建筑墙体动态湿传递计算方法研究

Study on calculation method for dynamic moisture transfer in building walls

摘要

为高效预测建筑墙体在复杂湿边界下的动态湿传递响应，提出一种融合傅里叶变换与传递函数的计算方法。该方法无需拉普拉斯逆变换和傅里叶逆变换，利用频率响应可直接求解墙体任意位置的蒸气压与湿流通量。通过解析解、已有实验结果及自建实验平台进行三重验证：解析结果表明，在正弦和阶跃边界下，内部蒸气压模拟最大平均相对误差分别为0.053%和1.03%，表面湿流通量误差分别为0.027%和5.62%；与文献实验对比，内部相对湿度平均误差低于3%，表面湿流量积分所得质量变化平均误差为0.004 5 g；自建实验验证中，表面湿流通量积分所得质量变化平均误差为0.13g。模拟结果与解析解及实测数据的对比表明，该方法能够准确评估墙体在不同湿边界条件下的动态响应，具有较高的精度和良好的适用性。

Abstract

To efficiently predict the dynamic moisture transfer response of building walls under complex moisture boundary conditions， a calculation method integrating Fourier transform and transfer function is proposed. This method avoids inverse Laplace transform and inverse Fourier transform， and can directly solve the vapor pressure and moisture flux at any position of the wall by utilizing the frequency response. The method is verified through analytical solutions， existing experiments， and a self-built experimental platform. The analytical results show that under sinusoidal and step boundaries， the maximum average relative errors of the internal vapor pressure simulation are 0.053% and 1.03%， respectively， and the surface moisture flux errors are 0.027% and 5.62%， respectively. Compared with experimental results from the literature， the average error of the internal relative humidity is less than 3%， and the average error of the mass change obtained by integrating the surface moisture flow is 0.0045 g. In the self-built experimental verification， the average error of the mass change obtained by integrating the surface moisture exchange is 0.13 g. The comparison of the simulation results with the analytical solutions and measured data indicates that this method can accurately capture the dynamic response characteristics of the wall under different moisture boundary conditions， demonstrating high accuracy and good applicability.

Graphical abstract

关键词

湿度控制 / 动态响应 / 调湿材料 / 传递函数法 / 傅里叶变换

Key words

humidity control / dynamic response / moisture-regulating materials / transfer function / Fourier transform

建筑是人们生产与生活的主要场所，其环境质量对人们的身心健康有着重大影响。其中，相对湿度作为室内热湿环境的关键参数，对热舒适、能耗、空气品质及工作效率具有重要影响^［1-2］。目前，湿度调控主要分为主动与被动两种方式。主动调湿依赖传统的暖通空调系统，虽然效果显著，但会加重能源负担^［3］，还可能引发如“病态建筑综合征”等健康问题^［4］。相比之下，被动调湿利用调湿材料^［5-7］自身的吸放湿特性，以更生态的方式维持室内湿度稳定，既满足舒适性要求，又具备节能潜力。因此，深入探究调湿材料与周围环境之间的湿传递机理^［8-9］，不仅有助于理解其调湿行为的物理本质，也对构建健康、舒适与节能的建筑环境具有重要的理论价值与工程意义^［10-11］。

与热传递类似，湿分在墙体调湿材料内部的动态传递行为可由一组偏微分方程描述^［12］。在理想边界条件下，例如标准的阶跃变化或正弦波动，可通过理论分析求得其解析解^［13］。解析解物理意义明确、计算高效，能够直观揭示湿传递的内在作用机理。但实际环境中，湿度变化具有复杂随机性，限制了传统解析方法的应用。为应对实际边界条件下的湿传递问题，数值方法成为重要工具，其中有限差分法应用较为广泛^［14］，该方法通过对控制方程进行离散化处理，再经迭代运算求解，既能应对复杂边界条件，又具有较高的计算精度。但其计算量大，结果受时间与空间步长影响显著，资源消耗多、效率低，难以满足湿传递过程快速评估的实际需求。另一种思路是传递函数法，该方法^［15-16］在频域建立输入（边界湿度）与输出（如表面蒸气压）的动态关系，可避免直接求解偏微分方程。然而，传统的传递函数法需进行拉普拉斯逆变换，过程中常涉及复杂方程的求根运算，数学处理难度较大，导致其推广与应用受到一定限制。

