DoS攻击下网联车队安全协同自适应预测巡航控制

Security-oriented cooperative adaptive predictive cruise control for connected and automated vehicular platoons under DoS attacks

摘要

针对受约束网联车队受到加速度拒绝服务（DoS）攻击的情况，提出一种新的安全协同自适应预测巡航控制算法。首先，结合运动学特征设计加速度估计器以缓解DoS攻击对巡航控制器的影响，再设计特定的综合轨迹信号以灵活表示网联车队的各种交通工况。其次，采用滚动时域优化原理和分布式模型预测控制（MPC）框架，提出满足安全约束的车辆队列安全协同自适应预测巡航控制策略。在此基础上，采用线性矩阵不等式方法，给出在安全约束和加速度DoS攻击下的队列稳定性和弦稳定性的充分条件。最后，通过典型交通场景仿真验证本文算法的有效性。

Abstract

A new security-oriented cooperative adaptive predictive cruise control （CAPCC） algorithm is presented for connected and automated vehicle （CAV） platoons subject to constraints and Denial of Service （DoS） attacks of predecessors' acceleration. Firstly， using the kinematic characteristics， the acceleration estimator is designed to alleviate the effect of DoS attacks on cruise controllers. Then the synthetical trajectory signals are designed to flexibly represent various traffic situations of CAV platoons. Secondly， by adopting the receding horizon optimization principle， the secure CAPCC scheme of the vehicle platoon with satisfactions of the safety constraints is formulated in the framework of distributed model predictive control. Moreover， some sufficient conditions in the form of linear matrix inequalities are obtained to ensure stability and string stability of the platoon in the presence of safety constraints and the acceleration DoS attacks. Finally， some simulation experiments in representative traffic scenarios verify the effectiveness of the presented algorithm.

Graphical abstract

关键词

控制科学与工程 / 协同自适应巡航控制 / 模型预测控制 / 安全控制 / 拒绝服务攻击

Key words

control science and engineering / collaborative adaptive cruise control / model predictive control / security control / denial of service attack

0 引 言

随着车辆保有量的持续快速增加，道路交通堵塞、环境污染和安全事故问题日益严峻^［1］，车辆协同自适应巡航控制（CACC）被认为是解决这些交通问题的有效技术手段。CACC借助车联网技术和车载传感器，调节一队车辆的速度和加速度，使多车形成稳定队列并保持较短的安全车间距离^［2-5］，从而提高道路通行能力，降低燃油消耗近30%^［6］。CACC系统使用DSRC/IEEE 802.11p协议^［7］或C-V2X/5G技术^［8］交换车辆队列的行驶数据（如加速度），因此，是一个集计算、通信、控制和车辆于一体的典型信息物理融合系统。

CACC系统的无线通信网络开放而脆弱，在车队行驶过程中不可避免地会暴露在恶意网络攻击之下，其中，DoS攻击是一种常见且极具破坏力的网络攻击，会严重威胁网联车队的行驶安全性^［9，10］。DoS攻击通过堵塞网络信道或攻击路由协议限制车辆间的信息交互，破坏CACC控制律的计算，危害网联车队的安全性和稳定性，如交通堵塞、队列不稳定和潜在的碰撞。相关文献从系统角度分析DoS攻击对网联车辆队列的影响，如文献［11］全面分析网联车中存在的网络攻击类型，并模拟这些网络攻击对网联车的危害；文献［12］采用SUMO和OMNET++仿真平台对CACC中的DoS攻击进行建模，并验证DoS攻击对网联车队的影响；文献［13］研究了队列命令受到 DoS 攻击期间的网联车队行为，分析了攻击者位置对车队弦稳定性的影响。

为了提高车队应对DoS攻击的能力，近年来一些文献从检测角度开展网联车队DoS攻击检测研究，如文献［14］利用滑模自适应估计器检测特定DoS攻击的发生，从而提高DoS攻击下车辆队列的安全性；针对滑模观测器在攻击检测方面的不足，文献［15］设计了高增益观测器检测网联车DoS攻击，文献［16］结合车辆运动学规律和带有滑动块的广义单样本多个离群检测方法，设计了网联车实时异常检测策略；文献［17］结合卷积神经网络与带χ²检测器的卡尔曼滤波器，提出了一种能检测和识别网联车异常行为的方法。

相比于网联车DoS攻击检测研究，车辆队列在DoS攻击下的网联车安全CACC研究相对较少，如文献［18］针对通信受损提出了一种 CACC与ACC切换的网联车安全协同自适应巡航控制策略。虽然回退至ACC可以保证车辆安全，但会牺牲CACC在提高网联车弦稳定性和减少车间距方面的优势。近期，文献［19］为了削弱DoS攻击的影响，使用之前的加速度数据代替受到DoS攻击干扰的加速度数据计算CACC，但该方法对于持续性的DoS攻击难以有效果。

考虑受安全约束和加速度数据DoS攻击的网联车队协同控制问题，本文提出一种新的安全协同自适应预测巡航控制（CAPCC）方法。基于运动学规律，设计了前车加速度估计器估计前车传输的加速度数据，以缓解DoS攻击对车队的影响。再根据网联车行驶信息设计了综合轨迹信号，灵活描述网联车队的各种行驶情况。进一步采用滚动时域原理，在线求解网联车在安全约束和DoS攻击下的安全CAPCC问题。在此基础上，利用线性矩阵不等式得到网联车队在加速度DoS攻击下的稳定性和弦稳定性的充分条件。最后，以典型交通场景的仿真对比结果说明了该方法的有效性。

1 问题描述

考虑多辆网联车直线行驶交通场景，其中参考车辆记为0，领导车辆记为1，后面N-1辆跟车依次记为2至N，如图1所示。队列中参考车辆是领导车辆的加速度命令生成器，领导车辆可以准确获取参考加速度a₀（t），且无DoS攻击。进一步，跟随车辆通过车载传感器（如激光和雷达）精确获得车间距离和相对速度，通过无线网络接收前车加速度。但由于无线网络的脆弱性，网联车存在网络攻击的风险。通常，网络数据传输可能存在丢包或诱导时延等网络特性^{［20，21］}，但本文聚焦DoS攻击下的网联车安全协同自适应巡航控制，故假设车联网具有良好的网络特性。

1.1　车辆队列纵向动力学模型

考虑车辆i的纵向动力学离散时间模型：

\left\{\begin{array}{l}{s}_i(k+\mathrm{1})=s_i(\mathrm{k})+T_s{v}_i(k) \\ v_i(k+\mathrm{1})=v_i(k)+T_s{a}_i(k) \\ a_i(k+\mathrm{1})=(\mathrm{1}-T_s/{\tau }_i)a_i(k)+T_s/{\tau }_i{u}_i(k)\end{array}\right.（1）

