复合冰结构光热耦合传输机制与模型验证

Mechanism and model validation of optical-heat coupled transfer in composite ice structures

摘要

复合冰壳建筑是以复合冰为主要材料建造的具有内部空间的短时建筑，在世界各寒冷及严寒地区的冰雪旅游季中扮演着重要角色。作为复合冰壳建筑围护结构的重要组成部分，复合冰的光热传输过程将影响建筑室内热环境及人员的热感觉与热舒适评价。为此，本研究设计并搭建了以复合冰结构为墙体围护结构的实验小室，通过现场测试的方法对实际室外环境下复合冰结构光热动态耦合传输特性进行探究。在把握光热传输规律的基础上，进一步建立了复合冰结构光热传递的计算模型，并与实验数据进行了对比。结果表明，模型能够较好地预测复合冰结构不同位置温度的动态变化，均方根误差平均值为0.86 ℃，平均绝对误差为0.74 ℃。

Abstract

Composite ice shell buildings are short-term structures with internal spaces constructed mainly from composite ice materials， which play an important role in ice-snow tourism seasons in cold and frigid regions worldwide. As a key component of the envelope structure of composite ice shell buildings， the photothermal transport process of composite ice affects the indoor thermal environment as well as human thermal sensation and thermal comfort evaluation. To this end， this study designed and built an experimental chamber with composite ice structure as wall envelope， and explored the dynamic photothermal coupling transport characteristics of composite ice structure under actual outdoor conditions via field tests. Based on the understanding of the fundamental photothermal transfer patterns， a computational model for simulating photothermal transfer within the composite ice structure was further developed and verified by comparison with experimental data. The results show that the model can effectively predict the dynamic temperature changes at different positions of the composite ice structure， with an average root mean square error of 0.86 °C and an average absolute error of 0.74 °C.

Graphical abstract

关键词

复合冰结构 / 光热传输 / 结构温度 / 传热模型

Key words

composite ice structure / optical-heat transfer / structural temperature / heat transfer model

传统的冰建筑是一种以河流和湖泊中自然冻结形成的冰作为建筑材料的短期建筑形式，是寒冷和严寒地区冰雪旅游产业中的重要项目。除了作为景观建筑，冰建筑还可以兼具使用功能如酒店和酒吧，形成可容人活动的建筑形式^［1］。

纯冰材料在压缩、拉伸和弯曲等条件下容易发生脆性形变^［2］，导致冰建筑难以形成较大跨度和高度。为了改善冰材料力学性能，研究人员提出在水中掺入微观强化材料以形成复合冰的方法^［3］。已发现的微观强化材料包括黄原胶、聚乙烯醇、细砂、锯末、纸浆纤维、玻璃纤维、纳米粒子、棉纤维、聚丙烯和玄武岩纤维等^［4］。Lou等^［2］通过测试发现，与纯冰相比，纸浆纤维复合冰的抗剪强度可提高2.8~4.9倍。此外，纸浆纤维复合冰的抗拉伸强度是纯冰的2~3.5倍^［5］。Pronk^［6］对锯末复合冰的机械性能进行了探究，结果表明其抗压强度、抗弯强度均有所提升，且10%的质量掺杂比是最有效的。得益于冰材料强化技术的发展，以复合冰为主要材料建造的新型复合冰壳建筑开始出现。典型的复合冰壳建筑及工程中广泛使用的复合冰材料如图1所示^［7］。由于可形成高大且具有复杂曲面外形的建筑结构，复合冰壳建筑被认为是未来更有价值的冰建筑形式。

实际上，微观强化材料的添加不仅会影响冰材料的力学性能，还会影响冰建筑围护结构光热传递过程，进而导致复合冰壳建筑室内热环境以及游客在其中的热感觉与热舒适与传统冰建筑有所不同。此外，研究发现当复合冰结构温度达到-5 ℃时，升华现象会加剧，并由此造成结构表面出现凹凸不平的现象^［8］。因此，了解复合冰结构光热传输机制及温度变化规律对复合冰壳建筑的运营和发展至关重要。然而，由于建造及使用条件的限制，目前对复合冰壳建筑的相关研究较少，对实际气象条件下复合冰结构中光热动态传递过程的系统性研究尚属空白。

