准单调变分不等式解集和半压缩映射有限族公共不动点集的公共元的迭代算法

Iterative algorithms for quasi monotonic variational inequality solution sets and semi-contractive mappings of common elements of a finite family of common fixed point sets

摘要

在Hilbert空间中，研究了准单调变分不等式在L-Lipschitz连续的情况下结合不动点问题，证明了新算法产生的迭代序列强收敛到准单调变分不等式解集和半压缩映射有限族公共不动点集的公共元。将映射推广至准单调映射，同时将最小值自适应步长改为最大值自适应步长，最后给出具体的数值实验，验证了该迭代算法具有更快的收敛速度。

Abstract

In Hilbert space， the quasi-monotonic variational inequality combined with the fixed point problem in the case of L-Lipschitz continuity is studied. It is proved that the iterative sequence engendered by the devised algorithm robustly converges towards the aggregate elements of the quasi-monotonic variational inequality solution set and the a family of semi-contractive mappings common fixed points set. The mapping is extended to quasi-monotone mapping， and the minimum adaptive step size is changed to the maximum adaptive step size. Finally， specific numerical experiments are given to verify that the iterative algorithm has a faster convergence speed.

Graphical abstract

关键词

准单调变分不等式 / 不动点 / 半压缩映射有限族 / 强收敛性

Key words

quasi monotonic variational inequality / fixed points / a finite family of semi-contractive mappings / strong convergence

设H是具有内积〈·,·〉和范数‖·‖的实Hilbert空间，C是H上的一个非空闭凸子集，映射A:H\to H是一个映射，研究的变分不等式问题是指寻找x^{\mathrm{*}}\in C，使得〈A(x^{\mathrm{*}}),x-x^{\mathrm{*}}〉\ge \mathrm{0},x\in C，记其解集为VI（C，A）。

近年来，求解Hilbert空间中变分不等式问题和不动点问题受到了众多学者的关注^［1-12］。杨静等^［13］提出了一种投影算法：

\left\{\begin{array}{l}{y}_n=P_C(x_n-{\lambda }_{n}A{x}_n),\\ z_n=y_n+{\lambda }_n(A{x}_n-A{y}_n),\\ q_n=(\mathrm{1}-{\beta }_n)z_n+{\beta }_{n}T{z}_n,\\ x_{n+\mathrm{1}}={\alpha }_{n}f(x_n)+\left(\mathrm{1}-{\alpha }_n\right)q_n,\end{array}\right.

在该算法中，{\lambda }_n=\gamma l^{m_n}，m_n是满足\gamma l^m‖A{x}_n-A{y}_n‖\le \mu ‖x_n-y_n‖的最小非负整数，并且T:H\to H是\alpha -半压缩映射，其中，A是一个伪单调满足一致连续的映射，该算法证明了产成的迭代序列的强收敛性。2023年，叶明露等^［14］提出了求解准单调且Lipschitz连续的变分不等式问题，投影算法如下：

其中，{\lambda }_k=\alpha {\eta }_{m_k}，H_k=\left\{v\in {\mathbb{R}}^n:h_k(v)\le \mathrm{0}\right\}，映射F:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n是连续的，映射F在{\mathbb{R}}^n是准单调映射，其在准单调且对偶变分不等式解集非空的条件下，得到了准单调变分不等式解集的压缩投影算法所生成的聚点是解的结论。

最近，高兴慧等^［15］提出了求解伪单调变分不等式解集和半压缩映射有限族公共不动点集的公共元的新投影算法：

\left\{\begin{array}{l}{\omega }_n=x_n+{\sigma }_n(x_n-x_{n-\mathrm{1}}),\\ t_n=P_C({\omega }_n-{\lambda }_{n}A{\omega }_n),\\ u_n=t_n-{\lambda }_n(A{t}_n-A{\omega }_n),\\ y_n^{\mathrm{1}}=(\mathrm{1}-{\beta }_n^{\mathrm{1}})u_n+{\beta }_n^{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{1}}{u}_n,\\ y_n^{\mathrm{2}}=(\mathrm{1}-{\beta }_n^{\mathrm{2}})y_n^{\mathrm{1}}+{\beta }_n^{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{2}}{y}_n^{\mathrm{1}},\\ \dots \\ y_n^N=(\mathrm{1}-{\beta }_n^N)y_n^{N-\mathrm{1}}+{\beta }_n^N{T}_N{y}_n^{N-\mathrm{1}},\\ x_{n+\mathrm{1}}={\alpha }_{n}f(x_n)+(\mathrm{1}-{\alpha }_n)y_n^N,\end{array}\right.

其中，A是伪单调、L-Lipschitz的，T_i:H\to H是半压缩映射族，其自适应满足

{\lambda }_{n+\mathrm{1}}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{\frac{\mu ‖{\omega }_n-t_n‖}{‖A{\omega }_n-A{t}_n‖},{\lambda }_n\right\},A{\omega }_n-A{t}_n\ne \mathrm{0};\\ {\lambda }_n,A{\omega }_n-A{t}_n=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.

受到上述研究的启发，本文提出了一种新的惯性自适应迭代算法，并证明了该算法的强收敛性，最后给出数值实验验证本文算法收敛速度更快，且得到的结论从伪单调映射推广至准单调映射，进而改进和推广了文献［15］的相关结果。

1 预备知识

假设H是一个实的Hilbert空间，T:H\to H是一个非线性映射，如果条件T{x}^{\mathrm{*}}=x^{\mathrm{*}}能够满足，那么x^{\mathrm{*}}就叫做映射T的一个不动点，并用Fix(T)表示映射T的不动点集，即满足：Fix(T)=\left\{x^{\mathrm{*}}\in H,T{x}^{\mathrm{*}}=x^{\mathrm{*}}\right\}。假设C是H上的一个非空闭凸子集，满足序列\left\{x_n\right\}\subset C，用x_n\rightharpoonup x表示\left\{x_n\right\}弱收敛于x，用x_n\tox表示\left\{x_n\right\}强收敛于x。如果对任意的x\in H，可以在C中找到唯一的逼近点，记作P_{C}x，满足

‖x-P_C(x)‖=‖x-y‖，y\in C，

其中，P_C叫做H到C上的映射。

定义1^［16］ 假设T:H\to H是一个非线性映射，且满足Fix(T)\ne \mathrm{\varnothing }，有

1）若对任意的x\in H,z\in Fix(T)，满足

{‖Tx-z‖}^{\mathrm{2}}\le {‖x-z‖}^{\mathrm{2}}+\beta {‖(I-T)x‖}^{\mathrm{2}}，，

则称T是\beta -半压缩映射。

2）若对任意的x,y\in H以及存在常数L>\mathrm{0}，满足

‖Tx-Ty‖\le L‖x-y‖，

则称T是L-Lipschitz连续的。

3）若对任意的x,y\in H，满足

〈Tx,y-x〉\ge \mathrm{0}\Rightarrow 〈Ty,y-x〉\ge \mathrm{0}，

则称T是伪单调的。

4）若对任意的x,y\in H，满足

〈Tx,y-x〉>\mathrm{0}\Rightarrow 〈Ty,y-x〉\ge \mathrm{0}，

则称T是准单调的。

5）若对每一个序列\left\{x_n\right\}\subset H， \left\{x_n\right\}弱收敛到某个点x\in H，有\left\{T{x}_n\right\}弱收敛到Tx，则称T在H上是序列弱连续的。

