多向拉胀折纸超材料的力学行为研究

Study on Mechanical Behaviours of Multi-directional Auxetic Origami Meta-materials

摘要

力学折纸超材料以折纸思想为基础，通过设计巧妙的特征结构来实现表观材料的特殊力学行为。为进一步融合折纸超材料和拉胀超材料的性能优势，受折纸范式启发设计一种多向的拉胀折纸超材料（AOMM）。基于静定结构承载变形机制，分析多向AOMM的负泊松比效应，建立相对密度、折叠效率、弹性等效本构以及载荷平台的理论模型，通过曲面响应揭示几何参数对多向AOMM折叠载荷的影响规律。采用热塑性聚氨酯（TPU）基材3D打印多向AOMM试件，通过准静态压缩实验进行变形、承载和吸能特性的分析。结果表明：TPU AOMM具有一定的形状恢复能力、负泊松比效应和稳定的吸能平台，平台门槛应变和相对密度的理论值与实验结果吻合较好。研究结果可为拉胀折纸超材料的设计和应用提供参考。

关键词

折纸超材料 / 拉胀超材料 / 负泊松比 / 等效力学 / 热塑性聚氨酯

Key words

Origami meta-materials / Auxetic meta-materials / Negative poisson's ratio / Equivalent mechanics / Thermoplastic polyurethane

力学超材料是一类具有特殊结构设计和材料组成的人工材料，通常由较小尺度的周期性结构组成，具有自然界中不常见的力学性能，例如负折射率^[1]、负泊松比^[2]、负刚度^[3]、负热膨胀^[4]等。折纸结构和折纸材料作为超材料领域的分支，其独特的“刚-柔-韧”可调控力学性能备受研究人员们的重视，具有成为多功能力学超材料的潜力^[5-7]。折纸超材料的应用范围非常广泛，包括航空航天、医疗器械、机器人器件、柔性电子设备等^[8-10]。负泊松比超材料也称拉胀超材料，是力学超材料中研究较多的一种，因具有良好的抗压痕性、曲面同向性、能量吸收率等优势而被广泛应用^[11-12]。拉胀折纸超材料(AOMM)是折纸工艺与拉胀性能的叠加产物，其借助折纸构筑范式，设计新型的拉胀超材料。折纸超材料采用一定的设计方式，可以在拉伸和压缩加载下产生新奇的力学响应^[6]。LIU等^[7]将拓扑原理应用于折纸超材料，通过改变折痕角度来配置空间拓扑，实现了运动学特性调控的目标。LIU等^[8]通过模块化排列进行二进制数组的编程，设计一批具有特殊形状的可重构多稳态折纸单元。近年来，厚板折纸在工程制造和应用中表现出了优异的性能^[9-10]。YE等^[12]基于3D打印技术，通过堆叠两个厚板折纸，开发一种具有三维自锁能力的折纸结构，并指出该折纸结构在力学响应和冲击吸能方面的可编程能力。ZHANG等^[13]通过分离双稳态单元的承重方向和状态转移方向，结合折纸的定向折叠特性设计一种具有高承载力和低开启力的形态可重构超材料，并通过有限元分析确定最优的几何参数。“折”的原因在于可折叠、多稳态、自锁、柔性、重构等设计需求，关注负泊松比特性的折纸超材料就是其中一种。

折纸超材料被学术界誉为可重构超材料领域的新型材料，其潜力仍有很大的挖掘空间，但难点是合理、新奇的创新设计，因为其具有非线性、缺乏分析模型、设计和响应空间广阔^[13]。AOMM作为折纸超材料的一种，结合了拉胀效应和折纸结构的特点，可以进行大幅度的形状变化，能实现负泊松比效应，即正常状态下具有较高的刚度和稳定性，在拉伸加载后会逐渐展开、压缩加载后会逐渐收缩。折纸结构提供了额外的设计自由度，可以通过调整折纸方式和角度来控制拉胀效应的强度和方向性，进一步扩展拉胀超材料力学性能的设计范围。

