碳纤维增强复合材料层合板的振动控制研究

Study on Vibration Control of Carbon Fiber Reinforced Composite Laminates

摘要

以压电陶瓷-碳纤维增强复合材料层合板为研究对象，基于状态向量法和传递矩阵法建立了层合板的力电耦合运动方程。基于状态向量法和传递矩阵法的动力学模型能够更好地体现出带有不同铺层角度的层合板的固有特性。通过建立的动力学模型对碳纤维增强层合板和压电元件所组成的压电系统在MATLAB中进行状态空间方程求解。将解析结果与有限元结果相对比，仿真结果与解析结果具有良好的一致性，验证了模型正确。通过滑模控制，分析层合板在不同形式外部激励信号作用下的振动时域响应。在施加控制后，系统输出响应的幅值下降约为原来的50%。

关键词

碳纤维增强层合板 / 状态向量法 / 传递矩阵法 / 滑模控制

Key words

Carbon fiber reinforced laminates / State-space method / Transfer matrix method / Sliding mode control

基于压电陶瓷可以将电能转化为机械能的这一能量转换的原理，可以设计出压电驱动器^[1]。压电驱动器具有高精度、无噪声、长寿命等特点。而碳纤维增强复合材料因其高强度和高刚度等优点，已成为航空航天和能源等领域的重要结构材料^[2]。碳纤维/环氧树脂复合材料应用广泛，在航天领域中有较高的利用率^[3]。SWAMINATHAN^[4]和AAGAAH等^[5]基于三阶剪切变形理论，针对层合板的自由振动问题进行研究。LIEW等^[6]使用一阶剪切变形理论讨论了层合板在不同的铺层角度上的振动响应。QATU^[7]在悬臂条件下，对梯形和矩形层合板的固有频率和模态等固有特性进行研究。KABIR^[8]以不同的铺层角度层合板为研究对象，给出其固有特性解析表达式。PAN等^[9-10]研究了MEE多层板非线性振动。XIN等^[11]推导出简支和多层MEE板的自由振动的半解析解。MILAZZO^[12]发现板厚对大挠度和电磁响应有很大影响。CHEN等^[13]研究了与板的本构方程和不同场之间耦合相关的两类振动。WANG等^[14]利用势函数研究了横向各向异性MEE介质三维问题的一般解。WU等^[15]改进了Pagano方法，并分析了幂律指数对MEE板三维动态响应的影响。TABATABAEI等^[16]开发了一种用于简支条件下方形FGM板的模态分析的有限元方法。董彬等^[17]采用准滑模控制方法，减小了风力机叶片在风载荷作用下的振动位移。DO等^[18]开发了模糊滑模控制器，增强了系统对不确定性和干扰的鲁棒性。QIU等^[19]实现了压电柔性悬臂板振动的快速抑制。本实验基于状态向量法和传递矩阵法建立了在四边简支边界条件下的压电陶瓷-碳纤维复合材料层合板的动力学方程，求解了层合板[0/90/0/90/0/90/0]的固有特性。通过MATLAB/Simulink软件，研究了层合板在不同形式的外部激励信号作用下的振动响应。

1 解析模型的建立

图1为复合材料层合板结构模型。

对于正交各向异性材料，其各向异性弹性体的应力-应变关系为：

\left[\begin{array}{l}{\sigma }_x\\ {\sigma }_y\\ {\sigma }_z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}{c}_{\mathrm{11}}& c_{\mathrm{12}}& c_{\mathrm{13}}\\ c_{\mathrm{21}}& c_{\mathrm{22}}& c_{\mathrm{23}}\\ c_{\mathrm{31}}& c_{\mathrm{32}}& c_{\mathrm{33}}\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}{\epsilon }_x\\ {\epsilon }_y\\ {\epsilon }_z\end{array}\right]