注1^［14］ 映射是伪单调的一定是准单调的，反之则不成立。

定义2^［16］ 假设T:H\to H是一个非线性映射，Fix(T)\ne \mathrm{\varnothing }，如果对任意的序列\left\{x_n\right\}\subset H,当满足x_n\rightharpoonup x和\left(I-T\right)x_n\to \mathrm{0}的条件时，有x\in Fix\left(T\right)成立，那么称I-T在零点是半闭的。

引理1^［16］ 假设C是H上的非空闭凸子集，对于给定的x\in H，p\in C，有

p=P_{C}x\iff 〈x-p,p-y〉\ge \mathrm{0}，\forall y\in C。

引理2^［17］ 假设T:H\to H是一个\beta-半压缩映射且满足映射T的不动点集非空，那么T的不动点集是H中的闭凸集。

引理3^［18］ 假设\left\{c_n\right\}是（0，1）上的一个实数序列，{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\infty }}{\theta }_n=\infty，\left\{d_n\right\}是一个实数序列，假设

c_{n+\mathrm{1}}\le (\mathrm{1}-{\theta }_n)c_n+{\theta }_n{d}_n，\forall n\ge \mathrm{1}，

当序列\left\{c_n\right\}的每一个子序列\left\{c_{n_k}\right\}均满足\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}(c_{n_k+\mathrm{1}}-c_{n_k})\ge \mathrm{0}时，有\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}{d}_{n_k}\le \mathrm{0}，则\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{c}_n=\mathrm{0}。

2 主要结果

在给出主要结果之前，先给出以下条件：

（C1） A:H\to H为准单调、满足L-Lipschitz连续以及序列弱连续，f:H\to H是一个具有常数\sigma\left(\sigma \in \left.\left[\mathrm{0,1}\right.\right)\right)的压缩映射；

（C2） T_i:H\to H是满足{\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{N}{\cap }}}F(T_i)\ne \mathrm{\varnothing }的{\epsilon }_i-半压缩映射，I-T_i在零点是半闭的，其中，i=\mathrm{1,2},\dots ,N；

（C3） VI(C,A)\bigcap \bigcap \stackrel{N}{\underset{i=\mathrm{1}}{F}}(T_i)\ne \mathrm{\varnothing }；

（C4）序列\left\{{\alpha }_n\right\}，\left\{{\beta }_n^i\right\}，\left\{{\eta }_n\right\}\subseteq \left(\mathrm{0,1}\right)且\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\alpha }_n=\mathrm{0}，{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\alpha }_n=\mathrm{\infty }，\le \mathrm{1}-{\epsilon }_i\le \mathrm{1}，i=\mathrm{1,2},\dots ,N，a_i>\mathrm{0}。

算法1{\lambda }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0},\mu \in (\mathrm{0,1})，取x_{\mathrm{0}},x_{\mathrm{1}}\in H,n:=\mathrm{1}。

第1步 令{\omega }_n=x_n+{\eta }_n(x_n-x_{n-\mathrm{1}})。

第2步 计算

u_n=P_C({\omega }_n-\frac{k}{{\lambda }_n}A{\omega }_n)，

y_n=u_n-\frac{k}{{\lambda }_n}(A{u}_n-A{\omega }_n)，其中，

{\lambda }_{n+\mathrm{1}}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\frac{‖A{\omega }_n-A{u}_n‖}{\mu ‖{\omega }_n-u_n‖},{\lambda }_n\right\},A{\omega }_n-A{u}_n\ne \mathrm{0};\\ {\lambda }_n,A{\omega }_n-A{u}_n=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.

第3步 计算

t_n^{\mathrm{1}}=(\mathrm{1}-{\beta }_n^{\mathrm{1}})y_n+{\beta }_n^{\mathrm{1}}{T}_{\mathrm{1}}{y}_n，

t_n^{\mathrm{2}}=(\mathrm{1}-{\beta }_n^{\mathrm{2}})t_n^{\mathrm{1}}+{\beta }_n^{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{2}}{t}_n^{\mathrm{1}}，

…

t_n^{N-\mathrm{1}}=(\mathrm{1}-{\beta }_n^{N-\mathrm{1}})t_n^{N-\mathrm{2}}+{\beta }_n^{N-\mathrm{1}}{T}_{N-\mathrm{1}}{t}_n^{N-\mathrm{2}}，

t_n^N=(\mathrm{1}-{\beta }_n^N)t_n^{N-\mathrm{1}}+{\beta }_n^N{T}_N{t}_n^{N-\mathrm{1}}。

第4步 计算

x_{n+\mathrm{1}}={\alpha }_{n}f(x_n)+(\mathrm{1}-{\alpha }_n)t_n^N。

令n:=n+\mathrm{1}，回到第1步。

引理4^［19］ 如果满足条件（C1），那么由自适应步长产成的序列\left\{{\lambda }_n\right\}非递减且

。

引理5^［4］ 如果满足条件（C1）~（C4），\left\{{\omega }_n\right\}是算法1产成的序列，假设存在子列\left\{{\omega }_{nk}\right\}弱收敛到z\in H和\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖u_{n_k}-{\omega }_{n_k}‖=\mathrm{0}，则Az=0或者z\inVI（C，A）。

引理6 如果满足条件（C1）~（C4），\left\{y_n\right\}是由算法产成的序列，则

\begin{array}{l}{‖y_n-q‖}^{\mathrm{2}}\le {‖{\omega }_n-q‖}^{\mathrm{2}}-(\mathrm{1}-{\mu }^{\mathrm{2}}{k}^{\mathrm{2}}\frac{{\lambda }_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{{\lambda }_n^{\mathrm{2}}}){‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}},\\ [q\in VI(C,A)]\mathrm{。}\end{array}（1）

