超长悬挑钢支架锚固螺栓变参数力学分析及优化

Mechanical analysis and optimization for super-long steel cantilevered-frame with various design parameters and fixed by bolts

摘要

为分析和优化超长悬挑钢支架锚固螺栓的设计方案，建立变参数条件下各锚固螺栓横截面应力计算模型，模拟两种超长悬挑钢支架所有锚固螺栓横截面应力的连续变化过程，分析参数变化对螺栓横截面应力的影响机理。以各个螺栓横截面应力最小为原则，优化悬挑钢支架设计方案，并将其用于实际工程。比较各锚固装置螺栓计算应力与COMSOL模拟应力，得出应力分布云图。数值计算结果表明：超长悬挑钢支架固定在柱上或梁上，当斜撑梁固定于外伸梁3/4长度位置时，所有锚固螺栓横截面所受最大正应力组合和平均切应力组合均最小，水平梁固定段螺栓横截面的平均切应力最大，斜撑梁螺栓横截面的最大正应力最大。研究成果可为超长悬挑钢支架及其锚固装置的设计提供指导。

关键词

悬挑钢支架 / 锚固装置 / 最大正应力 / 平均切应力 / 螺栓

Key words

steel cantilevered-frame / anchoring device / maximum normal stress / average shear stress / bolt

0 引言

随着建筑施工技术的快速发展，外形优美的挑檐建筑逐渐增多，施工中大量采用悬挑钢平台/脚手架，主要包括斜拉式、悬臂梁式和下撑式^[1-2]。斜拉式采用高强螺栓将外挑钢梁固定，再用长度可调的刚拉杆将悬挑钢梁端部与建筑物主体相连接。悬臂梁式是采用U型螺栓将型钢梁固定于楼面板上，另外在悬挑钢梁端头设置与上部结构拉环连接的钢丝绳作为安全储备。下撑式悬臂支架通常用于剪力墙结构，底部斜撑与水平钢梁分别与主体结构（梁、柱）螺栓连接或焊接，通常还需要斜拉辅助固定。目前三种形式的悬挑钢平台/脚手架在工程上都有应用和研究。赵金昭等^[3]结合昆明紫云景辰高层住宅项目，基于现行规范^[4-6]，从安全施工角度，对花篮螺栓斜拉式悬挑工字钢关键技术的管控措施进行分析和总结。邓云天等^[7]结合某民用住宅设计了一种斜拉式悬挑钢梁安全搭设方案，对4种模型的多种加载方案进行有限元模拟，对悬挑体系的应力分布进行对比，为悬挑支撑体系在现代高层建筑施工中的应用提供了参考。伍广锋^[8]以斜拉式悬挑型钢梁的工程实例为研究对象，依据规范算法^[5-6]，对钢梁的锚固长度进行优化设计，使型钢梁尺寸满足各项安全指标。方从兵等^[9]对在叠合楼板中预埋悬挑工字钢压环的情况提出2种锚固加固的方法，并对多种锚固方式进行了详细论述和简单计算分析。何淳健等^[10]提出在斜拉式悬挑工字钢梁梁侧锚固螺栓来克服阳角/楼梯处的施工难题，利用规范方法验算了悬挑主梁及其各种锚固螺栓的承载能力和可靠性。陆耀波等^[11]采用ADINA有限元软件对高层悬挑结构的“悬挑型钢-钢丝绳”支模体系受力情况进行了施工过程模拟，得出随钢丝绳的预应力增加，型钢的最大弯矩减少。OBAIDAT等^[12]提出一种利用U型碳纤维增强聚合物薄片和圆角/倒角钢平板来提高梁柱系统斜拉梁的锚固性能，通过实验研究发现这种方法具有很好的增强锚固作用。MA等^[13]提出一种柔性锚固的直线型和扇形悬臂结构，以悬臂梁系统质量最小为优化准则，研究了有、无锚固长度限制情况下悬臂结构的复杂因数和惩罚因数对其节约质量的影响。ZHANG等^[14]设计了一系列带有底部锚固螺栓和碳纤维增强聚合物层的悬挑梁实验样品，研究了底部螺栓的位置、长度和数量对悬挑梁的外层混凝土剥落的影响。ZHANG等^[15]提出利用高强玻璃纤维钉状锚固装置和玻璃纤维增强板来增加钢筋混凝土悬臂板的锚固强度，实验表明该方案可以有效地增加锚固不足钢筋混凝土悬臂板的延性。殷粉芳等^[16]设计了下撑式悬挑平台，解决了深圳某工程部分楼层转角处悬挑长度达7 m的梁的施工问题，并结合实际工程对悬挑平台及锚固装置进行了力学分析和验算。SAJEDI等^[17]提出支架悬臂梁的设计方案并建立了相应的计算模型，计算结果显示支架悬臂梁体系相对于传统悬臂梁结构可以减少40%的质量。于光卫等^[18]采用横杆、斜杆、竖向、腹杆组成三角桁架，通过螺栓与外墙预留孔连接，形成三角桁架悬挑架，克服了传统型钢悬挑外防护架与墙体连接时的灌浆困难和漏水隐患。