\left[\begin{array}{l}{\tau }_{xy}\\ {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}{c}_{\mathrm{44}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& c_{\mathrm{55}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& c_{\mathrm{66}}\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}{\gamma }_{xy}\\ {\gamma }_{yz}\\ {\gamma }_{zx}\end{array}\right] (1)

对于带铺设角度的单层，采用坐标转换的方法计算弹性系数。

\left[\begin{array}{c}{\overline{C}}_{\mathrm{11}}\\ {\overline{C}}_{\mathrm{12}}\\ {\overline{C}}_{\mathrm{22}}\\ {\overline{C}}_{\mathrm{16}}\\ {\overline{C}}_{\mathrm{26}}\\ {\overline{C}}_{\mathrm{66}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}{Q}^{\mathrm{4}}& \mathrm{2}{S}^{\mathrm{2}}{Q}^{\mathrm{2}}& S^{\mathrm{4}}& \mathrm{4}{S}^{\mathrm{2}}{Q}^{\mathrm{2}}\\ S^{\mathrm{2}}{Q}^{\mathrm{2}}& S^{\mathrm{4}}+Q^{\mathrm{4}}& S^{\mathrm{2}}{Q}^{\mathrm{2}}& -\mathrm{4}{S}^{\mathrm{2}}{Q}^{\mathrm{2}}\\ S^{\mathrm{4}}& \mathrm{2}{S}^{\mathrm{2}}{Q}^{\mathrm{2}}& Q^{\mathrm{4}}& \mathrm{4}{S}^{\mathrm{2}}{Q}^{\mathrm{2}}\\ S{Q}^{\mathrm{3}}& S^{\mathrm{3}}Q-S{Q}^{\mathrm{3}}& -S^{\mathrm{3}}Q& \mathrm{2}{S}^{\mathrm{3}}Q-\mathrm{2}S{Q}^{\mathrm{3}}\\ S^{\mathrm{3}}Q& S{Q}^{\mathrm{3}}-S^{\mathrm{3}}Q& -S{Q}^{\mathrm{3}}& \mathrm{2}{S}^{\mathrm{3}}Q-\mathrm{2}S{Q}^{\mathrm{3}}\\ S^{\mathrm{2}}{Q}^{\mathrm{2}}& -\mathrm{2}{S}^{\mathrm{2}}{Q}^{\mathrm{2}}& S^{\mathrm{2}}{Q}^{\mathrm{2}}& {\left(S^{\mathrm{2}}-Q^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{11}}\\ C_{\mathrm{12}}\\ C_{\mathrm{22}}\\ C_{\mathrm{66}}\end{array}\right]

\left[\begin{array}{l}{\overline{C}}_{\mathrm{44}}\\ {\overline{C}}_{\mathrm{45}}\\ {\overline{C}}_{\mathrm{55}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}{Q}^{\mathrm{2}}& S^{\mathrm{2}}\\ SQ& SQ\\ S^{\mathrm{2}}& Q^{\mathrm{2}}\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{44}}\\ C_{\mathrm{55}}\end{array}\right] (2)

式(2)中：Q=cos θ，S=sin θ，θ为层的铺设角度。

对于碳纤维增强复合材料层合板部分，根据弹性力学理论中应变与介质位移关系和应力与应变的关系，可得到广义应变与广义位移之间的关系，式中 η ₁为面内变量， η ₂为层间变量。

η ₁ = {\left[\begin{array}{cccccc}u& v& {\sigma }_z& {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& w\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}

η ₂ = {\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\sigma }_y& {\tau }_{xy}\end{array}\right]}^T (3)

\frac{\partial {\mathit{\eta }}_{\mathrm{1}}}{\partial z} = \mathit{A} {\mathit{\eta }}_{\mathrm{1}}，{\mathit{\eta }}_{\mathrm{2}} = \mathit{B} {\mathit{\eta }}_{\mathrm{1}} (4)

