复合材料夹芯开口圆柱壳的振动特性

Vibration Characteristics of Composite Sandwich Open Cylindrical Shell

摘要

为探讨复合材料阻尼开口圆柱壳（CDOCS）的振动特性变化规律，在虚功原理基础上，结合折线位移模型、黏弹性力学和复合材料力学，推导CDOCS的振动微分方程。基于纳维叶法求解该CDOCS振动微分方程理论解。基于ANSYS仿真模型得到该CDOCS的仿真解。理论解和仿真解较好的一致性验证了理论推导的有效性和正确性。基于该验证模型探索夹芯复合材料开口壳的振动特性变化规律，重点分析长度、厚度、半径等结构参数对CDOCS振动的影响。

关键词

复合材料夹芯 / 开口圆柱壳 / 一阶折线位移理论 / 振动频率 / 损耗因子

Key words

Composite sandwich / Open cylindrical shell / First-order piecewise displacement theory / Vibration frequency / Loss factor

复合材料因其良好的综合性能已在工业领域得到广泛应用，如石油化工、建筑领域及动车行业等。复合材料在工程结构的使用占比已经成为衡量该工程结构先进性的重要指标^[1-2]。当前，国内外学者已对复合材料层合圆柱壳结构进行一定程度的研究，而关于复合材料夹芯开口圆柱壳振动特性的相关研究甚少。本文将通过理论分析，探索复合材料阻尼开口圆柱壳(CDOCS)振动特性随几何参数的变化规律。

自1959年KERWIN^[3]对夹芯结构阻尼进行相关研究工作以来，国内外学者为更好地对这一结构进行分析和探究，提出并发展了各种壳理论。其中，忽略剪切变形的薄壳理论、一阶剪切变形理论以及广泛应用于壳的动态行为、优化设计、弯曲、冲击和振动的高阶剪切变形理论。此外，通过不同的假设和简化，还发展出了各种子系列薄壳理论，如Goldenveizer-Novozhilov理论、Donnel-Mushtari理论等^[4]。在这些理论基础上，SUZUKI等^[5]基于一种振动方程的精确解法对层合圆柱壳的自由振动和模态阵型进行分析。基于Donnell-Mushtari壳理论，YU等^[6]采用纳维叶法，研究不同边界条件下层合开口圆柱壳的自由振动。SELMANE等^[7]在有限元法和经典壳理论的基础上提出了一种探索层合壳动态和静态特性的新方法。基于三维弹性解，LIM等^[8]对层合圆柱壳的自由振动和模态阵型进行探索。KANDASAMY等^[9-10]在瑞利-里兹法的基础上提出一种新的数值分析方法，探索圆柱壳的受迫振动，随后基于该方法对斜圆柱壳的自由振动进行分析。庞福振等^[11]基于线性薄壳理论和区域能量分解法探索圆柱壳受迫振动特性随边界条件和结构参数的变化规律。随后，基于该方法，庞福振等^[12]又对复杂边界条件下的圆柱壳结构瞬态振动特性进行了分析。本文在虚功原理基础上，结合折线位移模型和复合材料力学等，推导了CDOCS的振动微分方程；基于纳维叶法，得到该CDOCS振动微分方程理论解。同时，基于ANSYS仿真模型，得到该CDOCS的仿真解。最后，探究CDOCS的振动特性变化规律。

1 复合材料夹芯开口圆柱壳的动力学方程推导

图1为长度为a的复合材料夹芯开口圆柱壳结构。柱坐标系的3个坐标方向分别为径向R(半径方向)、周向θ(圆周方向)和轴向x(长度方向)。

基于一阶位移理论，各层壳任意点处位移表达式为：

\begin{array}{c}{\overline{U}}^{\left(i\right)}\left(x,\theta ,z,t\right)=u^{\left(i\right)}(x,\theta ,t)+z^{\left(i\right)}{\alpha }^{\left(i\right)}(x,\theta ,t)\\ {\overline{V}}^{\left(i\right)}\left(x,\theta ,z,t\right)=v^{\left(i\right)}(x,\theta ,t)+z^{\left(i\right)}{\beta }^{\left(i\right)}(x,\theta ,t)\\ \overline{W}\left(x,\theta ,z,t\right)=w(x,\theta ,t)\end{array} (1)