以上 3 种悬挑结构都需要在上层进行斜拉固定，但需要超长悬挑且不能在上层进行固定的施工工况越来越多。针对此情况，结合悬臂梁式和下支撑式提出 2 种由螺栓固定的超长悬挑钢支架设计方案（悬挑 6 ~ 9 m），建立该悬挑钢支架及其锚固螺栓的力学计算模型，分析变参数情况下各锚固螺栓横截面应力变化规律及影响机理，并给出在保证施工安全前提下的优化设计方案。

1 力学计算

针对超长高空悬挑钢平台，给出如图1所示的一榀钢支架的两种设计和固定方案的力学简图及单元划分方案。图1（a）所示方案中，钢支架被划分为8个平面梁单元，设单元① ~ 单元⑦的长度分别为l ₁ ~ l ₇，单元⑧的长度为l ₈，取l ₈为0.5 m；图1（b）所示方案中，钢支架被划分为7个平面梁单元，设单元① ~ 单元⑥的长度分别为l ₁ ~ l ₆，单元⑦的长度为l ₇，取l ₇为0.5 m。假定点A和点G均为固定约束，即约束平面内x和y方向的线位移以及平面内的角位移，节点C、节点D和结点F为刚性连接。为方便计算，建立如图1所示的以节点C为坐标原点的整体坐标系，假定斜拉梁CF和水平梁CE的夹角α和斜撑梁GD与水平梁CE交点D的横坐标a（单位为m）是可变的，通过Matlab计算a和α连续变化条件下各锚固装置的螺栓的应力，以此为依据优化图1所示两种固定方式的钢支架的设计方案，使其在同样尺寸和同样载荷条件下各个锚固装置的螺栓受力最合理。

针对图1所示超长悬挑钢支架，给出如图2所示的锚固装置分布，结点1、2处分别采用如图3（a）或图3（b）的锚固装置，将水平梁AE的固定段AC固定在楼面上，结点3、4、5、6处采用如图3（c）所示的锚固装置将悬挑钢支架固定于柱上或者梁上。

首先将由单元结点力向量 {\overline{\mathit{F}}}^e、单元刚度矩阵 {\overline{\mathit{k}}}^e和单元结点位移向量 {\overline{\mathit{d}}}^e组成的单元刚度方程式（1）转换为整体坐标系下的单元刚度方程，并集成得到由整体结点力向量 F 、整体刚度矩阵 K 和整体结点位移向量 d 组成的整体刚度方程式（4），然后由式（5）求得整体坐标系下单元节点力^[19-20]向量 F ^e。利用式（6）~ 式（11）计算作用在图2锚固装置1 ~ 6上每个螺栓横截面的最大正应力σ_{i max}（i=1,2,…,6）和平均切应力τ_{i ave}（i=1,2,…,6）。以下计算中，锚固装置1、2均有2个螺栓，锚固装置3 ~ 6均有4个螺栓，尺寸和布局见图3。

{\overline{\mathit{F}}}^e = {\overline{\mathit{k}}}^e {\overline{\mathit{d}}}^e，（1）

{\overline{\mathit{F}}}^e = {\left({\overline{N}}_i,{\overline{V}}_i,{\overline{M}}_i,{\overline{N}}_j,{\overline{V}}_j,{\overline{M}}_j\right)}^{e\mathrm{T}}，（2）