当前，关于AOMM的研究仍相对较少。ARYAN等^[14]通过数值分析，提出一种具有刚度可编程和多向拉胀性能的混合折纸超材料，实现了低刚度阶段过渡到接触诱导阶段的刚度提升，为抗冲击、形态转变、多向变形、振动控制和波动控制等轻质的功能材料提供设计参考。LI等^[15]通过引入纤维增强复合材料，设计并制造具有不同角度组合的复合堆叠折纸结构，然后通过仿真和实验研究几何参数对结构力学性能、拉胀性能和失效模式的影响。结果表明：与金属折纸结构相比，复合折纸结构具有更低的密度和更好的能量吸收特性。通过薄板上的周期性细长切口，DU等^[16]提出一种新型AOMM，数值和实验结果表明：所设计的AOMM具备独特的力学性质，包括在不同外加应变下具有变化模式可设计的宽范围负泊松比、板厚不敏感的拉胀性和优异的形状可恢复性，为柔顺机器人、生物医学设备和柔性电子等领域中的功能器件提供了新的设计思路。

AOMM虽然已取得一些初步成果，但依然是一个相对新颖的概念和研究领域，仍需大量研究来完善和丰富相关的材料基因，如折纸设计的复杂性、折叠过程中的稳定性等。受折纸思维的启发，本文设计一种具有三向拉胀行为的折纸超材料，建立几何参数、等效弹性、折叠载荷相关的理论模型，利用增材制造技术制备实验样品，通过准静态压缩实验揭示AOMM的力学行为。

1 几何构型及尺寸关系

折纸超材料基于不同的折痕和几何关系来设计和调节超材料的力学性能，常见的折痕有三浦(Miura-ori)纹、吉村(Yoshimura)纹、水炸弹(Waterbomb)纹和对角纹^[17]。拉胀超材料的构型有手性、反手性、内凹、点线、旋转刚体等多种^[18-19]，其中内凹构型一直以来被广泛关注。图1为三维多向AOMM的构筑思路及拉胀方向。从图1可以看出，以二维经典内凹元胞为基础，向面外拉伸可得三维、平面应变状态的元胞，通过交叉组合可得具有多向拉胀特性的元胞。其中，折角即是内凹角，折痕围绕内凹角产生，箭头附近的序号表示拉胀方向。

1.1 几何关系

多向AOMM的代表性元胞高度对称，以其1/4结构作为基本构型，图2为AOMM的1/4几何模型。从图2可以看出，x和z为结构的面内坐标，y为面外坐标。通过准静态折痕长度 m、 l、 L以及内凹角 \alpha定义折叠模式，通过内凹角 \alpha和内转角 \theta确定内凹的开口度。结构的几何参数为：

H = \mathrm{2} l \mathrm{s} \mathrm{i} \mathrm{n} \alpha (1)

W = \mathrm{2} L + \mathrm{2} m - \mathrm{2} l \mathrm{c} \mathrm{o} \mathrm{s} \alpha (2)

Z = \mathrm{2} L + \mathrm{2} m - \mathrm{2} l \mathrm{c} \mathrm{o} \mathrm{s} \alpha (3)

式(1)~式(3)中： H为结构在y方向的高度； W为1/4结构在z方向的长度； Z为1/4结构在x方向的宽度。

1.2 相对密度

在设计折纸结构时，可以通过调节材料的厚度、间距、几何形状等参数来控制其相对密度，从而实现对结构性能的调控和优化，相对密度是衡量多向AOMM吸能的1个指标，直接决定材料的制作成本^[20]。如图2所示，基于壁厚为 t、基材密度为 {\rho }_{\mathrm{0}}的1/4结构，可得完整元胞的总质量 M ^[21]。