式中：s_i （k）、v_i （k）、a_i （k）和u_i （k）分别为采样时间k≥0时车辆的位置、速度、加速度和控制输入；τ_i 为车辆内部动力学常数；T_s >0为采样周期。

该模型的连续时间模型在CACC研究中被广泛采用^［22-24］。选择车辆i的状态向量为 x_i =［d_i， Δv_i， a_i ］^T，其中相邻车辆的车间距d_i 和相对速度Δv_i 定义为

\left\{\begin{array}{l}{d}_i(k)=s_i(k)-s_{i-\mathrm{1}}(k)\\ \mathrm{\Delta }{v}_i(k)=v_i(k)-v_{i-\mathrm{1}}(k)\end{array}\right.（2）

则式（1）相对应的状态空间模型为

{\mathit{x}}_i(k+\mathrm{1})={\mathit{A}}_i{\mathit{x}}_i(k)+{\mathit{B}}_{u,i}{u}_i(k)+{\mathit{B}}_{a,i}{a}_{i-\mathrm{1}}(k)（3）

其中

{\mathit{A}}_i=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& T_s& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& T_s\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}-T_s/{\tau }_i\end{array}\right],

{\mathit{B}}_{u,i}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\\ T_s/{\tau }_i\end{array}\right],\hspace{1em}{\mathit{B}}_{a,i}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ -T_s\\ \mathrm{0}\end{array}\right]

单向前车跟随（PF）通信拓扑的通信距离短、时延低、可靠性高，而且由于较少的车间通信，其频带资源占用少。特别是，队列中的车辆只接收其前车的加速度信息，PF通信拓扑可以防止攻击者攻击某辆车时整个车队受到冲击。因此，本文采用PF通信拓扑将加速度信息发送给相邻的跟随车辆。

1.2　DoS攻击模型

DoS 攻击旨在阻塞信道以阻止车辆之间的信息交换，从技术角度来看，攻击者可以通过发射干扰信号实施 DoS 攻击，实现信道的拥塞，进而破坏加速度信号的无线通信。通常，DoS攻击对车队的破坏强度与攻击的持续时间成正相关性。根据无线电传播损耗模型^［25］，攻击信号的发射功率P_{\chi }^{\mathrm{t}}与接收功率P_{\chi }^{\mathrm{r}}，以及加速度信号的发射功率P_{\mathrm{a}}^{\mathrm{t}}与接收功率P_{\mathrm{a}}^{\mathrm{r}}之间的关系如（4）所示：

P_{\chi }^{\mathrm{r}}=l_{\chi }^{-\alpha }\cdot P_{\chi }^{\mathrm{t}},\hspace{1em}{P}_{\mathrm{a}}^{\mathrm{r}}=l_{\mathrm{a}}^{-\alpha }\cdot P_{\mathrm{a}}^{\mathrm{t}}（4）

式中：l_{\chi }^{-\alpha }和l_{\mathrm{a}}^{-\alpha }分别为攻击信号和加速度信号的传播路径长度；α >0为无线电环境的衰减参数。

定义车辆接收的加速度信号的信噪比（SINR_a）为：

SIN{R}_{\mathrm{a}}=P_{\chi }^{\mathrm{r}}/P_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}（5）

P_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=P_{\chi }^{\mathrm{r}}+P_{\mathrm{a}}^{\mathrm{r}}+P_{\mathrm{N}}（6）

式中：P_N为噪声功率；P_total为攻击信号、加速度信号和噪声的总功率。

低SINR_a会导致加速度信息较高的误码率，可被认为是信道阻塞的。因此，使用阈值SINR_th来划分DoS信号和有效信号。

（7）

式中：ϖ为表示攻击是否发生的指示变量。

令a_{i-\mathrm{1}}(k)为前车的真实加速度，则在DoS攻击下从前车接收到的数据{\overline{a}}_{i-\mathrm{1}}(k)建模为^［26］

{\overline{a}}_{i-\mathrm{1}}(k)={\varpi }_{i-\mathrm{1}}(k)a_{i-\mathrm{1}}(k)（8）

式中：{\varpi }_{i-\mathrm{1}}为第i-1辆车的加速度是否被DoS攻击，即如果{\varpi }_{i-\mathrm{1}}(k)=\mathrm{1}，则k时刻传输的加速度没有受到干扰，即该数据被正确共享；反之，{\varpi }_{i-\mathrm{1}}(k)=\mathrm{0}表示k时刻传输的加速度数据被攻击者阻塞。

实际中由于物理限制，如有限能量，攻击者不能持续地发动成功的攻击。因此，假设DoS攻击是周期性的中断无线通信链路，降低SINR_a，导致车辆在一段时间内无法接收到所需的信息。周期性DoS攻击模型可以描述为

（9）

式中：T为DoS攻击的周期；n为第n^th个周期，\left\{\mathrm{0}\le k_{\mathrm{o}\mathrm{n}}\le T/T_s\right\}为一个周期内存在DoS攻击的时间；R_n^{\mathrm{1}}和R_n^{\mathrm{2}}分别为存在DoS攻击和不存在DoS攻击的时间集合。

2 安全CACC控制器设计

2.1　加速度估计器

考虑车辆i的运动学特性

\left\{\begin{array}{l}{s}_i(k)-s_i(k-\mathrm{1})=v_i(k-\mathrm{1})T_s+\\ \mathrm{0.5}{a}_i(k-\mathrm{1})T_s^{\mathrm{2}}\\ s_{i-\mathrm{1}}(k)-s_{i-\mathrm{1}}(k-\mathrm{1})=v_{i-\mathrm{1}}(k-\mathrm{1})T_s+\\ \mathrm{0.5}{\widehat{a}}_{i-\mathrm{1}}(k-\mathrm{1})T_s^{\mathrm{2}}\end{array}\right.（10）

将式（10）中两式相减后可得：

{\widehat{a}}_{i-\mathrm{1}}(k-\mathrm{1})=a_i(k-\mathrm{1})+\frac{\mathrm{\Delta }{v}_i(k-\mathrm{1})}{T_s}-

\frac{\mathrm{2}(d_i(k)-d_i(k-\mathrm{1}))}{T_s^{\mathrm{2}}}（11）

通过该加速度估计器，可得前车前一时刻的加速度信息。综上，持续DoS攻击下前车加速度估计为：

{\tilde{a}}_{i-\mathrm{1}}(k)=\left\{\begin{array}{c}{a}_{i-\mathrm{1}}(k),{\varpi }_{i-\mathrm{1}}(k)=\mathrm{1}\\ {\widehat{a}}_{i-\mathrm{1}}(k-\mathrm{1}),{\varpi }_{i-\mathrm{1}}(k)=\mathrm{0}\end{array}\right.（12）

