复合材料阻尼板自由振动分析

Free Vibration Analysis of Composite Damping Plate

摘要

以一阶剪切变形理论为基础，利用Hamilton原理得到阻尼板的振动平衡方程。采用Navier闭环型解对四边简支约束的阻尼板结构进行求解，与仿真结果进行对比验证，证明所推导振动平衡方程的正确性，使用验证过的方程对结构动态特性进行分析。结果表明：当将特定的阻尼材料合理嵌入复合材料板的厚度达到一定值时，整体复合材料阻尼板结构的前四阶振动频率最小且损耗因子最大；保持复合材料层厚度不变，改变嵌入的阻尼材料的厚度和边长，振动频率逐渐减小，结构的损耗因子逐渐增大。

关键词

剪切变形 / 平衡方程 / 简支 / 阻尼板 / 动态特性

Key words

Shear deformation / Equilibrium equation / Simply support / Damping plate / Dynamic characterization

复合材料阻尼板结构可以在质量较轻、厚度较小的情况下承受较大的载荷，因此广泛应用于航空航天、汽车工业、国家基础设施建设、军工装备、医疗健康等领域，如航空航天用氢气罐、风力涡轮机叶片、雷达罩、储油罐、管道系统等结构部件^[1-4]。RANI等^[5]利用一阶剪切变形理论，研究具有各向同性芯和各向异性面复合材料圆形夹层板的自由轴对称振动。WU等^[6]和LIU等^[7]提出一种精确的高阶C理论，利用八节点C连续等参单元对该理论进行建模，研究不同边界下的复合材料板的屈曲与自由振动。RAMIAN等^[8]和BENI等^[9]将用于FGM情况的可变运动学模型扩展到FG-CNTs，以描述材料性能随厚度的连续变化，首次提出用于非对称扇形板分析的Carrera统一公式(CUF)，研究碳纳米管增强面板环形扇形夹层板在不同边界条件下的自由振动。SARANGAN等^[10]、LI等^[11]、GIBSON等^[12]、ZHANG等^[13]、LIANG等^[14]、KHDEIR等^[15]利用非多项式之折线理论对层合材料和夹层板的弯曲和自由振动进行了预测分析，得到多层夹层板和复合材料板的高阶振型。SHAO等^[16]、QU等^[17]、TIMOSHENKO等^[18]、GREWAL等^[19]给出任意铺层和任意边界条件下复合材料层合梁的自由振动和瞬态振动分析的公式，并且在一般高阶剪切变形理论的基础上，采用改进的变分原理结合多段划分技术推导该公式。考虑弯曲-拉伸、弯曲-扭转、拉伸-扭转的材料耦合以及泊松效应，对具有不同几何参数和材料参数的交叉层合梁和角层合梁，给出大量的自由振动和瞬态振动解。CHANDRASHEKHARA等^[20]、VIDAL等^[21]、GAO等^[22]首次将DTM应用于具有黏弹性芯的三层组合梁的振动分析，计算了模态损耗因子随系统参数的变化。已有文献对阻尼层复合材料板进行一些相关研究，但是关于结构自由振动变化规律的研究较少。因此，通过分析不同材料参数下结构的振动频率和损耗因子的变化趋势，得到结构动力学性能的一些变化规律，具有一定的研究意义。

1 振动方程的推导

1.1 基本假设及应力-应变关系

图1为共固化复合材料阻尼结构的几何结构及尺寸。从图1可以看出，复合材料阻尼结构包含表层、阻尼层以及底层，总厚度(h)、长度(a)以及宽度(b)。

根据一阶剪切变形理论，各层板的位移模型表示为：

\begin{array}{c}{\overline{U}}_i(x,y,z,t)=u_i(x,y,t)+z^{\left(i\right)}{\alpha }_i(x,y,t)\\ {\overline{V}}_i(x,y,z,t)=v_i(x,y,t)+z^{\left(i\right)}{\beta }_i(x,y,t)\\ \overline{W_i}(x,y,z,t)=w(x,y,t)\end{array} (1)

式(1)中： {\overline{U}}_i、 {\overline{V}}_i及 \overline{W}分别为第i层板的任意一点沿 x、 y和 z方向的运动位移，i=1，2，3；u、v、w分别为第i层板在 x、 y和 z方向上的位移分量；α、β分别为第i层板为x、y方向上的旋转；z为第i层的厚度。

基于上述位移模型可以得到第i层板的应变公式。

\left(\begin{array}{l}{\epsilon }_{xx}^{\left(i\right)}\\ {\epsilon }_{yy}^{\left(i\right)}\\ {\gamma }_{xy}^{\left(i\right)}\\ {\gamma }_{yz}^{\left(i\right)}\\ {\gamma }_{xz}^{\left(i\right)}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}\partial /\partial x& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \partial /\partial y& \mathrm{0}\\ \partial /\partial y& \partial /\partial x& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \partial /\partial z& \partial /\partial y\\ \partial /\partial z& \mathrm{0}& \partial /\partial x\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}{\overline{U}}_i\\ {\overline{V}}_i\\ {\overline{W}}_i\end{array}\right) (2)