证明 由算法1可知

‖A{\omega }_n-A{u}_n‖\le \mu {\lambda }_{n+\mathrm{1}}‖{\omega }_n-u_n‖，（2）

根据\left\{y_n\right\}的定义和式（2）知

\begin{array}{l}{‖y_n-q‖}^{\mathrm{2}}={‖u_n-\frac{k}{{\lambda }_n}(A{u}_n-A{\omega }_n)-q‖}^{\mathrm{2}}=\\ {‖u_n-q‖}^{\mathrm{2}}+{\left(\frac{k}{{\lambda }_n}\right)}^{\mathrm{2}}{‖A{u}_n-A{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{2}\frac{k}{{\lambda }_n}〈A{u}_n-A{\omega }_n,u_n-q〉={‖u_n-{\omega }_n+{\omega }_n-q‖}^{\mathrm{2}}+\\ {\left(\frac{k}{{\lambda }_n}\right)}^{\mathrm{2}}{‖A{u}_n-A{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\frac{k}{{\lambda }_n}〈A{u}_n-A{\omega }_n,u_n-q〉=\\ {‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+{‖{\omega }_n-q‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}〈u_n-{\omega }_n,{\omega }_n-q〉+\end{array}

\begin{array}{l}{\left(\frac{k}{{\lambda }_n}\right)}^{\mathrm{2}}{‖A{u}_n-A{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\frac{k}{{\lambda }_n}〈A{u}_n-A{\omega }_n,u_n-q〉=\\ {‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+{‖{\omega }_n-q‖}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}〈u_n-{\omega }_n,u_n-{\omega }_n〉+\\ \mathrm{2}〈u_n-{\omega }_n,u_n-q〉+{\left(\frac{k}{{\lambda }_n}\right)}^{\mathrm{2}}{‖A{u}_n-A{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{2}\frac{k}{{\lambda }_n}〈A{u}_n-A{\omega }_n,u_n-q〉={‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+\\ {‖{\omega }_n-q‖}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}〈u_n-{\omega }_n,u_n-q〉+\\ {\left(\frac{k}{{\lambda }_n}\right)}^{\mathrm{2}}{‖A{u}_n-A{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\frac{k}{{\lambda }_n}〈A{u}_n-A{\omega }_n,u_n-q〉=\\ {‖{\omega }_n-q‖}^{\mathrm{2}}-{‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}〈u_n-{\omega }_n,u_n-q〉+\\ {\left(\frac{k}{{\lambda }_n}\right)}^{\mathrm{2}}{‖A{u}_n-A{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\frac{k}{{\lambda }_n}〈A{u}_n-A{\omega }_n,u_n-q〉\mathrm{。}\end{array}（3）

由引理1以及u_n=P_C({\omega }_n-\frac{k}{{\lambda }_n}A{\omega }_n)，可知

〈{\omega }_n-\frac{k}{{\lambda }_n}A{\omega }_n-u_n,u_n-q〉\ge \mathrm{0}，即

〈u_n-{\omega }_n,u_n-q〉\le -\frac{k}{{\lambda }_n}〈A{\omega }_n,u_n-q〉，（4）

由q\inVI（C，A），得〈Aq,u_n-q〉\ge \mathrm{0}。

当〈Aq,u_n-q〉>\mathrm{0}时，由A是准单调映射，有

〈A{u}_n,u_n-q〉\ge \mathrm{0}，（5）

将式（4）代入式（3）并结合式（5），可得

\begin{array}{l}{‖y_n-q‖}^{\mathrm{2}}\le {‖{\omega }_n-q‖}^{\mathrm{2}}-{‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{2}\frac{k}{{\lambda }_n}〈A{\omega }_n,u_n-q〉+{\left(\frac{k}{{\lambda }_n}\right)}^{\mathrm{2}}{‖A{u}_n-A{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{2}\frac{k}{{\lambda }_n}〈A{u}_n-A{\omega }_n,u_n-q〉\le {‖{\omega }_n-q‖}^{\mathrm{2}}-{‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{2}\frac{k}{{\lambda }_n}〈A{u}_n,u_n-q〉+{\left(\frac{k}{{\lambda }_n}\right)}^{\mathrm{2}}{‖A{u}_n-A{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}\le \\ {‖{\omega }_n-q‖}^{\mathrm{2}}-{‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\frac{k}{{\lambda }_n}〈A{u}_n,u_n-q〉+\\ {\mu }^{\mathrm{2}}{k}^{\mathrm{2}}\frac{{\lambda }_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{{\lambda }_n^{\mathrm{2}}}{‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}\le {‖{\omega }_n-q‖}^{\mathrm{2}}-\\ \left(\mathrm{1}-{\mu }^{\mathrm{2}}{k}^{\mathrm{2}}\frac{{\lambda }_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{{{\lambda }_n}^{\mathrm{2}}}\right){‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\frac{k}{{\lambda }_n}〈A{u}_n,u_n-q〉\le \\ {‖{\omega }_n-q‖}^{\mathrm{2}}-\left(\mathrm{1}-{\mu }^{\mathrm{2}}{k}^{\mathrm{2}}\frac{{\lambda }_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{{\lambda }_n^{\mathrm{2}}}\right){‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}},\end{array}

式（1）得证。

当〈Aq,u_n-q〉=\mathrm{0}时，设对任意的k\in (\mathrm{0},+\mathrm{\infty })，其子列记为k_i，有\frac{\mathrm{1}}{k_i}>\mathrm{0}，则有

，

结合A是准单调得出

〈A\left(u_n+\frac{Aq}{{‖Aq‖}^{\mathrm{2}}{k}_i}\right),\left(u_n+\frac{Aq}{{‖Aq‖}^{\mathrm{2}}{k}_i}\right)-q〉\ge \mathrm{0}，

令i\to \mathrm{\infty }，则有〈A{u}_n,u_n-q〉\ge \mathrm{0}，与上述证明一致，式（1）得证。

定理1 如果满足条件（C1）~（C4），\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\eta }_n}{{\alpha }_n}·‖x_n-x_{n-\mathrm{1}}‖=\mathrm{0}，那么由算法1产成的迭代序列\left\{x_n\right\}强收敛到q\in VI(C,A)\bigcap {\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{N}{\cap }}}F(T_i)，q\in P_{VI(C,A)\bigcap {\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{N}{\cap }}}F(T_i)}f(q)。

证明 由引理2，得到{\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{N}{\cap }}}F(T_i)是闭凸集，由文献［20］得到VI（C，A）也是闭凸集，再由条件（C3），注意到P_{VI(C,A)\bigcap {\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{N}{\cap }}}F(T_i)}f(·)是压缩映射，根据Banach压缩原理，可知存在q\in VI(C,A)\bigcap{\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{N}{\cap }}}F(T_i)，使得

q=P_{VI(C,A)\bigcap {\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{N}{\cap }}}F(T_i)}f(q)。

步骤1 证明序列\left\{x_n\right\}有界。由引理4和，可得\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(\mathrm{1}-{\mu }^{\mathrm{2}}{k}^{\mathrm{2}}\frac{{\lambda }_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{{{\lambda }_n}^{\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{1}-{\mu }^{\mathrm{2}}{k}^{\mathrm{2}}>\mathrm{0}。

