碳纤维增强复合材料螺栓连接力学特性分析

Mechanical Characteristic Analysis of Carbon Fiber Reinforced Polymer Bolted Joints

摘要

针对碳纤维增强复合材料（CFRP）螺栓连接承受横向载荷时的变形以及受载情况，基于三维Hashin失效准则，建立了CFRP板钛合金螺栓连接抗拉强度预测模型，将CFRP板螺栓连接从加载开始到彻底破坏的载荷-位移曲线划分为静止阶段、滑移阶段、完全滑移阶段、螺栓杆承载阶段和破坏阶段共5个阶段，对每个阶段接触状态以及载荷传递方式进行了分析，研究了螺栓连接处在不同阶段弯矩、剪力的大小以及分布，并分析了CFRP板厚与螺栓预紧力对连接强度、连接处弯矩和剪力的影响.结果表明，螺栓连接处在滑移阶段和完全滑移阶段弯矩和剪力理论计算与仿真结果的最大误差不超过20%，在螺栓杆承载阶段和破坏阶段最大误差不超过15%.

Abstract

Aiming at the deformation of carbon fiber reinforced polymer （CFRP） bolted joints subjected to transverse load as well as the loading situation， a model is established to predict the tensile strength of a titanium alloy bolted joint with CFRP plates based on the three-dimensional Hashin failure criterion， in which the load-displacement curve of the CFRP bolted joint from the beginning of loading to complete destruction is divided into five stages， i.e. the stationary stage， the slip stage， the complete slip stage， the bolted rod load-bearing stage and the failure stage. Then， the contact state as well as the mode of load transfer in each stage are analyzed， the magnitude of bending moment and shear force as well as the distribution of the bolted joint at different stages are investigated， and the effects of CFRP thickness and bolt preload on the strength of the joint， bending moment and shear force at the joint are analyzed. The results show that the maximum error between theoretical calculations and simulation results for bending moment and shear force at the bolted joint does not exceed 20% in the slip stage and the complete slip stage， and the maximum error does not exceed 15% in the bolted rod load-bearing stage and the failure stage.

Graphical abstract

关键词

CFRP / 螺栓连接 / 数值模拟 / 横向载荷 / 力学特性

Key words

CFRP / bolted joint / numerical simulation / transverse load / mechanical characteristic

碳纤维增强复合材料（CFRP）具有较高的比强度、比刚性，轻量化效果十分明显，在航空、航天等领域应用十分广泛^［1-2］.在复合材料零件装配过程中，连接处的可靠安全性至关重要^［3］，采用螺栓连接通常能提供足够的连接强度，因此广泛应用于工程结构中.然而，由于螺栓孔边缘应力高度集中，CFRP板的周围区域容易发生变形和损伤破坏，因此对CFRP板螺栓连接处的接触状况以及受载情况进行分析十分重要.

针对CFRP接头性能预测，Xu等^［4］建立了基于连续损伤动力学的三维各向异性非线性渐进损伤模型，揭示了CFRP板螺栓连接的损伤机理.在数值模拟中CFRP的基体和纤维损伤对应不同刚度退化模式，指数非线性退化模型比一次性刚度退化模型和双线性刚度退化模型具有更高的精确度^［5］.对于CFRP的分层失效，Li等^［2］使用层间内聚单元模拟CFRP的分层，准确预测了CFRP板螺栓连接在拉伸载荷作用下的连接强度和损伤模式.在CFRP的螺栓连接中，由于CFRP的各向异性以及连接件之间的相互作用，表现出极其复杂的载荷-位移曲线响应，近年来，在考虑间隙、螺栓预紧力、摩擦系数等因素基础之上，三线性模型得到了广泛应用^［6］.螺栓预紧力在外载荷作用下会有松弛现象，Liang等^［7］研究了单搭接螺栓连接的预紧力松弛机理，提出一种四阶段理论模型用来预测单搭接螺栓连接在不同情况下的载荷-位移曲线，然而没有单独划分出CFRP的损伤破坏阶段.Krishnadasan等^［8］利用三维模型分析剪切孔周围的应力分布情况，并提出摩擦力会减少连接处的剪切载荷，连接件产生的弯曲现象会增加接触力，却没有指出摩擦力对CFRP螺栓连接载荷-位移曲线的影响规律及程度.在拉伸载荷的作用下，Zhao等^［9］利用数值模拟研究了CFRP板螺栓连接的三维损伤破坏模式，并与实验结果作了对比，结果表明单搭接损伤是由螺栓倾斜和二次弯曲效应引起CFRP板翘曲造成的.