式(1)中： {\overline{U}}^{\left(i\right)}、 {\overline{V}}^{\left(i\right)}、 \overline{W}分别为沿轴向、周向和径向的位移；u ⁽ⁱ⁾、v ⁽ⁱ⁾、和w分别为沿轴向、周向和径向的中面位移；α ^{( i )}和β ^{( i )}分别为法线绕周向和径向的转角；i=1、2、3；z为法向方向；t为时间。

根据式(1)可推导CDOCS的本构关系方程。

\mathit{\sigma } = \mathit{Q} \mathit{\epsilon } (2)

式(2)中： σ 、 ε 和 Q 分别为芯层的应力、应变和折减刚度矩阵。

满足四边简支位移边界条件的位移表达式为：

\begin{array}{l}{u}^{\left(i\right)}(x,\theta ,t)=U_{mn}^{\left(i\right)}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(n\mathrm{\pi }x/a\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\mathrm{\pi }\theta /{\theta }_{\mathrm{0}}\right){\mathrm{e}}^{j{\omega }^{\mathrm{*}}t}\\ v^{\left(i\right)}(x,\theta ,t)=V_{mn}^{\left(i\right)}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(n\mathrm{\pi }x/a\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(m\mathrm{\pi }\theta /{\theta }_{\mathrm{0}}\right){\mathrm{e}}^{j{\omega }^{\mathrm{*}}t}\\ w(x,\theta ,t)=W_{mn}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(n\mathrm{\pi }x/a\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\mathrm{\pi }\theta /{\theta }_{\mathrm{0}}\right){\mathrm{e}}^{j{\omega }^{\mathrm{*}}t}\\ {\alpha }^{\left(i\right)}(x,\theta ,t)=X_{mn}^{\left(i\right)}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(n\mathrm{\pi }x/a\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\mathrm{\pi }\theta /{\theta }_{\mathrm{0}}\right){\mathrm{e}}^{j{\omega }^{\mathrm{*}}t}\\ {\beta }^{\left(i\right)}(x,\theta ,t)=Y_{mn}^{\left(i\right)}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(n\mathrm{\pi }x/a\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(m\mathrm{\pi }\theta /{\theta }_{\mathrm{0}}\right){\mathrm{e}}^{j{\omega }^{\mathrm{*}}t}\end{array} (3)

式(3)中：U、V、W、X和Y为未知常数； {\theta }_{\mathrm{0}}为初始开口角度。

中间芯层阻尼材料的数学模型采用常复数模型，因此式(3)中 {\omega }^{\mathrm{*}}为复频率。

基于虚功原理^[13]可得CDOCS动力学方程的变分方程。

\delta T - \delta U = \mathrm{0} (4)

式(4)中：T和U分别为动能和应变能，表达式见式(5)和式(6)。

U = \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}} {\displaystyle \underset{V}{\overset{}{\iiint }}}\left[{\epsilon }_{xx}^{\left(i\right)}{\sigma }_{xx}^{\left(i\right)}+{\epsilon }_{\theta \theta }^{\left(i\right)}{\sigma }_{\theta \theta }^{\left(i\right)}+{\gamma }_{x\theta }^{\left(i\right)}{\tau }_{x\theta }^{\left(i\right)}+{\gamma }_{\theta z}^{\left(i\right)}{\tau }_{\theta z}^{\left(i\right)}+{\gamma }_{xz}^{\left(i\right)}{\tau }_{xz}^{\left(i\right)}\right] \mathrm{d} V (5)

T = \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}} {\displaystyle \underset{V}{\overset{}{\iiint }}}{\rho }^{\left(i\right)}\left[{\left(\frac{\partial {\overline{U}}^{\left(i\right)}}{\partial t}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\frac{\partial {\overline{V}}^{\left(i\right)}}{\partial t}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\frac{\partial \overline{W}}{\partial t}\right)}^{\mathrm{2}}\right] \mathrm{d} V (6)

式（5）和式（6）中：ε和σ分别为不同方向的正应变和正应力；γ和τ分别为不同方向的剪应变和剪应力；ρ为密度。

将式(3)代入式(2)，可得到应力和应变的具体表达式；再将该应力和应变的具体表达式代入式(4)中，变分推导可得式(4)的一般特征值方程形式，见式(7)。

\{ \left[\mathit{K}\right] - {\left({\omega }^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}} \left[\mathit{M}\right] \} \{ \mathit{X} \} = \mathrm{0} (7)