针对上述问题，本研究设计并搭建了实验台对实际室外气象条件下复合冰结构光热传递过程进行探究，总结复合冰结构太阳辐射及热量传递规律。在此基础上采用数学建模的方法建立复合冰结构光热耦合传输模型，并对模型的准确性进行验证。所获得的结果可以为复合冰壳建筑的设计以及运营提供参考。

1 复合冰结构光热传输实验

1.1 实验台搭建

为避免周边建筑物遮挡，在黑龙江省某办公楼顶搭建了如图2所示的实验系统，该实验系统由三部分组成：木制实验小室、复合冰结构，以及数据采集系统。木制小室搭建时所用木板材料的热阻为0.083 m²·K/W，导热系数为0.12 W/（m·K）。小室的长、宽、高分别为1.22 m、1.8 m和1.52 m。复合冰结构安装在小室预留的南向开口，并通过冻结方式与小室底部的木板固定，形成完整的围护结构。复合冰结构与小室两侧及顶部的木板之间的缝隙采用泡沫胶填实，以保证气密性。

复合冰结构由4块厚度为300 mm的复合冰块拼接而成，整体长度和高度分别为1.2 m和1.5 m。复合冰块通过在水中添加纸浆纤维强化材料自然冷冻形成。冰块在模具内以30 mm/天的生长速率成型以保证其均匀性。考虑到冰块成型所需时间较长，为缩短试验周期，本实验仅聚焦于目前已建造的复合冰壳建筑项目中广泛使用的纸浆纤维质量掺杂比例为2 %的复合冰结构^{［7， 9］}。

1.2 测试方案

在复合冰结构上选取了三个位置（分别标记为A点、B点和C点）对表面及结构内部温度进行连续测试。表面温度测试采用纽扣温度计完成，内部温度通过PT100热敏电阻及安捷伦34 980 a数据采集仪测试记录。测试开始前，在-30~10 ℃的油浴环境中对PT100热敏电阻进行了校准。

在复合冰结构内表面温度测点附近放置了3个热流传感器用于记录实验过程中的瞬态热流变化。在复合冰结构内侧，放置了MS-40型总辐射表，记录穿过该结构的太阳辐照度。室外气象站用于记录室外环境参数，包括水平总太阳辐照度、空气温度、空气相对湿度和风速，该气象站距地面高度为1.5 m。图4展示了测点的布置情况。

实验过程中，为维持室内外足够的温差，在小室内放置了一台功率为2 kW的热风机对室内空气进行加热，并通过TC-05B型电子温控器控制热风机启停。热风机的开关状态设定当空气温度降至-9 ℃以下时启动加热，升至-6 ℃以上时停止加热。室内空气温度采用HOBO温湿度数据记录仪测量。室内风速通过Testo 435型风速仪测定。温湿度数据记录仪和风速仪安装于小室内的固定测杆上，安装高度距小室地面高度0.75 m。实验中，数据的采集频率为1分钟。实验所用仪器的测试范围和测试精度如表1所示。实验时间为2024年2月19日至2月23日。

1.3 测试结果

图5展示了在实际室外气象条件下，室外侧的太阳辐照度以及通过复合冰结构进入小室内部的太阳辐照度的动态变化。实验结果表明，尽管正午时室外侧的太阳辐照度可超过500 W/m²，但测得的室内太阳辐照度几乎为0 W/m²。表明复合冰结构对太阳辐射是非透的，与复合冰材料的光谱特性测试结果一致^［10］。