综上，当CFRP板承受横向载荷时，对单搭接螺栓连接的接触状态、受载情况等分析的相关文献并不多，没有单独划分出CFRP的损伤破坏阶段且没有研究整个阶段的载荷分布.因此，本文分析了CFRP板钛合金螺栓连接从加载开始到彻底破坏5个阶段的不同接触状态以及载荷传递方式，着重研究连接处各阶段弯矩和剪力分布，讨论螺栓预紧力、CFRP板厚对连接强度、弯矩和剪力的影响.

1 有限元建模及数值模拟

CFRP本构关系可表示为

\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\sigma }_{\mathrm{11}}\\ {\sigma }_{\mathrm{22}}\\ {\sigma }_{\mathrm{33}}\end{array}\\ \begin{array}{c}{\sigma }_{\mathrm{23}}\\ {\sigma }_{\mathrm{13}}\\ {\sigma }_{\mathrm{12}}\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{C}_{\mathrm{11}}& C_{\mathrm{12}}& C_{\mathrm{13}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{21}}& C_{\mathrm{22}}& C_{\mathrm{23}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{31}}& C_{\mathrm{32}}& C_{\mathrm{33}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& C_{\mathrm{44}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& C_{\mathrm{55}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& C_{\mathrm{66}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\epsilon }_{\mathrm{11}}\\ {\epsilon }_{\mathrm{22}}\\ {\epsilon }_{\mathrm{33}}\end{array}\\ \begin{array}{c}{\epsilon }_{\mathrm{23}}\\ {\epsilon }_{\mathrm{13}}\\ {\epsilon }_{\mathrm{12}}\end{array}\end{array}\right].(1)

式中：C_{ij}（i，j=1，2，3，4，5，6）为不同方向的刚度；{\sigma }_{ij}，{\epsilon }_{ij}（i，j=1，2，3）分别为应力和应变张量的分量.

1.1 失效准则和材料退化规律

为了模拟CFRP的损伤和失效过程，采用三维Hashin失效准则^［10］，当材料满足表1中的任意一个失效准则时，材料开始发生损伤，表1中X_t，X_c，Y_t，Y_c代表不同方向的强度（下标t代表拉伸，c代表压缩），S_ij （i，j=1，2，3）为剪切强度，e_s （s=ft，fc，mt，mc）为不同损伤类型的损伤初始系数.

损伤发生以后材料性能开始退化，其刚度矩阵会发生相应变化^［11］：

\sigma =\mathit{C}\epsilon.(2)

式中： C 为损伤发生以后的刚度矩阵；\sigma和\epsilon分别表示应力和应变.

使用指数函数形式的刚度渐进函数来描述CFRP的连续损伤变量^［12］.

d_s=\mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{e_s}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\frac{C_{ij}{\left({\epsilon }_{ij}^s\right)}^{\mathrm{2}}\left(e_s-\mathrm{1}\right)L_{\mathrm{c}}}{-G_s}.(3)

式中：d_s\left(s=\mathrm{f}\mathrm{t},\mathrm{f}\mathrm{c},\mathrm{m}\mathrm{t},\mathrm{m}\mathrm{c}\right)分别对应纤维拉伸、纤维压缩、基体拉伸、基体压缩失效模式的连续损伤变量；{\epsilon }_{ij}^s表示不同方向、不同损伤形式的失效应变；L_{\mathrm{c}}为特征长度；G_s为不同损伤形式的断裂能.连续损伤变量的变化范围为0~1（=1时CFRP完全失效）.

分层失效主要发生在连接孔处，Hasin失效准则并没有考虑分层破坏，因此采用双线性内聚力模型来模拟复合材料层间载荷的传递和分层失效，采用偏移法在CFRP板层之间插入厚度为0的cohesive单元^［12］.