{\overline{\mathit{d}}}^e = {\left({\overline{u}}_i,{\overline{v}}_i,{\overline{\theta }}_i,{\overline{u}}_j,{\overline{v}}_j,{\overline{\theta }}_j\right)}^{e\mathrm{T}}，（3）

\mathit{F} = \left(\begin{array}{ccc}{N}_{\mathrm{1}}& V_{\mathrm{1}}& M_{\mathrm{1}}\\ N_{\mathrm{2}}& V_{\mathrm{2}}& M_{\mathrm{2}}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ N_{\mathrm{7}}& V_{\mathrm{7}}& M_{\mathrm{7}}\end{array}\right) = \mathit{K} \mathit{d}，（4）

{\mathit{F}}^e = {\left(N_i,V_i,M_i,N_j,V_j,M_j\right)}^{e\mathrm{T}}，（5）

\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\sigma }_{\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\end{array}\left|V_i^{e\mathrm{1}}/\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}\right|\\ {\tau }_{\mathrm{1}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}}=\left|N_i^{e\mathrm{1}}/\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}\right|\end{array}\right.，（6）

\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\sigma }_{\mathrm{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\end{array}\left|V_i^{e\mathrm{8,7}}/\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}\right|\\ {\tau }_{\mathrm{2}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}}=\left|N_i^{e\mathrm{8,7}}/\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}\right|\end{array}\right.，（7）

\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\sigma }_{\mathrm{3}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\end{array}\left|N_j^{e\mathrm{5,4}}/\mathrm{4}{a}_{\mathrm{2}}\pm M_j^{e\mathrm{5,4}}/\mathrm{2}d{a}_{\mathrm{2}}\right|\\ {\tau }_{\mathrm{3}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}}=\left|V_j^{e\mathrm{5,4}}/\mathrm{4}{a}_{\mathrm{2}}\right|\begin{array}{ccc}& & \begin{array}{ccc}& & \end{array}\end{array}\end{array}\right.，（8）

\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\sigma }_{\mathrm{4}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\left|\left(N_i^{e\mathrm{5,4}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta +V_i^{e\mathrm{5,4}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta \right)/\mathrm{4}{a}_{\mathrm{2}}\pm M_i^{e\mathrm{5,4}}/\mathrm{2}d{a}_{\mathrm{2}}\right|\end{array}\\ {\tau }_{\mathrm{4}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}}=\left|\left(-N_i^{e\mathrm{5,4}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta +V_i^{e\mathrm{5,4}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta \right)/\mathrm{4}{a}_{\mathrm{2}}\right|\begin{array}{cc}& \begin{array}{ccc}& & \end{array}\end{array}\end{array}\right.，（9）

\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\sigma }_{\mathrm{5}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\end{array}\left|N_i^{e\mathrm{6,5}}/\mathrm{4}{a}_{\mathrm{2}}\pm M_i^{e\mathrm{6,5}}/\mathrm{2}d{a}_{\mathrm{2}}\right|\\ {\tau }_{\mathrm{5}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}}=\left|V_i^{e\mathrm{6,5}}/\mathrm{4}{a}_{\mathrm{2}}\right|\begin{array}{cccc}& & & \begin{array}{cc}& \end{array}\end{array}\end{array}\right.，（10）

\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\sigma }_{\mathrm{6}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\end{array}\left|V_j^{e\mathrm{7,6}}/\mathrm{4}{a}_{\mathrm{2}}\pm M_j^{e\mathrm{7,6}}/\mathrm{2}d{a}_{\mathrm{2}}\right|\\ {\tau }_{\mathrm{6}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}}=\left|N_j^{e\mathrm{7,6}}/\mathrm{4}{a}_{\mathrm{2}}\right|\begin{array}{cc}& \end{array}\begin{array}{ccc}& & \end{array}\end{array}\right.。（11）