针对现有建筑墙体动态湿传递分析方法在计算效率与模型完整性方面的不足，本文提出一种融合传递函数法与傅里叶变换的改进型计算方法。尽管已有研究^［17］尝试结合二者求解周期性湿响应，但模型多局限于表面湿交换，仅建立室内蒸气压与表面湿流量的关系，未能反映边界对材料内部湿度分布的影响，且对“传递函数到频率响应”的转换机制阐述不足，仍需傅里叶逆变换恢复时域解，计算复杂度高。

为此，本文构建了更完整的动态湿传递框架。在合理简化下，建立了涵盖材料内部任意位置响应的传递函数模型。该方法不仅保持建模简洁、物理意义明确的优势，还显著简化求解流程：既避免了拉普拉斯逆变换中的复杂数值反演或极点求解，又因输入以频域直接参与、输出为显式正弦叠加，无需傅里叶逆变换即可实现时域重构，大幅提升计算效率与工程适用性，为评估调湿材料吸放湿性能及围护结构湿缓冲能力提供了有效工具。

1 建筑墙体动态湿传递控制方程

1.1 基本假设

本文以建筑墙体调湿材料层为研究对象，所提出的动态湿传递计算方法基于理论框架构建。为在保证工程适用性的同时提升计算效率，结合典型建筑运行工况与材料特性，对湿传递过程进行合理简化以突出主要影响机制，具体内容如下：

（1）等温假设：在多数空调或居住建筑中，墙体内部温度梯度通常较小（<0.03 ℃/mm）且波动微弱，热扩散对湿迁移的贡献率一般低于3%^［18］。故忽略温度梯度影响，将湿传递简化为等温过程；

（2）水蒸气主导假设：调湿材料中的湿迁移包括水蒸气扩散与液态水传递两种机制。在正常使用工况下，室内相对湿度多处于30%~70%区间，材料含水率通常低于最大吸湿量的40%，难以形成连续液相通道。此时水蒸气扩散占总湿交换量的90%以上^［19］。故忽略液态水迁移，仅以水蒸气分压梯度作为主要驱动力；

（3）一维传递假设：由于材料厚度远小于其横向尺寸，边缘传湿效应可忽略，湿传递主要沿厚度方向进行，故将其简化为一维问题。

1.2 湿传递控制方程

1.2.1 传递函数

基于上述简化假设，调湿材料内部的湿扩散过程可由如下偏微分方程描述：

\frac{\partial p_v(x,t)}{\partial t}=a\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{p}_v(x,t)}{\partial x^{\mathrm{2}}}（1）

式中：a=\frac{{\delta }_p·P_{sat}}{\zeta ·\rho }为湿扩散系数，m²/s；{\delta }_p为湿渗透系数，kg/（m·s·Pa）；P_{sat}为饱和蒸气压，Pa；\zeta为湿容，kg/kg；\rho为密度，kg/m³。

为求解该方程并建立材料内部湿响应与边界条件之间的动态关系，采用拉普拉斯变换对时间变量t进行变换，将原偏微分方程转化为关于空间变量x的常微分方程。在零初始条件下，变换后的频域通解可表示为：

P_v\left(x,s\right)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(Ax\right)P_v\left(\mathrm{0},s\right)+\frac{\mathrm{1}}{A}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(Ax\right){P_v}^{\text{'}}\left(\mathrm{0},s\right)（2）

式中：A=\sqrt[]{\frac{s}{a}}；P_v\left(\mathrm{0},s\right)与{P_v}^{\mathrm{\text{'}}}\left(\mathrm{0},s\right)为边界条件。

为消去式中导数{P_v}^{\mathrm{\text{'}}}\left(\mathrm{0},s\right)项，根据菲克定律，材料中水蒸气的扩散通量g\left(x,t\right)由蒸气压梯度驱动，表达式为：

g\left(x,t\right)=-{\delta }_p\frac{\partial p_v(x,t)}{\partial x}（3）

对式（3）进行拉氏变换得：

G\left(x,s\right)=-{\delta }_p{P_v}^{\mathrm{\text{'}}}(x,s)（4）

结合式（4）及其边界P_v\left(\mathrm{0},s\right)和G\left(\mathrm{0},s\right)，可推导出材料任意深度x处的蒸气压与湿流通量在拉氏域的表达式：

P_v\left(x,s\right)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(Ax\right)P_v\left(\mathrm{0},s\right)-\frac{\mathrm{1}}{{\delta }_{p}A}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(Ax\right)G(\mathrm{0},s)（5）