式(2)中： \epsilon分别为第i个材料点在x、y、z方向上的正应变； \gamma分别为第i个材料点在xy、yz、xz方向上的剪应变；U、V、W分别为第i个材料点在x、y、z方向上的位移分量。

基于上述的应力和应变公式得到沿坐标轴方向的第i层板的应力-应变关系。

\left(\begin{array}{l}{\sigma }_{xx}^{\left(i\right)}\\ {\sigma }_{yy}^{\left(i\right)}\\ {\tau }_{xy}^{\left(i\right)}\\ {\tau }_{yz}^{\left(i\right)}\\ {\tau }_{xz}^{\left(i\right)}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccccc}{\overline{\mathit{Q}}}_{\mathrm{11}}^{\left(i\right)}& {\overline{\mathit{Q}}}_{\mathrm{12}}^{\left(i\right)}& {\overline{\mathit{Q}}}_{\mathrm{16}}^{\left(i\right)}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ {\overline{\mathit{Q}}}_{\mathrm{12}}^{\left(i\right)}& {\overline{\mathit{Q}}}_{\mathrm{22}}^{\left(i\right)}& {\overline{\mathit{Q}}}_{\mathrm{26}}^{\left(i\right)}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ {\overline{\mathit{Q}}}_{\mathrm{16}}^{\left(i\right)}& {\overline{\mathit{Q}}}_{\mathrm{26}}^{\left(i\right)}& {\overline{\mathit{Q}}}_{\mathrm{66}}^{\left(i\right)}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& {\overline{\mathit{Q}}}_{\mathrm{44}}^{\left(i\right)}& {\overline{\mathit{Q}}}_{\mathrm{45}}^{\left(i\right)}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& {\overline{\mathit{Q}}}_{\mathrm{45}}^{\left(i\right)}& {\overline{\mathit{Q}}}_{\mathrm{55}}^{\left(i\right)}\end{array}\right) \left(\begin{array}{l}{\epsilon }_{xx}^{\left(i\right)}\\ {\epsilon }_{yy}^{\left(i\right)}\\ {\gamma }_{xy}^{\left(i\right)}\\ {\gamma }_{yz}^{\left(i\right)}\\ {\gamma }_{xz}^{\left(i\right)}\end{array}\right) (3)

式(3)中： \sigma分别为第i个材料点在x、y、z方向上的正应力； \tau分别为第i个材料点在xy、yz、xz平面上的剪应力； Q 为第i个材料点的刚度矩阵的分量。

1.2 振动平衡方程的推导

对结构的振动平衡方程进行推导，基于哈密尔顿原理得到振动方程的变分方程。

{\int }_{t_{\mathrm{0}}}^{t_{\mathrm{1}}} \left(\delta T-\delta U\right)dt=\mathrm{0} (4)

U = \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}} {\displaystyle \underset{V}{\overset{}{\iiint }}}\left({\epsilon }_{xx}^{\left(i\right)}{\sigma }_{xx}^{\left(i\right)}+{\epsilon }_{yy}^{\left(i\right)}{\sigma }_{yy}^{\left(i\right)}+{\gamma }_{xy}^{\left(i\right)}{\tau }_{xy}^{\left(i\right)}+{\gamma }_{yz}^{\left(i\right)}{\tau }_{yz}^{\left(i\right)}+{\gamma }_{xz}^{\left(i\right)}{\tau }_{xz}^{\left(i\right)}\right)\mathrm{d}V (5)

\begin{array}{c}T=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\displaystyle \underset{s}{\overset{}{\iint }}}{\rho }_i{h}_i\left(\frac{\partial w}{\partial t}\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}S+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\rho }_i{h}_i{\displaystyle \underset{s}{\overset{}{\iint }}}\left[{\left(\frac{\partial u_i}{\partial t}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\frac{\partial v_i}{\partial t}\right)}^{\mathrm{2}}\right]\mathrm{d}S+\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\frac{{\rho }_i{h}_i^{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}}{\displaystyle \underset{s}{\overset{}{\iint }}}\left[{\left(\frac{\partial {\alpha }_i}{\partial t}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\frac{\partial {\beta }_i}{\partial t}\right)}^{\mathrm{2}}\right]\mathrm{d}S\end{array} (6)

式(4)~式(6)中： \delta T和 \delta U分别为动能和势能的变分；T为系统的总动能；U为系统的势能； {\rho }_i为第i层的材料密度； h_i为第i层的材料厚度； \mathrm{d} V为体积微分； d S为面积微分。