M = \mathrm{4} {\rho }_{\mathrm{0}} [ \begin{array}{c}t{L}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\left(\mathrm{2}L-l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right)lt+\end{array} \mathrm{4} m t \left(L-l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right) + \mathrm{2} t m^{\mathrm{2}} ] (4)

元胞材料占据的实际体积 V_r为：

V_{\mathrm{r}} = \mathrm{4} [ t L^{\mathrm{2}} + \mathrm{2} \left(\mathrm{2}L-l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right) l t + \mathrm{4} m t \left(L-l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right) + \mathrm{2} t m^{\mathrm{2}} ] (5)

元胞外轮廓占据的总体积 V_{\mathrm{t}}为：

V_{\mathrm{t}} = \mathrm{2} l \mathrm{s} \mathrm{i} \mathrm{n} \alpha {\left(\mathrm{2}L+\mathrm{2}m-\mathrm{2}l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right)}^{\mathrm{2}} (6)

因此，多向AOMM的相对密度为：

\overline{\rho } = \frac{V_{\mathrm{r}}}{V_{\mathrm{t}}} = \frac{\left(t{L}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\left(\mathrm{2}L-l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right)lt+\mathrm{4}mt\left(L-l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right)+\mathrm{2}t{m}^{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}l\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha {\left(L+m-l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right)}^{\mathrm{2}}} (7)

1.3 折叠效率

折叠效率作为描述折纸超材料体积变化的重要参数，影响材料的稳定性和强度。通常较大的折叠效率会导致材料抗压性能下降，而较小的折叠效率则增加材料的牢固性。折叠效率通常定义为折叠后的体积与展开状态下的体积之比，用于描述折纸结构的空间效率以及量化折纸结构的紧凑性和便携性^[20,22]。展开状态下，多向AOMM的体积为：

V_{\mathrm{e}} = V_{\mathrm{t}} = \mathrm{2} l \mathrm{s} \mathrm{i} \mathrm{n} \alpha {\left(\mathrm{2}L+\mathrm{2}m-\mathrm{2}l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right)}^{\mathrm{2}} (8)

折叠后多向AOMM的几何参数主要受内凹角的 \alpha影响，以上标“*”表示折叠后的几何参数。

\left\{\begin{array}{c}{H}^{*}=\mathrm{2}l\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }^{*}\\ W^{*}=\mathrm{2}L+\mathrm{2}m-\mathrm{2}l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }^{*}\\ Z^{*}=\mathrm{2}L+\mathrm{2}m-\mathrm{2}l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }^{*}\end{array}\right. (9)

同理，折叠后多向AOMM的体积 V_{\mathrm{f}}为：

V_{\mathrm{f}} = \mathrm{2} l \mathrm{s} \mathrm{i} \mathrm{n} {\alpha }^{*} {\left(\mathrm{2}L+\mathrm{2}m-\mathrm{2}l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }^{*}\right)}^{\mathrm{2}} (10)

结合式(8)和式(10)可得内凹角变化至 {\alpha }^{\mathrm{*}}时的折叠效率 f。

f = \frac{V_{\mathrm{f}}}{V_{\mathrm{e}}} = \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }^{*}{\left(L+m-l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }^{*}\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha {\left(L+m-l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right)}^{\mathrm{2}}} (11)

2 等效力学理论建模

2.1 等效弹性模量和泊松比

多向AOMM由内凹构型组合而成，其力学行为是内凹构型的耦合升级。图3为多向AOMM的基本内凹构型及其受力变形。如图3所示，基于内凹构型，若内凹结构受拉，则内凹角 \alpha增大，横梁向外运动，实现拉伸-膨胀现象；若内凹结构受压，则内凹角 \alpha减小，横梁向内运动，实现压缩-收缩现象；两者构成二维AOMM的负泊松比效应，也叫拉胀效应，对应图1a~图1b中1方向和2方向的拉胀关系。图1c的三维AOMM中，2方向和3方向是原来2方向的空间合成，其拉/压加载也会出现负泊松比效应，即实现了多向拉胀行为。