G\left(x,s\right)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(Ax\right)G\left(\mathrm{0},s\right)-{\delta }_{p}A\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(Ax\right)P_v\left(\mathrm{0},s\right)（6）

式（5）和（6）即为材料湿传递的传递函数公式，揭示了内部状态与表面边界条件P_v\left(\mathrm{0},s\right)、G\left(\mathrm{0},s\right)之间的动态关系。

1.2.2 传递矩阵

在建筑墙体动态湿传递分析中，通常关注材料层两侧表面的湿度与湿流通量响应。基于前文建立的传递函数，可进一步构建墙体的传递矩阵，用于描述内外表面水蒸气分压与湿流通量拉氏变换之间的线性关系。对于厚度为l的均质调湿材料层，其传递矩阵形式如下：

\left[\begin{array}{c}{P}_v\left(l,s\right)\\ G\left(l,s\right)\end{array}\right]=\left[G\right]\left[\begin{array}{c}{P}_v\left(\mathrm{0},s\right)\\ G\left(\mathrm{0},s\right)\end{array}\right]（7）

其中，[G]为墙体的湿传递矩阵，它仅取决于材料的湿物性参数和厚度，反映了材料本身的湿响应特性，与边界输入无关。表达式如式（8）所示：

\left[G\right]=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\mathrm{A}l\right)& -\frac{\mathrm{1}}{{\delta }_p\mathrm{A}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\mathrm{A}l\right)\\ -{\delta }_p\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\mathrm{A}l\right)& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\mathrm{A}l\right)\end{array}\right]（8）

当考虑墙体内外表面空气边界层的影响时，设内、外表面湿阻为R_{\mathrm{i}\mathrm{n}}和R_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}，则系统传递关系为：

\left[\begin{array}{c}{P}_v\left(l,s\right)\\ G\left(l,s\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{1}& -R_{\mathrm{i}\mathrm{n}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]\left[G\right]\left[\begin{array}{cc}\mathrm{1}& -R_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P}_v\left(\mathrm{0},s\right)\\ G\left(\mathrm{0},s\right)\end{array}\right]（9）

为求解墙体内部任意位置x处的湿状态，可将墙体沿厚度方向分解：令从x到内表面的传递矩阵为\left[\begin{array}{c}{M}_x\left(s\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_x(s)& B_x(s)\\ C_x(s)& D_x(s)\end{array}\right]，从外表面到目标截面x的传递矩阵为\left[\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{0}}\left(s\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{0}}(s)& B_{\mathrm{0}}(s)\\ C_{\mathrm{0}}(s)& D_{\mathrm{0}}(s)\end{array}\right]，则整体传递矩阵可分解为：

\left[\begin{array}{c}M\left(s\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{M}_x\left(s\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{0}}\left(s\right)\end{array}\right]（10）

\left[\begin{array}{c}{P}_v\left(l,s\right)\\ G\left(l,s\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{M}_x\left(s\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P}_v\left(x,s\right)\\ G\left(x,s\right)\end{array}\right]（11）

\left[\begin{array}{c}{P}_v\left(x,s\right)\\ G\left(x,s\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{M}_{\mathrm{0}}\left(s\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P}_v\left(\mathrm{0},s\right)\\ G\left(\mathrm{0},s\right)\end{array}\right]（12）

联立上述方程，可在已知室内外边界条件P_v\left(\mathrm{0},s\right)和P_v\left(l,s\right)的情况下，直接求解材料内部任意位置x处的蒸气压与湿流通量：

P_v\left(x,s\right)=\frac{A_{\mathrm{0}}\left(s\right)B\left(s\right)-A\left(s\right)B_{\mathrm{0}}\left(s\right)}{B\left(s\right)}{P}_v\left(\mathrm{0},s\right)+\frac{B_{\mathrm{0}}\left(s\right)}{B\left(s\right)}{P}_v\left(l,s\right)（13）

G\left(x,s\right)=\frac{C_{\mathrm{0}}\left(s\right)B\left(s\right)-A\left(s\right)D_{\mathrm{0}}\left(s\right)}{B\left(s\right)}{P}_v\left(\mathrm{0},s\right)+\frac{D_{\mathrm{0}}\left(s\right)}{B\left(s\right)}{P}_v\left(l,s\right)（14）