式（6）~ 式（11）中：上角标e为单元编号，下角标i、j为单元e的结点编号，T为取转置； {\overline{N}}_i \mathrm{、} \begin{array}{c}{\overline{V}}_i\mathrm{、}\begin{array}{c}{\overline{M}}_i\mathrm{、}\end{array}\end{array} \begin{array}{c}{\overline{u}}_i\mathrm{、}\begin{array}{c}{\overline{v}}_i\mathrm{、}\begin{array}{c}{\overline{\theta }}_i\end{array}\end{array}\end{array}， {\overline{N}}_j \mathrm{、} \begin{array}{c}{\overline{V}}_j\mathrm{、}\begin{array}{c}{\overline{M}}_j\mathrm{、}\end{array}\end{array} \begin{array}{c}{\overline{u}}_j\mathrm{、}\begin{array}{c}{\overline{v}}_j\mathrm{、}\begin{array}{c}{\overline{\theta }}_j\end{array}\end{array}\end{array}分别为局部坐标系下单元e结点i、j的轴力、剪力、弯矩、轴向位移、横向位移和转角； N_i \mathrm{、} \begin{array}{c}{V}_i\mathrm{、}\begin{array}{c}{M}_i\end{array}\end{array} \mathrm{、} N_j \mathrm{、} \begin{array}{c}{V}_j\mathrm{、}\begin{array}{c}{M}_j\end{array}\end{array}分别为整体坐标系下的轴力、剪力和弯矩；a ₁为图3（a）和图3（b）中螺栓的横截面积；a ₂为图3（c）中螺栓横截面面积；d为图3（c）中节点弯矩方向的螺栓间距。式（7）~ 式（11）中，上标第一个数字表示图2（a）中的单元编号，第二个数字表示图2（b）的单元编号。式（6）~ 式（11）中，假定各螺栓横截面应力均匀分布。

1.1 固定柱上悬挑钢支架锚固螺栓受力分析

由式（1）~ 式（11），利用Matlab计算图2（a）中悬挑钢支架各锚固螺栓应力。设分布载荷q为10 kN/m，集中载荷P位于点E，取2 kN，外伸梁CE总长l _CE为6.2 m，AC段表示长度为5 m的32a型钢和楼板的组合梁，其等效抗弯刚度为E ₁ I ₁，等效横截面面积为A ₁，CG段表示高度为4 m，抗弯刚度为E ₂ I ₂，横截面面积为A ₂的柱，其他各单元均采用32a型钢。设AC段抗弯刚度为E ₁ I ₁=2E ₃ I ₃，CG段的抗弯刚度为E ₂ I ₂=3E ₃ I ₃，A ₁=1.5A ₃，A ₂=0.4×0.4 m²，E ₃=2.1×10¹¹ Pa，I ₃=1.11×10^-4 m⁴，A ₃=67.12×10^-4 m²。计算不同a和不同α角时各锚固装置的螺栓横截面的最大正应力和平均切应力，见图4 ~ 图7。

由图4可知，σ _1max、σ _2max和τ _1ave、τ _2ave随着a增大均先减小后增大；α增大（变化范围为30°~ 60°）对σ _1max和σ _2max基本无影响，而对平均切应力小的位置影响很大。a=3l _CE/4时，σ _1max最小，为0.6 MPa；a=l _CE/2时，σ _2max最小，为 6.1 MPa；a=l _CE/3时，τ _1ave和τ _2ave最小，为20.3 MPa，且随α减小而增大，但α和a变化对其影响很小。σ _2max远大于σ _1max，这是因为水平梁AE在点C发生了刚度突变，造成在CD段分布力作用下点C右侧呈显著的向下变形和点B显著的上翘趋势，因此锚固装置2螺栓受到了更大的轴向力和正应力。由图5可知，σ _3max、σ _4max和τ _3ave、τ _4ave随a增大先急剧减小后缓慢增大，α的影响随应力增大而增大。a在2l _CE/3 ~ 4l _CE/5位置时，σ _3max、σ _4max和τ _3ave、τ _4ave都很小，此时α的变化对螺栓横截面应力几乎无影响。由图6可知，当a>l _CE/2时，σ _5max、σ _6max都较小，α对σ _5max、σ _6max几乎无影响，τ _5ave、τ _6ave随a增大非线性减小，α对τ _6ave影响较大（a<l _CE/2时）。a=3l _CE/4时，σ _5max、σ _6max均最小，此时α变化对其无影响；当a>2l _CE/3时，a越大，τ _5ave、τ _6ave越小，α变化对其几乎无影响。