实验期间，室外空气温度及复合冰结构不同位置处的温度动态变化如图6所示。需要说明的是不同位置处温度为测点布置图中所示A、B、C三点处测试数据的平均值。图6表明复合冰结构不同位置温度与室外空气温度呈现以日为周期的规律波动，并且从复合冰外表面（x=0 m）到内表面（x=0.3 m），结构温度的波动范围逐渐减小且日最值温度出现时间滞后于室外空气最值温度出现时间的间隔逐渐增加。对于复合冰结构外表面，在太阳辐射的作用下，日间温度显著高于室外空气温度，与室外空气日最高温度之差可达到5.78 ℃。在复合冰结构内部（x=0.1 m）位置，日最高温度接近于室外空气温度，与室外空气日最高温度之差的平均值为-0.37 ℃。表明太阳辐射得热对结构温度场的加热作用范围约为0.1 m厚度。在x=0.2 m及内表面（x=0.3 m）位置，复合冰结构日最高温度差别不大，均约低于室外空气温度日最高值1.5 ℃。在无太阳辐射阶段，复合冰结构外表面与室外空气温差减小，结构内部及内表面温度均高于室外空气温度。

对复合冰结构相邻位置温差进行计算，结果表明复合冰结构外表面与x=0.1 m处温差最大，平均温差为2.64 ℃，最大温差可达到6.65至9.52 ℃，且最大温差集中出现于太阳辐射强度较高的时间段，而x=0.1 m以及x=0.2 m位置处以及x=0.2 m位置与内表面之间的温差较小，平均值分别为1.34 ℃和0.87 ℃，最大温差均小于3 ℃。造成这一现象的原因为实验期间天气条件为晴朗少云，由于复合冰结构对太阳辐射不透明，太阳直接辐射到达复合冰结构外表面时，除了被部分反射，其余部分均被外表面吸收。根据Zhang等^［10］的测试研究，复合冰的导热系数小于2 W/（m·K），因此，外表面经由导热作用向结构内部传递热量的速率较小，造成外表面热量聚集，极大的提升了结构外表面温度。

延迟时间和衰减系数是评价建筑围护结构蓄热性能的重要参数^［11］。延迟时间表征了24 h周期内，温度波通过围护结构外表面传递至内表面所需的时间。衰减系数表征了温度波通过围护结构传播过程中波幅的衰减率。根据实验结果及式（1）^［12］、式（2）^［12］，分别计算了复合冰结构的延迟时间和衰减系数。结果表明该类型围护结构的温度波延迟时间为3.19 h，室外空气温度24 h平均波幅为11.87 ℃，复合冰内表面温度的平均波幅为5.48 ℃，衰减系数为0.54。与同等厚度无保温黏土实心砖墙围护结构相比^［11］，复合冰结构衰减系数减小0.25，而延迟时间减小近1.31 h，与同等厚度纯冰结构相比，延迟时间增加约1.32 h^［10］。该结果表明复合冰或纯冰结构形成的建筑，室内热环境更容易受到室外气象参数变化扰动，而相较于纯冰结构，复合冰结构可一定程度上减小室外气象参数变化导致的室内热环境波动。

\xi ={\tau }_{\mathrm{i}\mathrm{n},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{\tau }_{oa,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}（1）

式中：τ_in，max和τ_oa，max分别表示复合冰结构内表面温度最大值及室外空气最高温度出现的时刻^［13］，h。

f=\frac{\left|A_{oa}-A_{in}\right|}{A_{oa}}（2）

式中：A_oa，A_in分别表示室外空气温度波及复合冰结构内表面温度波的变化幅度，单位为℃。

测试期间，小室内部空气温度的动态变化如图7所示。在热风机间歇运行模式下，室内空气温度波动范围较小。此外，除2月19日外，其余测试日内，日间时段均存在热风机非工作状态，对应于图7中室内空气温度的非振荡变化。这主要是由于这些时段内，室外空气温度较高，经由结构的导热作用传递至室内的热量使室内空气温度高于-9 ℃，在热风机设定开启温度之上。因此，这些时段的测试数据反映了实际气象条件下室内空气温度的自然变化。对该时段内的室内外空气温差进行计算，获得的室内外平均温差为1.96 ℃。

图8展示了复合冰结构内表面测得的热流密度随室内外空气温差的变化情况。图中的数据为三个热流密度测量点数值的平均值。为了消除实验中可能存在的透射太阳辐射对热流密度传感器的影响，图中所示结果为夜间测量时段（下午5点至次日上午7点）数据。实验过程中，热流密度传感器的表面使用锡箔覆盖。