1.2 螺栓连接建模

被连接件为不同厚度的CFRP板，铺层顺序为［45/0/-45/0/90/0/45/0/-45/0］s.三维模型的几何尺寸如图1所示（t=t_a=t_b=3.7 mm，w/d=6，e/d=3），螺栓采用钛合金材料^［9］.其中：w，e分别为CFRP板的宽度和端距；t_a，t_b分别为靠近和远离Z=0的CFRP板厚度；d，D分别为螺栓杆和螺栓孔的直径；螺栓杆与螺栓孔的间隙δ=0.1 mm.为简化模型并不失仿真精度，将螺纹忽略^［13］，采用增强沙漏控制的C3D8R实体单元对各层厚度进行建模.

如图1所示，考虑到螺栓孔周围的应力集中，试件孔附近选择局部网格尺寸为0.4 mm，选择全局网格尺寸为1.5 mm，螺栓选择全局网格尺寸为0.5 mm进行网格划分.定义CFRP板与CFRP板、螺栓杆与螺栓孔、螺栓头与CFRP板的接触对，分别命名为CC，BSH和BHC，这些接触的法向采用“硬”接触，切向采用惩罚函数接触，CC和BSH的摩擦系数为0.11，BHC的摩擦系数为0.20^［14］.对截面A施加完全固定约束，截面B施加沿X方向的横向位移载荷，对CFRP板沿法线方向的位移以及各个方向的转动进行限制，给螺栓施加预紧力F_pre.CFRP板有3种不同厚度（t=t_a=t_b=3，4，5 mm，w/d=4，e/d=2，δ=0.1 mm），其铺层不同角度的比例、尺寸相同，只是厚度不同.

1.3 仿真与实验结果对比

在INSTRON-8803实验系统进行静态拉伸实验，位移载荷以1 mm/min的恒定速率作用于截面B，直至螺栓连接处破坏，施加的载荷和位移由计算机自动记录^［9］，其中t_a=t_b=3.7 mm，d=5 mm，螺栓扭矩M_pre=8.6 N·m.图2为螺栓连接的载荷-位移曲线数值仿真与实验结果对比，失效位移以及失效载荷分别为1.9 mm和11.2 kN，与实验结果拟合较好，失效载荷和失效位移的预测结果与实验数据误差分别低于5.2%，10.4%，表明所建立的渐进损伤模型能够预测连接处的初始刚度和随后的刚度退化，同时也能够用来预测在实际工况环境中的失效载荷，为避免连接处发生损伤破坏提供一定的参考.

2 理论分析计算

2.1 阶段划分

如图3所示，根据螺栓与CFRP板的接触状态、载荷传递方式以及CFRP板是否损伤将载荷-位移曲线划分为Ⅰ静止阶段、Ⅱ滑移阶段、Ⅲ完全滑移阶段、Ⅳ螺栓杆承载阶段、Ⅴ破坏阶段（初始破坏外载荷约为8 kN）5个阶段.图4为CFRP板螺栓连接在不同阶段的接触状态，其中：U为总位移，U1为X方向位移.F_I，F_II分别为第Ⅰ，Ⅱ阶段CFRP板承受的载荷，F_Imax，F_IImax分别为第Ⅰ，Ⅱ阶段CFRP板承受的最大载荷.在第Ⅰ阶段，如图4a所示，BHC和CC界面没有宏观滑移，外载荷F_l与螺栓预紧力F_pre在BHC和CC界面产生的静摩擦力相互作用，此时的位移是由螺栓和CFRP板变形引起的，可以忽略不计.在第Ⅱ阶段，如图4b所示，由于外载荷的持续增加导致CC界面静摩擦力被完全克服，CC界面完全滑移，而BHC界面在螺栓预紧力的作用下大部分区域没有发生滑移，部分外载荷通过BHC界面传递，并通过螺栓杆的剪切刚度和弯曲刚度进行载荷的抵消.在第Ⅲ阶段，如图4c所示，BHC界面的静摩擦力也被克服，宏观滑移发生在BHC和CC界面的所有区域，外载荷基本保持不变，CFRP板相对螺栓移动，在此过程螺栓孔间隙逐渐被消除.在第Ⅳ阶段，如图4d所示，BSH界面相互接触，螺栓沿拉伸方向轻微旋转，此时外载荷持续增加，且主要由螺栓杆来承载载荷.在第Ⅴ阶段，螺栓和孔边缘发生明显变形和损伤，螺栓沿拉伸方向出现较大的旋转角度，随后，CFRP板出现严重的损伤破坏，承载性能迅速下降.