2 建筑墙体动态湿传递计算方法

2.1 傅里叶变换

为将复杂的周期性室内湿度变化分解为可计算的谐波，本文采用傅里叶变换法^［20］，该方法将实测或设定的周期性湿变化转化为多阶正弦波叠加形式，为后续解析解的构建与动态湿响应分析提供了数学基础，表达式如下：

f\left(t\right)=\frac{A_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}+{\sum }_{n=\mathrm{1}}^{\infty }{A}_{n}sin(n\omega t+{\phi }_n)（15）

式中：\omega =\frac{\mathrm{2}\pi }{T}为基频，rad/h；T为周期，h；n为谐波阶数；A_n为第n阶谐波的振幅；{\phi }_n为第n阶谐波的初相位角，rad。

在实际计算中，将周期[\mathrm{0},T]离散为N个等时间间隔∆\tau的采样点，记第J个采样值为\overline{f_J}，则傅里叶系数可通过数值求和近似计算：

\frac{a_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{T}{\sum }_{J=\mathrm{0}}^{N-\mathrm{1}}\overline{f_J}∆\tau（16）

a_n=\frac{\mathrm{2}}{T}{\sum }_{J=\mathrm{0}}^{N-\mathrm{1}}\overline{f_J}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\omega j∆\tau )∆\tau（17）

b_n=\frac{\mathrm{2}}{T}{\sum }_{J=\mathrm{0}}^{N-\mathrm{1}}\overline{f_J}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\omega j∆\tau )∆\tau（18）

进而，可得振幅A_n=\sqrt[]{{a_n}^{\mathrm{2}}+{b_n}^{\mathrm{2}}}和相位{\phi }_n=ta{n}^{-\mathrm{1}}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)。最终得到离散函数\overline{f}\left(j∆\tau \right)的有限阶傅里叶级数近似：

\overline{f}\left(j∆\tau \right)=\frac{A_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}+{\sum }_{n=\mathrm{1}}^{N/\mathrm{2}}{A}_n\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\omega j∆\tau +{\phi }_n)（19）

2.2 频率响应

在建筑墙体动态湿传递分析中，当系统受到特定形式的边界激励时，其输出响应可通过传递函数高效求解。考虑输入函数为指数形式I\left(t\right)=A{e}^{b\tau }，其拉普拉斯变换为 L\{I(\tau )\}=\frac{A}{s-b}。设系统的传递函数为G(s)=\frac{M(s)}{N(s)}​，其中M(s)和N(s)为多项式，且N(s)的根具有负实部，则系统输出的拉氏变换为：

O\left(s\right)=G\left(s\right)\frac{A}{s-b}（20）

通过部分分式展开并进行拉普拉斯逆变换，输出的时域响应可表示为：

O\left(\tau \right)={\sum }_{i=\mathrm{1}}^n{K}_i{e}^{s_i\tau }+{\mathrm{K}}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{e}^{b\tau }（21））

其中前n项对应系统的瞬态响应，由N\left(s\right)=\mathrm{0}的特征根s_i决定，随时间的增长而衰减；末项{\mathrm{K}}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{e}^{b\tau }为稳态响应，其系数{\mathrm{K}}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}}可由留数定理求得：

K_{\mathrm{n}+\mathrm{1}}={[\mathrm{G}\left(\mathrm{s}\right)*\frac{\mathrm{A}}{s-b}*\left(s-b\right)]}_{\mathrm{s}=\mathrm{b}}=AG\left(b\right)（22）

因此，系统对指数输入的稳态解为：

f\left(\tau \right)=AG\left(b\right)e^{b\tau }（23）

该结果表明，对于线性时不变系统，当输入为指数函数时，其稳态输出保持相同的指数形式，幅值由传递函数在s=b处的取值G\left(b\right)决定。这就是传递函数的一个重要性质^［21］。该性质为后续将周期性湿变化分解为多阶谐波（如傅里叶级数）后，逐阶求解各频率成分的稳态响应提供了便利，每一阶余弦/正弦分量均可视为复指数函数的实部或虚部，从而直接利用传递函数在对应频率下的响应值进行快速计算。

2.3 建筑墙体动态湿传递计算方法概述

建筑墙体动态湿传递计算流程如图1所示，主要包含三步：（1）谐波分解：采用傅里叶变换将湿度边界分解为有限阶正弦谐波的叠加，提取其幅值、频率与相位信息；（2）频域求解：基于材料传递函数，直接计算各阶频率下的系统频率响应，获得内部蒸气压与湿流的稳态幅值与相位；（3）时域合成：利用线性叠加原理，将各阶响应合成完整的动态湿传递过程。