拉胀效应通过侧壁变形实现，且弯曲变形占据主导地位^[23]。假设结构的拉伸和压缩具有相同的等效弹性力学行为，此处以拉伸加载为例进行受力分析。y方向的受力变形如图3所示，几何参数与图2中一致、含义相同，即 p为外载， t为厚度， l为侧壁长度， \alpha为内凹角， L为连接梁长度。结合图2，在xoy平面内，此处设 H为y方向高度， W为x方向宽度， Z为z方向厚度，几何关系由式(1)~式(3)给出。理想情况下，沿y方向拉伸时，胞壁发生对称变形，因此可取1/4结构进行分析^[24-25]。名义等效应力 {\sigma }_y为：

{\sigma }_y = \frac{F}{A} = \frac{p/\mathrm{2}}{ZW/\mathrm{2}} = \frac{p}{ZW} (12)

式(12)中： F和 A分别为名义载荷和横截面积。

拉伸时C-F梁及J-D梁均不发生变形，仅侧壁 l发生弯曲变形。根据Euler标准梁理论，可得梁C-D的伸长量 {\delta }_{\mathrm{1}} ^[26]和挠度变形 {\delta }_{\mathrm{2}} ^[27]。

\left\{\begin{array}{c}{\delta }_{\mathrm{1}}=\frac{\frac{p}{\mathrm{2}}\left(l\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \right)}{E_{\mathrm{0}}\bullet Zt}\\ {\delta }_{\mathrm{2}}=\frac{\frac{p}{\mathrm{2}}\left(l^{\mathrm{3}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right)}{\mathrm{3}{E}_{\mathrm{0}}\bullet I_z}\end{array}\right. (13)

式(13)中： E_{\mathrm{0}}为基材弹性模量； I_Z为截面惯性矩。

I_Z = \frac{Z{t}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}} (14)

因此，1/4结构的横向变形量 {\delta }_x和纵向变形量 {\delta }_y分别为：

\left\{\begin{array}{c}{\delta }_x={\delta }_{\mathrm{2}x}-{\delta }_{\mathrm{1}x}=\frac{pl\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha (\mathrm{4}{l}^{\mathrm{2}}-t^{\mathrm{2}})}{\mathrm{2}{E}_{\mathrm{0}}Z{t}^{\mathrm{3}}}\\ {\delta }_y={\delta }_{\mathrm{1}y}+{\delta }_{\mathrm{2}y}=\frac{pl\left(\mathrm{4}{l}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\alpha +t^{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\alpha \right)}{\mathrm{2}{E}_{\mathrm{0}}Z{t}^{\mathrm{3}}}\end{array}\right. (15)

式(15)中： {\delta }_{\mathrm{1}x}、 {\delta }_{\mathrm{1}y}和 {\delta }_{\mathrm{2}x}、 {\delta }_{\mathrm{2}y}分别为变形量1和2在x、y方向上的分量。

根据名义应变的定义，结合横、纵方向的长度，x和y方向的应变 \epsilon为：

\left\{\begin{array}{c}{\epsilon }_x=\frac{{\delta }_x}{W/\mathrm{2}}=\frac{pl\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \left(\mathrm{4}{l}^{\mathrm{2}}-t^{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}{E}_{\mathrm{0}}Z{t}^{\mathrm{3}}\left(L+m-l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right)}\\ {\epsilon }_y=\frac{{\delta }_y}{H/\mathrm{2}}=\frac{p\left(\mathrm{4}{l}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\alpha +t^{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\alpha \right)}{\mathrm{2}{E}_{\mathrm{0}}Z{t}^{\mathrm{3}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha }\end{array}\right. (16)

同理，根据名义泊松比的定义，可得y方向拉伸时的等效泊松比 v_{xy}。

v_{xy} = - \frac{{\epsilon }_x}{{\epsilon }_y} = \frac{l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\alpha \left(t^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}{l}^{\mathrm{2}}\right)}{\left(L+m-l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right)\left(\mathrm{4}{l}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\alpha +t^{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\alpha \right)} (17)