由于热风机的加热作用，夜间小室内空气温度高于室外空气温度，导致复合冰结构的内表面出现负热流密度，表明热量从内表面向外表面传递。为便于观察热流密度的变化，图8中展示的是热流密度数据的绝对值。测试结果表明随着室内外空气温差的减小，复合冰结构的热流密度呈下降趋势。当室内外空气温差从9 ℃降至5.5 ℃时，结构内表面的热流密度从27.24 W/m²降至14.13 W/m²。

根据热流测试结果，对复合冰结构整体传热系数进行了计算，如式（3）至式（4）所示。

R=\frac{{\displaystyle \sum _{\mathrm{j}=\mathrm{1}}^{\mathrm{n}}}\left(T_{\mathrm{x}=\mathrm{0.3},j}-T_{\mathrm{x}=\mathrm{0},j}\right)}{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{q}_j}（3）

U=\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{h_o}+R+\frac{\mathrm{1}}{h_i}}（4）

式中：R表示热阻，m²·K / W，T_x=0.3，j为结构内表面第j次的温度测量值，T_x=0，j为结构外表面第j次的温度测量值，℃。q_j为结构第j次的热流密度测量值^［14］，W/m²。U表示传热系数，W/（m²·K）。h_i为内表面对流换热系数，此处取值为8.7 W/（m²·K）。

计算结果表明，复合冰结构的整体传热系数为3.06 W/（m²·K），该数值约为240 mm厚度混凝土多孔砖+外贴40 mm厚岩棉板形成的薄抹灰外墙传热系数的3.1倍^［15］。较高的围护结构传热系数是导致复合冰建筑室内空气温度较低的一个重要原因。

2 复合冰结构光热传输模型

2.1 模型建立

在建立复合冰光热耦合传输模型之前，假定以下条件成立：

（1）复合冰结构光热传递过程简化为一维问题，即光热传输仅沿厚度方向进行。

（2）复合冰材料为各向同性材料。

（3）复合冰的表面发射率与波长无关。

根据现场实验结果，总结复合冰结构光热传输机制如图9所示。由于复合冰结构不透明，入射的太阳辐射一部分在外表面被反射，其余部分则被表面吸收。除了对太阳辐射的吸收与反射外，结构的外表面和内表面与周围环境之间还存在自然对流及长波辐射换热，同时结构内部发生热传导。

基于上述机制，建立了无内热源复合冰结构的热传导控制微分方程，如式（5）所示。

\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}\left(k\frac{\partial T}{\partial x}\right)（5）

式中：ρ为密度，kg/m³；c为比热容，J/（kg·K）；T为温度，K；t为时间，s；k为导热系数，W/（m·K）。

复合冰结构外表面的边界条件如式（6）所示。

\begin{array}{c}-k\frac{\partial T}{\partial x}\left|{}_{x=\mathrm{0}}\right.=h_{\mathrm{c}\mathrm{o}}(T_{\mathrm{o}\mathrm{a}}-T_{\mathrm{o}})+h_{\mathrm{r}\mathrm{o}}\left(T_{\mathrm{o}\mathrm{a}}-T_{\mathrm{o}}\right)\\ +h_{\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{y}}(T_{\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{y}}-T_{\mathrm{o}})+Q_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}}\end{array}（6）

式中：h_co和h_ro分别为外表面与室外空气之间的对流换热系数和辐射换热系数，W/（m²·K），可分别通过式（7）^［16］和式（8）^［17］计算得出。T_oa为室外空气温度，K；T_o为外表面温度，K。h_rsky为外表面与天空之间的辐射换热系数，W/（m²·K），可通过式（9）^［17］计算；T_sky为有效天空温度，K，其计算如式（10）^［18］所示。Q_sol为外表面吸收的太阳辐射得热，W/m²。

h_{co}=\mathrm{4.21}\times v_o+\mathrm{6.01}（7）

式中：v_o 为室外风速，m/s

h_{ro}=\epsilon \sigma F_{\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{y}}\left(\mathrm{1}-\eta \right)\left(T_{\mathrm{o}\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}+T_o^{\mathrm{2}}\right)\left(T_{\mathrm{o}\mathrm{a}}+T_o\right)（8）

h_{rsky}=\epsilon \sigma F_{\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{y}}\eta \left(T_o^{\mathrm{2}}+T_{\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{y}}^{\mathrm{2}}\right)\left(T_o+T_{\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{y}}\right)（9）