式中：{\tilde{a}}_{i-\mathrm{1}}(k)为车辆i最终采用的前车加速度数据。

2.2　综合轨迹信号

CACC目标是将车辆间的相对速度和相对加速度调整为零，同时在满足安全约束下保持较小的理想车间距。故考虑车辆i的系统模型（3），定义如下综合轨迹信号作为车辆的辅助输出：

y_i(k)=w_{\mathrm{1}}{d}_i(k)+w_{\mathrm{2}}\mathrm{\Delta }{v}_i(k)+w_{\mathrm{3}}{a}_i(k)=\mathit{C}{x}_i(k)（13）

式中：行向量 C =［w₁， w₂， w₃］，且w_i ≥0。

理想综合轨迹信号是理想车间距d_i，des、理想相对速度Δv_i，des和加速度{\tilde{a}}_{i-\mathrm{1}}(k)的加权函数，从而CACC的目标是调整每辆网联车的辅助输出以跟踪所需的理想综合轨迹信号。

采用恒定车头时距策略^{［27，28］}作为车辆i的理想间距：

d_{i,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}}(k)=r_i+h_i{v}_i(k)（14）

式中：r_i >0为安全距离；h_i 为车辆的车头时距常数。

显然，车辆i的理想相对速度Δv_i，des应该等于零。此外，由于DoS攻击影响，车辆i可能无法从前车接收到加速度信息，因此，使用式（12）来表示车辆的理想加速度是合理的。

综上，定义车辆i的理想综合轨迹信号r_i （k）为：

r_i(k)=w_{\mathrm{1}}{d}_{i,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}}(k)+w_{\mathrm{2}}\mathrm{\Delta }{v}_{i,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}}(k)+w_{\mathrm{3}}{\tilde{a}}_{i-\mathrm{1}}(k)（15）

综合轨迹信号可以灵活表示网联车队的各种行驶情况，如当、 v_i>v_{i-\mathrm{1}}和a_i>{\tilde{a}}_{i-\mathrm{1}}，则间距、相对速度和加速度的误差分别满足、 ∆v_i-∆v_{i,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}}>\mathrm{0}和a_i-{\tilde{a}}_{i-\mathrm{1}}>\mathrm{0}。此时，车间距、相对速度和加速度的综合轨迹跟踪误差很小，CACC控制器只需做小调整。同样，当d_i>d_{i,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}}、 v_i>v_{i-\mathrm{1}}和a_i>{\tilde{a}}_{i-\mathrm{1}}，则间距、相对速度和加速度的误差均为正。显然，这种情况是危险的，相应的综合轨迹跟踪误差较大， CACC控制器需要进行较大的调整。

2.3　安全CAPCC算法

考虑车辆i模型（3），定义跟踪误差为：

e_i(k)=r_i(k)-y_i(k)（16）

为了消除该误差，有必要在CACC系统中引入积分控制作用。对此，定义增广状态向量{\tilde{\mathit{x}}}_i\left(k\right)=[e_i\left(k\right),x_i{\left(k\right)}^{\mathrm{T}}-x_i{\left(k-\mathrm{1}\right)}^{\mathrm{T}}{]}^{\mathrm{T}}。则由模型（3）可得增广CACC系统：

{\tilde{\mathit{x}}}_i(k+\mathrm{1})={\overline{\mathit{A}}}_i{\tilde{\mathit{x}}}_i(k)+{\overline{\mathit{B}}}_{u,i}{\tilde{u}}_i(k)+{\overline{B}}_{w,i}{\tilde{\mathit{w}}}_i(k)（17）

其中：

{\tilde{u}}_i(k)=u_i(k)-u_i(k-\mathrm{1}),

{\tilde{\mathit{w}}}_i(k)=\left[\begin{array}{c}{r}_i(k)-r_i(k-\mathrm{1})\\ {\tilde{a}}_{i-\mathrm{1}}(k)-{\tilde{a}}_{i-\mathrm{1}}(k-\mathrm{1})\end{array}\right];

{\overline{\mathit{A}}}_i=\left[\begin{array}{cc}I& -C\\ \mathrm{0}& A_i\end{array}\right],{\overline{\mathit{B}}}_{u,i}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ B_{u,i}\end{array}\right]，{\overline{\mathit{B}}}_{w,i}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}I\\ \mathrm{0}\end{array}& \begin{array}{c}\mathrm{0}\\ B_{a,i}\end{array}\end{array}\right]。

再定义车辆i的CACC状态反馈控制律

{\tilde{u}}_i(j|k)={\mathit{F}}_i(k){\tilde{\mathit{x}}}_i(j|k)（18）

式中：增益矩阵 F_i （k）将在后面以滚动时域优化的形式计算。

将式（18）代入式（17），得到车辆i的闭环CACC系统：

{\tilde{\mathit{x}}}_i(k+\mathrm{1})=({\overline{\mathit{A}}}_i+{\overline{\mathit{B}}}_{u,i}{\mathit{F}}_i(k)){\tilde{\mathit{x}}}_i(k)+{\overline{\mathit{B}}}_{w,i}{\tilde{\mathit{w}}}_i(k)（19）

令⋅（j|k）为闭环CACC系统（19）在k时刻对k+j时刻的预测值。定义车辆i在k时刻的代价函数

J_{\mathrm{\infty },i}(k)={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{z}_i{(j|k)}^{\mathrm{T}}{z}_i(j|k)（20）

式中：代价测量输出z_i={\mathit{C}}_{\mathrm{\infty }}{\tilde{x}}_i+{\mathit{D}}_{\mathrm{\infty }}{\tilde{u}}_i，对角矩阵 C_∞=diag｛w₄，0，0，0｝，列向量 D_∞=［0，0，0，w₅］^T， w₄>0和w₅>0为跟踪误差和控制量变化的权重。

进一步，闭环CACC系统（19）从z_i 到{\tilde{w}}_i的传递函数为

T_{z_i{\tilde{w}}_i}(s)=({\mathit{C}}_{\mathrm{\infty }}+{\mathit{D}}_{\mathrm{\infty }}{\mathit{F}}_i(k))[sI-({\overline{A}}_i+{\overline{\mathit{B}}}_{u,i}{\mathit{F}}_i{(k))]}^{-\mathrm{1}}{\overline{\mathit{B}}}_{w,i}