根据名义应力的定义，联合式(12)和式(16)，可得y方向拉伸时的等效弹性模量 E_y。

E_y = \frac{{\sigma }_y}{{\epsilon }_y} = \frac{t^{\mathrm{3}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha }{\left(L+m-l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right)\left(\mathrm{4}{l}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\alpha +t^{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\alpha \right)} E_{\mathrm{0}} (18)

2.2 折叠载荷及其变化规律

如图2所示，当模型沿y方向完全展开时，假设在准静态折展过程中折痕为扭力弹簧(可存储和释放扭转能量)，单位长度的刚度为 k，位移量为 l_{\mathrm{0}}，外载荷 p在拉或压方向上的做外功全部转化为AOMM内部折痕的弹性势能^[28]。

首先，产生位移量 l_{\mathrm{0}}所需的外力做功 W^{\mathrm{*}}为：

W^{*} = p l_{\mathrm{0}} = \mathrm{2} p l \left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{0}}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \right) (19)

其次，基于侧壁 l在扭矩 M_{\alpha }作用下发生转角 \mathrm{\Delta } \alpha所需的做功 Q^{\mathrm{*}}，即多向AOMM在准静态折展过程中形成折痕所需的势能。

\left\{\begin{array}{c}{Q}^{*}=\sum M_{\alpha }\Delta \alpha =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}k(\sum {L_{\alpha }}^{\mathrm{2}}){\left(\alpha -{\alpha }_{\mathrm{0}}\right)}^{\mathrm{2}}\\ \sum {L_{\alpha }}^{\mathrm{2}}=\mathrm{8}L+\mathrm{16}\left(L-l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \right)+\mathrm{8}l\end{array}\right. (20)

式(20)中： L_{\alpha }为变形量。

最后，多向AOMM在折展变形过程中的总能量 U应为 Q^{\mathrm{*}} - W^{\mathrm{*}}。假设超材料在变形过程中始终保持平衡，以折展角(内凹角 \alpha)为自变量，根据最小势能原理 \partial U / \partial \alpha = \mathrm{0}，结合式(19)~式(20)，可得多向AOMM折展所需的外载荷 p。

p = \frac{\mathrm{12}L+\mathrm{4}l-\mathrm{8}l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha }{l\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha } ( {\alpha }_{\mathrm{0}} - \alpha ) k (21)

对于折叠载荷的理论推导式(21)，为探究几何尺寸参数( L \mathrm{、} l \mathrm{、} \alpha)对外载荷 p的影响，令：

\frac{L}{l} = \tau (22)

结合式(21)和式(22)，可得：

\frac{p}{k} = \frac{\mathrm{12}\tau +\mathrm{4}-\mathrm{8}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha }{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha } \left({\alpha }_{\mathrm{0}}-\alpha \right) (23)

设为 {\alpha }_{\mathrm{0}}为60°，图4为通过编程得到的函数 p / k ( \alpha , \tau )响应关系。从图4可以看出，随着 \tau增大，折叠载荷函数 p / k ( \alpha , \tau )增大。当刚度 k一定时：若 L不变、 l减小，则侧壁的弯曲刚度增加，故折叠载荷增加；若 l不变、 L增大，此时折角减小，故折叠变形的阻抗增大；若 L增大且 l减小，则前述两种情况均可能发生。几何尺寸的变化改善了载荷的传递和分担方式，是多向AOMM折叠抗力和力学行为的编程调控策略之一。在 \tau = \mathrm{2}附近，内凹角 \mathrm{\alpha }的影响具有翻转效应。 时，随着内凹角 \alpha的减小，多向AOMM区趋于压实状态， p / k ( \alpha , \tau )减小； \tau > \mathrm{2}时，随着内凹角 \alpha的减小，多向AOMM的 p / k ( \alpha , \tau )增大。由此可知， \tau控制着AOMM的承载能力， \alpha控制着密实行为， p / k控制着可变形量，这些参数是描述载荷平台特征的关键。