式(3)和式(4)中，矩阵 A 和 B 表示为： \mathit{A} = \left[\begin{array}{cccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\mathrm{1}}{c_{\mathrm{55}}}& \mathrm{0}& -\frac{\partial }{\partial x}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{\mathrm{1}}{c_{\mathrm{44}}}& -\frac{\partial }{\partial y}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\frac{\partial }{\partial x}& -\frac{\partial }{\partial y}& \rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial t^{\mathrm{2}}}\\ -c_{\mathrm{11}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}-c_{\mathrm{66}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial y^{\mathrm{2}}}+\rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial t^{\mathrm{2}}}& -c_{\mathrm{12}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x\partial y}-c_{\mathrm{66}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x\partial y}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -c_{\mathrm{12}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x\partial y}-c_{\mathrm{66}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x\partial y}& -c_{\mathrm{22}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial y^{\mathrm{2}}}-c_{\mathrm{66}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}+\rho \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial t^{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\frac{c_{\mathrm{13}}}{c_{\mathrm{33}}}\frac{\partial }{\partial x}& -\frac{c_{\mathrm{23}}}{c_{\mathrm{33}}}\frac{\partial }{\partial y}& -\frac{\mathrm{1}}{c_{\mathrm{33}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]

\mathit{B} = \left[\begin{array}{cccccc}\left(c_{\mathrm{11}}-\frac{{c^{\mathrm{2}}}_{\mathrm{13}}}{c_{\mathrm{33}}}\right)\frac{\partial }{\partial x}& \left(c_{\mathrm{12}}-\frac{c_{\mathrm{13}}{c}_{\mathrm{23}}}{c_{\mathrm{33}}}\right)\frac{\partial }{\partial y}& \frac{\mathrm{1}}{c_{\mathrm{33}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \left(c_{\mathrm{12}}-\frac{c_{\mathrm{13}}{c}_{\mathrm{23}}}{c_{\mathrm{33}}}\right)\frac{\partial }{\partial x}& \left(c_{\mathrm{22}}-\frac{{c^{\mathrm{2}}}_{\mathrm{23}}}{c_{\mathrm{33}}}\right)\frac{\partial }{\partial y}& \frac{\mathrm{1}}{c_{\mathrm{33}}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ c_{\mathrm{66}}\frac{\partial }{\partial y}& c_{\mathrm{66}}\frac{\partial }{\partial x}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]

根据四边简支的边界条件，将状态向量展成三角级数形式：

{\mathit{\eta }}_{\mathrm{1}} \left(x,y,t\right) = {\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}} {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\left[\begin{array}{c}{\tilde{u}}_{mn}\left(z\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}px\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}qy\\ {\tilde{v}}_{mn}\left(z\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}px\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}qy\\ {\tilde{\sigma }}_{zmn}\left(z\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}px\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}qy\\ {\tilde{\tau }}_{zxmn}\left(z\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}px\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}qy\\ {\tilde{\tau }}_{zymn}\left(z\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}px\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}qy\\ {\tilde{w}}_{mn}\left(z\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}px\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}qy\end{array}\right] {\mathrm{e}}^{j\omega t} (5)

压电层部分的状态方程的推导过程稍有复杂，具体请参见文献[20]。

将式(5)代入式(4)中得到的关系式为：

\frac{\mathrm{d}{\tilde{\mathit{\eta }}}_{\mathrm{1}mn}}{\mathrm{d}z} = \tilde{\mathit{A}} {\tilde{\mathit{\eta }}}_{\mathrm{1}mn}，{\tilde{\mathit{\eta }}}_{\mathrm{2}} = \mathit{B} {\tilde{\mathit{\eta }}}_{\mathrm{1}} (6)

根据微分方程求解理论，状态方程的解可表示为：

{\tilde{\mathit{\eta }}}_{\mathrm{1}mn} ( z_k ) = \mathit{G} ( h_k ) {\tilde{\mathit{\eta }}}_{\mathrm{1}mn} \left(z_{k-\mathrm{1}}\right) (7)