由式（1）

，可得‖y_n-q‖\le ‖{\omega }_n-q‖。（6）

由t_n^{\mathrm{1}},t_n^{\mathrm{2}},\dots ,t_n^N的构造，可得

\begin{array}{l}{‖t_n^N-q‖}^{\mathrm{2}}={‖(\mathrm{1}-{\beta }_n^N)(t_n^{N-\mathrm{1}}-q)+{\beta }_n^N(T_N{t}_n^{N-\mathrm{1}}-q)‖}^{\mathrm{2}}=\\ (\mathrm{1}-{\beta }_n^N){‖t_n^{N-\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}+{\beta }_n^N{‖T_N{t}_n^{N-\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}-\\ {\beta }_n^N(\mathrm{1}-{\beta }_n^N){‖t_n^{N-\mathrm{1}}-T_N{t}_n^{N-\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}\le (\mathrm{1}-{\beta }_n^N){‖t_n^{N-\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}+\\ {\beta }_n^N\left[{‖t_n^{N-\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}+{\epsilon }_N{‖(I-T_N)t_n^{N-\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}\right]-\\ {\beta }_n^N(\mathrm{1}-{\beta }_n^N){‖t_n^{N-\mathrm{1}}-T_N{t}_n^{N-\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}={‖t_n^{N-\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}-\\ {\beta }_n^N(\mathrm{1}-{\epsilon }_N-{\beta }_n^N){‖t_n^{N-\mathrm{1}}-T_N{t}_n^{N-\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}},\end{array}（7）

\begin{array}{l}{‖t_n^{N-\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}=‖(\mathrm{1}-{\beta }_n^{N-\mathrm{1}})(t_n^{N-\mathrm{2}}-q)+\\ {{\beta }_n^{N-\mathrm{1}}(T_{N-\mathrm{1}}{t}_n^{N-\mathrm{2}}-q)‖}^{\mathrm{2}}=(\mathrm{1}-{\beta }_n^{N-\mathrm{1}}){‖t_n^{N-\mathrm{2}}-q‖}^{\mathrm{2}}+\\ {\beta }_n^{N-\mathrm{1}}{‖T_{N-\mathrm{1}}{t}_n^{N-\mathrm{2}}-q‖}^{\mathrm{2}}-{\beta }_n^{N-\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\beta }_n^{N-\mathrm{1}})·\\ {‖t_n^{N-\mathrm{2}}-T_{N-\mathrm{1}}{t}_n^{N-\mathrm{2}}‖}^{\mathrm{2}}\le (\mathrm{1}-{\beta }_n^{N-\mathrm{1}}){‖t_n^{N-\mathrm{2}}-q‖}^{\mathrm{2}}+\\ {\beta }_n^{N-\mathrm{1}}\left[{‖t_n^{N-\mathrm{2}}-q‖}^{\mathrm{2}}+{\epsilon }_{N-\mathrm{1}}{‖(I-T_{N-\mathrm{1}})t_n^{N-\mathrm{2}}‖}^{\mathrm{2}}\right]-\\ {\beta }_n^{N-\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\beta }_n^{N-\mathrm{1}}){‖t_n^{N-\mathrm{2}}-T_{N-\mathrm{1}}{t}_n^{N-\mathrm{2}}‖}^{\mathrm{2}}={‖t_n^{N-\mathrm{2}}-q‖}^{\mathrm{2}}-\\ {\beta }_n^{N-\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\epsilon }_{N-\mathrm{1}}-{\beta }_n^{N-\mathrm{1}}){‖t_n^{N-\mathrm{2}}-T_{N-\mathrm{1}}{t}_n^{N-\mathrm{2}}‖}^{\mathrm{2}},\end{array}（8）

…

\begin{array}{l}{‖t_n^{\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}={‖(\mathrm{1}-{\beta }_n^{\mathrm{1}})(y_n^{}-q)+{\beta }_n^{\mathrm{1}}(T_{\mathrm{1}}{y}_n^{}-q)‖}^{\mathrm{2}}=\\ (\mathrm{1}-{\beta }_n^{\mathrm{1}}){‖y_n^{}-q‖}^{\mathrm{2}}+{\beta }_n^{\mathrm{1}}{‖T_{\mathrm{1}}{y}_n^{}-q‖}^{\mathrm{2}}-\\ {\beta }_n^{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\beta }_n^{\mathrm{1}}){‖y_n^{}-T_{\mathrm{1}}{y}_n^{}‖}^{\mathrm{2}}\le (\mathrm{1}-{\beta }_n^{\mathrm{1}}){‖y_n^{}-q‖}^{\mathrm{2}}+\\ {\beta }_n^{\mathrm{1}}\left[{‖y_n^{}-q‖}^{\mathrm{2}}+{\epsilon }_{\mathrm{1}}{‖(I-T_{\mathrm{1}})y_n^{}‖}^{\mathrm{2}}\right]-\\ {\beta }_n^{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\beta }_n^{\mathrm{1}}){‖y_n^{}-T_{\mathrm{1}}{y}_n^{}‖}^{\mathrm{2}}={‖y_n^{}-q‖}^{\mathrm{2}}-\\ {\beta }_n^{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\epsilon }_{\mathrm{1}}-{\beta }_n^{\mathrm{1}}){‖y_n^{}-T_{\mathrm{1}}{y}_n^{}‖}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}（9）

联立式（7）~式（9）以及条件（C4），可得

‖t_n^N-q‖\le ‖t_n^{N-\mathrm{1}}-q‖\le \cdot \cdot \cdot \le {‖t_n^{\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}\le ‖y_n-q‖\mathrm{。}（10）

又‖{\omega }_n-q‖=‖x_n-q+{\eta }_n(x_n-x_{n-\mathrm{1}})‖\le

‖x_n-q‖+{\alpha }_n\frac{{\eta }_n}{{\alpha }_n}‖x_n-x_{n-\mathrm{1}}‖，

由于\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\eta }_n}{{\alpha }_n}‖x_n-x_{n-\mathrm{1}}‖=\mathrm{0}，则存在M_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}，使得对任何n\ge \mathrm{1}，均有\frac{{\eta }_n}{{\alpha }_n}‖x_n-x_{n-\mathrm{1}}‖\le M_{\mathrm{1}}，则有

‖{\omega }_n-q‖\le ‖x_n-q‖+{\alpha }_n{M}_{\mathrm{1}}。（11）

结合式（6）、式（10）和式（11），可得

‖t_n^N-q‖\le ‖t_n^{N-\mathrm{1}}-q‖\le \dots \le {‖t_n^{\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}\le ‖y_n-q‖\le ‖{\omega }_n-q‖\le {‖x_n-q‖}^{}+{\alpha }_n{M}_{\mathrm{1}}，