3 实验分析与模型验证

3.1 试件制备及实验方法

多向AOMM具有周期性，其力学行为在一定程度上可由代表性元胞表征。图5为元胞样品，对应图2的几何尺寸分别为 m =15 \mathrm{m} \mathrm{m}、 l = \mathrm{13.86} \mathrm{m} \mathrm{m}、 L = \mathrm{36.93} \mathrm{m} \mathrm{m}、 t = \mathrm{1} \mathrm{m} \mathrm{m}、 \alpha = \mathrm{60} °、 H =24 \mathrm{m} \mathrm{m}、 W = Z = \mathrm{45} \mathrm{m} \mathrm{m}。试件通过3D打印进行制备(打印机型号为RAISE3D-Pro3)，基材为具有超弹性的热塑性聚氨酯(TPU，型号为esun®TPU-95A)，基材密度为1.21 g/cm³。经测定，打印产品的实际质量约为23.441 g。根据式(4)得到的理论质量约为26.427 g，相比之下，打印误差导致的质量损失约为11.3%。准静态压缩实验采用万能电子材料试验机(型号为Tiniuskuli-TM2101N_RX)进行，压缩速率为5 mm/min，压缩过程通过摄影机记录。

3.2 实验结果及理论对比

图6为准静态压缩下AOMM的折叠行为结果。从图6a可以看出，整个压缩折叠行为可分为弹性、平台和压实3个阶段，与其他的金属或非金属制内凹超材料相似^[29-30]。弹性阶段，多向AOMM发生类弹性变形，侧壁 l发生微弯曲并向内部收缩，产生拉胀效应，该阶段位移-载荷响应基本呈线性关系。当材料变形增大到一定程度后，AOMM局部发生大变形并失稳坍塌，维持1个较稳定的载荷水平，约为140 N；该阶段类似于AOMM发生屈服并进入流动阶段，屈服应变约为8%，流动平台是吸能效率的保障。载荷增大到一定程度后，AOMM进入密实阶段，密实应变约为44%，载荷在较短位移内快速增大，其间结构的空隙逐渐减小。TPU具有超弹性力学行为，TPU制备的AOMM也同样具有。从图6b可以看出，卸载后AOMM压实的折叠部分迅速释放，超弹性性质使结构能恢复到某个屈曲构型下的剩余形状，说明TPU AOMM具有循环利用的潜力，但力学行为会有所降低。值得注意的是，通过AOMM构型，使TPU超材料的平台段较TPU材料^[31]大幅提升，这是结构设计带来的奇特之处。整个压缩折叠阶段的吸能是2.925 J，比吸能约为0.125 J/g，介于文献[12]提到的厚板折叠结构的比吸能范围(0.07~0.937 J/g)之间，表明其吸能表现相对良好。

通过标准试件拉伸试验测定的TPU基材弹性模量 E_{\mathrm{0}}约为40 MPa。图6a中起始阶段的等效模量约为0.065 MPa，基于式(18)并采用并联机制计算的理论模量约为0.032 MPa，两者的误差(约0.033 MPa)来源于多向AOMM拼接处的耦合增强效应，该效应导致了结构整体的刚度增强、提高了结构的整体承载能力，是该结构设计带来的新奇现象；此外，采用弹性理论来建立超弹性材料的等效模型也存在一定的不足。多向AOMM超材料进入平台阶段时(载荷约140 N)，其刚度 k约为60.122 3 N/mm，从而通过折叠载荷关系式(21)可得变形后的内凹角 \alpha约为56.01°，与初始内凹角 {\alpha }_{\mathrm{0}} = \mathrm{60} °相比，变化率约为6.65%，趋近于屈服应变。结合试件的几何参数，通过相对密度理论模型式(7)可得理论相对密度约为0.112 5，而基于结构理论质量和体积得到的相对密度约为0.095 7，误差约为14.93%。若考虑3D打印的质量损失，此时相对密度约为0.106 3，误差降到5.89%，误差来源主要是TPU材料的微观缺陷。理论与实验结果的对比指出了相对密度、屈服应变、折叠率等模型的有效性，同时也揭示了等效模量预测模型的不足之处。