由图7可见α为45°时各锚固装置螺栓横截面所受应力随a的变化趋势，其拟合函数见式（12）~式（22）（其中x为a），分别对应图7中的实线。当a在外伸梁CE中后段时，各装置螺栓横截面最大正应力和平均切应力均较小，τ _1ave和τ _2ave最大且基本不受a的影响。当a=3l _CE/4 时，各装置螺栓横截面应力最合理，τ _1ave和τ _2ave最大，均为20.9 MPa；τ _5ave、τ _6ave、σ _5max、σ _6max均较大，其中，τ _5ave=8.9 MPa，τ _6ave=10.2 MPa，σ _5max=10.6 MPa，σ _6max= 13.1 MPa。这是因为水平梁AE外伸段CE的竖向分布力和集中力由点C的柱/梁和斜撑梁GD（由锚固装置5、6螺栓固定）的竖向分量平衡，GD梁水平分量使AC梁承受轴向拉力，该轴向拉力使锚固装置1、2螺栓承受了很大的剪力。

σ _1max=-0.001 842x ³+0.028 9x ²-0.150 2x+0.262，（12）

σ _2max=0.154x ⁴-2.539x ³+15.61x ²-41.6x+46.6，（13）

σ _3max=1.29x ⁴-20.37x ³+121x ²-327.7x+354.2，（14）

σ _4max=6.928x ²-61.94x+141.2，（15）

σ _5max=0.404 3⁴-6.287x ³+35.6x ²-87.49x+91.5，（16）

σ _6max=3.204x ⁴-16.86x ³-56.64x+327.9，（17）

\begin{array}{l}{\tau }_{\mathrm{1,2}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}}=\mathrm{0.002}\mathrm{359}{x}^{\mathrm{4}}-\mathrm{0.380}\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}}+\mathrm{2.22}\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}}{-}^{\begin{array}{l}\\ \end{array}}\\ \mathrm{5.2}x+\mathrm{24.49},\end{array} （18）

\begin{array}{l}{\tau }_{\mathrm{3}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}}=-\mathrm{0.081}\mathrm{73}{x}^{\mathrm{4}}+\mathrm{1.244}{x}^{\mathrm{3}}-\mathrm{6.194}{x}^{\mathrm{2}}+\\ \mathrm{10.15}x+\mathrm{0.1436},\end{array} （19）

τ _4ave=0.170 3 x ⁴-2.713x ³+16.08x ²-42.71x+44.15，（20）

τ _5ave=1.245x ²-13.99x+46.4，（21）

τ _6ave=-0.373 x ³+5.017 x ²-23.93x+50.72。（22）

由图4 ~ 图7可以看出，当超长悬挑钢支架固定在柱上时，随a的变化，σ _6max在250 MPa 到10 MPa 之间变化，τ _6ave在40 MPa 到7 MPa 之间变化，这是所有螺栓中应力变化区间最大的。基于此，选择对锚固装置6的螺栓最有利的区间2l _CE/3 ~ 4l _CE/5来综合评价各装置螺栓的应力分布。该区间也是锚固装置3、4的螺栓横截面最大正应力和平均切应力的最小区间，且在此区间中，装置1、2、5螺栓横截面应力也不大。

1.2 固定梁上悬挑钢支架锚固螺栓受力分析

由式（1）~式（11），利用Matlab计算图2（b）超长高空悬挑钢平台一榀框架各锚固装置螺栓的应力，CG段高与图1（a）中相同。在CG之间取0.9倍的柱轴向刚度来模拟梁的作用，分布载荷q取10 kN/m，集中载荷P位于点E，取2 kN，外伸梁CE总长为6.2 m。设AC段的抗弯刚度为E ₁ I ₁=2E ₃ I ₃，其他参数同1.1节。计算不同a和α时各锚固装置螺栓横截面的最大正应力和平均切应力，见图8 ~ 图11。