四边简支边界条件如下：

在边界x=0和x=a处：

\begin{array}{ccccc}{N}_x^{(i)}=\mathrm{0}& v_i=\mathrm{0}& w=\mathrm{0}& M_x^{(i)}=\mathrm{0}& {\beta }_i=\mathrm{0}\end{array} (7)

在边界y=0和y=b处：

\begin{array}{ccccc}{N}_y^{(i)}=\mathrm{0}& u_i=\mathrm{0}& w=\mathrm{0}& M_y^{(i)}=\mathrm{0}& {\alpha }_i=\mathrm{0}\end{array} (8)

式(7)~式(8)中：N分别为在x、y法向上的位移；u、v、w分别为在x、y、z方向上的位移；M分别为在x、y方向上的弯矩。

为精确满足上述边界条件，采用Navier法^[23-24]进行求解，位移表达式为：

\begin{array}{c}{u}_i(x,y,t)={\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{U}_{mn}^i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(n\mathrm{\pi }x/a\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\mathrm{\pi }y/b\right){\mathrm{e}}^{j{\omega }^{\mathrm{*}}t}\\ v_i(x,y,t)={\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{V}_{mn}^i\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(n\mathrm{\pi }x/a\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(m\mathrm{\pi }y/b\right){\mathrm{e}}^{j{\omega }^{\mathrm{*}}t}\\ w_i(x,y,t)={\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{W}_{mn}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(n\mathrm{\pi }x/a\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\mathrm{\pi }y/b\right){\mathrm{e}}^{j{\omega }^{\mathrm{*}}t}\\ {\alpha }_i(x,y,t)={\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{X}_{mn}^i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(n\mathrm{\pi }x/a\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\mathrm{\pi }y/b\right){\mathrm{e}}^{j{\omega }^{\mathrm{*}}t}\\ {\beta }_i(x,y,t)={\displaystyle \sum _{m=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{Y}_{mn}^i\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(n\mathrm{\pi }x/a\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(m\mathrm{\pi }y/b\right){\mathrm{e}}^{j{\omega }^{\mathrm{*}}t}\end{array} (9)

式(9)中：x、y为空间坐标，表示在二维平面中的位置；u、v、w分别为在x、y、z方向上的位移分量；α、β分别为x、y方向上的旋转； {\mathrm{e}}^{j{\omega }^{\mathrm{*}}t}为振动随时间相位变化；U、V、W、X、Y分别为求解的相应方向位移模态振型常系数和转角模态振型常系数等初始条件。

将式(2)代入式(3)~式(8)中进行整理，将整理后的几何方程代入振动方程(9)，将其改写成一般特征值方程的形式。

\left(\left[\mathit{K}\right]+{\left({\omega }^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}\left[\mathit{M}\right]\right) \left\{X\right\} = \mathrm{0} (10)

求得特征值 {\omega }^{\mathrm{*}}后，可根据式(8)和式(9)求出整体结构的频率和阻尼。

\omega = \sqrt[]{\mathrm{R}\mathrm{e}{\left({\omega }^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}} (11)

\eta = \mathrm{I} \mathrm{m} \left({\left({\omega }^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}\right) / \mathrm{R} \mathrm{e} {\left({\omega }^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}} (12)

式(10)~式(12)中： \left[\mathit{K}\right]为刚度矩阵； \left[\mathit{M}\right]为质量矩阵； {\left({\omega }^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}为固有频率的平方；X为各个自由度上的位移，向量 \left\{\mathit{X}\right\} = {\left\{U_{mn}^{\mathrm{1}},U_{mn}^{\mathrm{3}},,V_{mn}^{\mathrm{1}},V_{mn}^{\mathrm{3}},W_{mn}^{},X_{mn}^{\mathrm{1}},X_{mn}^{\mathrm{3}},Y_{mn}^{\mathrm{1}},Y_{mn}^{\mathrm{3}}\right\}}^{\mathrm{T}}； \mathrm{R} \mathrm{e} {\left({\omega }^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}为振动的无阻尼频率； \eta为阻尼比。

本文所有物理量单位均采用国际单位制，统一量纲。

2 复合材料阻尼板自由振动参数分析

研究结构的几何参数阻尼层厚度与总厚度之比(h ₂/h)、宽厚比(b/h)以及长宽比(a/b)对振动频率和损耗因子的影响。模型为结构长度和宽度分别为0.348 m和0.304 m，表层和底层采用聚甲醛(POM)的材料参数为：弹性模量 E_{\mathrm{1}} = E_{\mathrm{3}} = \mathrm{68.9} \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}，泊松比为0.3，密度为1 590 kg/m³，高度均为0.762 mm；所嵌入的聚氨酯类黏弹性材料的剪切模量为0.896 MPa，密度为999 kg/m³，损耗因子为0.5，厚度为0.254 mm。