由x_{n+\mathrm{1}}的构造，可得

\begin{array}{l}‖x_{n+\mathrm{1}}-q‖=‖{\alpha }_n\left[f(x_n)-q\right]+(\mathrm{1}-{\alpha }_n)(t_n^N-q)‖\le \\ {\alpha }_n‖f(x_n)-q‖+(\mathrm{1}-{\alpha }_n)‖t_n^N-q‖=\\ {\alpha }_n‖f(x_n)-f(q)+f(q)-q‖+\\ (\mathrm{1}-{\alpha }_n)‖t_n^N-q‖\le {\alpha }_n\sigma ‖x_n-q‖+\\ {\alpha }_n‖f(q)-q‖+(\mathrm{1}-{\alpha }_n)\left[‖x_n-q‖+{\alpha }_n{M}_{\mathrm{1}}\right]\le {\alpha }_n\sigma ‖x_n-q‖+{\alpha }_n‖f(q)-q‖+\\ (\mathrm{1}-{\alpha }_n)‖x_n-q‖+{\alpha }_n{M}_{\mathrm{1}}=\\ \left[\mathrm{1}-{\alpha }_n(\mathrm{1}-\sigma )\right]‖x_n-q‖+\\ {\alpha }_n(\mathrm{1}-\sigma )\frac{‖f(q)-q‖+M_{\mathrm{1}}}{(\mathrm{1}-\sigma )}\le \\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\left.‖x_n-q‖,\frac{‖f(q)-q‖+M_{\mathrm{1}}}{(\mathrm{1}-\sigma )}\right\}\right.\le \dots \le \\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\left.‖x_{\mathrm{0}}-q‖,\frac{‖f(q)-q‖+M_{\mathrm{1}}}{(\mathrm{1}-\sigma )}\right\}\right.,\end{array}

故序列\left\{x_n\right\}有界。

步骤2 证明

\begin{array}{l}(\mathrm{1}-{\alpha }_n)\left(\mathrm{1}-\frac{{{\lambda }_{n+\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}{{{\lambda }_n}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}{k}^{\mathrm{2}}\right){‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}+\\ (\mathrm{1}-{\alpha }_n){\beta }_n^{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\epsilon }_{\mathrm{1}}-{\beta }_n^{\mathrm{1}}){‖y_n^{}-T_{\mathrm{1}}{y}_n^{}‖}^{\mathrm{2}}+\\ (\mathrm{1}-{\alpha }_n){\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^N}\left[{\beta }_n^i(\mathrm{1}-{\epsilon }_i-{\beta }_n^i){‖t_n^{i-\mathrm{1}}-T_i{t}_n^{i-\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}\right]\le \\ {‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}-{‖x_{n+\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}+{\alpha }_n{M}_{\mathrm{4}}\mathrm{。}\end{array}（12）

由式（11），可得

\begin{array}{l}{‖{\omega }_n-q‖}^{\mathrm{2}}\le {\left(‖x_n-q‖+{\alpha }_n{M}_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{2}}=\\ {‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}+{\alpha }_n\left({\alpha }_n{M_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{M}_{\mathrm{1}}{‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}\right)\le \\ {‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}+{\alpha }_n{M}_{\mathrm{2}}\end{array}，（13）

其中，M_{\mathrm{2}}=\underset{n\ge \mathrm{1}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}({\alpha }_n{M}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{M}_{\mathrm{1}}‖x_n-q‖)。根据{‖·‖}^{\mathrm{2}}的凸性以及式（1）、式（7）~式（11）、式（13）可得

\begin{array}{l}{‖x_{n+\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}={‖{\alpha }_n\left[f(x_n)-q\right]+(\mathrm{1}-{\alpha }_n)(t_n^N-q)‖}^{\mathrm{2}}=\\ {\alpha }_n{‖f(x_n)-f(q)+f(q)-q‖}^{\mathrm{2}}+\\ (\mathrm{1}-{\alpha }_n){‖t_n^N-q‖}^{\mathrm{2}}-{\alpha }_n(\mathrm{1}-{\alpha }_n){‖f(x_n)-t_n^N‖}^{\mathrm{2}}\le \\ {\alpha }_n\left[{‖f(x_n)-f(q)‖}^{\mathrm{2}}+\right.\left.\mathrm{2}〈f(q)-q,f(x_n)-q〉\right]+\\ (\mathrm{1}-{\alpha }_n)\left\{{‖t_n^{N-\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}-{\beta }_n^N(\mathrm{1}-{\epsilon }_N-\right.\\ \left.{\beta }_n^N){‖t_n^{N-\mathrm{1}}-T_N{t}_n^{N-\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}\right\}\le {\alpha }_n\left[{‖f(x_n)-f(q)‖}^{\mathrm{2}}+\right.\\ \left.\mathrm{2}〈f(q)-q,f(x_n)-q〉\right]+\\ (\mathrm{1}-{\alpha }_n)\left\{{‖t_n^{N-\mathrm{2}}-q‖}^{\mathrm{2}}-{\beta }_n^{N-\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\epsilon }_{N-\mathrm{1}}-{\beta }_n^{N-\mathrm{1}})\right.‖t_n^{N-\mathrm{2}}-\\ T_{N-\mathrm{1}}{t}_n^{N-\mathrm{2}}‖\left.{}^{\mathrm{2}}-{\beta }_n^N(\mathrm{1}-{\epsilon }_N-{\beta }_n^N){‖t_n^{N-\mathrm{1}}-T_N{t}_n^{N-\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}\right\}\\ \dots \\ \le {\alpha }_n\left[{‖f(x_n)-f(q)‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}〈f(q)-q,f(x_n)-q〉\right]+\\ (\mathrm{1}-{\alpha }_n)\left\{{‖y_n-q‖}^{\mathrm{2}}-{\beta }_n^{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\epsilon }_{\mathrm{1}}-{\beta }_n^{\mathrm{1}}){‖y_n-T_{\mathrm{1}}{y}_n‖}^{\mathrm{2}}-\right.\\ \left.{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^N}\left[{\beta }_n^i(\mathrm{1}-{\epsilon }_i-{\beta }_n^i){‖t_n^{i-\mathrm{1}}-T_i{t}_n^{i-\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}\right]\right\}\le \\ {\alpha }_n\left[{‖f(x_n)-f(q)‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}〈f(q)-q,f(x_n)-q〉\right]+\\ (\mathrm{1}-{\alpha }_n)\left\{{‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}+{\alpha }_n{M}_{\mathrm{2}}-\left(\mathrm{1}-\frac{{{\lambda }_{n+\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}{{{\lambda }_n}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}{k}^{\mathrm{2}}\right)\right.·\\ {‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-{\beta }_n^{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\epsilon }_{\mathrm{1}}-{\beta }_n^{\mathrm{1}}){‖y_n-T_{\mathrm{1}}{y}_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ \left.{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^N}\left[{\beta }_n^i(\mathrm{1}-{\epsilon }_i-{\beta }_n^i){‖t_n^{i-\mathrm{1}}-T_i{t}_n^{i-\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}\right]\right\}\le \\ {\alpha }_n\left[{‖f(x_n)-f(q)‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}〈f(q)-q,f(x_n)-q〉\right]+\end{array}