式(7)中： G 称为传播矩阵，表示为 \mathit{G} \left(h_k\right) = \mathrm{e} \mathrm{x} \mathrm{p} \left(\tilde{\mathit{A}}{h}_k\right)

式(5)中： p = \frac{m\mathrm{\pi }}{Lx}（m=1,2,3···）， q = \frac{n\mathrm{\pi }}{Ly}（m=1,2,3···）。

多次应用传播矩阵，得到的关系式为：

{\tilde{\mathit{\eta }}}_{\mathrm{1}mn} \left(H\right) = T \left(\omega \right) {\tilde{\mathit{\eta }}}_{\mathrm{1}mn} \left(\mathrm{0}\right) (8)

式(8)中： T \left(\omega \right) = G_N \left(h_N\right) G_{N-\mathrm{1}} \left(h_{N-\mathrm{1}}\right) \cdots G_{\mathrm{2}} \left(h_{\mathrm{2}}\right) G_{\mathrm{1}} ( h_{\mathrm{1}} )。

重新整理式(8)得到的方程为：

\left[\begin{array}{c}{\tilde{U}}_{mn}(H)\\ {\tilde{F}}_{mn}(H)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}{T}_{\mathrm{11}}(\omega )& T_{\mathrm{12}}(\omega )\\ T_{\mathrm{21}}(\omega )& T_{\mathrm{22}}(\omega )\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}\tilde{U}(\mathrm{0})\\ \tilde{F}(\mathrm{0})\end{array}\right]

对于自由振动情况，方程可整理为^[20]：

\left[\begin{array}{c}{\tilde{U}}_{mn}(H)\\ \mathrm{0}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}{T}_{\mathrm{11}}(\omega )& T_{\mathrm{12}}(\omega )\\ T_{\mathrm{21}}(\omega )& T_{\mathrm{22}}(\omega )\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}\tilde{U}(\mathrm{0})\\ \mathrm{0}\end{array}\right] (9)

为保证方程有解，则需系数矩阵T'的行列式为0，即

| T_{\mathrm{21}} \left(\omega \right) | = \mathrm{0} (10)

对式(10)求解，可以得出其各阶模态的固有频率值。

根据已知的上、下表面边界条件，结合式(4)和式(8)，可以求得复合层板在任何水平表面上的场变量。

通过联立碳纤维层合板与压电层的传递矩阵结果，可获得外部载荷、电压与层合板挠度的关系式。将结果带入式(5)，可获得层合板的力电耦合运动方程。

2 控制策略

滑模控制是一种变结构控制方法，其目的是使系统输出跟随参考信号，同时对于外部干扰和参数扰动具有鲁棒性。滑模控制的核心思想是通过引入一个滑模面来实现控制，使得系统状态在滑模面上“滑行”，从而实现对系统的控制。滑模控制具有简单、鲁棒和易于实现等优点，在控制系统中得到了广泛的应用。然而，滑模控制也存在一些缺点，如控制律具有高噪声、高频振荡等特性，需要进行参数调整和滤波等处理。

本文的控制器设计为：

u = k e + \frac{{\rho }^{\mathrm{2}}e}{\rho \left|e\right|+\epsilon } (11)

式(11)中： k>0， \epsilon>0， \rho> f， f为外部载荷， e为系统的控制误差， k为增益系数。

定义函数：

V = \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} e^{\mathrm{2}} (12)

则： \begin{array}{l}\dot{V}=e\dot{e}\le -k{e}^{\mathrm{2}}+\rho \left|e\right|-e\frac{{\rho }^{\mathrm{2}}e}{\rho \left|e\right|+\epsilon }=\\ -k{e}^{\mathrm{2}}+\epsilon \left(\frac{{\rho }^{\mathrm{2}}e}{\rho \left|e\right|+\epsilon }\right)\le -k{e}^{\mathrm{2}}+\epsilon =-\mathrm{2}kV+\epsilon \end{array}