由图8可见α和a变化对锚固装置1、2螺栓横截面应力的影响。由图8（a）可见，当a在外伸梁CE前段时，σ _1max随a增大线性减小；当a在外伸梁的中后段时，σ _1max随a增大线性增大；α对σ _1max的影响较小。由图8（b）可见，当a<l _CE/2时，σ _2max随a增大近似线性减小；当a>l _CE/2时，σ _2max随a增大近似线性增大；α对σ _2max的影响不大。由图8（c）、图8（d）可见，随a和α的变化，τ _1ave和τ _2ave变化相同，当a<l _CE/2时，τ _1ave和τ _2ave随a增大非线性增加，当a>l _CE/2时，τ _1ave和τ _2ave随a增大缓慢减小，α越大τ _1ave和τ _2ave越小。a在l _CE/2附近时，τ _1ave和τ _2ave最小，α的变化对τ _1ave和τ _2ave基本无影响；a在2 l _CE /3 ~ l _CE内，a和α越大τ _1ave和τ _2ave越小。

由图9可见α和a变化对锚固装置3、4螺栓横截面应力的影响。由图9（a）可见，当a<0.54l _CE时，σ _3max随a增大线性减小；除以上情况外，σ _3max随a增大线性增大；α的变化对σ _3max基本无影响。由图9（b）可见，当a<0.55l _CE时，σ _4max随a增大迅速减小；除以上情况外，σ _4max随a增大线性增大；α的变化对σ _4max基本无影响。由图9（c）可见，当a<0.48l _CE时，τ _3ave随a增大非线性减小，随α角增大而减小；除以上情况外，τ _3ave随α角增大而增大。由图9（d）可见，当a<0.56l _CE时，τ _4ave随a增大非线性减小，随α增大而减小；除以上情况外，τ _4ave随a增大缓慢增加，α的增大对其几乎无影响。

显然，就锚固装置3、4螺栓横截面应力而言，a=(0.48 ~ 0.65)l _CE是合适取值，在此区间，σ _3max和σ _4max均不大于20 MPa，τ _3ave、τ _4ave均不大于3 MPa，α的变化对螺栓横截面应力的影响不大。

由图10可见α和a变化对锚固装置5、6的螺栓横截面应力的影响。由图10（a）可见，当a<2l _CE/5 时，σ _5max随a增大近似线性减小；除以上情况外，σ _5max随a增大迅速增大，且随α增大而增大。由图10（b）可见，当a<2l _CE/3时，σ _6max随a增大线性减小，随α增大而减小；除以上情况外，σ _6max随a增大缓慢线性增加，随α增大而减小。由图10（c）可见，τ _5ave随a增大非线性减小，α的变化对其基本无影响。由图10（d）可见，当a<2l _CE/3时，τ _6ave随a增大非线性减小，随α增大而减小；除以上情况外，τ _6ave随α增大而增大。

显然，a=2l _CE/5 时，σ _5max最小，a越大，τ _5ave越小；a=(2/3 ~ 4/5) l _CE时，σ _6max较小，a越大，τ _6ave越小。综合考虑锚固装置5、6螺栓应力，a=3l _CE/4，α=45°最合理。

α=45°时，各锚固装置螺栓横截面所受应力随a的变化见图11，应力与a的拟合函数见式（23）~式（33），分别对应图11中的实线。由图11（a）可见，当a在外伸梁CE中后段时，各装置螺栓横截面的正应力相对较小，比较而言，锚固装置3、6螺栓横截面的最大正应力是控制应力。由图11（b）可见，τ _1max和τ _2max最大，τ _3ave和τ _4ave最小，且基本不随a的变化而变化。当a=2l _CE /3时，各装置螺栓横截面所受应力最合理，其中τ _1ave和τ _2ave最大，均为22.9 MPa，σ _3max和σ _6max最大，分别为26.4 MPa和21.0 MPa。这是因为外伸梁CE上的竖向分布力和集中力首先传递给点C（锚固装置3螺栓）和点D（锚固装置6螺栓），而斜撑梁GD的水平分量使AC梁产生轴向拉力，该轴向拉力使得装置1和2的螺栓产生了很大的剪力。

{\sigma }_{\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} = - \mathrm{0.001} \mathrm{136} x^{\mathrm{5}} - \mathrm{0.213} \mathrm{5} x^{\mathrm{4}} + \mathrm{1.5} x^{\mathrm{3}} +