设{\tilde{\mathit{x}}}_i\left(k\right)为时刻k≥0时的增广状态，则车辆i的安全CAPCC问题表述为：

\underset{{\mathit{F}}_i(k)}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{J}_{\mathrm{\infty },i}(k)（21a）

（21b）

\parallel {\tilde{u}}_i(\mathrm{0}|k)+{\overline{u}}_i{\parallel }^{\mathrm{2}}\le {\widehat{u}}^{\mathrm{2}},\hspace{1em}{\overline{u}}_i={\displaystyle \sum _{l=\mathrm{0}}^{k-\mathrm{1}}}{\tilde{u}}_i(l)（21c）

{\tilde{u}}_i(j|k)={\mathit{F}}_i(k){\tilde{\mathit{x}}}_i(j|k),\hspace{1em}j=\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots（21d）

{\tilde{\mathit{x}}}_i(\mathrm{0}|k)={\tilde{x}}_i(k)（21e）

其中，性能约束δ >0，控制约束\widehat{u}>\mathrm{0}，以及

\parallel T_{z_i{\tilde{w}}_i}(s){\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\underset{\mathrm{0}\le \omega \le \mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\parallel T_{z_i{\tilde{w}}_i}(e^{j\omega })\parallel（22）

如果优化问题（21）可行，则求解（21）可得k时刻的CACC控制量（18）及最优解 F_i^*（k）。将CACC控制量应用到系统（17），并在k+1时测量状态，然后重复整个计算操作。但优化问题（21）很难直接计算矩阵 F_i （k），一种可行方法是将该问题转化为线性矩阵不等式形式的半正定规划问题。

考虑闭环系统（19），定义一个带有正定矩阵{\mathit{P}}_i>\mathrm{0}的二次函数V\left({\tilde{\mathit{x}}}_i\left(k\right)\right)={\tilde{\mathit{x}}}_i{\left(k\right)}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_i{\tilde{\mathit{x}}}_i\left(k\right)。令{\mathit{A}}_{cl,i}={\overline{\mathit{A}}}_i+{\overline{\mathit{B}}}_{u,i}{\mathit{F}}_i(k)，可得：

V({\tilde{\mathit{x}}}_i(j+\mathrm{1}|k))-V({\tilde{\mathit{x}}}_i(j|k))={{\tilde{\mathit{X}}}_i}^{\mathrm{T}}(j|k){\tilde{\mathit{A}}}_i{\tilde{\mathit{X}}}_i(j|k)（23）

其中

{\tilde{\mathit{X}}}_i=\left[\begin{array}{c}{\tilde{\mathit{x}}}_i\\ {\tilde{w}}_i\end{array}\right]， {\tilde{\mathit{A}}}_i=\left[\begin{array}{cc}{A}_{cl,i}^{\mathrm{T}}{P}_i{A}_{cl,i}-P_i& \mathrm{*}\\ {\overline{B}}_{w,i}^{\mathrm{T}}{P}_i{A}_{cl,i}& {\overline{B}}_{w,i}^T{P}_i{\overline{B}}_{w,i}\end{array}\right]

由于J_∞，i （k）有限，则{\tilde{\mathit{x}}}_i(\mathrm{\infty }\left|k\right.)=\mathrm{0}，进一步可得V({\tilde{x}}_i(\mathrm{\infty }\left|k\right.))=\mathrm{0}。

将式（23）从j=0到j=∞求和，可得：

-V({\tilde{\mathit{x}}}_i(k))={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{{\tilde{X}}_i}^T(j|k){\tilde{\mathit{A}}}_i{\tilde{\mathit{X}}}_i(j|k)（24）

由于 C_∞D_∞ =0，代价函数（20）可以转化为：

\begin{array}{l}{J}_{\mathrm{\infty },i}(k)={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{z}_i{(j|k)}^{\mathrm{T}}{z}_i(j|k)=\\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\tilde{\mathit{X}}}_i{(j|k)}^{\mathrm{T}}{\tilde{\mathit{B}}}_i{\tilde{\mathit{X}}}_i(j|k)+\end{array}

\delta {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\tilde{w}}_i{(j|k)}^{\mathrm{T}}{\tilde{w}}_i(j|k)（25）

式中：{\tilde{\mathit{B}}}_i=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{{\mathit{C}}_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{T}}{\mathit{C}}_{\mathrm{\infty }}+{\mathit{F}}_i{(k)}^{\mathrm{T}}{\mathit{D}}_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{T}}{\mathit{D}}_{\mathrm{\infty }}{\mathit{F}}_i(k),-\delta \}。

将式（24）代入式（25）可得：

J_{\mathrm{\infty },i}(k)=V({\tilde{\mathit{x}}}_i(k))+\delta {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\tilde{w}}_i{(j|k)}^{\mathrm{T}}{\tilde{w}}_i(j|k)+

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\tilde{\mathit{X}}}_i{(j|k)}^{\mathrm{T}}{\mathit{\Lambda }}_i{\tilde{\mathit{X}}}_i(j|k)（26）

式中：{\mathit{\Lambda }}_i={\tilde{\mathit{A}}}_i+{\tilde{\mathit{B}}}_i，利用有界实引理^［29-31］可得，但{\Lambda }_i\le \mathrm{0}成立，当且仅当式（21b）成立。因此：

J_{\mathrm{\infty },i}(k)\le V({\tilde{\mathit{x}}}_i(k))+\delta {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\tilde{w}}_i{(j|k)}^{\mathrm{T}}{\tilde{w}}_i(j|k)（27）

由于刹车和节气门的物理限制，则：

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\tilde{w}}_i{(j|k)}^{\mathrm{T}}{\tilde{w}}_i(j|k)\le {\tilde{\overline{w}}}_i^{\mathrm{2}}（28）

式中：。

令V({\tilde{\mathit{x}}}_i(k))\le {\gamma }_i，则可得：

J_{\mathrm{\infty },i}(k)\le {\gamma }_i+\delta {\tilde{\overline{w}}}_i^{\mathrm{2}}（29）

则问题（21a）（21b）和（21d）改写为：

\underset{{\mathit{F}}_i(k),P_i}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\gamma }_i（30a）

\mathrm{s}.\mathrm{t}.\hspace{1em}{\mathit{\Lambda }}_i\le \mathrm{0},\hspace{1em}{\tilde{\mathit{x}}}_i{(k)}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_i{\tilde{\mathit{x}}}_i(k)\le {\gamma }_i（30b）

引理1^［31］　考虑车辆i的闭环CACC系统（19），如果存在适当的矩阵{\mathit{Q}}_i={\mathit{Q}}_i^{\mathrm{T}}>0和{\mathit{Y}}_i，使得如下线性矩阵不等式：

