复合材料层合板结构自由振动多尺度分析

Multi-scale Analysis of Free Vibration in Laminated Composite Structures

摘要

为多尺度探究层合复合材料结构的振动特性，推导其多尺度振动特性方程，求解其数值解，并实验验证数值推导的有效性。结果表明：在不同边长比（a/b）下，前两阶模态振动频率具有相同的变化趋势，均随着纤维体积分数（V_f）的增大而逐渐增大。在相同的V_f下，随着a/b的增大，前两阶模态振动频率均表现出逐渐减小的趋势。在不同长厚比（a/h）下，前两阶模态振动频率随V_f的增大而逐渐增大。在给定的V_f下，随着a/h的增大，前两阶模态振动频率均逐渐减小。在不同的纤维、基体弹性模量比（E_f/E_m）下，随着V_f的增大，前两阶模态振动频率均表现出逐渐增大的趋势；在给定的V_f下，前两阶模态频率随着E_f/E_m的增大，呈现出逐渐增大趋势。

Abstract

To investigate the vibration characteristics of laminated composite structures across multiple scales, the multiscale vibration characteristic equations were derived, their numerical solutions were obtained, and the validity of the numerical derivation was experimentally verified. The results indicated that under different aspect ratios (a/b), the vibration frequencies of the first two modal orders exhibited the same trend, gradually increasing with the increase in fiber volume fraction (V_f). Under the same V_f, as the a/b increased, the vibration frequencies of the first two modal orders both showed a trend of gradual decrease. Under different length-to-thickness ratios (a/h), the vibration frequencies of the first two modal orders gradually increased with the increase of V_f. Under a given V_f, as the a/h increased, the vibration frequencies of the first two modal orders both gradually decreased. Under different fiber-to-matrix elastic modulus ratios (E_f/E_m), the vibration frequencies of the first two modal orders both gradually increased with the increase of V_f. under a given V_f, the first two modal frequencies gradually increased with the increase of E_f/E_m.

Graphical abstract

关键词

多尺度分析 / 复合材料结构 / 振动特性 / 频率

Key words

Multi-scale analysis / Composite structures / Vibration properties / Frequency

复合材料结构因由多种材料经特殊工艺加工而成，展现出比其材料更优异的综合性能，因此在轨道交通、航天等工业领域得到广泛应用^[1-2]。在实际应用中，复合材料构件的振动特性对其自身及由其组成的设备整体性能具有重要影响。例如，动车车体、设备舱底板等已大量采用复合材料，其振动特性对动车的承载性能和舒适性等有直接影响^[3-6]。因此，研究层合复合材料结构的自由振动具有重要意义。

目前，已有大量文献从宏观角度分析复合材料结构的振动特性^[7-10]。在这些研究中，部分文献提出了新的建模理论或求解方法。TONG等^[11]基于三维弹性理论，建立偏微分方程，系统研究预应力复合材料多层壳体的自由振动特性。采用状态空间技术和双傅里叶级数展开，将振动方程转换为状态空间常微分方程，可用于分析具有任意分层角度的简支复合多层圆柱壳的振动问题。LI等^[12]提出一种新的高阶剪切变形理论，用于分析复合材料板结构的自由振动。该理论通过引入梯度指数变化的剪切函数，基于Hamilton原理推导出控制微分方程和边界条件，并假设材料属性沿板厚按幂律分布，同时采用Mori-Tanaka模型，不需要剪切修正因子即可满足板的上下表面无应力边界条件。LI等^[13]为分析简支复合材料板的自由振动，提出一种新的剪切变形理论：剪切函数随梯度指数变化，位移场以不定积分形式表达，在不使用任何剪切修正因子的条件下，满足功能梯度板顶面和底面的无应力边界条件。ZHANG等^[14]首次采用双半正弦级数作为积分内核构建积分变换对，用于正交矩形薄板的新型精确振动分析。通过计算500多个综合解析解，并与有限元方法(FEM)的数值结果对比验证，证明该方法的准确性，可作为进一步研究的新参考结果。为探究层状复合材料结构的屈曲和自由振动特性，NGUYEN等^[15]提出一种不需要剪切修正系数的三变量高阶剪切变形理论，用于评估层压复合材料与功能梯度多孔梁的屈曲及自由振动特性。基于拉格朗日原理推导出控制方程，并采用Legendre-Ritz函数进行求解。部分研究基于现有理论模型和求解方法，探讨复合材料结构参数对自由振动的影响。WANG等^[16]为研究功能梯度复合材料结构的振动特性，建立功能梯度复合材料结构与黏弹性聚合物层之间的位移传递关系的简化动态模型。通过纳维尔法和复模量理论，推导出控制微分方程，并采用Rayleigh-Ritz法求解，最终分析了结构参数对振动特性的影响。ZHAI等^[17-19]基于一阶剪切理论、哈密尔顿原理和纳维尔法，推导并求解了复合材料结构的振动方程，验证了其准确性，进而探讨材料和结构参数对复合材料结构振动特性的影响。