\begin{array}{l}(\mathrm{1}-{\alpha }_n)\left\{{‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}-\left(\mathrm{1}-\frac{{{\lambda }_{n+\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}{{{\lambda }_n}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}{k}^{\mathrm{2}}\right){‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-\right.\\ {\beta }_n^{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\epsilon }_{\mathrm{1}}-{\beta }_n^{\mathrm{1}}){‖y_n-T_{\mathrm{1}}{y}_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ \left.{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^N}\left[{\beta }_n^i(\mathrm{1}-{\epsilon }_i-{\beta }_n^i){‖t_n^{i-\mathrm{1}}-T_i{t}_n^{i-\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}\right]+{\alpha }_n{M}_{\mathrm{2}}\right\}\le \\ {\alpha }_n{‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\alpha }_n‖f(q)-q‖‖f(x_n)-q‖+\\ (\mathrm{1}-{\alpha }_n){‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}-(\mathrm{1}-{\alpha }_n)\left(\mathrm{1}-\frac{{{\lambda }_{n+\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}{{{\lambda }_n}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}{k}^{\mathrm{2}}\right)·\\ {‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-(\mathrm{1}-{\alpha }_n){\beta }_n^{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\epsilon }_{\mathrm{1}}-{\beta }_n^{\mathrm{1}}){‖y_n-T_{\mathrm{1}}{y}_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ (\mathrm{1}-{\alpha }_n){\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^N}\left[{\beta }_n^i(\mathrm{1}-{\epsilon }_i-{\beta }_n^i){‖t_n^{i-\mathrm{1}}-T_i{t}_n^{i-\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}\right]+\\ {\alpha }_n{M}_{\mathrm{2}}\le {‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}-(\mathrm{1}-{\alpha }_n)\left(\mathrm{1}-\frac{{{\lambda }_{n+\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}{{{\lambda }_n}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}{k}^{\mathrm{2}}\right)\cdot \\ {‖u_n-{\omega }_n‖}^{\mathrm{2}}-(\mathrm{1}-{\alpha }_n){\beta }_n^{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\epsilon }_{\mathrm{1}}-{\beta }_n^{\mathrm{1}}){‖y_n-T_{\mathrm{1}}{y}_n‖}^{\mathrm{2}}-\\ (\mathrm{1}-{\alpha }_n){\displaystyle \sum _{i=\mathrm{2}}^N}\left[{\beta }_n^i(\mathrm{1}-{\epsilon }_i-{\beta }_n^i){‖t_n^{i-\mathrm{1}}-T_i{t}_n^{i-\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}\right]+\\ {\alpha }_n{M}_{\mathrm{2}}+{\alpha }_n{M}_{\mathrm{3}},\end{array}

其中，M_{\mathrm{3}}=\underset{n\ge \mathrm{1}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\mathrm{2}‖f(q)-q‖‖f(x_n)-q‖，令M_{\mathrm{4}}=M_{\mathrm{2}}+M_{\mathrm{3}}。故式（12）成立。

步骤3 证明

{‖x_{n+\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}\le \left[\mathrm{1}-{\alpha }_n(\mathrm{1}-\sigma )\right]{‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}+{\alpha }_n(\mathrm{1}-\sigma )\left[\frac{M_{\mathrm{5}}{\eta }_n}{{\alpha }_n(\mathrm{1}-\sigma )}‖x_n-x_{n-\mathrm{1}}‖+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}-\sigma }〈f(q)-q,x_{n+\mathrm{1}}-q〉\right]。（14）

由x_{n+\mathrm{1}}\mathrm{、}{\omega }_n的构造可得

\begin{array}{l}{‖x_{n+\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}=‖{\alpha }_n\left[f(x_n)-f(q)\right]+{\alpha }_n\left[f(q)-q\right]+\\ {(\mathrm{1}-{\alpha }_n)(t_n^N-q)‖}^{\mathrm{2}}\le ‖{\alpha }_n\left[f(x_n)-f(q)\right]+\\ {(\mathrm{1}-{\alpha }_n)(t_n^N-q)‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\alpha }_n〈f(q)-q,x_{n+\mathrm{1}}-q〉\le \\ {\alpha }_n\sigma {‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}+(\mathrm{1}-{\alpha }_n){‖t_n^N-q‖}^{\mathrm{2}}+\\ \mathrm{2}{\alpha }_n〈f(q)-q,x_{n+\mathrm{1}}-q〉,\end{array}（15）

\begin{array}{l}{‖t_n^N-q‖}^{\mathrm{2}}\le {‖{\omega }_n-q‖}^{\mathrm{2}}\le {‖x_n-q+{\eta }_n\left(x_n-x_{n-\mathrm{1}}\right)‖}^{\mathrm{2}}\le \\ {‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\eta }_n〈x_n-x_{n-\mathrm{1}},{\omega }_n-q〉\le {‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\eta }_n‖x_n-x_{n-\mathrm{1}}‖‖{\omega }_n-q‖\le {‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}+{\eta }_n‖x_n-x_{n-\mathrm{1}}‖M_{\mathrm{5}},\end{array}（16）

其中，M_{\mathrm{5}}=\underset{n\ge \mathrm{1}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\mathrm{2}‖{\omega }_n-q‖。将式（16）代入式（15），可得

\begin{array}{l}{‖x_{n+\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}\le {\alpha }_n\sigma {‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}+\\ (\mathrm{1}-{\alpha }_n)\left({‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}+{\eta }_n‖x_n-x_{n-\mathrm{1}}‖M_{\mathrm{5}}\right)+\\ \mathrm{2}{\alpha }_n〈f(q)-q,x_{n+\mathrm{1}}-q〉\le \\ {\alpha }_n\sigma {‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}+(\mathrm{1}-{\alpha }_n){‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}+\\ {\eta }_n‖x_n-x_{n-\mathrm{1}}‖M_{\mathrm{5}}+\\ \mathrm{2}{\alpha }_n〈f(q)-q,x_{n+\mathrm{1}}-q〉\le \\ \left[\mathrm{1}-{\alpha }_n(\mathrm{1}-\sigma )\right]{‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}+\\ {\alpha }_n(\mathrm{1}-\sigma )\left[\frac{M_{\mathrm{5}}{\eta }_n}{{\alpha }_n(\mathrm{1}-\sigma )}‖x_n-x_{n-\mathrm{1}}‖+\right.\\ \left.\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}-\sigma }〈f(q)-q,x_{n+\mathrm{1}}-q〉\right],\end{array}

故式（14）成立。

步骤4 证明{‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}\to \mathrm{0}(\mathrm{n}\to \mathrm{\infty })。

根据引理3可知，只要证明当序列\left\{‖x_n-q‖\right\}中的每个子列\left\{‖x_{n_k}-q‖\right\}均能满足\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left(‖x_{n_{k+\mathrm{1}}}-q‖-\right.\left.‖x_{n_k}-q‖\right)\ge \mathrm{0}时，有\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}〈f(q)-q,x_{n_k+\mathrm{1}}-q〉\le \mathrm{0}。

首先，假设序列\left\{‖x_{n_k}-q‖\right\}是\left\{‖x_n-q‖\right\}的子列，且满足\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left(‖x_{n_k+\mathrm{1}}-q‖-‖x_{n_k}-q‖\right)\ge \mathrm{0}，就有

\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left({‖x_{n_k+\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}-{‖x_{n_k}-q‖}^{\mathrm{2}}\right)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left(‖x_{n_k+\mathrm{1}}-q‖+‖x_{n_k}-q‖\right)·\left(‖x_{n_k+\mathrm{1}}-q‖-‖x_{n_k}-q‖\right)\ge \mathrm{0}。