该方法建立了“频域激励-频域响应-时域重构”的闭环路径。核心优势在于利用正弦稳态响应直接求解，规避了复杂的拉普拉斯逆变换与傅里叶逆变换运算。这种显式解析方法在处理长期运行及多周期湿扰动问题时，兼具优异的稳定性与计算效率。

3 建筑墙体动态湿传递计算方法验证

验证动态湿传递计算方法的准确性是一项至关重要的工作。Künzel 等^［22］提出三阶段验证框架：（1）与解析解对比；（2）与材料参数明确、边界条件受控的实验室数据对比；（3）与真实环境下的现场实测数据对比。该体系涵盖从理论到实验的多层次验证，包括理论验证、模型间验证和实测验证。其中，理论验证通过与解析解的对比，旨在确认所建模型在数学和物理逻辑上的正确性；模型间验证则用于与其他现有模型或计算方法进行横向比较，以凸显本文所提方法的独特优势；而实测验证则聚焦于真实应用场景，检验该方法能否准确刻画材料在实际使用条件下的湿传递行为。

针对不同验证场景，采用相应的误差指标进行评估。与解析解对比时，采用平均相对误差（MRE）衡量精度；与实验数据对比时，采用平均误差（ME）和均方根误差（RMSE）综合评价模拟值与实验值的一致性^［23］。

其中，MRE反映模拟值与参考值之间偏差的相对大小，能够有效消除因变量量级不同带来的影响，适用于理论解已知且数值变化范围较广的情况。其定义为所有时刻相对误差的算术平均：

MRE=\frac{\mathrm{1}}{n}\mathrm{*}{\sum }_{i=\mathrm{1}}^n\left|\frac{y_{ref,i}-y_{sim,i}}{y_{ref,i}}\right|（24）

ME反映模拟值与实测值偏差的平均水平，定义为所有时刻模拟值与实测值之差的绝对值的算术平均：

ME=\frac{{\sum }_{i=\mathrm{1}}^n\left|y_{mea,i}-y_{sim,i}\right|}{n}（25）

RMSE则对较大偏差更为敏感，能够有效反映模拟过程中的峰值误差，其定义为偏差平方和的平均值的平方根：

RMSE=\sqrt[]{\frac{{\sum }_{i=\mathrm{1}}^n(y_{mea,i}-y_{sim,i}{)}^{\mathrm{2}}}{n}}（26）

式中：n为数值点数量；y_{ref}为理论解析解；y_{mea}为试验测量值；y_{sim}为模拟计算值。

各验证阶段所用材料的热湿物性参数^［24］如表1所示。其中，在实验室验证的阶跃边界工况下，水蒸气渗透系数和湿容具有湿度依赖性。本文采用相对湿度\phi的二次函数y(\phi )=A{\phi }^{\mathrm{2}}+B\phi +C进行拟合，拟合系数A、B、C详见表1第三列。

需要说明的是，针对传递函数法（频域分析）对系统线性时不变特性的基本要求，本文引入了迭代准线性化方法。该方法通过循环迭代计算材料内部的时均相对湿度场，动态修正各节点的物理性参数，使其在每一迭代步内均处于准线性状态。这一处理策略在确保数学求解稳定性与计算效率的同时，有效克服了频域法在非线性物性处理上的局限性，最大限度地还原了温湿度波动对材料传输特性的影响。

3.1 解析解验证

对于半无限大介质中的一维非稳态湿扩散问题，正弦边界与阶跃边界是两类典型且广泛应用的理想化边界条件：前者适用于描述周期性连续变化的湿环境，后者可用于模拟突变式干湿交替过程。基于此类边界条件，可获得具有明确物理意义的解析解^［27-28］，用于刻画材料的动态湿传递行为。解析解主要从两个方面表征该过程：一是材料内部湿度随时间与空间的分布，用于反映湿波的衰减特性与相位滞后；二是材料表面与周围空气之间的湿交换量，可体现其瞬时吸湿与放湿能力。以下将分别针对两种边界条件，给出相应的解析表达式。

当边界湿度正弦变化时，边界条件由下式描述：

P_i\left(t\right)=P_{mean}+P_{amp}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t)（27）