2.2 弯矩和剪力计算

根据载荷的传递方式，将5个阶段再次划分为两个阶段：Ⅰ~Ⅲ，Ⅳ~Ⅴ阶段.

2.2.1 Ⅰ~Ⅲ阶段

在第Ⅰ阶段，载荷的传递大部分依靠CC界面静摩擦力，少部分依靠BHC界面静摩擦力，也就是说此时螺栓杆承受的弯矩和剪力很小.当载荷持续增加进入第Ⅱ阶段，此时主要依靠CC和BHC界面传递载荷.在第Ⅲ阶段，CC和BHC界面完全滑移，直至BSH界面相互接触，此时载荷通过BHC和CC界面传递.

在Ⅰ，Ⅱ阶段的最大载荷可表示为^［7］

F_{\mathrm{Ⅰ}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\left\{\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}+k_{\mathrm{B}\mathrm{H}\mathrm{C}}{\delta }_{\mathrm{1}},\\ F_{\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}+F_{\mathrm{B}\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},\end{array}\right.\begin{array}{c}{k}_{\mathrm{B}\mathrm{H}\mathrm{C}}{\delta }_{\mathrm{1}}\le F_{\mathrm{B}\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}};\\ k_{\mathrm{B}\mathrm{H}\mathrm{C}}{\delta }_{\mathrm{1}} >F_{\mathrm{B}\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}.\end{array}(4)

F_{\mathrm{Ⅱ}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\left\{\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}+F_{\mathrm{B}\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},\\ F_{\mathrm{Ⅰ}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}+\delta k_{\mathrm{2}},\end{array}\right.\begin{array}{c}\delta >\left(F_{\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}+F_{\mathrm{B}\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-F_{\mathrm{Ⅰ}}\right)/k_{\mathrm{2}};\\ \delta \le \left(F_{\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}+F_{\mathrm{B}\mathrm{H}\mathrm{C}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-F_{\mathrm{Ⅰ}}\right)/k_{\mathrm{2}}.\end{array}(5)

式中：F_CCmax，F_BHCmax分别为CC，BHC界面的最大静摩擦力；k_BHC为BHC界面的刚度；k_{\mathrm{2}}为第Ⅱ阶段的刚度；δ₁为第Ⅰ阶段的最大位移.

{\mu }_{\mathrm{k}}（动摩擦力系数）约为{\mu }_{\mathrm{s}}（静摩擦力系数）的75%^［15］，假设螺栓头和螺母在预紧力的作用下完全约束，则弯矩、剪力可表示为

第Ⅱ阶段：

\left.\begin{array}{l}T=F_l-{\mu }_{\mathrm{k}\mathrm{c}\mathrm{c}}{F}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}, F_{\mathrm{Ⅰ}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\le F_l\le F_{\mathrm{Ⅱ}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}};\\ M=T\left(t-Z\right).\end{array}\right\}(6)

第Ⅲ阶段：

\left.\begin{array}{l}T=F_{\mathrm{Ⅱ}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{\mu }_{\mathrm{k}\mathrm{c}\mathrm{c}}{F}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}};\\ M=T\left(t-Z\right).\end{array}\right\}(7)

式中：M，T分别为螺栓承受的弯矩和剪力；t为CFRP板厚度；{\mu }_{\mathrm{k}\mathrm{C}\mathrm{C}}为CC界面动摩擦系数.

2.2.2 Ⅳ~Ⅴ阶段

在Ⅳ~Ⅴ阶段，BSH界面相互接触，螺栓预紧力会约束螺栓与CFRP板来阻碍螺栓的旋转，假设螺栓在CFRP板的外表面受到弹性约束，螺栓中心线在弯矩、剪力的作用下产生位移v(Z)，在螺栓杆与孔壁接触中存在单位长度的接触力f_{\mathrm{c}}.