\mathrm{4.713} x^{\mathrm{2}} + \mathrm{6.396} x - \mathrm{2.606} , （23）

{\sigma }_{\mathrm{2}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} = \mathrm{1.038} x^{\mathrm{3}} + \mathrm{14.47} x^{\mathrm{2}} - \mathrm{61.86} x + \mathrm{86.69} , （24）

{\sigma }_{\mathrm{3}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} = - \mathrm{1.218} x^{\mathrm{4}} + \mathrm{14.41} x^{\mathrm{3}} - \mathrm{39.93} x^{\mathrm{2}} - \mathrm{37.92} x + \mathrm{197.9} , （25）

{\sigma }_{\mathrm{4}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} = - \mathrm{1.025} x^{\mathrm{4}} + \mathrm{13.78} x^{\mathrm{3}} - \mathrm{53.88} x^{\mathrm{2}} + \mathrm{39.96} x + \mathrm{92.25} , （26）

\begin{array}{l}{\sigma }_{\mathrm{5}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=-\mathrm{0.075}\mathrm{0}{x}^{\mathrm{6}}+\mathrm{1.687}{x}^{\mathrm{5}}-\mathrm{14.85}{x}^{\mathrm{4}}+\mathrm{63.62}{x}^{\mathrm{3}}-\\ \mathrm{131.4}{x}^{\mathrm{2}}+\mathrm{105}x+\mathrm{11.31},\end{array} （27）

{\sigma }_{\mathrm{6}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} = \mathrm{3.768} x^{\mathrm{3}} - \mathrm{20.95} x^{\mathrm{2}} - \mathrm{49.23} x + \mathrm{327.3} , （28）

{\tau }_{\mathrm{1,2}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}} = \mathrm{0.071} \mathrm{64} x^{\mathrm{3}} - \mathrm{1.025} x^{\mathrm{2}} + \mathrm{4.604} x + \mathrm{16.29} , （29）

{\tau }_{\mathrm{3}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}} = \mathrm{0.201} {\mathrm{1}}^{\mathrm{2}} - \mathrm{2.257} x + \mathrm{7.002} , （30）

{\tau }_{\mathrm{4}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}} = - \mathrm{0.355} \mathrm{6} x^{\mathrm{3}} + \mathrm{5.063} x^{\mathrm{2}} - \mathrm{22.7} x + \mathrm{33.26} , （31）

{\tau }_{\mathrm{5}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}} = - \mathrm{0.308} \mathrm{1} x^{\mathrm{3}} + \mathrm{4.356} x^{\mathrm{2}} - \mathrm{22.31} x + \mathrm{51.19} , （32）

{\tau }_{\mathrm{6}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}} = - \mathrm{0.036} \mathrm{38} x^{\mathrm{3}} + \mathrm{4.946} x^{\mathrm{2}} - \mathrm{23.79} x + \mathrm{50.74} \mathrm{。} （33）

由图8~ 图11可以看出，当超长悬挑钢支架固定在梁上时，随a的变化，σ _6max在260 MPa 到10 MPa 之间变化，τ _6ave在40 MPa 到7 MPa 之间变化，这是所有螺栓中应力变化区间最大的。基于此，选择对装置6螺栓最有利区间，即a=(2/3~4/5)l _CE来综合评价各装置螺栓的应力分布。在此区间，除σ _3max偏大以外（仍然小于σ _6max），其他螺栓横截面应力都较小。对层高（CG）从3.5 m到5 m，悬挑梁CE从6 m到9 m条件下的两种悬挑钢支架各螺栓受力进行计算，结果表明两个变参数对各螺栓横截面应力的影响规律相同。

2 工程应用

基于悬挑钢支架锚固装置的螺栓的受力分析，对σ _6max最敏感的参数a和α进行优化，得到a= 3l _CE/4 （4.65 m）和α=45°。采用以上优化参数的两种悬挑钢支架的设计方案见图12。将其应用于如图13所示的荆州市中医医院中医特色大楼的超长挑檐施工中。工程设计概况如下：沿建筑外圈（56.5 m）闭合设置钢平台，钢平台沿最外侧周长为298 m，长为 100 m，宽为49 m，悬挑长度为 6.2 m。根据实际工况，钢支架所用的工字钢型号为32a、18^#，钢平台面层铺设3 mm 厚花纹钢板，各锚固装置布置和螺栓尺寸见图3。