\left[\begin{array}{ccccc}-{\mathit{Q}}_i& \mathrm{*}& \mathrm{*}& \mathrm{*}& \mathrm{*}\\ \mathrm{0}& -{\gamma }_i\delta \mathit{I}& \mathrm{*}& \mathrm{*}& \mathrm{*}\\ {\overline{\mathit{A}}}_i{\mathit{Q}}_i+{\overline{\mathit{B}}}_{u,i}{\mathit{Y}}_i& {\gamma }_i{\overline{\mathit{B}}}_{w,i}& -{\mathit{Q}}_i& \mathrm{*}& \mathrm{*}\\ {\mathit{C}}_{\mathrm{\infty }}{Q}_i& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -{\gamma }_i\mathit{I}& \mathrm{*}\\ {\mathit{D}}_{\mathrm{\infty }}{\mathit{Y}}_i& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -{\gamma }_i\mathit{I}\end{array}\right]\le \mathrm{0}（31）

\left[\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{*}\\ {\tilde{\mathit{x}}}_i(k)& {\mathit{Q}}_i\end{array}\right]\ge \mathrm{0}（32）

成立，其中{\mathit{Y}}_i={\mathit{F}}_i(k)Q_i，i=1，2，…，N，则不等式（30b）成立。

引理2^［31］　考虑车辆i的闭环CACC系统（19），如果以下不等式对于i=1，2，…，N成立

\left[\begin{array}{cc}{\widehat{u}}^{\mathrm{2}}-{\overline{u}}_i^{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-\beta )& *\\ {\mathit{Y}}_i^{\mathrm{T}}{\overline{u}}_i{\tilde{\mathit{x}}}_i(\mathrm{0}|k)& {\mathit{Q}}_i\end{array}\right]\ge \mathrm{0}（33）

则输入约束（21c）成立， 其中松弛因子0≤β≤1。

结合引理1和引理2中的结论，问题（21）可以重新表述为：

\left\{\begin{array}{l}\hspace{1em}\underset{{\mathit{Y}}_i,{\mathit{Q}}_i}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\gamma }_i\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\hspace{1em}(\mathrm{31}),(\mathrm{32}),(\mathrm{33})\\ \hspace{1em}\hspace{1em}{\tilde{x}}_i(\mathrm{0}|k)={\tilde{\mathit{x}}}_i(k)\end{array}\right.（34）

优化问题（34）是一个半正定规划问题，目前已有一些数值算法可以有效地解决这一问题，如内点法^［32］。本文使用MATLAB的LMI工具箱来解决这个优化问题。一旦计算出问题（34）的最优解，安全CAPCC反馈控制律（18）可以由{\mathit{F}}_i\left(k\right)={\mathit{Y}}_i(k){\mathit{Q}}_i^{-\mathrm{1}}(k)确定。

定理1　考虑车辆i的闭环CACC系统（19），如果在初始时间k=0时，问题（34）存在解（ Y_i （k）， Q_i （k）），则由 F_i （k）= Y_i （k） Q_i^-1（k）确定的安全预测CACC反馈控制律（18）渐近稳定该系统。

证明　由文献［31］可知，优化问题（34）初始可行，则在k≥0时具有最优解（ Y_i （k）， Q_i （k））。因为解（ Y_i （k）， Q_i （k））满足优化问题（34）的约束条件，不等式{\mathit{\Lambda }}_i\le \mathrm{0}在k处成立，则有

{\mathit{A}}_{cl,i}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_i{\mathit{A}}_{cl,i}-{\mathit{P}}_i+{\mathit{C}}_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{T}}{\mathit{C}}_{\mathrm{\infty }}+

{\mathit{F}}_i{(k)}^{\mathrm{T}}{\mathit{D}}_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{T}}{\mathit{D}}_{\mathrm{\infty }}{\mathit{F}}_i(k)\le \mathrm{0}（35）

将{\mathit{A}}_{cl,i}={\overline{\mathit{A}}}_i+{\overline{\mathit{B}}}_{u,i}{\mathit{F}}_i(k) 代入式（35）可得：

{\tilde{\mathit{x}}}_i{(j|k)}^{\mathrm{T}}\left\{{\left[{\overline{\mathit{A}}}_i+{\overline{\mathit{B}}}_{u,i}{\mathit{F}}_i(k)\right]}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_i\left[{\overline{\mathit{A}}}_i+{\overline{\mathit{B}}}_{u,i}{\mathit{F}}_i(k)\right]\right.-

\left.{\mathit{P}}_i+{\mathit{F}}_i{(k)}^{\mathrm{T}}{\mathit{D}}_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{T}}{\mathit{D}}_{\mathrm{\infty }}{\mathit{F}}_i(k)+{\mathit{C}}_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{T}}{\mathit{C}}_{\mathrm{\infty }}\right\}{\tilde{\mathit{x}}}_i(j|k)\le \mathrm{0}（36）

进一步计算可得：

\begin{array}{l}{\tilde{\mathit{x}}}_i{(j+\mathrm{1}|k)}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_i{\tilde{\mathit{x}}}_i(j+\mathrm{1}|k)-{\tilde{\mathit{x}}}_i{(j|k)}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_i{\tilde{\mathit{x}}}_i(j|k)\\ \le -\left[{\tilde{\mathit{x}}}_i{(j|k)}^T{\mathit{C}}_{\infty }^T{\mathit{C}}_{\infty }{\tilde{\mathit{x}}}_i(j|k)+\right.\end{array}\left.{\tilde{u}}_i{(j|k)}^{\mathrm{T}}{\mathit{D}}_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{T}}{\mathit{D}}_{\mathrm{\infty }}{\tilde{u}}_i(j|k)\right]\le \mathrm{0}（37）

由文献［31］可知，优化问题（34）在k时刻的最优解也是k+1时刻的可行解。因此，利用最优性原理，由式（37）得出：

\begin{array}{l}{V}_i({\tilde{\mathit{x}}}_i(k+\mathrm{1}))-V_i({\tilde{\mathit{x}}}_i(k))\le \\ ({\tilde{\mathit{x}}}_i{(\mathrm{1}|k)}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_i{\tilde{x}}_i(\mathrm{1}|k)-V_i({\tilde{\mathit{x}}}_i(k))=\end{array}

({\tilde{\mathit{x}}}_i{(\mathrm{1}|k)}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_i{\tilde{x}}_i(\mathrm{1}|k)-{\tilde{\mathit{x}}}_i{(k)}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_i{\tilde{\mathit{x}}}_i(k)\le \mathrm{0}（38）