4 结论

折纸超材料可结合折纸结构和先进材料的优势进行设计，从而实现独特变形和功能特性，是力学超材料领域中具有发展潜力的类别。受折纸思想启发，本文设计一种多向拉胀折纸超材料(AOMM)，分析了负泊松比效应实现机制、建立了相关理论模型、制备了实验样品，并进行了准静态压缩测试，主要研究结论如下：(1)基于Euler梁理论建立了AOMM的等效泊松比和等效弹性模量理论模型，结合结构几何关系推导了相对密度、折叠效率和载荷平台的理论公式，并给出了胞壁几何对折叠变形的曲面响应，结果表明：无量纲参数 \tau具有区分折叠变形 p / k的作用，可作为超材料力学性能编程调控的指标。(2)准静态压缩试验表面多向AOMM具有弹性段、平台段、密实段的力学行为特征，压实后仍能恢复到某个屈曲构型，具有一定的循环吸能能力；由于叠加位置的耦合增强作用，实际等效弹性模量大于理论结果，但相对密度理论模型、载荷平台理论模型与实验结果吻合较好。

本文的研究结果可为折纸超材料提供设计参考，有助于推动AOMM在可穿戴柔性电子器件、可重构缓冲吸能器等方面的应用。在本文研究内容和结果的基础上，未来还可以从等效理论模型修正、动态冲击力学行为、多胞结构抑振性能、几何结构优化及力学行为编程调控等方面深入研究，以丰富相应的理论、构型、功能和应用体系。

参考文献

[1] ZADPOOR A A. Mechanical meta-materials[J]. Materials Horizons, Royal Society of Chemistry, 2016, 3(5): 371-381.

[2] 赵昌方,朱宏伟,任杰,复合材料负泊松比结构的冲击力学性能[J].青岛科技大学学报:自然科学版,2021,42(5):75-80.

[3] 赵峰,霍亚奇,陈鹿民,双对斜杆负刚度机制的恒值QZS隔振器研究[J].振动与冲击,2024,43(2):52-59.

[4] 王昱,吕恩利,王亚娟,负泊松比负热膨胀超材料微结构拓扑优化设计[J].上海理工大学学报,2016,38(6):551-556.

[5] 方虹斌,吴海平,刘作林,折纸结构和折纸超材料动力学研究进展[J].力学学报,2022,54(1):1-38.

[6] SURJADI J U, GAO L, DU H, et al. Mechanical metamaterials and their engineering applications[J]. Advanced Engineering Materials, 2019, 21(3): 1800864.

[7] LIU B, SILVERBERG L J, EVANS A A, et al. Topological kinematics of origami metamaterials[J]. Nature Physics, 2018, 14(8): 811-815.

[8] LIU Z L, FANG H B, XU J, et al. Digitized design and mechanical property reprogrammability of multistable origami metamaterials[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2023, 173: 105237.

[9] YELLOWHORSE A, TOLMAN K, HOWELL L L. Optimization of origami based tubes for lightweight deployable structures[C]// ASME International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, 2017, DET C2017-67274.

[10] TREASE P B, SIGEL A D, HOWELL L L, et al. Accommodating thickness in origami-based deployable arrays[J]. Journal of Mechanical Design, 2013, 135(11): 111005.

[11] ZHU Y, FILIPOV T E. An efficient numerical approach for simulating contact in origami assemblages[J]. Proceedings: Mathematical, Physical, and Engineering Sciences, 2019, 475: 20190366.