由式（12），可得

\begin{array}{l}\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\left\{(\mathrm{1}-{\alpha }_{n_k})\left(\mathrm{1}-\frac{{{\lambda }_{n_k+\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}{{{\lambda }_{n_k}}^{\mathrm{2}}}{\mu }^{\mathrm{2}}{k}^{\mathrm{2}}\right){‖u_{n_k}-{\omega }_{n_k}‖}^{\mathrm{2}}+\right.\\ (\mathrm{1}-{\alpha }_{n_k}){\beta }_{n_k}^{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-{\epsilon }_{\mathrm{1}}-{\beta }_{n_k}^{\mathrm{1}}){‖y_{n_k}^{}-T_{\mathrm{1}}{y}_{n_k}^{}‖}^{\mathrm{2}}+\\ \left.(\mathrm{1}-{\alpha }_{n_k}){\displaystyle \sum _{i={\mathrm{2}}_{}}^N}\left[{\beta }_{n_k}^i(\mathrm{1}-{\epsilon }_i-{\beta }_{n_k}^i){‖t_{n_k}^{i-\mathrm{1}}-T_i{t}_{n_k}^{i-\mathrm{1}}‖}^{\mathrm{2}}\right]\right\}\le \\ \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}({‖x_{n_k}-q‖}^{\mathrm{2}}-{‖x_{n_k+\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}+{\alpha }_n{M}_{\mathrm{4}})=\\ -\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left({‖x_{n_k+\mathrm{1}}-q‖}^{\mathrm{2}}-{‖x_{n_k}-q‖}^{\mathrm{2}}\right)\le \mathrm{0},\end{array}

于是有

\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖u_{n_k}-{\omega }_{n_k}‖=\mathrm{0},（17）

\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖y_{n_k}^{}-T_{\mathrm{1}}{y}_{n_k}^{}‖=\mathrm{0},（18）

\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖t_{n_k}^i-T_{i+\mathrm{1}}{t}_{n_k}^i‖=\mathrm{0},i=\mathrm{1,2},\cdot \cdot \cdot ,N-\mathrm{1}\mathrm{。}（19）

由\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\eta }_n}{{\alpha }_n}‖x_n-x_{n-\mathrm{1}}‖=\mathrm{0}和式（17），可得

‖u_{n_k}-x_{n_k}‖\le ‖u_{n_k}-{\omega }_{n_k}‖+‖{\omega }_{n_k}-x_{n_k}‖=‖u_{n_k}-{\omega }_{n_k}‖+{\alpha }_{n_k}\frac{{\eta }_{n_k}}{{\alpha }_{n_k}}‖x_{n_k}-x_{n_k-\mathrm{1}}‖\to \mathrm{0}(k\to \mathrm{\infty })。（20）

由式（17）~式（20）以及条件（C4），可得

\begin{array}{l}‖x_{n_k+\mathrm{1}}-x_{n_k}‖=‖x_{n_k+\mathrm{1}}-t_{n_k}^N‖+‖t_{n_k}^N-t_{n_k}^{N-\mathrm{1}}‖+\dots +\\ ‖t_{n_k}^{\mathrm{2}}-t_{n_k}^{\mathrm{1}}‖+‖t_{n_k}^{\mathrm{1}}-y_{n_k}^{}‖+‖y_{n_k}^{}-x_{n_k}^{}‖=\\ {\alpha }_{n_k}‖f(x_{n_k})-t_{n_k}^N‖+{\beta }_{n_k}^N‖t_{n_k}^{N-\mathrm{1}}-T_N{t}_{n_k}^{N-\mathrm{1}}‖+\dots +\\ {\beta }_{n_k}^{\mathrm{2}}‖t_{n_k}^{\mathrm{1}}-T_{\mathrm{2}}{t}_{n_k}^{\mathrm{1}}‖+{\beta }_{n_k}^{\mathrm{1}}‖y_{n_k}^{}-T_{\mathrm{1}}{y}_{n_k}^{}‖+‖u_{n_k}^{}-x_{n_k}^{}‖+\\ \frac{{\lambda }_{n_k+\mathrm{1}}}{{\lambda }_{n_k}}\mu k‖u_{n_k}^{}-{\omega }_{n_k}^{}‖\to \mathrm{0}(k\to \mathrm{\infty })\mathrm{。}\end{array}（21）

因为序列\left\{x_{n_k}\right\}是有界的，所以存在子列\left\{x_{n_{k_j}}\right\}，使得x_{n_{k_j}}\rightharpoonup z\in H,且满足

\begin{array}{l}\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}〈f(q)-q,x_{n_k}-q〉=\\ \underset{j\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}〈f(q)-q,x_{n_{k_j}}-q〉=〈f(q)-q,z-q〉\mathrm{。}\end{array}（22）

联立式（17）~式（20），可得

\begin{array}{l}‖y_{n_k}^{}-x_{n_k}^{}‖\le ‖u_{n_k}^{}-x_{n_k}^{}‖+\frac{{\lambda }_{n_k+\mathrm{1}}}{{\lambda }_{n_k}}\mu k‖u_{n_k}^{}-{\omega }_{n_k}^{}‖\to \mathrm{0}\\ (k\to \mathrm{\infty }),\\ ‖t_{n_k}^{\mathrm{1}}-x_{n_k}^{}‖\le ‖t_{n_k}^{\mathrm{1}}-y_{n_k}^{}‖+‖y_{n_k}^{}-x_{n_k}^{}‖=\\ {\beta }_{n_k}^{\mathrm{1}}‖y_{n_k}^{}-T_{\mathrm{1}}{y}_{n_k}^{}‖+‖y_{n_k}^{}-x_{n_k}^{}‖\to \mathrm{0}(k\to \mathrm{\infty }),\\ ‖t_{n_k}^{\mathrm{2}}-x_{n_k}^{}‖\le ‖t_{n_k}^{\mathrm{2}}-t_{n_k}^{\mathrm{1}}‖+‖t_{n_k}^{\mathrm{1}}-x_{n_k}^{}‖=\\ {\beta }_{n_k}^{\mathrm{2}}‖t_{n_k}^{\mathrm{1}}-T_{\mathrm{2}}{t}_{n_k}^{\mathrm{1}}‖+‖t_{n_k}^{\mathrm{1}}-x_{n_k}^{}‖\to \mathrm{0}(k\to \mathrm{\infty }),\\ \dots \\ ‖t_{n_k}^N-x_{n_k}^{}‖\le ‖t_{n_k}^N-t_{n_k}^{N-\mathrm{1}}‖+‖t_{n_k}^{N-\mathrm{1}}-x_{n_k}^{}‖=\\ {\beta }_{n_k}^N‖t_{n_k}^{N-\mathrm{1}}-T_N{t}_{n_k}^{N-\mathrm{1}}‖+‖t_{n_k}^{N-\mathrm{1}}-x_{n_k}^{}‖\to \mathrm{0}(k\to \mathrm{\infty })\mathrm{。}\end{array}

