程提供理论支撑。

5 结束语

非傅里叶导热理论通过引入热流密度弛豫时间和温度梯度弛豫时间并建立双相滞后模型（DPL），解决了傅里叶导热定律在超快速、超短程、超低温等极端传热场景下的局限性，揭示了热波传播的有限速度与离散化等基本特征。 非傅里叶导热模型加上非傅里叶边界条件是对极端环境传热问题的严谨科学描述，采用准确的热弛豫时间参数以及高精度高效的数值求解方法，可为极端环境传热过程的工艺参数优化以及在极端工况服役的高端装备制造提供更科学的理论指导，有助于提升高端装备产品质量，有效抑制热裂纹、烧蚀等缺陷。非傅里叶导热模型在预测超短脉冲激光焊接的温度场滞后、热影响区尺寸以及异质材料界面热扩散失配问题上，计算精度显著优于傅里叶导热模型。未来需进一步深化跨尺度、多模态建模，提高实验测量技术以及跨学科交叉融合，积极推动非傅里叶导热在极端环境中的应用。

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基金资助

山东省重点研发计划（重大科技创新工程）项目(2021ZLGX01)