式中： P_{mean}为水蒸气分压的平均值（Pa）；P_{amp}为水蒸气分压的波动幅值（Pa）；\omega为角频率（rad/h），由周期T按\omega =\frac{\mathrm{2}*\pi }{T}确定。

在上述边界条件下，首先，定义相位差∆如下：

∆=ta{n}^{-\mathrm{1}}\left(\frac{\sqrt[]{\frac{\omega }{\mathrm{2}a}}}{\frac{h_m}{{\delta }_p}+\sqrt[]{\frac{\omega }{\mathrm{2}a}}}\right)（28）

则墙体内部水蒸气分压的解析解可表示为：

P_v\left(x,t\right)=P_{mean}+P_{amp}\frac{\frac{h_m}{{\delta }_p}}{\sqrt[]{{\left(\frac{h_m}{{\delta }_p}+\sqrt[]{\frac{\omega }{\mathrm{2}a}}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\sqrt[]{\frac{\omega }{\mathrm{2}a}}\right)}^{\mathrm{2}}}}{e}^{-\sqrt[]{\frac{\omega }{\mathrm{2}a}}x}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega t-\sqrt[]{\frac{\omega }{\mathrm{2}a}}x-∆)（29）

基于上述解析解，材料表面湿流通量的解析解：

G\left(t\right)=P_{amp}{h}_m\sqrt[]{\frac{\omega }{\mathrm{2}a}}

\frac{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{\sqrt[]{{\left(\frac{h_m}{{\delta }_p}+\sqrt[]{\frac{\omega }{\mathrm{2}a}}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(\sqrt[]{\frac{\omega }{\mathrm{2}a}}\right)}^{\mathrm{2}}}}\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\omega t-∆+\frac{\pi }{\mathrm{4}}\right)\right)（30）

式中：h_m为材料表面与空气之间的对流传质系数（kg/（m²·s·Pa））。

而当边界湿度发生阶跃变化时，相应边界条件由式（30）表达：

（31）

式中：H和L分别为高湿与低湿状态下的水蒸气分压（Pa）；t_p为一个完整湿循环周期；\alpha表示高湿阶段所占周期的比例；n为周期序号，表示第n个循环。

在上述边界条件下，墙体内部水蒸气分压的解析解可表示为：

P_v\left(x,t\right)=P_{\mathrm{0}}+{\sum }_{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-{\beta }_{n}x}\left(a_n\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{n\pi t}{t_p}-{\beta }_{n}x\right)+b_n\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{n\pi t}{t_p}-{\beta }_{n}x\right)\right)（32）

式中：P_{\mathrm{0}}=\alpha H+\left(\mathrm{1}-\alpha \right)L为一个周期内的平均水蒸气分压（Pa）；系数a_n、b_n和衰减因子{\beta }_n由边界条件与材料物性决定，表达式如下：

a_n=\frac{H-L}{n\pi }\left[\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\alpha n\pi \right)-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\left(\mathrm{1}-\alpha \right)n\pi \right)\right]（33）

b_n=\frac{H-L}{n\pi }\left[\mathrm{1}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(n\pi \right)-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\alpha n\pi \right)-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\left(\mathrm{1}-\alpha \right)n\pi \right)\right]（34）

{\beta }_n=\sqrt[]{\frac{n\pi }{\mathrm{2}a{t}_p}}（35）

进一步，可推导出材料表面湿流通量的解析解：

G\left(t\right)={\sum }_{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}{\delta }_p{\beta }_n\left[\left(a_n+b_n\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{n\pi }{t_p}t\right)-\left(a_n-b_n\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{n\pi }{t_p}t\right)\right]（36）

为验证建筑墙体动态湿传递计算方法在周期性湿边界下的准确性，本文设计两类典型工况开展对比分析：案例A为室内相对湿度呈24小时正弦周期变化，平均值为50%，振幅为20%；案例B采用阶跃变化模式，每24小时周期内高湿（占时长1/3）维持70%相对湿度，低湿维持30%。两案例温度均设定为23℃，调湿材料厚度取80 mm。通过将数值模拟结果与对应边界条件下的解析解进行对比，评估模型精度。对比结果如图2和图3所示。

在正弦边界（案例A）下，材料内部20 mm、40 mm和60 mm深度处的水蒸气分压模拟值与解析解高度吻合，平均相对误差分别为0.005%、0.016%和0.053%（图2a）；表面湿流的平均相对误差为0.027%（图2b），表明该条件下模型具有较高的计算精度。