2.1 阻尼层厚度与总厚度之比对阻尼板自由振动的影响

在复合材料板的总厚度保持不变的前提下，改变阻尼层的相对厚度，图2为阻尼层厚度与总厚度之比对结构振动频率和损耗因子的影响。

从图2可以看出，随着阻尼层相对厚度的不断改变，整体结构的前四阶振动频率均呈现减小的趋势，其中一阶频率降低的趋势较为平缓，二阶至四阶振动频率降低非常明显；而损耗因子的变化规律与振动频率变化趋势并不吻合，前四阶损耗因子均呈先增后减的走势，呈上凸抛物线状分布，损耗因子达到某一特定值后迅速降低，结构的最大损耗因子值都出现在表层和底层复合材料板的厚度相等，结构呈对称分布的时候，此时结构的损耗因子值最大。这是因为在对称结构下，中间的阻尼材料在振动过程中发生的剪切变形量最大，减振效果最好。

2.2 阻尼层宽厚比对阻尼板自由振动的影响

图3为阻尼层宽厚比对结构振动频率和损耗因子的影响。从图3可以看出，复合材料阻尼板结构的前四阶振动频率，随着复合材料阻尼板结构宽厚比的增加，呈逐渐降低的趋势。但是其一阶振动频率值的变化幅度最小，二阶至四阶频率变化趋势明显，其中四阶的变化趋势最为明显；而损耗因子则呈逐步增大的态势，并且损耗因子值上升较快。在复合材料板中嵌入较薄的阻尼材料就可以非常有效地提高整体结构的损耗因子。

2.3 阻尼层长宽比对阻尼板自由振动的影响

图4为阻尼层长宽比对结构振动频率和损耗因子的影响。从图4可以看出，复合材料阻尼板结构随着长宽比的增加，前四阶振动频率呈现出逐渐降低的趋势。但是其一阶、三阶振动频率值的变化幅度较小，二阶、四阶频率变化趋势明显；而损耗因子则呈现出逐步增大的态势，并且损耗因子值随着长宽比的增加，在前期上升较快，当长宽比达到某一特定的值后，其值的增长速率变得较为平缓，最后整体结构的损耗因子值基本稳定在一个定值上。结果表明，增大复合材料阻尼板结构的长宽比可以非常有效地提高整体结构的损耗因子，随着结构长宽比的不断增加，损耗因子增加的速度也在逐步减小。

3 阻尼材料的共固化复合材料板动力学性能的仿真分析

3.1 单层阻尼材料共固化复合材料板仿真分析

通过仿真分析能够得到单层阻尼材料板的前六阶振型云图、频率以及损耗因子。图5~图10为单层阻尼材料仿真云图，表1为单层阻尼材料振动频率和损耗因子的理论解与文献解。从表1可以看出，单层阻尼材料共固化复合材料板本文计算结果与有限元结果、文献计算具有较高的一致性，表明本文中所推导的公式准确有效。

3.2 多层阻尼材料共固化复合材料板仿真分析

将中间阻尼材料保持总厚度不变的情况下分为10层，每层厚度0.025 4 mm，铺层角度分别为0°/45°/0°/45°/0°/45°/0°/45°/0°/45°。图11和图12为铺层示意图和放大图。

通过仿真分析能够得到多层阻尼材料共固化复合材料板的前六阶振型云图、频率以及损耗因子。图13~图18为多层阻尼材料仿真云图，表2为多层阻尼材料振动频率和损耗因子的本文解与有限元解。

从表2可以看出，多层阻尼材料共固化复合材料板本文计算结果与有限元结果具有较高的一致性，频率和损耗因子的误差均在5%以内，表明本文中所推导的公式是准确的和有效的。

4 结论

基于复合材料力学理论、一阶剪切变形理论和哈密尔顿原理，通过参数化分析，研究复合材料阻尼板结构在不同结构参数下的动力学性能的变化规律，结果表明：(1)随着阻尼层相对厚度的不断减小，整体结构的前四阶振动频率均呈减小的趋势；而前四阶损耗因子均呈先增后减小的走势，呈上凸抛物线状分布，损耗因子达到某一特定值之后迅速降低。(2)随着复合材料阻尼板结构宽厚比的增加，复合材料阻尼板结构的前四阶振动频率呈现出逐渐降低的趋势；而损耗因子则呈现出逐步增大的态势，并且损耗因子值上升较快。(3)随着复合材料阻尼板结构长宽比的增加，前四阶振动频率呈逐渐降低的趋势；而损耗因子则呈逐步增大的态势，并且在前期上升较快，当结构的长宽比达到某一特定的值后，其值的增长速率变得较为平缓。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(52005372)

潍坊科技学院设施园艺专项(2021XKJS24)

潍坊市科技计划(2019GX79)