根据Lyapunov稳定性定理，具有反馈控制律（18）的闭环CACC系统（19）是渐近稳定的。

下面给出安全CAPCC算法的实现过程。

算法 1　网联车队安全CAPCC 算法

步骤 1　初始化 {\overline{A}}_i， {\overline{B}}_{u,i}， C_∞， D_∞， {\overline{B}}_{w,i}和每辆车的状态和控制量；令 k=0。

步骤 2　在k时刻， 车辆 i 测量自身状态 x_i （k） 以及接收前车i-1的加速度a_i-1（k） 。

步骤 3　车辆i使用式（12）对a_i-1（k）进行修正，计算增广状态向量{\tilde{\mathit{x}}}_i(k)的误差e_i （k）。

步骤 4　车辆i通过求解优化问题（34）计算 Y_i 和 Q_i，然后确定反馈增益矩阵 F_i （k）和{\tilde{\mathit{u}}}_i(k)。

步骤 5　计算控制量u_i （k）并将其应用于系统（3）；令k=k+1，返回步骤2。

3 弦稳定性分析

在领导车变速过程中实际车距与期望车距之间会出现间距误差。弦稳定性用于表征整个车队的稳定性，即间距误差沿着网联车队向尾部衰减^［33］。

定义1^［34］　对于任意i=1，2，…，N，当满足如下不等式时，

\left|{\Psi }_i(j\omega )\right|=\left|A_i(\mathrm{j}\omega )/A_{i-\mathrm{1}}(j\omega )\right|\le \mathrm{1},\hspace{1em}\forall \omega \ge \mathrm{0}（39）

网联车队具有弦稳定性，其中A_i(j\omega )是加速度a_i 的拉普拉斯变换。

对{\tilde{\mathit{u}}}_i(k)和{\tilde{\mathit{x}}}_i(k)求Z变换，可以得到

Z({\tilde{\mathit{u}}}_i(k))={\mathit{F}}_i(k)Z({\tilde{\mathit{x}}}_i(k))（40）

设增益 F_i =［F_i，1， F_i，2， F_i，3， F_i，4］，可以得到闭环CACC系统（19）弦稳定性的结论。

定理2　在定理1的条件下，当下列不等式组对任意i=1，2，…，N成立时，闭环CACC系统（19）具有弦稳定性。

{\tau }_i{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{7}}}^k+{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{5}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{8}}}^k-{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{4}}}^k\le \mathrm{0}（41a）

{\tau }_i{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{5}}}^k-\mathrm{3}{\tau }_i{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{7}}}^k+{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{5}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{6}}}^k-\mathrm{3}{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{5}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{8}}}^k+{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{6}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{7}}}^k+

{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{7}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{8}}}^k-{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{2}}}^k+\mathrm{3}{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{4}}}^k-{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{2}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{3}}}^k-{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{3}}}^{\mathrm{7}}{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{4}}}^k\le \mathrm{0}（41b）

{\tau }_i{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{8}}}^k\ge \mathrm{0}（41c）

{\tau }_i{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{6}}}^k-\mathrm{4}{\tau }_i{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{8}}}^k+{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{5}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{7}}}^k+{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{6}}}^k{\mathrm{\Theta }}_{{}_{i,\mathrm{8}}}^k-{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{3}}}^k-{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{2}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{4}}}^k\ge \mathrm{0}（41d）

\begin{array}{l}({\tau }_i+{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{5}}}^k+{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{6}}}^k+{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{7}}}^k+{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{8}}}^k{)}^{\mathrm{2}}-({\Theta }_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k+{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{2}}}^k+\\ {\Theta }_{{}_{i,\mathrm{3}}}^k+{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{4}}}^k{)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}{\tau }_i{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{6}}}^k-\mathrm{4}{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{5}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{7}}}^k-\mathrm{4}{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{6}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{8}}}^k+\end{array}

\mathrm{4}{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{3}}}^k+\mathrm{4}{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{2}}}^k{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{4}}}^k\ge \mathrm{0}（41e）

其中：

{\Theta }_{i,\mathrm{1}}^k=F_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{w}_{\mathrm{3}}{T}_s

{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{2}}}^k=F_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{w}_{\mathrm{2}}{T}_s^{\mathrm{2}}-F_{{}_{i,\mathrm{3}}}^k{T}_s^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{F}_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{w}_{\mathrm{3}}{T}_s

\begin{array}{l}{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{3}}}^k=F_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{w}_{\mathrm{1}}{T}_s^{\mathrm{3}}-F_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{w}_{\mathrm{2}}{T}_s^{\mathrm{2}}-F_{{}_{i,\mathrm{2}}}^k{T}_s^{\mathrm{3}}+\mathrm{2}{F}_{{}_{i,\mathrm{3}}}^k{T}_s^{\mathrm{2}}+\\ F_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{w}_{\mathrm{3}}{T}_s\end{array}

{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{4}}}^k=F_{{}_{i,\mathrm{2}}}^k{T}_s^{\mathrm{3}}-F_{{}_{{}_{i,\mathrm{3}}}}^k{T}_s^{\mathrm{2}}

{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{5}}}^k=-\mathrm{4}{\tau }_i+T_s+F_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{w}_{\mathrm{3}}{T}_s-F_{{}_{i,\mathrm{4}}}^k{T}_s

\begin{array}{l}{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{6}}}^k=\mathrm{6}{\tau }_i-\mathrm{3}{T}_s-F_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{w}_{\mathrm{1}}{h}_i{T}_s^{\mathrm{2}}+F_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{w}_{\mathrm{2}}{T}_s^{\mathrm{2}}-\\ \mathrm{2}{F}_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{w}_{\mathrm{3}}{T}_s-F_{{}_{i,\mathrm{3}}}^k{T_s}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{F}_{{}_{i,\mathrm{4}}}^k{T}_s,\end{array}

\begin{array}{l}{\Theta }_{{}_{i,\mathrm{7}}}^k=-\mathrm{4}{\tau }_i+\mathrm{3}{T}_s+F_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{w}_{\mathrm{1}}{h}_i{T}_s^{\mathrm{2}}+F_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{w}_{\mathrm{1}}{T}_s^{\mathrm{3}}-\\ F_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{w}_{\mathrm{2}}{T}_s^{\mathrm{2}}+F_{{}_{i,\mathrm{1}}}^k{w}_{\mathrm{3}}{T}_s-F_{{}_{i,\mathrm{2}}}^k{T}_s^{\mathrm{3}}+\\ \mathrm{2}{F}_{{}_{i,\mathrm{3}}}^k{T_s}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{F}_{{}_{i,\mathrm{4}}}^k{T}_s,\\ {\Theta }_{{}_{i,\mathrm{8}}}^k={\tau }_i-T_s+F_{{}_{i,\mathrm{2}}}^k{T}_s^{\mathrm{3}}-F_{{}_{i,\mathrm{3}}}^k{T_s}^{\mathrm{2}}+F_{{}_{i,\mathrm{4}}}^k{T}_s,\end{array}