在阶跃边界（案例B）下，相同位置的蒸气压响应平均相对误差分别为1.03%、0.26%和0.15%（图3a），表面湿流误差为5.62%（图3b）。尽管误差较正弦边界有所增大，但仍保持良好一致性。误差主要来源于阶跃边界在傅里叶级数展开过程中产生的吉布斯现象，即在湿度跳变点附近出现高频振荡，导致数值解在瞬态响应上略有偏差。

总体而言，在两类典型周期性边界条件下，本文计算方法所得的材料内部蒸气压分布及表面湿流通量均与解析解保持高度一致，充分验证了其在动态湿传递模拟中的有效性与可靠性。

3.2 实验室条件下的实验验证

国际能源署（IEA）Annex 41项目的第二子课题系统研究了不同动态湿度边界条件下建筑材料的湿响应特性^［29］。其中，正弦边界试验在恒定空气温度（约25.7 ℃）下施加周期性正弦变化的相对湿度（范围约40%~85%），并连续监测尺寸为0.057 m×0.057 m×12.5 mm的试样的质量变化，以反映材料在近似正弦边界条件下的吸放湿动态，结果如图4所示。

如图5所示，本文方法计算的表面湿流积分结果与实测质量变化吻合良好。模拟结果准确重现了材料在近似正弦湿扰动下的吸放湿过程（ME=0.004 5 g，RMSE=0.005 3 g）。对比文献［29］中其他机构的模型（编号1~6），本文方法在波动幅值与相位响应的捕捉上更贴近实测值，具有更高的模拟精度。

在与其他机构模型对比的基础上，本文进一步补充了与传统计算方法的对比分析。解析解法受限于标准边界条件，传统的传递函数法在数学处理上较为复杂，有限差分法具有较强的通用性，因此本文选择其作为基准方法进行对比，结果如图6所示。在近似正弦边界条件下，本文方法的预测精度优于有限差分法。数据表明，本文方法的ME（0.004 5 g）与RMSE（0.005 3 g）均低于有限差分法（ME=0.014 g， RMSE=0.016 g）。在计算效率方面，相同硬件条件下（Win11，CPU英特尔i7-12700，RAM 16GB，Matlab2020），有限差分法耗时为0.12 s，而本文方法仅需0.017 s，计算速度提升约7.06倍。综上，本文方法在保持高准确性的同时，显著提升了计算效率。

另一组为近似阶跃边界试验，在23.2 ℃恒温条件下，相对湿度从30.9% 开始，经历 48小时的周期性阶跃变化（71.4% 维持24小时，随后降至 30.9%维持24小时）。实验采用三块 12.5 mm 试样叠合而成的37.5 mm组合样，通过布置在内部不同深度的传感器实时监测水蒸气分压，以评估湿度突变下内部湿分布的动态演化过程。

图7展示了12.5 mm和25 mm深度处相对湿度的模拟与实测对比。结果显示，12.5 mm处的ME为2.13%，RMSE为2.72%；25 mm处的ME为2.98%，RMSE为3.63%。本文模型准确捕捉了湿波在材料内部的传播特性，其响应时机与演化趋势与实测值高度吻合。对比文献［29］中的10组机构模型，本文方法在各测点的预测偏差更小，证明了其优异的内部湿分布模拟能力。

进一步将本文方法、有限差分法与实测数据进行对比分析（图8）。结果表明，在近似阶跃边界条件下，本文方法的计算精度虽略低于有限差分法，但二者演变趋势高度一致。具体而言，在12.5 mm位置处，本文方法的ME和RMSE分别为2.13%和2.72%，略高于有限差分法（1.83%和2.05%）。在25 mm位置处，本文方法的ME为2.98%，RMSE为3.63%，较有限差分法（2.75%和3.02%）亦有所增加。然而，在计算效率方面，本文方法展现出显著优势：相同硬件环境下，其耗时仅为0.15 s，较有限差分法（0.56 s）计算速度提升3.68倍。综上所述，该方法在保证工程精度的前提下，大幅优化了计算效率。

基于Annex 41的两项实验数据验证，本文提出的动态湿传递计算方法能够精准复现材料在不同动态湿边界下的表面湿交换与内部湿度响应。同时与传统有限差分法相比，本方法在保证高精度的同时，显著提升了计算效率。上述结果表明了本文所提方法兼具适用性与可靠性，具备在实际工程模拟中推广应用的潜力。