目前，部分文献已从多尺度角度研究复合材料结构的力学性能。吕晋书等^[20]基于DIGIMAT有限元仿真，从多尺度角度探究石墨烯-碳纤维混杂增强树脂基(GO-CF/EP)复合材料结构的弯曲特性，并实验验证了仿真分析的有效性。王维韩等^[21]从微观、细观和宏观4个尺度，分析不同能量冲击下T形和工形平纹编织复合材料加筋壁板的冲击后压缩性能和低速冲击特性。员尔瑾等^[22]建立平纹编织复合材料的多尺度有限元渐近损伤模型，通过局部均质化对介观模型中的成分进行等效简化，并基于微观力学破坏理论确定纤维/基体破坏的起始点。此外，还开发用户自定义子程序VUMAT，借助ABAQUS有限元分析平台，研究平纹复合材料的拉伸力学行为和破坏机制。

综上所述，大多数研究集中于从宏观角度分析层合复合材料结构的自由振动特性。尽管已有文献从多尺度角度研究复合材料结构的力学性能，但尚未发现从微观和宏观两方面综合探究层合复合材料结构自由振动特性的研究。本文将从微观和宏观两个层面综合分析层合复合材料结构的自由振动特性，开展复合材料结构自由振动的多尺度研究。

1 细观模型

文中以E-玻璃纤维为增强相、MY750树脂为基体的复合材料结构为例，多尺度探究层合复合材料结构自由振动。表1为增强相和基体的材料参数^[23]。

根据细观模型混合定律^[24]，细观尺度下，增强相和基体的力学模型计算公式为：

E_{\mathrm{11}}=V_{\mathrm{f}}{E}_{\mathrm{f}}+V_{\mathrm{m}}{E}_{\mathrm{m}}(1)

E_{\mathrm{22}}=[E_{\mathrm{m}}{E}_{\mathrm{f}}\left(V_{\mathrm{f}}+\mathrm{0.661}{V}_{\mathrm{m}}\right)]/\left(E_{\mathrm{m}}{V}_{\mathrm{f}}+\mathrm{0.661}{E}_{\mathrm{f}}{V}_{\mathrm{m}}\right)(2)

{\nu }_{\mathrm{12}}=V_{\mathrm{f}}{\nu }_{\mathrm{f}}+V_{\mathrm{m}}{\nu }_{\mathrm{m}}(3)

G_{\mathrm{12}}={\left(\frac{\mathrm{4}}{E_{\mathrm{45}}}-\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{11}}}-\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{22}}}+\frac{\mathrm{2}{\nu }_{\mathrm{21}}}{E_{\mathrm{11}}}\right)}^{-\mathrm{1}}(4)

E_{\mathrm{45}}=\frac{\mathrm{0.938}{E}_{\mathrm{m}}{E}_{\mathrm{f}}}{E_{\mathrm{m}}{V}_{\mathrm{f}}+E_{\mathrm{f}}{V}_{\mathrm{m}}}+\mathrm{0.062}\left(V_{\mathrm{f}}{E}_{\mathrm{f}}+V_{\mathrm{m}}{E}_{\mathrm{m}}\right)(5)

式(1)~(5)中：E为弹性模量，GPa；v为泊松比；下标f和m分别为玻璃纤维和树脂；V为体积分数，V_f+V_m=1；G为剪切模量，GPa。

2 宏观振动方程模型

数学模型采用一阶位移模型为：

\begin{array}{l}\overline{U}\left(x,y,z,t\right)=u(x,y,t)+z\alpha (x,y,t)\\ \overline{V}\left(x,y,z,t\right)=v(x,y,t)+z\beta (x,y,t)\\ \overline{W}\left(x,y,z,t\right)=w(x,y,t)\end{array}(6)

式(6)中：\overline{U}、\overline{V}和\overline{W}为任意点的位移，mm；u、v和w分别为沿坐标轴x、y、z的中面位移，mm；α和β分别为绕y和x轴的转角，rad；t为时间，s。

根据式(6)可得应变和应力表达式，将两者代入变分方程(7)中，对该方程进行整理，可得振动控制微分方程。

\delta {\int }_{t_{\mathrm{0}}}^{t_{\mathrm{1}}}{\displaystyle \underset{V}{\overset{}{\iiint }}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\begin{array}{l}\left({\epsilon }_{xx}^{}{\sigma }_{xx}^{}+{\epsilon }_{yy}^{}{\sigma }_{yy}^{}+{\gamma }_{xy}^{}{\tau }_{xy}^{}+{\gamma }_{yz}^{}{\tau }_{yz}^{}+{\gamma }_{xz}^{}{\tau }_{xz}^{}\right)\\ -{\rho }^{\left(i\right)}\left({\left(\frac{\partial \overline{U}}{\partial t}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\frac{\partial \overline{V}}{\partial t}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\frac{\partial \overline{W}}{\partial t}\right)}^{\mathrm{2}}\right)\end{array}\right]dV=\mathrm{0}(7)