\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}Z}=T,(8)

\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}Z}=-f_{\mathrm{c}}.(9)

假设单位长度接触力为^［16］

f_{\mathrm{c}}=G_{\mathrm{l}}{A}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}v}{\mathrm{d}{Z}^{\mathrm{2}}}-kv.(10)

式中：G_{\mathrm{l}}为CFRP板的面外剪切模量；A_{\mathrm{e}\mathrm{s}}为有效剪切面积；k为CFRP板的面内刚度，k=E_{\mathrm{l}}/\left(\mathrm{1}-d/w\right)/\mathrm{0.8}^［17］，其中E_{\mathrm{l}}为CFRP板的杨氏模量.有效剪切面积与螺栓直径有关^［16］，而且与CFRP板厚度也相关.因此，综合考虑螺栓直径和CFRP板厚提出有效剪切面积A_{\mathrm{e}\mathrm{s}}=df\left(t\right)，其中f\left(t\right)是与CFRP板厚相关的函数，根据螺栓连接柔韧性有限元仿真测量，令f\left(t\right)=\mathrm{0.2}t.螺栓杆截面的旋转是中心轴的弯曲旋转θ和剪切变形的总和，则

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}v}{\mathrm{d}{Z}^{\mathrm{2}}}=\frac{-f_{\mathrm{c}}}{k_{\mathrm{t}}{G}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}}+\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}Z}.(11)

式中：k_{\mathrm{t}}为螺栓杆剪切修正系数；G_{\mathrm{b}}和A_{\mathrm{b}}分别为螺栓杆剪切模量和横截面积.根据线弹性Timoshenko梁，可以得到

M=-E_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}Z}.(12)

式中：E_{\mathrm{b}}和I_{\mathrm{b}}分别为螺栓的杨氏模量和面积惯性矩，结合式（8）~（12），得出

\left.\begin{array}{l}M=-\left(E_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}\frac{G_l{A}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}}{k_{\mathrm{t}}{G}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}}+E_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}\right)\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}v}{\mathrm{d}{Z}^{\mathrm{2}}}+\frac{k{E}_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}}{k_{\mathrm{t}}{G}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}}v;\\ T=-\left(E_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}\frac{G_l{A}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}}{k_{\mathrm{t}}{G}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}}+E_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}\right)\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}v}{\mathrm{d}{Z}^{\mathrm{3}}}+\frac{k{E}_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}}{k_{\mathrm{t}}{G}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}Z};\\ \theta =\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}Z}-\frac{T}{k_{\mathrm{t}}{G}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}}.\end{array}\right\}(13)

求解式（13），可得出以下等式：

\begin{array}{c}\left(E_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}+E_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}\frac{G_{\mathrm{l}}{A}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}}{k_{\mathrm{t}}{G}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}}\right)\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{4}}v}{\mathrm{d}{Z}^{\mathrm{4}}}-\left(\frac{k{E}_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}}{k_{\mathrm{t}}{G}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}}+G_{\mathrm{l}}{A}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}\right)\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}v}{\mathrm{d}{Z}^{\mathrm{2}}}+\\ kv=\mathrm{0}\end{array}.(14)

则可得

v\left(Z\right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{4}j-\mathrm{3}}^{\mathrm{4}j}}{C}_i{e}^{n_i}.(15)

其中：当时，j=\mathrm{1}；当时，j=\mathrm{2}.则可得

\left.\begin{array}{l}{M}_j={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{4}j-\mathrm{3}}^{\mathrm{4}j}}{C}_i{M}_{ji}\left(Z\right);\\ T_j={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{4}j-\mathrm{3}}^{\mathrm{4}j}}{C}_i{T}_{ji}\left(Z\right);\\ {\theta }_j={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{4}j-\mathrm{3}}^{\mathrm{4}j}}{C}_i{\theta }_{ji}\left(Z\right);\\ v_j^{{}^{\text{'}}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{4}j-\mathrm{3}}^{\mathrm{4}j}}{C}_i{v}_i^{{}^{\text{'}}}\left(Z\right).\end{array}\right\}(16)