3.3 真实环境下的现场实测验证

本研究搭建了一套用于研究建筑墙体动态湿传递行为的实验平台。实验在自建的等温室内开展，实验核心装置为一个尺寸为500 mm×500 mm×500 mm的不锈钢箱体，内部放置400 mm×400 mm×20 mm的自制纯石膏板试件。为保障测试环境的稳定并降低外界干扰，箱体顶部及四周侧壁均包覆铝箔并加设挤塑板，以实现高效的热湿绝缘；箱体顶面与侧壁实施密封，通过开启箱门确保箱内与等温房空气的流通。

试件的背面及侧向边缘采用铝箔胶带严密封装，仅保留400 mm×400 mm的上表面作为有效传质面与环境进行湿交换。实验过程中，试件直接置于电子天平之上，以实时监测其质量动态演变。环境调控方面，通过管道引入加湿空气，并设定加湿器按“工作8 h、停机16 h”的24 h周期运行，使箱内相对湿度在45%~80%范围内呈周期性波动，从而模拟建筑室内的间歇性湿负荷。实验期间，温湿度记录仪每10分钟自动采集一次环境数据，环境温度始终恒定在约21 °C。整个实验装置的设计原理如图9所示。

图10展示了实验过程中箱内空气温度、相对湿度及材料质量变化的实测结果。可以看出，箱内温度维持在21 °C左右。在加湿器周期性运行控制下，相对湿度在45%至80%之间呈现规律性波动：加湿器开启时，水蒸气持续注入，湿度迅速上升并稳定在约80%，材料随之吸湿，质量增加；加湿器关闭后，湿度逐渐下降，材料放湿，质量减少，直至下一周期开始。该过程循环往复，形成稳定的24小时湿循环。

基于实测质量变化可计算材料与空气之间的表面湿流通量。图11对比了该实测湿流通量与本文方法的模拟结果，可以看出，二者在变化趋势和波动特征上高度一致，仅存在微小偏差，充分表明模型对湿传递动态响应的良好捕捉能力。

然而，由于表面湿流通量的绝对值较小（数量级约为10^-7），在此精度下直接计算模拟值与实测值之间的误差指标（如ME、RMSE）容易受到测量中的微小波动的影响，难以准确反映模型性能。为此，进一步将模拟得到的表面湿流通量进行时间积分，重构材料的质量变化过程，并与实测质量数据进行对比（见图12）。结果显示，重构后的质量变化曲线在变化趋势和幅值上均与实测值高度吻合，ME为0.13 g，RMSE为0.14 g，验证了模型在物理一致性与计算精度方面的可靠性。该验证基于自主搭建的实验平台，贴近真实动态湿环境，有效避免了理想化假设带来的不确定性，充分证明了本文方法在实际工况下的准确性与可靠性。

4 结论

本文提出了一种高效计算建筑墙体动态湿传递的方法，并通过解析解对比、公开实验数据验证及自主实验测试三方面检验了其准确性，主要结论如下：

（1）在解析验证中，采用正弦与阶跃湿度边界条件进行模拟。结果表明，模型计算结果与解析解高度吻合。正弦边界下，内部蒸气压最大平均相对误差为0.053%，表面湿流通量误差为0.027%；阶跃边界下，蒸气压误差控制在1.03%以内，表面湿交换量平均相对误差为5.62%。

（2）基于IEA Annex 41项目实验数据显示：在近似正弦工况下，基于湿流通量积分所得的质量变化与实测值高度一致（RMSE 为 0.005 3 g）。在近似阶跃工况下，材料内部不同深度（12.5 mm 及 25 mm）处的相对湿度演变趋势均能被准确捕捉，RMSE 分别为 2.72% 和 3.63%。相比传统有限差分法，本文方法在保持同等精度的前提下，显著提升了计算效率。

（3）通过自建实验平台开展等温循环湿扰动测试进一步证实，模拟重构的质量变化曲线与实测时程数据具有高度的动态响应一致性，湿流通量积分的ME为0.13 g，RMSE为0.14 g。

综上，本文方法能够精准表征多种复杂边界条件下墙体内部的湿响应及表面湿交换行为。该方法在理论精度、实测吻合度及运算性能方面均表现优异，为建筑围护结构长期的动态湿性能分析及热湿耦合计算提供了一种高效且可靠的工具。

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基金资助

国家自然科学基金(51678254)