[12] YE H T, LIU Q J, CHENG J X, et al. Multimaterial 3D printed self-locking thick-panel origami metamaterials[J]. Nature Communications, 2023, 14(1): 1607.

[13] ZHANG L, PAN F, MA Y, et al. Bistable reconfigurable origami metamaterials with high load-bearing and low state-switching forces[J]. Extreme Mechanics Letters, 2023, 63: 102064.

[14] ARYAN S, TANMOY M. Kirigami-inspired metamaterials for programming constitutive laws: Mixed-mode multidirectional auxeticity and contact-induced stiffness modulation[J]. iScience, 2022, 25(12): 105656.

[15] LI Z Y, WANG X T, MA L, et al. Auxetic and failure characteristics of composite stacked origami cellular materials under compression[J]. Thin-Walled Structures, 2023, 184: 110453.

[16] DU C, WANG Y Q, KANG Z. Auxetic kirigami metamaterials upon large stretching[J]. ACS Applied Materials Interfaces, 2023, 15(15): 19190-19198.

[17] ZHANG J, KARAGIOZOVA D, YOU Z, et al. Quasi-static large deformation compressive behaviour of origami-based metamaterials[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2019, (153/154): 194-207.

[18] ZHONG J L, ZHAO C F, LIU Y Z, et al. Meta-materials of re-entrant negative poisson's ratio structures made from fiber-reinforced plastics: A short review[J]. Fibers and Polymers, 2024, 25: 395-406.

[19] LIU Y Z, ZHAO C F, XU C, et al. Auxetic meta-materials and their engineering applications: A review[J]. Engineering Research Express, 2023, 5(4): 042003.

[20] 陈耀,叶王杰,史佳遥,三浦折纸超材料结构数字化设计与模型验证[J].力学学报,2022,54(7):2019-2029.

[21] 姚宽.折纸型力学超材料结构单元设计及性能研究[D].南京:东南大学,2020.

[22] 夏进军,李洁,张雨萌,折纸结构及其特性的工程应用策略[J].材料导报,2021,35(11):11197-11208.

[23] 赵昌方, LimGOH Kheng,乐贵高,复合材料负泊松比结构等效弹性力学理论建模[J].青岛科技大学学报:自然科学版,2023,44(5):87-99.

[24] ZHAO C F, ZHOU Z T, LIU X X, et al. The in-plane stretching and compression mechanics of Negative Poisson's ratio structures: Concave hexagon, star shape, and their combination[J]. Journal of Alloys and Compounds, 2020, 859: 157840.

[25] ZHAO C F, ZHAO C L, ZHONG J L, et al. Compressive mechanical behavior for surface auxetic structures[J]. Journal of Alloys and Compounds, 2022, 894: 162427.

[26] 刘明金.负泊松比蜂窝芯结构的力学特性研究[D].合肥:中国科学技术大学,2012.

[27] GIBSON L J, ASHBY M F. The mechanics of three-dimensional cellular materials[J]. Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences, 1982, 382: 43-59.

[28] 王海瑞,申薛靖,王宙恒,折纸超材料折展稳态特性研究[J].力学学报,2022,54(10):2726-2732.

[29] CHEN Z Y, LI J H, WU B S, et al. Enhanced mechanical properties of re-entrant auxetic honeycomb with self-similar inclusion[J]. Composite Structures, 2024, 331: 117921.

[30] DHARI R S, ZIA J, WAYNE H. On the inclined static loading of honeycomb re-entrant auxetics[J]. Composite Structures, 2021, 273: 114289.

[31] QI H J, BOYCE M C. Stress-strain behavior of thermoplastic polyurethanes [J]. Mechanics of Materials, 2005, 37(8): 817-839.

基金资助

国家自然科学基金(12402458)

中国博士后科学基金(2024M751640)

国家资助博士后研究人员计划(GZC20231315)

黑龙江省重点研发计划(2023ZX07D03)