式(7)中： \left[\mathit{K}\right]为CDOCS刚度矩阵； \left[\mathit{M}\right]为CDOCS质量矩阵； \left\{\mathit{X}\right\} \mathrm{为常} \mathrm{向量}。

2 算例分析

采用实例验证理论模型的正确性，上、下两层复合材料参数为：ν=0.138， G_{\mathrm{13}} = G_{\mathrm{23}} = G_{\mathrm{12}} = \mathrm{3.7} \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}，ρ= \mathrm{2} \mathrm{000} \mathrm{k} \mathrm{g} / {\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}， E_{\mathrm{1}} = E_{\mathrm{2}} = \mathrm{24.3} \mathrm{G} \mathrm{P} \mathrm{a}；阻尼材料参数：E= \mathrm{3.672} \mathrm{M} \mathrm{P} \mathrm{a}，ρ= \mathrm{999} \mathrm{k} \mathrm{g} / {\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}，ν=0.498，η=0.5。整体尺寸为： a=1 m， R_{\mathrm{2}} = \mathrm{0.5} \mathrm{m}， h_{\mathrm{1}} = h_{\mathrm{3}} = \mathrm{2} \mathrm{m} \mathrm{m}， h_{\mathrm{2}} = \mathrm{0.1} \mathrm{m} \mathrm{m}，开口角度 {\theta }_{\mathrm{0}} = \pi / \mathrm{4}。

图2为结构振型及ANSYS仿真模型。该模型基于SOLID185单元，总计295 500个单元(周向197个单元，径向3个单元，轴向500个单元)。

表1为振动频率和损耗因子有限元解和公式理论解对比。从表1可看出，公式理论解与有限元结果一致性较好，可知所推导的公式有效且正确。

3 CDOCS振动特性分析

3.1 复合材料层厚度比对CDOCS振动特性影响

图3和图4分别为 a / R_{\mathrm{2}} = \mathrm{2}、 {\theta }_{\mathrm{0}} = \pi / \mathrm{4}、 a / R_{\mathrm{2}} = \mathrm{3}和 {\theta }_{\mathrm{0}} = \pi / \mathrm{5}时CDOCS振动特性随h ₁/h ₃的变化。

从图3和图4可以看出，在给定的厚度比下，相比一阶振动频率，一阶损耗因子的变化幅度较大。从图3和图4还可以看出，一阶损耗因子呈现先增大后减小的变化规律，同时一阶振动频率先减小后增大；两者的变化规律完全相反，但是都在h ₁/h ₃=1附近得到了给定参数下的极值。这表明当上下两层复合材料厚度相等时，夹芯复合材料开口壳阻尼性能较为理想。另外，阻尼材料层厚度较小时，提高其厚度，振动频率小范围减小的同时可大幅度提高其损耗因子。出现这种变化规律，是因为当阻尼材料层放置于CDOCS的中间位置时，阻尼材料层会发生最大程度的剪切变形，依据模态应变能法，此时CDOCS损耗因子最大，结构刚度最低，频率最小。

3.2 a/R ₂对CDOCS振动特性影响

图5和图6分别为 {\theta }_{\mathrm{0}} = \pi / \mathrm{6}、 {\theta }_{\mathrm{0}} = \pi / \mathrm{2}时CDOCS振动特性随长度与半径比变化。

从图5和图6可以看出，在不同的开口角度下，一阶损耗因子呈现出不同的变化趋势，在较小的开口角度下，先减小后增大，在较大开口角度下，先急剧减小后基本保持不变；而一阶振动频率变化趋势基本不变，都是逐渐减小的趋势。这是因为CDOCS结构刚度随着长度与半径比增大而减小，导致结构频率减小；同时，较大的结构刚度对阻尼材料层的剪切变形产生抑制，结构刚度减小到一定程度后，抑制作用逐渐消退，在恰当的结构刚度下，发生充分剪切变形，损耗因子增大。

3.3 R ₂/h对CDOCS振动特性影响

图7为 R_{\mathrm{2}} = \mathrm{0.5} \mathrm{m}、 a / R_{\mathrm{2}} = \mathrm{2}时CDOCS振动特性随半径与总厚度比的变化。