综上，可得

\begin{array}{l}\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖t_{n_k}^{\mathrm{1}}-x_{n_k}^{}‖=\mathrm{0},\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖t_{n_k}^{\mathrm{2}}-x_{n_k}^{}‖=\mathrm{0},\dots ,\\ \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖t_{n_k}^N-x_{n_k}^{}‖=\mathrm{0},\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖y_{n_k}^{}-x_{n_k}^{}‖=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（23）

注意到x_{n_k}\rightharpoonup z，由‖x_{n_k}^{}-{\omega }_{n_k}^{}‖\to \mathrm{0}可知{\omega }_{n_k}^{}\rightharpoonupz(n\to \mathrm{\infty })，根据式（17）以及引理5，得到z\inVI（C，A）。另一方面，根据式（23），可得y_{n_k}^{}\rightharpoonup z,t_{n_k}^{\mathrm{1}}\rightharpoonup z,\dots ,t_{n_k}^{N-\mathrm{1}}\rightharpoonup z,再结合式（18）和式（19），根据定义2，有z\in F(T_i)(i=\mathrm{1,2},\dots ,N)，于是有z\in {\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{N}{\cap }}}F(T_i)(i=\mathrm{1,2},\dots ,N)。因此z\in VI(C,A)\bigcap {\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{N}{\cap }}}F(T_i)。根据q\in p_{VI(C,A)\bigcap {\displaystyle \underset{i=\mathrm{1}}{\overset{N}{\cap }}}F(T_i)}f(q)和引理1，可得

\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}〈f(q)-q,x_{n_k}-q〉=〈f(q)-q,z-q〉\le \mathrm{0},（24）

由式（21）和式（24），可得

\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}〈f(q)-q,x_{n_k+\mathrm{1}}-q〉\le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}〈f(q)-q,x_{n_k+\mathrm{1}}-x_{n_k}〉+\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}〈f(q)-q,x_{n_k}-q〉\le \mathrm{0}，（25）

联立式（14）、式（25）和引理3，可得\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{‖x_n-q‖}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}。

证毕。

注2 本文将文献［15］算法中的最小值自适应步长改为最大值自适应步长，并在算法［15］步骤2的自适应步长上增加了系数，从而加快了本文算法的收敛速度；本文将文献［15］的伪单调映射推广为准单调映射。

3 数值实验

在数值实验中，用n代表程序的迭代步数，t代表运行时间，‖x_{n+\mathrm{1}}-x_n‖代表测量第n步误差。

例1 假设A:{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}\to {\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}是一个单调且满足L-Lipschitz连续的映射，其中，L-Lipschitz常数是L=‖M‖，满足A(x)=Mx+q，其中，q\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}，M= RR^T+ Q + N，定义C=\left\{x=\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\right)\in {\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}\left|x_i\le \mathrm{2},\right.i=\mathrm{1,2}\right\}为非空必凸集。 R 是\mathrm{2}\times \mathrm{2}阶矩阵，且 R 的元素在（-2，2）中随机生成； Q 是\mathrm{2}\times \mathrm{2}阶斜对称矩阵，其中， Q 的元素同样在（-2，2）中随机生成； N 是\mathrm{2}\times \mathrm{2}阶对角元素非负的对角矩阵，其中，对角元素在（0，2）中随机生成。对于本次数值实验，以x_{\mathrm{0}}=x_{\mathrm{1}}={\left(\mathrm{1,1}\right)}^{\mathrm{T}}为初始值，q={(\mathrm{0,0})}^{\mathrm{T}}。令f(x)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}}x，定义映射T_i:{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}\to{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4})，分别为T_{\mathrm{1}}x=-\frac{x}{\mathrm{2}}，T_{\mathrm{2}}x=-\frac{x}{\mathrm{6}}，T_{\mathrm{3}}x=\frac{x}{\mathrm{3}}，T_{\mathrm{4}}x=\frac{x}{\mathrm{8}}，将迭代终止条件eps分别设置为‖x_{n+\mathrm{1}}-x_n‖\le {\mathrm{10}}^{-\mathrm{50}}，‖x_{n+\mathrm{1}}-x_n‖\le {\mathrm{10}}^{-\mathrm{60}}，‖x_{n+\mathrm{1}}-x_n‖\le {\mathrm{10}}^{-\mathrm{70}}。将本文算法与文献［10］算法进行比较，选取参数如下：

本文算法\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}:k=\mathrm{1.2}，{\alpha }_n=\frac{\mathrm{1}}{{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{3}}}，{\lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{0.5}}{L}，{\eta }_n=\frac{\mathrm{1}}{n+\mathrm{1}}，\mu =\mathrm{0.99}，{\beta }_n^{\mathrm{1}}=\frac{n}{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}，{\beta }_n^{\mathrm{2}}=\frac{n}{n+\mathrm{2}}，{\beta }_n^{\mathrm{3}}=\frac{n}{\mathrm{3}n+\mathrm{2}}，{\beta }_n^{\mathrm{4}}=\frac{n}{\mathrm{5}n+\mathrm{5}}；

文献［10］算法\mathrm{A}\mathrm{l}\mathrm{g}.\mathrm{F}：{\alpha }_n=\frac{\mathrm{1}}{{\left(n+\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{3}}}，{\lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{0.5}}{L}，{\sigma }_n=\frac{\mathrm{1}}{n+\mathrm{1}}，\mu =\mathrm{0.99}，{\beta }_n^{\mathrm{1}}=\frac{n}{\mathrm{2}n+\mathrm{1}}，{\beta }_n^{\mathrm{2}}=\frac{n}{n+\mathrm{2}}，{\beta }_n^{\mathrm{3}}=\frac{n}{\mathrm{3}n+\mathrm{2}}，{\beta }_n^{\mathrm{4}}=\frac{n}{\mathrm{5}n+\mathrm{5}}。

终止条件eps=‖x_{n+\mathrm{1}}-x_n‖\le {\mathrm{10}}^{-\mathrm{50}}时，本文算法对比文献［15］，其算法收敛速度更快，数值实验对比结果见图1。

注3 根据程序实验，随着迭代步数增加，本文算法程序的误差逐渐减小并且趋向0，验证了本文算法的可行性和有效性。同时，通过对比图1可以看出随着迭代次数增加，本文算法的迭代收敛速度优于文献［15］算法的迭代收敛速度。

4 结束语

本文证明了所构造的惯性自适应迭代序列，强收敛到准单调变分不等式解集和半压缩映射有限族公共不动点集的公共元。在接下来的研究中，可以进一步考虑将半压缩映射不动点与均衡问题相结合，并证明其强收敛性。

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基金资助

国家自然科学基金项目(61866038)

陕西省2021年特支计划人才项目

陕西省大学生创新训练计划项目(202510719024)

延安大学研究生教育创新计划项目(YCX2024046)