证明　对式（1）求Z变换，可得：

\frac{z{S}_i(z)-S_i(z)}{T_s}=V_i(z)（42a）

\frac{z{V}_i(z)-V_i(z)}{T_s}=A_i(z)（42b）

\frac{z{A}_i(z)-A_i(z)}{T_s}=-\frac{\mathrm{1}}{{\tau }_i}{A}_i(z)+\frac{\mathrm{1}}{{\tau }_i}{U}_i(z)（42c）

式中：S_i 、 V_i 和A_i 分别为变量s_i 、 v_i 和a_i 的Z变换。

将式（12）（13）（15）代入式（16）可得：

\begin{array}{l}{e}_i(k+\mathrm{1})=[w_{\mathrm{1}}(r_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{e}}+v_i(k+\mathrm{1})h_i)+\\ w_{\mathrm{3}}{a}_{i-\mathrm{1}}(k+\mathrm{1})]-[w_{\mathrm{1}}(s_i(k+\mathrm{1})-\\ s_{i-\mathrm{1}}(k+\mathrm{1}))+w_{\mathrm{2}}(v_i(k+\mathrm{1})-\end{array}

v_{i-\mathrm{1}}(k+\mathrm{1}))+w_{\mathrm{3}}{a}_i(k+\mathrm{1})]（43）

对式（43）求Z变换，可得：

\begin{array}{l}Z(e_i(k+\mathrm{1}))=\\ \left(\frac{w_{\mathrm{1}}{h}_{i}z{T}_s}{z-\mathrm{1}}-\frac{w_{\mathrm{1}}z{T}_s^{\mathrm{2}}}{{(z-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}-\frac{w_{\mathrm{2}}z{T}_s}{z-\mathrm{1}}-w_{\mathrm{3}}z\right)\end{array}A_i(z)+

\left(\frac{w_{\mathrm{1}}z{T}_s^{\mathrm{2}}}{{(z-\mathrm{1})}^{\mathrm{2}}}+\frac{w_{\mathrm{2}}z{T}_s}{z-\mathrm{1}}+w_{\mathrm{3}}z\right)A{}_{i-\mathrm{1}}{}^{}(z)（44）

把式（42）代入{\tilde{\mathit{x}}}_i\left(k+\mathrm{1}\right)的Z变换，可以得到：

Z({\tilde{\mathit{x}}}_i(k+\mathrm{1}))=\left[\begin{array}{c}Z(e_i(k+\mathrm{1}))\\ \frac{T_s^{\mathrm{2}}}{z-\mathrm{1}}{A}_i(z)-\frac{T_s^{\mathrm{2}}}{z-\mathrm{1}}{A}_{i-\mathrm{1}}(z)\\ T_s{A}_i(z)-T_s{A}_{i-\mathrm{1}}(z)\\ (z-\mathrm{1})A_i(z)\end{array}\right]（45）

结合（42c），对{\tilde{\mathit{u}}}_i\left(k\right)={\mathit{F}}_i(k){\tilde{\mathit{x}}}_i\left(k\right)求Z变换，可得：

{\Psi }_i(z)=\frac{A_i(z)}{A{}_{i-\mathrm{1}}{}^{}(z)}=

\frac{{\Theta }_{i,\mathrm{1}}^k{z}^{\mathrm{3}}+{\Theta }_{i,\mathrm{2}}^k{z}^{\mathrm{2}}+{\Theta }_{i,\mathrm{3}}^{k}z+{\Theta }_{i,\mathrm{4}}^k}{{\tau }_i{z}^{\mathrm{4}}+{\Theta }_{i,\mathrm{5}}^k{z}^{\mathrm{3}}+{\Theta }_{i,\mathrm{6}}^k{z}^{\mathrm{2}}+{\Theta }_{i,\mathrm{7}}^{k}z+{\Theta }_{i,\mathrm{8}}^k}（46）

将z={\mathrm{e}}^{j\omega }代入{\Psi }_i(z)并使用欧拉公式，可得：

\left|{\Psi }_i(j\omega )\right|=\sqrt[]{\vartheta (\omega )/(\vartheta (\omega )+\eta (\omega ))}（47）

其中

\begin{array}{l}\vartheta (\omega )=({\Theta }_{i,\mathrm{1}}^k\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}\omega -\mathrm{3}{\Theta }_{i,\mathrm{1}}^k\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\omega \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega +{\Theta }_{i,\mathrm{2}}^k\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\omega -\\ {\Theta }_{i,\mathrm{2}}^k\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\omega +{\Theta }_{i,\mathrm{3}}^k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega +{\Theta }_{i,\mathrm{4}}^k{)}^{\mathrm{2}}+\\ (\mathrm{3}{\Theta }_{i,\mathrm{1}}^k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega \mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\omega -{\Theta }_{i,\mathrm{1}}^k\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}\omega +\\ \mathrm{2}{\Theta }_{i,\mathrm{2}}^k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega +{\Theta }_{i,\mathrm{3}}^k{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega )}^{\mathrm{2}}\end{array}

\begin{array}{l}\eta (\omega )=(\mathrm{16}{\tau }_i{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{8}}^k)\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{4}}\omega +\\ (\mathrm{8}{\tau }_i{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{7}}^k+\mathrm{8}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{5}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{8}}^k-\mathrm{8}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{1}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{4}}^k)\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{3}}\omega +\\ (\mathrm{4}{\tau }_i{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{6}}^k-\mathrm{16}{\tau }_i{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{8}}^k+\mathrm{4}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{5}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{7}}^k+\mathrm{4}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{6}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{8}}^k-\\ \mathrm{4}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{1}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{3}}^k-\mathrm{4}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{2}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{4}}^k)\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\omega +\\ (\mathrm{2}{\tau }_i{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{5}}^k-\mathrm{6}{\tau }_i{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{7}}^k+\mathrm{2}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{5}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{6}}^k-\mathrm{6}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{5}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{8}}^k+\\ \mathrm{2}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{6}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{7}}^k+\mathrm{2}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{7}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{8}}^k-\mathrm{2}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{1}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{2}}^k-\mathrm{2}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{3}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{4}}^k+\\ \mathrm{6}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{1}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{4}}^k-\mathrm{2}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{2}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{3}}^k)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega +\\ {\tau }_i^{\mathrm{2}}+{{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{5}}^k}^{\mathrm{2}}+{{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{6}}^k}^{\mathrm{2}}+{{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{7}}^k}^{\mathrm{2}}+{{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{8}}^k}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{\tau }_i{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{6}}^k+\\ \mathrm{2}{\tau }_i{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{8}}^k-\mathrm{2}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{5}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{7}}^k-\mathrm{2}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{6}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{8}}^k-{{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{1}}^k}^{\mathrm{2}}-{{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{2}}^k}^{\mathrm{2}}-\\ {{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{3}}^k}^{\mathrm{2}}-{{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{4}}^k}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{1}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{3}}^k+\mathrm{2}{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{2}}^k{\mathrm{\Theta }}_{i,\mathrm{4}}^k\end{array}