从图7可以看出，CDOCS一阶频率和损耗因子都随着R ₂/h增大而逐渐减小。同时，R ₂/h较大时，缓慢减小。可以看出，当R ₂/h较小时开口壳结构具有较好的振动特性。这是由于CDOCS上下两层复合材料层结构刚度对阻尼材料层的剪切变形影响较大，在给定的参数下，此时结构刚度较小，不足以支持阻尼材料层产生充分的剪切变形。随着结构刚度的减小，剪切变形程度越不充分，导致频率和损耗因子同时减小。

3.4 开口角度对CDOCS振动特性影响

图8和图9分别为a/R ₂=1、a/R ₂=3时CDOCS振动特性随开口角度的变化规律。

从图8和图9可以看出，对于短开口壳来说，一阶频率随着开口角度的增大而增大，而长开口壳的一阶频率随着开口角度的增大呈现出先减小后增大的规律。但是短开口壳和长开口壳的损耗因子都是随着开口角度的增大，先急剧减小后变化幅度很小。这种现象的发生也表明结构参数的变化影响了结构刚度，进而对芯层剪切能产生直接影响，导致CDOCS的一阶频率和损耗因子发生变化。

4 结论

当上、下两层复合材料厚度相等时，CDOCS阻尼性能较优。在给定的结构参数下，CDOCS一阶频率随着a/R ₂增大而减小；一阶损耗因子在较小的开口角度，先减小后增大；在较大的开口角度下，先急剧减小后基本保持不变。CDOCS一阶频率和损耗因子都随着R ₂/h增大而逐渐减小。随开口角度的增大，CDOCS一阶损耗因子逐渐减小；短开口壳的一阶频率逐渐增大，而长开口壳的一阶频率先减小后增大。

参考文献

[1] 王敏涓,黄浩,王宝,连续SiC纤维增强钛基复合材料应用及研究进展[J].航空材料学报,2023,43(6):1-19.

[2] 周宸,陈明达,杨建,纤维增强树脂基复合材料层合板振动性能的研究进展[J].复合材料科学与工程,2023(2):126-132.

[3] KERWIN E M. Damping of flexural waves by a constrained viscoelastic layer[J]. Journal of the acoustical society of America, 1959, 31 (7): 952-962.

[4] ABRATE S, DI SCIUVA M. Equivalent single layer theories for composite and sandwich structures: A review[J]. Composite Structures, 2017, 179: 482-494.

[5] SUZUKI K, LEISSA A W. Exact solutions for the free vibrations of open cylindrical shells with circumferentially varying curvature and thickness[J]. Journal of Sound & Vibration, 1986, 107(1):1-15.

[6] YU S D, CLEGHORN W L, FENTON R G. On the accurate analysis of free vibration of open circular cylindrical shells [J]. Journal of Sound & Vibration, 1995, 188(188): 315-336.

[7] SELMANE A, LAKIS A A. Dynamic analysis of anisotropic open cylindrical shells[J]. Computers & Structures, 1997, 62(1): 1-12.

[8] LIM C W, LIEW K M, KITIPORNCHAI S. Vibration of open cylindrical shells: A three-dimensional elasticity approach[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1998, 104(3):1436-1443.

[9] KANDASAMY S, SINGH A V. Transient vibration analysis of open circular cylindrical shells[J]. Journal of Vibration & Acoustics, 2006, 128(3): 366-374.

[10] KANDASAMY S, SINGH A V. Free vibration analysis of skewed open circular cylindrical shells[J]. Journal of Sound & Vibration, 2006, 290(3): 1100-1118.

[11] 庞福振,彭德炜,李海超,圆柱壳结构受迫振动特性分析[J].振动与冲击,2019,38(16):7-13.

[12] 庞福振,李海超,彭德炜,复杂边界条件下圆柱壳结构瞬态振动特性分析[J].哈尔滨工程大学学报,2019,40(7):1238-1244.

[13] AKOUSSAN K, BOUDAOUD H, DAYA E M, et al. Sensitivity analysis of the damping properties of viscoelastic composite structures according to the layers thicknesses[J]. Composite Structures, 2016, 149: 11-25.

基金资助

山东省2024年本科教学改革研究项目(Z2024394)