式中：ε为材料的发射率，σ为斯蒂芬-玻尔兹曼常数，其值为5.67×10⁻⁸ W/（m²·K⁴）；F_sky表示结构外表面与天空穹顶之间的角系数；η为天空辐射与大气辐射的分配系数。F_sky 和η的计算分别如式（12）和式（13）所示^［17］。

T_{sky}={\left(\mathrm{0.9}{T_g}^{\mathrm{4}}-\left(\mathrm{0.32}-\mathrm{0.026}\sqrt[]{P_a}\right)\left(\mathrm{0.30}+\mathrm{0.70}S\right){T_{oa}}^{\mathrm{4}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{4}}（10）

式中：T_g表示地面温度，K；P_a为近地面空气的水汽分压，mbar，其计算如式（11）所示^［19］；S代表单日日照时长百分比，%^［10］。

P_a=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{c_{\mathrm{0}}}{T_{\mathrm{o}\mathrm{a}}}+c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}}{T}_{\mathrm{o}\mathrm{a}}+c_{\mathrm{3}}{T_{\mathrm{o}\mathrm{a}}}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{4}}{T_{\mathrm{o}\mathrm{a}}}^{\mathrm{3}}+c_{\mathrm{5}}{T_{\mathrm{o}\mathrm{a}}}^{\mathrm{4}}+c_{\mathrm{6}}\mathrm{l}\mathrm{n}{T}_{\mathrm{o}\mathrm{a}}\right)\times RH\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{4}}（11）

式中：c₀、c₁、c₂、c₃、c₄、c₅、c₆为常数，取值分别为-5.674×10³、6.392 5、-9.677 8×10⁻³、6.221 6×10⁻⁷、2.074 8×10⁻⁹、-9.484×10⁻¹³和4.163 5，RH表示空气的相对湿度，%。

F_{sky}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }{\mathrm{2}}（12）

式中：θ为冰结构与地面之间的夹角，单位为°。

\eta =\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }{\mathrm{2}}}（13）

Zhang等^［10］的实验结果表明，复合冰在紫外和红外波段的光谱吸收率较高，基本超过了80%，而在可见光波段的吸收率低于50%。根据太阳辐射的光谱分布，可见光和红外波段的辐射在总能量中占比均较高，超过40%，而紫外波段的占比相对较小。为准确预测复合冰光热传输，Q_sol 由式（14）所示的光谱积分法计算得到。

Q_{sol}={\int }_{\mathrm{290}}^{\mathrm{2500}}a\left(\lambda \right)I\left(\lambda \right)d\lambda（14）

式中：α（λ）为材料的光谱吸收率；λ为波长，nm；I（λ）为光谱太阳辐射照度，W/（m²·nm）。

复合冰结构内表面的边界条件如式（15）所示。

-k\frac{\partial T}{\partial x}\left|{}_{x=L}\right.=h_{ci}(T_{\mathrm{i}\mathrm{a}}-T_i)+h_{ri}\left(T_{\mathrm{i}\mathrm{a}}-T_i\right)（15）

式中：L为复合冰结构的厚度，m；h_ci和h_ri分别为内表面的对流换热系数和辐射换热系数，W/m²·K，可分别通过式（16）^［20］和式（17）计算获得；T_ia为室内空气温度，K；T_i为内表面温度，K。

h_{ci}=\mathrm{1.7}{\left(T_i-T_{\mathrm{i}\mathrm{a}}\right)}^{\mathrm{0.25}}（16）

h_{ri}=\epsilon \sigma \left(T_i^{\mathrm{2}}+T_{ia}^{\mathrm{2}}\right)\left(T_i+T_{ia}\right)（17）