式(12)中： \mathrm{0} \le \frac{\rho \left|e\right|}{\rho \left|e\right|+\epsilon } \le \mathrm{1}。并对微分不等式 \dot{V} \le - \mathrm{2} k V + \epsilon进行求解可得到：

\left|e\right| \le \sqrt[]{\frac{\epsilon }{k}} (13)

当 \epsilon的取值接近0时，系统误差 e接近0。但 \epsilon的取值越小，会加剧抖振现象。为了使系统稳定，要根据控制系统的实际情况合理选择 \epsilon和 k的大小。

3 仿真分析

本文的压电陶瓷用PZT-5A，基体材料为碳纤维增强复合材料层合板。层合板的铺层角度为[0/90/0/90/0/90/0]。碳纤维层合板的尺寸a ₁为150 mm，b ₁为75 mm，碳纤维单层厚度为0.15 mm，压电片尺寸a ₂为40 mm，b ₂为30 mm，厚度为0.6 mm，压电片放置在层合板的中心位置。表1和表2为碳纤维复合材料和压电陶瓷的材料参数。

表3为碳纤维复合材料层合板的前八阶固有频率解析解和有限元解的对比。从表3可以看出，将状态向量法与传递矩阵法所求解的固有频率与通过有限元法求解的结果相比较，平均误差在2%以内，结果具有良好的一致性。

图2为基于解析法计算的复合材料层合板模态振型。图3为基于有限元法计算的复合材料层合板模态振型。从图2和图3可以看出，两种方法所求解的模态相比较，结果具有良好的一致性。

对算例中层合板进行主动控制分析，图4和图5为在层合板上施加正弦激振力作为外部激励，系统在控制前后的动力学响应及控制电压随时间变化的曲线。从图4可以看出，蓝色的曲线表示未受到控制时，层合板的输出响应。红色的曲线表示受到控制时，层合板的输出响应。层合板在正弦激励下，施加控制后，系统输出响应的幅值下降为原来的50%，具有明显的控制振动效果。从图5可以看出，最大控制输入电压为240 V左右。

图6为层合板在白噪声激励下控制前后的输出响应。

从图6可以看出，蓝色的曲线表示的是在未受到控制时，层合板的输出响应。红色的曲线表示受到控制时，层合板的输出响应。层合板在白噪声激励下，施加控制后，系统输出响应得到了有效控制。压电控制系统在白噪声激励下控制电压是随着系统的响应而不断变化，因为这种随机无规律的特性，使得控制电压也趋向这种无规律的特性，因此对其进行控制就会困难一些。

图7为层合板在白噪声激励下的控制电压。从图7可以看出，需要的最大控制输入电压为在200 V左右。

4 结论

通过状态向量法和传递矩阵法得到了碳纤维复合材料层合板的固有频率和模态，并建立了层合板的力电耦合运动方程。由状态向量法和传递矩阵法所搭建的动力学模型能够更好地体现出带有不同铺层角度的层合板的固有特性，将所计算的层合板固有特性与有限元仿真的结果相对比，证明了该方法所搭建的模型能够正确体现层合板的固有特性，为后续的仿真分析奠定了基础。基于状态空间理论，对碳纤维增强层合板和压电元件所组成的压电系统在MATLAB中进行状态空间方程的求解。通过状态空间模型，分析了系统的可控性，利用MATLAB/Simulink软件，分析了层合板在不同的外部激励信号作用下的振动时域响应。文章所得结论为研究正弦激励及随机激励下的带有铺层角度的碳纤维增强复合材料层合板的设计和振动控制提供必要参考。

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基金资助

国家自然科学基金(12002219)

辽宁省科技厅自然科学基金计划项目(2022-NLTS-18-02)

辽宁省科学技术计划项目(2022JH2/101300077)

辽宁省科学技术计划项目(2023JH2/101600062)

横向项目(2022210101003328)