结合工程实际，计算钢平台上满布脚手架时悬挑钢支架CE梁上（32a工字钢）的分布载荷为 4.95 kN/m，点E处集中载荷为1.09 kN，利用COMSOL对图12所示两种悬挑钢支架进行精细化建模。依据图3中锚固装置的螺栓选型和布局，对悬挑钢支架以及各锚固装置的螺栓的受力进行分析计算，分别得到钢支架和各螺栓水平方向（x向）和竖直方向（y向）的应力，见图14，计算结果见表1和表2。基于悬挑钢支架的受力和约束，锚固螺栓1、2、6的切应力以及锚固螺栓3、5的正应力可以由其x向看出，锚固螺栓3、5的切应力以及锚固螺栓1、2、6的正应力可以由其y向看出，锚固螺栓4的正应力和切应力需要根据其x向应力和y向应力计算得到。

由图14、表1和表2可以看出，COMSOL模拟的结果和Matlab计算的结果比较接近，而且关于各锚固螺栓的应力分布规律相同。不管悬挑钢支架固定在柱上还是梁上，锚固装置1、2的螺栓横截面平均切应力基本相等，锚固装置2的螺栓横截面最大正应力远大于锚固装置1的螺栓横截面最大正应力。与钢支架固定在梁上相比，钢支架固定在柱上时，锚固装置3 ~ 6的螺栓横截面应力稍小。这是因为钢支架固定在梁上时，没有柱的支撑作用，锚固装置3 ~ 5的螺栓间接承担了柱的支撑作用。这说明本文关于钢支架的计算模型和计算结果可准确反应各种工况下悬挑钢支架锚固装置的力学变化和分布，同时也说明将该设计方案应用到荆州市中医医院中医特色大楼的挑檐施工中较安全，因为螺栓材料Q235钢的许用应力远大于各个螺栓的最大正应力。

3 结论

提出2种由螺栓锚固的下支撑和悬挑梁结合的超长悬挑钢支架模型，对模型中的参数进行优化。根据优化结果将两种悬挑钢支架设计方案应用于实际工程，并比较锚固装置螺栓计算应力与模拟应力，由计算结果得出如下结论。

（1）当斜撑梁固定在外伸梁3/4长度位置且斜拉梁与外伸梁夹角为45°时，2种悬挑钢支架所有锚固装置螺栓横截面最大正应力组合值和平均切应力组合值均最小。

（2）悬挑钢支架水平固定段的锚固螺栓横截面平均切应力远大于其最大正应力。当斜撑梁固定于外伸梁中后段，钢支架固定在柱上时，平均切应力随斜撑梁与外伸梁夹角减小而微弱增大，钢支架固定在梁上时，平均切应力随斜撑梁与外伸梁夹角减小，随斜拉梁与外伸梁夹角增大而缓慢减小。

（3）悬挑钢支架斜拉梁两端的锚固螺栓横截面最大正应力远大于其平均切应力。若钢支架固定在柱上且斜撑梁固定于外伸梁中后段，最大正应力处于最小区段，若固定在梁上且斜撑梁固定于外伸梁中间段时，最大正应力处于最小区段。

（4）悬挑钢支架斜撑梁与柱/梁的锚固装置螺栓横截面的最大正应力和平均切应力较大。当斜撑梁固定于外伸梁中后段，钢支架固定在柱上，最大正应力较小，钢支架固定在梁上，最大正应力随斜撑梁与外伸梁的夹角减小而增大，随斜拉梁与外伸梁的夹角增大而增大。

（5）2种悬挑钢支架斜撑梁与外伸梁的锚固装置螺栓横截面最大正应力最大，当斜撑梁固定于外伸梁的中后段时，其锚固装置的螺栓横截面最大正应力处于较小区段。

本文研究结论仅适用于所提出的2种超长悬挑钢支架，数值计算结果随着实际工程中锚固螺栓横截面应力的监测技术进步而进一步得到验证。

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基金资助

国家自然科学基金项目(52078052)