式(7)中：σ和τ分别为正应力和剪应力，Pa；ε和γ分别为正应变和剪应变；\rho为复合材料结构密度，kg/m³。

采用双三角函数法求解满足四边简支边界的层合复合材料板结构的自由振动方程，表达式为：

\begin{array}{l}u(x,y,t)=U\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(n\mathrm{\pi }x/a\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\mathrm{\pi }y/b\right){\mathrm{e}}^{i{\omega }^{\mathrm{*}}t}\\ v(x,y,t)=V\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(n\mathrm{\pi }x/a\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(m\mathrm{\pi }y/b\right){\mathrm{e}}^{i{\omega }^{\mathrm{*}}t}\\ w(x,y,t)=W\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(n\mathrm{\pi }x/a\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\mathrm{\pi }y/b\right){\mathrm{e}}^{i{\omega }^{\mathrm{*}}t} \\ \alpha (x,y,t)=F\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(n\mathrm{\pi }x/a\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(m\mathrm{\pi }y/b\right){\mathrm{e}}^{i{\omega }^{\mathrm{*}}t}\\ \beta (x,y,t)=H\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(n\mathrm{\pi }x/a\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(m\mathrm{\pi }y/b\right){\mathrm{e}}^{i{\omega }^{\mathrm{*}}t}\end{array}(8)

式(8)中：U、V、W、F和H均为常系数；{\omega }^{\mathrm{*}}为复频率，rad/s；i为虚数单元；n和m分别为模态数；a和b分别为长和宽，m。

将式(8)代入整理后的式(7)，可以将其整理为：

\left(\left[\mathit{K}\right]-{\left({\omega }^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}\left[\mathit{M}\right]\right)\left\{\mathit{X}\right\}=\mathrm{0}(9)

式(9)中：\left[\mathit{K}\right]和\left[\mathit{M}\right]分别为刚度和质量矩阵； X 为常系数向量。

对上述公式进行求解可得层合复合材料结构自由振动频率。

3 实验验证

根据文献[25]中的共固化工艺曲线，将V_f 60%的E-玻璃纤维和MY750树脂预浸料制作成厚度为400 mm×400 mm×6 mm的层合复合材料结构试件。图1为层合复合材料结构实验试件。E-玻璃纤维和MY750树脂的材料参数见文献[23]。制作试件，同时搭建模态测试平台，在丹麦BK公司的模态测试软件中设置好激励点后，进行模态测试实验。图2为激励点。

图3和图4分别为一阶和二阶有限元振型。根据式(9)得到的矩阵[ K ]和[ M ]，采用MATLAB软件对振动频率进行求解，分别与有限元结果和实验解进行对比。表2为一阶和二阶实验和有限元结果。从表2可以看出，本文理论解跟实验解和有限元解最大误差为5.758%。这是由于试验夹具装夹太紧导致刚度增大，误差在有效范围内，说明理论结果有效。

4 自由振动多尺度分析

图5为不同a/b下频率随V_f的变化规律。从图5可以看出，在相同的结构参数下，前两阶模态振动频率变化趋势相同，均随着V_f的增大而增大。

图6为不同V_f下频率随a/b的变化规律。从图6可以看出，在不同的V_f下，随着a/b的增大，前两阶模态振动频率均表现出逐渐减小的趋势，且减小速率呈变缓趋势。

图7为不同长厚比(a/h)下频率随V_f的变化规律。从图7可以看出，前两阶模态振动频率的变化趋势均随着V_f的增大而增大。一阶模态频率的增长速率基本不变，而二阶模态频率的增长速率随着V_f的增大而增大。

图8为不同V_f下频率随a/h的变化规律。从图8可以看出，随着a/h的增大，前两阶模态频率都逐渐减小。这是因为a/h增大，结构变薄，刚度减小。

图9为不同E_f/E_m下频率随V_f的变化规律。从图9可以看出，随着V_f的增大，前两阶模态振动频率均呈逐渐增大的趋势。但是不同的是，V_f位于[0.1，0.4]的一阶模态频率增长速率大于V_f位于[0.4，0.7]的增长速率；V_f位于[0.1，0.4]的二阶模态频率增长速率小于V_f位于[0.4，0.7]的增长速率。

图10为不同V_f下频率随E_f/E_m的变化规律。从图10可以看出，在给定的V_f下，前二阶模态频率随着E_f/E_m的增大，呈逐渐增大的趋势。

5 结论

为多尺度探究层合复合材料结构的振动特性，本文推导其多尺度振动特性方程，求解数值解，并通过实验验证数值推导的有效性。结果表明：在不同a/b下，前两阶模态振动频率均随V_f的增大而逐渐增大；在相同的V_f下，随着a/b的增大，前两阶模态振动频率均逐渐减小。在不同a/b下，前两阶模态振动频率随V_f的增大而逐渐增大；在给定V_f下，随着a/b的增大，前两阶模态频率均逐渐减小。在不同E_f/E_m下，前两阶模态振动频率均随V_f的增大而逐渐增大；在给定的V_f下，前两阶模态频率均随E_f/E_m的增大而逐渐增大。

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基金资助

潍坊市科技发展计划项目(2018GX068)