其中：

\left.\begin{array}{l}{M}_{ji}\left(Z\right)=-\left(E_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}\frac{G_{\mathrm{l}}{A}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}}{k_{\mathrm{t}}{G}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}}+E_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}\right)e^{n_i}{n}_i^{\mathrm{2}}+\frac{k{E}_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}}{k_{\mathrm{t}}{G}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}};\\ T_{ji}\left(Z\right)=-\left(E_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}\frac{G_{\mathrm{l}}{A}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}}{k_{\mathrm{t}}{G}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}}+E_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}\right)e^{n_i}{n}_i^{\mathrm{3}}+\frac{k{E}_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}}}{k_{\mathrm{t}}{G}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}}{n}_i;\\ {\theta }_{ji}\left(Z\right)=e^{n_{iz}}{n}_i-\frac{T_{ji}}{k_{\mathrm{t}}{G}_{\mathrm{b}}{A}_{\mathrm{b}}};\\ v_i^{{}^{\text{'}}}\left(Z\right)=e^{n_{iz}}{n}_i.\end{array}\right\}(17)

边界条件：

Z=\mathrm{0}时，

T_{\mathrm{1}}=-G_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}{v}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}Z}，M_{\mathrm{1}}=k_{\mathrm{r}\mathrm{1}}\theta.(18)

Z=t_{\mathrm{a}}时，

\begin{array}{l}{T}_{\mathrm{1}}=F_l-G_{\mathrm{l}}{A}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}{v}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}Z}，M_{\mathrm{1}}=M_{\mathrm{2}};\\ T_{\mathrm{2}}=F_l-G_{\mathrm{l}}{A}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}{v}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}Z}，\frac{\mathrm{d}{v}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}Z}=\frac{\mathrm{d}{v}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}Z}.\end{array}(19)

Z=t_{\mathrm{a}}+t_{\mathrm{b}}时，

T_{\mathrm{3}}=-G_{\mathrm{l}}{A}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}{v}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}Z},M_{\mathrm{2}}=-k_{\mathrm{r}\mathrm{2}}\theta.(20)

其中：螺栓头和螺母的旋转约束因子k_{\mathrm{r}\mathrm{1}}，k_{\mathrm{r}\mathrm{2}}近似相等，与螺栓和CFRP板的变形有关，在线弹性阶段，给出旋转约束因子^［14］：

k_{\mathrm{r}}=\frac{M}{\theta }=\frac{k_{\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{c}}{k}_{\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{n}}}{k_{\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{c}}+k_{\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{n}}}.(21)

式中：k_{\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{c}}为CFRP板的弹性支撑刚度；k_{\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{n}}为螺栓头或者螺母的弹性支撑刚度.

当对螺栓施加预紧力时，连接件孔周围会受到向内的压力而产生翘曲、变形，旋转因子随之发生变化，在本文中螺栓有3种不同螺栓扭矩（M_pre=1.5，9.6，19.2 N·m），螺栓扭矩M_pre与螺栓预紧力F_pre可表示为

M_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}=K_{\mathrm{n}}{F}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}d.(22)

式中，K_n为M_pre与F_pre之间力矩系数.

在第Ⅴ阶段，螺栓和CFRP板发生变形和损伤破坏，螺栓对板的约束减弱，旋转约束因子将会发生变化，此时旋转约束因子很难通过理论计算得到，因此本文从仿真和实际出发，得到旋转约束因子随CFRP板厚增加而减小，随螺栓扭矩增加，开始增大，然后减小，如图5所示.

式（18）~（20）可表示为

\left[\begin{array}{cccc}{T}_{ji}\left(\mathrm{0}\right)+G_{\mathrm{l}}{A}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}{v}_i^{\text{'}}\left(\mathrm{0}\right)& ...& \mathrm{0}& ...\\ M_{ji}\left(\mathrm{0}\right)-k_{\mathrm{r}\mathrm{1}}{\theta }_{ji}\left(\mathrm{0}\right)& ...& \mathrm{0}& ...\\ T_{ji}\left(t_{\mathrm{a}}\right)+G_{\mathrm{l}}{A}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}{v}_i^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{a}}\right)& ...& \mathrm{0}& ...\\ M_{ji}\left(t_{\mathrm{a}}\right)& ...& -M_{ji}\left(t_{\mathrm{a}}\right)& ...\\ \mathrm{0}& ...& T_{ji}\left(t_{\mathrm{a}}\right)+G_{\mathrm{l}}{A}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}{v}_i^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{a}}\right)& ...\\ v_i^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{a}}\right)& ...& -v_i^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{a}}\right)& ...\\ \mathrm{0}& ...& T_{ji}\left(t_{\mathrm{a}}+t_{\mathrm{b}}\right)+G_l{A}_{\mathrm{e}\mathrm{s}}{v}_i^{\text{'}}\left(t_{\mathrm{a}}+t_{\mathrm{b}}\right)& ...\\ \mathrm{0}& ...& M_{ji}\left(t_{\mathrm{a}}+t_{\mathrm{b}}\right)+k_{\mathrm{r}\mathrm{2}}{\theta }_{ji}\left(t_{\mathrm{a}}+t_{\mathrm{b}}\right)& ...\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{1}}\\ C_{\mathrm{2}}\end{array}\\ C_{\mathrm{3}}\\ C_{\mathrm{4}}\\ C_{\mathrm{5}}\end{array}\\ C_{\mathrm{6}}\\ C_{\mathrm{7}}\\ C_{\mathrm{8}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\\ F_l\\ \mathrm{0}\\ F_l\end{array}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right] .(23)