采用有限差分法求解导热微分方程及边界条件构成的控制方程组。将复合冰结构沿厚度方向离散为n个等间距网格，求解过程通过Python编程实现。

复合冰材料的导热系数、密度和比热容均具有温度依赖性，因此在求解过程中考虑了这些热物性参数的温度相关性。在数值求解中，当前时间步计算时的热物性参数由上一时间步获得的温度计算得出。根据Zhang^［10］等人的实验结果，质量分数为2%的纸浆纤维复合冰的导热系数、密度和比热容的温度函数见表2。

2.2 模型验证

以现场测试所得数据对建立的复合冰结构光热传输模型准确性进行了验证。控制方程的离散采用显式差分格式，瞬态求解的时间步长为10 s。沿结构厚度方向，网格数量为20。初始时刻，所有节点的温度通过对实验温度数据进行线性插值计算获得。此外，模型验证过程中采用了标准太阳光谱。

2月19日17∶00至2月20日17∶00，实测温度与模型预测复合冰结构不同位置温度的对比如图10所示。图10展示的结果表明模型计算的复合冰结构不同位置的温度变化趋势与现场实验获得的动态温度变化趋势一致。09∶00至15∶00，结构外表面温度的预测值与实测值吻合度较高；相比之下，19日17∶00至20日07∶00期间以及20日15∶00至17∶00期间，两者存在较大偏差。在x=0.1 m位置，20日15∶00至17∶00的预测温度与实测温度偏差较为明显，而其他时段的差异较小，基本在0.5 ℃以内。在x=0.2 m位置和内表面，预测温度与实测温度的最大偏差主要出现在20日08∶00至09∶00以及17：00前后。

2.3 模型评估

采用均方根误差（RMSE）和平均绝对误差（MAE）评估本研究中所建立光热传输模型的预测精度，RMSE和MAE的计算公式分别如式（18）和式（19）所示，计算结果列于表3中。

RMSE=\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{M}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^M}{\left(s_j-e_j\right)}^{\mathrm{2}}}（18）

MAE=\frac{\mathrm{1}}{M}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^M}\left|s_j-e_j\right|（19）

式中：M为数据总数，e_j 和s_j 分别表示实验值和计算值。

与其他位置相比，外表面温度的预测偏差相对较大。外表面温度的显著预测偏差主要由以下两个因素导致。首先，在计算复合冰结构表面的长波辐射换热时，假设材料的发射率与波长无关，导致了一定的计算偏差。此外，对流换热系数的经验公式基于室外风速，未考虑表面粗糙度的影响。然而如图9所示，在无太阳辐射时段，长波辐射和对流换热是结构内外表面与环境之间热量传递的主要方式，上述两个因素导致了此时段内预测值与实测值的偏差较大，而在太阳辐射存在时段，太阳辐射吸收得热在外表面热平衡中占据主导地位，此时预测值和测试值的差别减小，模型能较为准确的预测各位置的温度变化。考虑到实际复合冰建筑项目中，通常更关注冰结构在日间运行时段的温度场变化及可能的热融化风险，且计算复合冰材料随波长变化的发射率存在困难，以及目前对复合冰材料的表面粗糙度研究不足，本研究建立的复合冰结构传热模型可认为适用于实际工程应用。

3 结论

本文对复合冰结构在室外环境中的光热传输过程进行了探究，并在总结实验结果基础上建立了复合冰结构光热耦合传输计算模型，对模型的准确性进行了验证。主要结论如下：

（1）复合冰结构为非透明结构，太阳辐射到达复合冰结构外表面时，部分被反射，其余部分被吸收成为外表面得热，导致午间与结构内部x=0.1m位置处温差超过6 ℃，且最高温度高于室外空气5.78 ℃。

（2）复合冰结构的温度波延迟时间为3.19 h，衰减系数为0.54。与同等厚度实心黏土砖构成的墙体围护结构相比，蓄热性能较差。复合冰结构的整体传热系数为3.06 W/（m²·K）。

（3）所建立复合冰结构光热传输模型预测的结构不同位置的温度变化趋势与实验结果吻合较好。模型的平均绝对误差为0.74 ℃，均方根误差平均值为0.86 ℃。

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基金资助

国家自然科学基金(52178072)