显然，\vartheta (\omega )\ge \mathrm{0}，则将式（41）代入\eta (\omega )可以检验\eta (\omega )\ge \mathrm{0}。因此，由定义1可知，网联车队具有弦稳定性。

注意，定理2的条件是网联车队弦稳定性的充分条件，即CACC反馈控制律即使不满足这些充分条件，也可能实现网联车队弦稳定性。

4 仿真和性能分析

4.1　实验设置

考虑由一辆虚拟参考车辆（i=0）、一辆领导车辆（i=1）和三辆跟随车辆（i=2，3，4）组成的车辆队列，如图2所示。设置车辆i的动态参数τ_i 为： τ₀=0.1 s，τ₁=0.1 s，τ₂=0.11 s，τ₃=0.12 s和τ₄=0.15 s；初始位置s_i(\mathrm{0})为：s_{\mathrm{0}}(\mathrm{0})=\mathrm{80} m，s_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})=\mathrm{60} m，s_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})=\mathrm{40} m，s_{\mathrm{3}}(\mathrm{0})=\mathrm{20} m 和 s_{\mathrm{4}}(\mathrm{0})=\mathrm{0} m；控制器的权重分别为w₁=0.4，w₂=0.3，w₃=0.4，w₄=0.1和 w₅=0.1，其他仿真参数如表1所示。仿真时间持续60 s，参考车辆加速度为：

a_{\mathrm{0}}(k)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0.5}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{0.01}k\mathrm{\pi }-\mathrm{\pi })+\mathrm{0.5},k\in [\mathrm{0,200})\\ \mathrm{0.5}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{0.01}k\mathrm{\pi })-\mathrm{0.5},k\in [\mathrm{200,400})\\ \mathrm{0},k\in [\mathrm{400,600})\end{array}\right.（48）

为验证本文所提的安全CAPCC算法，在5~50 s内对车辆1施加周期T=5的周期性DoS攻击。在MATLAB环境下，利用MATLAB R2017b的LMI工具箱解决仿真中涉及的优化问题（34）。

4.2　DoS攻击下网联车队的仿真实验

当无线通信网络不存在DoS攻击时，即式（7）中的{\varpi }_{\mathrm{1}}(k)始终为1时，车辆1的加速度数据a_{\mathrm{1}}(k)可以正常传输给车辆2。当无线通信网络存在DoS攻击时，即式（7）中的{\varpi }_{\mathrm{1}}(k)为0时，车辆1传输给车辆2的加速度a_{\mathrm{1}}(k)被阻塞。假设攻击者发起式（9）描述的周期性DoS攻击，车辆2接收到的加速度为：

{\tilde{a}}_{\mathrm{1}}(k)={\varpi }_{\mathrm{1}}(k)a_{\mathrm{1}}(k)（49）

式中：当k∈R_n¹，R_n¹= ｛k∈N| 50n<k<50n+k_on｝， n=1，2，…，9时{\varpi }_{\mathrm{1}}(k)=\mathrm{0}；否则{\varpi }_{\mathrm{1}}(k)=\mathrm{1}。

图3为车辆1的真实加速度数据，图4为存在周期性DoS攻击时车辆2所接收到的前车加速度数据，图5为车辆2采用加速度估计器补偿的前车加速度数据。可以看出，利用加速度估计器可以很好地补偿被DoS攻击阻塞的前车加速度数据。

图6（a）和（b）分别为存在间断DoS攻击（k_on=1）和持续DoS攻击（k_on=10）时，应用传统MPC-CACC算法获得的5车队列车辆速度、加速度和间距误差仿真结果。可以看出，相比于间断DoS攻击，持续性DoS攻击对车辆队列的加速度和间距误差有更大的影响。当车辆1遭受持续DoS攻击时，车辆2~4的加速度和间距误差存在明显的波动，且车辆4的波动大于车辆2和车辆3。

为了更好地体现DoS攻击下本文所提安全CACC算法（安全MPC-CACC）的性能，将本文算法与文献［19］所提的算法（安全PID-CACC）在持续性DoS攻击下进行对比。图7（a）和（b）分别为采用安全MPC-CACC和安全PID-CACC 的5车队列仿真。对比图6（b）可以看出，两种安全CACC算法都可以有效抑制DoS攻击，但是本文所提算法更胜一筹。应用安全PID-CACC算法的车辆的加速度曲线和间距误差波动比较明显，表示车辆存在急变速情况，而应用本文所提安全MPC-CACC算法的车辆则更加平稳。

为了更好地评价弦稳定性，采用定量判据^［19］进一步验证网联车队弦稳定性。图8中圆圈表示传统MPC-CACC算法，星号表示本文所提的安全MPC-CACC算法。可以看出，在DoS攻击下应用传统MPC-CACC算法的网联车队的间距误差是沿着车辆队列向尾部增大的，即不满足弦稳定性要求；而应用本文所提安全MPC-CACC的网联车队的间距误差沿着车辆队列向尾部衰减，即满足弦稳定性要求。

5 结束语

针对加速度DoS攻击下的网联车队，本文提出了一种新的安全CAPCC方法，主要思路是：①利用运动学特性设计了加速度估计器，补偿被阻塞的前车加速度，再设计综合轨迹信号以灵活描述网联车队的行驶情况，进而结合加速度估计器和综合轨迹信号设计了网联车安全CAPCC算法；②以线性矩阵不等式的形式，建立了在安全约束和加速度DoS攻击下的网联车队稳定性和弦稳定性结果，并在典型交通场景下仿真验证了本文所提算法的优越性。

现实网络攻击不仅有DoS攻击，还有欺骗攻击、重放攻击等其他类型的复杂攻击，而网联车的无线通信可能会存在一定的网络延时。后续研究将进一步考虑复杂攻击类型以及通信延迟。

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基金资助

国家自然科学基金项目(62273307)

浙江省公益性技术应用研究项目(LGF22F030013)