式中：j=1时，i=1，2，3，4（第1个矩阵的1~4列）；j=2时，i=5，6，7，8（第1个矩阵的5~8列），由式（23）可得矩阵 C，然后v，M，T，θ等未知数可获得.

3 结果分析与讨论

3.1 不同阶段的影响

图6展示的是当M_pre=9.6 N·m时，不同厚度的CFRP板连接处弯矩和剪力的分布图.其中：F_Ⅱt3=F_Ⅱt4=F_Ⅱt5=1 200 N，F_Ⅲt3=F_Ⅲt4=F_Ⅲt5=1 800 N，F_Ⅳt3=F_Ⅳt4=F_Ⅳt5=6 000 N，F_Ⅴt3=10 000 N，F_Ⅴt4=12 000 N，F_Ⅴt5=6 000 N，M，T分别表示通过理论计算得到的弯矩、剪力，M_F，T_F分别表示通过仿真得到的弯矩、剪力，F_ij （i=Ⅱ~Ⅴ，j=t3，t4，t5）表示施加的外载荷，例如，F_IIt3表示在第Ⅱ阶段、CFRP板厚为3 mm时施加的外载荷.不同阶段弯矩、剪力变化非常明显，在Ⅱ~Ⅲ阶段，如图6a~图6d所示，弯矩和剪力沿Z方向呈线性分布，最大弯矩出现在靠近螺母和螺栓头的位置；剪力在整个螺栓杆上变化不大.在Ⅳ~Ⅴ阶段，如图6e~图6h所示，弯矩与剪力呈曲线分布，最大弯矩仍然出现在靠近螺母和螺栓头的位置处，但相比Ⅱ~Ⅲ阶段弯矩沿Z方向分布更加均匀，也就是说不会出现严重的弯曲应力集中现象；最大剪力出现在CC界面处且沿Z方向变化非常明显.由图6可知，弯矩、剪力的理论计算和仿真结果吻合度较高，整体上Ⅱ~Ⅲ阶段的最大误差比Ⅳ~Ⅴ阶段的最大误差大，在Ⅱ~Ⅲ阶段连接处承受载荷较小，忽略了此阶段的变形以及位移，由此在变形最大处的误差最大.当CFRP板厚为4 mm时，在Ⅱ~Ⅲ阶段M和T的最大误差分别为18.6%，12.6%；在Ⅳ~Ⅴ阶段M和T的最大误差分别为8.4%，11.1%.

3.2 CFRP板厚的影响

当CFRP板厚为3，4，5 mm，螺栓扭矩为9.6 N·m时，其最终失效载荷分别为10.5，13.1，15.1 kN，如图7所示，由此可知增加CFRP板厚可以提高连接处的承载能力，CFRP板较厚时刚度大于较薄时刚度，这是因为增加CFRP板厚会增加纤维数量，减少了变形量.

如图6a和图6b所示，对于Ⅱ~Ⅲ阶段的不同CFRP板厚，最大弯矩都出现在靠近螺栓两端处，在相同外载荷情况下，随着板厚的增加最大弯矩也随之增加，剪力并没有发生太大变化.在Ⅳ~Ⅴ阶段增加CFRP板厚时，连接处弯矩、剪力分布更加均匀，剪力沿Z方向相同位置处还更小，同样也能提高连接处的最大弯矩和最大剪力，这主要是由于增大板厚可以提高失效载荷，如图6c，图6d，图7所示.由图6可知在Ⅱ~Ⅲ阶段弯矩和剪力理论计算与仿真结果的最大误差随板厚的增加而减少，最大误差分别为19.1%和14.6%；在Ⅳ~Ⅴ阶段弯矩和剪力的最大误差随CFRP板厚变化不明显，最大误差分别为8.4%和14.3%.

3. 3 螺栓扭矩的影响

在如图8所示的载荷-位移曲线中，当CFRP板厚为4 mm，螺栓扭矩分别为1.5，9.6，19.2 N·m时，其最终失效载荷分别为11.4，13.1，11.7 kN，可知提高螺栓扭矩在一定程度上能够提高连接强度.这是因为随着螺栓扭矩的增加会在一定程度上提高螺栓对CFRP板的约束，减少连接处的变形，但是过分提高螺栓扭矩会提前使CFRP板在厚度方向上发生损伤，降低承载能力.

如图8所示，当螺栓扭矩增大时，载荷-位移曲线Ⅰ~Ⅲ阶段的位移节点向右移动，载荷节点向上移动，也就是说Ⅰ~Ⅲ阶段的最大弯矩和最大剪力也随之增加，Ⅱ，Ⅳ阶段的刚度有所增加.相同外载荷可能会对应不同的阶段，也就是说会有不同的接触状态，但在同一阶段、相同外载荷的情况下，螺栓扭矩对弯矩、剪力的影响并不明显，但螺栓扭矩会影响不同阶段的节点位置.在Ⅴ阶段不同螺栓扭矩会影响失效载荷，进而影响最大弯矩和最大剪力，由图9可知，在不同螺栓扭矩的情况下，弯矩和剪力理论计算与仿真结果的最大误差分别达到了9.59%，7.54%，弯矩最大误差出现在相对位置Z/t=0处，这是因为连接件在承受载荷时，施加外载荷的CFRP板在靠近上表面的连接处变形破坏最为严重，在第Ⅴ阶段选择不同螺栓扭矩（M_pre=1.5，9.6，19.2 N·m）时，施加的外载荷分别为10 000，12 000，11 000 N.

4 结 论

1） 将CFRP板单搭接螺栓连接在承受横向载荷时的载荷-位移曲线划分为Ⅰ静止阶段、Ⅱ滑移阶段、Ⅲ完全滑移阶段、Ⅳ螺栓杆承载阶段、Ⅴ破坏阶段5个阶段，螺栓连接处在每个阶段的接触状态和载荷传递方式都有显著差异，在Ⅰ~Ⅲ阶段，螺栓杆与孔壁不发生接触，在Ⅳ~Ⅴ阶段，螺栓杆与孔壁发生接触，随着载荷的增加，螺栓与CFRP板的变形进一步变大.

2） 当螺栓扭矩为9.6 N·m，CFRP板厚从3 mm增加到4，5 mm时，最终失效载荷分别提高24.8%和43.8%，螺栓连接处在Ⅱ~Ⅲ阶段弯矩和剪力理论计算与仿真结果的最大误差分别为19.1%和14.6%，在Ⅳ~Ⅴ阶段的最大误差分别为8.4%和14.3%，最大弯矩出现在靠近螺母和螺栓头的位置处，最大剪力出现在CC界面处，增大CFEP板厚可以提高最大弯矩和最大剪力.

3） 当CFRP板厚为4 mm，螺栓扭矩从1.5 N·m增大到9.6，19.2 N·m时，其最终失效载荷分别提高14.9%和2.6%，最大弯矩和最大剪力随失效载荷的增加而增加.随着螺栓扭矩的增大，Ⅰ~Ⅲ阶段的位移节点向右移动，载荷节点向上移动，最大弯矩和最大剪力随之增加，在Ⅳ~Ⅴ阶段，螺栓扭矩为1.5，9.6，19.2 N·m时，螺栓连接处弯矩和剪力理论计算与仿真结果的最大误差分别达到了9.59%，7.54%，验证了模型的正确性.

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基金资助

河北省自然科学基金资助项目(E2020501014)